一元线性回归(假设检验)
第3章 一元线性回归分析
3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态 分布误差项
• 放松了假设4后，与之相关的结论10和12 不再成立，t-检验、F-检验不再成立。 • 大样本情况下，t-统计量近似服从标准正态 分布，因此可以用标准正态分布临界值进 行判断。 • 去掉假设4不影响OLS估计的一致性、无偏 性和渐近正态性。
1
s ˆ
1
t-检验的涵义：估计参数的绝对值足够大或者 标准误很小（标准误小则随机性小，估计越精 确） 样本量较大时 （n>35），t分布接近正态分布， 5%置信水平下临界值接近2，因此常用统计量 是否大于2作为判断系数显著与否的标准。
3.5 拟合优度 R 和模型检验（F检验）
检验 X 和 Y 之间是否 具有线性关系：看 Y 的变化能被 X 的变化解释多少。 总平方和（total sum squared）：
一元线性回归分析
3.6 用EViews7.2进行一元线性回归 3.7 假设条件的放松
3.7.1 假设条件的放松（一）—非正态分布误差 项 3.7.2 假设条件的放松（二）—异方差 3.7.3 假设条件的放松（三）—非随机抽样和序 列相关 3.7.4 假设条件的放松（四）—内生性 3.7.5 总结
重要概念
第3章
一元线性回归分析
一元线性回归分析
3.1 一元线性回归模型 3.2 一元线性回归模型参数估计
3.2.1 回归系数估计 3.2.2 误差的估计—残差 ˆ 和 ˆ 的分布 3.2.3 0 1
3.3 更多假设下OLS估计量性质 3.4 回归系数检验（t-检验） 2 R 3.5 拟合优度 和模型检验（F检验）
2
3.5 拟合优度 R 和模型检验（F检验）
不带常数项的模型其相应的TSS和ESS为：
计量经济学第6章假设检验
i1
n
或直接取自输出结果2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） F（列）”(399.09999)。(见表2.4.4)
有时S（回归系数的标准差，有时也记为 S e ）也可不写；t统计 量右上角*的表示显著性水平的大小，**一般表示在显著性水平 1％下显著，*一般表示在显著性水平5％下显著，无*表示5％下 不显著。
b1
L xx L yy
n
( x x ) ( y y ) 其 中 x y
i 1
L
n
L xx
L
yy
n
i 1
( xi x )2
i 1
( yi y )2
为x与y的简单线性相关系数，简称相关系数。它表示x和y的线 性相 关关系的密切程度。其取值范围为|r| 1，即-1 r 1。 当r=-1时，表示x与y之间完全负相关； 当r=1时，表示x与y之间完全正相关； 当r=0时，表示x与y之间无线性相关关系，即说明x与y可 能无相关关系或x与y之间存在非线性相关关系。 5、四种检验的关系 前面介绍了t检验、拟合优度（ ）检验、 F检验和相关 R 2 系数（r）检验，对于一元线性回归方程来说，可以证 明，这四种检验：
第二步：计算F统计量 因为ESS＝1602708.6 (计算过程见表2.4.3) 或直接取自输出结果 2.2.1中的方差分析部分“回归分析（行） SS（列）”(1602708.6)。
ˆ＝ RSS ( yi y )2 40158.071 (计算过程见计算表2.3.3) 或直接取
一元线性回归模型的统计检验
3. 怎样进行拟合优度检验 （1）总离差平方和的分解 已知有一组样本观测值( Xi ,Yi )(i 1, 2, , n)，得到 如下样本回归直线：
Yˆi ˆ0 ˆ1Xi
Y的第i个观测值与样本均值的离差yi Yi Y 可分 解为两部分之和：
yi Yi Y Yi Yˆi Yˆi Y ei yˆi (1)
规则：p值越小，越能拒绝原假设H0.
