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北邮高等数学期末模拟试题四及答案

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北京邮电大学-高数试卷2018年6月(A卷)试题及答案-1

北京邮电大学-高数试卷2018年6月(A卷)试题及答案-1

3
令
S(x)

n1
2n 9n
1
x
2
n,
,
S1 ( x)

n1
2n 9n
1
x
2n
2
,
x (3,3)
.
x
0 S1(x)dx

n1
1 9n
x 2n1

1 x
n1
1 9n
x 2n

1 x2 9 x 1 x2 9

9
x x2
两边求导得
S1 ( x)
n0
n0
间是
.
填: (2, 4)
3. 设 z z(x, y) 是由方程 x2 y2 z (x y z) 所确定的函数，其中
是可导函数，且 1, 则 dz
.
填：
dz

2x 1

dx

2y 1

dy
4.
曲
线

:

x
2 y2 x y


9
x x2


(9 x 2 ) 2x 2 (9 x2 )2

9 x2 (9 x2 )2
所以
S ( x)

n1
2n 1 9n
x
2n

x 2S1(x)

x 2(9 (9
x2) x2) 2
,
x

(3,
3)
五 (8
分 ).
计算曲线积分 I
y
2
f

22

y 3

高等数学下期末试题（七套附答案）

高等数学下期末试题（七套附答案）

⾼等数学下期末试题（七套附答案）⾼等数学（下）试卷⼀⼀、填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为（2）已知函数，则（3）交换积分次序，＝（4）已知是连接两点的直线段，则（5）已知微分⽅程，则其通解为⼆、选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平⾯为，则（） A. 平⾏于 B. 在上 C.垂直于D. 与斜交（2）设是由⽅程确定，则在点处的（） A.B.C. D.（3）已知是由曲⾯及平⾯所围成的闭区域，将在柱⾯坐标系下化成三次积分为（） A. B. C.D.（4）已知幂级数，则其收敛半径（）A.B. C.D.三、计算题（每题8分，共48分）1、求过直线:且平⾏于直线：的平⾯⽅程2、已知，求，3、设，利⽤极坐标求4、求函数的极值5、计算曲线积分，其中为摆线从点到的⼀段弧 6、求微分⽅程满⾜的特解得分阅卷⼈四.解答题（共22分）1、利⽤⾼斯公式计算，其中由圆锥⾯与上半球⾯所围成的⽴体表⾯的外侧2、（1）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（）（2）在求幂级数的和函数（）⾼等数学（下）试卷⼆⼀．填空题（每空3分，共15分）（1）函数的定义域为；（2）已知函数，则在处的全微分；之间的⼀段弧，则；（5）已知微分⽅程，则其通解为 .⼆．选择题（每空3分，共15分）（1）设直线为，平⾯为，则与的夹⾓为（）；A. B. C. D.（2）设是由⽅程确定，则（）； A.B.C. D.（3）微分⽅程的特解的形式为（）； A.B.C. D.（4）已知是由球⾯所围成的闭区域, 将在球⾯坐标系下化成三次积分为（）； A B.C.D.（5）已知幂级数，则其收敛半径（）.B. C.D.三．计算题（每题8分，共48分）得分阅卷⼈5、求过且与两平⾯和平⾏的直线⽅程.6、已知，求，.8、求函数的极值.得分9、利⽤格林公式计算，其中为沿上半圆周、从到的弧段.6、求微分⽅程的通解.四．解答题（共22分）1、（1）（）判别级数的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛；（2）（）在区间内求幂级数的和函数 .2、利⽤⾼斯公式计算，为抛物⾯的下侧⾼等数学（下）模拟试卷三⼀．填空题（每空3分，共15分）1、函数的定义域为.2、= .3、已知，在处的微分 .4、定积分 .5、求由⽅程所确定的隐函数的导数 .⼆．选择题（每空3分，共15分）1、是函数的间断点（A）可去（B）跳跃（C）⽆穷（D）振荡2、积分= .(A) (B)(C) 0 (D) 13、函数在内的单调性是。

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案)

高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。

选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。

3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。

4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。

5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。

二。

填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。

2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。

3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。

4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。

北京邮电大学 高等数学(全)参考答案

北京邮电大学 高等数学(全)参考答案

北京邮电大学高等数学答案一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）设的定义域为则的定义域为___________.函数是定义域内的____________.A.周期函数B.单调函数C.有界函数D.无界函数设，则__________.函数设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则时与无穷小时,与为等价无穷小则__________.____________._________.M.0N. 1下列计算极限的过程，正确的是____________.设在处连续,则_________.Q. 2设 ,则（）设且可导，则（）已知，则（）R. 1设，则（）设设则曲线处的切线方程为设存在，则等于（设函数可导，则（函数函数的周期是___________.是____________.A.单调函数B.周期函数C.D.函数是___________.E.F.G.非奇非偶函数H.既是奇函数又是偶函数设（为常数），则___________.设，则__________.下列各对函数相同的是________.I.与J.与与设与分别是同一变化过程中的两个无穷大量，则存在是W.无关的条件设在处连续，且时，，则_________.AA.2设函数，则的连续区间为______________.设且可导，则（）设，则（）设则( )设，则（）设,且,则( )设设则的定义域为函数函数F.周期函数G.H.函数是___________.I.J.K.L.既是奇函数又是偶函数下列函数中为奇函数的是__________.设（为常数），则___________.函数的定义域是____________._____________.O. 2____________.设在处连续，且，则_________.设函数，则的连续区间为设且可导，则（设则(设,且,则( )W. 1设,则( )X.99Y.99!曲线在点(0,1)处的切线方程为( )设曲线在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为（）CC.(1,1)设函数可导，则（）一、单项选择题（共20道小题，共100.0分）1.若设则的定义域为2.函数G.有界函数3.(错误)下列函数中为奇函数的是__________.4.(错误)当时，与比较是______________.A.高阶无穷小C.非等价的同阶无穷小D.低阶无穷小5._________.A.0B. 16.(错误)下列计算极限的过程，正确的是____________.7.(错误)下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是_____________.8.(设9.(存在是在处连续的10.(错误)设函数，则的连续区间为______________.11.(错误)函数的连续区间为___________.12.设且可导，则（）13.(错误)设则（）14.(错误)设则( )15.(错误)16.(设存在，则等于（17.设在点可导，则（1.(若，，则___________.2.函数的反函数是____________.3.(错误)函数的周期是___________.4.(错误)函数是定义域内的____________.A.周期函数5.下列函数中为奇函数的是__________.6.(错误)设（为常数），则___________.7.(错误)8.(的定义域为9.(与与与与10.(_____________.C. 211.(错误)____________.A. 112.(错误)___________.A.0B. 113.存在是在处连续的_________.D.无关的条件14.(错误)设 ,则（）15.(错误)设则( )16.(17.(设则18.(处的切线方程为(19.(设曲线在点20.(设函数可导，则（）。

北邮离散数学期末复习题

北邮离散数学期末复习题

北邮离散数学期末复习题 第一章集合论 一、判断题（1）空集是任何集合的真子集． （ 错 ）（2）{}φ是空集． （ 错 ） （3）{}{}a a a },{∈ （ 对 ） （4）设集合{}{}{}{}AA 22,1,2,1,2,1⊆=则. ( 对 ） （5）如果B A a ⋃∉，则A a ∉或B a ∉． （ 错 ）解 B A a ⋃∉则B A B A a ⋂=⋃∈，即A a ∈且B a ∈，所以A a ∉且B a ∉（6）如果A ∪.,B A B B ⊆=则 （ 对 ）（7）设集合},,{321a a a A =，},,{321b b b B =，则},,,,,{332211><><><=⨯b a b a b a B A （ 错 ）（8）设集合}1,0{=A ，则}1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><=φφρ是A2到A 的关系． （ 对 ）解 A 2}},1{},0{,{A φ=， =⨯A A 2}1,,0,,1},1{,0},1{,1},0{,0},0{,1,,0,{><><><><><><><><A A φφ（9）关系的复合运算满足交换律． （ 错 ）（10）.条件具有传递性的充分必要上的关系是集合ρρρρA =ο （ 错 ）（11）设.~,上的传递关系也是则上的传递关系是集合A A ρρ ( 对 ) （12）集合A 上的对称关系必不是反对称的. （ 错 ）（13）设21,ρρ为集合A 上的等价关系, 则21ρρ⋂也是集合A 上的等价关系( 对 )（14）设ρ是集合A 上的等价关系, 则当ρ>∈<b a ,时， ρρ][][b a = ( 对 )（15）设21,ρρ为集合 A 上的等价关系, 则 ( 错 )二、单项选择题（1）设R 为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 （ A ）A. {}R x x x ∈=-且,01|2 B ．{}R x x x ∈=+且,09|2C. {}R x x x x ∈+=且,1|D. {}R x x x ∈-=且,1|2（2）设B A ,为集合，若φ=B A \，则一定有 （ C ）A. φ=B B ．φ≠B C. B A ⊆ D. B A ⊇（3）下列各式中不正确的是 （ C ）A. φφ⊆ B ．{}φφ∈ C. φφ⊂ D. {}}{,φφφ∈ （4）设{}}{,a a A =，则下列各式中错误的是 （ B ）A. {}A a 2∈ B ．{}A a 2⊆ C. {}A a 2}{∈ D. {}Aa 2}{⊆ （5）设{}2,1=A ，{}c b a B ,,=，{}d c C ,=，则)(C B A I ⨯为 （ B ） A. {}><><c c ,2,1, B ．{}><><c c ,2,,1C. {}><><2,,,1c cD. {}><><2,,1,c c（6）设{}b A ,0=，{}3,,1b B =，则B A Y 的恒等关系为 （ A ） A. {}><><><><3,3,,,1,1,0,0b b B ．{}><><><3,3,1,1,0,0C. {}><><><3,3,,,0,0b bD. {}><><><><0,3,3,,,1,1,0b b（7）设{}c b a A ,,=上的二元关系如下，则具有传递性的为 （ D ）A. {}><><><><=a b b a a c c a ,,,,,,,1ρB ． {}><><=a c c a ,,,2ρC. {}><><><><=c b a b c c b a ,,,,,,,3ρD. {}><=a a ,4ρ（8）设ρ为集合A 上的等价关系，对任意A a ∈，其等价类[]ρa 为 （ B ）A. 空集； B ．非空集； C. 是否为空集不能确定； D. }|{A x x ∈.（9）映射的复合运算满足 （ B ）A. 交换律 B ．结合律 C. 幂等律 D. 分配律（10）设A ，B 是集合，则下列说法中（ C ）是正确的.A ．A 到B 的关系都是A 到B 的映射B ．A 到B 的映射都是可逆的C ．A 到B 的双射都是可逆的D ．B A ⊂时必不存在A 到B 的双射（11）设A 是集合，则（ B ）成立.A ．A A #22#=B ．A X X A⊆↔∈2 C ．{}A2∈φ D ．{}AA 2∈ （12）设A 是有限集（n A =#），则A 上既是≤又是～的关系共有（B ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．n 个三、填空题1. 设}}2,1{,2,1{=A ，则=A2____________.填}}},2,1{,2{}},2,1{,1{},2,1{}},2,1{{},2{},1{,{2A A φ=2.设}}{,{φφ=A ，则A 2= . 填}}},{{},{,{2A A φφφ=3.设集合B A ,中元素的个数分别为5#=A ，7#=B ，且9)(#=⋃B A ，则集合B A ⋂中元素的个数=⋂)(#B A .34.设集合}4,1001|{Z x x x x A ∈≤≤=的倍数，是，}5,1001|{Z x x x x B ∈≤≤=的倍数，是，则B A Y 中元素的个数为 .405.设 },{b a A =, ρ 是 A2 上的包含于关系，,则有ρ= .},,},{,}{},{,},{,}{},{,,,}{,,}{,,,{><><><><><><><><><A A A b b b A a a a A b a φφφφφ6.设21,ρρ为集合 A 上的二元关系, 则=21ρρο .~1~2ρρο7.集合A 上的二元关系ρ为传递的充分必要条件是 ．ρρρ⊆ο8. 设集合{}{}><><==0,2,2,02,1,01ρ上的关系A 及集合A 到集合{}4,2,0=B 的关系=2ρ｛><b a ,|><b a ,A b a B A ∈⨯∈,且∩}=21,ρρο则B ___________________.填 }2,2,0,2,2,0,0,0{><><><><四、解答题1. 设 A d c b a A },,,,{=上的关系 },,,,,,,,,,,,,,,{><><><><><><><><=c d d c a b b a d d c c b b a a ρ（1）写出ρ的关系矩阵；（2）验证ρ是A 上的等价关系；（3）求出A 的各元素的等价类。

《高等数学》试题四(后附答案解析)

《高等数学》试题四(后附答案解析)

《高等高等数学数学数学》试》试》试题题四考试时间：120分钟一.选择题1.如果∫∫=)()(x dg x df ,则下述结论中不正确的是（）.A ）、()()f x g x =B ）、()()f xg x ′′=C ）、()()df x dg x =D ）、∫∫′=′)()(x g d x f d 2.2xxedx =∫()A ）、221124x xxe e c −+B ）、2224x x xe e c −+C ）、2(12)xx x e +−D ）、221124x xxe e −3.=∫（）A ）、1B ）、4C ）、4π−D ）、4π4.设bx x f sin )(=，则=′′∫dx x f x )(（）A ）、C bx bx b x+−sin cos B ）、C bx bx b x+−cos cos C ）、Cbx bx bx +−sin cos D ）、Cbx b bx bx +−cos sin 5.设x xe dt tf 20)(=∫，则=)(x f （）A ）、x e 2B ）、x xe 22C ）、xe 22D ）、122−x xe 6.23(sin )x x dx ππ−=∫()A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π7.=++∫−dx x x x )1(ln 2112()A ）、0B ）、π2C ）、1D ）、22π8.若11(+=x xxf ，则dx x f ∫10)(为（）A ）、0B ）、1C ）、2ln 1−D ）、2ln 9.设)(x f 在区间[]b a ,上连续，∫≤≤=xab x a dt t f x F )()()(，则)(x F 是)(x f 的（）.A ）、不定积分B ）、一个原函数C ）、全体原函数D ）、在[]b a ,上的定积分10.下列各式正确的是（）A ）、tan ln sin xdx x C=−+∫B ）、cot ln cos xdx x=∫C ）、2arctan 1dxdx x cx =++∫D ）、21(13)(13)2x dx x −=−∫11.若(sin )y f x =，则dy =（）．A)、(sin )sin f x xdx ′B）、(sin )cos f x xdx ′C）、(sin )f x dx′D）、(sin )cos f x d x′12.设函数22,1()1,1x f x x ax b x ⎧≤⎪=+⎨⎪+>⎩在1x =处可导，则有（）A)、1,2a b =−=B）、1,0a b ==C）、1,0a b =−=D）、1,2a b =−=−13.221x a y +=在区间],[a a −上应用罗尔定理,结论中的点ξ=().A 0B 2C23D 314.曲线y e e x x=−−的凹区间是()A ()0，∞−;B ()∞+，0;C()1，∞−;D()∞+∞−，15.函数323x x y −=在区间]3,1[上的最大值为（）A 4;B 0;C 1;D 3二.填空题1.∞→x lim =+−+−223)12)(1(12x x x x __________.2.xx x 11lim 20−+→=______.3.若∫+=C e dx e x f xx 11)(，则∫=dx x f )(4.=+∫313xx dx 5.01cos 2limsin x xx x→−=三.判断题1.xxy +−=11ln是奇函数.（）2.若函数()f x 在0x 处连续，则()f x 在0x 处极限存在.（）3.函数()f x 在],[b a 内连续，且)(a f 和)(b f 异号，则()0f x =在),(b a 内至少有一个实数根.（）4.2aaa π−=∫（0>a ）.（）5.2x y e −=在区间(,0)+−∞∞和（1，）内分别是单调增加，单调增加.()四.解答题1.求11022(lim +→−x x x .2.求20sin sin tan limx x x x x −→3.求cos(23)x dx −∫.4.比较大小11200,xdx x dx ∫∫.5.求曲线222333x y a +=在点,)44a a 处的切线方程和法线方程6.'y y =设求7.计算0sin .x xdx π∫8.计算dxxx xx ∫+−cos sin cos sin 9.证明∫∫=22.)(cos )(sin ππdx x f dx x f二.填空题1.412.03.C x +14.6π5.2三.判断题1.T 2.T 3.T 4.F 5.F 四.解答题1.21−e 2.21一.选择选择题题1.A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.A 7.A 8.D 9.B 10.C2.11.B 12.A 13.B 14.B 15.A参考答案3.1cos(23)cos(23)(23)31sin(23)3x dx x d x x C −=−−−=−−+∫∫4.dxx dx x ∫∫121≻5.0,x y y x +==6.7.解：0sin .x xdx π∫π=8.C x x x x d x x dx x x x x ++−=++−=+−∫∫cos sin ln )cos (sin cos sin 1cos sin cos sin 9.提示：令t x =−2π，则dtdx =。

