大学物理 第四章 冲量和动量
动量和冲量ppt大学物理
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大学物理第四章冲量动量
= m sin α −m sin α = 0 v v
F' = −F
y
2. 物体系统的动量定理 对两质点分别应用质 点动量定理： 点动量定理：
质点系
v F1
v v F21 F12
m1
v F2
m2
v v v v ∫t1 ( F1 + F12 )dt = m1v1 −m1v10 v t2 v v v ∫ ( F2 + F21 )dt = m2v2 −m2v20
1. 完全弹性碰撞
r r r r m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20
1 2 1 2 1 2 1 2 m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2v20 2 2 2 2
碰后速度
碰前
v m v m1 v10 2 v 20 A B
碰后
(m −m2)v10 +2m2v20 v1 = 1 m +m2 1
v 讨论 (1) 当 ∑i外 ≠ 系统总动量不守恒，但 F ， 系统总动量不守恒， 0
i=1
n
0 ∑F外x＝ i
i =1
n
∑F
i= 1 n
n
i外 y
＝ 0
∑mv ∑mv
i ix
= ∑ ivi0x m = ∑ ivi0y m = ∑ ivi0z m
i iy
∑F
i= 1
i外 z
＝ 0
∑mv
i iz
若系统内力>>外力， >>外力 (2) 若系统内力>>外力，以致外力可以忽略不计 时，可以应用动量守恒定律处理问题。 可以应用动量守恒定律处理问题。 式中各速度应对同一参考系而言。 (3) 式中各速度应对同一参考系而言。
动量和冲量动量和冲量的基本原理和计算方法
动量和冲量动量和冲量的基本原理和计算方法动量和冲量的基本原理和计算方法动量和冲量是物理学中重要的概念，它们描述了物体的运动状态和相互作用过程。
本文将详细介绍动量和冲量的基本原理以及它们的计算方法。
一、动量的基本原理动量是物体运动状态的量度，它与物体的质量和速度有关。
动量的基本原理可以用以下公式表示：动量（p）= 物体的质量（m） ×物体的速度（v）根据上述公式可知，质量越大，速度越快的物体具有更大的动量。
动量是矢量，方向与物体的速度方向一致。
二、动量的计算方法根据动量的基本原理，可以通过以下方法计算物体的动量。
1. 已知质量和速度如果已知物体的质量和速度，可以直接使用动量公式进行计算。
例如，一个质量为2千克、速度为5米/秒的物体的动量可以计算为：动量（p）= 2千克 × 5米/秒 = 10千克·米/秒2. 已知力和时间根据牛顿第二定律（力等于质量乘以加速度），可以得到力与动量的关系：力（F）= m × a = m × Δv/Δt其中，Δv代表速度的变化量，Δt代表时间的变化量。
将上式整理得到：力（F）= Δp/Δt在已知作用力和作用时间的情况下，可以通过以上公式计算动量的变化量。
三、冲量的基本原理冲量是物体受到动力作用后动量的变化量。
它是作用力在时间上的积分。
冲量的基本原理可以用以下公式表示：冲量（J）= 力（F） ×时间（Δt）根据上述公式可知，冲量的大小取决于作用力和作用时间的乘积。
冲量也是矢量，方向与作用力方向一致。
四、冲量的计算方法根据冲量的基本原理，可以通过以下方法计算物体的冲量。
1. 已知作用力和时间如果已知作用力和作用时间，可以直接使用冲量公式进行计算。
例如，一个物体受到的作用力为10牛顿，作用时间为2秒，其冲量可以计算为：冲量（J）= 10牛顿 × 2秒 = 20牛顿·秒2. 已知动量变化量和时间如果已知物体的动量变化量和作用时间，可以通过以下公式计算冲量：冲量（J）= Δp = p2 - p1其中，Δp代表动量变化量，p2和p1分别代表物体作用前和作用后的动量。
第四章动量和冲量
x
O
uur v2
y
建立如图的坐标轴，钢板对小球的作用力
ur r r F Fx i Fy j
v1x v cos , v1y v sin
v2x v cos , v2 y v sin
由动量定理，t 时间 Fx
Fxt mv2x mv1x 2v cos
s l S 3m
综上所述，船相对于湖岸移动的距离为1m, 人相对于湖岸移动的距离为3m
例4（辅导册，30页，选择题4）
已知：
mB
1 2
mA
