第十一章动量矩定理

质点系对固定点O的动量矩等于各质点对同
一点O的动量矩的矢量和:
n
矢量
对定点 Lo Mo (mivi )
i1
质点系对固定轴z的动量矩等于各质点对同一
轴z的动量矩的代数和，即
n
代数量
对定轴 Lz M z (mivi )
i1
例 已知均质杆质量为m，长为l，绕z轴以匀角速度ω作圆
锥摆动，圆锥顶角为2。求该杆对z轴的动量矩。
mivi
ri mi ω
∴ Lz=Jzω
刚体对z轴的转动惯量
§11-4 刚体对轴的转动惯量Moment of inertia of a rigid
body with respect to an axis
一、转动惯量的概念
n
J z mi ri 2
i1
转动惯量不仅与质量的大小有关，而且与 质量的分布有关。
例：均质滑轮M，r，两重物质量m1，m2 。试求重物的加速度。
解：以系统为研究对象，画受力图。设系统运动如图。 YO
系统对定轴O的动量矩为
ω
Lo = Lo轮+ Lo1+ Lo2
O
XO
J o +m1vr + m2vr

1 2
Mr 2+m1r2ω+
m2r2ω
根据质点系对定轴的动量矩定理，有
v Mg
Fi(e) 、内力Fi(i)
d dt
Mo
(mi vi
)

Mo (Fi(i) )

Mo (Fi(e)
)
对于n个质点，有n个这样的方程，将这些方程求和，则
内力系主矢 = 0
n
i1
d dt
Mo (mivi )

n i1
Mo (Fi(i) )

n i1
Mo (Fi(e) )
所以得
d
解：分析小球受力。 z
∵ ∑MZ(F(e)) = 0， ∴ LZ = const !
r2
初瞬时(A处)， LZA = mv1r1，
B
B处，
LZB = mv2r2，
v2 F
r1
∴ mv1r1 = mv2r2 而 r1 =2r2
T
得
v2 = 2v1
A
mg v1
二、质点系的动量矩定理
设质点系由n个质点组成，mi， vi，受力：外力
2 l
2
m l
dx

x2

1 12
ml2
均质薄圆环 z
R
J z mR2
均质圆轮（盘、柱） z
R
Jz

1 mR2 2
惯性半径（回转半径）
对于均质物体，其转动惯量与质量的比值
仅与物体的几何形状和尺寸有关，例如
均质细直杆
Jz
1 ml2 , 3
均质薄圆环 J z mR2
Jz 1l2, m3
平行轴定理
刚体对任意轴的转动惯量，等于刚体对于通 过质心、且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚 体的质量与两轴间距离平方的乘积。
J z J zc md 2
刚体对于通过质心轴的转动惯量最小。
叠加法求转动惯量举例
当物体由几个物体组合而成时，可用叠加法计
算整体的转动惯量，即 先计算各部分的转动惯量，
O轴以角速度ω转动，求系统对O轴的动量矩。
vA = ·l O ω
A
B
l
l
vB = ·l
系统对O轴的动量矩为： Lo ml l ml l 2ml2
例:已知均质杆m，l，ω， 则杆的动量为
O ω
p = mvc = mωl/2
杆对O轴的动量矩为
vC Lo = M o(Mvc)
然后再叠加起来。
z
zC2
例(1) 求该杆对于杆端轴z的
转动惯量。
m1
m2
x
J z J1 J2
o
c1
c2
l1
l2

1 3
m1l12

1 12
m2l2
2

m2
(l1

1 2
l2
)2

1 3
(m1

3m2 )l12

1 3
m2l2
2

m2l1l2
例(2) 已知m1，m2 ，杆长为 l；盘的半径为R。杆与盘固结
dt
n i1
Mo (mivi )

n i1
Mo (Fi(e) )
质点系对定点的动量矩定理
d
dt
n i1
Mo (mivi )
n i1
Mo (Fi(e) )
即
d
dt
Lo

n i 1
M o (Fi(e) )
质点系对某定点O的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力对同一点的主矩。
结论：
• 质点的动量对点O的矩称为质点对于O的动量矩。
Mo（mv）= r×mv
矢量
• 质点的动量mv 在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点 O的矩定义为质点对于z轴的动量矩。
• 质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点 对z轴的动量矩，即
[Mo(mv)]z= M z(mv)
代数量
二、质点系的动量矩
转动惯量是刚体转动时的惯性度量
二、转动惯量的确定:计算法和实验法

