Taylor公式的唯一性证明
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Tayloy 公式的唯一性证明
作者：卢晓峰
1. 引理：设0
lim ()0x x
g x →=，()g x 在0x 的某邻域内可导，且()g x '在0x 处连续。若0()(())n g x x x ο=-，则10()(())n g x x x ο-'=-。 证明：
0000111
00
000
()()
()()()
()
lim lim lim lim lim ()()
()()()n n n n n x x x x x x x x x x g x g x g x x x g x g x g x x x x x x x x x x x ---→→→→→-''-===------
又0()(())n g x x x ο=-，0
0lim ()()0x
x
g x g x →== ∴0
0()
lim
0()n x x g x x x →=-；0
00
()lim 0()n x x g x x x →=- ∴0
1
0()lim
0()
n x x g x x x -→'=-，即1
0()(())n g x x x ο-'=-。 2. 唯一性证明：
()f x 在0x 处存在n 阶导，设0()()(())n n f x P x x x ο=+- <1>。（其中()
n P x 为n 次多项式）
设<1>式中0(())()n x x g x ο-=。易证：()g x 满足引理的条件。
∴10()(())n g x x x ο-'=-，20()(())n g x x x ο-''=-，，(1)0()()n g x x x ο-=-。
∴()()()
n f x P x g x '''=+，
()()()
n f x P x g x ''''''=+
，
，
(1)(1)(1)()()()n n n n f x P x g x ---=+ <2>
对<2>中的所有等式，均取0x x →的极限，则有：
00()()n f x P x ''=，00()()n f x P x ''''=，
，(1)(1)00()()n n n f x P x --=
又
(1)(1)(1)(1)(1)()
()000000
()()()()()
()lim lim ()
n n n n n n n n n n x x x x f x f x P x g x P x f x P x x x x x -----→→-+-===--∴00()()n f x P x =，00()()n f x P x ''=，，()()00()()n n n f x P x =。
我们不妨设：2010200()()()()n n n n P x a a x x a x x a x x =+-+-+
+-，由
上我们可知：
00()n a P x =，01()
1!
f x a '=，，()0()
!n n f x a n =；即()()n n T x P x =，
其中()n T x 为()f x 的n 次Tayloy 多项式。