,放在光滑的水平面上，先
用外力将两木块缓慢压近，使弹簧压缩一
段距离后在撤去外力。
求：则以后两木块的运动的动能之比
mA
mB
x
解：选A、B和弹簧为系统
0
2）各物体的动量必须相对于同一惯性系。
3）碰撞过程中，可认为参与碰撞的物体 系统的总动量保持不变。
4）动量定律守恒定律是物理学最普遍、最 基本的定律之一。
5）动量定理和动量守恒定律只有在惯性系 中才成立，因此应选定一惯性系为参考系。
二、运用动量守恒定律解题 步骤：1）选取研究对象 2）分析受力 3）确定过程 4）列方程求解
Fyt mv2 y mv1y 0
ur F Fx 14.1N
和Fy 的冲量分别为 2v cos
Fx t 14.1N
Fy 0
有牛顿第三定律可知，小球队钢板的作用力
大小 F ' 14.1N
方向 与 x轴反向
二、质点系动量定理
uur
对于质点1和2， 由动量定理可得：
uur F1
F2
uur uuur
第四章冲量和动量1
第四章 冲量和动量
讨论
1. 力对时间的累积, 等于动量的改变量。 2. 定理仅适应于惯性系。
注意 1. 区分外力和内力。 2. 内力仅能改变系统内某个物体的动量,
但不能改变系统的总动量。
14
大学物理 第三次修订本
第四章 冲量和动量
外力和内力
15
大学物理 第三次修订本
第四章 冲量和动量
动量定理常应用于碰撞问题
求：在此碰撞时间内钢板所受的平均冲力。
解：作用时间△t 很短,可以忽略重力的影响。
(内力远大于外力)
v1
x
钢板对球的平均冲力 F 球对钢板的平均冲力 F
F F
大学物理 第三次修订本
( v2 (
o
y
20
第四章 冲量和动量
对球：
F
t
P
mv2
mv1
5
大学物理 第三次修订本
第四章 冲量和动量
二、质点的动量定理
在给定时间间隔内,质点所受合外力的冲量, 等于质点在此时间内动量的增量。
I＝
t2 t1
F
t
d t
mv2
mv1
P
讨论
①
P
为状态量;
I
为过程量,
方向沿
P
的方向。
② F 为质点所受到的合外力。
6
大学物理 第三次修订本
4.2 质点系动量定理
外力：系统外对质点的作用力。
内力：系统内质点间的相互作用力。
两个质点
m1 : F1 F12
m2 :
F2 F21
第四章 动量和冲量
讨论
1. 能量守恒定律可以适用于任何变化过程
2. 功是能量交换或转换的一种度量 3. 机械能守恒定律是普遍的能量守恒定律在机械运动范围 内的体现
第4章 冲量和动量
4.1 质点动量定理
4.2 质点系动量定理
4.3 质点系动量守恒定律 4.4 质心 质心运动定理
空气动力学家、火箭专家钱学森
4.1 质点动量定理
dm m L dl
m
L
dl
l N
dl 在落地时的速度 v 2 g(l h)
根据动量定理
N vdm dt v m dl L dt
Ndt 0 vdm
v
2
h
l
m L
2m(l h) g L m L
dl
G
地面受力 F N '(l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m L
N′
(3l 2h) g
)g
t2 t1
动量定理的投影形式
mv 2 x mv1x mv 2 y mv1 y mv 2 z mv1z
t2 t1 t2 t1 t2 t1
Fx dt Fy dt Fz dt
冲量的任何分量等 于在它自己方向上 的动量分量的增量
在力的整个作用时间内，平均 力的冲量等于变力的冲量
求 子弹穿过后， 两木块各以多大速度运动 ？ 解 子弹穿过第一木块时，两木块速 度相同，均为v1
Ft1 m1 m2 v1 0
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
Ft2 m2v 2 m2v1
解得
v1
Ft1 m1 m2
v2
Ft1 m1 m2
大学物理 冲量和动量
动量、冲量 、动量定理、动量守恒 动能、功、动能定理、机械能守恒
第四章 冲量和动量
4
物理学
第五版
4-1 质点动量定理
4-2 质点系动量定理
4-3 动量守恒定律 基本要求 1、理解动量定理； 2、掌握动量守恒定律。
第四章 冲量和动量
5
一
4.1 冲量
质点动量定理
力的时间积累
动量 p m v dp d (m v) F dt dt Fdt dp d (m v) t2 F d t p 2 p1 m v 2 m v1
神舟六号发射成功
注：照片摘自新华网
第四章 冲量和动量
30
大作业： P9：一.
