李雅普诺夫稳定性方法

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第六章李亚普诺夫稳定性分析

如图5-3李雅普诺夫意义下的稳定性示意图
2.古典理论稳定性定义(渐近稳定性)
设 xe 是系统的一个孤立平衡状态，如果
（1） xe 是李雅普诺夫意义下稳定的；
（2）
则称此平衡状态是渐近稳定的。
2009-08
CAUC--空中交通管理学院
§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
- 初始状态 - 平衡状态
图6-2 二维空间渐近稳定性的几何解释示意图
3.内部稳定性与外部稳定性的关系
1)若系统是内部稳定（渐近稳定）的，则一定是外部稳定（ BIBO稳定）的。
2)若系统是外部稳定（BIBO稳定）的，且又是可控可观测的，则系统是内部稳定（渐近稳定）的。此时内部稳定和外部稳定是等价的。
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§6-1 李雅普诺夫稳定性定义
(外部稳定性也称为BIBO（Bounded Input Bounded Output ）稳定性)
说明：
（1）所谓有界是指如果一个函数，在时间区间[0，∞] 中，它的幅值不
会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的t∈ [0 ∞] ，恒有
|h(t)| ≤ k ≤ ∞成立。（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
若对所有t，状态x满足
，故有下式成立:
，则称该状态x为平衡状态，记为
（5-2）
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
（1）线性定常系统
其平衡状态xe满足Ax=0
A非奇异，则存在唯一的一个平衡状态xe =0 。（2）非线性系统
方程
的解可能有多个。
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第5章李雅普诺夫稳定性分析

3
第5章李雅普诺夫稳定性分析
第五章李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限，也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的原点）内是正定的。
24
第5章李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷

稳定性与李雅普诺夫

1
V (x) xT
2
0
0
x
n
上式，为二次型函数的标准型。它只包含变量的平方项，其中 i
为对称阵P的互异特征值，且均为实数。 •二次型函数的标准形正定的充要条件式对称阵P的所有特征值
i 均大于零。
矩阵P的符号性质
设P为n×n的实对称阵，V(x)=xTPx为由P所决定的二次型函数。 1）若V(x)正定，则P正定，记做P ＞ 0； 2）若V(x)负定，则P负定，记做P ＜ 0； 3）若V(x)半正定（非负定），则P半正定（非负定），记做P ≥ 0； 4）若V(x)半负定（非正定），则P半负定（非正定），记做P ≤ 0；
p2n
x2
pnn
xn
如果pij=pji，则称P为实对称阵。
二次型函数的标准型
对于二次型函数，V (x) xTPx 若P为实对称阵，则必存在正交矩阵T，通过变换 x Tx ，使之化成
V (x) xTPx (Tx)T PTx xTT TPTx xT (T TPT)x
P T T PT
不稳定
分析下列系统的稳定性
小范围（局部）稳定性渐进稳定性
大范围（全局）
不稳定性
表面有摩擦
李雅普诺夫稳定性判别方法
第一法（间接法）：先求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性。
第二法（直接法）：构造李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质判断系统的稳定性。－－适用与任何复杂系统
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如

稳定性与李雅谱诺夫方法

（3）
成立，则称为系统的平衡状态。对于一个任意系统，不一定都存在平衡状态，有时即使存在也未必是唯一的。
1.2
稳定性的几个定义
，有：
若用那么
表示状态矢量
与平衡状态
的距离，用点集
表示以
为中心为半径的超球体，
（4）
在n维状态空间中，有：
（5）
当很小时，则称为的邻域。因此，若有位于球，则意味着域内，便有：同理，若方程式(1)的解
为矩阵微分方程式的初始条件。
当选取正定矩阵
时，可由函
计算出
；再根据
是否具有连续、
对称、正定性来判别线性时变系统的稳定性。
证明
设李雅普诺夫函数取为：
式中，
为连续的正定对称矩阵。取V（x,t）对时间的全导数，得：
即（5）式中
由稳定性判据可知，当一个正定对称矩阵，则定的。
为正定对称矩阵时，若
也是
判别其稳定性的问题。例如高阶的非线性系统或时变系统。
4
4.1
李雅普诺夫方法在线性系统中的应用
线性定常连续系统渐近稳定判据
设线性定常连续系统为：
则平衡状态证明书171页
为大范围渐阵A所有特征根均具有负实部等价于存在正定实对称矩阵P，使得ATP+PA<0
定理：线性连续定常系统
其平衡态xe=0大范围渐近稳定的充要条件为：任意给定正定实对称矩阵Q，若存在正定实对称矩阵P，满足则可取
Ax x
AT P PA Q
V ( x) xT Px
为系统的李雅谱诺夫函数。
运用时应注意： 1. 先选Q>0，之后代入李雅谱诺夫方程求取P，然后判定P的正定性，进而得出系统稳定与否的结论； 2. 通常选Q=I；