三、回归系数的置信区间
对参数作出的点估计虽然是无偏估计，但一 次抽样它并不一定等于真实值，所以需要找到包 含真实参数的一个范围，并确定这个范围包含参 数真实值的可靠程度。
在变量的显著性检验中已经知道：
t ˆi i ~ t(n 2) i=0,1
Sˆi
给出置信度1，查自由度为(n 2)的t分布表，
假设检验的步骤： （1）提出原假设和备择假设； （2）根据已知条件选择检验统计量； （3）根据显著性水平确定拒绝域或临界值； （4）计算出统计量的样本值并作出判断。
（2）变量的显著性检验
对于最小二乘估计量ˆ1，已经知道它服从正态分布
ˆ1 ~ N(1,
2
xi2 )
由于真实的 2未知，在用它的无偏估计量ˆ 2
在上述收入——消费支出的例子中，如果给定
=0.01，查表得：
t 2 (n 2) t0.005 (8) 3.355
由于
Sˆ1 0.042
Sˆ0 98.41
于是，计算得到1、0的置信区间分别为：
(0.6345,0.9195)
(-433.32,226.98)
则
TSS RSS ESS
Y的观测值围绕其均值的总离差可分解为两部 分：一部分来自回归线(RSS)，另一部分则来自随 机势力(ESS)。因此，我们可以用回归平方和RSS 占Y的总离差平方和TSS的比例来度量样本回归线 与样本观测值的拟合优度。
5第五章 一元线性回归的假设检验
（OLS)估计量有最小方差。这使得OLS估计 量有着优良的性质可以进行统计推断
完全满足这些假定的方程在现实中是不存 在的，但这些假定为我们提供了一个比较 的基准，本课其他部分主要是围绕假定不 被满足时，分析后果，提出解决办法。返 回
第二节 OLS估计量的性质：高斯-马 尔可夫定理 p127
一、高斯-马尔可夫定理
当X是非随机的时，该假定自动满足 X是抽样时候人为设定的：比如前例中把家庭收入分
组
假定5：正态性假定：随机误差项服从正态分布
i ~ N (0, )
2
假定6：样本容量N>待估参数个数 假定7：解释变量 X值有变异性
即X有一个相对较大的取值范围 如果X只在一个狭窄的范围内变动，则无法充分估计X
若
|t| t /2(n-2)，则拒绝H1 ，接受H0 ；返回
4、例题：葡萄酒拍卖价格的回归分 析
数据 应变量： ln(price)： 1952~1980年间共10批， 用来自六个葡萄种植场的的葡萄酿造的60种不同 葡萄酒的价格，取其对数形式 自变量：
Age: 葡萄酒存放年数 Temp:葡萄生长期平均气温 Rain:8/9月份降雨量 Wrain:葡萄生长期前一年10月到次年3月降雨量
b
i
(n 2) Sb2i
b2
i
~ 2 (n 2)
ˆ bi bi 则t ~ t (n 2), 可以利用该信息进行统计检验 Sbi
返回
第三节 一元线性回归模型的假设检验 p130
一、检验 二、参数的显著性检验 三、回归的拟合优度检验 四、回归分析结果的报告 五、综合实例：美国商业部门工资和生产 率的关系 返回
从统计学看线性回归（1）——一元线性回归
从统计学看线性回归（1）——⼀元线性回归⽬录1. ⼀元线性回归模型的数学形式2. 回归参数β0 , β1的估计3. 最⼩⼆乘估计的性质 线性性 ⽆偏性 最⼩⽅差性⼀、⼀元线性回归模型的数学形式 ⼀元线性回归是描述两个变量之间相关关系的最简单的回归模型。
⾃变量与因变量间的线性关系的数学结构通常⽤式（1）的形式：y = β0 + β1x + ε (1)其中两个变量y与x之间的关系⽤两部分描述。
⼀部分是由于x的变化引起y线性变化的部分，即β0+ β1x，另⼀部分是由其他⼀切随机因素引起的，记为ε。
该式确切的表达了变量x与y之间密切关系，但密切的程度⼜没有到x唯⼀确定y的这种特殊关系。
式（1）称为变量y对x的⼀元线性回归理论模型。
⼀般称y为被解释变量（因变量），x为解释变量（⾃变量），β0和β1是未知参数，成β0为回归常数，β1为回归系数。
ε表⽰其他随机因素的影响。
⼀般假定ε是不可观测的随机误差，它是⼀个随机变量，通常假定ε满⾜：（2）对式（1）两边求期望，得E(y) = β0 + β1x, （3）称式（3）为回归⽅程。
