李雅普诺夫稳定性方法

李雅普诺夫稳定性方法

李雅普诺夫第一方法又称间接法，它是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。如果其解随时间而收敛，则系统稳定；如果其解随时间而发散，则系统不稳定。

李雅普诺夫第二方法又称直接法，它不通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性，而是借助李雅普诺夫函数对稳定性作出判断，是从广义能量的观点进行稳定性分析的。例如有阻尼的振动系统能量连续减小（总能量对时间的导数是负定的），系统会逐渐停止在平衡状态，系统是稳定的。由于李雅普诺夫第一方法求解通常很烦琐，因此李雅普诺夫第二方法获得更广泛的应用。李雅普诺夫第二方法的难点在于寻找李雅普诺夫函数。迄今为止，尚没有通用于一切系统的构造李雅普诺夫函数的方法。

对于系统[]t ,f x x

= ，平衡状态为,0e =x 满足()0f e =x 。如果存在一个标量函数()x V ,它满足()x V 对所有x 都具有连续的

一阶偏导数；同时满足()x V 是正定的；则 （1）若()x V 沿状态轨迹方向计算的时间导数()dt /)(dV V

x x = 为半负定，则平衡状态稳定；

（2） 若()x V 为负定，或虽然()x V 为半负定，但对任意初始状

态不恒为零，则平衡状态渐近稳定。进而当∞→∞→)(V x x 时，，则系统大范围渐近稳定；

（3） 若()x V

为正定，则平衡状态不稳定。 判断二次型

x x x P )(V τ=的正定性可由赛尔维斯特

（Sylvester ）准则来确定，即正定（记作V(x)>0）的充要条件为P 的所有主子行列式为正。如果P 的所有主子行列式为非负，为正半定（记作V(x)≥0）；如果-V(x)为正定,则V(x)为负定（记作V(x)<0）；如果-V(x)为正半定,则V(x)为负半定（记作V(x)≤0）。

例：

[]正定。

则)(V 01121412

110,04

1110,010x x x 1121412110x x x )(V 321321x x >---->>----=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ 例：

)x x (x x x )

x x (x x x 22212122221121+--=+-=

(0,0）是唯一的平衡状态。设正定的标量函数为

∞→∞→<+-=+--++-=+=∂∂+∂∂=+=)V(,且当0

)x 2(x )]x (x x x [2x )]x (x x [x 2x x 2x x

2x dt

dx x V dt dx x V )(V x x )V(2222122212122221121221122112

2

21x x x x

故系统在坐标原点处为大范围渐近稳定。