专题七 二次函数全等三角形的存在性问题

例题图
解：如解图②，以AB为直径作⊙M，且由解图易知，存在两条过点E且与
⊙M相切的直线l1，l2，切点分别为P、Q，连接MP，MQ， ∵AB＝6，∴以AB为直径的⊙M的半径为3，即M(－1，0)，
设切点Q坐标为(m，n)，且m>0，∵MQ⊥EQ，ME＝5，MQ＝3，
由勾股定理得EQ＝ ME2 MQ2 52 32 ＝4，
若△MP1′C≌△CBM，则MP1′＝CB.
∴四边形MBCP1′为平行四边形，∴xM－xB＝xP1′－xC；
∴
x p1
'＝xБайду номын сангаас－xB＋xC＝
1－0＋2＝ 5
2
2
.
将x＝ 5 代入y＝x2－x－2中，得y＝ 7 ，
2
4
∴P1′(
，5
2
7)4，此时P2′与C点重合，∴P1′ (
， 5) ，7
24
P2′(2，0)．
典例精讲 例 如图，抛物线与x轴交于点A(－4，0)，B(2，0)，与y轴交于点C(0，2)．
(1)求抛物线的解析式；
【思维教练】根据题意设抛物线的顶点式，
将C(0，2)代入即可得解．
例题图
解：∵抛物线过点A(－4，0)，B(2，0)，
∴设抛物线解析式为：y＝a(x＋4)(x－2)，把C(0，2)代入，得 2＝a×4×(－2)，即a＝－ 1 ，
4
∴所求抛物线的解析式为
y＝－ 1 (x＋4)(x－2)＝－ 1 x2－ 1 x＋2；
4
4
2
(2)若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D三点
为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
【思维教练】求解此题，关键是用D的坐标表示 出△ACD的面积，且由题意知yD>0，将△ACD
2. 如图，一次函数y＝－ 3 x＋2与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线y＝
－2
3 x2＋bx＋c经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿
3
射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，
两点同时出发，运动时间为t秒．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)求当△APQ为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；
k b

1 2 2
，
∴直线AC的解析式为y＝ 1 x＋2，
2
∴F(x，1 x＋2)， 2
S△ADC＝S△ADF＋S△CDF
＝ 1 (xD－xA)(yD－yF)＋ 1 (xC－xD)(yD－yF)
2
2
＝
1 2
(xC－xA)(yD－yF)
＝ 1 ×4×(－1x2－1 x＋2－1 x－2)
有一组对应角相等
△ABC与△DEF全等，∠B＝∠E(或等于90°)则 ①△ABC≌△DEF； ②△ABC≌△FED. 注：∠B＝∠E＝90°时，通常根据 勾股定理求解
典例精讲 例 (2017铜仁25(1)(2))如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(0，
－2)，并与x轴交于点C，点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M、B、C三
专题七 二次函数综合题
类型五 全等三角形的存在性问题
(铜仁2017.25(2))
【方法指导】全等的两个三角形，在没指明对应点的情况下，理论上应分 六种情况讨论，但实际问题中通常不超过四种，常见有如下两种类型，每 类分两种情况讨论就可以了．
两个三角形有一条公共边
确定方法：①以公共边为对称轴在两边作对称图形，则△ABC≌△ABE；②作△ABC， △ABE关于AB的垂直平分线对称的图形，则△ABC≌△BAD，△ABE≌△BAF
BP＋AP＝AB，
∴t＋2t＝4， 解得t＝ 4 .
3 (ⅱ)若点P在x轴下方的直线AB上，
∵AP＝BP－AB＝AQ，
∴2t－4＝t，
解得t＝4；
③当PA＝PQ时，如解图②，过点P作PE⊥AO于点E.
则AE＝ 1 AQ＝ 1 t，
2
2
在Rt△PEA中，PE＝
3 AE＝
3 t.
AP＝2PE＝
3 t.
类型六 切线问题
(遵义2015.27(3)；铜仁2015.23(3))
【方法指导】抛物线中有关圆的切线的问题，一般为两种类型：①已知直 线与圆相切的相关计算；②已知直线与圆相切，求直线解析式．对这两种 问题，一般解题方法如下： ①已知圆与直线相切时，连接切点与圆心，得到垂直，再结合题干中的已 知条件，利用直角三角形或相似三角形的性质进行计算；若判断抛物线对 称轴与圆的位置关系，只要根据圆心到对称轴距离与圆半径大小关系即可 确定；②若已知圆与直线相切，需根据题意分析，切线只存在一条，还是 两条，若为两条，常要进行分类讨论计算，然后根据勾股定理或相似列方 程求出点坐标，得到直线解析式．
综上所述，满足条件的P1，P2点的坐标分别为P1(－1，0)，
P2(1，－2)；P1′ (
，52
7
4)
，P2′(2，0)．
例题解图
针对演练 1. (2017包头)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y＝ 3 x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点，与
2 y轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式； (2)直线y＝－x＋n与抛物线在第四象限内交于点D，与 线段BC交于点E，与x轴交于点F，且BE＝4EC. ①求n的值； ②连接AC，CD，线段AC与线段DF交于点G，△AGF 与△CGD是否全等？请说明理由．
解得

