北邮高等数学期末模拟试题四及答案

八、（8 分）设
是方程
的两个不同的解，其中 和 为给定的连续函数，求证对
方程的任一解 有恒等式
其中 C 为某一常数。
九、（8 分）设 的原函数
，且
，当 时，有
，
试求 。
一、试解下列各题
1（. 4 分）由参数方程
确定了函数
，试求 关于 x 的微分（
）。
解：
2.（4 分）求极限 解：原式
3.（4 分）确定
，则
2.（6 分）计算
。
解：
3.（6 分）求
。
解：原式
4.（7 分）求微分方程
解：
四、设
解：对角线为
和
的通解。
。
，求以向量 a 和 b 为边的平行四边形的对角线的长度。
。故
。因此
。又
五、试解下列试题 1.（7 分）求微分方程
解：设
，则
。所以 。因此原方程化为
的通解。
。对应的特征方程为
。
2.（6 分）设
。求
，其中
。
解：
六、（7 分）计算
。
解：
七、（8 分）在区间
上，给定函数
面积之和最小？何时最大？
，问当 t 为何值时，图中的阴影部分 和 的
解：A 的坐标为
，故
，所以
。因为
，求得驻点
，边界
点
。比较
取最小值；当 时，
八、（8 分）设
取最大值 是方程
，因此，当
时，
的两个不同的解，其中 和
为给定的连续函数，求证对方程的任一解 有恒等式
。
2.（6 分）计算
。
3.（6 分）求
四、设 五、试解下列试题 1.（7 分）求微分方程
。
4.（7 分）求微分方程
的通解。
，求以向量 a 和 b 为边的平行四边形的对角线的长度。
的通解。
2.（6 分）设
。求
，其中Fra Baidu bibliotek
。
六、（7 分）计算
。
七、（8 分）在区间
上，给定函数
，问当 t 为何值
时，图中的阴影部分 和 的面积之和最小？何时最大？
其中 C 为某一常数。 证：由通解公式
，其中 为对应于解 的某一常数。
也满足公式并分别对应于常数 和 ，且
，于是
九、（8 分）设 的原函数
，且
，当 时，有
，
试求 。 解：因为
及
有
故
因此 故
解：
在
时，
。所以该函数在
二、试解下列试题
1.（5 分）设
的单调区间。 连续，当 时，恒有 单调递增。
。仅当
。试确定 之值，使 在 处连续。
解：
。令
得 。故当
时， 在 处连续。
2.（5 分）设
，求 。
解：当
时，有
，得
。令
，
。
3.（5 分）已知
，求 。
解： 三、试解下列各题 1.（6 分）求
，故 。
解：令
模拟试题 一、试解下列各题 1（. 4 分）由参数方程 2.（4 分）求极限 二、试解下列试题
1.（5 分）设
2.（5 分）设 三、试解下列各题 1.（6 分）求
确定了函数
，试求 关于 x 的微分（
）。
3.（4 分）确定
的单调区间。
。试确定 之值，使 在 处连续。
，求 。 3.（5 分）已知
，求 。