九年级数学-21.2.2 用配方法解一元二次方程

2
x2 3 x (3)2 1 (3)2 2 4 24
由此可得
(x 3)2 1 4 16
x3 1 44
x1
1,
x2
1 2
例1：解下列方程
⑴ x2 8x 1 0
⑵ 2x2 1 3x
⑶ 3x2 6x 4 0
（3）移项，得
3x2 6x 4
二次项系数化为1，得
配方
x2 2x 4 3
解一元二次方程
— 配方法
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1、昆仑纵有千丈雪，我亦誓把昆仑截！
2、觉得自己做的到和做不到的，其实 只在一念之间。
学习目标
1、了解什么是配方法； 2、会用配方法准确而熟练解一元二次方程； 3、理解配方法的关键、基本思想和步骤； 4、体会转化、类比、降次的思想。
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
首先要把二次项系数化为1
4.用配方法解一元二次方程的一般步骤：
（1）系数化为1 （2）移项 （3）配方 （4）开方 （5）求解 （6）定根
5、配方法的关键和基本思想是什么？
你学会了吗
你学会了吗
x2 2x 12 4 12 3
(x 1)2 1 3
所以原方程无实数根。
做一做
解下列方程
（1） x2 10x 9 0 （2） 3x2 6x 4 0 （3） x2 4x 9 2x 11
解（1）移项，得
x2 10x 9
配方
x2 10x 52 9 52
x 52 16
x 12 1
所以原方程无实数根。
1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
2.把一元二次方程的左边配成一个完全平方 式,然后用开平方法求解,这种解一元二次方程的 方法叫做配方法.
3.对于二次项系数不为1的一元二次方程， 用配方法求解时首先要怎样做 ？
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）x2－ 81＝0 （2） x2 ＝50
(3)(x＋1)2=4
(4)x2＋2 5 x＋5=0
方程 x2 6x 9 2 可以化成 __x__3_2___2_ ,
进行降次，得_x___3____2 ,方程的根
x1 __2___3_ , x2 ___2__3__ .
根据平方根的定义,可解得 x1 a,x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
小练习：用开平方法解下列方程: (1)3x2－27=0; (2)(2x－3)2=7
（１）方程 x2 0.25的根是 X1=0.5, x2=－0.5
（２）方程 2x2 18 的根是 X1＝3， x2＝—3 （3） 方程 (2x 1)2 9的根是 X1＝2， x2＝－1
(2)
x2
8
x
42
_____
(
x
__4_)2
(3)
y2
5
y
（5）2
__2___
(
y
__52 _)2
(4)
y2
1 2
y
（1）2
__4__
(
y __14_)2
补充例1、用配方法解方程2x2-5x+2=0
解：两边都除以2，得 x2 5 x 1 0 系数化为1
2
移项，得 x2 5 x 1
移项
2
要使一块长方形场地的长比宽多6m，并且 面积为16m2,场地的长和宽应各是多少？
设场地的宽为 xm ,长x 6m ，列方程得
xx 6 16
即 x2 6x 16 0
方程 x2 6x 16 0 和方程x2 6x 9 2
有何联系与区别呢？
x2 6x 16 0
移项
x2 6x 16
x2
4
x
2 2
1
2 2
3 3 3 3
即 x
2 2
7
3
9
开方，得
x2 7
3
3
∴ 27 x1 3 3
27 x2 3 3
系数化为1 移项 配方
开方 求解 定解
例1：解下列方程
⑴ x2 8x 1 0
⑵ 2x2 1 3x
⑶ 3x2 6x 4 0
解：（1）移项，得
x2 8x 1
配方，得 x2 5 x 5 2 1 25 配方
2 4
16
即
x 5 2 9 4 16
开方，得源自文库
x5 3 44
∴ x1 2
x2
1 2
开方 求解 定解
补充例2、用配方法解方程-3x2+4x+1=0
解：两边都除以-3，得
x2 4 x 1 0
33
移项，得 x 2 4 x 1
33
配方，得
两边加9（即
(
6 2
)
2
），使左边配成
x2 2bx b2
的形式
x2 6x 9 16 9
左边写成平方形式
x 32 25
降次
x 3 5 x 3 5，x 3 5
解一次方程
x1 2 , x2 8
以上解法中，为什么在方程 x2 6x 16 两边加9？加其
他数行吗？
把一元二次方程的左边配成一个 完全平方式,然后用开平方法求解,这 种解一元二次方程的方法叫做配方法.
由此可得
x 5 4
x1 1, x2 9
（2）移项，得
3x2 6x 4
二次项系数化为1，得
配方
x2 2x 4 3
x2 2x 12 4 12 3
x 12 7
3
由此可得
x 1 21 3
21
21
x1 1 3 , x2 1 3
（3）移项，得
x2 2x 2
配方 x2 2x 12 2 12
配方
x2 8x 42 1 42
由此可得
x 42 15
x 4 15
x1 4 15 , x2 4 15
例1：解下列方程
⑴ x2 8x 1 0
⑵ 2x2 1 3x
⑶ 3x2 6x 4 0
（2）移项，得
2x2 3x 1
二次项系数化为1，得
配方
x2 3 x 1
2
配方的基 本思想？
降 次
• (1)x2＋8x＋ 4²=(x＋4 )2 • (2)x2－4x＋ 2²=(x－2 )2 • (3)x2－6x＋ 3²=(x－3 )2
思考：当二次项系数是1时，常数项与 一次项的系数有怎样的关系？
规律：当二次项系数是1时，常数项是 一次项系数一半的平方。
(1) x2 2x __1_2__ (x __1_)2