P10.全做
课下请预习第六章 并复习前四章
第四章 冲量和动量
31
x
m v1
O
mv2
y
第四章 冲量和动量
11
解
取钢板和球为研究对象，冲力远大于重力。
I F t mv2 mv1
由动量定理有：
Fx t mv2 x mv1x
mv cos (mv cos )
x
m v1
O
2mv cos
Fy t mv2 y mv1 y
分量表示
Iy Iz
t1 t2
t1
说明 某方向受到冲量，该方向上动量就增加．
第四章 冲量和动量
9
F 为恒力
I Ft P
F作用时间很短时，可用力的平均值来代替。 F为恒力时，可以得出:
由此可求平均作用力：
第四章 冲量和动量
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
冲量与动量定理
冲量与动量定理动量是物体运动状态的基本物理量，描述了物体的运动和相互作用情况。
而冲量则是动量的变化量，是力在一定时间内对物体施加的效果的度量。
冲量与动量定理则是描述了物体受到外力作用时，动量的变化情况的定理。
1. 动量的定义与计算方法动量是物体运动状态的量度，用符号p表示。
动量的定义为物体的质量和速度的乘积，即p = mv，其中m为物体的质量，v为物体的速度。
动量的单位为千克·米/秒（kg·m/s）。
2. 冲量的概念冲量是力在一定时间内对物体施加的效果的度量。
冲量的计算公式为冲量J=∫Fdt，即力F在时间t上的积分。
冲量的单位为牛·秒（N·s）。
3. 冲量与动量变化的关系根据冲量的定义J=∫Fdt，可以推导出冲量和动量变化的关系。
根据牛顿第二定律 F=ma，将其代入冲量的计算公式中，得到J=∫Fdt=∫madt=∫d(mv)=Δ(mv)，即冲量等于动量的变化量。
4. 冲量定理的表述根据冲量与动量变化的关系，我们可以得到冲量定理的表述：物体受到的外力的冲量等于物体动量的变化量。
即J=Δ(mv)。
5. 冲量定理的应用冲量定理的应用广泛，可以在许多物理问题的分析中使用。
在碰撞问题中，通过计算冲量可以确定物体之间的相互作用力；在力的作用时间很短的情况下，可以利用冲量定理计算物体的动量变化等。
6. 冲量与动量定理的实例举一个实际的例子来说明冲量与动量定理的应用。
假设一个质量为2kg的物体，初速度为3m/s，受到10N的力作用持续时间为2秒。
根据冲量定理，我们可以计算出力的冲量为J=∫Fdt=∫10dt=10t+C=10*2+C=20+C。
根据动量变化的关系Δ(mv)=J，我们可以得到物体的动量变化Δ(mv)=20+C。
由动量的定义 p = mv，我们可以得到初始动量为p1 = 2*3 = 6kg·m/s。
根据动量守恒定律，即初始动量等于末动量，我们可以得到final(mv) = p1 + Δ(mv)，即末动量为final(mv) = 6 + (20+C) = 26+C kg·m/s。
第四章冲量和动量
F1
F21 F12
m1
F2
m2
因内力 F12 F21 0， 故将两式相加后得：
t2
t1
与内力 ( F2 F21 )dt m2 v2 m2 v20 无关
t2
t1
( F1 F2 )dt (m1v1 m2 v2 ) (m1v10 m2 v20 )
F dr Ek Ek 0
(E E ) C
k p
保守力
F dr 0
A保 ( E pb E pa )
ss_cuixj@
