全国高中数学联赛模拟试题
全国高中数学联赛模拟试题及参考答案
全国高中数学联赛训练题(1)第一试一、填空题1.函数3()2731x x f x +=-+在区间[0,3]上的最小值为_____.2.在数列{}n a 中,11a =且21n n n a a a ++=-.若20002000a =,则2010a =_____.3.若集合{|61,}A x x n n N ==-∈,{|83,}B x x n n N ==+∈,则A B 中小于2010的元素个数为_____.4.若方程sin (1)cos 2n x n x n ++=+在π<<x 0上有两个不等实根,则正整数n 的最小值为_____.5.若c b a >>,0=++c b a ,且21,x x 为02=++c bx ax 的两实根,则||2221x x -的取值范围为_____.6.有n 个中心在坐标原点,以坐标轴为对称轴的椭圆的准线都是1x =.若第k (1,2,,)k n = 个椭圆的离心率2k k e -=,则这n 个椭圆的长轴之和为_____.7.在四面体-O ABC 中,若点O 处的三条棱两两垂直,则在四面体表面上与点A 距离为2的点所形成的曲线长度之和为_____.8.由ABC ∆内的2007个点122007,,,P P P 及顶点,,A B C 共2010个点所构成的所有三角形,将ABC ∆分 割成互不重叠的三角形个数最多为_____.二、解答题9.设抛物线22y px =(0)p >的焦点为F ,点A 在x 轴上F 的右侧,以FA 为直径的圆与抛物线在x 轴上方交于不同的两点,M N ,求证:FM FN FA +=.10.是否存在(0,)2πθ∈,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列?并说明理由.11.已知实数123123,,,,,a a a b b b 满足:123123a a a b b b ++=++,122331122331a a a a a a bb b b b b ++=++,且123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤,求证:123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.第二试一、设圆的内接四边形ABCD 的顶点D 在直线,,AB BC CA 上的射影分别为,,P Q R ,且ABC ∠与ADC ∠的平分线交于点E ,求证:点E 在AC 上的充要条件是PR QR =.二、已知周长为1的i i i ABC ∆(1,2)i =的三条边的长分别为,,i i i a b c ,并记2224i i i i i i i p a b c a bc =+++(1,2)i =,求证:121||54p p -<.三、是否存在互不相同的素数,,,p q r s ,使得它们的和为640,且2p qs +和2p qr +都是完全平方数？若存在,求,,,p q r s 的值；若不存在,说明理由.四、对n 个互不相等的正整数,其中任意六个数中都至少存在两个数,使得其中一个能整除另一个.求n 的最小值,使得在这n 个数中一定存在六个数,其中一个能被另外五个整除.全国高中数学联赛训练题(1)参考答案:令3xt =,[0,3]x ∈则3()()271f x g t t t ==-+,[1,27]t ∈,而'()3(3)(3)g t t t =-+.故当[1,3]t ∈时,'()0g t <,()g t 单调递减,当[3,27]t ∈时,'()0g t >,()g t 单调递增.所以当3t =,()g t 取得最小值min ()(3)53g t g ==-,即当1x =时,()f x 取得最小值53-.:设2a t =,则由21n n n a a a ++=-依次写出数列{}n a 的前8项为:1,,1,1,,1,1,t t t t t - - - - .于是易知:该数列是以周期6T =的一个周期数列,故由20002000a =可得20006333222000a a a t ⨯+====,从而2010335661120001999a aa t ⨯===-=-=-,即20101999a =-. :由题意若x A ∈,则5(mod 6)x ≡ ,若x B ∈,则3(mod 8)x ≡ ,故若x AB ∈ ,则11(mod 24)x ≡ ,即若x A B ∈ ,则2411x k =+,于是可得满足题意的元素共有84个.:由已知得11sin 12cos x n x --=---,而1sin 2cos xx---表示上半个单位圆(不包括端点)上的动点(cos ,sin )P x x 与定点(2,1)Q -的斜率k ,要满足题意就要直线PQ 与上半个单位圆(不包括端点)有两个不同的交点,此时4(,1)3k ∈--,从而可得11(0,)3n ∈,故3n >,即正整数n 的最小值为4.:由0=++c b a 知方程02=++c bx ax 有一个实数根为1,不妨设11x =,则由韦达定理可知2c x a=.而c b a >>,0=++c b a ,故0,0a c ><,且a a c c >-->,则122c a -<<-,故2221()44c x a<=<,从而可得2212||[0,3)x x -∈.:设第k 个椭圆的长半轴为k a ,焦半径为k c ,则由题意有21k ka c =,2k k k k ce a -==,故可得2k k a -=,于是可得121222212n n n a a a ----+++=+++=- ,故这n 个椭圆的长轴之和为12(12)22n n---=-.:如图,点,M N 分别在棱,AB AC 上,且2AM AN ==,点,E F 分别在棱,OB OC 上,且1OE OF ==,则2AE AF ==,因此,符合题意的点形成的曲线有:①在面OBC 内,以O 为圆心,1为半径的弧EF ,其长度为2π；②在面AOB 内,以A 为圆心,2为半径的弧EM ,其长度为6π；③在面AOC 内,以A 为圆心,2为半径的弧FN ,其长度为6π；④在面ABC 内,以A 为圆心,2为半径的弧MN ,其长度为23π.所以,所求的曲线长度之和为2326632πππππ+++=.:设三角形最多有n 个,则根据角度相等可得20072n πππ⨯+=⨯,故2200714015n =⨯+=.: 令1122(,),(,)M x y N x y ,设点(,0)A a ,则由(,0)2p F 得12FA a p =-,故以FA 为直径的圆为22222()()44a p a p x y +--+=,则可知12,x x 是方程2222()2()44a p a p x px +--+=的两个实根,即是说12,x x 是方程22(23)0x a p x ap --+=,由韦达定理得1223322a p x x a p -+==-. 故121131()()()2222FM FN x p x p a p p a p FA +=+++=-+=-=,即FM FN FA +=.:当(0,)2πθ∈时,函数s i n y x =与cos y x =的图像关于直线4x π=对称,函数t a n y x =与cot y x =的图像也关于直线4x π=对称,且当4πθ=时,sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的任一排列均不可能成等差数列.故只需考虑是否存在(0,)4πθ∈使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列即可.假设存在(0,)4πθ∈符合题意,则由sin cos tan cot θθθθ<<<可知cot tan cos sin θθθθ-=-,从而有s i n c o s s i n c o s θθθθ+=⋅,故2(sin cos )12sin cos 1sin 2θθθθθ⋅=+⋅=+.而2(sin cos )1θθ⋅<,且1sin 21θ+>,故假设不成立.即,不存在这样的θ,使得sin ,cos ,tan ,cot θθθθ的某一排列成等差数列.:设123123a a a b b b p ++=++=,122331122331a a a a a a bb b b b b q ++=++=,且123a a a r =,123'b b b r =, 则123,,a a a 是函数32()f x x px qx r =-+-的零点,123,,b b b 是函数32()'g x x px qx r =-+-的零点.不妨设123123,a a a b b b ≤≤ ≤≤,则由123min{,,}a a a 123min{,,}b b b ≤知11a b ≤. 而1()0f a =,1111213()()()()0g a a b a b a b =---≤,故11()()g a f a ≤,即3232111111'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-,故3232333333'a pa qa r a pa qa r -+-≤-+-, 即33()()g a f a ≤,也即是33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=.若33a b >,则313233()()()0a b a b a b --->,这与33132333()()()()()0g a a b a b a b f a =---≤=矛盾! 所以有123max{,,}a a a 123max{,,}b b b ≤.:由西姆松定理知,,P Q R 共线.由题意易知,,,C Q D R 四点共圆,则有DCA DQR DQP ∠=∠=∠,同样有,,,A P R D 四点共圆,则有DAC DPR DPQ ∠=∠=∠.故DAC ∆∽DPQ ∆,同理可得:DAB ∆∽DRQ ∆,DBC ∆∽DPR ∆,因此有:PRDB DA DP PR BA BC DC DQ QR BCDB BA⋅===⋅⋅.从而PR QR =的充要条件是DA BABC =.又由角平分线的性质得,ABC ADC ∠∠的平分线分AC 的比分别为,BA DABC DC.故命题成立. :由题意知1i i i a b c ++=,且不妨设i i i a b c ≤≤,则由于三角形的三边关系可得102i i i a b c <≤≤<,即可得312121210(12)(12)(12)()327i i i i i i a b c a b c -+-+-<---≤=.2222222(12)(12)(12)12()4()814()812[()()]812(4)12i i i i i i i i i i i i i i ii i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia b c a b c a b b c c a a b c a b b c c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c p ---=-+++++-=-+++-=-+++-++-=-+++=- 从而可得131272i p ≤<,所以121||54p p -<. :由640p q r s +++=,及,,,p q r s 是不同的素数知,,,p q r s 都是奇数.设2222p qs m p qr n ⎧+=⎪⎨+= ⎪⎩ ①②, 并不妨设s r <,则m n <.由①,②可得()()()()m p m p qsn p n p qr-+=⎧⎨-+=⎩.若1m p ->,则由m p n p n p -<-<+可得m p q n p +==-,故2q m n =+,,s m p r n p =-=+,从而2s r m n q +=+=,故23640p q r s p q q p q +++=++=+=.又由23s m p q p =-=-≥,故可得90p ≤,逐一令p 为不大于90的素数加以验证便知此时无解.若1m p -=,则21qs m p p =+=+,故12qs p -=.而q m p n p <+<+,故,2q n p r n p p q =-=+=+. 