人教版数学高一课时作业任意角的三角函数(二)

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任意角三角函数的定义(二)课件--2025学年高一上学期中职数学人教版(2021)基础模块上册

'
10
10

4

(4)因为
是第三象限角，所以：

2 ，可知：
3
3
3
10
tan
0
3
实例剖析
例2：设 sin 0且tan 0，确定是第几象限角 .
解：因为 sin 0 ，所以的终边在第三、四象限，或者y轴负半
轴上；又因为 tan 0 ，所以的终边在第一、三象限.
比值
叫做角的正切.记作 tan
x
P(x,y)
x
三角函数
定义域
sin
cos
tan
R
R
{ |

2
k , k Z }
O
M X
新知探究
任意角三角函数在各象限内的符号：
第一象限：
sin ＞ 0, cos ＞ 0, tan＞ 0,
第二象限：
sin ＞ 0, cos＜0,
意得：
解得：
3a 9 0

a 2 0
2 a 3
实例剖析
例1：确定下列各值的符号。
(1) cos260 ；
(3) tan(-67220’)；

(2) sin( − ) ；
3
(3)tan( 10)
3
解:（1）因为260是第三象限角，所以cos260<0;

(2)因为是第四象限角，所以 sin( ) 0 ;
因此，同时满足 sin 0且tan 0 的是第三象限角 .
04
归纳总结
任意角三角函数在各象限内的符号：
记忆口诀：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦

三角函数的概念(第二课时)+课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

新高考人教版(2019)必修第一册
§5.2.1 三角函数的概念(第二课时)
一情景引入
三角函数推广的定义：一般地，对于任意角α，角α终边上的任意一点
P的坐标为(x,y),它到原点O的距离为r=OP= 2 + 2 =

那么 = , = , = .
2 + 2,
；
练一练
例5 求下列三角函数值：
9
11
)
（3）tan(
4
6

解：（1） sin 1480 10 sin (40 10 4 360 ) sin 40 10 0.645

sin
1480
10(精确到 0.001 );（2） cos
（1）
9

2
（2）cos cos( 2 ) cos

sin 0 .
4
（3）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan 48 ，
而 48是第一象限角，所以 tan(672) 0 ；
（4）因为 tan 3 = tan( 2 ) tan
，
而的终边在 x 轴上，所以 tan 0

求 0到2 或0到360 角的三角函数值 .
练一练
例4 确定下列三角函数值的符号：
解：

（1）cos 250 （2）sin （3）tan(672) （4） tan 3
4
（1）因为 250 是第三象限角，所以 cos250 0；
（2）因为

4
是第四象限角，所以

任意角的三角函数(第二课时)PPT课件

于第一或第三象限。因为① ②式都成立，所以角θ的终边只能位于第
三象限。于是角θ是第三象限角。
2020年10月2日
12
（1）. 若sinα=1/3，且α的终边经过点p（—1，y），则α是第几象限的角？并求secα，tanα的值。
（答案：α为第二象限的角，sec3 2,tan2 2)
4
（2）下列四个命题中，正确的是 A．终边相同的角都相等 B．终边相同的角的三角函数相等 C．第二象限的角比第一象限的角大 D．终边相同的角的同名三角函数值相等
练习P19-4、5、6
2020年10月2日
10
例3 （1）
解： ①因为2500是第三象限的角，
所以cos 2500 <0。
②因为tan(11π/3)=tan(5π/3+2π)
=tan(5π/3)，
而5π/3是第四象限角，所以
（2）
tan(11π/3)<0。
解： ①cos(9π/4)=cos(π/4+2π)
值的问题，可以转化为求0°～360° (0～2π)间角的三角函数值的问题。
2020年10月2日
9
应用举例例 3 （1）确定下列三角函数值的符号：
① cos2500
② tan（11π/3）
（2）求下列三角函数值： ① cos (9π/4) ② tan (－11π/6)
例4 求证，θ为第三象限角的充分必要条件是： sinθ<0 ① 且 tanθ>0 ②
2020年10月2日
1
温故知新
正弦函数、余弦函数、正切函数的定义? 正弦：sinα =MP =y/r 余弦：cosα =OM =x/r 正切：tanα=AT =y/x

人教版数学必修四：1.2.1任意角的三角函数(2)(作业纸)