例1 一质量为0.05 kg、速率为10 m·-1的刚球，以 s 与钢板法线呈45º 角的方向撞击在钢板上，并以相同的 速率和角度弹回来．设碰撞时间为0.05 s．求在此时间 内钢板所受到的平均冲力． 解 由动量定理得：
p p0
ss_cuixj@
n n t2 ex I F dt mi vi mi vi 0 p p 0 t1 i 1 i 1
作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量—— ex external - 外面的,外部的 质点系动量定理 F F F F
v1 3.17 10 3 m s 1
x x'
ss_cuixj@
•
质量M=1.5kg的物体，用长为l=1.25m的细绳悬挂在天花板上，有一个质量 3.2 二、2 m=10g的子弹以500m/s的水平速度射穿物体，穿出物体时子弹的速度大小为 30m/s，设穿透时间极短。求子弹刚穿出绳中的张力的大小；子弹穿透过程 中所受的冲量。
4.3 动量守恒定律 质点系动量定理
第4章 冲量和动量
I＝
t2 t1
F
t
d t
mv2
mv1
P
讨论
①
P为状态量;
I
为过程量,
方向沿
P
的方向。
② F 为质点所受到的合外力。
大学物理 第三次修订本
5
第4章 冲量和动量
分量表示
I x Fxdt mv2x mv1x
I y Fydt mv2 y mv1y
I z Fzdt mv2z mv1z
某方向受到冲量，该方向上动量就增加。
微分形式
F
dP
dt
积分形式
I＝
t2
F
t
d t
P
t1
大学物理 第三次修订本
6
第4章 冲量和动量
例4.1 质量 m=1kg 的质点M，从O点开始沿半 径R=2m的圆周运动，如图。以O点为自然坐标 原点，已知M的运动学方程为s = 0.5πt2m。求从 t1=21/2s 到t2=2s 这段时间内作用于质点M的合力 的冲量。
大学物理 第三次修订本
29
第4章 冲量和动量
解题指导
应用动量定理和动量守恒定理求解力学 问题时，一般可按以下步骤进行：
1. 选取研究对象
2. 分析受力 对研究对象进行受力分析， 根据研究对象所受合外力的情况选取动量定 理、动量守恒定律或其他定理、定律求解。
3. 确定过程 对研究对象经历的各个阶段 分析清楚。
例4.2质量为 m 的匀质链条, 全长为 L,开始时, 下端与地面的距离为 h。 m
求当链条自由下落在地面上的长 L
度为 l 时，地面所受链条的作用
第4章 冲量和动量
设炮车放在光滑地面上，炮车M，炮弹m，起始时静止。 例 设炮车放在光滑地面上，炮车 ，炮弹 ，起始时静止。 v 相对于炮车射出，求炮车在x方向的反冲速度 方向的反冲速度u 当炮弹以 v' 相对于炮车射出，求炮车在 方向的反冲速度 研究对象：炮车＋ 解 研究对象：炮车＋炮弹 系统仅在x方向上满足动量守恒 系统仅在 方向上满足动量守恒 设炮弹对地速度
υ
ω
an = υ
圆周运动： 圆周运动： θ
aτ
2
F τ
ρ
Fn
aτ = rβ
v v v F = F + Fn τ
F τ
β
an = rω2
根据已知条件选取积分变量， 根据已知条件选取积分变量，确定上下限
第四章 冲量和动量
Fn
18
2、求力的瞬时作用规律 、 求力的持续作用规律
b
v v F = ma
v v 1 2 1 2 ∫a F dr = 2 mυ2 2 mυ1 = Ek
说明 1） ）
v rc与坐标选取有关，但对物体系的相对位置不变 与坐标选取有关，