x1 y1


2 3 4 3
或

x2 y2
1 3
.
y x 2
∵点D在第四象限，∴点D的坐标为(1，－3)．
∵点C的坐标为(0，－3)， ∴CD∥x轴，CD＝1， ∴∠AFG＝∠CDG， ∠FAG＝∠DCG， ∵CD＝AF＝1， ∴△AGF≌△CGD(ASA)．
则

17 5
k1

b1

k1 b1 5

9 5
，解得
k1 b1

4 3
19 3
；

7 5
k2

b2
k2 b2
95，解得
5
k2 b2

4 3 11
3
.
∴直线l1、l2的解析式分别是
(2)在抛物线上找出两点P1、P2，使得△MP1P2与△MCB全等，并求出P1、 P2的坐标．
【思维教练】利用全等时对应边相等，结合抛物线
的对称性，分两种情况：①分别作B、C点关于对称
轴对称的点，所作对称点即为所求P1，P2点；②作 BC的平行线，与抛物线的交点，即为所求P点．
例题图
解：令y＝x2－x－2＝0，得
拆分成同底，且以点A、C为顶点的两个三角
形求解．
例题图
解：依题意可设D(x，－1 x2－ 1 x＋2)(－4＜x＜0)，
4
2
如解图①，连接AC，过点D作DF⊥x轴交AC于点F，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－4，0)，C(0，2)代入，
得
4k b b 2

0，解得
∴PF＝ 1 AP＝2－t.
2 ∴S△APQ＝
1 2
AQ·PF＝1 ×t×(2－t)＝－1
2
2
(t－1)2＋ 1 2
.
∴当t＝1时，△APQ的面积最大．
此时点P为AB的中点，且P( 3 ，1)． 连接OP，则OP＝AP＝BP，
第2题解图③
∵点P( 3 ，1)，∴点T的横坐标为 3 ，
将x＝ 3 代入抛物线的解析式，得y＝3. ∴TP＝OP＝2. 在Rt△TFA中，由勾股定理可知：TA＝2 3 ， ∴AO＝TA. ∴△APT≌△APO. ∴存在点T，使△APT≌△APO， 点T的坐标为( 3 ，3)．
x1＝－1，x2＝2，
所以点C的坐标为(2，0)．
易得抛物线对称轴为x＝－ 2ba

1 2
，
①如解图，取点C关于对称轴l的对称点A，
点B关于对称轴l的对称点为B′(1，－2)， 则当点P1，P2与A，B′重合时，有△MP1P2与△MBC全等， 例题解图
此时，P1(－1，0)，P2(1，－2)．
②过点M作MP1′∥BC，交抛物线于点P1′，如解图，
把A(2 3，0)，B(0，2)分别代入y＝－ 3 x2＋bx＋c中，得b＝ 3 ，c＝2，
∴抛物线的表达式为y＝－ 3 x2＋
3 3x＋2；
3
(2)∵OA＝2 3，OB＝2，由勾股定理，得AB＝ OA2 OB2 ＝4，
∴∠BAO＝30°.
运动t秒后，AQ＝t，BP＝2t.
由△APQ为等腰三角形，有QA＝QP，AP＝AQ，PA＝PQ三种情况，
①当QP＝QA时，如解图①，过点Q作QD⊥AB于点D，则D为AP的中点．
在Rt△ADQ中，QD＝ AD＝PD＝ 3 AQ＝ 3
1 2 AQ＝ t，
1 2
t，
2
2
∴AP＝ 3 t，
∵BP＋AP＝AB，
∴2t＋ 3 t＝4. 解得t＝8－4 3 ；
第2题解图①
②当AP＝AQ时，
(ⅰ)若点P在x轴上方的直线AB上，AP＝t，BP＝2t，
点不在同一直线上)． (1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
【思维教练】将点A、B分别代入抛物线的表达 式，通过解方程组，可得到b，c的值．
例题图
解：将点A(－1，0)，B(0，－2)代入y＝x2＋bx＋c中，得
1 b c c 2

