第22讲测量中的坐标系及其变换

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80-2000坐标系的转换

从1980西安坐标系到2000国家大地坐标系的坐标变换钟业勋1，2 童新华2 王龙波1（1广西测绘局，广西南宁，530023；2广西师范学院资源与环境科学学院，广西南宁，530001）摘要：本文阐述了高斯—克吕格投影的建立原理，推导了坐标公式。

对1980西安坐标系和2000国家大地坐标系，作者给出了应用CASIO fx—4800P计算器由平面直角坐标反解地理坐标的计算程序。

应用这程序，实现了从1980西安坐标系到2000国家大地坐标系的坐标变换。

根据计算结果及其在1:25000地形图上的图解精度，因1:25000～1:50万地形图上同名点的坐标差异很小，都在图解精度0.2mm以内，所以地图改版时只需改变坐标系的名称即可。

关键词：1980西安坐标系；2000国家大地坐标系；高斯—克吕格投影；地理坐标；坐标变换。

1 引言根据国家测绘局6月18日发布的公告，我国从2008年7月1日起启用2000国家大地坐标系。

公告提供了新坐标系的技术参数，并对新旧坐标系的转换和使用作出说明；2000国家大地坐标系与现行国家大地坐标系转换，衔接的过渡期为8至10年。

现有各类测绘成果，在过渡期内可沿用现行国家大地坐标系；2008年7月1日后新生产的各类测绘成果应采用2000国家大地坐标系。

现有地理信息系统，在过渡期内应逐步转换到2000国家大地坐标系；2008年7月1日后新建的地理信息系统，应采用2000国家大地坐标系[1]。

由于1980西安坐标系已采用20多年，大量的测绘成果都是采用1980西安坐标系甚至是1954年北京坐标系，因此面临着大量的坐标转换问题。

本文以1980西安坐标系坐标转换为2000国家大地坐标系坐标为例，阐述坐标转换的原理和方法。

2 高斯—克吕格投影及其坐标公式高斯—克吕格（Gauss-Krǖger）投影概念高斯—克吕格投影是等角横切椭圆柱投影，从几何意义上看，就是假想用一个椭圆柱套在地球椭球外面，并与某一子午线相切，相切的子午线称为中央经线。

测绘技术中坐标系选择与转换的原理与方法

测绘技术中坐标系选择与转换的原理与方法引言测绘技术在现代社会中起着重要的作用，它涵盖了许多方面，包括坐标系的选择与转换。

在进行测量和制图过程中，选择合适的坐标系统以及进行坐标系转换是不可或缺的。

本文将介绍测绘技术中坐标系选择与转换的原理与方法，并探讨其在实践中的应用。

1. 坐标系的选择在进行测绘时，选择合适的坐标系是非常重要的。

坐标系可以用来描述地理空间上的位置，并通过坐标值来表示。

在选择坐标系时，需要考虑以下几个因素：1.1 地理位置地理位置是选择坐标系时必须要考虑的因素。

不同的地理位置可能适用不同的坐标系。

例如，在全球范围内，可以选择采用大地坐标系，该坐标系适用于表示地球表面上的点的位置。

而在局部范围内，可以选择使用局部坐标系，该坐标系适用于描述具体区域内的位置。

1.2 坐标精度要求坐标精度要求是选择坐标系时需要考虑的另一个重要因素。

不同的坐标系有不同的精度要求。

例如，UTM坐标系适用于小范围区域内的测绘，其精度要求相对较高。

而对于较大范围的测绘，可以选择采用高斯-克吕格坐标系或国家大地坐标系，其精度要求相对较低。

1.3 数据共享与整合数据共享与整合也是选择坐标系时需要考虑的因素之一。

在现代社会中，不同机构、部门和个人可能会产生大量的地理数据。

为了实现数据的共享和整合，需要选择统一的坐标系来标准化数据。

例如，国际上通用的WGS84坐标系可以用于实现不同国家和地区之间的数据共享和整合。

2. 坐标系转换方法在测绘过程中，有时需要将数据从一个坐标系转换到另一个坐标系。

坐标系转换是一个复杂的任务，但可以通过一些方法来实现。

以下是常用的坐标系转换方法：2.1 参数转换法参数转换法是一种常用的坐标系转换方法。

它通过计算不同坐标系之间的转换参数来实现坐标系之间的转换。

这些转换参数通常包括平移参数、旋转参数和尺度参数。

通过计算这些转换参数，可以将数据从一个坐标系转换到另一个坐标系。

2.2 数学模型法数学模型法是另一种常用的坐标系转换方法。

第五章坐标系统转换和高程系统转换程序设计

(x1, y1) (B1, L1) ( X1,Y1, Z1) ( X 2,Y2, Z2 ) (B2, L2 ) (x2, y2 )
式中，下标1和2分别代表两种坐标系统。
当然,也可以不借助空间直角坐标系,而直接通过大地坐标系进行换算,其过程为：
(x1, y1) (B1, L1) (B2, L2 ) (x2, y2 )
9
f
2t
f
2)y4
tf 720M
f
N
f
5
(61
90t
f
2
45t
f
4)y6
l Nf
1 c os B f
y
6
N
f
3
1 c
os
B
f
(1 2t f 2 2 f ) y3
120N
f
1 5c
os
B
f
(5 28t f 2
24t f 4 6 f 2 8 2 f t f 2 ) y5
式中, Bf 为横坐标值等于零时对应的纬度，也就是将x
系数矩阵L()的生成（直接生成）
For i = 1 To List2.ListCount L(i, 1) = szg (i) - gpsg (i)
二、高斯投影
高斯投影又称为横轴等角切椭圆柱投影。高斯投影是正形投影的一种，它除了满足正形投影的一般条件（长度比和方向无关）外，还应该满足高斯投影本身的特殊条件。即必须满足以下3个条件：
（1）中央子午线和地球赤道投影后成为相互垂直的直线，且为投影的对称轴；
（2）中央子午线投影后长度不变；
（3）投影具有正形条件，即等角投影。
式（3）
基于最小二乘法求得系数K：
K QT Q 1QT 式（4）