E(ε) = 0 可以理解为ε对 y 的总体影响期望为 0，也就是说在给定 x 下，由x确定的线性部分β0 + β1x 已经确定，现在只有ε对 y 产⽣影响，在 x = x0，ε = 0即除x以外其他⼀切因素对 y 的影响为0时，设 y = y0，经过多次采样，y 的值在 y0 上下波动（因为采样中ε不恒等于0），若 E(ε) = 0 则说明综合多次采样的结果，ε对 y 的综合影响为0，则可以很好的分析 x 对 y 的影响（因为其他⼀切因素的综合影响为0，但要保证样本量不能太少）；若 E(ε) = c ≠ 0，即ε对 y 的综合影响是⼀个不为0的常数，则E(y) = β0 + β1x + E(ε)，那么 E(ε) 这个常数可以直接被β0 捕获，从⽽变为公式（3）；若 E(ε) = 变量，则说明ε在不同的 x 下对 y 的影响不同，那么说明存在其他变量也对 y 有显著作⽤。
第二章：一元线性回归模型理论与方法(第二部分)
最小二乘法的数学原理
• 纵向距离是Y的实际值与拟合值之差，差异 大拟合不好，差异小拟合好，所以又称为 拟合误差或残差。 • 将所有纵向距离平方后相加，即得误差平 方和，“最好”直线就是使误差平方和最 小的直线。 • 于是可以运用求极值的原理，将求最好拟 合直线问题转换为求误差平方和最小。
普通最小二乘法（OLS）
这三个准则也称作估计量的小样本性质。
拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计 量（best liner unbiased estimator, BLUE）。
高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markov theorem)
在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计 量是具有最小方差的线性无偏估计量。
ˆ , ˆ 的均 2、无偏性，即以X的所有样本值为条件，估计量 0 1 0与1 。 值（期望）等于总体回归参数真值
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
对数似然函 数极大化的 一阶条件
结构参数的 ML估计量
最大似然法与普通最小二乘法讨论
已知一组样本观测值（Yi，Xi）(i=1,2, …,n)， 要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值，即 样本回归线上的点Y ˆi 与真实观测点Yi的“总体” 误差尽可能地小。在技术处理上我们一般采用 “最小二乘法”。
最小二乘原则：由于估计值和实测值之差可正 可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，因 此，只有平方和才能反映二者在总体上的接近 程度。
n 1
证残差与 Yˆ 的样本协方差为0，即证： i
eiYˆ i
0
ห้องสมุดไป่ตู้
一元线性回归模型的统计检验概述
拟合优度检验，顾名思义，是检验模型对样本观测值的拟合程度。检验的方法，是构造一个可以表征拟合程度的指标，在这里称为统计量，统计量是样本的函数。从检验对象中计算出该统计量的数值，然后与某一标准进行比较，得出检验结论。有人也许会问，采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？问题在于，在一个特定的条件下做得最好的并不一定就是高质量的。普通最小二乘法所保证的最好拟合，是同一个问题部的比较，拟合优度检验结果所表示优劣是不同问题之间的比较。例如图2.3.1和图2.3.2中的直线方程都是由散点表示的样本观测值的最小二乘估计结果，对于每个问题它们都满足残差的平方和最小，但是二者对样本观测值的拟合程度显然是不同的。
假设检验的程序是，先根据实际问题的要求提出一个论断，称为统计假设，记为 ；然后根据样本的有关信息，对 的真伪进行判断，作出拒绝 或接受 的决策。
假设检验的基本思想是概率性质的反证法。为了检验原假设 是否正确，先假定这个假设是正确的，看由此能推出什么结果。如果导致一个不合理的结果，则表明“假设 为正确”是错误的，即原假设 不正确，因此要拒绝原假设 。如果没有导致一个不合理现象的出现，则不能认为原假设 不正确，因此不能拒绝拒绝原假设 。
2、可决系数 统计量
根据上述关系，可以用
(2.3.3)
检验模型的拟合优度，称 为可决系数（coefficient of determination）。显然，在总离差平方和中，回归平方和所占的比重越大，残差平方和所占的比重越小，则回归直线与样本点拟合得越好。如果模型与样本观测值完全拟合，则有 。当然，模型与样本观测值完全拟合的情况是不可能发生的， 不可能等于1。但毫无疑问的是该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。