高数期末考试试题及答案[1]

高数期末考试试题及答案[1]

北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2）1．极限2221lim 1x x yx y x +→∞→⎛⎫+= ⎪⎝⎭2e ．2．设()2y z x y x ϕ=++，其中ϕ具有连续二阶偏导数，则2z x y∂∂∂=2x ()''21()ln 1y x y x y x ϕ-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4P π处的法线方程为41122111z x y π---==-．4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0）处的方向导数的最大值为5．设2x u v z y u vz ⎧=-++⎨=+⎩确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ∂=∂12zzu -+． 6．幂函数21(1)9nnn x ∞=-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2,10()1,01x x f x x x --<≤⎧=⎨-<≤⎩，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于12． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2()xdydz ydzdx zdxdyx y z ++=++∑⎰⎰4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ⨯=3224x y z x z ---．10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 212565xx x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．解：若用泰勒级数2()0000000''()()()()()()'()()2!!n n f x x x fx x x f x f xf x x x n --=+-++++=2()1''(2)(2)(2)(2)'(2)(2)42!!n nf x f x f x n ---+-++++ ，不易。

2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷适用专业：应化 考试日期：年 月 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 ． 2.设y zx =，则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=，则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ A ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解，则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝（ D ）.(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。

04期末考试试卷(含答案)

04期末考试试卷(含答案)

《高数》试卷（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin y x z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y xB.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）.A.3B.4C.5D.65.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）.A.0B.1C.1-D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1x z（ ）.A.6B.7C.8D.97.若几何级数∑∞=0n n ar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()n n xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na 是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.cx e y =B.x ce y =C.x e y =D.xcxe y = 二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y条件下的特解为______________________________.三.计算题（5分⨯6） 1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,y z x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.5.求微分方程023=+'+''y y y 的通解.四.应用题（10分⨯2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dtx d -=22.当0=t时，有0x x =，0v dtdx =）试卷4参考答案一.选择题 CBABA CCDBA.二.填空题1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx e xy +.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n n x . 5.x y =.三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x y z y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x x e C e C y --+=221.四.应用题1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.。

高等数学期末复习题答案

高等数学期末复习题答案

《高等数学》期末练习题答案一、填空题：一、填空题：1、点10918M (,,)到点21715M (,,)之间的距离12M M =14 ，2、()345x xy x ¶+=¶2125x y +， 3、342dy x y y,dx +==23324x y - ，4、微分方程58dy y x dx+=分离变量,得5(8)ydy x dx =-，5、微分方程7120y y y ¢¢¢-+=的特征方程的根为123,4r r ==，6、()11A --= A ， 7、EA = A ，8、若幂级数n n n a x ¥=å的系数满足条件1lim2n n n a a +®¥=,则收敛半径R =12，9、当l= 1 时，齐次方程12120x x x x l +=ìí+=î有非零解有非零解1010、若、若()517A =,253013B æöç÷=-ç÷ç÷-èø，则AB =()046， 1111、掷一枚骰子，出现点数大于、掷一枚骰子，出现点数大于4的概率是13，1212、对甲、乙两厂检查，设、对甲、乙两厂检查，设A ={={甲厂合格甲厂合格甲厂合格}}，B ={={乙厂合格乙厂合格乙厂合格}}，则事件，则事件{{甲、乙两厂至少一个不合格}用A B 、的运算关系表示为：A B A B + 或 ，，1313、已知、已知()0.5,()0.8,()0.4p A p B p AB ===,则()p A B += 0.9 ，，1414、设、设()0.5,()0.3,p B p A B ==则 ()p AB = 0.15 ，，1515、设、设x 是连续性随机变量，密度函数()51p x x =-,则{5}P x == 0 。

【北师大版】高中数学必修四期末模拟试题附答案

【北师大版】高中数学必修四期末模拟试题附答案

一、选择题1．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()33f π=，且()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．142．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 23b A a B b c -=-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 3．函数()()sin 0y x πϕϕ=+>的部分图象如图所示,设P 是图象最高点,,A B 是图象与x 轴的交点,记APB θ∠=,则sin 2θ的值是（ ）A ．1665B ．6365C ．1663-D ．1665-4．若113sin cos αα+=，则sin cos αα=（ ） A ．13-B ．13C ．13-或1D ．13或1- 5．已知点G 是ABC 的重心，(),AG AB AC R λμλμ=+∈，若120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-则AG 的最小值是（ ）A ．33B ．22C ．12D ．236．如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的个数为（ ）①当0x =时，[]2,3y ∈②当P 是线段CE 的中点时，12x =-，52y =③若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段 ④x y -的最大值为1- A ．1B ．2C ．3D ．47．已知1a =，2b =，则a b a b ++-的最大值等于（ ） A ．4B ．37+C ．25D ．58．如图，在平行四边形ABCD 中，点E F 、满足2,2BE EC CF FD ==，EF 与AC 交于点G ，设AG GC λ=，则λ=（ ）A ．97B ．74C ．72D ．929．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图像如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A ．()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．1()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 10．函数()2cos 3⎛⎫=+ ⎪⎝⎭πf x x 在[]0,π的单调递增区间是（ ） A ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2π,π311．已知函数()tan()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭和7,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（ ） A ．6πB ．6π-C ．3π D ．3π-12．函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，为了得sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移3π个单位长度 B ．向右平移4π个单位长度 C ．向左平移3π个单位长度D ．向左平移4π个单位长度 二、填空题13．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且PB QD PQ +=，则PAQ ∠的大小为__________．14．若函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________.15．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________.16．已知平面向量a ，b ，c ，d 满足1a b ==，2c =，0a b ⋅=，1c d -=，则2a b d ++的取值范围为______.17．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 18．已知向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则21x y+的最小值是__________.19．若将函数()cos 212f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是_________．①()g x 的最小正周期为π ②()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③12x π=不是函数()g x 图象的对称轴 ④()g x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-20．函数()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号）. ①图象C 关于直线1112π=x 对称；②图象C 关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数； ④由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . 三、解答题21．已知723sin(),(,)41024x x πππ-=∈. （1）求sin x 的值； （2）求cos(2)6x π+的值.22．已知函数2()2cos 23sin sin 1(0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，其最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =，求函数()y g x =在区间70,12π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域. 23．已知(),2A x ，()2,3B ，()2,5C -.（1）若1x =，判断ABC 的形状，并给出证明； （2）求实数x 的值，使得CA CB +最小；（3）若存在实数λ，使得CA CB λ=，求x 、λ的值. 24．函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图所示：（1）求图中a ，b 的值及函数()f x 的递增区间； （2）若[0,]απ∈，且()2f α=α的值．25．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m .26．如图，在平面直角坐标系xOy 中，31,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）若1()3f θ=，求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用辅助角公式，求得()f x 的解析式，根据题意，可求得ϕ的表达式，根据tan a ϕ=，可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭，又根据()33f π=，可求得23cos 61a πω⎛⎫= ⎪+⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据同角三角函数的关系，可求得a 的值，即可求得ω的表达式，根据ω的范围，即可求得答案.【详解】()2sin cos 1sin(),tan f x x a x a x a ωωωϕϕ=+=++=，因为22T ππω=<，所以1ω>，因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈，即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6aπω⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()3f π3πωϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈，解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13. 故选：C 【点睛】解题的关键是根据题意，求得ϕ的表达式，代入求得tan 6πω⎛⎫⎪⎝⎭，cos 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.2．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =，∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =，又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=，∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.3．A解析：A 【分析】过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，由三角函数性质得2AB =，12AD =，1DP =，32DB =，故1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=，进而得()tan tan 8APD BPD θ=∠+∠=，故2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++. 【详解】解：根据题意，如图，过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ， 由于函数的最小正周期为22T ππ==，最大值为max 1y =，所以2AB =，12AD =，1DP =，32DB =， 所以在直角三角形ADP 和直角三角形BDP 中，1tan 2APD ∠=，3tan 2BPD ∠=， 所以()tan tan tan APB APD BPD θ=∠=∠+∠tan tan 28311tan tan 122APD BPD APD BPD ∠+∠===-∠⋅∠-⨯， 所以2222sin cos 2tan 16sin 22sin cos sin cos tan 165θθθθθθθθθ====++. 故选：A.【点睛】本题考查三角函数的性质，同角三角函数关系，正切的和角公式，考查运算能力，是中档题.4．A解析：A 【分析】将已知式同分之后，两边平方，再根据22sin cos 1αα+=可化简得方程23(sin cos )2sin cos 10αααα--=，解出1sin cos 3αα=-或1，根据111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，得出1sin cos 3αα=-.【详解】由11sin cos 3sin cos sin cos αααααα++== 两边平方得22(sin cos )(sin cos )αααα+ 222sin cos 2sin cos (sin cos )αααααα++=212sin cos 3(sin cos )αααα+==23(sin cos )2sin cos 10αααα∴--=，1sin cos 3αα∴=-或1，111sin cos sin 2,222ααα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，1sin cos 3αα∴=-.故选：A. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，属于中档题，要注意对sin cos αα范围的判断.5．D解析：D 【分析】先根据重心得到()13AG AB AC =+，设0,0AB x AC y =>=>，利用数量积计算4xy =，再利用重要不等式求解()2219A AGB AC =+的最小值，即得结果.【详解】点G 是ABC 的重心，设D 为BC 边上的中点，则()2133AG AD AB AC ==+， 因为120,2,A AB AC ∠=︒⋅=-设0,0AB x AC y =>=>，则cos1202xy ︒=-，即4xy =，故()()()222211144249999AG x y x B AC y A =+-≥-=+=，即23AG ≥， 当且仅当2x y ==时等号成立，故AG 的最小值是23. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键在于通过重心求得向量关系()13AG AB AC =+，利用数量积得到定值，才能利用重要不等式求最值，突破难点，要注意取条件的成立.6．C解析：C 【分析】利用向量共线的充要条件判断出①错，③正确；利用向量的运算法则求出OP ，求出x ，y 判断出②正确,利用三点共线解得④正确 【详解】当0x =时，OP yOB =，则P 在线段BE 上，故13y ≤≤，故①错 当P 是线段CE 的中点时，13()2OP OE EP OB EB BC =+=++ ()11153(2)32222OB OB AB OB OB OB OA OA OB =+-+=-+-=-+，故②对x y +为定值1时，A ，B ，P 三点共线，又P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对如图，过P 作//PM AO ，交OE 于M ，作//PN OE ，交AO 的延长线于N ， 则：OP ON OM =+；又OP xOA yOB =+；0x ∴≤，1y ≥；由图形看出，当P 与B 重合时：01OP OA OB =⋅+⋅；此时x 取最大值0，y 取最小值1；所以x y -取最大值1-，故④正确 所以选项②③④正确. 故选：C 【点睛】结论点睛：若OC xOA yOB =+，则,,A B C 三点共线1x y ⇔+=.7．C解析：C 【分析】利用基本不等式得到2222a b a b a b a b ++-++-≤，然后利用平面向量数量积运算求解. 【详解】因为1a =，2b =，所以222222252a b a ba b a b a b ++-++-≤=+=，当且仅当a b a b +=-，即a b ⊥时取等号， 故选：C【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.8．C解析：C【分析】设H是BC上除E点外的令一个三等分点，判断出G是三角形CFH的重心，得出,CG CO的比例，由此得出λ的值.【详解】设H是BC上除E点外的令一个三等分点，连接FH，连接BD交AC于O，则//BD FH.在三角形CFH中，,CG FG是两条中线的交点，故G是三角形CFH的重心，结合23 CH CFBH DF==可知24.5CGCO=，由于O是AC中点，故224.529CGAC==⨯.所以72AGCG=，由此可知72λ=，故选C.【点睛】本小题主要考查平行线分线段成比例，考查三角形的重心，考查比例的计算，属于中档题. 9．C解析：C【分析】本题首先可根据33π44T求出ω，然后根据当43xπ=时函数()f x取最大值求出ϕ，最后代入30,2⎛⎫-⎪⎝⎭，即可求出A的值.【详解】因为4π7π3π3124，所以33π44T，Tπ=，因为2Tπω=，所以2ω=，()sin(2)f x A xϕ=+，因为当43xπ=时函数()sin(2)f x A xϕ=+取最大值，所以()42232k k Zππϕπ⨯+=+∈，()26k k Zπϕπ=-+∈，因为2πϕ<，所以6πϕ=-，()sin 26f x A x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 代入30,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，3sin 26A π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得3A =，()3sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数图像求函数解析式，对于()sin()f x A x ωϕ=+，可通过周期求出ω，通过最值求出A ，通过代入点坐标求出ϕ，考查数形结合思想，是中档题.10．C解析：C 【分析】先求出函数的单调增区间，再给k 取值即得解. 【详解】 令22223+<+<+ππk πx πk π(k ∈Z ) ∴42233+<<+ππk πx k π(k ∈Z )， 所以函数的单调递增区间为4[2,2]33ππk πk π++(k ∈Z )， 当1k =-时，5233ππx -<<- 当0k =时，433x ππ<<又∵[]0,x π∈， 故选：C 【点睛】方法点睛：求三角函数()cos()f x A wx ϕ=+的单调区间，一般利用复合函数的单调性原理解答：首先是对复合函数进行分解，接着是根据复合函数的单调性原理分析出分解出的函数的单调性，最后根据分解函数的单调性求出复合函数的单调区间.11．A解析：A 【分析】由正切函数的图象性质，得出相邻两个对称中心之间的距离为半个周期，可求出T ，然后由T πω=求出ω，然后再代点讨论满足题意的ϕ，即可得出答案. 