函数零点存在性定理图文稿
零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
THANKS FOR WATCHING
扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
感谢您的观看
推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
函数零点存在定理
函数零点存在定理一、函数零点的概念对于函数）（xfy=,我们把使xf=）（的实数x叫做函数）（xfy=的零点。
从几何角度来看，函数的零点就是函数图像与x轴交点的横坐标。
换句话说，函数的零点就是方程f(x)=0的实数解。
二、函数零点的性质函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。
因此，求解函数的零点等价于求解对应的方程。
三、函数零点存在定理如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且有0bfaf）＜（）（∙,那么，函数）（xfy=在区间（a,b）内有零点推论（函数零点的唯一性）如果函数）（xfy=在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，在区间[a,b]上具有单调性，且bfaf）＜（）（∙，那么函数）（xfy=在区间[a,b]上有唯一零点四、定理的证明思路为了证明这个定理，我们可以采用反证法结合连续函数的性质进行证明。
这里简要说明证明思路：假设：假设在开区间(a,b)内不存在零点，即对于所有x∈(a,b)，都有f(x)≠0。
分类讨论：若f(x)在(a,b)内恒大于0或恒小于0，则与f(a)f(b)<0矛盾。
若f(x)在(a,b)内既有大于0的部分也有小于0的部分，则根据连续函数的介值性，存在某个点c∈(a,b)使得f(c)=0，与假设矛盾。
结论：因此，假设不成立，原命题得证。
五、零点个数的判断1、零点个数的定义对于函数y=f(x)，使f(x)=0的实数x的个数即为该函数的零点个数。
从图象上看，函数的零点个数就是y=f(x)的图象与x轴交点的个数。
2、零点个数判断的主要方法（1）代数法解方程：最直接的方法是解方程f(x)=0。
如果方程可以求解，那么其解的个数即为函数的零点个数。
这种方法适用于能够直接求解的方程，如一元二次方程、一元一次方程等。
因式分解：对于多项式函数，可以通过因式分解将函数化为几个因式的乘积形式，然后令每个因式等于零，解得的解即为函数的零点。
考点34 零点定理(解析版)
考点34 零点定理一．函数的零点（1）零点的定义：对于函数y ＝f （x ），我们把使f （x ）＝0的,实数x 叫做函数y ＝f （x ）的零点． 函数的零点不是函数y=f(x)与x 轴的交点，而是y=f(x)与x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数（2）零点的几个等价关系：方程f （x ）＝0有实数根⇔函数y ＝f （x ）的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f （x ）有零点． 二．函数的零点存在性定理1.如果函数y ＝f （x ）在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）f （b ）<0，那么，函数y ＝f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ⇔（a ，b ），使得f （c ）＝0，这个c 也就是方程f （x ）＝0的根．2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件考向一 求零点【例1】（2021·全国课时练习）函数()ln f x x x =的零点为（ ） A ．0或1 B ．1C ．()1,0D ．()0,0或(()1,0【答案】B【解析】函数()ln f x x x =的定义域为()0,∞+，令()ln 0f x x x ==，得1x =，零点不是点，CD 错误，故选：B.知识理解考向分析【举一反三】1．（2021·上海市西南位育中学=）函数256y x x =-+的零点是___________. 【答案】2x =和3x =【解析】令y =0，即2560x x -+=，解得：2x =和3x =故答案为：2x =和3x =2．（2020·巴彦淖尔市临河区第三中学高三月考（理））函数256y x x =--的零点是__________. 【答案】6或-1【解析】解方程()()260561x x x x --=+=-得6x =或1x =-.所以函数256y x x =--的零点是6或-1.故答案为：6或-1.考向二 零点区间【例2】（2021·四川高一开学考试）函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为（ ） A ．()1,0- B ．()0,1 C ．()1,2D ．()2,3【答案】B【解析】由于函数xy e =、123y x =-均为R 上的增函数，所以，函数()f x 为R 上的增函数， 因为()010f =-<，()11203f e =+->，则()()010f f ⋅<.因此，函数()123xf x e x =+-的零点所在区间为()0,1.故选：B. 【举一反三】1．（2021·安徽省泗县第一中学）函数()123log 4xf x x =-++的零点所在的区间为（ ）A ．()2,3B ．()3,4C ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】易知函数()123log 4xf x x =-++在()0,∞+上为减函数， ()110f =>，()260f =-<，则()()120f f ⋅<，因此，函数()f x 的零点所在的区间为()1,2.故选：C. 2．（2021·浙江开学考试）函数()26log f x x x=-的零点所在区间是（ ） A ．()0,1 B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】D【解析】由题意，函数()26log f x x x=-，可函数()f x 为定义域上的单调递减函数， 又由()()22332log 30,4log 402f f =->=-<，即()()340f f ⋅<，根据零点的存在性定理，可得函数()f x 的零点所在的区间是()3,4.