高考数学专题复习第22题极坐标与参数方程

第22题极坐标与参数方程基础知识 1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ，y ′＝μ的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离叫做点M 的极径，记为|OM |；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角ρ叫做点M 的极角，记为xOM ．有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记为M (ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)点与极坐标的关系：一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为(0，θ)(θ∈R )．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示．如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的． 3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式：如图所示，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：5．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f t ，y ＝g t ，并且对于t 的每一个允许值，由方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程． 2．几种常见曲线的参数方程(1)直线：经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．(2)圆：以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．当圆心在(0,0)时，方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α，y ＝r sin α.(3)椭圆：中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆的参数方程有以下两种情况：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b cos φ，y ＝a sin φ，其中φ是参数．(4)抛物线：抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .(t 为参数)．考点题型精讲及方法引导考点题型一利用参数方程求距离问题例1．在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2. (1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离，并求出这个点的坐标．解：(1)曲线C 的方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，通过先平方再求和得，x 23＋y 2＝1.直线l 的极坐标方程展开得，ρcos θ＋ρsin θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0. (2)设与直线l 平行的直线l ′的方程为x ＋y ＋m ＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3y 2－3＝0，x ＋y ＋m ＝0，消元得4y 2＋2my ＋m 2－3＝0，令4m 2－4×4(m 2－3)＝0，得m ＝2或m ＝－2，当m ＝2时曲线C 上的点到直线l 的距离最大，此时，直线l ′与曲线C 的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.而直线l 与直线l ′的距离为|2－－4|2＝3 2.∴曲线C 上的点到直线l 的最大距离为32，这个点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12.例2．(2015·陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sinθ. (1)写出⊙C 的直角坐标方程； (2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ，从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值．此时，点P 的直角坐标为(3,0)．针对训练1．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝dsin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.2．(2016·贵阳模拟)以直角坐标系的原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，在两种坐标系中取相同的单位长度，已知直线l 的方程为ρcos θ－ρsin θ－1＝0(ρ>0)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，点M 是曲线C 上的一动点．(1)求线段OM的中点P 的轨迹方程；(2)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值．解：(1)设中点P 的坐标为(x ，y )，依据中点公式有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．这是点P 轨迹的参数方程，消参得点P 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1. (2)直线l 的直角坐标方程为x －y －1＝0，曲线C 的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，表示以(0,2)为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心(0,2)到直线l 的距离减去半径，设所求最小距离为d ，则d ＝|－1×2－1|1＋1－2＝322－2.因此曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值为322－2.3．(2017·德州模拟)在直线坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝2 2.(Ⅰ)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(Ⅱ)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．解析： (Ⅰ)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0．(Ⅱ)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2|sin(α＋π3)－2|．当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为(32，12)．考点题型二利用直线参数方程求与线段有关问题例1．在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a >0)，过点P (－2，－4)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求实数a 的值．解：(1)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρsin 2θ＝2a cos θ，得y 2＝2ax (a >0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，消去t 得x －y －2＝0，∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别为y 2＝2ax (a >0)，x －y －2＝0.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)代入y 2＝2ax ，整理得t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0.设t 1，t 2是该方程的两根，则t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )，∵|MN |2＝|PM |·|PN |，∴(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2， ∴8(4＋a )2－4×8(4＋a )＝8(4＋a )，∴a ＝1(负值舍去)．例2．(2015·湖南卷)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t(t 为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. (1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)ρ＝2cos θ等价于 ρ2＝2ρcos θ.① 将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t代入②，得t 2＋53t ＋18＝0. 设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义即知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.针对训练1．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解析：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1．将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得(1＋12t )2＋32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167．所以AB ＝|t 1－t 2|＝167．2.已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值．解析：(1)消去参数θ得曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos π3，y ＝5＋t sin π3，t 为参数，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t .t 为参数．(2)将直线的参数方程代入圆的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1、t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3． 3．在平面直角坐示系xOy 中，已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t (t 为参数)与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ(θ为参数，a >0).(1)若曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，求a 的值； (2)当a ＝3时，曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求A ，B 两点的距离．解析：(1)曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1y ＝1－2t 的普通方程为y ＝3－2x ．曲线C 1与x 轴的交点为(32，0)．曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θy ＝3sin θ的普通方程为x 2a 2＋y 29＝1．曲线C 2与x 轴的交点为(－a,0)，(a,0)．由a >0，曲线C 1与曲线C 2有一个公共点在x 轴上，知a ＝32．(2)当a ＝3时，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θy ＝3sin θ为圆x 2＋y 2＝9．圆心到直线y ＝3－2x 的距离d ＝|3|22＋12＝355．所以A ，B 两点的距离|AB |＝2r 2－d 2＝29－3552＝1255．4．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程；(2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32，整理得(8sin 2α＋cos 2α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2α＋cos 2α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，645．(2016·郑州模拟)已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)，C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)过曲线C 2的左顶点且倾斜角为π4的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)C 1：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1，C 2：x 216＋y 29＝1.曲线C 1为圆心是(－2,1)，半径是1的圆．曲线C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．(2)曲线C 2的左顶点为(－4,0)，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22s ，y ＝22s(s 为参数)，将其代入曲线C 1整理可得：s 2－32s ＋4＝0，设A ，B 对应参数分别为s 1，s 2，则s 1＋s 2＝32，s 1s 2＝4.所以|AB |＝|s 1－s 2|＝s 1＋s 22－4s 1s 2＝ 2.6．(2014·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x . (2)直线l 的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16sin α＋cos α2－16>0，t 1＋t 2＝－4sin α＋cos α，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0. ∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ]．7．(2014·沈阳模拟)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝8，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π6，曲线C 1、C 2相交于A 、B 两点．(1)求A 、B 两点的极坐标；(2)曲线C 1与直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)分别相交于M 、N 两点，求线段MN 的长度．解：(1)由⎩⎨⎧ρ2cos 2θ＝8，θ＝π6得：ρ2cos π3＝8，所以ρ2＝16，即ρ＝±4.所以A 、B 两点的极坐标为：A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，π6或B ⎝⎛⎭⎪⎫4，7π6. (2)由曲线C 1的极坐标方程得其直角坐标方程为x 2－y 2＝8，将直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t代入x 2－y 2＝8，整理得t 2＋23t －14＝0，所以|MN |＝232－4×－141＝217.考点题型三利用极坐标或参数方程求参数值例1.(2014·福建高考)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解析 (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.针对训练1．(2016·全国卷Ⅰ，23)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos ty ＝1＋a sin t (t为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (Ⅰ)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(Ⅱ)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a ．解析：(Ⅰ)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2.C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0．(Ⅱ)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1．a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上．所以a ＝1．考点题型四直线与曲线位置关系问题例1．(2013·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcosθ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交．例 2.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(ρ≥0,0≤θ<2π)(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标．解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，故圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：x －y ＋1＝0. (2)由(1)知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)，将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，即为所求．针对训练考点题型五转化为普通方程求解类型题目例1．(2015·重庆卷)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝1＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝⎛ ρ＞0，3π4＜θ＜⎭⎪⎫5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．答案：(2，π) 解析：直线l 的普通方程为y ＝x ＋2，曲线C 的直角坐标方程为x 2－y 2＝4(x ≤－2)，故直线l 与曲线C 的交点为(－2,0)，对应极坐标为(2，π)．例2．(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1t，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.答案：25解析：直线l 的直角坐标方程为y －3x ＝0，曲线C 的普通方程为y 2－x 2＝4. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，得x 2＝12，即x ＝±22，则|AB |＝1＋k 2AB |x A －x B |＝2 5. 针对训练1．(2014·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 的坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．可得C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)．(2)设D (1＋cos t ，sin t )，由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.2．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，得ρ2－8ρcosθ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2. 3.(2014·辽宁高考)将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解析：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)． (2)由⎩⎨⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝34sin θ－2cos θ.4．(2017·湖北八校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y得到曲线C ′．(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ，代入⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1．(2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)，且AD 的中点为P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3又点A 在曲线C ′上，∴代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4．考点题型七其他类型题目例1．(2017·贵州适应性考试)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2．(1)求C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t为参数，0≤t ≤π)．(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)，于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33．由于切点必在两个圆心的连线上，故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6，所以，切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6，即(2＋3，1)．针对训练。