课题：§1.2任意角的三角函数（二）作业总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1．如果角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边在函数5y x =- (0)x <的图象上，那么cos α的值为 .2．若点P 在3π的终边上，且2OP =，则点P 的坐标． 3．角α的终边终过点(3,5)P a a -，那么2sin 3cos αα-的值是． 4．已知点(cos ,tan )p θθ在第三象限 ,则在区间[0,2)π内θ的取值范围是 . 5. 已知角α的终边上一点P 与点(3,2)A -关于y 轴对称，角β的终边上一点Q 与点A 关于原点对称，则2sin 3sin αβ+的值为．6．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异．则α的值为 . 7．若π4 <α < π2，则 sinα、cosα、tanα的大小关系为 < <________.8．若－2π３ ≤θ≤π6 ，利用三角函数线，可得sin θ的取值范围是．9．在(0,2)π内使sin cos x x >成立的x 的取值范围是．10．若0 < α < 2π，且sinα<23，cosα> 12 .利用三角函数线，得到α的取值范围是 .二、解答题：11．试作出角（1）πα43-=，（2）314π的正弦线、余弦线、正切线．12. 若α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较α，sin α,tan α之间的大小关系。

13、利用三角函数线，写出满足下列条件的角x 的集合．⑴ sin x ≥22； ⑵ cos x ≤ 12 ； ⑶ tan x ≥－1 ；三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。

[推荐学习]高中数学第一章三角函数1.2.1任意角的三角函数二课时作业新人教版必修4

【创新设计】（浙江专用）2016-2017高中数学第一章三角函数 1.2.1任意角的三角函数（二）课时作业新人教版必修41.如果OM ，MP 分别是角α＝π5余弦线和正弦线，那么下列结论正确的是( )A.MP ＜OM ＜0B.MP ＜0＜OMC.MP ＞OM ＞0D.OM ＞MP ＞0解析由于0＜π5＜π4，所以cos π5＞sin π5＞0，即OM ＞MP ＞0.答案 D2.若角α的正弦线和余弦线相等，则角α的终边在( ) A.直线y ＝－x 上 B.直线y ＝x 上C.x 轴上D.y 轴上解析结合三角函数线的定义可知，当一个角的正弦线和余弦线相等时，此角的终边必在直线y ＝x 上. 答案 B3.下列四个命题中：①α一定时，单位圆中的正弦线一定； ②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边在同一条直线上. 不正确命题的个数是( ) A.0B.1C.2D.3解析由正弦线定义可知①正确，②错误；对③，当α＝π2时，α和α＋π的正切线均不存在；④正确. 答案 C4.已知α是锐角，若sin α＜cos α，则角α的范围_____.解析结合单位圆中的正弦线和余弦线可知，若sin α＜cos α，则0＜α＜π4.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，π45.不等式cos x ＞12在区间[－π，π]上的解集为_____.解析如图所示，由于cos π3＝cos 5π3＝12，所以满足cos x ＞12的x 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－π3，π36.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线： (1)5π6；(2)－2π3.解 (1)因为5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以作出5π6角的终边如图(1)所示，交单位圆于点P ，过点P作x 轴垂线交于点M ，则有向线段MP ＝sin 5π6，有向线段OM ＝cos 5π6，设过A (1，0)垂直于x 轴的直线交OP 的反向延长线于T ，则有向线段AT ＝tan 5π6.综上所述，图(1)中的有向线段MP ，OM ，AT 分别为5π6角的正弦线、余弦线、正切线.图(1)(2)因为－2π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，所以在第三象限内作出－2π3角的终边如图(2)所示，图(2)交单位圆于点P ′，用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段M ′P ′、OM ′、A ′T ′分别为－2π3角的正弦线、余弦线、正切线.7.求不等式3－4sin 2x >0的解集.解因为3－4sin 2x >0，所以sin 2α<34，所以－32<sin x <32，如图所示，所以x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋2π3，2k π＋4π3(k ∈Z )，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z ). 8.求下列函数的定义域： (1)y ＝2sin x －3；(2)y ＝lg(1－2cos x )＋1＋2cos x .解 (1)如图所示，∵2sin x －3≥0，∴sin x ≥32， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π3，2k π＋2π3(k ∈Z ). (2)如图所示，∵10,10,x x ⎧->⎪⎨+≥⎪⎩∴－22≤cos x <22，∴x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋3π4∪⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π＋5π4，2k π＋7π4(k ∈Z )，即x ∈⎝⎛⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ). 能力提升9.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A.a <b <cB.b <a <cC.c <a <bD.a <c <b解析作α＝－1的正弦线，余弦线，正切线可知：b ＝OM >0，a ＝MP <0，c ＝AT <0，且MP >AT .∴c <a <b .答案 C10.如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A.cos α<sin α<tan αB.tan α<sin α<cos αC.sin α<cos α<tan αD.cos α<tan α<sin α解析如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ，很容易地观察出OM <MP <AT ，即cos α<sin α<tan α.答案 A 11.不等式tan α＋33>0的解集是______. 解析不等式的解集如图阴影部分(不含边界与y 轴)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z .答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|k π－π6<α<k π＋π2，k ∈Z12.求函数f (x )＝cos 2x －sin 2x 的定义域为_____.解析函数有意义，则cos 2x －sin 2x ≥0，∴|cos x |≥|sin x |.如图所示.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z 13.设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小.解 θ是第二象限角，即2k π＋π2<θ<2k π＋π (k ∈Z )，故k π＋π4<θ2<k π＋π2 (k ∈Z ).作出θ2所在范围如图(1)所示.图(1)当2k π＋π4<θ2<2k π＋π2(k ∈Z )时，作出如图(2)的三角函数线，图(2)易知OM <MP <AT .∴cos θ2<sin θ2<tan θ2；当2k π＋54π<θ2<2k π＋32π(k ∈Z )时，作出如图(3)的三角函数线，图(3)易知MP <OM <AT .∴sin θ2<cos θ2<tan θ2.探究创新14.当α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α.证明如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α的终边与单位圆交于P ，α的正弦线、正切线为有向线段MP ，AT ，则MP ＝sin α，AT ＝tan α.因为S △AOP ＝12OA ·MP ＝12sin α，S 扇形AOP ＝12αOA 2＝12α，S △AOT ＝12OA ·AT ＝12tan α，又S △AOP <S 扇形AOP <S △AOT ，所以12sin α<12α<12tan α，即sin α<α<tan α.。