一元线性回归：假设检验和置信区间
一般步骤
1. 提出原假设和备择假设
原假设和双边备择假设: H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 ≠ 1,0 其中 1,0 为原假设下的假设值. 原假设和单边备择假设: H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 < 1,0 或 H0: 1 = 1,0 对 H1: 1 >1,0
检验 Y 的均值: 检验 1,
t = Y Y ,0
sY / n
ˆ t = 1 1,0 , ˆ) SE ( 1
ˆ)= ˆ 抽样分布的方差的估计的平方根 ，公式？ 其中 SE( 1 1
5
ˆ ) 的公式 SE( 1
ˆ 方差的表达式(大 n): 回顾 1
2 var[( X ) u ] i x i v ˆ)= var( = , 其中 vi = (Xi – X)ui. 1 2 2 4 n( X ) n X ˆ 方差的估计量：利用数据构造估计量取替未知总体值 2
ˆ 的抽样分布: 1 ˆ 近似服从, 在 LSA 下, 对大 n , 1
2 ˆ ~N , v 1 1 n 4 X
, 其中 vi = (Xi – X)ui
3
5.1 关于某个回归系数的假设检验
• 1的假设检验
目的是利用数据检验诸如 1 = 0 的假设，得到（原）假设正 确与否的暂时性结论.
2 ˆ
1 n 2 ˆi v n 2 i 1
1
1
1
这个公式看着令人有些讨厌，但: 事实上并没有看上去的那样复杂，其中分子估计的是 var(v), 分母估计的是 var(X). 为什么自由度调整为 n – 2? 因为有两个系数 (0 和 1)是 估计的. ˆ )是由回归软件计算的 SE(
计量经济学复习笔记（二）：一元线性回归（下）
计量经济学复习笔记（⼆）：⼀元线性回归（下）回顾上⽂，我们通过OLS推导出了⼀元线性回归的两个参数估计，得到了以下重要结论：ˆβ1=∑x i y i∑x2i,ˆβ0=¯Y−ˆβ1¯X.注意总体回归模型是Y=β0+β1X+µ，同时我们还假定了µ∼N(0,σ2)，这使得整个模型都具有正态性。
这种正态性意味着许多，我们能⽤数理统计的知识得到点估计的优良性质，完成区间估计、假设检验等，本⽂就来详细讨论上述内容。
1、BLUE我们选择OLS估计量作为⼀元线性回归的参数估计量，最主要的原因就是它是最⼩⽅差线性⽆偏估计(Best Linear Unbiased Estimator)，这意味着它们是：线性的。
⽆偏的。
最⼩⽅差的。
不过，光给你这三个词，你可能会对定义有所困扰——⽐如，关于什么线性？⼜关于什么是⽆偏的？我们接下来就对OLS估计量的BLUE性详细讨论，包括简单证明。
原本我认为，证明在后⾯再给出会更合适，引⼊也更顺畅，但是我们接下来要讨论的许多，都有赖于OLS估计量的BLUE性，因此我还是决定将这部分内容放在这⾥。
⾸先是线性性，它指的是关于观测值Y i线性，这有什么意义呢？注意到，在之前的讨论中，我们总讨论在给定X的取值状况下的其他信息，如µ的条件期望、⽅差协⽅差等，因此我们往往会在这部分的讨论中将X视为常数（⽽不是随机变量）看待，这会带来⼀些好处。
⽽因为µ∼N(0,σ2)且µi是从µ中抽取的简单随机样本，且µi与X i⽆关，所以由正态分布的性质，有Y i|X i∼N(β0+β1X i,σ2).实际上，由于参数真值β1,β1是常数，所以每⼀个Y i在给定了X i的⽔平下，都独⽴地由µi完全决定，⽽µi序列不相关（在正态分布的情况下独⽴），所以Y i之间也相互独⽴。
这样，如果有⼀个统计量是Y i的线性组合，那么由正态分布的可加性，这个统计量就⾃然服从正态分布，从⽽我们可以很⽅便地对其进⾏参数估计、假设检验等。
一元线性回归方程回归系数的假设检验方法
一元线性回归方程回归系数的假设检验方法
一元线性回归方程是一种统计学方法，用于研究两个变量之间的关系。
它可以
用来预测一个变量（被解释变量）的值，另一个变量（解释变量）的值已知。
回归系数是一元线性回归方程的重要参数，它可以用来衡量解释变量对被解释变量的影响程度。
回归系数的假设检验是一种统计学方法，用于检验回归系数是否具有统计学意义。
它的基本思想是，如果回归系数的值不是0，则表明解释变量对被解释变量有
显著的影响，反之则表明解释变量对被解释变量没有显著的影响。
回归系数的假设检验一般采用t检验或F检验。