故332(1)26402p q r s p q s qs q s +++=++=-++=,即有(32)(34)3857719q s ++==⨯⨯于是得3419,3272s q +=+=⨯,故5,67s q ==,从而167,401p r ==.综上可得167,67,401,5p q r s ====或167,67,5,401p q r s ====. :所求的最小正整数26n =.我们分两步来证明,第一步说明25n ≤不行,我们构造如下的25个正整数:543215432154321543215432122222;33333;55555;7,7777;1111111111,,,,,,,,,,,,,,,,,,,①②③④⑤.如上,我们把这25个正整数分成5组,则任意选取六个数都一定会有两个数在同一组,显然在同一组中的这两个数中的一个能整除另一个；另一方面,由于每一组数只有5个,因此所选的六个数必然至少选自两组数,即是说在所选的六个数中不存在其中一个能被另五个整除的数.所以,当25n =时是不行的.对于25n <,也可类似地证明.第二步说明26n =是可以的.我们首先定义“好数组”.如果一数组中的数都在所给定的26个正整数中,其中最大的一个记为a ,除a 外的25个数中没有a 的倍数,且这25个数中所有a 的约数都在这组数中,那么我们称这个数组为“好数组”.(一个“好数组”中的数可以只有一个).现证这样的“好数组”至多有五个.否则,必存在六个“好数组”,我们考虑这六个“好数组”中的最大数,分别记为,,,,,a b c d e f ,由题知六个数,,,,,a b c d e f 中必然存在一个能整除另一个,不妨记为|b a ,即是说a 的约数b 不在a 所在的“好数组”中,这与“好数组”的定义不符,故“好数组”至多有五个.由于“好数组”至多有五个,而所给的正整数有26个,因此至少存在一个“好数组”中有六个数,考虑这个“好数组”中的最大数,由“好数组”的定义知这个数组中至少另有五个数都能整除该数.综上可得,所求的最小正整数26n =.陕西师范大学附中 王全 710061 wangquan1978@。
全国高中数学联赛模拟试题第一试试题
7、已知复数z1,z2,z3满足|z1|≤1,|z2|≤1,|2z3-(z1+z2)|≤|z1-z2|，则|z3|的最大值与最小值的差为_________。
8、已知平面向量a=( ,-1),b= ，若存在非零实数k和角 ，使得c=a+(tan2α-3)b, d=-ka+(tanα)b，且c d，则k=_________。（用α表示）
以下是答案
一、选择题
1、C．因为 ，所以
又当a1=a2=…=an时，“=”成立，所以λ最大为1。
2、B．当A=B→ ，C→0时，y→-2，设A≥B≥C，则C≤ ，所以sin3C≥0,所以y>-2；又当A=B= 时， ，且y=sin3A+sin3B+sin3C≤ ≤
3、C．记2007=n，往证 当n=2时，显然成立。设当n=k时成立，当n=k+1时，取所有满足p+q=k, (p,q)=1的 的和记为S，所有形如 (p<k, (k,p)=1)的和记为T，则Sk=Sk-1+T-S；再证S=T，在S中任取一个分数 ，T中恰有一对分数 ， 与之对应，而且 ，这样的对应是一一对应，所要Sk-1=Sk，所以
A． B． C． D．
5、若对实数x∈[10,+∞）恒有|logmx|≥2，则m取值范围是_________。
A．（0，1）B． C． D．
6、将20个乒乓球（不加区分）装入5个不同的盒子里，要求不同的盒子中的球数互不相同，且盒子都不空，一共有_______种不同装法。
A．7 B．14 C． D．7×5！
所以所求方程正整数解有7×5！组。故选D。
二、填空题
7、 由|2z3-(z1+z2)|≤|z1-z2|得
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题
全国高中数学联赛省级预赛模拟试题第一卷〔选择题 共60分〕 参考公式1．三角函数的积化与差公式sin α•cos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)],cos α•sin β=21[sin(α+β)-sin(α-β)],cos α•cos β=21[cos(α+β)+cos(α-β)],sin α•sin β=21[cos(α+β)-cos(α-β)].2．球的体积公式V 球=34πR 3〔R 为球的半径〕。
一、选择题〔每题5分，共60分〕1．设在xOy 平面上，0<y ≤x 2,0≤x ≤1所围成图形的面积为31。
那么集合M={(x,y)|x ≤|y|}, N={(x,y)|x ≥y 2| 的交集M ∩N 所表示的图形面积为 A ．32B ．31 C ．1 D ．61 2．在四面体ABCD 中，设AB=1，CD=3，直线AB 及直线CD 的距离为2，夹角为3。
那么四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．31 C ．21D ．33 3．有10个不同的球，其中，2个红球、5个黄球、3个白球。
假设取到一个红球得5分，取到一个白球得2分，取到一个黄球得1分，那么，从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为A ．90B ．100C ．110D ．1204．在ΔABC 中，假设(sinA+sinB)(cosA+cosB)=2sinC ，那么 A ．ΔABC 是等腰三角形，但不一定是直角三角形 B ．ΔABC 是直角三角形，但不一定是等腰三角形 C ．ΔABC 既不是等腰三角形，也不是直角三角形 D ．ΔABC 既是等腰三角形，也是直角三角形5．f(x)=3x 2-x+4, f(g(x))=3x 4+18x 3+50x 2+69x+48.那么，整系数多项式函数g(x)的各项系数与为A ．8B ．9C ．10D ．116．设0<x<1, a,b 为正常数。
那么的最小值是A ．4abB ．(a+b)2C ．(a-b)2D ．2(a 2+b 2)7．设a,b>0，且a 2021+b 2021=a 2006+b 2006。
全国高中数学联赛模拟试卷试题.doc
全国高中数学竞赛模拟试题一、选择题（每题 6 分共 36 分）1. 由 0,1,2,3,4,5六个数字能组成数字不重复且百位数字不是5 的偶数有 [ ] 个A.360B.252C.720D.2402. 已知数列 { a n }(n ≥ 1) 满足 a n 2 = a n 1 - a n ，且 a 2 =1, 若数列的前2020 项之和为 2020，则前2020 项的和等于 [ ] A.2020B.2020C.2020D.20203. 有一个四棱锥，底面是一个等腰梯形，并且腰长和较短的底长都是1，有一个底角是 60 0，又侧棱与底面所成的角都是450 ，则这个棱锥的体积是[ ]A.1B. 3C.3 D.3424. 若 ( 2x 4)2 naa x ax2a+则 a 2 a 4 a 2 n 被 3 除的余数2 2 n x 2n (n ∈ N ),0 1是 [ ] A.0 B.1C.2D.不能确定5. 已知 x, y(2, 2 ) ，且 xy 1 ，则24 的最小值是[ ]2422 xyA 、20B 、12C 、 16 4 2D 、 16 4 277776. 在边长为 12 的正三角形中有 n 个点，用一个半径为 3 的圆形硬币总可以盖住其中的2 个点，则 n 的最小值是 [ ]A.17B.16C.11D.10二、填空题（每题 9 分共 54 分）7. 在锐角三角形 ABC 中，设 tanA,tanB,tanC 成等差数列且函数 f(x) 满足f(cos2C)=cos(B+C-A) ，则 f(x) 的解析是为100 8.[(10i 1)(10i 3)(10i 7)(10i 9)] 的末三位数是 _______i 19. 集合 A 中的元素均为正整数，具有性质：若a A ，则 12- aA ，这样的集合共有 个 .10. 抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴的正半轴上，直线 x+y-1=0 与抛物线相交于 A 、 B 两点，且 |AB|= 86. 在抛物线上是否存在一点 C ，使△ ABC 为正三角形，若存在， C 点的11坐标是.11. 在数列 { a n } 中， a 1 ＝ 2， a nan 11(n N * ) ，设 S n 为数列 { a n } 的前 n 项和，则S 2007 2S 2006S 2005 的值为12. 函数f ( x) 3 1 x x，其中0. 函数 f ( x)在[ 0, ) 上是减函数；的取范是 _____________________. 三、解答题（每题20 分共 60 分）13. 已知点 A 5,0和曲 x2 y 21 2x2 5,y上的点P、P、P n。
全国高中数学联赛试题及答案
全国高中数学联赛试题及答案第一题：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，(a < b)，且在(a, b)内可导。
证明：存在ξ∈(a,b)，使得f(b) - f(a) = (b-a)f'(\xi)解答：根据拉格朗日中值定理，存在c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)所以，我们只需证明c=ξ即可。
由于f(x)在[a, b]上连续，并且在(a, b)内可导，所以内点可导连续定理告诉我们：f(x)在[a, b]上一致连续。
依据一致连续性，对于任意ε>0，存在δ>0，使得对于所有的x',x''∈[a, b]，只要 |x' - x''| < δ，就有 |f(x') - f(x'')| < ε。
考虑到c∈(a, b)，且c=ξ是一个特定值，我们可以取一小段(a,b)中的点序列，使得这个点序列的左右界可以趋近c，同时满足 |x' - x''| < δ。
设这个点序列为{x_n}，那么对应的有一个序列{f'(x_n)}。
根据极限的性质，我们可以得到∃ n→∞，使得x_n→c时，f'(x_n)→ f'(c)。
而由于f'(x)在(a, b)内可导，所以根据导数的定义，也就是f'(c) = lim(x→c) (f(x) - f(c))/(x - c)结合拉格朗日中值定理中的等式f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)我们可以得到：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)所以，c=ξ成立，证毕。
第二题：设a, b, c为正实数，且满足 abc=1。
证明：a/(a^3 + 1) + b/(b^3 + 1) + c/(c^3 + 1) ≤ 3/2解答：根据条件abc=1，可以设 a = x/y, b = y/z, c = z/x (其中x, y, z为正实数)。
全国高中数学联赛模拟试题(三)
