固体物理 答案

Es
min
=E
at s
－A－8B
当 Kx=Ky=Kz=2π ／a 或 kx=2π /a;ky=kz=0 时
Esmax=East －A+8B
能带宽度＝Ema x－Emin ＝16B 3．一个晶格常数为 a 的二维正方晶格，求：
（1）用紧束缚近似求 S 能带表示式，能带顶及能带底的位置及能带
宽度；
（2）带底电子和带顶空穴的有效质量；

(1) K(x)=sin a x
8
(2) K(x)＝icos a x


(3) K(x)= l f(x－la)
(f 为某一确定函数)
求电子在这些状态的波矢 K(a 为晶格常数)

解：(1) K(x)=sin a x
∴eikna =(-1)n =ei (n +2m)


K(x+na)=sin a (x+na)=sin( a x+n)
1
= ma2 8 －coska+8 (2cos2ka－1)]
2
＝ 4ma2 (coska－2)2－1
当 ka＝(2n+1)时， n=0.1.2…
2 2
E(k)max= ma2
当 ka=2n 时 E(k)min=0
2 2
所以能带宽度＝Emax－Emin= ma2
1
E

at
sk
s
a
a
e i 2 (kx ky kz )
i 2(kx ky kz )
a
a
e e i 2 (kx ky kz )
i 2(kx ky kz )
+e e e e a i 2(kx ky kz )
a i 2(kx ky kz )
a i 2(kx ky kz )
（3）S 带电子的速度表示式
解：（1）选某一原子为坐标原点，最近邻的原子有四个，位置为

Rn
=
a

i
，
a

j
2
2
由 E = －A－B s

at s
eikx a eikxa eikya eikya
=

at s
－A－2B（Coskxa+Coskya）
在第一 B.Z 区 带底位置：Kx =Ky =0,
2m
k= na


(3) K(x)= l f(x－la)




K(x+na)=l f(x+na－la)= l fx－(l－n)a
设 l-n=m


K(x+na)=m f(x-ma)=K(x)
所以 eikna=1
kna=2N
N 也为整数和
零
2 N
∴ K＝ na
E_＝Th－|Vh|－Th(2Th/|Vh|－1)Δ ２
E＋
＝2Th(2Th/|Vh| +1)Δ ＝0 处
E＋＝Th+ |Vh|
Δ ＝0
E－
＝2Th(2Th/|Vh|－1)Δ ＝0 处
E_＝Th－|Vh|
Δ ＝0
5．利用布洛赫定理，K(x+na)=K(x)eikna 的形式，针对一维周期势场 中的电子波函数。
Ef
Ef
N= f·D·dE= DdE =
4Vc
(2m)
3 2
E
1 2
dE
0
0
0
h3
=
4Vc h3
(2m) 32
2 3
Ef
3 2
=
4Vc h3

2 3
(k f
)3
=
Vc
K
3 f
3 2
又 价电子浓度 n= N
Vc
所以
Kf=(32
N Vc
)1 3
=
(32n)1/3
12.据上题，当电子浓度 n 增大时，费米球膨胀。证明当电子浓度 n
由程 。
解：对金属处于费米面上的电子，其能量
E
f
＝
2K 2 2m
其速度
V
f
＝
K m
f
＝
2E f m
又因为
K
＝ mV f
f

＝
2mE f
由第 9 题 又有
Kf＝（3π
n ） 2
1/3
e
比较以上二式可得价电子密度
ne＝
m
2V
3 f
3 23
由（7－41）式
＝ 1 ＝ m nee2 (k f )
2 7
1

6.已知一维晶体的电子能带可写成 E( k )= ma2 ( 8 －coska+8 cos2ka)
其中 a 为晶格常数，求（1）能带宽度；

（2）电子在波矢k 状态的速度；
（3）带顶和带底的电子有效质量。
解：（1）
2 7
1
E(k)= ma2 ( 8 －coska+ 8 cos2ka)
2 7
dE
2
考虑到自旋， v 内的状态数
d
Z=
2Vc (2 )
3
4k2dk
D=
dz