故选：D. 3．（2021·内蒙古包头市）函数()3xf x x e =+的零点所在区间为（ ）A ．()2,1--B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】B【解析】函数()3xf x x e =+为R 上的增函数，且()2260f e--=-+<，()1130f e --=-+<，()010f =>，()()100f f ∴-⋅<，因此，函数()3x f x x e =+的零点所在区间为()1,0-.故选：B.考向三 零点的个数【例3】（2021·云南高三其他模拟）函数()13sin f x x =-在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()0f x =，得1sin 3x =，作出函数sin y x =在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示，因为511sin623π=>， 所以由图可知直线13y =与图象有3个交点，从而()f x 在52,6ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个零点.故选：B【例3-2】（202112log x =的解的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】在同一坐标系内，作出y =12log y x =的图象，如图：由图象可知，方程只有一个解.故选：B 【举一反三】1．（2021·云南昆明市）已知()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()f x 在[0,]π上的零点个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由23x k ππ+=得,26k x k Z ππ=-∈， 又[0,]x π∈，∴3x π=或56π，共2个．故选：C ． 2．（2021·云南丽江市·丽江第一高级中学）函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】由21|log |02x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得21log 2xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 作出函数2log y x =与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图形如图，由图可知，函数21log 2xy x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是2．故选：C ．3（2021·江西吉安市）函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】C【解析】函数21()ln 20202f x x x =+-的定义域为()0,∞+， 因为函数21ln 20,022y y x x ==-在()0,∞+上递增， 所以()f x 在()0,∞+上递增， 又1(1)20200,(2020)10092020ln 202002f f =-<=⨯+>， 由零点存在定理得：函数21()ln 20202f x x x =+-的零点个数是1个数，故选：C 4．（2021·北京高三期末）已知函数()2,0,0x x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩，则函数()2xy f x =-的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】令()20xf x -=，得()2xf x =，则函数()2xy f x =-的零点个数等价于函数()f x 与函数2xy =的图象的交点个数，2,021,02x x x x y x ⎧≥⎪==⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数()f x 与函数2xy =的图象如下图所示：由图象可知，两个函数图象的交点个数为2，故函数()2xy f x =-的零点个数为2.故选：C.1．（2021·陕西西安市·高三月考（文））函数21()12x f x x =--的零点的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】21()012x f x x =-=-，2210x x --=，1x =1x =()0f x =的解，()f x 有两个零点．故选：B ．2．（2021·湖北开学考试）函数()lg(1)3f x x x =+--零点所在的整区间是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C【解析】因为函数()f x 为单调递增函数，且()210f =-<，()3lg20f => 所以零点所在的区间是()2,3，故选：C ．强化练习3．（2021·四川资阳市）方程24x x +=的根所在的区间为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4【答案】B【解析】构造函数()24xf x x =+-，则函数()f x 为R 上的增函数，()110f =-<，()220f =>，则()()120f f ⋅<，因此，方程24x x +=24x x +=的根所在的区间为()1,2.故选：B.4．（2020·全国课时练习）函数()()ln 11f x x x =+-+在下列区间内一定有零点的是（ ） A ．[]0,1 B ．[]1,2 C ．[]2,3 D ．[]3,4【答案】C【解析】因为函数()()ln 11f x x x =+-+连续，且()()22ln31ln 10,3ln 42ln 20f e f e =->-==-<-=，所以在区间[]2,3内一定有零点，故选：C5．（2021·广西河池市=）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）．