2020年高中数学必修4 1.2.1 任意角的三角函数(2) 基础训练(人教A版)

第2课时三角函数线基础训练1.下列各式正确的是( )A.sin 1>sin π3B.sin 1<sin π3C.sin 1=sin π3D.sin 1≥sin π3 解析:1和π3的终边均在第一象限,且π3的正弦线大于1的正弦线,则sin 1<sin π3.答案:B2.角π7和角8π7有相同的( ) A .正弦线B .余弦线C .正切线D .不能确定解析:结合图象易知正切线相同.答案:C 3.如果MP 和OM 分别是4π5的正弦线和余弦线,那么下列结论正确的是( )A .MP<OM<0B .MP<0<OMC .OM<0<MPD .OM<MP<0 解析:由图易知OM<0<MP.答案:C4.若α是第一象限角,由三角函数线知sin α+cos α的值与1的大小关系是( )A .sin α+cos α>1B .sin α+cos α=1C .sin α+cos α<1D .不确定解析:设角α的终边与单位圆交于点P.作出正弦线MP 、余弦线OM ,则MP>0,OM>0,OP=1,且线段MP ,OM ,OP 构成直角三角形,所以MP+OM>OP=1.即sin α+cos α=MP+OM>1.答案:A5.已知角α的正弦线是单位长度的有向线段,则角α的终边( )A .在x 轴上B .在y 轴上C .在直线y=x 上D .在直线y=x 或y=-x 上答案:B6.已知角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线相等,且符号相同,则α的值为 . 解析:因为角α的正弦线与余弦线相等,且符号相同,所以角α的终边落在第一或第三象限的角平分线上,故α的值为π4或5π4. 答案:π4或5π47.不等式sin x ≥√32的解集是 .解析:如图,画出单位圆,作x 轴的平行直线y=√32,交单位圆于两点P 1,P 2,连接OP 1,OP 2,分别过点P 1,P 2作x 轴的垂线,画出如图的两条正弦线,易知这两条正弦线的值都等于√32.在[0,2π)内,sin π3=sin 2π3=√32.由于sin x ≥√32,因此满足条件的角x 的终边在图中阴影部分,故不等式的解集为{x |π3+2k π≤x ≤2π3+2kπ,k ∈Z}. 答案:{x |π3+2kπ≤x ≤2π3+2kπ,k ∈Z}8.已知角α的正弦线和余弦线的长度相等,且α的终边在第二象限,则tan α= . 解析:设角α终边上的一点为P (x ,y ),则y=-x ,所以tan α=yx =-1. 答案:-19.在单位圆中画出满足cos α=√32的角α的终边,并写出角α组成的集合.解:如图,作直线x=√32交单位圆于点M ,N ,连接OM ,ON ,则OM ,ON 为α的终边.由于cos π6=√32,cos 11π6=√32,因此点M 在π6的终边上,点N 在11π6的终边上,则α=π6+2k π或α=11π6+2k π,k ∈Z . 所以角α组成的集合为S={α|α=π6+2k π或α=11π6+2kπ,k ∈Z}.10.求函数y=√-1-2cosx 的定义域.解:要使函数有意义,自变量x 的取值需满足 -1-2cos x ≥0,得cos x ≤-12,则2π3+2k π≤x ≤4π3+2k π,k ∈Z .所以函数的定义域是{x |2π3+2kπ≤x ≤4π3+2kπ,k ∈Z}.。