李雅普诺夫稳定性的基本定理

李雅普诺夫稳定性定理的直观意义(2/5)
右图所示动力学系统的平衡态在一定范围内为渐近稳定的平衡态。
对该平衡态的邻域,可定义其
能量(动能+势能)函数如下:
h
f
x
v

mg
V 1 mv2 mgh 2
1 mx2 mg(x cos ) 0
2
渐近稳定平衡态
其中x为位移, x’为速度,两者且选为状态变量。
其中P称为二次型函数V(x)的权矩阵,它为如下nn维实对称矩阵:
a11 P a12/2
...
a12 / 2 a22 ...
... a1n/2 ... a2n/2 ... ...
a1n/2 a2n/2 ... ann
二次型函数和对称矩阵的正定性(3/4)
二次型函数与一般函数一样,具有正定、负定、非负定、非正定和不定等定号性概念。二次型函数V(x)和它的对称权矩阵P是一一对应的。因此,由二次型函数的正定性同样可定义对称矩阵P的正定性。
矩阵正定性的判别方法(4/5)—例5-2
例3-2 试用合同变换法判别下列实对称矩阵P的定号性:
1 -1 -1
P -1 3
2

-1 2 5
解先对对称矩阵P作合同变换如下
矩阵正定性的判别方法(5/5)—例5-2
1 -1 -1
1 0 -1
P -1 3
矩阵正定性的判别方法(1/5)
(3) 矩阵正定性的判别方法
判别矩阵的正定性(定号性)的方法主要有塞尔维斯特判别法、矩阵特征值判别法和合同变换法。
下面分别介绍。
矩阵正定性的判别方法(2/5)--塞尔维斯特定理

第4章稳定性与李雅普诺夫方法

lim x xe
t
则称系统的平衡状态xe渐近稳定的。
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第二种：渐近稳定 x2 S( )
经典理论中的稳定就是这里所说的渐近稳定

S( )

x0 xe x1
x
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
第三种：大范围渐近稳定
定义: 如果系统 x f ( x, t ) 对对整个状态空间中的任意初始状态x0的每一个解，当t→，都收敛到xe，称系统的平衡状态xe大范围渐近稳定。
RCx1 x1 0
电容器储存的电场能为
x1 (t ) x1 (0)e
2t

t RC
1 1 2 1 2 2 v( x ) CU c Cx1 Cx1 (0)e RC 0 2 2 2
v( x )
2 v( x ) 0 RC
4.3 李雅普诺夫第二法
3 几个稳定判据
4.2 李雅普诺夫第一法
4.2 李雅普诺夫第一法
绪论
本章结构 • 第4章稳定性与李雅普诺夫方法
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 4.5 李雅普诺夫方法在非线性系统中的应用
4.3 李雅普诺夫第二法
f ( xe , t ) 0
由平衡状态xe在状态空间中所确定的点，称为平衡点
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
（1）平衡状态
对于非线性系统，方程f ( xe,t) = 0的解可能有多个，即可能有多个平衡状态。如

第四章稳定性与李雅普诺夫方法

第四章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中的两个重要概念。

稳定性是控制系统分析中的基本问题之一，它描述了系统在受到干扰后能否回到平衡状态的能力。

李雅普诺夫方法是一种常用的稳定性分析方法，通过构造李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。

稳定性是控制系统设计中最基本的要求之一、一个稳定的系统能够在受到干扰后迅速恢复到平衡状态，而不会发生不可控制的震荡或不稳定的行为。

稳定性可以分为两种类型：渐近稳定性和有界稳定性。

渐近稳定性要求系统的状态能够收敛到一个稳定的平衡点，而有界稳定性要求系统的状态能够保持在一个有限范围内。

李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。

李雅普诺夫函数是一个标量函数，它满足以下条件：1)对于任意非零的向量，李雅普诺夫函数的导数都是负的或零；2)当且仅当系统达到稳定时，李雅普诺夫函数的导数为零。

通过构造李雅普诺夫函数并分析其导数的符号，可以判断系统的稳定性。

在实际应用中，人们通常使用李雅普诺夫直接法、李雅普诺夫间接法和李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理等方法来进行稳定性分析。