4Vc
(2m)
3 2
E
1 2
dE
h3
对索未菲自由电子
Ef=

2
k
2 f
2m
T＝0 时 电子均有费米球内 f = 1 =1
e(EEf ) / KT 1
常温时.费米能级略有下降，电子仍基本均在费米球内
电子数

f. c.c
原子密度为
n a
＝
4 a3
当
n=1.36na

1.36 a3
4
时
Kf=(32×
1.36 a3
4
)1/35.4/a
所以费米球与
f.c.c
的第一
b.z
相切。
Cu 的费米能 Ef=7.0ev，试求电子的费米速度 Vf。在 273K 时，Cu 的电
阻率为Ρ ＝1.56×10-8Ω ·m,试求电阻的 0 平均自由时间τ 和平均自

（2） ( K )= E ( K )= K =( ma )[sinka－(1/4) sin2ka]
m* 2 2E K 2
(3) = m (coska－1/2 cos2ka)－1 当 k=0 时 为带底，m* ＝2m; 当 k=π /a 时 为带顶，m*＝－2m/3
7. 证明面心立方晶体 S 电子能带 E（K）函数沿着布里渊区几个主要 对称方向上可化为：

=(-1)nsin( a x )=(-1)nK(x)
(m 也为整数) kna=(n+2m) 所以

2m
K＝ a （1＋ n ）
8
(2) K(x)=icos[ a x]
8
K(x+na)=icos[ a (x+na)]
8
=icos( a x+8n)=K(x)
∴eikna=1 kna=2m
Ky =π ／a
带顶位置：Kx =π ／a
带宽：8B
（2）mxx* =
2 2 E .= 2 /(2a2BcosKxa)
Kx 2
myy* =
2 2 E .= 2 /(2a2BcosKya)
Ky 2
mxy* = myx* =0
把带底位置 Kx =Ky =0 代入 得：mxx* = myy* = m*= 2 /(2a2B) 把带顶位置：Kx =π ／a，Ky =π ／a 代入 得：mxx* = myy* = m*= － 2 /(2a2B)
8.证明单位长度的一维晶体中电子态密度为
D(E)= 2 dk
dE
证：一维 K 空间，K 点密度为 L
2
因为 E(K)是偶函数，dE 间隔对应正、负二个 dk, 所以在 dk 对应
的能量间隔 dE 间，第
n 个能带对应的电子状态数
dz＝4× L dk= 2 L dk
2
∴ D(E)= 2 L dk
1.在近邻近似下，按紧束缚近似，针对简立方晶体 S 能带

（1） . 计算 Es ～ k 关系； （2） . 求能带宽度；
（3） . 讨论在第一 B·Z 中心附近等能面的形状。
注：CosX=1－X2/(2！) + X4/(4！) －……
解：（1）.对简立方，最近邻原子处于

Rn
=±a

i
,
±a

j
,±a
所以

(k
f
)＝
m ne e 2

＝ 3 23
e
2
mV
3 f
在 Ef 附近，由于电子受核作用（晶格场作用）较弱，可设 m＝m e 则
代入数据，可得
Vf＝1.57×106 米/秒 10－8 米
τ f＝2.68×10-14 秒 λ ＝τ Vf f＝4.21×
以上答案来自网络，经本人整理，有 哪里不详细的，730 见 考试挂科跟本人没关系啊
(1) 沿Γ X（Ky=Kz=0, Kx=2π δ ／a，０≤δ ≤1） E=Esa－A－4B（1＋2cosδ π ） (2) 沿Γ L（Kx=Ky=Kz= 2π δ ／a，０≤δ ≤1/2） E=Esa－A－12Bcos2δ π
(3) 沿Γ K（Kz=0, Kx= Ky=2π δ ／a，０≤δ ≤3/4） E=Esa－A－4B（cos2δ π ＋2cosδ π ） (4) 沿Γ W（Kz=0, Kx=2π δ ／a，Ky=π δ ／a，０≤δ ≤1） E=Esa－A－4B（cosδ π × cosδ π /2－cosδ π －cosδ π /2）
Es
ma
x=E
at s
－A+6B
能带宽度＝Ema x－Emin ＝12B
（3）当 Kx, Ky, Kz 均趋于零时
Es
（