2000国家大地坐标系及其转换方法

244百家论坛2000国家大地坐标系及其转换方法刘焕国集安市国土资源局摘要：本文对2000国家大地坐标系的定义、实现及其与我国现行1954北京坐标系、1980西安坐标系的异同进行了介绍，分析了我国地方独立坐标系的情况，根据建立方法将地方独立坐标系概括为三种类型和组合，阐述了建立地方独立坐标系与2000国家大地坐标系的三种转换方法，对实现地方独立坐标系与2000国家大地坐标系的有效衔接，有利于地理信息系统与GPS有效的结合，可以进一步提升城市的综合服务能力，对推广2000国家大地坐标系和在2000国家大地坐标系原则下独立坐标系的继续使用具有重要的意义。

关键词：2000国家大地坐标系；地方独立坐标系；坐标转换1. 2000国家大地坐标系的特点1.1椭球定位方式不同参心坐标系是为了研究局部球面形状，在使地面测量数据归算至椭球的各项改正数最小的原则下，选择和局部区域的大地水准面最为吻合的椭球所建立的坐标系。

由于参心坐标系未与地心发生联系，不利于研究全球形状和板块运动等，也无法建立全球统一的大地坐标系。

2000国家大地坐标系为地心坐标系，它所定义的椭球中心与地球质心重合，且椭球定位与全球大地水准面最为密和。

.1.2实现技术不同我国现行参心坐标系是采用传统的大地测量手段，即测量标志点之间哦距离、方向，通过平差的方法得到各点相对于起始点的位置，由此确定各点在参心系下的坐标。

2000国家大地坐标系框架是通过空间大地测量观测技术、获取各测站在ITRF 框架下的地心坐标。

.1.3维数不同现行参心坐标系为二维坐标系，2000国家大地坐标系为三维坐标系。

.1.4原点不同现行参心坐标系原点与地球质量中心有较大偏差，2000国家大地坐标系原点位于地球质量中心。

.1.5精度不同参心坐标系由于当时客观条件的限制，缺乏高精度的外部控制，长距离精度较低，在空间技术广泛应用的今天，难以满足用户的需求。

2000国家大地坐标系有利于采用现代空间技术对坐标系进行维护和快速更新，有利于测定高精度大地控制点三维坐标，提高测图工作效率等。

ARCGIS教程第二十二章投影变换、坐标校正.

第二十二章投影变换、坐标校正1 坐标系、地图投影地球表面事物的定位采用二大类坐标：（1）经纬度坐标，ArcGIS 称地理坐标系（Geographic Coordinate System，GCS）。

（2）二维笛卡尔平面坐标，ArcGIS 称投影坐标系（Projected Coordinate System，PCS）。

在实际工作中，经测量得到的空间信息在输入GIS 数据库之前已经定好了坐标系。

不同来源、不同坐标系的空间数据要在一起使用、相互参照时，就要作坐标转换，如果涉及不同的地图投影，要作投影变换。

利用ArcGIS 新建数据库时，软件提示用户，将要输入的数据采用什么坐标系（也称空间参照，Spatial Reference），包括坐标系的名称、相关参数，然后输入、保存空间数据，在这期间，软件不对坐标作转换处理，输入前是什么坐标，就保存什么坐标。

在某些情况下，可以忽略坐标系的具体名称或相关参数，由软件默认，可能对当前的应用没有影响，但是不同坐标系的数据之间不能相互参照使用。

可能有三种情况需要转换或重新定义坐标系：（1）临时变换。

多种来源、不同投影的数据要在一起参照使用，或为了某种特别的应用，可以临时变换坐标，工作结束后，要素在数据库、数据文件中的坐标恢复到原来的状态。

这种临时变换的好处是一种数据可以适合多种用途，缺点是每次变换都要花费计算时间。

（2）永久转换。

空间要素的坐标按新的坐标系作转换处理，长期保存，反复使用，不再需要临时变换。

这用转换的好处是反复使用中不需要转换，节省计算时间。

缺点是相同的事物可能有多个坐标系，有冗余，修改、维护不方便。

（3）修改坐标系的定义。

用户建立数据库时，没有定义坐标系或原来的坐标系定错了，可以重新输入坐标系名称、相关参数。

修改后，要素在数据库中的坐标并不发生变化，将来临时变换、永久转换时，按修改后的坐标系名称、相关参数起作用，对转换的结果产生实质性的影响。

2 投影变换启动ArcMap，打开/gis_ex09/ex24/ex24.mxd 文档，进入data frame1，可以看到World_grid 图层显示的是一个覆盖全球范围的坐标网格。