全国高中数学联赛模拟试题(三)第一试一、选择题(共36分)1. 化简cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7的值为 ( )A.－1B.1C.－12D.122. S n 和T n 分别是等差数列{a n }和{b n }的前n 项和，且对任意的自然数n 都满足S n T n ＝7n ＋44n ＋27，那么a 11b 11＝ ( )A.43B.74C.32D.7871 3. 直线xcos θ＋y ＋m ＝0(式中θ是△ABC 的最大角)，则此直线的倾斜角变化范围是( )A.(－arctan 12，π4)B.[0，π4)∪(2π3，π)C.[0，π4]D.[0，π4]∪[π－arctan 12，π]4. 设实数m ，n ，x ，y 满足m 2＋n 2＝a ，x 2＋y 2＝b ，其中a ，b 为正常数且a ≠b ，那么mx＋ny 的最大值为 ( )A.a ＋b 2B.abC.2ab a ＋bD.a 2＋b 225. 如图，平面α中有△ABC 和△A 1B 1C 1分别在直线m 的两侧，它们与m 无公共点，并且关于m 成轴对称，现将α沿m 折成一个直二面角，则A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1六个点可以确定的平面个数为 ( ) A.14 B.11 C.17 D.凸n边形的各边为直径作圆，使这个凸n 边形必能被这n个圆面所覆盖，则n 的最大值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题(共54分)6. 已知0＜x ＜π2，log sinx cosx 与log cosx tanx 的首数均为零，尾数和为1，则x ＝_________.7. 设＝n 21a a a 222+++ ，其中a 1，a 2，……，a n 是两两不等的非负整数，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝___________.8. 已知不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤6的解集为{x|a ≤x ≤b}，其中0＜a ＜b，则b ＝___________.9.已知f(x)＝x2＋(lga＋2)x＋lgb，且f(－1)＝－2，f(x)≥2x对一切x∈R都成立，则a＋b＝_____________.10.正四棱台ABCD－A1B1C1D1的高为25，AB＝8，A1B1＝4，则异面直线A1B与B1C的距离为____.11.方程(x2－x－1)x＋2＝1的解集为_________________.三、解答题(共计60分)12.(设f(x)＝(1＋x＋x2)n＝c0＋c1x＋c2x2＋……＋c2n x2n，则c0＋c3＋c6＋……＝c1＋c4＋c7＋……＝c2＋c5＋c8＋……＝3n－1.13.(已知满足不等式lg(x2)＞lg(a－x)＋1的整数x只有一个，试求常数a的取值范围.14.(设y＝f(x)是定义在R上的实函数，而且满足条件：对任意的a，b∈R，有f[af(b)]＝ab，试求|f()|.第二试一、(50分)如图，D ，E ，F 分别为△ABC 的边BC ，CA ，AB 上的点，且∠FDE ＝∠A ，∠DEF ＝∠B ，又设△AFE ，△BDF 和△DEF 均为锐角三角形，他们的垂心分别为H 1，H 2，H 3.求证：(1)∠H 2DH 3＝∠FH 1E ；(2)△H 1H 2H 3≌△DEF.二、(50分)设C 0，C 1，C 2，……是坐标平面上的一族圆(周)，其定义如下：(1)C 0是单位圆x 2＋y 2＝1；(2)任取n ∈Z 且n ≥0，圆C n ＋1位于上半平面y ≥0内及C n 的上方，与C n 外切并且与双曲线x 2－y 2＝1相切于两点，C n 的半径记为r n (n ∈Z 且n ≥0) (1)证明：r n ∈Z ； (2)求r n .三、(50分)称自然数为“完全数”，如果它等于自己的所有(不包括自己)的正约数的和，例如，6＝1＋2＋3，如果大于6的“完全数”可以被3整除，证明，它一定可以被9整除.C全国高中数学联赛模拟试题(三)参考答案 第一试一、选择题 1. Ccos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝∑∑==π+π=π61k e 61k )]7k 2sin i 7k 2(cos [R 217k 2cos 21令z ＝cos 2π7＋isin 2π7，于是z 7＝1则上式＝12(z ＋z 2＋z 3＋z 4＋z 5＋z 6)＝……＝－122. Aa 11b 11＝21a 1121b 11＝S 21T 21＝7×21＋44×21＋27＝43 3. Dθ∈[π3，π)，cos θ∈(－1，12]，则斜率k ∈[－12，1)4. B由柯西不等式ab ＝(m 2＋n 2)(x 2＋y 2)≥(mx ＋ny)2，当mx ＝ny 时取等号，所以mx ＋ny ≤ab5. B三点确定一个平面，但需除去三组四点共面重复的个数，共确定平面个数为3436C 3C -＋3＝11个6. B注意到：当且仅当∠C ≥90°时，△ABC 能被以AB 为直径的圆覆盖.从而易证n ≤4，当n ＝4时，正方形满足条件. 二、填空题 7.arcsin5－12； log sinx cosx ＋log cosx tanx ＝1 ⇒ log sinx cosx ＝12∴ sinx ＝cos 2x ∴ sin 2＋sinx －1＝0 ∴ sinx ＝5－12(负值舍去) 8.44；＝210＋29＋28＋27＋26＋249.4；分情况讨论得：a ＝43，b ＝410.110；f(－1)＝1＋lgb －(2＋lga)＝－2∴ lga ＝lgb ＋1，而(lga)2－4lgb ≤0∴ (lgb －1)2≤0 ∴ lgb ＝1 ∴ b ＝10，a ＝100 11.4105；过B 1作A 1B 的平行线交AB 于E ，转化为求B 点到平面B 1CE 的距离. 12.{－2，－1，0，2}若x 2－x －1＝1，则x ＝2，－1若x 2－x －1＝－1且x ＋2为偶数，得x ＝0若x ＋2＝0且x 2－x －1≠0得x ＝－2 三、13．令ω＝－12＋32i ，则有f ⑴＝c 0＋c 1＋c 2＋c 4＋c 5＋……＋c 2n ＝3n…………………①f(ω)＝c 0＋ωc 1＋ω2c 2＋c 3＋ωc 4＋ω2c 5＋……＋ω2nc 2n ＝0…………………②f(ω2)＝c 0＋ω2c 1＋ωc 2＋c 3＋ω2c 4＋ωc 5＋……＋ω4nc 2n ＝0…………………③①＋②＋③得3(c 0＋c 3＋c 6＋……)＝3n，∴ c 0＋c 3＋c 6＋……＝3n －1.②－①得c 1＋c 4＋c 7＋……＝c 2＋c 5＋c 8＋……于是c 1＋c 4＋c 7＋......＝c 2＋c 5＋c 8＋......＝c 0＋c 3＋c 6＋ (3)，14．∵ x 2＞0，∴ |x|≤1，∴ x ＝－1或0或1x ＝－1时，lg15＞lg(a ＋1)＋1，∴ －1＜a ＜12x ＝0时，lgga ＋1 ∴ 0＜a ＜2x ＝1时，lg15＞lg(a －1)＋l ∴ 0＜a ＜52又因为满足条件的整数x 只有一个，∴ a 的取值范围是(－1，0]∪[12，1]∪[2，52)15．令a ＝1，则f(f(b))＝b ，∴ f(f(x))＝x∴ f(f(f 2(x)))＝f 2(x)∴ f(f(f 2(a)))＝f 2(a)再令a ＝f(b)，则f(f 2(b)＝bf(b)∴ f(f(f 2(b)))＝f(bf(b))＝b 2.∴ f(f(f 2(a)))＝a 2.∴ f 2(a)＝a 2， ∴ |f(a)|＝|a| ∴ f()＝第二试一、⑴∵ H 1为△AEF 的垂心，∴ ∠EH 1F ＝180°－∠A ＝∠B ＋∠C∠H 2DH 3＝180°－∠H 2DB －∠H 3DC ＝180°－(90°－∠B)－(90°－∠C)＝∠B ＋∠C ∴ ∠EH 1F ＝∠H 2DH 3⑵连结FH 2，EH 3，则FH 2⊥BD ，EH 3⊥BC∴ FH 2∥EH 3 由⑴中所证∠EH 1F ＋∠EOF ＝180° ⇒ E ，D ，F ，H 1四点共圆.同理，E ，D ，H 1，H 2四点共圆，H 1，D ，F ，H 3四点共圆，E ，D ，F ，H 1，H 2，H 3六点共圆. 二圆内接四边形EH 2H 3F 中，EH 2∥FH 3， ∴ EF ＝H 2H 3，同理，DE ＝H 1H 3，DF ＝H 1H 2， ∴ △H 1H 2H 3≌△DEF.二、⑴由对称性可知r n 的圆心在y 轴上，设r n 的方程为x 2＋(y －s n )2＝r n 2，其中s n ＝r 0＋2(r 1＋r 2＋……＋r n －1)＋r n .将x 2＝y 2＋1代入其中得 y 2＋1＋y 2＋s n 2－2ys n －r n 2＝0△＝4s n 28S n 2＋8r n 2－8＝0 ⇒ 2r n 2＝S n 2＋2 从而易得r n ＝6r n －1－r n －2，∵ r 0＝1，r 1＝3，∴ 对任意n ∈N ，有r n ∈N (2)由特征根方程可得r n ＝A(3＋22)n＋B(3－22)n，将r 0＝1，r 1＝3代入其中，得r n ＝12[(3＋22)n ＋(3－22)n]三、设“完全数”等于3n ，其中n 不是3的倍数，于是3n 的所有正约数(包括它自己)可以分为若干个形如d 和3d 的“数对”，其中d 不可被3整除，从而3n 的所有正约数的和(它等于6n)是4的倍数，因此是2的倍数.我们注意到，此时32n ，n ，12n 和1是3n的互不相同的正约数，但它们的和等于3n ＋1＞3n ，从而3n 不可能是“完全数”，得到矛盾.。
全国高中数学联赛模拟训练题
全国高中数学联赛模拟试题（七）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、a 、b 是异面直线，直线c 与a 所成的角等于c 与b 所成的角，则这样的直线c 有（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）无数条 2、已知f (x )是R 上的奇函数，g (x )是R 上的偶函数，若f (x )-g (x )=x 2+2x +3，则f (x )+g (x )= （A ）-x 2+2x -3 （B ）x 2+2x -3 （C ）-x 2-2x +3 （D ）x 2-2x +33、已知△ABC ，O 为△ABC 内一点，∠AOB =∠BOC =∠COA =32π，则使AB +BC +CA≥m (AO +BO +CO )成立的m 的最大值是 （A ）2（B ）35（C ）3（D ）234、设x =0.820.5，y =sin1，z =log 37则x 、y 、z 的大小关系是 （A ）x ＜y ＜z（B ）y ＜z ＜x （C ）z ＜x ＜y （D ）z ＜y ＜x5、整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡+31010951995的末尾两位数字是（A ）10（B ）01（C ）00（D ）206、设(a ,b )表示两自然数a 、b 的最大公约数．设(a ,b )=1，则(a 2+b 2,a 3+b 3)为 （A ）1 （B ）2 （C ）1或2 （D ）可能大于2二、填空题：（每小题9分，共54分）1、若f (x )=x 10+2x 9-2x 8-2x 7+x 6+3x 2+6x +1，则f (2-1)= ．2、设F 1、F 2是双曲线x 2-y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，从F 1引∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 的轨迹方程是 ． 3、给定数列{x n }，x 1=1，且nn n x x x -+=+3131，则x 1999-x 601= ．4、 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是CD 中点，F 是BB 1中点，则四面体AD 1EF 的体积是 ．5、在坐标平面上，由条件⎪⎩⎪⎨⎧+-≤--≥321x y x y 所限定的平面区域的面积是 ．6、12个朋友每周聚餐一次，每周他们分成三组，每组4人，不同组坐不同的桌子．若要求这些朋友中任意两个人至少有一次同坐一张桌子，则至少需要 周．三、（20分）已知椭圆12222=+by a x 过定点A (1,0)，且焦点在x 轴上，椭圆与曲线|y |=x的交点为B 、C ．现有以A 为焦点，过B 、C 且开口向左的抛物线，抛物线的顶点坐标M (m ,0)．当椭圆的离心率e 满足1322<<e ，求实数m 的取值范围． 四、（20分）a 、b 、c 均为实数，a ≠b ，b ≠c ，c ≠a ．证明：23≤ac c b b a b a c a c b c b a -+-+--++-++-+222＜2．五、（20分）已知f (x )=ax 4+bx 3+cx 2+dx ，满足（i ）a 、b 、c 、d 均大于0；（ii ）对于任一个x ∈{-2, -1,0,1,2}，f (x )为整数；（iii ）f (1)=1,f (5)=70． 试说明，对于每个整数x ，f (x )是否为整数．