A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，131111ln 21ln 21ln 2ln 0222222f ⎛⎫=-<--=-<-=-= ⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.6．（2021·全国高三开学考试（文））已知函数()()1,02ln ,0x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪-<⎩，则函数()()y f f x =的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】 C【解析】令()f x t =，当()0f t =时，解得12t =或1t =-. 在同一直角坐标系中分别作出()y f x =，1y =-，12y =的图象如图所示，观察可知，()y f x =与1y =-有1个交点，()y f x =与12y =有2个交点，则()()y f f x =的零点个数为3. 故选：C.7．（2021·北京丰台区）已知函数()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】()22,0,11,0,x x x f x x x⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，令()0f x =，当0x ≤时，220x x -=，解得：0x =或2x =（舍去）； 当0x >时，110x-=，解得：1x = 所以()0f x =有2个实数解，即函数()f x 的零点个数为2个.故选：C. 8．（2021·山西吕梁市）函数()1542xf x x =+-的零点[]01,x a a ∈-，*a ∈N ，则a =（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】已知()115042=+-<f ，()124502=+-<f ；()338504=+->f ，所以()2(3)0⋅<f f ，可知函数零点所在区间为[]2,3，故3a =.故选：C.9．（2021·安徽高三期末（文））设函数3()sin log f x x x =-，0.5()3log xg x x =-，0.5()sin log h x x x=-的零点分别为a ，b ，c ，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >>D ．a b c >>【答案】A【解析】设函数1()sin f x x =，23()log f x x =，30.5()log f x x =，4()3xf x =，则a 是1()f x 与2()f x 图象交点的横坐标，b 是3()f x 与4()f x 图象交点的横坐标，c 是1()f x 与3()f x 图象交点的横坐标．在同一坐标系中，作出1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 的图象，如图所示．由图可知a c b >>． 故选：A10．（2021·山东威海市·高三期末）若关于x 的方程2lnx ax x -=在0,上有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],1-∞- B ．(),1-∞- C ．[)1,-+∞ D ．()1,-+∞【答案】B【解析】2lnx ax x -=故ln xa x x=- 则()ln x f x xx=-()2'221ln 1ln 1x x x f x x x---=-= 设()21ln g x x x =--，0x >故()'120g x x x=--< ()21ln g x x x =--在0,上为减函数，10g .故()0,1∈x 时()'0f x >；()1,∈+∞x 时()'0f x <.故()ln x f x xx=-在0,1上为增函数，在1,上为减函数.()()max 11f x f ==-，且0,x →时()f x →-∞；,x →+∞时()f x →-∞y a =与()ln x f x x x=-的图象要有两个交点则a 的取值范围为(),1-∞-. 故选：B11．（2021·兴义市第二高级中学高三期末（文））已知函数()39xf x x =+-的零点为0x ，则0x 所在区间为（ ） A ．31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】()39x f x x =+-在R 上单调递增，323315390222f ⎛⎫=+-=< ⎪⎝⎭，525513390222f ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，∴由零点存在性定理可得()f x 在35,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦有唯一零点，035,22x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故选：D.12．（2021·广西南宁市·南宁三中高三开学考试（理））已知函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x 方程()f x m =恰有三个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()0,3 B ．[)2,3C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】根据函数()241,11,12x x x x f x x ⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m =恰有三个不同的实数解，即函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 如图，()112f -=， 当112m ≤<时，函数()f x 的图象与y m =的图象有三个交点 故选：D13．（2020·重庆市凤鸣山中学高三月考）函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ ） A ．()3,4 B ．()2,eC ．()1,2D ．()0,1【答案】C【解析】因为()21ln 201f =-<，()22ln 302f =->，且函数f （x ）在(0，＋∞)上单调递增，所以函数的零点所在区间为(1，2)．故选：C14．