坐标系及其变换-完成

(2-23)
(2-20)式两端矩阵非对角线上对称元素相等，得
oz
ay
2
x
s
in
a x n z 2 y sin
ny
ox
2 z
s
in
(2-24)
由此解出等效旋转角的正弦为
si n 1 2( o z a y ) 2 ( a x n z ) 2 ( n y o x ) 2 (2-25)
n
y
oy
ay
p
y
nz 0
oz 0
az 0
pz 1
nx ny nz p • n
则T的逆阵为 T 1 ox oy oz p •o (2-14)
a0x
ay 0
az 0
p•a
1
式中 p、n、o、a表示T的各列矢量；” ”•表示二矢量的数量积。
5.一般旋转变换
所谓一般旋转变换，即其旋转轴线不与参考系任何轴线重合，而是参考系中某一矢量，这一矢量的方向用其上
o y cos
1 cos
(2-28)
z sgn( n y o x )
ax
cos
1 cos
式中 sgn—符号函数，当括弧内差值为正时取正号，
否则取负号。
3.相对变换
• 如上所述，一个齐次坐标可分解为平移及旋转变换，根据这些平移和旋转是相对什么坐标系去实现的，就导出了不同相对变换的概念，前面只提及相对于参考系的变换，实际上还可相对于变换过程中当前坐标系来实现变换。
(1)坐标系的相对变换
1) 相对于参考系的相对变换——始终相对于一 2) 个相同的参考系的变换
R( o ,)tYCR (z,)o Xt (2-18)

测绘技术中的坐标系转换技巧

测绘技术中的坐标系转换技巧随着科技的发展和技术的进步，测绘技术在我们生活中扮演着越来越重要的角色。

在测绘的过程中，坐标系转换是一个关键的环节。

坐标系转换技巧的准确性和高效性，直接影响到测绘结果的准确性和可靠性。

本文将介绍测绘技术中的坐标系转换技巧。

一、坐标系转换的背景在测绘工作中，我们经常会需要将地理坐标系统转换为平面坐标系统，或者反过来。

这是因为地球是一个球体，而平面坐标系统适用于小范围、局部区域。

因此，进行坐标系转换是不可避免的。

坐标系转换的目的是为了在不同的坐标系统下准确地描述和表示地理空间位置。

二、常见的坐标系转换方法1. 参数法转换参数法转换是一种基于已知参照点或者地理坐标点的方法，利用已知坐标点之间的转换关系来进行坐标系转换。

这种方法在实际应用中灵活便捷，能够在短时间内完成坐标系转换。

但是，参数法转换要求已知参照点在两个坐标系中的准确位置，并且在两个坐标系中的分布比较均匀，因此，实际应用中需要有足够的控制点来支撑。

2. 数学模型转换数学模型转换是一种基于数学模型的坐标系转换方法。

常用的数学模型有七参数模型、四参数模型和三参数模型。

七参数模型适用于一般情况下的坐标系转换，四参数模型适用于扩展的相似性变换，三参数模型适用于局部平移转换。

数学模型转换的优点是可以高度精确地进行坐标系转换，并且不需要过多的控制点，但缺点是需要进行复杂的数学计算。

3. 数据转换随着技术的不断发展，现在很多软件和工具都提供了数据转换的功能。

通过这些工具，用户可以直接将不同坐标系下的测绘数据进行转换。

这种方法的优点是操作简单、速度快，而缺点是对于特殊的坐标系转换可能不支持。

三、坐标系转换中的注意事项1. 坐标系统的选择在进行坐标系转换之前，首先需要确定被转换坐标系和目标坐标系。

被转换坐标系是指初始的测绘数据所处的坐标系，而目标坐标系是最终转换的坐标系。

选择合适的坐标系非常重要，因为不同的坐标系对应不同的参考椭球面，有时候即使转换方法正确，但由于坐标系选择错误，也会导致最终结果的偏差。

常用坐标系及其间的转换

瞬时到所讨论时刻的时间间隔为 t ，则发射坐标系绕地轴转动ωet 角。
显然，如果发射坐标系与发射惯性坐标系各有一轴与地球转动相平行，那它们之间方向余弦阵将是很简单的。一般情况下，这两个坐标系对转动轴而言是处于任意的位置。因此，首先考虑将这两个坐标系经过一定的转动使得相应的新坐标系各有一轴与转动轴平行，而且要求所转动的欧拉角是已知参数。一般情况下两个坐标的关系如图 1.7 所示。
其中 VG 为方向余弦阵
⎡ ⎢ ⎢
xv0 yv0
⎤ ⎥ ⎥
=
VG
⎡ ⎢ ⎢
x0 y0
⎤ ⎥ ⎥
⎢⎣ zv0 ⎥⎦
⎢⎣ z0 ⎥⎦
（1.7）
⎡
cosθ cosσ
VG = ⎢⎢cosθ sinσ sinν − sinθ cosν
⎢⎣cosθ sinσ cosν + sinθ sinν
sinθ cosσ sinθ sinσ sinν + cosθ cosν sinθ sinσ cosν − cosθ sinν
绕新的侧轴 o1z1 转动 α 角，α 角称为攻角。即达到两个坐标系重合。两个坐标系的欧
拉角关系如图 1.6 所示。图中之α、 β 均为正值方向。因此，可得两个坐标系的方向余
图 1.6 速度坐标系与箭体坐标系关系图 12
弦关系为
⎡ ⎢ ⎢
x10 y10
⎤ ⎥ ⎥
=
BV
⎡ ⎢ ⎢
xv0 yv0
⎤ ⎥ ⎥
图 1.1 发射坐标系之一
图 1.2 发射坐标系之二 7
7. 速度坐标系 o1 − xv yv zv 坐标系原点为火箭的质心。o1xv 轴沿飞行器的飞行速度方向。o1 yv 轴在火箭的主对称面内，重直 o1xv 轴， o1zv 轴垂直于 xvo1 yv 平面，顺着飞行方向看出， zv 轴指向右方， o1 − xv yv zv 亦为右手直角坐标系。