2）质量均匀分布的物体，质心在几何中心 ）质量均匀分布的物体， 均匀分布的物体 质量中心不一定有质量 中心不一定有质量） （质量中心不一定有质量） 3）质心与重心不是同一概念 ） 重心——地球对物体系各部分引力的合力的作用点 重心 地球对物体系各部分引力的合力的作用点 质心——由质量分布确定的一个点，与作用在物 由质量分布确定的一个点， 质心 由质量分布确定的一个点 体上的外力无关 通常情况下 质心与重心重合
m 1
r v1
r v2
m2
mv1 mv2 = 0
1 1 mm 2 2 mv1 + m2v2 G 1 2 = 0 1 2 2 r
动量和冲量的概念
动量和冲量的概念动量和冲量是物理学中两个重要的概念，用以描述物体运动中的力量和效果。
本文将详细介绍这两个概念以及它们的应用。
一、动量的概念动量是描述物体运动状态的物理量，可以简单理解为物体的运动惯性。
动量的大小与物体的质量和速度有关，可以用公式p=mv表示，其中p为动量，m为物体的质量，v为物体的速度。
动量是一个矢量量，具有方向。
当物体的质量增加时，其动量也相应增加；当物体的速度增加时，其动量也相应增加。
例如，一个质量为m的物体以速度v运动，其动量为mv。
二、冲量的概念冲量是指力对物体作用的效果的量度，可以简单理解为物体受到力的变化程度。
冲量的大小与力的大小和作用时间有关，可以用公式J=FΔt表示，其中J为冲量，F为力的大小，Δt为作用时间。
与动量不同，冲量是一个矢量量，具有方向。
当力的大小增加时，冲量也相应增加；当作用时间增加时，冲量也相应增加。
例如，一个力以大小为F在时间Δt内作用于物体上，产生的冲量为FΔt。
三、动量守恒定律动量守恒定律是描述封闭系统中动量守恒的物理定律。
在没有外力作用的情况下，一个封闭系统的总动量保持不变。
即，系统内部物体的动量可以相互转移，但总的动量保持恒定。
动量守恒定律的应用十分广泛。
例如，在碰撞过程中，两个物体之间的动量可以相互转移，但它们的总动量保持不变。
基于这一定律，许多碰撞问题可以得到解释和预测。
四、冲量-动量定理冲量-动量定理是描述力与物体动量关系的物理定律。
根据冲量-动量定理，一个物体所受到的冲量等于该物体动量的变化量。
即，J=Δp，其中J为冲量，Δp为物体动量的变化量。
冲量-动量定理可以应用于计算物体速度的变化、力的大小等问题。
例如，在给定冲量和作用时间的情况下，可以利用冲量-动量定理计算物体的速度变化量。
五、动量和冲量的应用动量和冲量的概念在物理学中有许多重要的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 碰撞分析：通过运用动量守恒定律和冲量-动量定理，可以分析和预测碰撞过程中物体的运动状态，从而实现碰撞问题的求解。
大学物理冲量和动量
（4）动量定理的分量形式
mv 2x mv 1x
t2 t1
Fxdt
Ix
mv 2y mv1y
t2 t1
Fy dt
I
y
mv 2z mv 1z
t2 t1
Fz dt
Iz
冲量沿某坐标轴的投影 等于同一方向上的动量 投影的增量
F
（5）平均力（常应用于碰撞问题）
F
I t1 t2Fdt t 2 F F(dt2tt1)
v13.1 713 0 m s 1
F F p C 非弹性碰撞 由于非
ex in i 碰撞 两物体互相接触时间极短而互作用力较大
保守力的作用 ，两物 体碰撞
的相互作用 .
i
后，使机械能转换为 热能、声能，化学能 等其他形式
的能量 .
Ek1Ek2C
完全非弹性碰撞 两物体碰撞后,以同一速度运动 .