【详解】由正切函数图象的性质可知相邻两个对称中心的距离为2T ，得72263T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.则由1T πω==得1ω=，即得1ω=±. 由2πϕ<，且在区间54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则可得1ω=-， ∴()()()tan tan f x x x ϕϕ=-+=--. 由2,32k k Z ππϕ-=∈得2,32k k Z ππϕ=-∈，因2πϕ<，可得6π=ϕ或3π-，当3πϕ=-时，()tan +3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由+,232k x k k Z πππππ-<<+∈，得5,66k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为5,,66k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由54,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭7,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭⊄，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不是单调递减， 所以3πϕ=-不满足题意；当6π=ϕ时，()tan 6f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由,262k x k k Z πππππ-<-<+∈，得2,33k x k k Z ππππ-<<+∈， 则函数()f x 的单调减区间为2,,33k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭， 令1k =，由25,3354,63ππππ⎛⎫⊂⎛⎫ ⎪⎝ ⎪⎝⎭⎭，得函数()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减， 所以6π=ϕ满足题意； 综上可得：6π=ϕ满足题意. 故选：A.【点睛】关键点睛：正切型函数的对称中心和单调性的问题，通常采用代入检验法，注意正切函数的对称中心为0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭，. 12．B解析：B 【分析】首先根据图象求函数的解析式，再根据左右平移规律判断选项.【详解】 由图象可知37341264T T ππππ⎛⎫=--=⇒= ⎪⎝⎭， 即22ππωω=⇒=，当6x π=-时，22,6k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭， 解得：2,3k k Z πϕπ=+∈，2πϕ<，3πϕ∴=，()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，22643x x πππ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， ∴ 要得到sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位. 故选：B 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.二、填空题13．【分析】先分别设则在中由勾股定理得再分别表示出之后利用正切的和角公式求即可解决【详解】解：设则因为是直角三角形所以由勾股定理得：化简得在中在中所以又因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查正切的和角公解析：4π【分析】先分别设PB x =，DQ y =，则在PCQ △中，由勾股定理得1xy x y -=+，再分别表示出tan BAP ∠，tan DAQ ∠，之后利用正切的和角公式求()tan BAP DAQ ∠+∠即可解决.【详解】解：设PB x =，DQ y =，则1CP x =-，1CQ y =-， 因为PCQ △是直角三角形，PB QD PQ +=，所以由勾股定理得：()()()22211x y x y -+-=+，化简得1xy x y -=+, 在ABP △中，tan BPBAP x AB∠==， 在ADQ △中，tan DQDAQ y AD∠==， 所以()tan tan tan 11tan tan 1BAP DAQ x yBAP DAQ DAQ BAP xy∠+∠+∠+∠===-∠∠-，又因为02BAP DAQ π<∠+∠<，所以，=4PAQ π∠故答案为：4π 【点睛】本题主要考查正切的和角公式，数据处理能力与运算能力，是中档题.14．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析：[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+，做出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】解：因为()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈所以()2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+，[0,]x π∈，由[]0,x π∈，可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()f x ，[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解，画出()f x 的图象如下所示：依题意可得46m ≤<时，函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，故答案为：[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．15．【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题解析：45-【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值． 【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．16．【分析】用几何意义求解不妨设则在圆心在原点半径为2的圆上设则在以为圆心半径为1的圆上运动后形成的轨迹是圆心在原点大圆半径为3小圆半径为1的圆环表示圆环内的点与定点的距离由图形可得最大值和最小值【详解解析：0,53⎡⎤+⎣⎦【分析】用几何意义求解．不妨设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，则(,)C x y 在圆心在原点，半径为2的圆上，设(),d x y '='，则(,)D x y ''在以C 为圆心半径为1的圆上，C 运动后，D 形成的轨迹是圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环，2a b d ++表示圆环内的点D 与定点()2,1P --的距离，由图形可得最大值和最小值． 【详解】令()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，设C 的坐标为(),x y ，C 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆上.设(),d x y '='，D 的坐标为(),x y ''，D 的轨迹为圆心在原点，大圆半径为3，小圆半径为1的圆环上.()22,1a b d d ++=---表示D 与点()2,1P --的距离，由图可知，故2a b d ++的取值范围为0,53⎡⎤+⎣⎦. 故答案为：0,53⎡⎤+⎣⎦【点睛】本题考查向量模的几何意义，考查模的最值，解题关键是设()1,0a =，()0,1b =，(),c x y =，(),d x y '='，固定,a b 后得出了,C D 的轨迹，然后由模2a b d ++的几何意义得出最值．17．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以 解析：32【详解】两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >，所以k =.18．9【分析】根据可得然后根据利用基本不等式可求出最小值【详解】解：向量且又均为正数当且仅当即时取等号的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值考查了方程思想和转化思想属于中档题解析：9 【分析】根据a b ⊥，可得21x y +=，然后根据()21212x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭利用基本不等式可求出最小值． 【详解】 解：向量(2,1)a =，(,1)b x y =-，且a b ⊥∴21(1)0a b x y =+-=，21x y ∴+=，又x ，y 均为正数，∴()222255292121y x y x y x y x y x y x ⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭， 当且仅当22y x x y =，即13x y ==时取等号， ∴21x y+的最小值为9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了向量垂直和利用基本不等式求最值，考查了方程思想和转化思想，属于中档题．19．①③④【分析】由函数图像的变换可得结合余弦函数的周期性单调性对称轴等即可判断选项得出答案【详解】的最小正周期为选项A 正确；当时时故在上有增有减选项B 错误；故不是图象的一条对称轴选项C 正确；当时且当即解析：①③④ 【分析】由函数图像的变换可得()cos 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x ，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案. 【详解】()cos 2cos 28123g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．()g x 的最小正周期为π，选项A 正确；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ 时，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有增有减，选项B 错误；012g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故12x π=不是()g x 图象的一条对称轴，选项C 正确；当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，220,33x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，且当2233x ππ+=，即6x π=时，()g x 取最小值12-，D 正确． 故答案为：①③④. 【点睛】本题考查了三角函数图像的变换、余弦函数的周期性、单调性和对称轴等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.20．①②③【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴分析单调区间利用函数的平移方式检验平移后的图象【详解】由题：令当时即函数的一条对称轴所以①正确；令当时所以是函数的一个对称中心所以②正确；当在区间解析：①②③ 【分析】利用整体代入的方式求出对称中心和对称轴，分析单调区间，利用函数的平移方式检验平移后的图象. 【详解】由题：()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,32x k k Z πππ-=+∈，5,122k x k Z ππ=+∈， 当1k =时，1112π=x 即函数的一条对称轴，所以①正确； 令2,3x k k Z ππ-=∈，,62k x k Z ππ=+∈，当1k =时，23x π=， 所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，所以②正确；当5,1212x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，,2223x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝π⎭-，()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数，所以③正确；3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度得到23sin 23sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，与函数()3sin 23x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭不相等，所以④错误. 故答案为：①②③ 【点睛】此题考查三角函数的图象和性质，利用整体代入的方式求解对称轴对称中心，求解单调区间，根据函数的平移变换求解平移后的函数解析式.三、解答题21．（1）45；（2. 【分析】（1）)先求出cos()4x π-，再由两角和的正弦公式计算；（2）根据同角关系求得cos x ，二倍角公式得sin 2,cos 2x x ，再由两角和的余弦公式求值． 【详解】解：（1）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以442x πππ<-<，所以cos 4x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭10=， 所以sin sin 44x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ sin cos cos sin 4444x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102102=+ 4.5=（2）因为3,24x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）知4sin 5x =， 所以3cos 5x =-， 所以24sin 22sin cos 25x x x ==-2167cos 212sin 122525x x =-=-⨯=-， 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 666x x x πππ⎛⎫+=⋅-⋅ ⎪⎝⎭724125252⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭=【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．解题关键是选用恰当的公式进行计算．解题时先观察“已知角”和“未知角”的关系，然后确定选用的公式及顺序进行计算求值．在应用平方关系求值时还要注意角的范围，以便确定函数值的正负．22．（1）1ω=，单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）(2]. 【分析】（1）化简得()2cos 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据最小正周期得1ω=，进而整体代换求解得()f x 的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦； （2）根据题意得()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由于70,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故52336x πππ-<-<，故cos 2123x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x <≤，进而得函数值域. 【详解】（1）因为2()2cos sin 1(0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭22cos 1cos x x x ωωω=--cos 22x x ωω=-12cos 2222x x ωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以2|2|T πππωω===，即1ω=，()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222()3k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得2()36k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 所以()f x 的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）()2cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移3π个单位得到()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当70,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52336x πππ-<-<，所以cos 2123x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x <≤，所以函数()y g x =的值域为(2⎤⎦. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，三角函数的性质等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据三角恒等变换化简得函数()2cos 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据三角函数的性质求解.23．（1）ABC ∆为直角三角形；（2）5；（3）34,2x λ==. 【分析】（1）根据已知点的坐标求出向量的坐标，然后利用向量数量积为0，即可证明； （2）根据题意可得()6,5CA CB x +=+-，再利用向量的模的运算以及二次函数求得最值；（3）利用向量共线可得方程组，解得即可. 【详解】（1）当1x =时，ABC ∆为直角三角形.证明如下：当1x =时，由()1,2A ，()2,3B ，()2,5C -，则()3,3AC =-，()1,1AB =， 此时31310AC AB ⋅=-⨯+⨯=，即AC AB ⊥，即2A π∠=，所以，ABC ∆为直角三角形.（2）由题意，()2,3CA x =+-，()4,2CB =-，则()6,5CA CB x +=+-， 所以，(5CA CB x +=≥，当且仅当6x =-时取等号.故当6x =-时，CA CB +取得最小值为5.（3）由题意，()2,3CA x =+-，()4,2CB =-，因CA CB λ=，所以2432x λλ+=⎧⎨-=-⎩，解得432x λ=⎧⎪⎨=⎪⎩.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算及数量积运算，考查了向量共线，训练了利用配方法求函数的最值，属于基础题. 24．（1）712a π=-，1b =，()f x 的递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）24π或724π【分析】（1）根据图中最大值得2A =，得出周期可求得2ω=，由23f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭可求出ϕ，即可求得,a b ，令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈可求出单调递增区间；（2）利用解析式直接求解即可. 【详解】（1）由图可得2A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则T π=，22πωπ∴==， ()2sin(2)f x x ϕ∴=+，22sin 233f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则22,32k k Z ππϕπ-=-+∈，则2,6k k Z πϕπ=+∈，||2πϕ<，6πϕ∴=，()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，2sin16b π=∴=，7343412T a ππππ=--=--=-， 令222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，∴()f x 的递增区间为,,36k k k Zππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）()2sin 26f παα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭sin 262πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,]απ∈，132,666πππα∴⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 264ππα∴+=或3264ππα+=，则24πα=或724π. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin f x A x =+ωϕ部分图象求解析式的方法： （1）根据图象的最值可求出A ； （2）求出函数的周期，利用2T πω=求出ω；（3）取点代入函数可求得ϕ. 25．（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【分析】（1）本小题先求出32a b ⋅=，再求3b =即可； （2）本小题先求出23210m m --=，再求解m .【详解】解：（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==， ∴3b =.（2）∵27a mb -=， ∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=， 解得：13m =-或1m =. 【点睛】本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.26．（1）()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21232f f ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）23. 【分析】（1）由三角函数的定义得到()sin 6f πθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，进而代入计算；（2）由已知得1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将所求利用诱导公式转化即得. 【详解】解：（1）因为12A ⎫⎪⎪⎝⎭，所以6xOA π∠=，由三角函数定义，得()sin 6f πθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.所以22511sin sin 2336222f f ππππ⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）因为1()3f θ=，所以1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以7cos sin cos sin 36626πππππθθθθπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=+--++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin sin 66ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22sin 63πθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考査三角函数的定义，三角函数性质，诱导公式.考查运算求解能力，推理论证能力.考查转化与化归，数形结合等数学思想. 已知1sin 63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时要将已知中的角作为整体不分离，观察所求中的角与已知中的角的关系，利用诱导公式直接转化是化简求值的常见类型.。