坐标系转换

补充内容：一、不同空间直角系间的坐标换算不同空间直角坐标系的坐标换算既包括不同参心空间直角坐标系之间的换算，又包括参心空间直角坐标系与地心空间直角坐标系之间的换算。

现今，后者应用更为广泛。

如卫星大地测量可以直接测定地面点的地心直角坐标，这些点构成卫星网；利用传统大地测量方法可以获得地面点的参心坐标，这些点构成地面网。

地心直角坐标系与参心直角坐标系的坐标转换，有时称为卫星网与地面网间的转换，这种转换有着很重要的作用。

自20世纪60年代以来，各国大地测量学者对此作了大量的研究，获得了多种转换方法及模型。

这里只介绍三参数法和七参数法的转换模型。

1.三参数法设两个空间直角坐标系分别为新坐标系O T —XYZ 和旧坐标系O —XYZ ，这两个坐标系各对应的坐标轴相互平行，坐标系原点不相一致，如图10—8所示。

不难看出，这两个坐标系中的同一点的坐标具有如下关系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∆∆∆=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Z Y X Z Y X ZY X T000 式中，X 0，Y o ，Zo 是旧坐标系原点O '在新坐标系O —XYZ 中的三个坐标分量，也称为三个平移参数。

三参数转换公式不同于空间大地直角坐标间的转换公式，它是在假设两坐标系之间各坐标轴相互平行的条件下导出的，这在实际上往往是不可能的。

但由了欧勒角不大，加之求欧勒角的误差往往和欧勒角本身数值属同一数量级，故可近似地这样处理。

此种情况在国内外一些坐标换算中屡见不鲜。

2.七参数法如图10-9所示，两个空间直角坐标系间除了三个平移参数外，当各坐标轴间相互不平行时，还存在有三个欧勒角，称之为三个旋转参数；又由于两个坐标系尺度不一致，从而还有一个尺度变化参数，共计有七个参数。

七参数坐标转换有多种计算公式，这里只介绍布尔沙转换公式。

若以T i i i Z Y X ),,(和),,(i i i Z Y X 分别表示几点在空间直角坐标系OT —X T Y T Z T 和O —XYZ 中的坐标；),,(000Z Y X ∆∆∆表示原点坐标平移量。

第22章二次函数第10课时建立坐标系解决实际问题-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)

人教版九年级数学上册讲义第二十二章二次函数第10课时建立坐标系解决实际问题教学目的1．建立坐标系解决球类轨迹等抛物线型问题；2．建立坐标系解决桥拱等抛物线型问题．教学重点1．建立坐标系解决球类轨迹等抛物线型问题；2．建立坐标系解决桥拱等抛物线型问题．教学内容知识要点轨迹、拱桥问题的求解步骤①建系：建立合适的直角坐标系②标线转化：把线段条件转化为点坐标③求解析式：把点坐标代入解析式，求出解析式④求点坐标：根据相关点的某个坐标求出另一个坐标⑤标线转化：把点坐标转化为具体线段，作答对应练习1．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB为 m.．2．烟花厂为咸宁温泉旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 .3．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．4．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．5．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+（x＞0）（1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m？（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外？6．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图．当球离抛出地的水平距离为30m时，达到最大高度10m．（1）问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式．（2）当球的高度为m时，球离抛出地的水平距离是多少？7．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降2.5m，水面宽度增加 m.8．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.（精确到1米）课后作业1．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是 m．2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．3．如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；4．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB.5．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？6．如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 (写出顶点式和一般式均可)．图①图②7．如图所示是某斜拉索大桥，主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度AB＝50米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米，桥面CD距水面的咨度为36米，则桥的宽度CD 米．8．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，当水位上涨1m时，水面宽CD为2 m，则桥下的水面宽AB为 m.对应练习答案1.解答：解：∵喷出的水柱中心4m处达到最高，高度为6m，∴抛物线的顶点坐标为（4，6）或（−4，6），设抛物线解析式为或即这个喷水头应设计的高度为m．把代入抛物线解析式，解得：所以，函数解析式为或当时，抛物线与x轴的交点坐标为（10，0）或（−10，0），∴圆形喷水池的直径为20m，故答案为：20．2.解答：解：∵，∴h＝﹣（t﹣4）2+41.∴t＝4时，h最大＝41.故答案为：4s.3.解答：解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．4.解答：解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．5.解答：解：（1）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+，∴该二次函数的顶点坐标为（1，），∴水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为1米；（2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+＝0，解得x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）所以花坛的半径至少为2.5m，才能使喷出的水流不落在池外；6.解答：解：（1）根据题意，得设抛物线的解析式为y＝a（x﹣30）2+10，把（0，0）代入得a＝﹣．所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣30）2+10＝x2+x．当y＝0时，x1＝0，x2＝60．或者：因为抛物线对称轴为x＝30，所以抛物线与x轴的交点为（0，0），（60，0）答：球被抛出60m．该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝时，＝﹣（x﹣30）2+10，解得x1＝50，x2＝10．答：球离抛出地的水平距离是10m或50m．.7.解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了6﹣4＝2米，故答案为：2.8.解答：解：由"在该抛物线上距水面AB高为8米的点"，可知y＝8，把y＝8代入y＝﹣x2+10得：x＝±4，∴由两点间距离公式可求出EF＝8≈18（米）.课后作业答案1.解答：解：由题意得：t＝4时，h＝0，因此0＝16a+19.6×4，解得：a＝﹣4.9，∴函数关系为h＝﹣4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：＝19.6（m），2.解答：解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，解：（1）由排球运行的最大高度为28米，则顶点的坐标点G为（6，2.8），则设抛物线的解析式为p＝a（x﹣6）2+2.8 ∵点C坐标为（0，2），点C在抛物线上∴2＝a（0﹣6）2+2.8解得a＝﹣∴p＝（x﹣6）2+2.8则排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式：p＝（x﹣6）2+2.8（2）当x＝9时，p＝（9﹣6）2+2.8＝2.6＞2.24当x＝18时，p＝（18﹣6）2+2.8＝﹣0.4＜0故这次发球可以过网且不出边界4.解答：解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得a＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9解得x1＝3，x2＝﹣1所以B（3，0）．答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．解：（1）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2时，h取得最大值20米；答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；（2）由题意得：15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m.6.解答：解：由图象可知抛物线的对称轴为x＝＝20，所以顶点坐标为：(20，16)，可设此抛物线的解析式为：y＝a(x-20)2+16，①又此抛物线过(0，0)点，代入①式得：a(0-20)2+16＝0，解得：a＝-．所以此抛物线的解析式为：y＝-(x-20)2+16．解：如图，以CD所在直线为x轴，过点E的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据图象知点顶点E的坐标为（0，64），点B的坐标为B（25，﹣36），设解析式为y＝ax2+64，将点B（25，﹣36）代入得：﹣36＝625a+64，解得：a＝﹣，∴解析式为y＝﹣x2+64，令y＝0，得：y＝﹣x2+64＝0，解得：x＝±20，∴CD＝20﹣（﹣20）＝40，8.解答：解：∵水面宽CD为2m，y轴是对称轴，∴D点的横坐标为，∴D的纵坐标为y＝﹣×（）2＝﹣2，∵水位上涨1m时，水面宽CD为2m，∴B的纵坐标为﹣2﹣1＝﹣3，把x＝﹣3代入解析式y＝﹣x2得：∴B的横坐标为y＝﹣×（﹣3）2＝﹣3，∴桥下的水面宽AB为3×2＝6米，故答案为：6米.。