i
i
i
t2 t1
Fix dt
miv iy miv i0y
i
i
i
t2 t1
Fiy dt
miv iz miv i0z
i
i
i
t2 t1
Fiz dt
直角坐标系：
质点系的冲量沿某坐标轴的投影等于同 一方向上质点系动量投影的增量。
4.3 质点系动量守恒定律
当 Fi 0
i
P2 P1
即 P mivi 常矢量
m1
v10
m
2
v20
AB
动能守恒得
碰后
1 2m 1v1 2 01 2m 2v2 20 1 2m 1v1 21 2m 2v2 2
v1 v2
AB
碰 前v1(m1mm 2)1v1m 022m2v20,
大学物理-冲量和动量
动量定理的分量形式
mv2x mv1x
t2 t1
Fxdt
mv2y mv1y
t2 t1
Fydt
mv2z mv1z
t2 t1
Fzdt
在力的整个作用时间内，平均 力的冲量等于变力的冲量
冲量的任何分量等 于在它自己方向上 的动量分量的增量
F
F F
I
t2 t1
Fdt
F
(t2
t1)
O
t t t
求 时刻 t ，A 的瞬时加速度
解 选A车M和t时间内抽至A
A
v
B
u
车v mu (M m)v
v Mv mu M m
v v v mu v
M m
v m u v
M
a lim v dm u v 6 u v
t0 t dt M M
例 在恒星系中，两个质量分别为 m1 和 m2 的星球，原来为静 止，且相距为无穷远，后在引力的作用下，互相接近，到
第4章 冲量和动量
我国舰艇上发射远程导弹实验
§4.1 质点动量定理
一. 冲量和动量
力的时间积累，即冲量
F t
动量
P
mv
m
P
mv
二. 质点动量定理
牛顿运动定律
d(mv)
F
dt
力F 的
元冲量
d(mv)
dP
Fdt
dI
（动量定理的微分形式）
结论
质点动量的增量等于合外力乘以作用时间的增量
对一段有限时间有
fdt 0 (vdt)v
地面受力
f vdtv v 2 2m(l h)g f '
dt
L
第四章 冲量和动量
2 -1
24
2π 4 π 6 π kg m s
大学物理 第三次修订本
第4章 冲量和动量
I 6 π 7.69 kg m s -1
冲量的方向 mv2 2 tan mv1 2
54 44'
大学物理 第三次修订本
25
第4章 冲量和动量
例2质量为 m 的匀柔质软链条, 全长为 L,开始时, 下端与地面的距离为 h。 求当链条自由下落在地面上的长度为 L l 时，地面所受链条的作用力？
大学物理 第三次修订本
v2
30o
45o
n v1
19
第4章 冲量和动量 解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短， 忽略重力影响。设挡板对球的冲力为F，则有：
取坐标系，将上式投影，有：
I F dt mv2 mv1
y
v2
O I x Fx dt o 45 x mv2 cos 30 ( mv1 cos 45 ) v1 Fx t I y F y dt mv2 sin 30 mv1 sin 45 F y t
选取适当的惯性参照系，对两质 点分别运用动量定理：
t t t
t
0
0
F1 F2
f12 dt m1v1 m1v10 f 21 dt m2 v2 m2 v20
f12 F1 m
1
f 21
m2
F2
两式相加，且根据牛顿第三定律，有：
注 意 (1)
牛顿第二定律表示的是在力的作用下质点 动量的瞬时变化规律； 动量定理则表示在力作用下质点动量的持 续变化情形，即在一段时间内合力对质点作 用的积累效果。
大学物理4 冲量与动量
∫ ∫ ∫
t2
t1 t2
F x dt = mv F y dt = mv F z dt = mv
2x
mv 1 x mv 1 y mv 1 z
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t1 t2
2y
t1
2z
2,冲击力 ,
作用时间很短,作用力很大的力, 冲击力. 作用时间很短,作用力很大的力,称冲击力. 平均冲击力
f
f (t )
t1
1 1
t2
= I1 + I 2 + I 3 + ...
合力冲量等于各分力冲量的矢量和. 等于各分力冲量 即:合力冲量等于各分力冲量的矢量和.