第二试一、（50分）设K 为△ABC 的内心，点C 1、B 1分别为边AB 、AC 的中点，直线AC 与C 1K 交于点B 2，直线AB 于B 1K 交于点C 2．若△AB 2C 2于△ABC 的面积相等，试求∠CAB ．二、（50分）设5sin i 5cos ππ+=w ，f (x )=(x -w )(x -w 3)(x -w 7)(x -w 9)．求证：f (x )为一整系数多项式，且f (x )不能分解为两个至少为一次的整系数多项式之积．三、（50分）在圆上有21个点．求在以这些点为端点组成的所有的弧中，不超过120°的弧的条数的最小值．参考答案第一试二、填空题：1、4；2、x 2+y 2=4；3、0；4、24；5、16；6、5．三、⎪⎪⎭⎫⎝⎛+423,1．四、证略．五、是．第二试一、60°；二、证略．三、100．全国高中数学联赛模拟试题（八）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设log a b 是一个整数，且2log log 1log a b bb a a>>，给出下列四个结论 ①21a b b>>；②log a b +log b a =0；③0＜a ＜b ＜1；④ab -1=0． 其中正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42、若△ABC 的三边长a 、b 、c 满足⎩⎨⎧=+-+=---03220222c b a c b a a ，则它的最大内角度数是（A ）150°（B ）120°（C ）90°（D ）60°3、定长为l （a b l 22>）的线段AB 的两端点都在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），则AB 中点M 的横坐标的最小值为（A ）222b a al + （B ）222b a l a ++（C ）()2222b a a l a +- （D ）()2222ba a l a ++ 4、在复平面上，曲线z 4+z =1与圆|z |=1的交点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）35、设E ={(x ,y )|0≤x ≤2,0≤y ≤2}、F ={(x ,y )|x ≤10,y ≥2,y ≤x -4}是直角坐标平面上的两个点集，则集合G =()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++F y x E y x y y x x 22112121,,,2,2所组成的图形面积是 （A ）6 （B ）2π （C ）6.5 （D ）76、正方形纸片ABCD ，沿对角线AC 对折，使D 在面ABC 外，这时DB 与面ABC 所成的角一定不等于 （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）90°二、填空题：（每小题9分，共54分）1、已知24πα=，则αααααααααααc o s s i n c o s 2c o s s i n 2c o s 3c o s s i n 3c o s 4c o s s i n +++的值等于 ．2、2004321132112111+++++++++++ = ． 3、在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，以C 为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB 内，且椭圆过A 、B 点，则这个椭圆的离心率等于 ．4、从{1,2,3,…,20}中选出三个数，使得没有两个数相邻，有 种不同的选法．5、设a 、b 均为正数，且存在复数z 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+=⋅+1iz b a z z z ，则ab 的最大值等于 ．6、使不等式137158<+<k n n 对惟一的一个整数k 成立的最大正整数n 为 ． 三、（20分）已知实数x 、y 满足x 2+y 2≤5．求f (x ,y )=3|x +y |+|4y +9|+|7y -3x -18|的最大值与最小值． 四、（20分）经过点M (2,-1)作抛物线y 2=x 的四条弦P i Q i (i =1,2,3,4)，且P 1、P 2、P 3、P 4四点的纵坐标依次成等差数列．求证：44332211MQ MP MQ M P MQ M P MQ M P ->-．五、（20分）n 为正整数，r ＞0为实数．证明：方程x n +1+rx n -r n +1=0没有模为r 的复数根．第二试一、（50分）设C (I )是以△ABC 的内心I 为圆心的一个圆，点D 、E 、F 分别是从I 出发垂直于边BC 、CA 和AB 的直线C (I )的交点．求证：AD 、BE 和CF 三线共点．二、（50分）非负实数x 、y 、z 满足x 2+y 2+z 2=1．求证：1≤xyzzx y yz x +++++111≤2． 三、（50分）对由n 个A ，n 个B 和n 个C 排成的行，在其下面重新定义一行（比上面一行少一个字母），若其头上的两个字母不同，则在该位置写上第三个字母；若相同，则写上该字母．对新得到的行重复上面的操作，直到变为一个字母为止．下面给出了n =2的一个例子．A CBC B A B A A A C C A A B B A C C B A求所有的正整数n ，使得对任意的初始排列，经上述操作后，所得的大三角形的三个顶点上的字母要么全相同，要么两两不同．参考答案第一试、112．三、最大值5627+，最小值10327-．四、证略．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、 n =1．全国高中数学联赛模拟试题（九）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=10n i i a 等于（A ）2 （B ）-1（C ）1 （D ）04、已知α、β是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且α是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A 的值是 （A ）3 （B ）-3 （C ）4（D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、θ∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、θ，F (a ,θ)的最大值和最小值分别是 ．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ．6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数． 五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1． 第二试一、（50分）已知△ABC 中，内心为I ，外接圆为⊙O ，点B 关于⊙O 的对径点为K ，在AB 的延长线上取点N ，CB 的延长线上取M ，使得MC =NA =s ，s 为△ABC 的半周长．证明：IK ⊥MN ． 二、（50分）M 是平面上所有点(x ,y )的集合，其中x 、y 均是整数，且1≤x ≤12，1≤y ≤13．证明：不少于49个点的M 的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴． 三、（50分）实系数多项式f (x )=x 3+ax 2+bx +c 满足b ＜0，ab =9c ．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k ,k )或(3m +2,2)（m ∈N +）． 三、332．四、7．五、证略． 第二试一、证略；二、证略．三、 有．全国高中数学联赛模拟试题（十）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设集合M ={-2,0,1}，N ={1,2,3,4,5}，映射f ：M →N 使对任意的x ∈M ，都有x +f (x )+xf (x )是奇数，则这样的映射f 的个数是（A ）45 （B ）27 （C ）15 （D ）11 2、已知sin2θ=a ，cos2θ=b ，0＜θ＜4π，给出⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ值的五个答案： ①ab-1； ②ba-1； ③ab+1； ④b a +1；⑤11-++-b a b a ．其中正确的是：（A ）①②⑤ （B ）②③④ （C ）①④⑤ （D ）③④⑤3、若干个棱长为2、3、5的长方体，依相同方向拼成棱长为90的正方体，则正方体的一条对角线贯穿的小长方体的个数是 （A ）64 （B ）66 （C ）68 （D ）704、递增数列1,3,4,9,10,12,13,…，由一些正整数组成，它们或者是3的幂，或者是若干个3的幂之和，则此数列的第100项为 （A ）729 （B ）972 （C ）243 （D ）9815、14951C C C C +++++m nnnn（其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=41n m ，[x ]表示不超过x 的最大整数）的值为 （A ）4cos2πn n（B ）4sin2πn n （C ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4cos 22211πn n n（D ）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4sin 22211πn n n6、一个五位的自然数abcde 称为“凸”数，当且仅当它满足a ＜b ＜c ，c ＞d ＞e （如12430，13531等），则在所有的五位数中“凸”数的个数是（A ）8568 （B ）2142 （C ）2139 （D ）1134二、填空题：（每小题9分，共54分）1、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH （λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是 ．2、已知异面直线a 、b 所成的角为60°，过空间一点P 作与a 、b 都成角α（0＜α＜90°）的直线l ，则这样的直线l 的条数是f (α)= ．3、不等式()92211422+<+-x xx 的解集为 ．4、设复数z 满足条件|z -i|=1，且z ≠0，z ≠2i ，又复数ω使得i2i 2-⋅-z zωω为实数，则复数ω-2的辐角主值的取值范围是 ． 5、设a 1,a 2,…,a 2002均为正实数，且21212121200221=++++++a a a ，则a 1a 2…a 2002的最小值是 ．6、在一个由十进制数字组成的数码中，如果它含有偶数个数字8，则称它为“优选”数码（如12883，787480889等），否则称它为“非优选”数码（如2348756，958288等），则长度不超过n （n 为自然数）的所有“优选”数码的个数之和为 ．三、（20分）已知数列{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，且前n 项和为S n ．（1） 用S n 表示S n +1；（2） 是否存在自然数c 和k ，使得cS cS k k --+1＞2成立． 四、（20分）设异面直线a 、b 成60°角，它们的公垂线段为EF ，且|EF |=2，线段AB的长为4，两端点A 、B 分别在a 、b 上移动．求线段AB 中点P 的轨迹方程． 五、（20分）已知定义在R +上的函数f (x )满足（i ）对于任意a 、b ∈R +，有f (ab )=f (a )+f (b )；（ii ）当x ＞1时，f (x )＜0；（iii ）f (3)=-1．