0202-摄影测量坐标系及方位元素

X轴大体上与航线方向或者反方向一致，Z轴铅垂。
S
x
y
a
o
x
Z
Z G
ZP
YP
XGM
Y
AX
右手系
OT
O
Y
XP
G
一、摄影测量常用坐标系的定义
• 摄影测量坐标系 P X PYPZP
Z轴铅垂的摄影测量坐标系为地面辅助坐标系。
原点、轴向、作用
zy
S
x
y
a
o
x
Z
G
ZP
A
X
YP
G
OT
O
Y
XP
G
(Coordinate System)
1) 、、
逆时针方向为正
倾角。主光轴轴在XZ坐标面
Z
上的投影与Z轴的夹角。
z
侧滚角。主光轴与其在XZ
坐标面上的投影之间的夹角。
旋角。Y轴在xy坐标面上
的投影与y轴的夹角。
Y
作用
X
、
确定z轴的方向
确定x，y轴在自身平面内的
方向
二、航摄像片的内、外方位元素
1) 、、
yZ
倾角。主光轴轴在XZ坐标面 z
z
y S
x
f
y o
a (x, y)
x A
二、航摄像片的内、外方位元素
像点
摄影测量
地面点
框标坐标系关系?
像空间坐标系关系?
地面辅助坐标系关系已知
大地坐标系
x0 , y0 , f
内方位元素
外方位元素
？？
二、航摄像片的内、外方位元素
外方位元素
像空间坐标系关系?

农村地籍测量中抵偿高程面独立坐标系建立和转换

农村地籍测量中抵偿高程面独立坐标系建立和转换一、引言农村地籍测量是国家土地管理工作的重要组成部分，也是保障农村土地权益的重要手段。

在农村地籍测量中，高程面独立坐标系的建立和转换是非常关键的环节，能够有效地保证地籍测量的准确性和可靠性。

本文将从高程面独立坐标系建立的意义、方法和转换过程等方面进行探讨，以期为农村地籍测量工作提供参考和指导。

二、高程面独立坐标系建立的意义在农村地籍测量中，地面高程是非常重要的地理信息之一。

为了保证测量数据的准确性和实用性，需要建立一个高程面独立的坐标系。

这样一来，不同的测量数据之间可以进行高程坐标的统一和转换，从而提高数据的质量和可靠性。

高程面独立坐标系的建立也可以为农村土地的规划、开发和利用提供重要的地理信息支持。

1. 坐标系建立原理高程面独立坐标系的建立原理主要是基于大地水准面的测量。

通过对一定范围内的水准测量数据进行分析和处理，可以得到一个高程面独立的坐标系。

这个坐标系的基准点一般选取具有代表性的地理位置，比如自然界的高峰、地理枢纽等。

2. 测量数据采集在进行高程面独立坐标系的建立时，需要对一定范围内的地理信息进行测量和采集。

这些地理信息包括地形的起伏、山脉的高低、水域的深浅等等。

通过对这些地理信息的测量和采集，可以得到一系列的高程数据，为坐标系的建立提供参考依据。

3. 坐标系参数计算在获得足够的地理信息数据后，需要对这些数据进行参数计算，从而确定高程面独立坐标系的基准点和参考点。

同时还需要计算出各个地理位置的高程数据，以及这些高程数据之间的关系和差异。

通过这些参数的计算，可以建立一个完整的高程面独立坐标系。

在实际的农村地籍测量工作中，由于不同的测量数据可能使用了不同的高程面独立坐标系，因此需要进行坐标系的转换。

这种转换通常是通过测量数据的坐标转换和参数校正来实现的。

以下是一些高程面独立坐标系转换的方法。

1. 坐标转换坐标转换是指将一个高程数据从一个坐标系转换到另一个坐标系的过程。

测量坐标系的种类

一、测量坐标系的种类
（二）、按坐标的中心（原点）分类 1.参心坐标系（1）参心大地坐标系地球椭球的中心和地球质心不重合的大地坐标系。（2）地心空间直角坐标系地球椭球的中心和三维直角坐标系的原点不重合的空间
直角坐标系。（3）地心平面直角坐标系
由参心大地坐标系转化而来的平面直角坐标系。
地球坐标系的分类及其相互关系
一、测量坐标系的种类
确定地球表面或外层空间中实体（点）的空间位置，是测绘的基本任务之一，也是最重要、最基础的工作。
实体（点）的空间位置的表达可用多种方式。常用的是用处于某种坐标系中的坐标表达。
要表达实体（点）的空间位置，应用三维坐标表示。测量上的常用坐标系有多种，可按不同的方式进行描述。（一）、按坐标的表达方式分类可分为笛卡尔坐标、曲线坐标和平面直角坐标。 1.大地坐标系表示点在大地坐标系中的位置，用经度、纬度和高程表示。
点上的铅垂线和地球椭球的法线不相重合。两者产生的夹角称之为垂线偏差。
（2）高程点的高程，常见的有：大地高、正高、正常高。
一ห้องสมุดไป่ตู้测量坐标系的种类
（一）、按坐标的种类分类 1.大地坐标系（1）经、纬度（2）高程
大地高：点沿地球椭球法线到地球椭球的距离。正高：点沿地球铅垂线到大地水准面的距离。正常高：点沿铅垂线到似大地水准面的距离。
一、测量坐标系的种类
（一）、按坐标的种类分类 1.大地坐标系（1）经、纬度经纬度有天文经纬度和大地经纬度之分。天文经、纬度用λφ表示，以铅垂线为基准线，用天文测
量方法测定。大地经、纬度用L、B表示，以地球椭球的发现为计算的
基准线，用大地测量的方法计算得到。同一点的天文经纬度和大地经纬度不相同，原因在于同