k
）

E
at s
—A—2B（1—
K
2 x
a
2
2
1
K
2 y
a
2
2
1
K z2 a 2
）
=
a2
E
at s
—A—2B
3

2
K
2 x

K
2 y

K
2 z


─── 球形
dE
当 L＝1(单位长度)时.
又有 dz=D(E)dE D(E)= 2 dk
dE
9.索未菲自由电子模型，证明在

k
空间费米球半径为：Kf=(32n)1/3
其
中 n 为电子浓度
证： 对自由电子 E＝ 2k 2
2m
体积 v=4k2dk
在

k
空间等能面为球面，二等能面间
dk=
m2
·1
E

1 2
a cos
2
ky

a
e i 2 kx
a cos
2
ky
cos
a 2
kz
=E
at s
－A－4B×2(cos
kxa 2
cos
kya 2
cos
kza 2
)
Baidu Nhomakorabea=E
at s
－A－8Bcos
kxa 2
cos
kya 2
cos
kza 2
kxa
当 Ky=Kz=0 时
Es
(kx)=E
at s
－A－8Bcos
2
同时 Kx=0 时
解：面心立方最近邻的原子数为 12，根据禁束缚近似 S 带计算公
式，（教材 P184）
a
a
a
a
a
Es（K）=Esa－A－4B（cos 2 Kx·cos 2 Ky+ cos 2 Ky·cos 2 Kz+ cos 2 Kz·cos
a
2 Kx）
把各方向的 Kx、Ky、Kz 值代入上式即可得到相应的答案，具体计算略
带顶空穴有效质量 mh* =－ m*= 2 /(2a2B)
（3）
v

1
▽kEs(
k
)=
1
*2aB(sinKxa
i
+sinKya
j
)
4．利用一维 Bloch 电子模型证明：在布里渊区边界上，电子的能量
取极值。
解：由教材式（6－76）、（6－77）
E＋＝Th+ |Vh| + Th(2Th/|Vh| +1)Δ ２

2.在近邻近似下，用紧束缚近似导出体心立方晶体 S 能带的 Es( k )，试 画出沿 Kx 方向（Ky=Kz=0）的散射关系曲线，并计算能带宽度。
解：选体心原子为参考点，最近邻原子的 2 位置

Rn
a
= 2
a

i 2
a
j 2


k (共八个)
则
E ( )=E －A－B e +
a i 2(kx ky kz )
=E
at s
－A－2B×
+ cos + cos + a
ei 2 (kx ky
)
cos
a 2
kz
a
ei 2(kx ky )
a kz
2
a
ei2(kx ky )
a kz
a
ei2(kx ky )
cos
a
kz
2
2
=
E
at s
a
－A－2B×2ei 2kx
与原子浓度
na
之比
n na
=1.36
时，费米球与
fcc
第一布里渊区的边界接
触。
解：由教材 p181 图 6－20，f.c.c 的第一 B、Z 为 14 面体，14 面体表
面离中心 T 点最近的点为 L 点。坐标为 2 (1/2.1/2.1/2) TL 距离为 2
a
a
3 =
4a
3 5.4/a
由上题费米球半径为 Kf=(32n)1/3

k
E = －A－B s

at s
eikx a eikxa eik ya eik ya eikza eikza
=

at s
－A－2B（Coskxa+Coskya+Coskza）
（2）. 当 Kx= Ky=Kz=0 时
Es
min=E
at s
－A－6B
当 Kx=Ky=Kz=π ／a 时