t检验是检验单个回归系数是
否具有统计学意义的方法，而F检验是检验多个回归系数是否具有统计学意义的方法。
在进行回归系数的假设检验时，首先要确定检验的显著性水平，一般为0.05
或0.01。
然后，根据检验的类型，计算t值或F值，并与检验的显著性水平比较，如果t值或F值大于显著性水平，则拒绝原假设，即认为回归系数具有统计学意义；反之，则接受原假设，即认为回归系数没有统计学意义。
回归系数的假设检验是一种重要的统计学方法，它可以用来检验回归系数是否
具有统计学意义，从而更好地理解解释变量对被解释变量的影响程度。
第3章 一元回归模型：假设检验
ui ~ N (0, )
2
回顾：正态分布由来
高尔顿钉板
回顾：正态分布由来
高尔顿钉板
回顾：正态分布的平均值和方差
第327页
第三章 一元回归模型：假设检验
3.1 古典线性回归模型的基本假定
第三章 一元回归模型：假设检验
3.1 古典线性回归模型的基本假定
第三章 一元回归模型：假设检验
问：随机误差项
答：使用残差项
se(b2 ) var(b2 )
u i 的方差 2 不知道怎么办？？ ei 的方差来估计随机误差项的方差：
EViews 回归结果
第三章 一元回归模型：假设检验
3.3 OLS估计量的性质
高斯-马尔科夫定理：
如果满足古典线性回归模型的基本假定，则OLS 估计量是最优线性无偏估计量（Best Linear Unbiased Evaluation , BLUE）。
3.1 古典线性回归模型的基本假定
二、对随机误差项
u i 的假定：
5. 解释变量与随机误差项不相关。
cov(ui , X i ) 0
6. 随机误差项之间不相关（无自相关、无序列相关）。
cov(ui , u j ) 0
i j i, j 1, 2,..., n
回顾：变量间的相关性
相关系数
第三章 一元回归模型：假设检验
3.3 OLS估计量的性质
1. 线性： b1和b2是线性估计量，即它们是Y的线性函数：
b1 Y b2 X
x y ( X X )(Y Y ) b x (X X ) X Y nXY X nX
i i i i 2 2 i 2 i i i 2 i 2
计量经济学的2.3 一元线性回归模型的统计检验
ˆ ˆ P( ) 1
如果存在这样一个区间，称之为置信区间 （confidence interval）； 1-称为置信系数（置信度） （confidence coefficient）， 称为显著性水平（level of significance）（或犯第I类错误的概率，即拒真的概 率）；置信区间的端点称为置信限（confidence limit） 或临界值（critical values）。置信区间以外的区间称 4 为临界域
由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计 值与总体参数真值的“接近”程度，因此置信区间 越小越好。 (i t s , i t s )
2 i 2 i
要缩小置信区间，需要减小 （1）增大样本容量n，因为在同样的置信水平 下， n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本 容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；
5
如何构造参数值的估计区间？ 通过构造已知分布的统计量
6
构造统计量（1）
回顾： 在正态性假定下
以上统计量服从自由度为n-2的x2分布，n为样本量
7
构造统计量（2）
ˆ ˆ 0 和 1 服从正态分布
ˆ E ( 0 )= 0
ˆ E ( 1 )=1
Var 0） （ˆ
X
i 1 n i 1
§2.3 一元线性回归模型的统 计检验
一、参数的区间估计 二、拟合优度检验 三、参数的假设检验 （对教材内容作了扩充）
1
一、参数的区间估计
参数的两种估计：点估计和区间估计
点估计
通过样本数据得到参数的一个估计值。
（如：最小二乘估计、最大似然估计）
点估计不足：
（1）点估计给出在给定样本下估计出的参数的可能取值，但 它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真 值有多“近”。 （2）虽然在重复抽样中估计值的均值可能会等于真值，但由 于抽样波动，单一估计值很可能不同于真值。 2
第2章一元线性回归模型
布图上的点接近于一条曲线时，称为非线性相关。简单相关按