地理坐标系转换公式

坐标系转换公式
青岛海洋地质研究所戴勤奋译 (Email: qddqinfen@) 本文译自国际石油技术软件开放公司（）文献 “ Coordinate Conversions and Transformations including Formulas ” part 2 – – “ Formulas for Coordinate Operations other than Map Projections ” 。原文献由 EPSG（欧洲石油勘探组织）编写，初稿时间 1995，最新更新时间 2004 年 1 月。世界各国参考椭球体参数及基准面转换参数，可参考（/military/library/policy/army/fm/6-2/appe2.htm#tabe_22）。
式中：Xt = 新坐标系的坐标值， Xs = 原坐标系的坐标值， A 为新坐标系的原点在原坐标系中的坐标值， m 为单位方向因子（如果两坐标系轴向一致 m=1；如果两坐标系轴向不一致 m = －1）， Us 、Ut 和 UA 分别为原坐标、新坐标和偏移参数的坐标单位与米的比值。
３．２三参数转换（ EPSG 坐标运算方法９６０３）
基（Molodenski）提出了相应三参数的直接转换方法。方法假定原坐标系与新坐标系的坐标轴相互平行，正如前面已提到的，该假设不一定成立，由此得到的转换结果只能达到中等精度，对范围大的区域尤其如此。赫尔默特（Helmert）7 参数转换法提高了转换精度。由于三个旋转参数有两种相反的符号协定，EPSG（欧洲石油勘探组织）将其分为两种不同的转换方法，其一称位置矢量法，另一称坐标框架法，其中位置矢量法也称布尔莎-沃尔夫（Bursa-Wolf）转换法。赫尔默特方法的关键在于转换参数的符号要与遵循的约定一致。鉴于赫尔默特方法的平移和旋转参数之间具有很强的相关性，有碍于实际应用，莫洛金斯基-巴德克斯（Molodenski-Badekas ）提出了改进的赫尔默特 7 参数转换法，避免了上述相关性问题。根据研究区内一系列已知点的大地坐标或网格坐标改正量进行插值，也是一种坐标系转换方法。北美 1927 基准面（基于 Clarke 1966 椭球体）与北美 1983 基准面（基于 GRS 1980 椭球体）之间的坐标系转换就是其中一例。北美测量控制网是用传统大地测量方法建立的，由于早期的仪器精度不足、网平差不完善等因素，基于 Clarke 1966 椭球体、并且只有一个基准点（位于堪萨斯州 Meades Ranch）的老坐标网精度低、且误差分布不均匀；新坐标网采用了卫星技术、现代先进的测量仪器和电子计算机技术，其精确度与可靠性完全能得到保障。由此造成北美大陆网内，不同地区、甚至不同位置点的转换参数都有可能不一致，所以如仅采用莫洛金斯基（ Molodenski）和赫尔默特（ Helmert）方法对付上述新、旧坐标系的转换显然不合适，为此需要用到 EPSG（欧洲石油勘探组织）所谓的“双线性插值”转换技术。到北美 NAD83 的坐标转换就是通过格网双线性插值实现的，其中采用了美国海岸带与大地测绘局（US Coast & Geodetic Survey）的 NADCON 控制点网。注：美国以西经为正，而 EPSG 文献中 NAD27 与 NAD83 坐标系的设定均以东经为正；加拿大的网格文件格式也被澳大利亚与新西兰采用；英国采用北向与东向的双线性网格插值。此外，经纬度多项式也可以用于坐标系转换，挪威在海岸带调查中，就采用这种方法进行新（ED87— 欧洲 1987 基准面）、旧（ED50— 欧洲 1950 基准面）坐标系之间的转换。挪威地调局 Statens Kartwerk 发表的文献中列出了包含 15 个系数的经纬度 4 次多项式展开公式。上述格网插值及多项式拟合方法更适合于早期基准面与新建基准面之间的坐标值转换。坐标系转换时，选择正确的转换参数符号非常重要，转换前应该明确转换的“从（From） ”……“到（To） ” ……，避免符号混淆。

大学测量《大地测量》教学课件：22欧拉角和坐标系转换

Y
c os 1
Z cos1
c os 2 cos2 cos 2
cos3 X
c
os3
Y
cos 3 Z
7.1 大地坐标系中的欧勒角
独立方向角 1、右手空间直个角数坐？标系的旋转变换公式
ii 1 i j 0 i k 0 j j 1 j k 0 k k 1
cos2 1 cos2 1 cos2 1 1 cos2 2 cos2 2 cos2 2 1
水平方向平面距离平面方位角
布设水平观最测高地等面级上观控制网水平控制测网元，素
归算
椭球面上的元素
归算
高斯平面的元素
已知数据从何
推算平差
推算平差
而来？
水平坐标
大地坐标（L，B）
平面坐标（X，Y）
7.1 大地坐标系中的欧勒角
1、右手空间直角坐标系的旋转变换公式
以方向角为参数
1, 1,1,2 , 2 , 2 ,3, 3, 3
X 1 εZ εY X
一般YZ情况?
εZ εY
1 εX
O
X Y
RZ ( εZ ) sin Z cos εZ 0
0
0 1
XX
Y Z
Xscino0ZsXXsYisnincYoZscYosiscnosXXsZisninY
X
Z Y
Y cosZY cos Z
0
cos X sin X
cosY sin Z cos εY
ccoossZZRYsc(inoεsYX)XssininsYiYns0sininYZZ
2h
22
第七章大地坐标系的建立
7.1 大地坐标系中的欧勒角 7.2 不同大地坐标系的转换