其中，李雅普诺夫直接法是最常用的方法之一，它通过选择一个合适的李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性。

如果可以找到一个李雅普诺夫函数，使得该函数的导数对于所有非零的初始条件都是负的，则系统是渐近稳定的。

李雅普诺夫间接法是通过构造一个李雅普诺夫方程来判断系统的稳定性。

李雅普诺夫方程是一个微分方程，其中包含系统的状态向量和一个非负标量函数，满足一定的条件。

如果可以找到一个满足李雅普诺夫方程的解，并且该解是有界的，则系统是有界稳定的。

李雅普诺夫-克拉洛夫稳定性定理是李雅普诺夫方法的重要理论基础。

该定理表明，如果系统的李雅普诺夫函数存在并且连续可导，并且李雅普诺夫函数的导数满足一定的条件，则系统是渐近稳定的。

这个定理为李雅普诺夫方法的应用提供了重要的理论依据。

总之，稳定性与李雅普诺夫方法是控制理论中基础且重要的概念。

现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性

0s
0
1
s
0 1 1 1 1
(s
s 1 1)(s 1)
s
1 1
可见传递函数的极点 s 1位于s的左半平面，故系统
输出稳定。这是因为具有正实部的特征值2 1 被系统的零
点 s 1 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出
来。由此可见，只有当系统的传递函数W(s)不出现零、极
点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W(s)的
2020/3/22
6
现代控制理论
第4章李亚普诺夫稳定性分析
4.2 李亚普诺夫第二法的概述
1892年俄国学者李亚普诺夫发表了《运动稳定性一般问题》，最早建立了运动稳定性的一般理论，并把分析常微分方程组稳定性的全部方法归纳为两类。第一类方法先求出常微分方程组的解，而后分析其解运动的稳定性，称为间接方法；第二类方法不必求解常微分方程组，而是提供出解运动稳定性的信息，称为直接方法，它是从能量观点提供了判别所有系统稳定性的方法。
即Xe f ( X e ,t) ，0 则把叫X e做系统的平衡状态。
对于线性定常系统 X AX而言，其平衡状态满足
Xe AX e ，0 若A是非奇异矩阵，则只有 X e ，0 即对线性系统而言平衡状态只有一个，在坐标原点；反之，则有无限
多个平衡状态。
对于非线性系统而言，平衡状态不只一个。
2020/3/22
9
现代控制理论
第4章李亚普诺夫稳定性分析
3、李亚普诺夫第二法
李亚普诺夫第二法建立在这样一个直观的物理事实上：
如果一个系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即
im
t
X
X，e 那么随着系统的运动，其储存的能量将随时间

第四章稳定性与李雅普诺夫方法

李雅普诺夫第二法稳定性判据
① 若 V( x ) 为半负定，那么平衡状态xe为李雅普诺夫意义下稳定。稳定判据
② 若 V( x )为负定，或者虽然V( x ) 为半负定，但对任
意初始状态 x(t0)0 来说，除去x=0外，对 x0 ，V( x )
不恒为零。原点平衡状态为渐近稳定。如果有 x 时，V(x) 则系统是大范围渐近稳定。
2）对一个给定的系统，V(x)是可以找到的，通常是非唯一的，但不影响结论的一致性。
3）V(x)的最简单形式是二次型函数，但不一定都是简单的二次型。
对李雅普诺夫函数的讨论
4）如果V(x)的二次型可以表示成标准二次型，V(x) 就表示从原点到到x点的距离。V(x)的导数表征了系统相对原点的速度。
渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且当t无限增长时，轨
线不仅不超出 s( ) ，而且最终收敛于xe，则称平衡
状态xe是渐近稳定的。
大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，并且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都是具有渐近稳定性，则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。
不稳定
如果对于某个实数 0和任一实数 0，不管这个实数多么小，由 s( ) 内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过，s(则)称平衡状态xe不稳定。
2）若
0
i
0
i为偶数 i为奇数
则P（或V(x)）为负定的。
3）若 i00,,ii1n,2,n1则P（或V(x)）为半正定的。
0 i为偶数
4）若
i
0
i为奇数
则P（或V(x)）为半负定的。
0 i=n
李雅普诺夫第二法稳定性判据
设系统的状态方程为
x f (x)