高中数学课时作业4 任意角的三角函数(2) 新人教A版必修4

课时作业4 任意角的三角函数(二)|基础巩固一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是A．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在答案：A5．如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ解析：如图所示，作出角θ的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，由图可知AT >MP >OM ，即tan θ>sin θ>cos θ，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin1________sin π3(填“>”或“<”)．解析：因为0<1<π3<π2，结合单位圆中的三角函数线，知sin1<sin π3.答案：<7．不等式tan α＋33>0的解集是________．解析：不等式的解集如图所示(阴影部分)，因为－2π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，所以在第三象限内做出－2π3单位圆于点P ′用类似(1)的方法作图，可得图(2)中的有向线段角的正弦线、余弦线、正切线．．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22.－1)和原点作直线交单位圆于点＝π－π4，∠xOP ′＝－π4，的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝－π4＋k π，k ∈Z .②(2)如图②所示，过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22作与x 轴平行线，交单位圆于点P 和P ′，则sin∠xOP ＝sin∠xOP ′＝－22， ∴∠xOP ＝54π，∠xOP ′＝74π，∴满足条件所有角α的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |54π＋2k π<α<74π＋2k π，k ∈Z .|能力提升|(20分钟，40分)11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三象限的角平分线上解析：作图(图略)可知角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α的终边在第二、第四象限的角平分线上，故选C.答案：C12．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ 的取值范围是________．，1，5．求下列函数的定义域． 2sin x －3；lg(sin x －22)＋1－2cos x .(1)自变量x 应满足2sin x －3≥0，即sin x ≥32.图中阴影部分就是满足条件的范围，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z.由题意，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－sin 则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，⎪⎫3。

§3 任意角的三角函数典例剖析(第二课时)

［例1］判断下列各三角函数值的符号：)423tan(4sin 3sin (2) 156tan 265cos 1.53tan 340sin )1(π-︒︒︒︒ 选题意图：考查三角函数值在各个象限的符号.解：(1)340°，53．1°，265°，156°角分别在第四、第一、第三、第二象限则sin340°＜0，tan53．1°＞0，cos265°＜0，tan156°＜0 ∴︒︒︒︒156tan 265cos 1.53tan 340sin ＜0 （2）由2π＜3＜π＜4＜23π，且－46423ππ+-=，知角3、4、－423π分别在第二、第三、第一象限 ∴sin3＞0，sin4＜0，tan （－423π）＞0 ∴sin3sin4tan （－423π）＜0 说明：在三角函数的变换过程中，如后来平方关系的使用，半角公式的使用以及诱导公式的记忆等都要涉及到三角函数值的符号.［例2］求函数x x y tan sin +=的定义域.选题意图：考查三角函数定义域的求法. 解：要使函数x x y tan sin +=有意义，必须且只须⎪⎩⎪⎨⎧∈+≠≥Z ,20sin k kx x x π 由sin ｘ≥0，则角x 的终边在第一、第二象限或在x 轴上或在y 轴的非负半轴上，即 2ｋπ≤ｘ≤π＋2ｋπ，ｋ∈Ｚ又x ≠ｋπ＋2π，ｋ∈Ｚ，因此函数的定义域为2ｋπ≤ｘ＜2π＋2ｋπ或2π＋2ｋπ＜ｘ≤（2ｋ＋1）π，ｋ∈Ｚ. 说明：也可利用单位圆解不等式sin ｘ≥0，进而求出函数x x y tan sin +=的定义域.［例3］求值)415tan(325cos ππ-+. 选题意图：考查第一组诱导公式的使用. 解：)415tan(325cos ππ-+ 231214tan 3cos )]4(4tan[)83cos(=+=+=-+++=ππππππ说明：利用第一组诱导公式可求出终边在第一象限或在坐标轴上角的三角函数值.。

§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

即： M P = s in , O M = co s ,
O P=1
在 O M P中， O M +M P>O P
y

P M x
o
即： s in + c o s > 1
2013-1-11
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)

4
MP是正弦线 OM是余弦线
P
y
o
AT是正切线
重庆市万州高级中学曾国荣 wzzxzgr@
o M
A x T
8
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
练习：不查表，比较大小
(1) sin 2 3 和 sin 4 5 (2) cos 2 3 和 cos 4 5 (3) ta n 2 3 和 ta n 4 5
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
例 1 .作出下列各角的三角正弦线 , 余弦线 , 正切线 , 并根据三角函数线求它的正弦值 ,余弦值 ,正切值 . (1)

4

(2)
4 3
y
T P A M x

4 3

2

s in 1 cos

1 cos s in

证明：如图连接 AP 在直角 CPA中，
PCA APM
y

P x MA

2
C
2
o
在直角 AM P中， MA OA OM 1 cos ta n A P M MP MP s in

高中数学任意角的三角函数教案新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案

任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=；〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=；〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、三角函数在各象限角的符号；3、三角函数在轴上角的值；4、诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1．作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠．〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。

蒋王中学高一任意角的三角函数(2)