（2021·兴宁市第一中学高三期末）若00cos x x =，则（ ） A ．0,32x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭B ．0,43x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭C ．0,64x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭ D ．00,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】设函数()cos f x x x =-，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()010,0,066442f f f ππππ⎛⎫⎛⎫=-<=<=->⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 10,033222f f ππππ⎛⎫⎛⎫=->=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以有064f f ππ⎛⎫⎛⎫⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()00,0,064332f f f f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅>⋅>⋅> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以由零点存在性定理可知函数()f x 的一个零点位于,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故选：C15．（2021·上海）已知函数1()1f x a x =-+有两个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】01a <<【解析】画出函数11y x =+的图象如下：函数1()1f x a x =-+有两个零点等价于函数11y x =+的图象与直线y a =有两个交点 所以01a <<故答案为：01a <<16．（2021·全国=课时练习）函数()223,02ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩零点的个数为___________.【答案】2【解析】当0x ≤时，令()0f x =，即2230x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）； 当0x >时，令()0f x =，即2ln 0x -+=，解得2x e =， 所以函数()f x 有两个零点. 故答案为：2.17．（2021·贵州毕节市）函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是________.【答案】2【解析】当0x ≤时，由230x -=解得x = 当0x >时，由ln 0x =解得1x =，所以函数()23,0ln ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩的零点个数是2故答案为：218．（2020·云南师大附中高三月考（文））函数()ln f x x =的零点个数为__________． 【答案】2【解析】令ln ||0x =，当且仅当1x =±，所以()ln ||f x x =有两个零点．故答案为：2.。
《函数的零点》课件
《函数的零点》PPT课件
函数的零点是函数图像与横轴相交的点，它们在数学和实际应用中扮演着重 要角色。本课程将探索不同方法寻找和应用函数的零点。
什么是函数的零点
函数的零点是指函数图像与横轴相交的点。它们表示使函数取值为零的输入 值，有着重要的数学和实际意义。
如何寻找函数的零点
1
二分法
通过不断将区间一分为二来逼近零点。
2
牛顿迭代法
利用切线逼近零点，快速收敛。
3
增量法
通过不断加减零点附近的增量来逼近零点。
实用的寻找零点的方法
割线法
结合了二分法和牛顿迭代 法的优点，快速且稳定。
区间估计法
通过划定区间来估计零点 的位置，有效节省计算资 源。
图像法
观察函数图像上横轴与函 数相交的点，直观且易于 理解。
零点的存在定理
1 布尔查诺定理
指出了函数连续性和 函数值异号的关系， 确保在某个区间内存 在至少一个零点。
2 柯西中值定理
3 零点存在理的
利用导数存在的条件，
应用
确保在某个区间内存
在证明上述定理的基
在至少一个零点。
础上，可以推导和应
用更多零点存在定理。
应用领域
工程计算
寻找函数零点可以解决各种 工程设计和优化问题。
物理计算
零点与物理方程的交点提供 了物理问题的解。
金融计算
函数零点可以用于金融预测 和风险管理。
其他应用领域
数据分析
寻找函数的零点可以解 决大量的数据分析问题。
生物学
零点分析在生物学中用 于理解生物过程和解决 生物问题。
化学计算
函数零点在化学计算中 起着重要作用，支持反 应和物质计算。
人教必修一数学《3.1.1.2函数与方程(2)函数零点的存在性定理》(课件)
C. a 1 或a 1 D. a 1 5
4 . 若方程2ax2 x 1 0在（0，1）内 恰有一个解，则a的取值范围是______。
「家庭作业」 1. 《考向标》 P71 — P72； 2. 自学教材：P89 — P91：
二分法求方程的近似解。
高中数学课件
（金戈铁骑 整理制作）
自我感悟
教材P87 — P88 通过对二次函数零 点所在区间其有的特点，得出一般函数 y = f (x)在区间［a，6］上是否存在零点 的“零点存在性定理”。
请你思考以下几个问题：
（1）为何规定函数 y = f (x)的图象是 连续不断的？
（2）为何只研究 f (a) ·f (b) < 0这个 情况？
（3）为何只说“存在 c (a，b) ，
使得 f (c) = 0”而不说到底有几个零点？ （4）要得出函数 y = f (x)在区间
［a，b］上零点个数，你认为应增加哪些 条件？
知识归纳
函数零点存在定理
如果函数y f ( x)在区间a，b上的图象
是连续不断的一条曲线，并且有f (a) f (b) 0， 那么，函数 y f ( x)在区间(a，b)内有零点，即 存在c (a，b)，使得f (c) 0，这个也就是方程 f ( x) 0的根.