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案

第1章 概率论的基本概念§1 .1 随机试验及随机事件1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ；(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ；B ：两次出现同一面，则= ；C ：至少有一次出现正面，则C= .§1 .2 随机事件的运算1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件：(1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=⋃B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ⋃= ，（5）B A = 。

§1 .3 概率的定义和性质1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===⋃B P A P B A P ，则(1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ⋃= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = .§1 .4 古典概型1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1 .5 条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。

2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《高等数学》(下)期末课程考试试卷(含答案)

2020-2021《高等数学》（下）期末课程考试试卷适用专业：应化 考试日期：年 月 试卷类型：闭卷 考试时间：120分钟 试卷总分：100分一. 填空题：(共5小题，每小题3分，共15分)1.设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间[1,1]-的定义为22,10(),01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在2x =收敛于 1 ． 2.设y zx =，则x z =1y yx - ; y z =ln y x x3.改变积分顺序1(,)dy f x y dx ⎰= 211(,)xdx f x y dy ⎰⎰ .4.将函数sin xx 展开成x 的幂级数为 ()()20121nn n x n ∞=-+∑5.设L 为圆周224x y +=，则22Lx y ds +⎰8π .二.单项选择. (共5小题，每小题3分，共15分)1.设D 为圆域: 224x y +≤,曲面1D 是D 在第一象限中的部分.则有( D ). (A) 14DD xd xd σσ=⎰⎰⎰⎰ (B) 14DD yd yd σσ=⎰⎰⎰⎰(C) 14DD xyd xyd σσ=⎰⎰⎰⎰ (D) 122224DD x y d x y d σσ=⎰⎰⎰⎰.2.lim 0n n u →∞≠是级数1nn u∞=∑发散的（ A ）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)无关条件 3.设∑为曲面3z = ()221x y +≤则下面积分中不为0的是( D ) (A)xyzdydz ∑⎰⎰ (B)xyzdxdy ∑⎰⎰ (C)xyzdzdx ∑⎰⎰ (D)zdS ∑⎰⎰4.设123,,y y y 是常系数线性非齐次方程()ay by cy f x '''++=的三个线性无关的解，则0ay by cy '''++=的通解为( C ).(A)1122c y c y + (B)1223c y c y + (C) ()1122123c y c y c c y +-+ (D) 112233c y c y c y ++5.设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑++dS y x ey x )sin(2222＝（ D ）.(A) 0 (B)2sin Re R R π (C) R π4 (D)2sin Re 2R R π 三、解下列各题。

2017-2018数分下期末考试试题

2017-2018数分下期末考试试题

1
1 n
n2
是收敛该是发散？
.理由是
5.设 f x, y 连续，则交换积分次序后
0
dx
2 x
2 f x, y dy
2
dx
2x
2 f x, y dy
2
0
0
0



6.已知 A (x2 y2 )i y2 j z2 k , 则 grad (div A)
围成的空间封闭区域，求（1）V 的体积；（2）V 的表面积。
四(10
分).求幂级数
n1
n
xn
n 1
的和函数。
a 0 所
五 (10 分 ). 设 闭 区 域 D 由 直 线 x y 6 、 x 轴 、 y 轴 所 围 ， 求 二 元 函 数
f x, y x2 y 4 x y 在区域 D 上的最大值与最小值。
1
ydxdy
.
D
10.函数
f
x

1
1 x 2x2
展开成
x
的幂级数为
.
二(6 分)．设 z x3 f (xy, y ), f u,v 有二阶连续偏导数, 求 z , 2z .
x
y xy
三(10 分)．设V 是曲面 S1 : x2 y2 az 和 S2 : z 2a x 2 y 2
S
x2 y2 z
，其中
S 为锥面 z 1 x2 y 2 0 z 1 的上侧。
八(6 分).设 z f x, y 在点 来自0,0处连续，且 lim
x, y 0,0
f
x, y

【北师大版】高中数学必修四期末模拟试题含答案(3)

【北师大版】高中数学必修四期末模拟试题含答案(3)