1.2.2任意角的三角函数（2）
一、学习目标
1、理解单位圆中的三角函数线
2、在应用三角函数线的过程中，学习数形结合思想的应用.
重点、难点：三角函数线及三角函数的应用.
二、课前自学
填空：（1）称为有向线段.
（2）分别在图1、图2、图3、图4中作出角α的正弦线、余弦线、正切线.
三、问题探究例1、在单位圆中作出符合下列条件的角的终边：
（1）1sin 2x =
；（2）1cos 4x =；（3）tan 1x =-.
例2、分别写出满足下列条件的角θ的集合：
（1
）cos θ≥
（2）tan 1θ>-；（3
）1sin 2θ-≤<.
图
1 图2
图3 图4
引申：（1）求函数y =
（2）求函数y =.
例3、（1）若263
π
πθ≤<，求sin θ的范围；（2）若236
ππθ-
≤<，求cos θ的范围；（3）若3060θ-︒≤≤︒，求tan θ的范围.
四、反馈小结
反馈：根据单位圆中的三角函数探究：
（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
（2）正弦函数、余弦函数在区间[0,2]π上的单调性；
（3）正切函数在区间(,)22
ππ-上的单调性. 五、练习
1、求下列三角函数的定义域：
（1）y =
（2）2lg(34sin )y x =-.
2、在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的取值范围为。

三角函数的概念课件第二课时-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

1
2

0
1
2 3

2
2
2
1
3
3
0
3
1

【例 3】求下列各式的值:
(1)sin(-1 395°)cos 1 110°+cos(-1 020°)sin 750°;
解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)
+cos(-3×360°+60°)sin(2×360°+30°)

y
记作tan α，即 tan x 0
x
练习1：
3 4
1. 已知角α的终边与单位圆的交点是 - ， ,
5 5
则 sin α=
,cos α=
,tan α=
.
一、复习回顾
已知角的终边上任意一点的坐标，求
其三角函数的值：
根据勾股定理r x 2 y 2
(3)对于任意角，，，都有意义.( )
二、探究新知----诱导公式一
思考：当角α分别为60°,420°,-300°时,它们的终边有
什么特点?它们的三角函数值呢?
解:它们的终边重合.由三角函数的定义知,它们的三角函数
值相等.
诱
导
公
式
1
sin ( k 2 ) sin
5.2.1：三角函数的概念
第二课时
一、复习回顾
设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆相交于点(，)
（1）把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α
即y sin
（2）把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α

新人教版必修4第1章第1节任意角的三角函数(第二课时)

sin y cos x y tan x 0
x
问题 2:角的概念推广以后，我们应该如何推广到任意角呢？新知：任意角三角函数的定义
设α 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y), 那么：
（1）y叫做的正弦，记作sinα
（2）x叫做的余弦，记作cosα y （3）叫做的正切，记作tanα x
思考：对于确定的角α ，上述三个比值是否随点P在角α 的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？
二、新课导学探究任务一：任意角的三角函数的定义.
问题1 能否通过取适当点而将表达式简化?
新知：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆叫做单位圆.
y r
O

P (x,y)

M 1x
变式练习
(其中r x y )
2 2
已知角的终边过点 P(12,5), 求角的三角函数值。
如果角的终边落在坐标轴呢？请完成下表。
角Байду номын сангаас 角的弧度数
sin cos tan
0。
90。
π 2
180。 270。

3π 2
360。
2
0 0 1 0
1
0
1
0
不存在
1 0
不存在
0
1 0
0
三、总结提升
§1.2.1任意角的三角函数（第一课时）
y
o
x
一、复习引入锐角的三角函数如何定义？ A
P (x,y)
y r
O
y 对边 MP sin r 斜边 OP