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质点动量定理的微分形式: 质点动量定理的微分形式
d (mv ) = Fdt = dI
合力元冲量等于动量的微分. 合力元冲量等于动量的微分
y v2 v1 α 1 α 2 o x
p2 = mv2 sinα2 i + mv2 cosα2 j p1 = mv1 sinα1 i mv1 cosα1 j ∴I = m(v2 sinα2 v1 sinα1 )i + m(v2 cosα2 + v1 cosα1 ) j
= 0.00129 i + 0.0743 j ( N s)
第四章 冲量与动量
§ 4-1 § 4-2 § 4-3 质点动量定理 质点系动量定理 动量守恒定律
§4-1 质点动量定理 d (mv ) 由牛顿第二定律: 由牛顿第二定律: F = dt d (mv ) = Fdt
对过程[ 进行积分: 对过程[t1~t2]进行积分:
t2
mv2 mv1 = ∫ F dt
质点系 内力f 外力F (内力 ,外力 ) 例如两个质点的系统 在 t1 → t 2 的时间内
冲量定理和动量定理
冲量定理和动量定理一、引言在物理学中，冲量定理和动量定理是两个重要的概念。
它们描述了物体运动时所受到的力和其产生的效果。
本文将详细介绍这两个定理。
二、冲量定理1. 定义冲量是力在时间上的积分，表示力作用于物体上所产生的效果。
冲量定理指出，一个物体所受到的总冲量等于该物体动量的变化量。
2. 公式设一个物体质量为m，初速度为v1，末速度为v2，则该物体所受到的总冲量FΔt等于mv2-mv1。
3. 应用冲量定理可用于解释许多现象，如汽车撞击、弹球反弹等。
在汽车撞击中，当两辆车相撞时，它们之间会产生巨大的力，并且会发生能量转换。
根据冲量定理可以计算出这些力和能量。
三、动量定理1. 定义动量是一个物体运动状态的描述，表示物体质心运动状态的大小和方向。
动量定理指出，在没有外力作用时，一个系统内所有物体总动量不变。
2. 公式设一个系统内有n个物体，第i个物体质量为mi，速度为vi，则该系统总动量为p=Σmi*vi。
3. 应用动量定理可用于解释许多现象，如弹性碰撞、爆炸等。
在弹性碰撞中，两个物体相互碰撞后会发生反弹，而它们之间的动量总和在碰撞前后不变。
根据动量定理可以计算出这些物体的速度。
四、冲量定理与动量定理的联系和区别1. 联系冲量定理和动量定理都描述了物体运动时所受到的力和其产生的效果。
它们都涉及到物体的质量、速度以及力的作用时间。
2. 区别冲量定理描述了力在时间上的积分，并且仅适用于短时间内作用力产生的效果。
而动量定理则描述了物体运动状态的变化，并且适用于长时间内没有外力作用时物体运动状态不变化。
五、结论冲量定理和动量定理是重要的物理学概念，它们可以帮助我们解释许多现象，并且可以应用于许多领域，如工程、机械等。
通过本文对这两个概念进行详细介绍，我们可以更深入地理解物体运动时所受到的力和其产生的效果。
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【例3】一质量为m的质点作匀速圆周运动，速率为v， 求：质点走过1/4圆弧的过程中，（1）合力对质点的冲 量大小；（2）合力对质点作功。 解：（1） （ 2）
2mv
0
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先考虑守恒。 ※动量守恒（合外力0）、 ※机械能守恒（非保守力不作功） 若不满足守恒条件，可选： ※牛顿第二定律 ※动能定理 ※动量定理 动能定理不显含时间，动量定理不显含位移
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F 10ti 2(2 t )j 3t k ，质点从静止开始运动，
2
求：（1）2s内受合力的冲量；（2）2s末的动量。
解：（1） I
2 0
[10ti 2(2 t )j 3t k ]dt
2
Fdt
t1
t2
(20i 4 j 8k )N s （2） I pt 2 pt 0
t1
t2
t1 t2
t1
m (F2 f 2 )dt m2v 22 m2v21 1
t2 t1
(F1 f1 )dt m1v12 m1v11
f1
F1
f2
m
2
F2
t2
(F1 F2 )dt (f1 f 2 )dt
(m1v12 m2v 22 ) (m1v11 m1v 21 )
【例4】一力F作用在质量为3kg的质点上，使之沿x轴
运动，运动方程
x 3t 4t t ，求：0---4s内
2 3
（1）力F的冲量大小；（2）力F对质点做功。
解： v 3 8t 3t 2
v1 3
v2 19
（1） I mv 2 mv1 48 kg m/s
1 1 2 2 （2） A mv 2 mv1 528 J 2 2
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【例5】将一根质量为m、长度为L的均质链条竖直地 悬挂起来，使其下端恰好与地面接触。若将链条上端 由静止状态释放，让其自由下落到地面上。求当其下 落l长度时，地面对链条的作用力。 解：选向下为x轴，下落l时，选dx（质量dm）为研究 对象，冲力 F ，速度 v 2gl 0 ，用时 dt
1 2 解:(1) m下落 mgh mv v 2 gh 2 m 2 gh （2） 碰撞 m v ( M m)V V ( M m)