一、选择题1．已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）AB．10-CD．10-2．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=（ ） A ．5665-B ．3365-C ．5665D ．33653．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h，且3h =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A．B．C ．4D ．64．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞sinα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③5．已知非零向量,OA a OB b == ，且BC OA ⊥，C 为垂足，若(0)OC a λλ=≠，则λ等于( )A ．a b a b⋅ B ．2a b a⋅ C ．2a b b⋅ D ．a b a b⋅6．在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，且AD BC ⊥，向量AB AC +与向量AD 共线，若10AC =2BC =，0GA GB GC ++=，则AB CG=（）A ．3BC ．2D ．27．ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC 内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( ) ABCD 8．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（ ）A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π 9．《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术日：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积12=(弦×矢+矢×矢)．弧田是由圆弧(弧田弧)及圆弧两端点的弦(弧田弦)围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是弧田所在圆的半径与圆心到孤田弦的距离之差，现有一弧田，其矢长等于8米，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为128平方米，则其弧田弧所对圆心角的正弦值为（ ） A ．60169 B ．120169C ．119169D ．5916910．675︒用弧度制表示为（ ） A ．114π B ．134π C ．154π D ．174π 11．设函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则下述结论： ①()f x 关于,012π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；②()f x 关于直线23x π=轴对称；③()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；④方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根. 其中正确结论的编号是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④12．将函数()3sin()2f x x =--图象上每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13，再向右平移29π个单位得到函数()g x 的图象，若()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则θ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．3π D ．18π 二、填空题13．若5,24ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2=α______.14．()sin 501︒+︒的值__________. 15．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 16．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 17．已知(2,1)a =-，(1,)b t=，若(2)a b a -⊥，则b =__________18．已知点O 是ABC ∆内部一点，并且满足230OA OB OC ++=，BOC ∆的面积为1S ，ABC ∆的面积为2S ，则12S S =______.19．已知函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-（其中,a ω为常数，且0>ω）有且仅有3个零点，则ω的最小值是_________．20．已知定义在R 上的函数()f x 满足：()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =.若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤，则实数m 的取值范围是______.三、解答题21．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且2sin cos 222αα-=. （1）求cos α的值； （2）若()4sin 5αβ-=，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos β的值． 22．已知02πα<<，02πβ-<<，310cos 10α=，3cos()42πβ-=．（1）求cos()4πα+的值；（2）求sin()2+βα的值．23．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1．M ，N 分别是BC ，DE 上的动点，且满足BM DN =．（1）若M ，N 分别是BC ，DE 的中点，求AM AN ⋅的值； （2）求AM AN ⋅的取值范围．24．已知函数()()sin (0,)2f x A x πωϕωϕ=+＞＜部分图象如图所示.（1）求ω和ϕ的值；（2）求函数()f x 在[,]-ππ上的单调递增区间；（3）设()1212x f x f x ππϕ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，已知函数2()2()3()21g x x x a ϕϕ=-+-在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，求实数a 的最小值和最大值.25．某同学用“五点法”画函数()() sin ωϕ=++f x A x B (其中A >0，0>0，||)2πϕ<在某一个周期内的图象时，列表并填入部分数据，如表： ωx +φπ2 π3π22π xπ35π6A sin(ωx +φ)+B3-1f (x )的解析式； （2）若定义在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数g (x )=af (x )+b 的最大值为7，最小值为1，求实数a ，b 的值.26．在ABC 中，D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，4DF FE =，设AB m =，BC n =. （1）用m ，n 表示AF ；（2）设G 是线段BC 上一点，且使//EG AF ，求CG CB的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D【分析】根据同角三角函数基本关系得出cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再用两角差的余弦公式即可解题. 【详解】 因为ππ2α<<，所以35,444πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，又3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以4cos 45πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以cos cos cos cos sin sin 444444ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-. 故选：D 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关三角函数求值问题，解题方法如下：（1）利用同角三角函数关系式，结合角的范围，求得cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）凑角，利用差角余弦公式求得结果.2．A解析：A 【分析】 由角的变换可知()()44ππααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈，, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+- 453125651351365=-⨯-⨯=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc +++++===+， 而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．4．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin sin ,sin 2sin 362ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan tan 2tan 36ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||2αα⎛⎫∴=∈ ⎪ ⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.解析：B 【解析】试题分析：BC OA ⊥,即()200BC OC OC OB OC OC OB OC ⊥⇒-⋅=⇒-⋅=，即220a a b λλ-⋅=，20,a b aλλ⋅≠∴=．考点：平面向量的数量积的应用.6．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以2101,1 5.2AB CE CG CG===∴== 本题选择B 选项.7．B解析：B 【分析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算求得3)y x =-，当该直线与直线BC 相交时，||AP 取得最大值．【详解】解：ABC 中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系，如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，，设点P 为(,)x y ，05x ，03y，3255AP AB AC λ=-， (x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，∴3223 xyλλ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3(3)y x∴=-，①直线BC的方程为5x=，②，联立①②，得523xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，此时||AP最大，22||5(23)37AP∴=+=．故选：B．【点睛】本题考查了向量在几何中的应用问题，建立直角坐标系是解题的关键，属于中档题．8．B解析：B【分析】由//m n，可得()()()0a b a c b b c+⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C.【详解】(,),(,)m a b b c n c b a=++=-，且//m n，()()()0a b a c b b c∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab=++.又22212cos,cos2c a b ab C C=+-∴=-.()20,,3C Cππ∈∴=.故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.9．B解析：B 【分析】求出弦长，再求出圆的半径，然后利用三角形面积求解． 【详解】如图，由题意8CD =，弓琖ACB 的面积为128，1(8)81282AB ⨯+⨯=，24AB =， 设所在圆半径为R ，即OA OB R ==，则22224(8)2R R ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得13R =， 5OD =，由211sin 22AB OD OA AOB ⨯=∠得 2245120sin 13169AOB ⨯∠==． 故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查扇形与弓形的的有关计算问题，解题关键是读懂题意，在读懂题意基础上求出弦长AB ，然后求得半径R ，从而可解决扇形中的所有问题．10．C解析：C 【分析】根据弧度制与角度制的关系求解即可. 【详解】因为180π︒=弧度， 所以156********4ππ︒=⨯=， 故选：C11．D解析：D 【分析】利用题干中的已知条件求得2ω=，可得出()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误，利用正弦型函数的值域可判断③的正误，求出方程()1f x =在[]0,2π上的解，可判断④的正误. 【详解】N ω*∈，由55,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得55126666x πωπππωπω-≤-≤-， 由于函数()()sin 16f x x N πωω*⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭在55,126ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以，()553,2,21266622k k k Z πωππωπππππ⎡⎤⎡⎤--⊆++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，521262532662k k ωππππωππππ⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，解得()248121055k k k Z ω++≤≤∈，由248121055k k ++≤，解得16k ≤，N ω*∈且k Z ∈，0k ∴=，可得825ω≤≤，2ω∴=，则()sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.对于①，sin 2sin 00126ππ⎛⎫⨯-==⎪⎝⎭，所以，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于点,112π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，①错误； 对于②，271sin 2sin 13662πππ⎛⎫⨯-==-≠± ⎪⎝⎭，②错误；对于③，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5112,666x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭， 所以，()302f x ≤≤，即()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，③正确； 对于④，当[]0,2x π∈时，232,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 令()1f x =，可得sin 206x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，206x π∴-=或26x ππ-=或226x ππ-=或236x ππ-=.所以，方程()1f x =在[]0,2π有4个不相同的根，④正确. 故选：D. 【点睛】方法点睛：求函数()()sin f x A x =+ωϕ在区间[],a b 上值域的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如()sin y A x k ωϕ=++的形式或()cos y A x k ωϕ=++的形式；第二步：由x 的取值范围确定x ωϕ+的取值范围，再确定()sin x ωϕ+（或()cos x ωϕ+)的取值范围；第三步：求出所求函数的值域（或最值）.12．D解析：D 【分析】由题先求出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要满足题意，则332ππθ+≥，即可求出.【详解】将()f x 横坐标缩短为原来的13得到3sin(3)2y x =--，再向右平移29π个单位得到()23sin 323sin 3293g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，,18x πθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3,3363x πππθ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，要使()g x 在区间,18πθ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则332ππθ+≥，即18πθ≥，则θ的最小值为18π. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是通过图象变化得出()3sin 323g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的性质求解.二、填空题13．【分析】由已知利用诱导公式求得然后分析角的范围得到的范围则答案可求【详解】∵即又∴则∴得∴故答案为：【点睛】角变换用已知角构造所求角是解决问题的关键如上：解析：2425-. 【分析】由已知利用诱导公式求得sin 2α，然后分析角α的范围，得到2α的范围，则答案可求.【详解】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即7sin 225α=， 又5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴,44ππαπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3cos cos 0445ππαα⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则,442πππα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，∴3,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得32,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴24cos 225α==-. 故答案为：2425-. 【点睛】角变换用已知角构造所求角是解决问题的关键，如上：2=224ππαα⎛⎫-- ⎪⎝⎭14．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用解析：1 【分析】由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值. 【详解】解： ()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒.故答案为:1. 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.15．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin α==，()sin αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以【详解】 两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >，所以k =.17．【分析】根据向量垂直得数量积为0从而求得的值利用求模公式求得向量的模【详解】若则即求得故故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法意在考查学生的数学运算的学科素养属中档题【分析】根据向量垂直得数量积为0，从而求得t 的值，利用求模公式求得向量的模. 【详解】(2,1)a =-，(1,)b t =，2a b -()3,2t =--，若(2)a b a -⊥，则(2)0a b a -⋅=，即()620t ++=，求得8t故 b ()221865=+-=，故答案为：65. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算及向量的模的求法，意在考查学生的数学运算的学科素养，属中档题.18．【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分别取的中点则所以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为：【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在解析：16【分析】将230OA OB OC ++=化为()2OA OC OB OC +=-+，再构造向量()12OA OC +和()12OB OC +，得出比例关系，最后求解12.S S【详解】因为230OA OB OC ++=，所以()2OA OC OB OC +=-+，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则2OA OC OD +=，2OB OC OE +=. 所以2OD OE =-，即O ，D ，E 三点共线且2OD OE =.如图所示，则13OBC DBC S S ∆∆=，由于D 为AC 中点，所以12DBC ABC S S ∆∆=，所以16OBC ABC S S ∆∆=. 故答案为：16【点睛】本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档题.19．2【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为可得根据函数的图象可知解得即可得解【详解】因为函数为偶函数且有且仅有3个零点所以必有一个零点为所以得所以函数的图象与直线在上有且仅有3个交点因为函数的解析：2 【分析】根据函数为偶函数可知函数必有一个零点为0x =，可得1a =-，根据函数cos y x ω=(0)>ω的图象可知222πππωω≤<⨯，解得24ω≤<即可得解.【详解】因为函数cos ,[],y a x x ωππ=+∈-为偶函数，且有且仅有3个零点， 所以必有一个零点为0x =， 所以cos00a +=，得1a =-，所以函数cos y x ω=(0)>ω的图象与直线1y =在[,]-ππ上有且仅有3个交点， 因为函数cos y x ω=(0)>ω的最小正周期2T πω=，所以2T T π≤<，即222πππωω≤<⨯，得24ω≤<，所以ω的最小值是2.故答案为：2 【点睛】关键点点睛：根据偶函数图象的对称性求出a 是解题关键.20．【分析】根据且当时类比周期函数的性质求出函数的解析式然后作出图象利用数形结合法求解【详解】当时；当时当时当时则函数的图象如图所示：当时解得若对任意的都有则故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数解析式解析：13,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】根据()()2f x f x π+=，且当[]0,x π∈时，()sin f x x =，类比周期函数的性质，求出函数的解析式，然后作出图象，利用数形结合法求解. 【详解】当[]0,x π∈时，()sin f x x =；当(],2x ππ∈时，(]0,x ππ-∈，()()()2si 22n sin ππ--=-==f x x f x x ， 当(]2,3x ππ∈时，(],2x πππ-∈，()()()2sin 44sin ππ--===-f x x f x x ，当(],0x π∈-时，(]0,x ππ+∈，()()()1sin 1122sin 2ππ=++==-f x x f x x ， 则函数()f x 的图象如图所示：当(]2,3x ππ∈时，()si 24n ==f x x ，解得136x π=， 若对任意的(],x m ∈-∞，都有()2f x ≤， 则136π≤m ， 故答案为：13,6π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法，三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想好推理求解问题的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）3；（2433-. 【分析】（1）将已知条件两边平方，求得sin α的值，进而求得cos α的值.（2）先求得()cos αβ-的值，然后利用cos cos[()]βααβ=--，结合两角差的余弦公式，求得cos β的值. 【详解】 （1）将2sincos222αα-=两边同时平方，得11sin 2α-=，则1sin 2α=，又2παπ∈（，），所以23cos 1sin αα=-=.（2）由（1）知，1sin ,cos 22αα==-， 因为2παπ∈（，），2βπ∈π（，），所以22ππαβ-<-<.又因为4sin()5αβ-=，所以3cos()5αβ-，所以cos cos[)]βααβ=--（ cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-314525=+⨯， 【点睛】关键点点睛：对于三角函数给值求值的问题，关键在于运用已知角的和，差，二倍的运算表示待求的角，再选择相关公式得以求值．22．（1；（2. 【分析】（1）根据02πα<<，cos α=sin α=，再利用两角和的余弦公式求解..（2）由（1）求得sin()45+=πα，再由02πβ-<<，求得sin()42πβ-=，然后由sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）因为02πα<<，cos 10α=所以10sin α=， 所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-，22==. （2）因为02πα<<，所以3444πππα<+<，所以sin()4+=πα，因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，所以6sin()42πβ-=，所以sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，sin()cos()cos()sin()442442=+--+-ππβππβαα， 2535621530535315-=⨯-⨯=. 【点睛】 方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 23．（1）118；（2）31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）首先以点A 为坐标原点建立平面直角坐标系．求AM ，AN 的坐标，再求数量积；（2）首先利用BM DN =，设BM DN t ==，表示向量AM ，AN ，利用数量积的坐标表示转化为二次函数求取值范围. 【详解】（1）如图，以AB 所在直线为x 轴，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为ABCDEF 是边长为1的正六边形，且M ，N 分别是BC ，DE 的中点，所以534M ⎛ ⎝⎭，132N ⎛ ⎝，所以5311848AM AN ⋅=+=． （2）设BM DN t ==，则[]0,1t ∈．所以1,22t M ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，(1N t -．所以()()223113111122222t AM AN t t t t t ⎛⎫⋅=+⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭． 当0t =时，AM AN ⋅取得最小值1； 当1t =时，AM AN ⋅取得最大值32． 所以AM AN ⋅的取值范围为31.2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查数量积的坐标表示，重点考查计算能力，属于基础题型. 24．（1）ω=2，6π=ϕ；（2）5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2π,π3；.（3）最小值为12，最大值为1716. 【分析】（1）先由函数图象，先得到周期，求出ω，再由最大值点，求出ϕ；（2）由（1）的结果，确定函数解析式，利用正弦函数的单调性，求出函数增区间，再由给定区间，即可得出结果；（3）先化简得到()sin 23x x πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据函数()g x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，得到222sin 23sin 2133ππa x x ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，令sin 23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由正弦函数性质，求出,62x ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，[]0,1t ∈，再结合二次函数的性质，得到2231y t t =-++的范围，即可得出结果.【详解】（1）由图象可知：22362T πππ=-=，T π=，则22T πω==，又22,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈得26k πϕπ=+，又2πϕ<，所以6π=ϕ，（2）()sin 26f x x π⎛⎫+⎝=⎪⎭，由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得，,36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =-，得4536x ππ-≤≤-，因x ππ-≤≤，则56x ππ-≤≤-， 令0k =，得36x ππ-≤≤，令1k =，得2736x ππ≤≤，因x ππ-≤≤，则2ππ3x ，所以()f x 在[,]-ππ上的单调递增区间为5,6ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，2π,π3；. （3）()sin 2sin 21212126126x f x f x x x ππππππϕ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1sin 2sin 2sin 22sin 2323x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2()2sin 23sin 22133g x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=---+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数()g x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在零点，则222sin 23sin 2133ππa x x ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解， 令sin 23t x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则220,33x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即[]0,1t ∈，则223171723121,488y t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以17128a ≤≤，即117216a ≤≤， 故a 的最小值为12，最大值为1716. 【点睛】 思路点睛：求解含三角函数的二次式在给定区间上的最值时，一般需要用换元法，将三角函数换成t 来表示，得到关于t 的二次函数，由三角函数的性质，得到t 的范围，再结合二次函数的性质，即可求解.25．（1）()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；（2）2,1a b ==或2,7a b =-=. 【分析】（1）由表中数据可得周期及A 、B 、ϕ的值；（2）()2sin 23g x a x a b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，讨论a 的正负，根据()g x 的最大值、最小值可得答案.【详解】 （1）由题，函数()f x 的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭， 所以22T πω==， 由31A B A B +=⎧⎨-+=-⎩，得21A B =⎧⎨=⎩，故()2sin(2)1f x x ϕ=++， 由表可知，23πϕπ⨯+=，得3πϕ=，所以()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）由（1）可知()2sin 23g x a x a b π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 由44x ππ-≤≤，得52636x πππ-≤+≤，所以1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭； 当0a >时，()g x 的最大值是37a b +=，最小值是1b =，解得2,1a b ==；当0a <时，()g x 的最大值是7b =，最小值是31a b +=，解得2,7a b =-=，综上，2,1a b ==；或2,7a b =-=.【点睛】本题考查了由三角函数图象上的点求解析式及利用单调性参数的问题，要正确分析表中数据，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键，考查了学生的计算能力.26．（1）1135AF m n =+（2）310CG CB = 【分析】（1）依题意可得23AD AB =、14AE AC =，再根据DE AE AD =-，AF AD DF =+计算可得；（2）设存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<，由因为//EG AF ，所以存在实数μ， 使AF EG μ=，再根据向量相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：（1）因为D 是线段AB 上靠近B 的一个三等分点，所以23AD AB =.因为E 是线段AC 上靠近A 的一个四等分点，所以14AE AC =， 所以1243DE AE AD AC AB =-=-. 因为4DF FE =，所以4185515DF DE AC AB ==-， 则2183515AF AD DF AB AC AB =+=+- 2111()15535AB AB BC AB BC =++=+. 又AB m =，BC n =. 所以11113535AF AB BC m n =+=+. （2）因为G 是线段BC 上一点，所以存在实数λ，使得(01)CG CB λλ=<<， 则33()44EG EC CG AC CB AB BC BC λλ=+=+=+- 3333()()4444AB BC m n λλ=+-=+- 因为//EG AF ，所以存在实数μ，使AF EG μ=，即1133[()]3544m n m n μλ+=+-， 整理得31,4331(),45μμλ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得310λ=， 故310CGCB =. 【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于中档题.。