M
B
x
邻边 OM x cos 斜边 OP r 对边 MP y x 0 tan 邻边 OM x

高中数学课时作业：任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章三角函数、解三角形课时作业19 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、选择题1．将－300°化为弧度为( B ) A ．－43π B ．－53π C ．－76π D ．－74π 解析:－300×π180＝－53π. 2．tan 8π3的值为( D ) A.33 B ．－33 C. 3 D ．－ 3解析:tan 8π3＝tan(2π＋2π3)＝tan 2π3＝－ 3.3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2,则这个圆心角所对的弧长是( C ) A ．2 B ．sin2 C.2sin1D ．2sin1解析:r ＝1sin1,l ＝θ·r ＝2·1sin1＝2sin1,故选C.4．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为( C ) A.5π6 B.2π3 C.11π6D.5π3解析:因为点P ⎝⎛⎭⎪⎫32，－12在第四象限,所以根据三角函数的定义可知tan θ＝－1232＝－33,又θ∈[0,2π),可得θ＝11π6. 5.如图,在平面直角坐标系xOy 中,角α的终边与单位圆交于点A ,点A 的纵坐标为45,则cos α的值为( D )A.45 B ．－45 C.35 D ．－35解析:因为点A 的纵坐标y A ＝45,且点A 在第二象限,又因为圆O 为单位圆,所以A 点横坐标x A ＝－35,由三角函数的定义可得cos α＝－35.6．(福州一模)设α是第二象限角,P (x,4)为其终边上的一点,且cos α＝15x ,则tan α＝( D )A.43B.34 C ．－34D ．－43解析:因为α是第二象限角,所以cos α＝15x <0,即x <0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16,解得x ＝－3,所以tan α＝4x ＝－43.7．点P (cos α,tan α)在第二象限是角α的终边在第三象限的( C )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析:若点P (cos α,tan α)在第二象限,则⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，可得α的终边在第三象限；反之,若角α的终边在第三象限,有⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α>0，即点P (cos α,tan α)在第二象限,故选项C 正确．8．已知A (x A ,y A )是单位圆(圆心在坐标原点O )上任意一点,将射线OA 绕O 点逆时针旋转30°,交单位圆于点B (x B ,y B ),则x A －y B 的取值范围是( C )A ．[－2,2]B ．[－2,2]C ．[－1,1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 解析:设x 轴正方向逆时针到射线OA 的角为α,根据三角函数的定义得x A ＝cos α,y B ＝sin(α＋30°),所以x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝－32sin α＋12cos α＝sin(α＋150°)∈[－1,1]．二、填空题9．－2 017°角是第二象限角,与－2 017°角终边相同的最小正角是143°,最大负角是－217°.解析:因为－2 017°＝－6×360°＋143°,所以－2 017°角的终边与143°角的终边相同．所以－2 017°角是第二象限角,与－2 017°角终边相同的最小正角是143°.又143°－360°＝－217°,故与－2 017°角终边相同的最大负角是－217°.10．设角α是第三象限角,且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2,则角α2是第四象限角．解析:由角α是第三象限角,知2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z ),则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k∈Z ),故α2是第二或第四象限角．由⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2知sin α2<0,所以α2只能是第四象限角．11．一扇形是从一个圆中剪下的一部分,半径等于圆半径的23,面积等于圆面积的527,则扇形的弧长与圆周长之比为518.解析:设圆的半径为r ,则扇形的半径为2r3,记扇形的圆心角为α,则扇形与圆面积之比为12α⎝⎛⎭⎪⎫2r 32πr 2＝527,∴α＝5π6.∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.12．在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13,则sin β＝13.解析:解法1:当角α的终边在第一象限时,取角α终边上一点P 1(22,1),其关于y 轴的对称点(－22,1)在角β的终边上,此时sin β＝13；当角α的终边在第二象限时,取角α终边上一点P 2(－22,1),其关于y 轴的对称点(22,1)在角β的终边上,此时sin β＝13.综合可得sin β＝13.解法2:令角α与角β均在区间(0,π)内,故角α与角β互补,得sin β＝sin α＝13. 解法3:由已知可得,sin β＝sin(2k π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝13(k ∈Z )．13．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3,则角α的最小正值为( D )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析:由题意知点P 在第四象限,根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32,故α＝2k π－π6(k ∈Z ),所以α的最小正值为11π6.14．(武汉模拟)已知角α的顶点在原点,始边在x 轴正半轴,终边与圆心在原点的单位圆交于点A (m ,3m ),则sin2α＝32.解析:由题意得|OA |2＝m 2＋3m 2＝1,故m 2＝14.由任意角三角函数定义知cos α＝m ,sin α＝3m , 由此sin2α＝2sin αcos α＝23m 2＝32.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．已知sin α>sin β,那么下列命题成立的是( D ) A ．若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β B ．若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β C ．若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β D ．若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β 解析:由三角函数线可知选D.16．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点A (1,a ),B (2,b ),且cos2α＝23,则|a －b |＝( B )A.15B.55C.255 D ．1解析:解法1:由正切定义tan α＝yx , 则tan α＝a 1＝b2, 即a ＝tan α,b ＝2tan α.又cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23,得tan 2α＝15,tan α＝±55.∴|b －a |＝|2tan α－tan α|＝|tan α|＝55. 解法2:由两点斜率公式, 得:tan α＝b －a2－1＝b －a .又cos2α＝cos 2α－sin 2α ＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝23, 解得tan 2α＝15,∴|b －a |＝|tan α|＝55.。

任意角的三角函数(第二课时)