符号又可分为 正相关 （见图2.3.4 ）、负相关 （见图2.3.8 ）和零 相关 （见图2.3.6 ）。两个变量趋于在同一个方向变化时，即同
增或同减，称为变量之间存在正相关；当两个变量趋于在相反
方向变化时，即当一个变量增加，另一个变量减少时，称为变 量之间存在负相关；当两个变量的变化相互没有关系时，称为
4、普通最小二乘法
为什么要使用OLS？ （1）OLS的应用相对简便； （2）以最小化残差平方和为目标在理论很合理； （3）OLS估计量有很多有用的性质。 1）估计的回归线通过Y和X的均值。下列等式总是
ˆ ˆX 严格成立的：设下，可以证明，OLS是 “最优”的估计方法。
2.2.2 最小二乘估计量的性质
一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其
优劣性： （1）线性。即它是否是另一个随机变量的线性函数；
（2）无偏性。即它的均值或期望是否等于总体的真实值；
（3）有效性。即它是否在所有的线性无偏估计量中具有 最小方差； （4）渐近无偏性。 即样本容量趋于无穷大时，它的均值 序列趋于总体的真值； （5）一致性。即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率 收敛于总体的真值；
1．总变差的分解
ˆ b ˆX ˆ b Yt的估计值位于估计的回归线 Y t 0 1 t 上，Y围绕其均值的变异 (Y Y )可被分解为两部分：
ˆ Y ) (1) (Y t
ˆ) (2) (Yt Y t
样本回归函数：
3．相关系数检验
（1）变量相关的定义和分类
相关：指两个或两个以上变量间相互关系的程度或强度。
2 2 ˆ e ( Y Y ) i i OLS 最小化 i i 1 i 1
一元线性回归方程检验
回归方程的概念是在统计学中被广泛使用的概念，它用于预测和解释变量之 间的关系。
一元线性回归方程的定义
回归方程
一元线性回归方程是描述两个变量之间线性关系的数学模型。
变量关系
它表示一个变量如何随着另一个变量的变化而变化。
斜率和截距
通过回归方程的斜率和截距可以计算两个变量之间的线性关系。
归方程是否显著。
3
计算F统计量
通过计算F统计量，可以评估整个回归方 程的显著性。
拒绝或接受
根据F统计量的大小和显著性水平，可以 拒绝或接受回归方程的显著性。
使用t检验进行回归方程的参数估计
t检验
t检验可用于估计回归方程的参数，并检验这些参数 的显著性。
参数估计
通过t检验可以得到一元线性回归方程的截距和斜率 的估计值。
回归方程的假设检验
1 零假设
回归方程的假设检验需要 建立一个零假设，来测试 回归方程参数的显著性。
2 显著性水平
根据显著性水平确定的临 界值，可以判断回归方程 的参数估计是否符合显著 性要求。
3 统计检验
使用统计检验方法，如t检 验，对回归方程进行显著 性检验。
检验回归方程的显著性
1
F分布
2
将F统计量与F分布进行比较，以确定回
数据分析
通过数据分析，计算回归方程的 参数估计和回归方程的显著性。
假设检验
使用假设检验方法，对回归方程 的参数进行显著性检验。
对一元线性回归方程做显著性检验
假设检验
使用t检验对回归方程的截距 和斜率进行显著性检验，以 确定其是否显著。
计算标准误差
通过计算标准误差，可以评 估回归方程的参数估计的可 靠性。
计量经济学-第3章(一元线性回归模型)-文档资料
即：
Yi E (Yi X i ) u i
Yi的变化可以分为两部分，一部分是可以由Xi的变化解释 的，另一部分来自随机扰动。Yi向Xi所解释的“平均水平”回 归，这就是“回归”的含义。而斜率系数β 1是指，Xi每变化一 个单位，Yi平均变化β 1个单位。β 0是样本回归直线的截距。
《计量经济学》，王少平、杨继生、欧阳志刚主编
假定2：解释变量是外生变量。 即
Cov(ui , u j ) 0
i j , i, j 1, 2,
,N
《计量经济学》，王少平、杨继生、欧阳志刚主编 （3.1.5）
二、普通最小二乘法（OLS）
基于假定3，我们对模型（3.1.1）取条件期望，则有： E (Yi X i ) 0 1 X i 3.1.6） （
5
第一步 构造含有待估计系数的残差平方和 并对其求最小
N Q ˆ ˆ X )0 2 ( Y i 0 1 i ˆ N N 0 i 1 2 ˆ ˆ X )u ˆ ˆi min Q u ( Y i i 0 1 i ˆ ˆ N , 1 i 1 Q i2 ˆ ˆ X )X 0 (Y i 3.1.70 i （ ） 1 i ˆ i 1 1