现有两个集合A 、B ，其中集合A ={(p ,q )|f (p 2+1)-f (5q )-2＞0，p 、q ∈R +}，集合B ={(p ,q )|f (qp )+21=0，p 、q ∈R +}．试问是否存在p 、q ，使∅≠B A ，说明理由．第二试一、（50分）如图，AM 、AN 是⊙O 的切线，M 、N 是切点，L 是劣弧MN 上异于M 、N 的点，过点A 平行于MN 的直线分别交ML 、NL 于点Q 、P ．若P O Q O S S △⊙32π=，求证：∠POQ =60°．二、（50分）已知数列a 1=20，a 2=30，a n +2=3a n +1-a n （n ≥1）．求所有的正整数n ，使得1+5a n a n +1是完全平方数．三、（50分）设M 为坐标平面上坐标为(p ·2002,7p ·2002)的点，其中p 为素数．求满足下列条件的直角三角形的个数：（1） 三角形的三个顶点都是整点，而且M 是直角顶点； （2） 三角形的内心是坐标原点．参考答案第一试QC B A x y O x y O O O x y x y1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,33； 2、()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧︒<<︒︒=︒<<︒︒=︒<<︒=900,460,36030,230,1300,0ααααααf ；3、⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡-845,00,21 ；4、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-ππ,34arctan ；5、40022002； 6、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++63142789102111n n ． 三、（1）2211+=+n n S S ； （2）不存在．四、1922=+y x ．五、不存在． 第二试一、证略；二、n =3．三、 p ≠2,7,11,13时，324个；p =2时，162个；p =7,11,13时，180个．2007年全国高中数学竞赛模拟试卷 一、选择题1、二次函数b ax y +=2与一次函数)(b a b ax y >+=在同一个直角坐标系的图像为（ ）2、已知数列{}n a 满足)(,,*1221N n a a a b a a a n n n ∈-===++。
全国高中数学联赛一试模拟试题
(考试时间：80分钟满分：120分)
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.函数 的值域是___________
2.设a,b,c为RT△ACB的三边长,点(m,n)在直线ax+by+c=0上.则m2+n2的最小值是___________
3.若 ，且 为正整数，则
(考试时间：80分钟满分：120分)
1、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
1.集合 , , ,则 的取值范围是___________
2.某人投两次骰子,先后得到点数 ,用来作为一元二次方程 的系数,则使方程有
实根的概率为______________
3.过四面体 的顶点 作半径为 的球，该球与四面体 的外接球相切
6．对于每个大于等于2的整数 ，令 表示 在区间 上不同解的个数，
表示 在区间 上不同解的个数，则 =____________
7．在平面直角坐标系中，定义点P(x1,y1),Q(x2,y2)之间的“直角距离”为d(P,Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|
若C(x,y)到点A(1, 3),B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x,y满足0≤x≤10, 0≤y≤10，
B队三名队员是B1,B2,B3,，且 对 的胜率为 (1≤i,j≤3)，A队得分期望的最大可能值是________.
7.△ABC的三边长分别为13, 14, 15,有4个半径同为 的圆O,O1,O2,O3放在△ABC内，并且⊙O1与
边AB、AC相切，⊙O2与边BA、BC相切，⊙O3与边CB、CA相切，⊙O与⊙O1,O2,O3相切,
一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)
高中数学竞赛模拟试题(含详细答案)高中数学竞赛试题（模拟）一、选择题：共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若f(x)-g(x)=x+9x+12，则f(x)+g(x)=（。
）。
A。
-x+9x-12B。
x+9x-12C。
-x-9x+12D。
x-9x+122.有四个函数：①y=sinx+cosx②y=sinx-cosx③y=sinxcosx④y=（空缺）其中在(x,y)上为单调增函数的是（。
）。
A。
①B。
②C。
①和③D。
②和④3.方程x+x-1=xπ2的解集为A（其中π为无理数，π=3.141…，x为实数），则A中所有元素的平方和等于（。
）。
A。
B。
C。
1D。
44.已知点P(x,y)满足(x-4cosθ)+(y-4sinθ)=4（θ∈R），则点P(x,y)所在区域的面积为（。
）。
A。
36πB。
32πC。
20πD。
16π5.将10个相同的小球装入3个编号为1、2、3的盒子（每次要把10个球装完），要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法种数为（。
）。
A。
9B。
12C。
15D。
186.已知数列{an}为等差数列，且S5=28，S10=36，则S15等于（。
）。
A。
807.已知曲线C：y=-x2-2x与直线l:x+y-m=0有两个交点，则m的取值范围是（。
）。
A。
(-2-1,2)B。
(-2,2-1)C。
[,2-1)D。
(,2-1)8.过正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1的截面面积为S，Smax和Smin分别为S的最大值和最小值，则Smax/Smin的值为（。
）。
A。
B。
C。
D。
9.设x=.82,y=sin1,z=log2237，则x、y、z的大小关系为（。
）。
A。
x<y<zB。
y<z<xC。
z<x<yD。
z<y<x10.如果一元二次方程x-2(a-3)x-b+9=0中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=（。
全国高中数学联赛模拟试题第九卷附答案
全国高中数学联赛模拟试题（九）第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、已知n 、s 是整数．若不论n 是什么整数，方程x 2-8nx +7s =0没有整数解，则所有这样的数s 的集合是 （A ）奇数集 （B ）所有形如6k +1的数集 （C ）偶数集 （D ）所有形如4k +3的数集2、某个货场有1997辆车排队等待装货，要求第一辆车必须装9箱货物，每相邻的4辆车装货总数为34箱．为满足上述要求，至少应该有货物的箱数是（A ）16966 （B ）16975 （C ）16984 （D ）17009 3、非常数数列{a i }满足02121=+-++i i i i a a a a ，且11-+≠i i a a ，i =0,1,2,…,n ．对于给定的自然数n ，a 1=a n +1=1，则∑-=10n i i a 等于（A ）2 （B ）-1（C ）1 （D ）04、已知α、β是方程ax 2+bx +c =0（a 、b 、c 为实数）的两根，且α是虚数，βα2是实数，则∑=⎪⎪⎭⎫⎝⎛59851k kβα的值是（A ）1 （B ）2（C ）0（D ）3i5、已知a +b +c =abc ，()()()()()()abb a acc a bcc b A 222222111111--+--+--=，则A的值是 （A ）3（B ）-3（C ）4 （D ）-46、对x i ∈{1,2,…,n }，i =1,2,…,n ，有()211+=∑=n n x ni i ，x 1x 2…x n =n ！，使x 1,x 2,…,x n ，一定是1,2,…,n 的一个排列的最大数n 是 （A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9二、填空题：（每小题9分，共54分）1、设点P 是凸多边形A 1A 2…A n 内一点，点P 到直线A 1A 2的距离为h 1，到直线A 2A 3的距离为h 2，…，到直线A n -1A n 的距离为h n -1，到直线A n A 1的距离为h n ．若存在点P 使nn h a h a h a +++ 2211（a i =A i A i +1，i =1,2,…,n -1，a n =A n A 1）取得最小值，则此凸多边形一定符合条件 ．2、已知a 为自然数，存在一个以a 为首项系数的二次整数系数的多项式，它有两个小于1的不同正根．那么，a 的最小值是 ．3、已知()2cos 22sin 2,22++++=θθθa a a a a F ，a 、θ∈R ，a ≠0．那么，对于任意的a 、θ，F (a ,θ)的最大值和最小值分别是 ．4、已知t ＞0，关于x 的方程为22=-+x t x ，则这个方程有相异实根的个数情况是 ．5、已知集合{1,2,3,…,3n -1,3n }，可以分为n 个互不相交的三元组{x ,y ,z }，其中x +y =3z ，则满足上述要求的两个最小的正整数n 是 ． 6、任给一个自然数k ，一定存在整数n ，使得x n +x +1被x k +x +1整除，则这样的有序实数对(n ,k )是（对于给定的k ） ．三、（20分）过正方体的某条对角线的截面面积为S ，试求最小最大S S 之值．四、（20分）数列{a n }定义如下：a 1=3，a n =13-n a （n ≥2）．试求a n （n ≥2）的末位数．五、（20分）已知a 、b 、c ∈R +，且a +b +c =1．证明：2713≤a 2+b 2+c 2+4abc ＜1．第二试一、（50分）已知△ABC中，内心为I，外接圆为⊙O，点B关于⊙O的对径点为K，在AB的延长线上取点N，CB的延长线上取M，使得MC=NA=s，s为△ABC的半周长．证明：IK⊥MN．二、（50分）M是平面上所有点(x,y)的集合，其中x、y均是整数，且1≤x≤12，1≤y≤13．证明：不少于49个点的M的每一个子集，必包含一个矩形的4个顶点，且此矩形的边平行于坐标轴．三、（50分）实系数多项式f(x)=x3+ax2+bx+c满足b＜0，ab=9c．试判别此多项式是否有三个不同的实根，说明理由．参考答案第一试二、填空题：1、该凸多边形存在内切圆；2、5；3、32+，32-；4、9；5、5，8；6、(k,k)或(3m+2,2)（m∈N+）．三、332．四、7．五、证略．第二试一、证略；二、证略．三、有．。
2024年全国高中数学联赛(浙江预赛)试题参考答案
2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题参考答案和评分标准本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A x x−=≤ − 集合2{20}Bx x x m =++≤。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。
答案 3m ≤− 解 集合11,2A xx=<≤要使A B ⊆，则21210m +×+≤，解得3m ≤−。
2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 []()1()f f x f x −=，则这样的函数有_______个. 答案：10 解 令()1{1,2,3}yf x =−∈，则()1f y y =+。