任意角的三角函数（第二课时）学习目标: 1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其在各象限的符号. 2、理解任意角的三角函数不同的定义方法. 学习重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，同角三角函数的基本关系. 学习难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数,三角函数的符号. 学习过程：知识探究一：三角函数符号问题：当角α 在某个象限时，根据三角函数定义，sinα ，cosα ，tanα 的函数值符号是否确定？为什么？并在各象限填写各三角函数的符号.
例 1、当不等式组成立时，确定角 θ 为第几象限角.
sin 0 tan 0
知识探究（二）：三角函数公式一问题 1：如果角α 与β 的终边相同，那么 sinα 与 sinβ 有什么关系？cosα 与 cosβ 有什么关系？tanα 与 tanβ 有什么关系？终边相同的角的同名三角函数值相等，将这个性质用一组数学公式表达为：
k Z
tan( 2k ) tan
练习： 1、若 lg(sin—tan)有意义，则是（） A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或 x 轴的正半轴 2、求值:
1
9 tan 4
2
5 cos - 3
sin( 2k ) sin
公式一：
ห้องสมุดไป่ตู้
cos( 2k ) cos tan( 2k ) tan
k Z
问题 2：在求任意角的三角函数值时，上述公式有何功能作用？可将求任意角的三角函数值，转化为求 0～2��（或 0°～360°)范围内的三角函数值.
例 2：确定下列三角函数值的符号（1）cos 250°; （2）cos

5.2.1三角函数的概念(二)教学设计高一上学期数学人教版(2019)必修第一册

二、预习课本，引入新课阅读课本177-180页，思考并完成以下问题1．任意角三角函数的定义？2．任意角三角函数在各象限的符号？3．诱导公式一？三、新知探究1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：图1-2-1(2)结论①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．思考：若已知α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，则其三角函数定义为？在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点O 的距离是r (r ＝x 2＋y 2＞0)．三角函数定义定义域 sinα y r R cosα x r Rtanαy x错误!正弦函数、余弦函数、正切函数统称三角函数. 3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域三角函数定义域 sin α R cos α Rtan α⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z4．正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 (1)图示：图1-2-2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．诱导公式一四、典例分析、举一反三题型一三角函数的定义及应用例1 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．【答案】当α的终边在第二象限时，sin α＝255，cos α＝－55，tan α＝－2. 当α的终边在第四象限时， sin α＝－255，cos α＝55，tan α＝－2.【解析】当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时，在α终边上取一点P ′(1，－2)，则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.跟踪训练一1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.【答案】当x ＝1时，sin θ＝31010，tan θ＝3；当x ＝－1时，此时sin θ＝31010，tan θ＝－3.【解析】由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝xx 2＋9.又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1.当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 题型二三角函数值的符号例2 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tan α)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5.【答案】（1）四；（2） ①sin 183°<0；②tan 7π4<0；③cos 5>0.【解析】(1)∵α是第四象限角，∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限．(2) ①∵180°<183°<270°，∴sin 183°<0；②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos。

初升高数学暑假衔接(人教版)高一预习5.2 三角函数的概念(教师版)