知识运用
1.教材P92 A组T 2
2. 求函数f ( x) ln x 2x b的零点个数.
3 . 设f ( x) 3ax 1 2a在(1，1)上存在
x0，使f ( x0 ) 0，则a的取值范围是（ ）
A. a 1 B. a 1
5
5
零点存在性定理
12
引导:
（4）若一个函数图象在[a，b]上连
续，但f(a)·f(b)>0，图象在区间(a，b)
内与x轴有交点吗y ？为什么?你能举个
例子吗?
a o bx
(5) 若一个函数图(1) 象在[a，b]上不连
函数图象 (简图）
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3. －4源自2x 1. . . －1 0 1 2 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
无交点
3
函数 yfx的图象 x轴 与
有交点 x0,0（ ）
5
-2
-1
问题1：此图象是否能 表示函数？
问题2：你能从中分析 函数有哪些零点吗？
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 例1:求函数 fx4x212x9 的零点个数。
再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
x32x60
(3)
(4)
图像法
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
19
必做题:
1、教材P 92 A组 2
2、函数 ylo2g|x| 1 的零点有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
探究题：
设函数 f(x)2xa x1
零点存在性定理
2
方程 y=0 函数
x2－2x－3=0 － y= x －2x－3
2
x －2x+1=0 y= x －2x+1
2
2
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
. 函数图象
－1
y
2 1
. .
－1 －2
.y
2
y
. . . 1 .
2
.
.
x
－1
5
0
1
2
3
x
－1
1
(简图） 简图） 简图
0
－3 －4
3 2 1
.
4
.
.
5
问题1：此图象是否能 问题 ： 表示函数？ 表示函数？ 问题2： 问题 ：你能从中分析 函数有哪些零点吗？ 函数有哪些零点吗？
-2
-1
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 设问激疑 延伸拓展 例1:求函数 1:求函数
f ( x ) = 4 x 2 − 12 x + 9
的零点个数。 的零点个数。
再次思考问题： 再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
∴选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移 初步应用 理论迁移
例2 求函数 y = ( x − 2) 2 ( x 2 − 2 x − 3) 的零点: 的零点
求函数零点的步骤： 求函数零点的步骤： (1)令 (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； 解方程f(x)=0 (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点 (3)写出零点 如何解下列方程
即存在 c ∈ ( a, b ) ，使得 f (c) = 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) = 0 的根。
零点存在定理
零点存在定理零点存在定理是微积分学中一个重要的定理，用于证明在某些特定条件下，一个连续函数在定义域内至少存在一个根（即函数曲线与X轴相交的点）。
这个定理的证明经过了漫长的发展和完善，现在已经成为微积分学中基本的工具之一。
零点存在定理的最初形式是由17世纪法国数学家Rolles提出的，后来被推广到更一般的情况。
当然，像其它许多定理一样，不同的证明方法也相继出现。
今天，我们的证明方法按照经典传统来自Rolles的带状取值原理，这个原理，对于满足一定条件的连续函数，可以找到一个带状区域，其中的函数值就不会变号，故其中存在至少一个零点。
首先，假设f(x)在区间[a,b]上连续。
如果f(a)和f(b)符号相同，那么f(x)在[a,b]上没有根。
因此，我们只考虑f(a)和f(b)符号不同的情况。
现在假设f(a) < 0且f(b) > 0。
由于f(x)在闭区间[a,b]上连续，根据最大值与最小值定理，f(x)在该区间上必有一个最小值。
不妨设这个最小值为f(c)，其中a < c < b。
现在考虑分两种情况。
第一种情况，f(c) < 0。
