立体几何高考综合试题(含答案)

立体几何

1．【云南省昆明市2019届高三高考5月模拟数学试题】已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是

A ．l β∥或l β⊄

B ．//l m

C ．m α⊥

D ．l m ⊥ 【答案】A

【解析】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β∥或l β⊂，A 正确；

对于B ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；

对于C ，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或m α∥，∴C 错误； 对于D ，直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误．

故选A ．

【名师点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．

2．【陕西省2019届高三年级第三次联考数学试题】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为

A B ．34

C D ．

54 【答案】B

【解析】如图，设BC 的中点为D ，连接1A D 、AD 、1A B ，

易知1A AB ∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角（或其补角）.

设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长均为1，

则AD =112A D =，1A B =，

由余弦定理，得2221111cos 2A A AB A B A AB A A AB +-∠=⋅1

11322114

+-==⨯⨯. 故应选B.

【名师点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，通过平移找到所成角是解这类问题的关键，若平移不好作，可采用建系，利用空间向量的运算求解，属于基础题.解答本题时，易知1A AB ∠即为异面直线AB 与1CC 所成的角（或其补角），进而通过计算1ABA △的各边长，利用余弦定理求解即可. 3．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学试题】如图，边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，现在沿,AE AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使,,B C D 三点重合，重合后的点记为P ，则四面体P AEF -的高为

A ．

13

B ．23

C ．34

D ．1

【答案】B 【解析】如图，由题意可知PA PE PF ，，两两垂直，

∴PA ⊥平面PEF ，

∴11111123323

PEF A PEF V S PA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=△， 设P 到平面AEF 的距离为h ， 又2

111321212112222

AEF S =-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=△， ∴13322

P AEF h V h -=⨯⨯=， ∴123h =，故23h =， 故选B .

【名师点睛】本题考查了平面几何的折叠问题，空间几何体的体积计算，属于中档题．折叠后，利用A PEF P AEF V V --=即可求得P 到平面AEF 的距离．

4．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月）数学试题】在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥

平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．

【答案】48π

【解析】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设等边三角形ABC 的中心为O ，连接PF ，CF ，OP .

由6AB =，得23

AO BO CO CF OF ===== PAB △是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,

又平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面ABC ，

PF OF ∴⊥

，OP ==

则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径R OC ==

∴该三棱锥外接球的表面积为(24π48π⨯=，

故答案为48π. 【名师点睛】本题主要考查四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径.求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两两垂直，则用

22224R a b c =++（,,a b c 为三条棱的长）

；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC △外接圆半径）

；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径. 5．【2019北京市通州区三模数学试题】如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面，

AB AC ⊥，1AB =，12,5AC AA AD CD ，点E 为线段1AA 上的点，且12

AE =．

（1）求证：BE ⊥平面1ACB ；

（2）求二面角11D AC B --的余弦值；

（3）判断棱11A B 上是否存在点F ，使得直线DF ∥平面1ACB ，若存在，求线段1A F 的长；若不存在，说明理由．

【答案】（1）见解析；（2

；（3）见解析. 【解析】（1）因为1A A ABCD ⊥底面，

所以1A A AC ⊥．

又因为AB AC ⊥，

所以AC ⊥平面11ABB A ，

又因为BE ⊂平面11ABB A ，

所以AC ⊥BE ．

因为1

12AE AB AB BB ==，∠EAB =∠ABB 1=90°， 所以1Rt Rt ABE BB A

△∽△．