对(1)2f =以下三种情况都满足条件(2)(3)2;(2)(3)3;(2)(3)4f f f f f f ======，共3种。
同理对(2)3,(1)(3)f f f ==有3种情况；(3)4,(1)(2)f f f ==也有3种情况。
又(1)2,(2)3,(3)4f f f ===显然满足条件。
所以满足已知条件的函数共有331×+= 10个。
（可以看出这种映射的限制仅在值域上，因此也可对值域大小分类讨论。
）3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。
答案：34解 令sin ,11t x t =−≤≤ ，原式变形11,1y t t=++当0t ≠时13,22y ≤≤。
当0t =时，1y =。
所以y 的最大、最小值分别为3122，，其积为34。
4.已知数列{}n x满足：111n x x x n +=≥，则通项n x =__________。
答案解 将已知条件变形得22111111n n x x n n +−=−+，将上式从1到n 叠加得到 2211111n x x n−=−，即n x =。
5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，若1,60BC BDC =∠= ，球心到平面BDC 的距离为______________。
高中数学竞赛模拟题(十六套)
高中数学竞赛模拟题(十六套)高中数学竞赛模拟题(十六套)第一套：代数高中数学竞赛中，代数是一个重要的考察内容。
在这个模拟题的第一套中，我们将考察代数的基本概念和运算技巧。
请同学们认真阅读并解答以下题目。
1. 已知函数 $f(x) = ax^2 + 3x + b$，且函数 $f(x)$ 的图像经过点 $(-2, -1)$ 和 $(1, 4)$。
求常数 $a$ 和 $b$ 的值。
2. 某数列的前3项依次为 $a_1 = 2$，$a_2 = 5$，$a_3 = 9$。
已知数列满足递推式 $a_{n+1} = 2a_n - a_{n-1} + 1$，其中 $n \geq 2$。
求数列的第 $n$ 项 $a_n$ 的表达式。
3. 解方程组：$\begin{cases}2x - 3y = 5 \\4x + 2y = 10\end{cases}$第二套：几何几何在高中数学竞赛中也占据重要的位置。
在这个模拟题的第二套中，我们将考察几何的基本概念和解题技巧。
请认真阅读并解答以下题目。
1. 在平面直角坐标系中，直线 $l$ 过点 $A(3, 2)$，且与直线 $x - 3y - 1 = 0$ 平行。
求直线 $l$ 方程。
2. 在三角形 $ABC$ 中，已知 $\angle BAC = 30^\circ$，点 $D$ 在边$AC$ 上，且 $\angle BDC = 90^\circ$。
若 $BD = 2$，$DC = 4$，求三角形 $ABC$ 的面积。
3. 已知四边形 $ABCD$ 中，$AB = AD$，$BC = CD$，$AC$ 为对角线，且 $\angle ACB = 70^\circ$。
求 $\angle BAC$ 的度数。
第三套：数列与数表数列与数表也是高中数学竞赛的考察内容之一。
在这个模拟题的第三套中，我们将考察数列与数表的基本性质和求解能力。
请认真阅读并解答以下题目。
1. 求限制条件为 $a_n < 100$ 的等差数列 $\{a_n\}$ 的第 $n$ 项的表达式，已知数列的公差为 5。
全国高中数学联赛模拟试题(三)(附答案)
全国高中数学联赛模拟试题(三) 第一试一、选择题：（每小题6分，共36分）1、 若集合S ＝{n |n 是整数，且22n ＋2整除2003n ＋2004}，则S 为（A ）空集∅ （B ）单元集 （C ）二元集 （D ）无穷集2、 若多项式x 2－x ＋1能除尽另一个多项式x 3＋x 2＋ax ＋b （a 、b 皆为常数）．则a ＋b等于（A ）0 （B ）－1 （C ）1 （D ）23、 设a 是整数，关于x 的方程x 2＋(a －3)x ＋a 2＝0的两个实根为x 1、x 2，且tan(arctanx 1＋arctan x 2)也是整数．则这样的a 的个数是（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）44、 设一个四面体的体积为V 1，且它的各条棱的中点构成一个凸多面体，其体积为V 2．则12V V 为 （A ）21 （B ）32 （C ）常数，但不等于21和32 （D ）不确定，其值与四面体的具体形状有关5、 在十进制中，若一个至少有两位数字的正整数除了最左边的数字外，其余各个数字都小于其左边的数字时，则称它为递降正整数．所有这样的递降正整数的个数为（A ）1001 （B ）1010 （C ）1011 （D ）10136、 在正方体的8个顶点中，能构成一个直角三角形的3个顶点的直角三点组的个数是（A ）36 （B ）37 （C ）48 （D ）49二、填空题：（每小题9分，共54分）1、 若直线x cos ＋y sin ＝cos 2－sin 2（0＜＜＝与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则的取值范围是 ．2、 在平面直角坐标系xOy 中，一个圆经过(0,2)、(3,1)，且与x 轴相切．则此圆的半径等于 ．3、 若常数a 使得关于x 的方程lg(x 2＋20x )－lg(8x －6a －3)＝0有惟一解．则a 的取值范围是 ．4、 f (x )＝82x ＋x cos x ＋cos(2x )(x ∈R )的最小值是 ． 5、 若k 是一个正整数，且2k整除20034006400624006124006040063C 3C 3C C +++++ i i 则k 的最大值为 ．6、 设ABCD 为凸四边形，AB ＝7，BC ＝4，CD ＝5，DA ＝6，其面积S 的取值范围是(a ,b ] ．则a ＋b ＝ ．三、（20分）设椭圆的左右焦点分别为F 1、F 2，左准线为l ，点P 在椭圆上．作PQ ⊥l ，Q 为垂足．试问：对于什么样的椭圆，才存在这样的点P ，使得PQF 1F 2为平行四边形？说明理由（答案用关于离心率e 的等式或不等式来表示）．四、（20分）设a 0＝1，a 1＝2，a n +1＝2a n -1＋n ，n ＝1,2,3,…．试求出a n 的表达式（答案用有限个关于n 的式子相加的形式表示，且项数与n 无关）．五、（20分）试求出所有的有序整数对(a ,b )，使得关于x 的方程x 4＋(2b －a 2)x 2－2ax ＋b 2－1＝0的各个根均是整数．第二试一、（50分）点P 在△ABC 内，且∠BAP ＝∠CAP ，连结BP 并延长交AC 于点Q ．设∠BAC ＝60°，且PQPC BP 111=+． 求证：P 是△ABC 的内心．二、（50分）设正数a 、b 满足2ba >且使得关于x 的不等式1-x ≥b x a -+1总有实数解．试求f (a ,b )＝a 2－3ab ＋b 2的取值范围．三、（50分）试求出正整数k 的最小可能值，使得下述命题成立：对于任意的k 个整数a 1,a 2,…,a k（允许相等），必定存在相应的k 的整数x 1,x 2,…,x k （也允许相等），且|x i |≤2(i ＝1,2,…,k )，|x 1|＋|x 2|＋…＋|x k |≠0，使得2003整除x 1a 1＋x 2a 2＋…＋x k a k ．参考答案第一试二、填空题：1、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,323,6ππππ ； 2、5615±； 3、⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,6163； 4、－1；5、2004；6、2102．三、⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,21e ．四、a 2n ＝2n +2－2n －3；a 2n +1＝3×2 n +1－2n －4．五、(a ,b )＝(2l ―1,l 2―l ―1)(∀l ∈Z )第二试一、证略（提示：将条件变形为PQPC PB PA PA PC =+⋅1，然后应用正弦定理，进行三角变换，得∠BPC ＝120°，利用同一法即证）；二、(－∞，－1)．三、k min ＝7．。
全国高中数学联赛模拟试题2
AA 1 11 图1全国高中数学联赛模拟试题（二）（命题人：江厚利 审题人：李潜）第一试一、选择题（每小题6分，共36分）1、已知集合()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=--=123,a x y y x A ，()()(){}1511,2=-+-=y a x a y x B ．若∅=B A ，则a 的所有取值是 （A ）－1，1 （B ）－1，21（C ）±1，2（D ）±1，－4，25 2、如图1，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，点M 、N 分别在AB 1、BC 1上，且AM ＝BN ．那么， ①AA 1⊥MN ； ②A 1C 1∥MN ； ③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1；④MN 与A 1C 1异面． 以上4个结论中，不正确的结论的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43、用S n 与a n 分别表示区间[)1,0内不含数字9的n 位小数的和与个数．则nnn S a ∞→lim 的值为 （A ）43 （B ）45 （C ）47 （D ）49 4、首位数字是1，且恰有两个数字相同的四位数共有 （A ）216个 （B ）252个 （C ）324个 （D ）432个 5、对一切实数x ，所有的二次函数()c bx ax x f ++=2（a ＜b ）的值均为非负实数．则cb a ab ++-的最大值是（A ）31 （B ）21（C ）3 （D ）26、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定（A ）相交 （B ）相切（C ）相离 （D ）以上情况均有可能二、填空题（每小题9分，共54分）1、已知复数i 21+=z ，()1121i 2i2z z z -++=．若△ABC 的3个内角∠A 、∠B 、∠C 依次成等差数列，且2icos 2cos 2CA u +=，则2z u +的取值范围是 ． 2、点P (a ,b )在第一象限内，过点P 作一直线l ，分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点．那么，P A 2＋PB 2取最小值时，直线l 的斜率为 ．3、若△ABC 是钝角三角形，则arccos(sin A )＋arccos(sin B )＋arccos(sin C )的取值范围是 ．4、在正四面体ABCD 中，点M 、P 分别是AD 、CD 的中点，点N 、Q 分别是△BCD 、△ABC 的中心．则直线MN 于PQ 的夹角的余弦值为 ．5、在()122++n x 的展开式中，x 的幂指数是整数的各项系数之和是 ．6、集合A 、B 、C （不必两两相异）的并集A ∪B ∪C ＝{1,2,3,…,n }．则满足条件的三元有序集合组(A ,B ,C )的个数是 ．三、（20分）设p ＞0，当p 变化时，C p ：y 2＝2px 为一族抛物线，直线l 过原点且交C p 于原点和点A p ．又M 为x 轴上异于原点的任意点，直线MA p 交C p 于点A p 和B p ．求证：所有的点B p 在同一条直线上．四、（20分）对于公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }，求证：数列中不同两项之和仍是这一数列中的一项的充要条件是存在整数m ≥－1，使a 1＝md ．五、（20分）求最大的正数λ，使得对任意实数a 、b ，均有()222b a b a +λ≤()322b ab a ++．第二试一、（50分）如图2，⊙O 切△ABC 的边AB 于点D ，切边AC 于点C ，M 是边BC 上一点，AM 交B图2CD 于点N ．求证：M 是BC 中点的充要条件是ON ⊥BC ．二、（50分）求出能表示为()abcc b a n 2++=（a 、b 、c ∈Z +）的所有正整数n ．三、（50分）在一个()()1212-⨯-n n （n ≥2）的方格表的每个方格内填入1或－1，如果任意一格内的数都等于与它有公共边的那些方格内所填数的乘积，则称这种填法是“成功”的．求“成功”填法的总数．参考答案第一试二、填空题：1、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡25,22； 2、aab -； 3、⎪⎭⎫⎝⎛23,2ππ；4、181；5、21312++n ；6、7n ．三、证略． 四、证略．五、427max =λ．第二试一、证略；二、1,2,3,4,5,6,8,9．三、1种（每空填1）．。
