应用三角函数的性质求解参数

问题5应用三角函数的性质求解参数问题

一、考情分析

利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意. 二、经验分享

(1) 三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；

②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元,转换成二次函数求值域．

(2)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错．

(3)已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．

(4)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f (x 0)的值进行判断． (5)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．

②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π

|ω|,y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.

(6)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．

(8)求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0,ω>0)解析式的步骤

①求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A ＝M －m

2,B ＝M ＋m

2.

②求ω,确定函数的周期T ,则ω＝2πT .

③求φ,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降

区间上)或把图象的最高点或最低点代入．

ii.五点法：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π

2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π

2；“第五点”为

ωx ＋φ＝2π.

三、知识拓展 1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1

4个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．奇偶性

若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ,ω≠0),则

(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π

2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．

3．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,φ>0)的变换：向左平移φ

ω个单位长度而非φ个单位长度．

4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π

2,k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π,k ∈Z 确定其横坐标． 四、题型分析

(一) 与函数最值相关的问题 【例1】已知函数

．

（1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间； （2）若

时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值．

【分析】（1）()f x 化为,可得周期22

T π

π=

=,由可

得单调递增区间；（2）因为,所以,进而()f x 的最大值为

,

解得12

m =

. 【解析】（1）

,

则函数()f x 的最小正周期T π=, 根据

,k Z ∈,得

,k Z ∈,

所以函数()f x 的单调递增区间为,k Z ∈．

（2）因为,所以

,则当26

2

x π

π

-

=

,3

x π

=

时,函数取得最大值0,

即

,解得1

2

m =

． 【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的最值；或化为关于sin x (或cos x )的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值. 【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在[

)0,2π上

有且只有两解，则实数m 的取值范围_____． 【答案】

【解析】

所以当

时， y m = 与2

2y t t =+ 只有一个交点，

当3m =时1t =，方程

解

所以要使方程

在[

)0,2π上有且只有两解，实数m 的取值范围

(二) 根据函数单调性求参数取值范围

如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.

【例2】已知ω＞0,函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减,则ω的取值范围是________．

【分析】根据y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上递减,列出关于ω的不等式组

【解析】 由π2＜x ＜π,ω＞0得,ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π

4,

又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫

π2，3π2上递减,所以⎩⎪⎨⎪⎧

ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π

2，

解得12≤ω≤5

4.

【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12，54

【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时,要视“ωx ＋φ”为一个整体,通过解不等式求解．但如果ω＜0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解．

【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数sin y x ω=在区间[]

0,2π上单调递增，则实数ω的取值范围是________． 【答案】10,4

⎛⎤ ⎥⎝

⎦

【解析】由题意得，所以

5．

(三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围