【翼教版】高中数学必修四期末一模试题(含答案)

【翼教版】高中数学必修四期末一模试题(含答案)

一、选择题1．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为（ ）A ．BCD ． 2．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ）A ．6B C D ．16-3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 2b A B b =-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 4．在ABC ∆中，已知其面积为22()S a b c =--，则tan A =（ ） A ．34B ．817C ．815D ．17195．已知两个单位向量a ，b ，其中向量a 在向量b 方向上的投影为12．若()()2a b a b λ+⊥-，则实数λ的值为（ ）A ．14-B ．12-C ．0D ．126．在ABC ∆中，5,6AB AC ==，若2B C =，则向量BC 在BA 上的投影是（ ） A ．75-B ．77125-C ．77125D ．757．已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是（ ）A ．(1⎤⎦B ．(1⎤⎦C ．1⎤⎦D ．)1,+∞8．已知向量(6,4),(3,),(2,3)a b k c =-==-，若//a b ，则b 与c 的夹角的余弦值为（ ） A ．1213B ．1213-C ．45-D ．459．设函数5()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 为偶函数，则ϕ的最小值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 10．函数()()2sin f x x ωϕ=+（0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则()fπ=（ ）A ．3B ．3C 3D 311．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos（2x-φ）的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 12．设()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若函数()y f x a =-恰好有三个不同的零点，分别为1x 、2x 、()3123x x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ） A ．πB ．34π C ．32π D ．74π 二、填空题13．已知6sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 14．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______1522sin 4cos8-+________.16．在△ABC 中，BD ＝2DC ，过点D 的直线与直线AB ，AC 分别交于点E ，F ，若AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0），则x +y 的最小值为_____.17．ABC 中，2AB BA BC =⋅，0OA OC AB ++=，且1OA AB ==，则CA CB ⋅=______.18．在ABC ∆中，1AC BC ==，3AB =，且CE xCA =，CF yCB =，其中(),0,1x y ∈，且41x y +=，若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，当线段MN 取最小值时x y +=__________.19．当ϕ=___________时，函数()()sin f x x ϕ=+在区间4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调(写出一个值即可).20．将函数()sin 23cos2f x a x x =+的图象向左平移6π个单位长度，若所得图象关于原点对称，则a 的值为_________．三、解答题21．已知函数()3sin 2cos 2f x x x =-，[,]34x ππ∈-． （1）求函数()f x 的周期和值域； （2）设()3a g x x x =+，若对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．22．已知函数()23sin cos cos f x x x x m =++的最小值为3-. （1）求m 的值及()f x 的单调递减区间； （2）()0,x π∀∈，sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 23．如图，在菱形ABCD 中，1,22BE BC CF FD ==.（1）若EF x AB y AD =+，求32x y +的值； （2）若||6,60AB BAD =∠=︒，求AC EF ⋅. 24．设向量()3cos ,2sin a θθ=-．（1）当43θπ=时，求a 的值： （2）若()3,1b =-，且//a b，求22cos 124θπθ-⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．25．已知函数21()cos(2)sin ()(02)2632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围． 26．已知函数()2sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）求()f x 在区间06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，展开后计算得出正确选项. 【详解】 由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43525210=⨯-⨯=，故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.2．C解析：C 【分析】 求出sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算． 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 6πα⎛⎫+==⎪⎝⎭ ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11332=-⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．3．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =，∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =，又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=， ∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.4．C解析：C 【分析】由题结合余弦定理可得1si s 2n 22co bc A c A bc b +=，整理化简有22sincos 42sin 222A A A =⨯，进而可计算出1tan 24A =，再由正切的二倍角公式计算可得答案． 【详解】 由题意得222221sin 2()2S bc A a b c b c a bc =--+=+=--， 又因为2222cos b c a bc A +-=，所以1si s 2n 22co bc A c A bc b +=， 整理得()41s c s i o n A A =-，所以22sincos 42sin 222A A A =⨯ 即cos 4sin 22A A =，所以1tan 24A = ，则28tan 1512tan2tan 2A AA ==- 故选C. 【点睛】本题考查的知识点有三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，属于一般题．5．C解析：C 【分析】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为1cos 2a θ=，然后向量垂直转化为数量积为0可计算λ． 【详解】记a 与b 的夹角为θ，则a 在b 上的投影为cos a θ，则1cos 2a θ=， ∵()()2a b a b λ+⊥-，∴()()()221322221(2)022a b a b a b a b λλλλλλ+⋅-=-+-⋅=-+-⋅==， 故0λ=， 故选：C ．结论点睛：本题考查平面向量的数量积及其几何意义．向量垂直的数量积表示． （1）设,a b 向量的夹角为θ，则a 在b 方向上的投影是cos a b a bθ⋅=；（2）对两个非零向量,a b ，0a b a b ⊥⇔⋅=．6．B解析：B 【解析】 由正弦定理得，653cos sin sin sin 2sin 5AC AB C B C C C =⇒=⇒=,由余弦定理得，22211cos 25BC AC AB C BC AC BC +-=⇒=⋅,则77cos 125BC θ=- ，故选B. 7．C解析：C 【分析】法一：将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系, O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围. 法二：设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解：法一：将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM 的延长线上时,OB 1． 故选:C法二：设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件：ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤．故选:C 【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题.8．A解析：A 【分析】根据向量平行，由平面向量的坐标运算列方程求出k 的值，再利用平面向量夹角公式求解即可. 【详解】因为(6,4),(3,),a b k =-=且//a b ， 所以61202k k +=⇒=-，(3,2),(2,3)b c =-=-，12cos ,13c b c b c b⋅==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查向量平行的性质，考查了平面向量数量积的坐标表示以及向量夹角公式的应用，属于基础题.9．A解析：A 【分析】根据题意有()5sin 226g x x ϕπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-，若()g x 为偶函数则52()62k k Z πππϕ-=+∈，结合0ϕ>可得出答案. 【详解】 解：由题意可得()()55()sin 2sin 2266g x f x x x πϕϕϕπ⎛⎫⎛⎫=+=+-=+ -⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 为偶函数，则52()62k k Z πππϕ-=+∈，即2()32k k Z ππϕ=+∈ 因为0ϕ>，所以当1k =-时ϕ取得最小值6π. 故选：A. 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；（4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.10．A解析：A 【分析】由函数()f x 的部分图像得到函数()f x 的最小正周期，求出ω，代入5,212π⎛⎫⎪⎝⎭求出ϕ值，则函数()f x 的解析式可求，取x π=可得()f π的值.【详解】由图像可得函数()f x 的最小正周期为521212T πππ⎡⎤⎛⎫=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则22T πω==.又5552sin 22sin 212126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则5sin 16⎛⎫+=⎪⎝⎭πϕ， 则5262k ϕπ=π+π+，k Z ∈，则23k πϕπ=-，k Z ∈，22ππϕ-<<，则0k =，3πϕ=-，则()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ()2sin 22sin 33f ππππ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭故选：A. 【点睛】方法点睛：根据三角函数()()sin 0,0,2f x A x b A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图像求函数解析式的方法： （1）求A 、()()max min:2f x f x b A -=，()()max min2f x f x b +=；（2）求出函数的最小正周期T ，进而得出2Tπω=； （3）取特殊点代入函数可求得ϕ的值.11．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）． 当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误； 当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误； 其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.12．C解析：C 【分析】根据三角函数的对称性，先求出函数的对称轴，结合函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可． 【详解】由()242x k k Z πππ+=+∈，得对称轴()28k x k ππ=+∈Z ， 90,8x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由90288k πππ≤+≤，解得124k -≤≤，当0k =时，对称轴8x π=，1k =时，对称轴58x π=. 由()0f x a -=得()f x a =，若函数()y f x a =-恰好有三个不同的零点，等价于函数()y f x =与y a =的图象有三个交点，作出函数()f x 的图象如图，得()20f =，则21a ≤<，由图象可知，点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线8x π=对称，则124x x π+=， 点()()22,x f x 、()()33,x f x 关于直线58x π=对称，则2354x x π+=， 因此，1231223532442x x x x x x x πππ++=+++=+=. 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦型函数的零点之和问题的求解，解题的关键就是分析出正弦型函数图象的对称轴，结合对称性求解.二、填空题13．【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符号解析：26- 【分析】 构造角22643πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】()50,,,444πππαπα⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，sin 42πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132⎛=⨯+= ⎝⎭故答案为：26【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.14．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题【分析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.15．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题 解析：3cos 4-【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值. 【详解】依题意22sin 4cos8-+()2221cos 42cos 41+=---23cos 43cos 4==，由于342ππ<<，所以3cos43cos4=- 故答案为：3cos 4- 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.16．【分析】根据向量线性关系的几何应用有令结合已知条件有即可列方程组得到关于k 的表达式表示x+y 最后由基本不等式即可求得最小值【详解】由题意连接可得如下示图∵在△ABC 中＝2即有若令则有又＝x ＝y （x ＞ 解析：2213+【分析】根据向量线性关系的几何应用有1233AD AB AC =+，令DE k DF =结合已知条件有11x kyAD AB AC k k =+++，即可列方程组，得到关于k 的表达式表示x + y ，最后由基本不等式即可求得最小值 【详解】由题意，连接AD 可得如下示图∵在△ABC 中BD ＝2DC ，即有1233AD AB AC =+ 若令DE k DF =，则有111kAD AE AF k k =+++ 又AE ＝x AB ，AF ＝y AC （x ＞0，y ＞0） ∴11x kyAD AB AC k k =+++ 即113213x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩有1(1)321(1)3x k y k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(0)k >∴211133k x y k +=++≥=+k =min ()13x y +=+故答案为：13+ 【点睛】本题考查了向量线性关系的几何应用，及利用基本不等式求最值，通过定向量与其它向量的线性关系找到等量关系，进而构建函数并结合基本不等式求最值17．3【分析】由得出由得是中点在直角三角形中求出角再根据数量积的定义计算【详解】由得所以又所以是中点如图中所以所以故答案为：3【点睛】本题考查向量的数量积解题关键由已知数量积为0得出直角三角形由向量的线解析：3 【分析】由2AB BA BC =⋅得出AB AC ⊥，由0OA OC AB ++=得O 是BC 中点，在直角三角形中求出角C ，再根据数量积的定义计算． 【详解】由2AB BA BC =⋅得22()0AB BA BC AB AB BC AB AB BC AB AC -⋅=+⋅=⋅+=⋅=，所以AB AC ⊥，又0OA OC AB OB OC ++=+=，所以O 是BC 中点，如图Rt ABC 中，1AB =，1OA OB OC ===，所以30C =︒，AC ==所以23CA CB ⋅=︒=． 故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积，解题关键由已知数量积为0得出直角三角形，由向量的线性运算得出O 是BC 中点．18．【分析】根据平面向量的数量积运算求得的值再利用中线的性质表示出由此求得计算当的最小时的值即可【详解】解：连接如图所示：由等腰三角形中知所以∵是的中线∴同理可得∴又∴故当时有最小值此时故答案为：【点睛解析：47【分析】根据平面向量的数量积运算求得CA CB 的值，再利用中线的性质表示出CM 、CN ，由此求得MN ，计算当||MN 的最小时x y +的值即可． 【详解】解：连接CM ，CN ，如图所示：由等腰三角形中，1AC BC ==，3AB =120ACB ∠=︒，所以1=2CA CB ⋅-.∵CM 是CEF ∆的中线，∴()()1122CM CE CF xCA yCB =+=+. 同理可得()1=2CN CA CB +. ∴()()111122MN CN CM x CA y CB =-=-+-， ()()()()222111111114224MN x x y y ⎛⎫=-+--⨯-+- ⎪⎝⎭， 又41x y +=， ∴222131424MN y y =-+，(),0,1x y ∈.故当17y =时，2MN 有最小值，此时3147x y =-=. 故答案为：47. 【点睛】本题考查了平面向量数量积公式及其运算性质问题，也考查了二次函数求最值的应用问题，属于中档题．19．（集合或中的任何一个值都行）【分析】由函数的周期和区间长度可以确定和是单调区间的端点值由此列式求值【详解】的周期是而区间的长度是个单位长度则一个周期内完整的一个单调增区间或减区间当时所以解得：或解得解析：6π（集合5{26k πϕϕπ=-+或2,}6k k Z πϕπ=+∈中的任何一个值都行 ） 【分析】由函数的周期，和区间长度可以确定3π和43π是单调区间的端点值，由此列式，求ϕ值. 【详解】()f x 的周期是2π，而区间4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭的长度是π个单位长度，则4,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭一个周期内完整的一个单调增区间或减区间， 当433x ππ<<时，433x ππϕϕϕ+<+<+， 所以2324232k k ππϕπππϕπ⎧+=-+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩ ，解得：52,6k k Z πϕπ=-+∈， 或23243232k k ππϕπππϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=+⎪⎩，解得：26k πϕπ=+，k Z ∈，所以其中一个6π=ϕ， 故答案为：6π（集合5{26k πϕϕπ=-+或2,}6k k Z πϕπ=+∈中的任何一个值都行 ） 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，求参数的取值范围，本题的关键是确定3π和43π是单调区间的端点值，列式后就比较容易求解.20．【分析】求出平移后的函数解析式由新函数图象过原点得出【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得解析式为它的图象关于原点对称则即故答案为：【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换考查三角函数的对称性注意性解析：【分析】求出平移后的函数解析式，由新函数图象过原点得出a ， 【详解】将函数()sin 23cos2f x a x x =+的图象向左平移6π个单位长度，得解析式为()sin 23cos 266g x a x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，它的图象关于原点对称，则(0)0g =，即sin3cos033a ππ+=，a =故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查三角函数的对称性，注意性质：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与x 轴的交点是其对称中心，它的对称中心在函数图象上．三、解答题21．（1）T π=，[-；（2）14a ≥. 【分析】（1）利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x π=-，代入周期公式，可求得周期T ，根据x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得答案.（2）根据题意可得min max ()()g x f x ≥，由（1）可得max ()f x =0a <，0a =，0a >三种，()3ag x x x=+的最小值，结合对勾函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）1()2cos 2)2sin(2)26f x x x x π=-=-， 周期22T ππ== 由[,]34x ππ∈-，则52[,]663x πππ-∈-， 所以当262x ππ-=-，即6x π=-时，()2sin(2)6f x x π=-有最小值-1当263x ππ-=，即4x π=时，()2sin(2)6f x x π=-有最大值2，所以1sin(2)6x π-≤-≤，所以22sin(2)6x π-≤-≤即()f x的值域为[-（2）对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，只需当min max ()()g x f x ≥ 由（1）知，max ()f x =当0a <，()3ag x x x=+为(0,)+∞上增函数，值域为R ，不满足题意； 当0a =，()3g x x =为(0,)+∞上增函数，值域为(0,)+∞,不满足题意；当0a >，()3ag x x x=+为对勾函数，所以()3a g x x x =+≥=min ()g x =， 当且仅当3ax x=，即x =.由题意，即可，所以14a ≥. 【点睛】解题的关键是将题干条件等价为min max ()()g x f x ≥，分别根据12,x x 的范围，求得两函数的最值，再进行求解，考查分析计算的能力，属中档题. 22．（1）52m =-，单调递减区间为2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）(,-∞. 【分析】（1）利用二倍角的正、余弦公式以及辅助角公式化简()f x ，再根据()f x 的最小值列出关于m 的方程，由此求解出m 的值； （2）根据已知条件化简不等式sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭，将问题转化为“min 12sin sin a x x ⎛⎫<+⎪⎝⎭且()0,x π∈”，再结合基本不等式求解出min12sin sin x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，从而a 的取值范围可求. 【详解】（1）因为()211cos cos 2cos 2222f x x x x m x x m =++=+++， 所以()1sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，所以当sin 216x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 有最小值， 所以()min 1132f x m =-++=-，所以52m =-， 令3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，所以2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以单调递减区间为：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦； （2）因为sin 06a x f x π⎛⎫++< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立， 所以sin sin 2202a x x π⎛⎫++-< ⎪⎝⎭对()0,x π∀∈恒成立，所以sin cos220a x x +-<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 12sin 20a x x +--<对()0,x π∀∈恒成立，所以2sin 2sin 1a x x <+对()0,x π∀∈恒成立，又因为()0,x π∈，所以sin 0x >，所以12sin sin a x x<+对()0,x π∀∈恒成立，所以min12sin sin a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭且()0,x π∈，又因为12sin sin x x +≥12sin sin sin 0x x x ⎧=⎪⎨⎪>⎩，即2sin x，即4x π=或34x π=，所以(a ∈-∞. 【点睛】方法点睛：一元二次类型的不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值（可借助函数单调性、基本不等式）与参数的大小关系. 23．（1）1-；（2）9-. 【分析】（1）利用平面向量基本定理，取AB AD 、为基底，利用向量加减法可解； （2）把所有的向量用基底AB AD 、表示后，计算AC EF ⋅.【详解】解：（1）因为1,22BE BC CF FD ==， 所以12122323EF EC CF BC DC AD AB =+=-=-，所以21,32x y =-=， 故213232132x y ⎛⎫+=⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. （2）∵AC AB AD =+， ∴2212121()23236AC EF AB AD AD AB AD AB AB AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅⎪⎝⎭∵ABCD 为菱形∴||=||6AD AB = ∴2211||||cos 66AC EF AB AB BAD ⋅=--∠. 11136369662=-⨯-⨯⨯=-，即9AC EF ⋅=-. 【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则； (2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.24．（1）2；（2）23．【分析】（1）直接利用三角运算结合向量模的运算法则计算得到答案. （2）根据向量平行得到1tan 2θ=，再化简利用齐次式计算得到答案. 【详解】（1）43θπ=，所以4433cos ,2sin ,332a ππ⎛⎫⎛=-=⎪ ⎝⎭⎝，所以232a ⎛⎫==⎪ （2）//a b ，则3cos 32sin 0θθ-+⨯=，所以1tan 2θ=，故22cos 1cos 122sin cos tan 134θθπθθθθ-===++⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了向量模的运算，向量平行的应用，三角恒等变换，齐次式求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.25．（1）()cos 2f x x =；（2）11,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用降幂公式降次，然后利用辅助角公式合一，代入()04f π=求解即可；（2）根据伸缩平移得到函数()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后利用整体法，求解23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，再根据题干列不等式求解.【详解】（1）21cos 213()2622x f x x πωπω⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎝⎭1cos 2sin 22626x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 2x ω=．因为02ω<<，cos 042f πωπ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以1ω=，()cos 2f x x =． （2）由题可知，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+⎪⎝⎭上有且只有一个0x ，使得()0g x 取得最大值， 所以0()()244ππααπ<+--≤，即0απ<≤． 因为,44x ππαα⎛⎫∈-+⎪⎝⎭， 所以22,2366x πππαα⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭则112,666πππα⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，132,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当206πα-<，即12πα>时，226παπ+≤，故`111212ππα<≤； 当206πα-≥，即12πα≤时，132266πππα<+≤，故α∈∅． 综上，α的取值范围为11,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦． 【点睛】 关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.26．（Ⅰ）5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， （Ⅱ）()f x 的最大值为31+ 【分析】（Ⅰ）由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈可得答案.（Ⅱ）设23t x π=+，由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则233t ππ≤≤ ,sin 1t ≤≤，从而可得答案. 【详解】（Ⅰ）由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈5222,66k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为：5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， （Ⅱ）设23t x π=+，由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则233t ππ≤≤sin 1t ≤≤，则2sin 11,3y t ⎤=+∈⎦当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最大值为31 【点睛】 关键点睛：本题考查求三角函数的单调区间和最值，解答本题的关键是设23t x π=+，由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则233t ππ≤≤ sin 1t ≤≤，属于中档题.。

