高中数学选修4-5不等式选讲的重要思想资料讲解

一、

a) 恒等关系是义务教育数学学习中的一种基本的关系。在义务教育的学习过程中，有哪些恒等关系是重要的？是需要学生掌握的？决定这些恒等关系的基本数学思想是什么？这些数学思想是怎么发挥作用的？

b) 在义务教育阶段也引入了事物之间的不等关系，同时也引出了一些重要的不等关系，例如，实数中的不等关系。我们还引出了一些不等关系的性质，例如，a>b>0,b>c>0就可以得出，a>c。建议同学们梳理一下在义务教育阶段所学的不等关系，体会不等关系与恒等关系的区别。

c) 在高中的必修5，我们设置了不等式的内容。它大体上由四部分内容组成。我们同学们梳理复习这四部分内容。

第一部分是，一些基本不等式的性质，例如，a>b,c>0得出，ac>bc等。

第二部分是，在学会解一元一次不等式的基础上，引入了一元二次不等式。

第三部分是，介绍了我们一个经常使用的不等式，

这个重要的不等式有许多不同的呈现形式，值得一提的是，它还有很多重要的几何形式。

第四部分是，简单的线性规划问题。解决线性规划问题是按照以下基本步骤实现的：

1）确定目标函数

2）确定目标函数的约束条件，即讨论这个目标函数的可行区域。利用不等式刻画目标函数的约束条件。

3）观察目标函数在可行区域内的变化趋势。

4）确定使得目标函数达到最大或最小值的解。

同学们应该思考的是，在讨论这些不等式的过程中什么思想发挥了作用。

d) 在我们上面分析的这些内容的学习中，我们可以体会到由运算思想所体现的恒等变换的能力。这种能力在研究不等式中发挥了重要的作用。建议同学们在教师的帮助下更好的发挥这种能力。

e) 由运算思想所体现的恒等变换的能力，是一种重要的逻辑推理的能力。在本专题中，提高这种能力是本专题的基本定位。建议教师思考在本专题中，如何体现这样一个基本定位。

f) 我们知道基本不等式，a2+b2≥2ab,它有着重要的几何背景。如图所示：

令AF=a,BF=b,则AB2=a2+b2,而S正方形ABCD≥4S⊿ABF

即，所以，a2+b2≥2ab，

当AF=BF时，正方形EFGH缩为一点，S正方形ABCD=44S⊿ABF

实际上每一个好的不等式都有重要的数学背景，特别是重要的几何背景。

教师应思考这样的问题，如何引导学生体会和认识不等式的几何背景，以及这些几何背景在证明不等式的过程中发挥的几何意义？

g) 本专题我们主要介绍以下内容

（1）不等式的基本性质和基本不等式；

（2）绝对值不等式及其几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明和求解一些绝对值不等式；

（3）认识柯西不等式的几种不同形式及其几何意义，用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况；

（4）用向量递归方法讨论排序不等式；

（5）了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题；

（6）会用数学归纳法证明贝努利不等式；

（7）会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；

（8）通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

教师应该思考，如何让学生构架起本专题的知识结构。

教师还应该思考，如何帮助学生总结、概括高中阶段有关不等关系的内容，并能写出一个好的读书报告与学生进行交流，总结在不等关系学习中的重要的数学思想。

h) 教师应了解学生学习不等式选讲的基础，并思考如何根据学生的起点设计本专题的教学方案。