N 就是说，如果我们能得到不同于最小 由于最小二乘估计量拥有一个“好” 即样本容量趋于无穷大时，估计量依 二乘估计量的其他线性无偏估计量， 渐近有效性 的估计量所应具备的有限样本性质， 概率收剑于总体的真实值，即： 其方差大于或者等于最小二乘估计量 ˆ) P lim( 它也拥有大样本特性，即渐近无偏性、 i i 的方差。 一致性、渐近有效性。 即样本容量趋于无穷大时，估计量 其中：符号“ Plim”表示概率极限，因
一元线性回归模型的统计检验概述(doc 8页)
一元线性回归模型的统计检验概述(doc 8页)§2.3 一元线性回归模型的统计检验回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。
尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。
那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行统计检验。
主要包括拟合优度检验、变量的显著性检验及参数的区间估计。
一、拟合优度检验拟合优度检验，顾名思义，是检验模型对样本观测值的拟合程度。
检验的方法，是构造一个可以表征拟合程度的指标，在这里称为统计量，统计量是样本的函数。
从检验对象中计算出该统计量的数值，然后与某一标准进行比较，得出检验结论。
有人也许会问，采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？问题在于，在一个特定的条件下做得最好的并不一定就是高质量的。
普通最小二乘法所保证的最好拟合，是同一个问题内部的比较，拟合优度检验结果所表示优劣是不同问题之间的比较。
例如图2.3.1和图2.3.2中的直线方程都是由散点表示的样本观测值的最小二乘估计结果，对于每个问题它们都满足残差的平方和最小，但是二者对样本观测值的拟合程度显然是不同的。
．．．．．．． ． ．． ．图2.3.1 图2.3.21、总离差平方和的分解已知由一组样本观测值),(ii Y X ，i =1,2…,n 得到如下样本回归直线i i X Y 10ˆˆˆββ+=而Y 的第i 个观测值与样本均值的离差)(Y Y y i i -=可分解为两部分之和：ii i i i i i y e Y Y Y Y Y Y y ˆ)ˆ()ˆ(+=-+-=-= （2.3.1）图2.3.3示出了这种分解，其中，)ˆ(ˆY Y y ii -=是样本回归直线理论值(回归拟合值)与观测值i Y 的平均值之差，可认为是由回归直线解释的部分；)ˆ(i i i Y Y e -=是实际观测值与回归拟合值之差，是回归直线不能解释的部分。
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数之和为1，此时即得结构变量的确定性解。
第3步，计算路径系数：在结构方程中根据已知的结构变量确定性解，计算出各个路径系数。
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10
二、潜变量效应分析
1、交互效应
参考文献 5
基于结构方程潜变量(结构变量)的效应分析，基本的是交互效应、调节效应、中介效应。由于交 互效应实质上就是调节效应，所以我们专注于考虑调节效应与中介效应，以及它们的复合效应，如有 中介变量的调节效应，有调节变量的中介效应。
2 21 0 0 0 02 2 2
3
31
32
0
0
0
3
3
1
3
4 41 42 43 0 04 4 4
5
0
0
0
54
i 1
i 1
参考文献1
3
一、回归常识
1、一元线性回归（假设检验）
参考文献1
ˆ1
~
N 1,
2
S XX
假设检验的一般步骤（1）： 要有一个原假设
构造一个包含待检验参数的统计量 在原假设成立时找到该统计量的分布
注意：
原假设对应被择假设也很重要， 它也影响统计量的分布。
统计量的分布如果不能推导出精 确分布，那么可以考虑大样本时 的极限分布，或者采用Monte
Y X
Y1
Y
Y2 Yn
,
1 X11 X1m
X
1 1
X 21
X n1
X 2m
X nm
0
1 m
,
1
2 n
Carlo方法得到数值分布。
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4
参考文献1
一、回归常识
1、一元线性回归（假设检验）
假设检验的一般步骤（2）： 给定置信水平
在分布中确定小概率事件的拒绝域