因为f(x)在区间[a,c]上连续且有限，所以根据带状取值原理，f(x)在[a,c]上的每一个值都小于f(b)，也就是说，在[a,c]上不存在f(x) = 0的解。
但是，在[c,b]上，f(x)的取值范围为[c,b]中的一个闭区间。
由于f(c) < 0且f(b) > 0，所以这个闭区间中必须至少存在一个点，使得f(x) = 0，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。
第二种情况，f(c) > 0。
这种情况下，我们对f(x)作一个取反处理，得到一个新的连续函数g(x) = -f(x)。
由于g(a) > 0且g(b) < 0，且g(x)也在区间[a,b]上连续，那么根据上面的分析，存在一个零点，即f(x)在区间[a,b]上至少存在一个零点。
函数零点存在性定理优选稿
函数零点存在性定理集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）函数零点存在性定理：一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)．f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.函数零点个数的判断方法:(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点②函数的零点是实数而不是数轴上的点．(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．例题1：若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论：（1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点；（2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点；（3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点；（4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减．其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）．答案由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．（3）正确，（1）不能确定，（2）中零点可能为1，（4）中单调性也不能确定．故答案为：（3）例题2：已知函数有零点，则实数的取值范围是（）答案：例题3：例题4：函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得∴（5a-1）（a+1）≥0∴a≥ 1/5 或a≤-1故选D．例题5：|x|-4的零点m∈(a，a+1)，a∈Z，则所有满足条件的a的和为若函数f(x)=x2+log2（）。
零点存在性定理
随着数学研究的不断深入，有望出现新的证明方法和思路，为定理的证明和应用提供新 的视角和途径。
感谢您的观看
THANKS
在微分方程中的应用
初始值问题的解的存在性
对于某些微分方程的初始值问题，可以利用零点存在性定理证明解的存在性。
周期解的存在性
对于某些具有周期性的微分方程，可以利用零点存在性定理证明周期解的存在性。
03
零点存在性定理的推广和深 化
推广到高维空间
零点存在性定理最初是在一维实数线上证明的，但后来被推 广到了高维空间。在高维空间中，零点存在性定理的应用更 加广泛，涉及到许多重要的数学问题，如多元函数的零点、 向量场的奇点等。
零点存在性定理
目录
• 零点存在性定理的概述 • 零点存在性定理的应用 • 零点存在性定理的推广和深化 • 零点存在性定理的进一步思考 • 零点存在性定理的实践应用案例 • 总结与展望
01
零点存在性定理的概述
定理的定义
• 零点存在性定理：如果函数$f(x)$在区间$[a, b]$上连续， 且$f(a) \cdot f(b) < 0$，则存在至少一个$c \in (a, b)$， 使得$f(c) = 0$。
零点存在性定理的证明和应用推 动了数学的发展，激发了众多数 学家和学者的研究热情，促进了 数学理论的不断完善和进步。
对未来研究的展望
探索更多应用领域
随着科学技术的不断进步，零点存在性定理有望在更多领域得到应用和推广，例如在数 据分析、机器学习等领域。
深化定理的理解
尽管零点存在性定理已经得到了广泛的应用和证明，但对其本质和内在机制的理解仍需 进一步深化和研究，以推动数学理论的进一步发展。
06
零点的存在性定理 ppt课件
零点-1,0,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
零点的存在性定理ppt课件
三 选做题 1若a < b < c,则函数f x x a x b x b x c x c x a的两个零点
分别位于哪两个区间?