0，
解得
b c

1 2
，
∴二次函数表达式为y＝x2－x－2；
3
3
3
∵BP＋AP＝AB，
∴2t＋ 3 t＝4. 解得t＝324 4 3 .
第2题解图②
11 综上所述，当△APQ为等腰三角形时，t的值为8－4
3
或
4 3
或4或
24
4 11
3；
(3)如解图③，过点P作PF⊥AO于点F，延长FP交抛物线于点T，连接AT.
∴PF为△APQ底边AQ上的高．
∵AP＝4－2t，∠BAO＝30°，
第1题图
解：(1)∵抛物线y＝ 3 x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B(2，0)两点， 2
将A(－1，0)，B(2，0)代入抛物线解析式可得

3 2
bc

0
，
6 2b c 0
解得
b


3 2
，
c 3
∴该抛物线的解析式为y＝
3 2
x2－
3 2
x－3；
(3)点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，△APQ的 第2题图 面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得△APT≌△APO？
若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)把x＝0代入y＝－ 3 x＋2中，得y＝2.
把y＝0代入y＝－
3
3 x＋2中，得x＝2
3.
3
∴A(2 3 ，0)，B(0，2)，
∴当x＝0时，2y＝－32，
∴C(0，－3)．
第1题解图
设直线BC的解析式为y＝kx＋b1，
∵B(2，0)，C(0，－3)，将B、C两点代入解析式，得 解得k＝ 3 ，
b21kb31

0
，
2 ∴直线BC的解析式为y＝
3
x－3.
∵∴当 E(x2＝，52 －时，12代)．入直线B2C的解析式，得y＝－
(2) ①如解图，过点E作EE′⊥x轴于点E′，∴E′E∥OC，∴ ∵BE＝4CE，∴BE′＝4OE′，设点E的坐标为(x，y)，
＝BE ' ，BE OE ' CE
∴OE′＝x，BE′＝4x.
∵点B坐标为(2，0)，∴OB＝2，
∴x＋4x＝2，∴x＝ 2 ，
∵抛物线y＝
3
x2－
5 3 x－3与y轴交于点C，
2
42
2
＝－1 x2－2x
2
＝－ 1 (x＋2)2＋2，
2
∵－ 1 ＜0，－4<x<0，
例题解图①
2
∴当x＝－2时，S△ADC有最大值，最大值为2，此时D(－2，2)；
(3)以AB为直径作⊙M，直线l经过点E(－1，－5)，并且与⊙M相切，求直 线l的解析式．
【思维教练】解此题的关键是确定切点坐标， 设切点为F，由题可得圆心点M坐标、半径长， 点M与E为平行于y轴的直线上的两点，有切点， 故构造直角三角形是解题切入点，由于过圆外 一点存在两条圆的切线，故此题有两种情况．
12 5
，
5
5
∵点E在直线y＝－x＋n上，
∴－
2 5
＋n＝－
152，∴n＝－2；
②全等；理由如下：
∵直线EF的解析式为y＝－x－2，∴当y＝0时，x＝－2，
∴F(－2，0)，∴OF＝2.
∵A(－1，0)，∴OA＝1，∴AF＝1，
y 3 x2 3 x 3
∵抛物线与直线y＝－x－2相交于点D，联立方程，得 2 2 ，

∴


m 12 m 12
n2 3
n 52

，解得
4
m1

7 5
n1


9 5
或
m2 n2
17 5
9 5
(舍去)，
∴点Q( 7 ，－9 )，同理可得点P(－17 ，－ 9 )，
5
5
5
5
例题解图②
设直线l1和直线l2的解析式分别为y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，