如果统计量落入拒绝域
则拒绝原假设
显著性水平 分位点
小概率原理 两类错误 弃真错误 纳伪错误
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一、回归常识
2、多元线性回归（模型）
一级指标、潜变量、结构变量 结构方程组、路径系数 二级指标、观测变量、 观测方程组、汇总系数
路径分析 协方差拟合算法(LISERL) 偏最小二乘（PLS） 确定性算法 多层路径分析模型
8
一、结构方程模型
3、基本公式
参考文献4
1 0 0 0 0 01 1 1
模型 最小二乘
Y 0 1X
n
(Yi 0 1X i )2 min
i1
~ N (0, 2 )
参考文献1
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2
一、回归常识
1、一元线性回归（参数估计）
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n
S(0 , 1) (Yi 0 1X i )2
i1
例如要分析潜变量
的交互效应，就直接写出回归方程：
根据普通的多元线性回归，就可以估计系数，作出检验。通常先对方程变量数据做中心化标准化再做 检验。
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二、潜变量效应分析
2、调节效应模型
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设Y与X有如下关系 Y=aX+bM+cMX+e
可以把上式重新写成 Y=bM+(a+cM)X+e
yi ii yi
i 1,, m
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一、结构方程模型
4、确定性算法
参考文献4
结构方程模型基于配方回归约束的确定性算法：
第1步，计算单位模长约束的最小二乘解：对每一个结构变量及其所属的观测变量（纵向模块）
做约束回归。观测变量虽然未知，但是加以单位模长约束，同时约束回归系数非负，可以求得唯一解。
S
0
n
2 (Yi
i1
0 1X i ) 0
S
1
n
2
i1
X i (Yi
0
1X i )
0
ˆ1
S XY S XX
ˆ0 Y ˆ1X
n
S XX
Xi X 2
n
S XY ( X i X )(Yi Y )
0
5
0
5 观测方程组 Nhomakorabea结构方程组
B
K (t)
t t j xt j xt j 1
xt t t xt
t 1,, k t 1,, k
L(i)
i i j yi j yi i 1,, m j 1
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一、回归常识
2、多元线性回归（解与高斯马尔科夫定理）
ˆ (XX )1XY
ˆ 2
1 n m 1 SES
1 (Y n m 1
Xˆ )(Y
Xˆ )
参考文献2
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一、结构方程模型
1、二级指标汇总问题
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参考文献3
2、基本概念
交互效应的日常理解并不困难，其数据分析是考虑两个变量的乘积项作为交互效应项，以其是否显 著来判断交互效应是否显著。
潜变量的效应分析，需要使用观测变量实现计算。要分析潜变量的交互效应，难点在于其观测变量 的配对。但是根据我们的确定性算法，可以得到潜变量的估计值，于是可以直接计算潜变量的交互项是 否显著。
潜变量的效应分析与循环效应及应用论文写作
一、回归常识与结构方程模型
二、交互效应调节效应中介效应：原理、检验与复合
目录
三、一般效应分析的DASC计算 四、循环效应：原理、图示、DASC计算
五、效应分析的应用与论文写作
六、附录：联立方程模型与二阶段LSE
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1
一、回归常识
1、一元线性回归（模型）
参考文献2
多元线性回归模型
Y 0 1X1 2X2 mXm ~ N(0, 2)
Y1 0 1X11 2 X12 m X1m 1 Y2 0 1X 21 2 X 22 m X 2m 2 Yn 0 1X n1 2 X n2 mX nm n