12
能力提升题答案
1因为该函数的图像不是连续不断的， 不能使用零点存在性定理，所以选A
连续不断的一条曲线，并且有f a f b > 0 是不是说函数y f x在a,b内没有零点？
y f x在a,b内也可能有零点，如f x x2 1
在区间-2, 2上有f 2 f 2 > 0,但在-2，2内
有两个零点-1,1.
5
探究二 正确使用零点存在性定理
的个数。
9
六 当堂清学
一 基础题
1函数f x ex x 2的零点所在的一个区间是
A.2, 1 B. 1, 0
C
C.0,1
D.1, 2
10
二 能力提升题
1函数f x x 1 的零点个数是
x A.0 B.1 C.2 D.3
2若函数f x =ax2 x 1仅有一个零点，求实数
D =4a2 8 0
即218-8a < 0或a2 2解得a > 9 或a 2
4
当函数在该区间内有两个不同零点时，
必须满足D > 0,0 < - -2a < 4, f 0 0,
2
f 4 0.即4a2 4 2 > 0, 0 < a < 4, 2 0
18 8a 0.解得 2 < a 9 . 4
零点的存在性定理习题课
一、课题导入 上节课学习了函数零点的概念及其判定， 那么针对一般函数的零点问题又如何判 断？
零点存在定理证明
证明：不妨设
f(b)>0，令
E={x|f(x)≤0，x∈[a,b]}。
由f(a)<0知E≠Φ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，
存在ξ=supE∈[a、b]，
下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a、b)），事实上，
(i)若f(ξ)<0，则ξ∈[a、b)，由函数连续的局部保号性知
存在δ>0，对x1∈(ξ,ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE，
这与supE为E的上界矛盾；
(ii)若f(ξ)>0，则ξ∈(a,b]，仍由函数连续的局部保号性知
存在δ>0，对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,
这又与supE为E的最小上界矛盾。
综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。
扩展资料
用罗尔定理证明中值等式的思路与步骤在确定使用罗尔定理来证明中值等式时，可考虑如下基本思路与步骤：
(1) 变换预证等式：化简、移项，将等式所有项移动到左侧，使得右侧等于0，即具有G(ξ)=0的形式.
(2) 构造辅助函数F(x)：将等式中的中值符号，如ξ，替换为变量x，将其转换为函数G(x)在中值的函数值，然后计算、构造该函数的一个原函数F(x)(即导数为G(x)的函数). 在原函数F(x)无法直接计算得到的情况下。
3.1.1函数零点存在性定理 课件
（3）f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内只有一错
个零点。
y
y
y
2
a
a
0
0b
-5
x
a 0 x1 b x
0
x
b
函数零点存在定理的三个-2 注意点：
1 函数是连续的。 -4
2 定理不可逆。
3 至少-6 存在一个零点。
类型一：零点所在区间的判断
例题 1：函数 f(x)=lgx-9的零点所在的大致区间是
x
知识探究：函数零点存在性定理
数学实例探究: 观察二次函数 f (x) = x2 - 2x - 3 的图象：
○1 f (-2) · f (1) ___<__0（＜或＞），
函数 y = f (x) 在区间(-2,1)上是否 有零点？
○2 f (2) · f (4) ___<_0（＜或＞），
函数 y = f (x) 在区间(2,4)上是否 有零点？
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 能力提升：
已知a R,讨论关于 x 的方程
x2 - 6x + 8 = a 实数解的个数
知识总结：
函数零点存在性定理：
函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 的一条曲线，并且有f(a)•f(b)<0，那么，函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)， 使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0 的根.