坐标系种类及坐标转换

e’2 0.006738525414683 0.006739501819473
6378137 6356752.3142 6399593.6258 1/298.257223563 0.0066943799013 0.00673949674227
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS84系椭球参数。
2020-8-24
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二、测量坐标系的分类
2、地球坐标系 n 地球坐标系根据原点的不同，即参考椭球的不同分为地心坐标系和参心坐标系。
n 以上两类都有以下几种表达方式：
l 空间大地坐标系，即大地经纬度（B,LH）形式； l 空间直角坐标系，即三维空间坐标（X,Y,Z）形式； l 投影平面直角坐标系，即二维平面坐标（x，y，h）形式
n（2）空间直角坐标系
p 坐标原点位于参考椭球的中心。 p X轴指向起始子午面与赤道的交点； p Z轴指向参考椭球的北极 p Y轴位于赤道面上，且按右手系与X轴成90°夹角。
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二、测量坐标系的分类
n（3）平面直角坐标
n 平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称投影变换。 n 投影变换有很多，如 UTM投影、Lambuda投影等，在我国采用的最多的是高斯克吕格投影。
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二、测量坐标系的分类
2、地球坐标系 n三种表达形式：
n（1）空间大地坐标系（地理坐标系）
n 空间大地坐标系采用大地纬度（B）、大地经度（L）和大地高来描述空间位置。
p 大地经度是空间的点与参考椭球的自转轴法线与参考椭球的起始子午面的夹角。 p 大地纬度是空间的点沿参考椭球面的法线与赤道面的夹角。

坐标系统之间的转换

坐标系统之间的转换概要这篇⽂章中，我们来聊聊 OpenGL 中的坐标系统以及它们之间的转换。

（⚠ 阅读本⽂需要有线性代数基础。

）坐标变换原理⾸先，我们需要运⽤⼀点线性代数的知识，了解不同坐标系统变换的原理。

由于本⽂针对的是三维坐标，所以讨论的空间是 R 3 空间。

在标准三维坐标系中，我们通常⽤⼀个向量 v=[x, y, z] 来表⽰⼀个点的位置。

这⾥的 x 、y 、z 分别对应 x 轴、y 轴以及 z 轴三个⽅向的偏移，⽽标准三维坐标空间的基采⽤的是三个互相垂直的向量 e 1=[1,0,0], e 2=[0,1,0], e 3=[0,0,1]。

但根据线性⽆关等知识，我们完全可以找出另外三个向量作为三维空间的基，只要这三个向量线性⽆关，同样能够张成 R 3 空间。

现在，假设坐标系 A 采⽤的基向量是 {v 1,v 2,v 3}，坐标系 B 采⽤的是{u 1, u 2, u 3}。

那么，根据线性⽆关性，我们可以得到线性⽅程组：u 1=γ11v 1+γ12v 2+γ13v 3u 2=γ21v 1+γ22v 2+γ23v 3u 3=γ31v 1+γ32v 2+γ33v 3⽤矩阵⽅程的形式表⽰为：u =Mv由于 u , v 都是三维空间的基，因此，对于三维空间内任意⼀个向量 w ，u 、v 都可以通过线性组合的⽅式表⽰出 w ：w =a T v =b T u （这⾥的a T , b T 分别表⽰不同坐标空间的标量）。

结合前⾯ u =Mv ，进⼀步得到：w =b T u =b T Mv =a T v ，继⽽：a =M T b ，b =(M T )−1a 。

好了，到这⾥，关键的东西就讲完了。

所以坐标系统的变换很简单有⽊有！如果你在B 坐标系（基向量为{u 1, u 2, u 3}）中有个向量 w ，沿⽤上⾯的假设，w 的坐标为 b （即 w =b T u ），这个时候，我们想求出它在 A 坐标系（基向量为{v 1,v 2,v 3}）的坐标表⽰（假设为a ），我们只需要求出矩阵 M ，则：a =M T b 。

参考系坐标系及转换

1 天球坐标系、地球坐标系和卫星测量中常用的坐标系的建立方法。

天球直角坐标系天球坐标系天球球面坐标系坐标系地球直角坐标系地球坐标系地球大地坐标系常用的天球坐标系：天球赤道坐标系、天球地平坐标系和天文坐标系。

在天球坐标系中，天体的空间位置可用天球空间直角坐标系或天球球面坐标系两种方式来描述。

1 天球空间直角坐标系的定义地球质心O为坐标原点，Z轴指向天球北极，X轴指向春分点，Y轴垂直于XOZ 平面，与X轴和Z轴构成右手坐标系。

则在此坐标系下，空间点的位置由坐标（X，Y，Z）来描述。

春分点：当太阳在地球的黄道上由天球南半球进入北半球，黄道与赤道的交点）2 天球球面坐标系的定义地球质心O为坐标原点，春分点轴与天轴（天轴：地球自转的轴）所在平面为天球经度（赤经）测量基准——基准子午面，赤道为天球纬度测量基准而建立球面坐标。

空间点的位置在天球坐标系下的表述为（r，α，δ）。

天球空间直角坐标系与天球球面坐标系的关系可用图2-1表示：岁差和章动的影响岁差：地球实际上不是一个理想的球体，地球自转轴方向不再保持不变，这使春分点在黄道上产生缓慢的西移，这种现象在天文学中称为岁差。

章动：在日月引力等因素的影响下，瞬时北天极将绕瞬时平北天极旋转，大致呈椭圆，这种现象称为章动。

极移：地球自转轴相对地球体的位置并不是固定的，因而，地极点在地球表面上的位置，是随时间而变化的，这种现象称为极移。

地球的自转轴不仅受日、月引力作用而使其在空间变化，而且还受地球内部质量不均匀影响在地球内部运动。

前者导致岁差和章动，后者导致极移。

协议天球坐标系：为了建立一个与惯性坐标系统相接近的坐标系，人们通常选择某一时刻，作为标准历元，并将此刻地球的瞬时自转轴（指向北极）和地心至瞬时春分点的方向，经过瞬时的岁差和章动改正后，分别作为X轴和Z轴的指向，由此建立的坐标系称为协议天球坐标系。

3 地球坐标系地球直角坐标系和地球大地坐标系的转换其中：过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。