积分法计算简单形状物体的转动惯量
z
zc
n
J z miri 2 r 2dm i1
o
x
C dx
x
对杆端轴z的转动惯量为
l
J z

l mdx x2 1 ml 2
0l
3
对质心轴zC的转动惯量为l
J zc
2

d 2
dt

J
(P Q)R P R2 Q R2
1 2
g
g
ε2
ω2
R
O2
P
Q
关于质点系动量矩守恒定律 • 当∑Mo( Fi(e) ) = 0 时，有Lo = 常矢量。 • 当∑Mz( Fi(e) ) = 0 时，有Lz = 常量。
例：图示水平圆盘重为P，半径为R，可绕 z 轴转动，动物重 为Q，按S=at2/2的规律沿盘缘行走。若开始时盘的角速度为ωo，
v
d dt
(m1

m2

1 2
M
)r
2


m1
gr

m2 gr
d (m1 m2 )g
dt
(m1

m2

1 2
M
)r
a r 2(m1 m2 ) g
2m1 2m2 M
m1 m1g
m2 m2g
思考题
图示两均质轮质量均为M，半径均为R，
且已知P＞Q，则 ⑴ε1＝ε2
质点系对定轴的动量矩定理
d
dt
d
dt
Lx Ly

n
i 1 n
i 1
M
x
(
Fi
(e)
)

M x (Fi(e) )

d
dt
Lz

n i 1
M
z
(Fi (e)
)

质点系对某定轴的动量矩对时间的一阶导数， 等于作用于质点系的外力对同一轴的矩的代数和。
计算动量矩与力矩时，符号规定应一致
？
C
= (mωl/2)·(l/2)
= mωl2/4
A 如何计算OA杆对O轴的动量矩？
特例：定轴转动刚体的动量矩
z
n
n
Lz M z (mivi ) mivi ri
i1
i1
n
n
mi ri ri miri2
i1
i1
n
令
mi ri 2 J z
i1

Lx

M x (mv)
Lo
y

Ly

M y (mv)
即
Lo
z

Lz

M z (mv)
质点系对某固定点的动量矩矢在通过该点的 轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。
问题：
• 质点系的动量 p =∑mivi = Mvc
• 质点系的动量矩 Lo = M o(Mvc) ？
例 已知无重细杆AB两端各铰接质量为m的小球，系统绕水平
求任意瞬时t，盘的角速度和角加速度。
B
SS 1 at 2 2
ω A
z B XB
P
ω0 A
XA x
研究系统，画受力图。 ∵ ∑Mz(F(e)) = 0
YB ∴ 系统对z轴的动量矩守恒， 即Lz=常量！
∵初瞬时，动物相对于盘速度为零， 只是与盘一起绕z轴转动，
∴系统对z轴的动量矩为
S
Lzo

PR2 2g
(xY yX )k
方向：按右手螺旋规则定。
质点A的动量对固定点O的矩： z
Mo(mv)= r×mv
i
j
k MO(mv)
x y z
o
mvx mvy mvz
x
大小= mv·rsinφ
B
mv φ
A
r
y B'
A' (mv)xy
方位：过O且⊥△OAB；指向：按右手螺旋规则定。
动量对固定轴z的矩： [Mo(mv)]z= M z(mv)
z O
解：沿杆轴线取坐标轴x。
则微元体
mi

m l
dx
vi x sin
x
ri dx
mi
vi

l
Lz 0 mivi x sin l m sin2 x2dx
0l
1 ml 2 sin 2
3
x
质点系的动量矩矢Lo在直角坐标系Oxyz中 的投影为：
Lo
x
Lz=Jzω
根据
d dt
Lz

n i1
M z (Fi(e) )
F1
且轴承反力对z轴的矩为零，所以有
J z
d
dt

n i1
M z (Fi )
F2
或 J z Mz (Fi )
x
z FN1
Fi
Fn
ω
FN2 y
结论：
刚体对定轴的转动惯量与角加速度的乘积，等于 作用于刚体的主动力对该轴的矩的代数和。
2g
(2Q

P)