【翼教版】高中数学必修四期末一模试卷及答案

【翼教版】高中数学必修四期末一模试卷及答案

一、选择题1．已知函数()sin os 0(c f x x a x a ωω=+>且0>ω），周期2T π<，()3f π()f x 在6x π=处取得最大值，则ω的最小值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．142．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α=（ ）A ．15B C ．35D 3．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 5．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，5cos 6A =，若O 为ABC ∆的外心（即三角形外接圆的圆心），且AO mAB nAC +=，则2n m -=（ ） A ．199B ．4122-C ．111-D ．17116．在AOB ∆中，0,5,25,OA OB OA OB AB ⋅===边上的高为,OD D 在AB 上，点E 位于线段OD 上，若34OE EA ⋅=，则向量EA 在向量OD 上的投影为（ ） A ．12或32B ．1C ．1或12D ．327．已知a ，b 是单位向量，a •b =0．若向量c 满足|c a b --|＝1，则|c |的最大值为（ ） A ．21-B ．2C ．21+D ．22+8．设非零向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，则22a tb b+的最小值为（ ）A ．3B ．3 C ．12D ．19．已知函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中(0,)2πϕ∈ ，则函数g （x ）=cos （2x-φ）的图象（ ） A ．关于点(,0)12π对称 B ．关于轴512x π=-对称 C ．可由函数f （x ）的图象向右平移6π个单位得到 D ．可由函数f （x ）的图象向左平移3π个单位得到 10．使函数()3sin(2)cos(2)f x x x θθ=+++是偶函数，且在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是减函数的θ的一个值是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．已知函数()()()()2sin 0,0,f x x ωϕωϕπ=+>∈的部分图像如图所示，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变），所得图像对应的函数()g x 解析式为（ ）A ．()2sin 46g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 43g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()2sin 3g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭12．已知函数()()()3cos 0g x x ωϕω=+>在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3g π=，则ω的取值共有（ ） A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题13．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________.14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.15．设函数()3sin cos f x x x =-的图像为C ，有如下结论： ①图象C 关于直线2π3x =对称； ②()f x 的值域为[]22-,； ③函数()f x 的单调递减区间是π2π2π,2π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈； ④图象C 向右平移π3个单位所得图象表示的函数是偶函数. 其中正确的结论序号是___________________.（写出所有正确结论的序号）.16．向量,a b 满足(1,3),2,()(3)12a b a b a b ==+⋅-=，则a 在b 方向上的投影为__________．17．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 18．如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN 的最小值是_____.19．已知3cos 6απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则54cos sin 63ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为_____．20．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为106米（如图所示），旗杆底部与第一排在一个水平面上，若国歌长度约为50秒，升旗手应以__________（米 /秒）的速度匀速升旗．三、解答题21．已知函数()sin()1g x ax bπ=-++，从下面三个条件中任选一个条件，求出,a b 的值，并解答后面的问题. ①已知函数f (x )＝2sin(x ＋6π)·sin(x －3π)＋2的最小值为a ，最大值为b ； ②已知0,0a b >>，且4a b +=，当19a b+取到最小值时对应的a ，b ； ③已知函数3()f x b x a=+-，满足(1)(1)6f x f x -++=. （1）选择条件________，确定,a b 的值；（2）求函数()g x 的单调递增区间和对称中心. 22．已知向量a 与b 的夹角为3π，且1a =，2b =. （1）求a b +；（2）求向量a b +与向量a 的夹角的余弦值.23．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-． （附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式()()22122121PP x x y y =-+-24．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角. 25．已知函数231())sin ()(02)632f x x x ππωωω=+++-<<，且()04f π=．（1）求()f x 的解析式;（2）先将函数()y f x =图象上所有的点向右平移6π个单位长度，再将所得各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数()y g x =的图象．若()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭有且只有一个0x ，使得0()g x 取得最大值，求α的取值范围．26．已知函数()322sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值； （2）若不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【分析】利用辅助角公式，求得()f x 的解析式，根据题意，可求得ϕ的表达式，根据tan a ϕ=，可求得1tan 6a πω⎛⎫=⎪⎝⎭，又根据()3f π=，可求得cos 6πω⎛⎫= ⎪⎝⎭sin 6πω⎛⎫⎪⎝⎭的值，根据同角三角函数的关系，可求得a 的值，即可求得ω的表达式，根据ω的范围，即可求得答案.【详解】()sin cos ),tan f x x a x x a ωωωϕϕ=+=+=，因为22T ππω=<，所以1ω>，因为()f x 在6x π=处取得最大值，所以2,62k k Z πωπϕπ+=+∈，即2,26k k Z ππωϕπ=+-∈，所以1tan tan 2tan 2626tan 6k a ππωππωϕππω⎛⎫⎛⎫=+-=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭， 所以1tan 6aπω⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()3f π3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 3πωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin sin 2sin cos 3326266k πωπωππωππωπωϕπ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以sin tan cos 666πωπωπω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又2222sin cos 166πωπω⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 解得23a =，又0a >，所以a =1sin 62πω⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以2,66k k Z πωππ=+∈或52,66k k Z πωππ=+∈，解得121,k k Z ω=+∈或125,k k Z ω=+∈，又1ω>，所以ω的最小值为13.【点睛】解题的关键是根据题意，求得ϕ的表达式，代入求得tan 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，cos 6πω⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，再结合同角三角函数关系进行求解，计算量大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.2．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理得到1sin cos 2αα=，再利用同角三角函数的平方关系，结合范围解出cos α即可. 【详解】由2sin 2cos21αα-=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得2sin 21cos2αα=+，cos 0α>，所以24sin cos 2cos ααα=，即2sin cos αα=，故1sin cos 2αα=， 代入22sin cos 1αα+=得，25cos 14α=，故24cos 5α=，因为cos 0α>，所以cos α=. 故选：D. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于熟记公式并准确运算，还要注意角的范围的限制，才能突破难点.3．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++，∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.4．B解析：B 【分析】化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．5．D解析：D 【分析】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，从而得到·0?0OD AB OE AC ==，，坐标化构建m ，n 的方程组，解之即可.【详解】设,D E 分别为,AB AC 的中点，连接,OD OE ，则OD AB ⊥，OE AC ⊥，又OD AD AO =-，即11222mOD AB mAB nAC AB nAC -=--=-， 同理122nOE AE AO AC mAB -=-=-， 因为212·||?02mOD AB AB nAB AC -=-=， 所以124502m n -⨯-=，又212·||?02nOE AC AC mAB AC -=-=， 所以129502nm -⨯-=，联立方程组124502129502mn n m -⎧⨯-=⎪⎪⎨-⎪⨯-=⎪⎩，解得922811 mn⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以17211n m-=.故选D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．A解析：A【解析】Rt AOB中，0OA OB⋅=，∴2AOBπ∠=，∵5OA =，25OB=|，∴225AB OA OB=+=，∵AB边上的高线为OD，点E位于线段OD上，建立平面直角坐标系，如图所示；则)5,0A、(025B，、设(),D m n，则OAD BAO∽，∴OA ADAB OA=，∴1AD=，∴15AD AB=，即()(155,255m n=-，，求得55m=，∴452555D⎛⎝⎭；则45254525,,5555OE ODλλλ⎛⎛⎫===⎪⎪⎝⎭⎝⎭，45255,EA λλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎭； ∵34OE EA ⋅=， ∴2454525354λλλ⎛⎫⎛⎫⋅--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭， 解得34λ=或14λ=；∴向量EA 在向量OD 上的投影为()()45251,1ED OD OE λλ⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭， 当34λ=时，551,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭；当14λ=时，35353,2ED ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭． 即向量EA 在向量OD 上的投影为12或32，故选A. 7．C解析：C 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出． 【详解】∵|a |＝|b |＝1，且0a b ⋅=，∴可设()10a =，，()01b =，，()c x y ，=． ∴()11c a b x y --=--，． ∵1c a b --=， ∴22(1)(1)1x y -+-=x ﹣1）2+（y ﹣1）2＝1．∴c 的最大值2211121=+=．故选C ． 【点睛】熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键．8．B解析：B【分析】利用向量a与b 的夹角是23π，且a a b=+，得出a b a b==+，进而将22a tbb+化成只含有t为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值.【详解】对于a，b和a b+的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD==，b BC=，a b BD+=,23ABCπ∠=，3DCBπ∴∠=，a a b=+，CD BD BC∴==，a b a b∴==+，2222222==222a tba tb a tbb bb+++，a b=，22222222244cos223=224a t ab t ba tba tbb b bπ++++=，222222222244cos42312444a t ab t b a t a a t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t=时，22a tbb+的最小值为32.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.9．B解析：B 【分析】利用三角函数的奇偶性求得φ，再利用三角函数的图象对称性、函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】函数f （x ）=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴y=2sinxsin （x+3φ）是奇函数，∴3φ=2π，φ=6π，则函数g （x ）=cos （2x ﹣φ）=cos （2x ﹣6π）． 当12x π=时，206x π-=，112g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则函数不关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，选项A 错误； 当512x π=-时，26x ππ-=-，则函数关于直线512x π=-对称，选项B 正确；函数()2sin sin 2sin cos sin 22f x x x x x x π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭， 其图像向右平移6π个单位的解析式为sin 2sin 2sin 263y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项C 错误；其图像向左平移3π个单位的解析式为2sin 2sin 2sin 233y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 选项D 错误； 故选B. 【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性、对称性，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．函数()sin y A x ωϕ=+（A >0,ω>0）的性质：（1）奇偶性：=k ϕπ ,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为奇函数；=2k πϕπ+,k Z ∈时，函数()sin y A x ωϕ=+为偶函数.；（2）周期性：()sin y A x ωϕ=+存在周期性，其最小正周期为T =2πω；（3）单调性：根据y =sin t 和t =x ωϕ+的单调性来研究，由+22,22k x k k Z πππωϕπ-≤+≤+∈得单调增区间；由3+22,22k x k k Z πππωϕπ≤+≤+∈得单调减区间；（4）对称性：利用y =sin x 的对称中心为()(),0k k Z π∈求解，令()x k k ωϕπ+=∈Z ，求得x ；利用y =sin x 的对称轴为()2x k k Z ππ=+∈求解，令()+2x k k πωϕπ+=∈Z ，得其对称轴.10．B解析：B 【解析】1())cos(2))cos(2))2sin(2)26f x x x x x x πθθθθθ=+++=+++=++,由于()f x 为偶函数，则(0)2sin()26f πθ=+=±，sin()1,662k πππθθπ+=±+=+，3k πθπ=+，当0k =时，3πθ=，()2sin(2)2sin(2)362f x x x πππ=++=+2cos2x =，当[0,]4x π∈时，2[0,]2x π∈，()2cos2f x x =为减函数，符合题意，所以选B.11．B解析：B 【分析】 由32341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭可求出T π=，进而可得2ω=，令 ()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈结合()0,ϕπ∈即可求得ϕ的值，再根据三角函数图象的伸缩变换即可求()g x 的解析式. 【详解】由图知32934123124T ππππ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭， 所以T π=，可得2ππω=，解得2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+， 令()22122k k Z ππϕπ⨯+=+∈，所以()23k k Z πϕπ=+∈，因为()0,ϕπ∈，所以令0k =，可得3πϕ=，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将()y f x =图像上所有点的横坐标缩小到原来的12（纵坐标不变）， 可得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：B12．B解析：B 【分析】根据函数在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，且满足04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=，可得周期的范围，进而得到关于ω的方程与不等式，结合n *∈N 可求ω的值，从而可得答案. 【详解】因为()g x 在7,6ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上具有单调性，04g π⎛⎫=⎪⎝⎭，()3g π=， 所以()()7,62,4422121,442T T n n T n N πππωπππωπππω*⎧-≤=⎪⎪⎪-≥=⎨⎪⎪---==∈⎪⎩得263ω≤≤，423n ω-=，n *∈N ， 所以242633n -≤≤， 解得15n ≤≤.即1,2,3,4,5n =，可得23ω=，102,3，143，6，经检验均符合题意，所以ω的取值共有5个. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题主要考查余弦函数的几何性质，解题的关键是利用单调区间以及对称点、最值点与周期的关系列出不等式.二、填空题13．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.14．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析：22122x y -=.【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tan a APF m +∠=,2tan aBPF m-∠=, ∴()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()20b m m m=>,即当m b =时,等号成立,此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b-=,可得a =b =∴双曲线的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.15．①②④【分析】化简函数代入求最值可判断①；求出的最值可判断②；求出函数的单调递减区间可判断③；求出向右平移个单位的解析式化简后可判断④【详解】当时取得最大值2故①正确；因为的最大值为2最小值为所以的解析：①②④. 【分析】化简函数()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 代入2π3x =求最值可判断①；求出()f x 的最值可判断②；求出函数()f x 的单调递减区间可判断③；求出()f x 向右平移π3个单位的解析式化简后可判断④. 【详解】()1cos 2cos 22f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos sin sin cos 2sin 666x x x πππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当2π3x =时，22π2sin 2336f ππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取得最大值2，故①正确； 因为()π2sin 6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最大值为2，最小值为2-，所以()f x 的值域为[]22-,，故②正确； 令π322262k x k ππππ+≤-≤+()k Z ∈，得252233k x k ππππ+≤≤+， 即()f x 的单调递减区间是2π5π2π,2π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈，故③错误； 图象C 向右平移π3个单位得π2sin 2sin 2cos 362y x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，故④正确.故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简()f x 的解析式，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.16．【解析】分析：先通过已知条件求出的值再求在方向上的投影详解：因为所以所以在方向上的投影为故答案为1点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积考查向量的投影意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运解析：【解析】分析：先通过已知条件求出cos α的值，再求a 在b 方向上的投影. 详解：因为()()312a b a b +⋅-=，所以2213212,124222cos 12,cos 2a b a b αα-+⋅=∴-+⨯⨯⨯=∴=. 所以a 在b 方向上的投影为1cos 2()12a α=⨯=，故答案为1.点睛：（1）本题主要考查向量的运算和数量积，考查向量的投影，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) cos a θ叫做向量a 在b 上的“投影”， 向量a 在向量b 上的投影cos a θ，它表示向量a 在向量b 上的投影对应的有向线段的数量．它是一个实数，可以是正数，可以是负数，也可以是零．17．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以解析：2【详解】 两端平方得222114k ke e =++⋅， 又121122S e e sin θ==， 得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=， 即234k =，又 0k >，所以k =.18．【分析】根据条件及向量数量积运算求得连接由三角形中线的性质表示出根据向量的线性运算及数量积公式表示出结合二次函数性质即可求得最小值【详解】根据题意连接如下图所示:在等腰三角形中已知则由向量数量积运算解析：77【分析】根据条件及向量数量积运算求得AB AC ⋅,连接,AM AN ,由三角形中线的性质表示出,AM AN .根据向量的线性运算及数量积公式表示出2MN ,结合二次函数性质即可求得最小值. 【详解】根据题意,连接,AM AN ,如下图所示:在等腰三角形ABC 中,已知1AB AC ==,120A ∠=︒则由向量数量积运算可知1cos 11cos1202AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯=- 线段EF BC 、的中点分别为M N 、则()()1122AM AE AF AB AC λμ=+=+ ()12AN AB AC =+ 由向量减法的线性运算可得11112222MN AN AM AB AC λμ⎛⎫⎛⎫=-=-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2211112222MN AB AC λμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222211111111222222222AB AC AB AC λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭221111111112222222222λμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯-⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为41λμ+=,代入化简可得22221312111424477MN μμμ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为(),0,1λμ∈且41λμ+=10,4μ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭所以当17μ=时, 2MN 取得最小值17因而min7MN==故答案为 【点睛】本题考查了平面向量数量积的综合应用,向量的线性运算及模的求法,二次函数最值的应用,属于中档题.19．0【分析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得与的值则答案可求【详解】解：∵∴∴故答案为：0【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值考查诱导公式的应用属于基础题解析：0 【分析】由已知利用三角函数的诱导公式分别求得5cos()6πα+与4sin()3πα+的值，则答案可求． 【详解】解：∵cos()6πα-=∴5cos()cos[()]66ππαπα+=--cos()6πα=--=，4sin()sin()33ππαα+=-+sin ()26ππα⎡⎤=---=⎢⎥⎣⎦cos()6πα--=，∴54cos()sin()63ππαα+-+(0==， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，属于基础题．20．6【分析】根据题意可求得然后利用正弦定理求得最后在中利用求得答案【详解】在中由正弦定理得；在中（米）所以升旗速度（米/秒）故答案为06【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用此类问题的解决关键是建立解析：6 【分析】根据题意可求得，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，CD =BC ，最后在Rt ABC 中利用sin60AB BC =︒求得答案． 【详解】在BCD 中，45BDC ∠=︒，30CBD ∠=︒，CD =由正弦定理，得sin 45sin 30CD BC ︒==︒在Rt ABC 中，sin?60302AB BC =︒==（米）． 所以升旗速度300.650t AB v ===（米/秒）． 故答案为0.6.【点睛】 本题主要考查了解三角形的实际应用．此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，利用所学知识解决，属于中档题.三、解答题21．（1）1,3a b ==；（2）递增区间为7[2,2]()66k k k Z ππππ++∈，对称中心为,13k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈. 【分析】（1）选择条件①，利用两角和与差的公式，二倍角公式和辅助角公式整理函数()f x ，利用最值即求得参数,a b ；选择条件②，妙用“1”代入，使用基本不等式，计算取等号条件，即求得参数,a b ；根据分式函数对称中心和已知条件对照，即求得参数,a b ； （2）先利用参数,a b 得()sin()13g x x π=-++，再利用整体代入法求函数单调增区间和对称中心即可.【详解】解：（1）选择条件①，()2sin()sin()263f x x x ππ=+-+，故111()=2cos sin 2sin 222222f x x x x x x x ⎫⎛⎫⎛⎫++=-++⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()sin(2)23f x x π∴=-++， 当sin(2)13x π+=-时，max ()3f x =； 当sin(2)13x π+=时，min ()1f x =. 故1,3a b ==；选择条件②，0,0a b >>，4a b +=，则19119191()()(19)(104444b a a b a b a b a b +=++=+++≥+=，当且仅当9b a a b=时，等号成立，即3b a =代入4a b +=，得1,3a b ==；选择条件③，函数3()f x b x a=+-的定义域{}x x a ≠，值域为{}y y b ≠，即该分式函数对称中心为(),a b ，又(1)(1)6f x f x -++=得()f x 对称中心为()13，， 故1,3a b ==；（2）由（1）知1,3a b ==， 得()sin()13g x x π=-++，要使()g x 递增，只需sin()3x π+递减， 故令322,232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈， 解得722,66k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()g x 递增区间为72,2()66k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦， 令3x k ππ+=，解得：3x k ππ=-+，k Z ∈，所以()g x 的对称中心为,13k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈. 【点睛】方法点睛： 求三角函数性质问题时，通常先利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式及辅助角公式将函数化简成基本形式()()sin f x A x b ωϕ=++，再利用整体代入法求解单调性、对称性等性质.22．（1；（2. 【分析】（1）由已知利用平面向量数量积公式可得1a b ⋅=，平方后根据向量数量积的运算可求||a b +的值．（2）结合（1），根据已知条件，由向量夹角的余弦公式即可求解．【详解】（1）向量a 与b 的夹角为3π，且||1a =，||2b =， ∴||||cos a b a b a ⋅=<，112cos12132b π>=⨯⨯=⨯⨯=．222||()2142a b a b a b a b ∴+=+=++⋅=++=．（2）设向量a b +与向量a 的夹角θ，22()||27cos ||||||||||||71a b a a a b a a b a b a a b a a b a θ+⋅+⋅+⋅∴=====+⋅+⋅+⋅⨯．【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，属于中档题． 23．（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论.【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+.证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==， 则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立．故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立；（2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-.即证结论.【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.24．（1）2）6π. 【分析】 （1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ 【详解】解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒ ∴1||||cos12042()42a b ab =︒=⨯⨯-=- ∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ 则2()3cos ||||42383a ab a a a b θ+====+⨯ 0θπ∴6πθ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题25．（1）()cos 2f x x =；（2）11,1212ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【分析】（1）利用降幂公式降次，然后利用辅助角公式合一，代入()04f π=求解即可；（2）根据伸缩平移得到函数()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后利用整体法，求解23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的范围，再根据题干列不等式求解.【详解】（1）21cos 213()22622x f x x πωπω⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎝⎭=++- ⎪⎝⎭12sin 2626x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ cos 2x ω=．因为02ω<<，cos 042f πωπ⎛⎫== ⎪⎝⎭所以1ω=，()cos 2f x x =． （2）由题可知，()2cos 22cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()g x 在区间,44ππαα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上有且只有一个0x ，使得()0g x 取得最大值，所以0()()244ππααπ<+--≤，即0απ<≤． 因为,44x ππαα⎛⎫∈-+⎪⎝⎭， 所以22,2366x πππαα⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭则112,666πππα⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，132,666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 当206πα-<，即12πα>时，226παπ+≤，故`111212ππα<≤； 当206πα-≥，即12πα≤时，132266πππα<+≤，故α∈∅． 综上，α的取值范围为11,1212ππ⎛⎤⎥⎝⎦． 【点睛】 关于三角函数解析式的化简问题，首先需要利用和差公式或者诱导公式展开化为同角，其次利用降幂公式进行降次，最后利用辅助角公式进行合一变换，最终得到()()sin f x A x =+ωϕ的形式.26．（1）最大值为1，最小值为12；（2）1,12⎛- ⎝⎭. 【分析】（1）化简函数为()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据04x π≤≤，求得1sin 2123x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，进而取得函数的最值；（2）把不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，转化为不等式1()1m f x m -+<<+在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，根据42ππx ≤≤，求得1sin 232x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()22sin cos 6f x x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭sin 2cos cos 2sin sin 266x x x ππ⎫=+-⎪⎭1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭因为04x π≤≤，所以52336x πππ≤+≤， 所以1sin 2123x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，且142f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即函数()y f x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值为1，最小值为12． （2）因为不等式()1f x m -<在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 所以不等式1()1m f x m -+<<+在,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 又由42ππx ≤≤，所以542633x πππ≤+≤，所以1sin 2232x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则1112m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩，解得112m -<<-，所以实数m的取值范围是1,12⎛- ⎝⎭． 【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为sin()y A wx ϕ=+的形式；2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.。