【例2】一竖直弹簧k，下端固定，上端与M木块连接， 并静止，m小球由h高处自由下落，与木块发生完全非 弹性碰撞，求桌面所受到的最大压力N。 m
m 动量定理： F冲dt 0 dmv dxv 2 L mv mv dx 2mgl F冲 L L dt L mgl 已落到地面上l长度的链条对地面的压力 N 3mgl L 地面对链条的作用力 F F冲 N L
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冲
三、质点系的动量定理 两质点为例
2 gh ，末速度为0
mg F dt 0 mv
t 0
0
mg F t mv
0
m 2 gh mv0 6 mg 1.66 10 N F mg Δt Δt 5 若t =0.1s F 1.93 10 N
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【例2】一质点受合力作用，合力为
质点系：
t2
f1 f 2 0
t1
F外dt p2 p1
内力不改变系统总动量，但改变系统总动能
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四、质点系动量守恒定律
当 系统 p1 =p2 F外 =0 时，
常用
m1v1 m2v 2 =m1v1 m1v 2
初 =末
注意： （1）守恒条件：F 外 =0 或
F 内 F 外
爆炸、碰撞等时间很短；
（2）一个方向的动量守恒： 若 Fx
0 ，x方向动量守恒
（3）不仅适用于宏观低速，也适用于微观高速
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五、碰撞问题
1. 完全弹性碰撞：
动量守恒 动量守恒；总动能守恒。
2. 非完全弹性碰撞： 动量守恒；总动能改变。 3. 完全非弹性碰撞： 动量守恒；总动能有改变。碰撞后共速运动。
h
M k
（3）下降过程，机械能守恒 （设下降x） Mg 取M静止时为重力势能“0”点，
1 2 1 1 2 2 0 kx0 (M m)V [(M m) gx] k ( x x0 ) 0 2 2 2
2kh N k ( x x0 ) (M m) g mg 1 (M m) g
Fdt dp
（动量定理微分形式）
t2
t1
Fdt dp p2 p1
p1
t2 t1
p2
冲量
I Fdt
t1
t2
F合dt p2 p1
（动量定理积分形式） 冲量等于动量的变化量
I p
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讨论：（1）分量式
I x Fx dt mv 2 x mv1x I y Fy dt mv 2 y mv1 y I z Fz dt mv 2 z mv1z
t1 t1 t2 t1 t2
t2
（2）在击打、碰撞等力的作用时间很短时，引入平均力
t2
t1
Fdt p2 p1
F (t2 t1 ) p2 p1
p2 p1 F (t2 t )
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【例1】一质量为m =3000kg的蒸汽锤从高度为h =1.5m 的地方由静止下落，锤与被加工的工件的碰撞时间为 t =0.01s，且锤与工件碰撞后的末速度为零。求蒸汽 锤对工件的平均冲击力。若t =0.1s，如何？ 解：锤与地面接触的初速度 v 0 以锤为研究对象，坐标轴x向下
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【例1】一炮弹以速率 v0 ，仰角 发射，在轨道最高点 爆炸为质量相等的两块，一块沿37º 角上飞，另一块沿 53º 角俯冲，求刚爆炸后两碎片的速率分别为多少？
m m v1 cos 37i sin 37 j v2 cos 53i sin 53 j 2 2
m m 解： mv0 cos i v1 v2 2 2
m m mv0 cos v1 cos 37 v2 cos 53 2 2 m m 0 v1 sin 37 v2 sin 53 2 2 8 6 v1 v0 cos v2 v0 cos 5 5
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kx0
作业6： C册
冲量和动量
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质点动力学小结： 机械能守恒定律
过程：空间 A合 =Ek
A保 = Ep
力
dv 瞬时 F m dt
运动
过程：时间
I合 =P
动量守恒定律
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质点动力学小结： 质点运动过程： 一般不止一种计算方法，应以简单、直接为原则
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一、 动量
1. 定义：
p mv
p(t )
kg m/s
（1）瞬时性 2. 性质： （2）矢量性 （3）相对性
px mvx
py mvy
p Ek 2m
2
pz mvz
3. 动量大小与动能的关系
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二、 质点的动量定理
dv dp F m dt dt