知识探究：函数零点存在性定理
观察函数y=f(x)的图象； 则f(x)在 区间[a,b]上 有(有/无)零点;f(a)•f(b) < 0(“<”“>”) 区间[b,c]上 有(有/无)零点;f(b)•f(c) < 0(“<”“>”) 区间[c,d]上 有(有/无)零点;f(c)•f(d) < 0(“<”“>”)
《函数的零点》PPT课件
数学运用
例1、求下列函数的零点：
(1) y x 2 3 x ; (2) y 2 x 2; （ 3） 函 数 的 图 象 如 下 : .y
0 1 4 56 7
x
小结: 求函数零点 的方法
( 1 ) 图 像 法 ： 即 函 数 图 像 与 x 轴 交 点 的 横 坐 标 ；
( 2 ) 代 数 法 ： 令 y 0 ,解 出 x .
△<0
方程无实根
y
o
x
f<x>=ax2+bx+c <a>0> 零点
两个零点
一个零点
无零点
函数的零点
定义：一般地,我们把使函数y=f<x>的值 为0的实数x称为函数y=f<x>的零点.
y
02 4 x
〔1〕如图：函数y=f<x>的零点是____2_,4_.
〔2〕函数y=x〔x2+4x+3〕的零点是____-1_,_-.3,0
函数 y=x2-2x+1 和 的零点分别是什么？
y
y3
y=x 2+2x+3
y
o
1
x
(1)
o -1
x
(2)
-1 o
3x
(3)
二次函数零点个数的判定:
△=b2-4ac
△>0
△=0
ax2+bx+c=0 两个不等根 <a>0>
两个相等根
f<x>=ax2+bx+c <a>0> 图象
y x1 o x2 x
y o x1=x2 x
注意： 存在性：即至少存在一个但并不一定 唯一,若函数单调时,零点唯一；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数零点存在性定理文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]
函数零点存在性定理：
一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)．f(b)<o，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得
f(c)=O，这个c也就是f(x）=0的根．特别提醒:(1)根据该定理，能确定f(x)在(a,b)内有零点，但零点不一定唯一．
(2)并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在(a，b)上没有零点，例如，函数f(x) =x2 -3x +2有f(0)·f(3)>0，但函数f(x)在区间(0，3)上有两个零点．
(3)若f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f(a)．f(b)<0，则fx）在(a，b)上有唯一的零点.
函数零点个数的判断方法:
(1)几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y =f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2-2x +1 =0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）=x2-2x +1在[0，2]上只有一个零点
②函数的零点是实数而不是数轴上的点．
(2)代数法：求方程f(x）=0的实数根．
例题1：
若函数f（x）唯一的一个零点同时在区间（0，16）、（0，8）、（0，4）、（0，2）内，下列结论：
（1）函数f（x）在区间（0，1）内有零点；
（2）函数f（x）在区间（0，1）或（1，2）内有零点；
（3）函数f（x）在区间[2，16）内无零点；
（4）函数f（x）在区间（0，16）上单调递增或递减．
其中正确的有 ______（写出所有正确结论的序号）．
答案
由题意可确定f（x）唯一的一个零点在区间（0，2）内，故在区间[2，16）内无零点．
（3）正确，
（1）不能确定，
（2）中零点可能为1，
（4）中单调性也不能确定．
故答案为：（3）
例题2：
已知函数有零点，则实数的取值范围是（）
答案：
例题3：
例题4：
函数f（x）=3ax-2a+1在[-1，1]上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 1/5; B. a ≤ -1 ; C. -1 ≤ a ≤ 1/5 ; D. a ≥ 1/5 或 a ≤ -1答案：由题意可得f（-1）×f（1）≤0，解得
∴（5a-1）（a+1）≥0
∴a≥ 1/5 或a≤-1
故选D
．
例题5：
|x|-4的零点m∈(a，a+1)，a∈Z，则所有满足条件的a的和为
若函数f(x)=x2+log
2
（）。
答案：-1
例题6：
已知函数f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下的x与f(x)的对应值表：
那么，函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有
[ ] A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
答案：C。