李雅普诺夫稳定性分析的方法

f ( x, t ), 且f (0, t ) 0 • 定理一.设系统的状态方程: x (坐标原点为平衡状态)如果上述给定系统存在一个有连续偏导数的标量函数V(x)并满足下列条件：
1).对所有 x 0 时V(x)>0 ( x) 0 ,则平衡点x=0是渐 2).对所有 x 0 时V 近稳定的. 3).除满足1),2)外,如果 x ,V ( x) 则x=0是大范围渐近稳定的.
（3）用李氏方法分析的必要性 • 以一个例子说明:用特征值来判断线性时变系统一般稳定性是会失效的.
1 e 2 t x x 0 1
• 其中特征值为 -1,-1.
• 但由于其解为
et x(t ) 0 (e t e t ) / 2 x(0) t e
• 当 x(0) 0时,若 t 则必有 x • 故平衡状态是不稳定的,即系统的实际表现是不收敛和发散的.从而采用特征值判断失效.
一.系统运动稳定性的性质.
• 运动稳定性的实质,归结为系统平衡状态的稳定性. • 平衡状态的稳定性问题实际就是:偏离平衡状态的受扰运动能否只依靠系统内部的结构因素,或者使之限制在平衡状态的有限临域内,或者使之同时返回平衡状态.
1.预备知识
1).标量函数V(x)性质意义: 令V(x)是向量x的标量函数,Ω是x空间包含原点的封闭有限区域. (1).如果对所有区域Ω中的非零向量x,有 V(x)>0,且在x=0处有V(x)=0则在域Ω内称 V(x)为正定.
(2).如果V(x)除原点以及某些状态等于零外,在域Ω内其余状态处都是正的,则V(x)称
• 定理二
前提如定理一. 1).对所有 x 0 时V(x)>0
( x) 0 ,但不恒等于零,则 2).对所有 x 0 时 V

第4章稳定性与李雅普诺夫方法

第4章稳定性与李雅普诺夫方法稳定性是评估一个系统的重要性能指标，它描述了系统在一定初始条件下是否能够保持其平衡状态。

稳定性分为两种类型，即渐近稳定性和有界稳定性。

渐近稳定性指的是系统随着时间的推移趋向于其中一平衡状态，而有界稳定性指的是系统在任意时刻的状态都保持在其中一有界范围内。

为了评估系统的稳定性，我们可以利用李雅普诺夫方法。

李雅普诺夫方法是一种通过构造李雅普诺夫函数来判断系统稳定性的方法。

李雅普诺夫函数是一个满足特定条件的函数，它的导数反映了系统状态变化的趋势。

通过对李雅普诺夫函数的导数进行分析，我们可以判断系统在任意时刻的状态是否会向着平衡状态演进。

在利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析时，通常需要满足以下条件：1.李雅普诺夫函数必须是正定函数，并且在系统的平衡点上取得最小值。

2.李雅普诺夫函数的导数必须是负定函数，即在系统的平衡点附近的任意一点，李雅普诺夫函数的导数都小于等于零。

如果满足以上条件，那么系统就是渐近稳定的。

反之，如果李雅普诺夫函数的导数是正定函数，那么系统就是不稳定的。

除了判断系统的稳定性外，李雅普诺夫方法还可以用于定量的稳定性分析。

通过分析李雅普诺夫函数的导数的大小，我们可以得到系统状态变化的速度。

如果李雅普诺夫函数的导数越小，那么系统的稳定性就越好。

反之，如果李雅普诺夫函数的导数越大，那么系统的稳定性就越差。

在实际应用中，李雅普诺夫方法广泛应用于控制系统、电路系统和机械系统等领域。

通过利用李雅普诺夫方法进行稳定性分析，我们可以评估系统的稳定性，并对系统进行控制，以保持系统的稳定状态。

总之，稳定性是一个评估系统性能的重要指标，通过利用李雅普诺夫方法可以判断系统的稳定性，并定量地分析系统的稳定性。

李雅普诺夫方法在控制系统、电路系统和机械系统等领域有广泛的应用前景。

自动控制理论第10章李雅普诺夫稳定性分析

２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时，不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言，至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。