全国高中数学联赛模拟卷(6)(一试+二试 附详细答案)
全国高中数学联赛模拟试题(6)一试一、填空题（每小题8分，共64分）1. 设函数32()3614f x x x x =+++，且()1f a =，()19f b =，则a b += ．2. 圆内接四边形,1,2,3, 4.ABCD AB BC CD DA ====则此圆的半径为 ．3. 函数xx xx y cos sin 1cos sin ++=的值域是 ．4. 函数 y =的最大值是 ．5. 设22()53196|53196|f x x x x x =-++-+，则(1)(2)+(50)f f f ++⋅⋅⋅的值为 ．6. 已知椭圆2221(1)x y a a +=>，Rt ABC ∆以()0,1为直角顶点，边,AB BC 与椭圆交于两点,.B C 若ABC ∆面积的最大值为278，则a 的值为 ． 7. 如果正整数a 的各位数字之和等于5，那么称a 为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列123,,,,a a a 若2012,n a =则3n a = ．8. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的25个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 种（用数字作答）.二、解答题（共56分）9. (16分)已知椭圆的两个焦点为12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆与直线y x =. （1）求椭圆的方程；（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值.P n10．(20分) 在xoy 平面上有一系列点111222(,),(,),(,),n n n P x y P x y P x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅,对每个正整数n ,点n P 位于函数2(0)y x x =≥的图象上．以点n P 为圆心的⊙n P 与x 轴都相切，且⊙n P 与⊙1n P +彼此外切．若11x =,且1n n x x +<（*n N ∈）． （1）求证：数列1{}nx 是等差数列； （2）设⊙n P 的面积为n S，n T =求证：对任意*n N ∈，均有n T <．11. (20分) 设0,0,0,x y z >>>求证：333.2x y z xy yz zxx y y z z x ++++≥+++二试一．（40分）设a 、b 、c 为正实数，证明：()()()()3525252333aa b b c c a b c -+-+-+≥++.二．（40分）设O 和I 分别为ABC ∆的外心和内心，ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别相切于点,,D E F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点,M N 分别为线段,PE QF 的中点，求证：OI MN ⊥.三．（50分）若三元正整数组(,,)a b c 满足a b c ≤≤，(,,)1a b c =且()|n n n a b c a b c ++++，则称(,,)a b c 为“n -幂次”的.例如：（1，2，2）是“5-幂次”的.（1）求所有的三元组，使得对所有1n ≥，该数组是“n -幂次”的.（2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”的和“2010-幂次”的但不是“2012-幂次”的.四．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.全国高中数学联赛模拟试题参考答案一试一、填空题（每小题8分，共64分） 1．-2.解：由()()332()361413110f x x x x x x =+++=++++，令3()3g y y y =+，则()g y 为奇函数且单调递增.而()()3()131101f a a a =++++=, ()()3()1311019f b b b =++++=,所以(1)9g a +=-,(1)9g b +=,(1)9g b --=-,从而(1)(1)g a g b +=--,即11a b +=--, 故2a b +=-.2.24. 解：连BD ，设BAD θ∠=，那么BCD πθ∠=-，设四边形外接圆半径为R.ABD ∆中，由余弦定理知22214214cos 178cos BD θθ=+-⨯⨯=-BCD ∆中，由余弦定理知22223223cos()1312cos BD πθθ=+-⨯⨯-=+这样由178cos 1312cos θθ-=+解出1cos ,sin 5θθ==所以5BD ==. 在ABD ∆中，由正弦定理，2sin BD R θ==，从而得到R =.3. 11,11,22⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎪ ⎣⎭⎝⎦.解：设=sin +cos ++.224t x x x x x π⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为-1s i n +1,4x π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以.22≤≤-t 又因为2=1+2sin cos ,t x x 所以2-1sin cos =2t x x ,所以2-11-1==212t t y t ⨯+，所以.212212-≤≤--y 因为-1t ≠，所以121-≠-t ，所以-1y ≠.所以函数值域为.212,11,212⎥⎦⎤⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-+-∈ y4. 解：函数的定义域为[15]，，且0y ≥.根据柯西不等式有：5y =22≤=5时，等号成立，即12727x =时函数取最大值5. 660.解：由于253196(4)(49)x x x x -+=--，因此449x ≤≤时，2531960x x -+≤，均有()f x =0.因此：(1)(2)...(50)(1)(2)(3)(50)f f f f f f f +++=+++，代入数据得：原式22222(153196)2(2532196)2(3533196)2(505350196)660=-++-⨯++-⨯++-⨯+= 6. 3.解：不妨设AB 的方程()10y kx k =+>，则AC 的方程为11y x k=-+. 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(1)20a k x a kx ++=2222,1B a k x a k -⇒=+ 由222111y x k x y a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：2222()20a k x a kx +-=2222,C a k x a k ⇒=+由弦长公式可得：AB AC ==于是 2442222224211(1)2212(1)()()1ABC k k k kSAB AC a a a k a k a k a k∆++===+++++. 令12t k k=+≥，有44222222222,(1)(1)ABC a ta Sa a t a a t t∆==-+-+因为2222(1)2(1),a a t a a t -+≥- 21a t a-=时等号成立. 因此当21a t a -=时，3max 2(),1ABC a S a ∆=-令32227(3)(839)018a a a a a =⇒---=-.解得：)3,a a a ===舍.又21=21a t a a -≥⇒≥+a ∴=舍去. 3.a ∴= 7. 100013.解：∵方程12k x x x m +++= 的非负整数解的个数为1m m k C +-.而使11,0(2)i x x i ≥≥≥的整数解个数为12m m k C -+-.现取5m =，可知，k 位“吉祥数”的个数为43().k P k C +=∵4445(1)1,(2)5,P C P C ====46(3)15,P C ==并且对于四位“吉祥数”1abc ，其个数为满足4a b c ++=的非负整数解个数，即443115C +-=个，而2012是形如2abc 的数中的第2个“吉祥数”，因此2012是第1+5+15+15+2=38个“吉祥数”，即382012a =，从而38,3114.n n ==又4378(4)35,(5)56,P C P C ====而51()151********.k P k ==++++=∑∴从小到大的前2个六位“吉祥数”是：100004,100013.∴第114个“吉祥数”是100013，即3100013.n a = 8.33800.解：使2个a 既不同行也不同列的填法有2255200C A =种，同样，使2个b 既不同行也不同列的填法也有2255200C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有20020040000⨯=种.其中不符合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有200种；2个a 所在的方格内仅有1个方格内填有b 的情况有122516252406000C A =⨯=种.所以，符合题设条件的填法共有40000200600033800--=种.二．解答题（共56分）9.解：（1） 设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>.它与直线y x =1个交点，所以方程组22221x y ab y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩只有一解，即2222222()30b a x x a a b +-+-=只有一根（重根）2222222()4()(3)0a b a a b ∴∆=--+-=，化简得223a b +=又 焦点为（-1,0），（1,0），∴221a b -=，∴2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆方程为：2212x y +=.（2）若PQ 斜率不存在（或为0），则||||22PMQNPQ MN S ⋅===四边形 ①若PQ 斜率存在，设为(0)k k ≠，则MN 的斜率为1k-， ∴直线PQ 的方程为=+y kx k .设PQ 与椭圆交点坐标()1122(,),,P x y Q x y ，P n联立方程2212y kx k x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，12,x x 为方程2222(21)4220k x k x k +++-=的根，12||||=PQ x x a ∴=-=22121k k +=+同理221||2k MN k +=+.