【翼教版】高中数学必修四期末模拟试卷带答案(1)

【翼教版】高中数学必修四期末模拟试卷带答案(1)

一、选择题1．已知()2020cos2020f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x ，2x ，使得对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2020π B ．1010π C ．505π D ．4040π 2．若α∈(2π，π)，且3cos 2α＝sin(4π－α)，则sin 2α的值为（ ） A ．－118 B ．118C ．－1718D ．17183．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A． B ．12-C ．12D4．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（ ） AB ．13C ．13-D． 5．已知平面向量a 与b 的夹角为23π，若(3,1)a =-，2213a b -=，则b （ ） A ．3B．4C D ．26．在矩形ABCD 中，|AB |＝6，|AD |＝3.若点M 是CD 的中点，点N 是BC 的三等分点，且BN ＝13BC ，则AM ·MN ＝（ ） A ．6B ．4C ．3D ．27．在平行四边形ABCD 中，3DE CE =，若AE 交BD 于点M .且AM AB AD λμ=+，则λμ=（ ） A ．23B ．32C ．34D ．438．已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A ．06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9．函数()sin()(0||)2，f x x πωϕωϕ=+><的部分函数图象如图所示，将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 21g x x =-B ．()sin 21g x x =+C ．()sin(2)13g x x π=-- D ．()sin(2)13g x x π=-+10．设函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，其图象关于直线3x π=对称，则下列说法正确是（ ）A ．()f x 的图象过点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是7,012π⎛⎫⎪⎝⎭； D ．将()f x 的图象向左平移12ϕ个单位长度得到函数3sin 21y x =+ 的图象. 11．如图，一半径为4.8m 的筒车按逆时针方向转动，已知筒车圆心O 距离水面2.4m ，筒车每60s 转动一圈，如果当筒车上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计时，则（ ）A ．点P 第一次到达最高点需要10sB ．点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ C ．在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m 共有10s 的时间 D ．当筒车转动50s 时，点P 在水面下方，距离水面1.2m 12．已知曲线1C ：sin y x =，2C ：cos 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下面结论正确的是（ ） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移23π个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移12π个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移12π个单位长度，得到曲线2C二、填空题13．若cos()3πα-=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．14．若函数()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________.15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________.16．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题： ①若1ABλ=，1ACμ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心； ③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上； ④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内．其中真命题为______17．不共线向量a ，b 满足||||a b =，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为________. 18．已知夹角为θ的两个单位向量,a b ，向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为______.19．如图，某公园要在一块圆心角为3π，半径为20m 的扇形草坪OAB 中修建一个内接矩形文化景观区域CDEF ，若//EF AB ，则文化景观区域面积的最大值为______2m .20．函数()()0,0,2(f x Asin x A πωϕωϕ=+>><)的部分图像如图所示.则()f x 的解析式是_____.三、解答题21．已知锐角,αβ，满足2510cos αβ==，求αβ+的值. 22．已知函数3()cos (3sin )0)f x x x x ωωωω=+->，且()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若2()2f x ，求x 的取值范围. 23．已知||4,||2a b ==，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）||a b +； （2）a 与a b +的夹角.24．已知平行四边形ABCD 中，2AB =，4BC =，60DAB ∠=，点E 是线段BC 的中点.(1)求AC AE ⋅的值；(2)若AF AE AD λ=+，且BD AF ⊥，求λ的值. 25．已知()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，5,212⎫⎛- ⎪⎝⎭πM 是函数()f x 图象上的一个最低点，π12-是函数()f x 的一个零点．（1）求函数()f x 的解析式； （2）当113636⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，ππx 时，求函数()f x 的值域． 26．设函数()sin(2),(0),()f x x y f x ϕπϕ=+-<<=图像的一条对称轴是直线8x π=.（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调递增区间; （3）画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图像.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B化简函数()f x 的解析式可得周期与最大值，对任意的实数x ，总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，即12x x -半周期的整数倍，代入求最小值即可．【详解】()2020cos 20202sin 20206f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，则220201010T ππ==，2A = 1212210101010A x x ππ-≥⨯⨯=故选：B 【点睛】本题考查正弦函数的性质，考查三角恒等变换，考查周期与最值的求法，属于中档题．2．C解析：C 【分析】按照二倍角的余弦以及两角差的正弦展开可得()3cos sin 2αα+=，对等式平方即可得结果. 【详解】 由3cos 2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得())223cos sin cos sin αααα-=-， 又由,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可知cos sin 0αα-≠，于是()3cos sin 2αα+=，所以112sin cos 18αα=＋， 故17sin 218α=-， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两角差公式以及二倍角公式的应用，属于中档题.3．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可.()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅-sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=，所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.4．B解析：B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.5．A解析：A 【解析】分析：根据题设条件2213a b -=，平方化简，得到关于b 的方程，即可求解结果. 详解：由题意，(3,1)a =-且向量a 与b 的夹角为23π， 由2213a b -=，则222222444442cos523a ba b a b b b π-=+-⋅=+-⨯=， 整理得2120b b +-=，解得3b =，故选A.点睛：本题主要考查了向量的运算问题，其中熟记平面向量的数量积的运算公式，以及向量的模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.6．C解析：C 【分析】根据向量的运算法则，求得12AM AD AB =+，2132MN AD AB =-+，再结合向量的数量积的运算公式，即可求解. 【详解】由题意，作出图形，如图所示：由图及题意，根据向量的运算法则，可得12AM AD DM AD AB =+=+， 2132MN CN CM CB CD =-=-21213232BC DC AD AB =-+=-+，所以2212121||||23234AM MN AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21936334=-⨯+⨯=.故选C ．【点睛】本题主要考查了向量的运算法则，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练应用向量的运算法则和向量的数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.7．B解析：B 【分析】根据已知找到相似三角形，用向量AB 、AD 线性 表示向量AM . 【详解】如图，平行四边形ABCD 中，3DE CE =，ABMEDM ，3322DE DC AB ∴==，()22223323555255AM ME AE AD DE AD AB AB AD ⎛⎫===+=+=+ ⎪⎝⎭. 32λμ= 故选：B 【点睛】此题考查平面向量的线性运算，属于中档题.8．B解析：B 【分析】根据方程有实根得到24cos 0a a b θ∆=-≥，利用向量模长关系可求得1cos 2θ≤，根据向量夹角所处的范围可求得结果. 【详解】关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根 240a a b ∴∆=-⋅≥设a 与b 的夹角为θ，则24cos 0a a b θ-≥ 又20a b =≠ 24cos 0b b θ∴-≥ 1cos 2θ∴≤ 又[]0,θπ∈ ,3πθπ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦本题正确选项：B 【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.9．D解析：D 【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】根据函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的部分函数图象，1274123πππω⋅=-，2ω∴=． 再根据五点法作图，23πϕπ⨯+=，3πϕ∴=，()sin(2)3f x x π=+．将函数()f x 的图象先向右平移3π个单位长度，可得sin(2)3y x π=-的图象．然后向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的解析式为()sin(2)13g x x π=-+，故选：D 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于准确地根据三角函数的图象求出三角函数sin()y A x ωϕ=+的解析式，一般根据周期求出ω的值，根据最值求出A 的值，根据最值点求出ϕ的值.10．D解析：D 【分析】先根据对称轴及最小正周期，求得函数()f x 的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，判断点是否在函数图象上可判断A ，求得函数的单调区间及对称中心即可判断选项BC ，由平移变换求得变化后的解析式并对比即可判断D. 【详解】函数()3sin()10,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π 所以22πωπ==，则()()3sin 21f x x ϕ=++，()()3sin 21f x x ϕ=++图象关于直线3x π=对称,对称轴为2,2x k k Z πϕπ+=+∈,代入可得2,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得,6k k Z πϕπ=-+∈，因为,22ππϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以当0k =时, 6πϕ=-， 则()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 对于A,当0x =时,()3103sin 11622f π=-+=-+=- ，所以错误； 对于B,()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤， 解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈，因为123ππ<，则()f x 在2,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是减函数,所以错误；对于C ，773sin 213sin 11012126f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-+=+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以7,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭不是()f x的一个对称中心，所以错误； 对于D ，1212πϕ=，将()3sin 216f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度得到可得3sin 213sin 21126y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以能得到3sin 21y x =+的图象,所以正确. 故选: D. 【点睛】本题考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，关键点是根据已知条件先求出正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.11．B解析：B 【分析】先建立坐标系，从点0P 开始计时，建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++，通过题中条件求出参数0,,,A b ωϕ，再利用函数解析式对选项依次判断正误即可. 【详解】以水面所在直线为t 轴，过O 作OO t '⊥轴，建立坐标系如图：设点P 距离水面的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）的函数解析式为()0sin h A t b ωϕ=++.依题意可知， 2.4OO '=， 2.41sin 4.82OPO '∠==，6OPO π'∠=. 高度h 最大值为2.4 4.87.2+=，最小值为2.4 4.8 2.4-=-，故()()7.2 2.47.2 2.44.8, 2.422A b --+-====， 周期60T =s ，则230T ππω==， 0t =时，06πϕ=-，故函数解析式为 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，故B 正确；点P 到达最高点时 4.8sin 2.47.2306h t ππ⎛⎫=-+=⎪⎝⎭，即sin 1306t ππ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故2,3062t k k Z ππππ-=+∈，即2060,t k k Z =+∈，又0t ≥，故第一次到达最高点时，0,20k t ==s ，故A 错误；在筒车转动的一圈内，点P 距离水面的高度不低于4.8m ，即4.8sin 2.4 4.8306h t ππ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，得1sin 3062t ππ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，故563066t ππππ≤-≤，解得1030t ≤≤，故共有20 s 时间，C 错误；当筒车转动50s 时，即50t =代入 4.8sin 2.4306h t ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭得，34.8sin 50 2.4 4.8sin 2.4 2.43062h πππ⎛⎫=⨯-+=+=- ⎪⎝⎭，故点P 在水面下方，距离水面2.4m ，故D 错误. 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题解题关键在于按照题意，建立三角函数模型()0sin h A t b ωϕ=++，并解出解析式，才能解决选项中的实际问题，突破难点.12．C解析：C 【分析】由题意利用诱导公式得1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，根据函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论． 【详解】已知曲线1sin cos :2C y x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2cos 23:C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，可得cos 22y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把得到的曲线向左平移 12π个单位长度，得到曲线2cos 2cos 263:2C x x πππ⎛⎫⎛⎫+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，故选C ．【点睛】本题主要考查函数()cos y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．二、填空题13．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析：2-【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案. 【详解】由cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得cos tan332ααα===-==-．故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.14．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析：[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+，做出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】解：因为()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈所以()2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+，[0,]x π∈，由[]0,x π∈，可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()f x ，[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解，画出()f x 的图象如下所示：依题意可得46m ≤<时，函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，故答案为：[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．15．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析：22122x y -=.【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tan a APFm +∠=,2tan aBPF m-∠=,∴()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()20b m m m=>,即当m b =时,等号成立,此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b-=,可得a =b =∴双曲线的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.16．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④ 【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断. 【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.17．【解析】由垂直可知=0即又因为所以填（或） 解析：3π【解析】由垂直可知()a a 2b -=0,即2||20a a b -⋅=,2||2a ab ⋅=,1cos ,2a b a b a b ⋅==⋅,又因为,[0,]a b π<>∈ ,所以,3a b π<>=.填π3（或60︒）. 18．【分析】建立平面直角坐标系设出向量的坐标得出向量的终点的轨迹方程再运用点与圆的位置关系可以得到的最大值【详解】由已知建立平面直角坐标系设又所以所以点在以为圆心以为半径的圆上所以的最大值为所以的最大值 解析：cossin22θθ+【分析】建立平面直角坐标系，设出向量a b c ，，的坐标，得出向量c 的终点C 的轨迹方程，再运用点与圆的位置关系可以得到||c 的最大值. 【详解】由已知建立平面直角坐标系，设()()()10cos ,sin ,,OA a OB b OC c x y θθ======，，，又()()0a c b c -⋅-=，所以()22+1+cos sin +cos 0x x y y θθθ-⋅-⋅=，所以点C 在以1+cos sin ,22P θθ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以sin 2R θ=为半径的圆上，所以c 的最大值为+cos +sin 222OP R θθθ==， 所以c 的最大值为cossin22θθ+，故答案为：cos sin22θθ+.【点睛】本题考查求向量的模的最值，建立平面直角坐标系，设出向量坐标，得出向量的终点的轨迹方程是解决本题的关键，属于中档题.19．【分析】取中点连结交于点交于点连结设推导出和从而得出文化景观区域面积利用三角函数的性质解出面积最大值【详解】取中点连结交于点交于点连结设则文化景观区域面积：当即时文化景观区域面积取得最大值为故答案为 解析：()40023-【分析】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，推导出DC 和CF ，从而得出文化景观区域面积，利用三角函数的性质，解出面积最大值． 【详解】取DC 中点M ，连结OM ，交EF 于点P ，交CD 于点N ，连结OD ，设DOM ϕ∠=，则20sin DN CN ϕ==，40sin DC ϕ∴=，20cos 20cos 203tan 30PFCF DE PN ON OP ϕϕϕ===-=-=-︒，∴文化景观区域面积：()4020203EFCD S sin cos sin ϕϕϕ=-矩形 400sin 24003(1cos 2)ϕϕ=--800sin(2)40033πϕ=+-∴当232ππϕ+=，即12πϕ=时，文化景观区域面积取得最大值为2400(23)()m -．故答案为：400(23)-． 【点睛】本题考查文化景观区域面积的最大值的求法，考查扇形、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．【分析】由图像对应横坐标可求再将代入可进一步求解由图像过点可求进而求解【详解】由解得又函数过所以解得又图像过可得解得故故答案为：【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式属于中档题解析：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【分析】由34T 图像对应横坐标可求ω，再将6x π=代入可进一步求解ϕ，由图像过()0,1点可求A ，进而求解 【详解】由1132312644T πππω-==⋅，解得2ω=，又函数过()max ,6f x π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以63A f Asin ππϕ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭=，解得6π=ϕ，又图像过()0,1可得()106f Asin π==，解得2A =，故()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭故答案为：()2sin 26f x πx ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭【点睛】本题考查由三角函数图像求解析式，属于中档题三、解答题21．4π【分析】首先利用同角三角函数求sin α，cos β，再求()cos αβ+的值，利用角的范围求αβ+的值. 【详解】∵,αβ为锐角且cos ,sin 510αβ==sin cos cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ======∴+=-==由02πα<<，02πβ<<得 0αβ<+<π又cos()0αβ+>∴αβ+为锐角 ∴4παβ+=【点睛】关键点点睛：利用两角和的余弦公式求出角的余弦，根据角的范围写出角，属于中档题. 22．（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）523,()2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.【分析】利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，由周期求出ω， （1）根据正弦函数的单调性可得答案； （2）根据正弦函数的值域可得答案. 【详解】)2()cos sin sin cos f x x x x x x x ωωωωωω=+=+1cos 2sin 222x x ωω+=+1cos 2sin 2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又函数()f x 的最小正周期为x ，所以22ππω=，故1ω=， 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）由题意，得3222,232k x k k πππππ+++∈Z ， 解得7,1212k xk k ππππ++∈Z ， 所以()f x 的单调递减区间是7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因为2()sin 232f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以39222()434k x k k πππππ+++∈Z ， 解得523()2424k x k k ππππ++∈Z ， 所以523,()2424x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是求出正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质解题，要求学生熟练掌握三角函数的基础知识.23．（1）2）6π. 【分析】（1）由已知利用向量的数量积的 定义可求||||cos120a b a b =︒，然后由222||()2a b a b a a b b +=+=++可求（2）设a 与a b +的夹角θ，代入向量的夹角公式2()cos ||||423a ab a a a b θ+==+⨯可求θ【详解】 解：（1）||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒∴1||||cos12042()42a b a b =︒=⨯⨯-=-∴222||()2164a b a b a a b b +=+=++=+-（2）设a 与a b +的夹角θ则2()3cos ||||42383a ab a a a b θ+====+⨯0θπ∴6πθ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的简单应用，属于基础试题 24．(1)18；(2)12λ=-. 【分析】(1)根据条件，可以点A 为原点，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，从而可得出AC AE ，的坐标，然后进行向量数量积的坐标运算即可；(2)可以得出(0BD =，(32)AF =+λ，然后根据BD AF ⊥，即可得出0BD AF ⋅=，进行向量数量积的坐标运算，即可求出λ的值.【详解】(1)以A 点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(4,23)C ，3)E ，(2,3)D ，所以(423)，AC =，(33)，AE =， 所以4323318AC AE ⋅=⨯+⨯=； (2)(023)，BD =，(32323)，AF =+λλ，因为BD AF ⊥， 所以2333)0BD AF ⋅==λ，解得12λ=-. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标运算，选择恰当的点作为坐标原点建系及正确的写出各点坐标是关键，属于中档题.本题也可以AB ,AD 作为基底，利用基底法求解. 25．（1）()2sin 34x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[]1,2-. 【分析】（1）由图知最大值可以求A 的值，由35412122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭及2T πω=可以求出ω的值，由()5332122k k Z ππϕπ⨯+=+∈结合02πϕ<<可以求出ϕ的值，进而可得()f x 的解析式；（2）由113636ππx -≤≤求出34x π+的范围，再由正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由图知：2A =，35412122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得：23T π=， 所以22323Tππωπ===，可得()()2sin 3f x x ϕ=+，因为5,212⎫⎛-⎪⎝⎭πM 是函数()f x 图象上的一个最低点， 所以()5332122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 当0k =时，4πϕ=，所以()2sin 34x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， （2）因为113636ππx -≤≤，所以π7π3646x π≤+≤， 所以1sin 3124x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，12sin 324x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭ 所以函数()f x 的值域[]1,2-.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由三角函数额的周期求出ω得值，再由三角函数的谷点求出ϕ得值.26．（1）34πϕ=-；（2）5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）答案见解析. 【分析】（1）由正弦函数的对数轴求出ϕ；（2）根据正弦函数性质求得增区间；（3）列表描点连线可得图象．注意五点法中的特殊点和区间的端点．【详解】解：（1）8x π=是函数()y f x =的一条对称轴，sin 218πϕ⎛⎫∴⨯+=± ⎪⎝⎭，即,42k k Z ππϕπ+=+∈ 0πϕ-<<，34πϕ∴=-（2）由（1）知3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ 由题意得3222,242k x k k Z πππππ-≤-≤+∈ 52,88k x k k Z ππππ∴+≤≤+∈ 所以函数3sin 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为5,88k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ （3）由3sin 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭可知324x π- 34π- 2π- 0 2π π 54π x 0 8π 38π 58π 78π π y22- 1- 0 1 0 22- 故函数sin 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]0,π上的图像为：【点睛】本题考查三角函数的对称性，单调性，考查用列表描点法作正弦型函数的图象．属于基础题．。

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其中 C 为某一常数。 证：由通解公式
，其中 为对应于解 的某一常数。
也满足公式并分别对应于常数 和 ，且
，于是
九、（8 分）设 的原函数
，且
，当 时，有
，
试求 。 解：因为
及
有
故
因此 故
。求
，其中
。
解：
六、（7 分）计算
。
解：
七、（8 分）在区间
上，给定函数
面积之和最小？何时最大？
，问当 t 为何值时，图中的阴影部分 和 的
解：A 的坐标为
，故
，所以
。因为
，求得驻点
，边界
点
。比较
取最小值；当 时，
八、（8 分）设
取最大值 是方程
，因此，当
时，
的两个不同的解，其中 和
为给定的连续函数，求证对方程的任一解 有恒等式
模拟试题 一、试解下列各题 1（. 4 分）由参数方程 2.（4 分）求极限 二、试解下列试题
1.（5 分）设
2.（5 分）设 三、试解下列各题 1.（6 分）求
确定了函数
，试求 关于 x 的微分（
）。
3.（4 分）确定
的单调区间。
。试确定 之值，使 在 处连续。
，求 。 3.（5 分）已知
，求 。
。
2.（6 分）计算
。
3.（6 分）求
四、设 五、试解下列试题 1.（7 分）求微分方程
。
4.（7 分）求微分方程
的通解。
，求以向量 a 和 b 为边的平行四边形的对角线的长度。
的通解。
2.（6 分）设
。求
，其中
。
六、（7 分）计算
。
七、（8 分）在区间
上，给定函数
，问当 t 为何值
时，图中的阴影部分 和 的面积之和最小？何时最大？
，则
2.（6 分）计算
。
解：
3.（6 分）求
。
解：原式
4.（7 分）求微分方程
解：
四、设
解：对角线为
和
的通解。
。
，求以向量 a 和 b 为边的平行四边形的对角线的长度。
。故
。因此
。又
五、试解下列试题 1.（7 分）求微分方程
解：设
，则
。所以 。因此原方程化为
的通解。
。对应的特征方程为
。
2.（6 分）设
八、（8 分）设
是方程
的两个不同的解，其中 和 为给定的连续函数，求证对
方程的任一解 有恒等式
其中 C 为某一常数。
九、（8 分）设 的原函数
，且
，当 时，有
，
试求 。
一、试解下列各题
1（. 4 分）由参数方程
确定了函数
，试求 关于 x 的微分（
）。
解：
2.（4 分）求极限 解：原式
3.（4 分）确定
解：
在
时，
。所以该函数在
二、试解下列试题
1.（5 分）设
的单调区间。 连续，当 时，恒有 单调递增。
。仅当
。试确定 之值，使 在 处连续。
解：
。令
得 。故当
时， 在 处连续。
2.（5 分）设
，求 。
解：当
时，有
，得
。令
，
。
3.（5 分）已知
，求 。
解： 三、试解下列各题 1.（6 分）求
，故 。
解：令
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