Q g
Rat
由 Lzo=Lz 得
o
2Qat (P 2Q)R
对上式求导 得
y


d
dt
(P
2Qa 2Q)R
§11-3 刚体绕定轴转动的微分方程
Differential equations for the rotation of a rigid body around a fixed-axis
刚体转动惯量的大小表现了刚体转动状态改变 的难易程度。转动惯量是刚体转动时的惯性度 量。请比较 Jz = ∑Mz 与 m a = ∑F 。
从转动惯量的概念，看飞轮的作用
飞轮通常安装在经常受到冲击的机器上，如往复式 活塞发动机、冲床和剪床等。 制造飞轮时，要求尽可 能将质量分布在轮缘上，以使转动惯量尽可能大， 这 样，机器受到冲击时，角加速度很小，从而可以保持比 较稳定的运转状态。
d (mv) F
zF
B
MO(mv)
mv
dt
MO(F)
rA
等式两边同时与矢径r作矢量积，
o
y
即
r

d dt
(mv)

r

F
x
MO(F)
?
质点的动量矩定理：
d dt
Mo
(mv)

Mo (F )
将上式向直角坐标轴投影，并利用对点的动量矩与对轴的 动量矩的关系，可得
质点对某轴的动量矩 对时间的一阶导数，等于 作用力对于同一轴的矩。
第十一章 动量矩定理
Moment of Momentum Theorem
§11-1 动量矩的概念
z
Concept of moment of momentum
一、质点的动量矩
B
F
回顾：力对点的矩
A
Mo(F)= r×F
i jk
rm
MO(F) o
y
x y z
XYZ
x
( yZ zY )i (zX xZ)j 大小：│Mo(F) │ =2S△OAB
Jz R2 m
转动惯量与质量的比值的平方根， 常用表示。
即
z
Jz m
z
ρz ωm
惯性半径的特点
• 惯性半径仅与物体的形状、尺寸有关，与材料 无关。
• 查机械工程手册中简单几何形状或几何形状已 经标准化的零件的惯性半径，求Jz 。
J z m z 2
惯性半径不是物体的某一具体尺寸
为一体，求Jo
O
解： Jo = Jo 杆+ Jo 盘
l
C1
Jo 杆=
JO盘 J
1 3
m1l
2
c2 m2l 2

1 2
wenku.baidu.com
m2 R 2

m2l
2
C2

Jo

1 3
m1l
2

1 2
m2
R
2
m2l 2
R
§11-2 动量矩定理 Moment of momentum theorem
一、质点的动量矩定理 根据质点的动量定理
o

Q g

o
R

R
Q
o R2 (2Q P)
2g
YA
y
ZA
续：
z B
ε
ω A
x
设瞬时t，盘的角速度为ω，角加速度为ε，
ve vr
动物相对于盘的速度为
vr

ds dt

at
绝对速度为va ve vr R at
∴系统对z轴的动量矩为
SLz

PR2 2g


Q g
va
R

R 2
Jz
d
dt

Mz
或
Jz
d 2
dt 2

Mz
或 J z Mz
刚体绕定轴的转动 微分方程。
根据刚体定轴转动微分方程可知：
作用于刚体的主动力对转轴的矩使刚体转动状态 发生变化；
如果作用于刚体的主动力对转轴的矩的代数和等 于零，则刚体作匀速转动；如 果 主 动 力 对 转 轴 的 矩为常量，则刚体作匀变速转动；
d dt
M
x
(mv)

M
x
(F
)

d dt d dt
M M
y z
(mv) (mv)

M M
y (F )
z (F )
关于质点动量矩守恒
• 当MO( F ) = 0 时，有MO( mv ) = 常矢量。 • 当Mz( F ) = 0 时，有Mz( mv ) = 常量。
思考题： 小球系于线的一端，线穿过铅直小孔，力F将线缓慢 向下拉。开始时，小球以匀速v1沿半径为r1的圆周运动，求当 小球被拉至B处(2r2=r1)时的速度v2 。
⑵ε1＜ε2
⑶ε1＞ ε2
ε1
O1 R
ε2
?
O2
R
P Q
P
Q
对O1轮：
d dt

J11

Q g
R1

R

PR

QR
ε1
1

d1
dt

(P Q)R J Q R2
g
O1 R ω1
P
Q
对O2轮：
d dt

J
2
2

P g
R 2

R

Q g
R 2

R
PR QR