5.2三角函数的概念【知识梳理】知识点一任意角的三角函数设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，tan(α＋2kπ)＝tanα，其中k∈Z.终边相同的角的同一三角函数的值相等．知识点四同角三角函数的基本关系1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sinαcosα＝tanα，其中α≠kπ＋π2(k∈Z)．【基础自测】1．已知点P(sinα，cosα)在第三象限，则角α的终边在() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C2．已知tanα＝2，则3sinα－cosαsinα＋2cosα等于()A.54B ．－54C.53D ．－53A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2αC ．sin α＝－1－cos 2αD ．tan α＝cos αsin α5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，若A (－1，y )是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y ＝________.【例题详解】一、任意角三角函数的定义及应用例1已知角α的终边经过点(,P x ，（0x ≠），且3cos 6x α=，求cos sin sin αα+的值.跟踪训练1已知角α的终边上有一点的坐标是()3,4P a a ，其中0a ≠，求sin ,cos ,tan ααα.＝＝＝＝＝，＝＝＝，＝＝＝；0时，r ＝－＝－，＝－，＝.＝，＝，＝或＝－，＝－，＝.本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力二、三角函数值符号的运用例2(1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)设α角属于第二象限，且cos cos 22αα=-，则2α角属于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限跟踪训练2已知()cos305sin305,P，则点P 在第（）象限A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】D【分析】首先判断305 位于第四象限，再根据各象限三角函数的符号特征判断即可.【详解】解：因为270305360<< ，所以305 为第四象限角，所以0cos305> ，0sin305< ，所以点()cos305sin305,P位于第四象限；故选：D三、公式一的应用例3计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos 1110°＋cos(－1020°)sin 750°；cos12π5tan 4π.跟踪训练3(1)已知()R sin ,Q cos ,Q x x f x x x ∈⎧=⎨∈⎩ð（Q 为有理数集），则2021π[()]2f f =（）A ．2πB ．1C ．-1D ．0(2)已知角x 的终边经过点()3,4P ．（1）求()tan 6α-π+的值；（2）求()()()()sin 4sin 2cos 2cos 6αααα-π⋅-π⋅π+π+的值四、已知一个三角函数值求另两个三角函数值例4已知sinα＋3cosα＝0，求sinα，cosα的值．跟踪训练4求解下列各题.(1)已知1sin2α=,且α为第一象限角,求cosα,tanα;(2)已知4cos5α=-,且α为第三象限角,求sinα,tanα;(3)已知3tan4α=-,且α为第四象限角,求sinα,cosα;(4)已知1sin3α=,且α为第二象限角,求cosα,tanα.题型五、正、余弦齐次式的计算例5(1)已知tan 2α=，求下列各式的值.①1sin cos αα；②111sin 1sin αα+.(2)若tan 2α=，则225sin 3cos 1αα-+的值为（）A ．175B ．4C ．225D ．285跟踪训练5已知3π4απ<<，110ta tan n 3a α=-＋.(1)求tan α的值；(2)求sin cos sin cos αααα+-的值；(3)求222sin sin co 3co s s αααα--.的值题型六、sin θ±cos θ型求值问题例6已知(0,π)θ∈,且1sin cos 3θθ+=,（1）求sin cos θθ的值.（2）求sin cos θθ-的值（3）求tan θ的值跟踪训练6已知A 为三角形的内角，且7sin cos 13A A +=，则tan A =（）A ．125-B ．512-C ．512D ．125题型七、化简求值与恒等式的证明例7已知()f αα是第四象限角．(1)化简()f α；(2)若()4fα=，求sinα，cosα．跟踪训练7（1）已知α（2）化简：4444 1sin cos 1sin cosθθ--例8求证：()2cos sin cos sin 1sin 1cos 1sin cos αααα--=跟踪训练8求证：cos1sin1sin cosαααα+=-．【课堂巩固】1．sin405= （）A．1B．12-C．32D．22【答案】D【分析】根据诱导公式即可求解.2．若sin 0α>且tan 0α<，则2α的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第一象限或第三象限D ．第三象限或第四象限3．已知cos tan 0θθ⋅<，那么角θ是（）A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角【答案】C【详解】∵cos tan 0θθ⋅<，∴当cosθ<0，tanθ>0时，θ∈第三象限；当cosθ>0，tanθ<0时，θ∈第四象限，故选C ．4．已知1sin cos 5αα+=，且()0,πα∈，sin cos αα-=（）A ．75±B ．75-C ．75D ．49255．已知角α的终边在直线340x y +=上，则2sin cos αα+的值为________.6．比较大小：cos 4π⎛⎫- ⎪______cos 5π⎛⎫- ⎪．7．已知1sin cos 5αα+=-，()0,απ∈，则sin cos αα⋅=__________，tan α=_________.8．已知4cos 5θ=-，（1）若[)0,θπ∈，求sin tan θθ、的值；（2）若[)0,2θ∈π，求sin tan θθ、的值.9．已知tan 2θ=-，求下列各式的值sin cos θθ+(2)22222sin cos cos sin θθθθ+-；(3)22sin 2cos θθ-.10．（1）化简：22cos sin tan 2sin cos tan αααααα⋅++⋅.（2）求证：tan sin tan sintan sin tan sin αααααααα⋅+=-⋅.【课时作业】1．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-2．已知sin cos 2x x +=，则tan tan x x +=（）A ．6-B ．7-C ．8-D ．9-3．已知角α的终边过点()8,6sin30P m︒--，且4cos5α=-，则m的值为()A．12-B．12C．D．24．已知函数26()3xf x a-=+（0a>且1a≠）的图像经过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin cosθθθθ-=+（）A．17-B．0C．7D．175．若cos0θ<且tan0θ<，则2θ终边在A．第一象限B．第二象限C．第一或第三象限D．第三或第四象限6．已知sin cos 0θθ<，且cos cos θθ=，则角θ是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．（多选）已知sin α，cos α是关于x 的方程2310x ax +-=的两根，则实数a 的值可以是（）A ．3BC ．D ．3-8．的值可能为（）．A．0B．1C．2D．39．已知角α的终边上一点(),0P y y≠，且sinyα=，则cosα=______，tanα=______10．已知55sin ,cos66P ππ⎛⎫ ⎪是角α的终边上一点，则cos α=______，角α的最小正值是______.11．已知1sin cos 3θθ=，则44sin cos +=θθ_________.12．若sin cos 2sin cos θθθθ+=-，则33sin cos cos sin θθθθ+的值为____13．已知23sin 4sin cos 10ααα-+=．(1)求tan α的值；(2)求2sin cos 1cos αα的值．14．已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=.(1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值.15．求证：tan sin tan sin θθ⋅＝1cos sin θ+.。