《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析

向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ，则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统传递函数为：系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为

ch4李亚普诺夫稳定性分析

2019/2/14 18
稳定性判据：（定理2）
1 线性定常连续系统的传递函数是 G ，当且仅 ( s ) C ( sI A ) B 当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。
Im
图解表示：
征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的
根全部位于s平面的左半部。
[例1] 设系统方程为：x 06 2 x u , 1 1 1
y 01 x
试确定其内部稳定性。 [解 ] 6 det( I A ) ( 2 )( 3 ) 0 求系统的特征方程： 1 1
2019/2/14
6
1）二次型 V(x) xTPx为正定，或实对称矩阵P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正，即：
p11 p P 21 pn1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n pnn
p 11 p 12 p 0 , 0 , , P 0 如果 1 11 2 n p 21 p 22
围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范
围渐近稳定的。
2019/2/14 14
4、不稳定：（系统的自由响应是无界的）如果对于某一实数 0 ，不论取得多么小，由 S( ) 内
出发的轨迹，只要有一个轨迹超出 S ( ) ，则称平衡状态xe是
lim x (t)
t
x(t )为系统被调量偏离其平衡位置的大小，

为任意小的规定量。

稳定性与李雅普诺夫方法

只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
2024/10/11
25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
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平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
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本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论都有广泛旳应用。
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所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是尤其主要旳。

李雅普诺夫稳定性分析

第四章
李雅普诺夫稳定性分析
李雅普诺夫稳定性理论
李雅普诺夫理论在建立一系列关于稳定性概念的基础上，提出了判断系统稳定性的两种方法：间接法：利用线性系统微分方程的解来判断系统稳定性，又称之为李雅普诺夫第一法；直接法：首先利用经验和技巧来构造李雅普诺夫函数，进而利用李雅普诺夫函数来判断系统稳定性，又称为李雅普诺夫第二法。
这表明，当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
2)
证明 1) 设 xe 为线性定常系统(4-388+)的平衡状态，则由性质 e 0 和 Axe 0 x 可知，对于所有 t≥0 均有（可通过等式两边求微分证明下式）
xe e At xe (4 389) (4 390)
于是，考虑到 x(t; x0, 0) = eAtx0，有
x(t; x0 ,0) xe e At ( x0 xe ), t 0
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
设系统初始状态位于以平衡状态xe为球心、δ为半径的闭球域S(δ)内，即 ||x0 - xe|| ≤ δ， t =t0 (4-385) 若能使系统方程的解x(t；x0，t0)在t→∞的过程中，都位于以xe为球心、任意规定的半径为ε的闭球域S(ε)内，即 ||x(t；x0，t0)-xe|| ≤ ε，t≥t0 (4-386) 则称系统的平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。式中||· ||为欧几里德范数，其几何意义是空间距离的尺度。例如： ||x0 - xe||表示状态空间中， x0 点至 xe 点之间距离的尺度，数学表达式为： ||x0 - xe|| = [(x10 – x1e)2+ (x20 – x2e)2+… +(xn0 – xne)2]1/2 (4-385)

第4章李亚普诺夫稳定性分析

李亚普诺夫将判断系统稳定性的问题归纳为两种方法,即李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法。李亚普诺夫第一法(简称李氏第一法或间接法)是通过解系统的微分方程式，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路和分析方法与经典控制理论一致。对线性定常系统,只需解出全部特征根即可判断稳定性;对非线性系统,则采用微偏线性化的方法处理,即通过分析非线性微分方程的一次线性近似方程来判断稳定性,故只能判断在平衡状态附近很小范围的稳定性。
i ( 1 ) Δ 0 , i 1 , 2 , , n i
(4-19)
即
0 , i 为偶数 Δ ( i 1 , 2 , , n ) i 0 , i 为奇数
V(x) 0，即 V( x)为半正定的,则称V(x)为半负定的。（4）
V ( x ) 既可为正值也可为负值,则称 V ( x ) 为不定的。（5 ）
在式（4-15）中，若V(x)正定,则称权矩阵P是正定的,且记为 P 0 。以此类推,可定义二次型权矩阵P的负定、半正定、半负定,并分别记为 P0 、 P0 、P0 。
二次型函数 V(x) x Px 的定号性与其对应的权矩阵P的定号性一致,判别 V(x) xTPx 的符号只要判别实对称矩阵P的符号即可。
T
3．塞尔维斯特(Sylvester)准则
(1)实对称矩阵P为正定的充要条件是矩阵P的各阶主子行列式均大于零,即在式(4-16)中,有
Δ a 0 1 11
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7
第4章李亚普诺夫稳定性分析引言李亚普诺夫稳定性的基本概念李亚普诺夫稳定性定理线性定常系统李亚普诺夫稳定性分析线性时变系统李亚普诺夫函数的求法非线性系统李亚普诺夫稳定性分析李亚普诺夫直接法应用举例

稳定性与李雅普诺夫方法

二、平衡状态
系统x
f
(x,
t)中对所有t，必存在一些状态点x
，使
e
x
f
(x
e
,
t
)
0，该类状态点x
称为系统的平衡状态。
e
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡，不再随时间变化，即 x 0
xxe
平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点
求法：1、线性定常系统
x(t) Ax(t)
Axe (t) 0
4.2 李雅普诺夫第一法
▪ 李雅普诺夫第一法又称间接法。他的基本思路是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。
▪ ▪
一、线性系统的稳定性判据
线性系统
x& Ax Bu
y Cx
▪ 在平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。即：
▪ 对于状态渐进稳定 Wux (s) (sI A)1 B
x&1 x2 x&2 x1
0 1
A 1
0
▪ 其特征值为 1,2 j1 ，实部为零，因而不能由线性化方程得出原系统
在处稳定性的结论。这种情况要应用下面的李雅普诺夫第二法进行判
定。
4.3 李雅普诺夫第二法
▪ 如果一个系统被激励后，其存储的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达到最小值，那么这个平衡状态是渐进稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不减少，那么这个平衡状态就是李雅普诺夫意义下的稳定。
L
f2
xn
M M
▪
f x
称为雅克比矩阵。

第四章稳定性与李雅普诺夫方法

x (t; x0 , t0 )
(4-2)
中
x0 (t0 ; x0 , t0 ) ---表示x在初始时刻t0时的状态； t---是从开始观察的时间变量。
式（4-2）实际上描述了系统式（4-1）在n维状态空间中从初始条件 t0 , x0
出发的一条状态运动的轨迹，简称系统的运动或状态轨迹。
xe 的邻域。因此，若有x ∈s（ε）， 0
x xe ( x1 x1e ) ( x2 x2e ) ( xn xne )
2 2 2
1 2
同理，若方程式（4-1）的解位于球域s（ε）内，便有
(t; x0 , t0 ) xe
t t0
（4-7）
xe
称 xe 稳定。如果x（t）不仅有界而且有 lim x(t ) 0，收敛于原点，则称 xe 渐进
稳定。如果x（t）为无界，则称
xe 不稳定。在经典控制理论中，只有渐进稳
t
定的系统才称做稳定系统。只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐进稳定的系统则称临界稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
（2）由系统的传递函数
s 1 0 1 s 1 1 1 W s c sI A B 1 0 0 s 1 1 ( s 1)( s 1) s 1
可见传递函数的极点s＝－1位于s的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具有正实部的特征值 2 ＝+1被系统的零点s＝+1对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数W（s）不出现零、极点对消现象，并且矩阵A的特征值与系统传递函数W（s）的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性相一致。

李雅普诺夫稳定性方法

第六章李亚普诺夫稳定性分析

第5章李雅普诺夫稳定性分析

稳定性与李雅普诺夫

稳定性与李雅谱诺夫方法

李雅普诺夫稳定性的基本定理

第4章 稳定性与李雅普诺夫方法

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现代控制理论第四章-李雅普诺夫稳定性

第四章 稳定性与李雅普诺夫方法

李雅普诺夫稳定性分析的方法

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自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析

《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析

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