||||42MN PQ S ⋅∴==四边形PMQN2424242121124()2522252k k k k k k k ++=-++++ 24214()24104k k k =-=++22114()124410k k -+⨯+22448k k +≥= ，当且仅当21k =时等号成立， 2211(0,]1184410k k∴∈+⨯+，221116=4(),21294410S k k ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎣⎭+⨯+四边形PMQN ② 综合①②可得：PMQN S 四边形的面积的最小值为169，最大值为2. 10．(20分) 解：（1）依题意，⊙n P 的半径2n n n r y x ==， ⊙n P 与⊙1n P +彼此外切， 11n n n n P P r r ++∴=+，1n n y y +=+． 两边平方，化简得 211()4n n n n x x y y ++-=,即 22211()4n n n n x x x x ++-=,10n n x x +>> ， ∴112n n n n x x x x ++-=， 即1112()n n n N x x +-=∈，∴ 数列1{}nx 是等差数列． (2) 由题设，11x =，∴111(1)2n n x x =+-⋅，即121n x n =-， 2244(21)n n n n S r y x n ππππ====-，n T =222111]35(21)n =++++-≤111]1335(23)(21)n n ++++⋅⋅-⋅-1111111[(1)()()]23352321n n ⎫+-+-++-⎬--⎭11(1)]221n +--=< 11. (20分) 证明：223()044()x x y x y x y x y ---=≥++ ，∴234x x y x y -≥+.进而可得323.4x x xyx y -≥+类似的3234y y yzy z -≥+，3234z z zx z x -≥+. ∴3332223334x y z x xy y yz z zx x y y z z x -+-+-++≥+++2223()4x y z xy yz zx++---=3()42xy yz zx xy yz zx xy yz zx ++---++≥=二试一．（40分）设a 、b 、c 为正实数，证明：()()()()3525252333aa b b c c a b c -+-+-+≥++.证明：注意到，当0a >时，有()5235323223(2)1(1)(1)a a a a a a a a a -+-+=--+=---3222(1)(1)(1)(1)(1)0a a a a a a =--=-+++≥.所以()5233(2)a a a -+≥+.因此，我们只需证明：3333(2)(2)(2)()a b c a b c +++≥++.为此，我们证明更一般的结论： 对任意正实数,,(1,2,3)i i i x y z i =，均有：3111222333()()()x y z x y z x y z ++++++≥. （1）事实上，由于3121112223331()3x x x x y z x y z x y z =≤++++++++同理，3121112223331()3y y y x y z x y z x y z ≤++++++++，3121112223331()3z z z x y z x y z x y z ≤++++++++，上述3个不等式相加可知（1）式成立.所以3333333(2)(2)(2)(11)(11)(11)()a b c a b c a b c +++=++++++≥++，原命题得证. 二．（40分）设O 和I 分别为ABC ∆的外心和内心，ABC ∆的内切圆与边,,BC CA AB 分别相切于点,,D E F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点,M N 分别为线段,PE QF 的中点，求证：OI MN ⊥.证明：考虑ABC ∆与截线PFD ，由梅涅劳斯定理，有1CP AF BDPA FB DC⋅⋅=, 所以PA AF BD AF s aCP FB DC DC s c-=⋅==-（s 为ABC ∆的半周长） 于是PA s aCA a c -=-，因此()b s a PA a c-=-，这样()()()2b s a s c s a PE PA AE s a a c a c---=+=+-=-- ()()()()()()21,2s c s a s c s a s a ME PE MA ME AE s a a c a c a c-----===-=--=--- ()()()()2s c s a s c MC ME EC s c a c a c ---=+=+-=--，于是2MA MC ME ⋅=.因为ME 是点M 到ABC ∆的内切圆的切线长，所以2ME 是点M 到内切圆的幂，而MA MC ⋅是点M 到ABC ∆外接圆的幂，等式2MA MC ME ⋅=表明点M 到到ABC ∆外接圆与内切圆的幂相等，因此点M 在ABC ∆外接圆与内切圆的根轴上，同理，点N 也在在ABC ∆外接圆与内切圆的根轴上，故OI MN ⊥.三．（50分）若三元正整数组(,,)a b c 满足a b c ≤≤，(,,)1a b c =且()|n n n a b c a b c ++++，则称(,,)a b c 为“n -幂次”的.例如：()1,2,2是“5-幂次”的.（1）求所有的三元组，使得对所有1n ≥，该数组是“n -幂次”的.（2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”和“2010-幂次”的,但不是“2012-幂次”的.解（1）设(,,)a b c 满足条件，则由222()|a b c a b c ++++得2222()|()()a b c a b c a b c ++++-++，于是()|2()a b c ab bc ca ++++. （1）由333()|a b c a b c ++++，得333222()|()()()a b c a b c a b c a b c ab bc ca ++++-++++--- 于是()|3a b c abc ++ （2）对于任意素因子5p ≥，若|()p a b c ++，则|p abc .不妨设|p a ，则0(mod )b c p +≡.又由（1）式可得0(mod )bc p ≡，于是0(mod )b c p ≡≡，这与(,,)1a b c =矛盾，故a b c ++无大于3的素因子.对于因子3，若3|()a b c ++，与上面相同的推理可得3不整除abc ，故由（2）式知，()a b c ++至多含3的一次因子.对于因子2，若2|()a b c ++，则由(,,)1a b c =，可知,,a b c 的奇偶性为两奇一偶，此时2()2(mod 4)ab bc ca ++≡，所以由（1）式知，()a b c ++至多含2的一次因子；综上所述，我们有()|6a b c ++，由,,a b c 为正整数，容易求得符合条件的数组为（1，1，1），（1，1，4）.（2）记n n n n T a b c =++，注意到多项式:()()()()f x x a x b x c =---=32()()x a b c x ab bc ca x abc -+++++-，则32()()()0f a a a b c a ab bc ca a abc =-+++++-=，故32()()a a b c a ab bc ca a abc =++-+++，两边同乘以3n a -，得123()()()n n n n a a b c a ab bc ca a abc a ---=++-+++，对,b c 有类似的结论，将三者相加，得123()()n n n n T a b c T ab bc ca T abcT ---=++-+++.故若有3()|n a b c T -++，且2()|n a b c T -++，则必有()|n a b c T ++.由此，取2012n =，知不存在符合条件的正整数组.四.（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子.如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连.现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由.解：最少要取出11个棋子，才可能满足要求.其原因如下：如果一个方格在第i 行第j 列，则记这个方格为(i ，j ).第一步证明若任取10个棋子，则余下的棋子必有一个五子连珠，即五个棋子在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连.用反证法.假设可取出10个棋子，使余下的棋子没有一个五子连珠.如图1，在每一行的前五格中必须各取出一个棋子，后三列的前五格中也必须各取出一个棋子.这样，10个被取出的棋子不会分布在右下角的阴影部分.同理，由对称性，也不会分布在其他角上的阴影部分.第1、2行必在每行取出一个，且只能分布在(1，4)、(1，5)、(2，4)、(2，5)这些方格.同理(6，4)、(6，5)、(7，4)、(7，5)这些方格上至少要取出2个棋子.在第1、2、3列，每列至少要取出一个棋子，分布在(3，1)、(3，2)、(3，3)、(4，1)、(4，2)、(4，3)、(5，1)、(5，2)、(5，3)所在区域，同理(3，6)、(3，7)、(3，8)、(4，6)、(4，7)、(4，8)、(5，6)、(5，7)、(5，8)所在区域内至少取出3个棋子.这样，在这些区域内至少已取出了10个棋子.因此，在中心阴影区域内不能取出棋子.由于①、②、③、④这4个棋子至多被取出2个，从而，从斜的方向看必有五子连珠了.矛盾.图1 图2第二步构造一种取法，共取走11个棋子，余下的棋子没有五子连珠.如图2，只要取出有标号位置的棋子，则余下的棋子不可能五子连珠.综上所述，最少要取走11个棋子，才可能使得余下的棋子没有五子连珠.。
(整理)全国高中数学联赛模拟试题目
全国高中数学联赛模拟试题（一）（命题人：吴伟朝）第一试一、 选择题：（每小题6分，共36分）1、方程6×(5a 2＋b 2)＝5c 2满足c ≤20的正整数解(a ,b ,c )的个数是（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）52、函数12-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0（D ）x ≤21-或x ≥23、过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O为原点）的面积最小，则l 的方程为 （A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝04、若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是 （A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1 5、数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）516、在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的排列的个数是 （A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16二、 填空题：（每小题9分，共54分）1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程21×[x 2＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ．2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2，则通项公式a n ＝ ．3、数799被2550除所得的余数是 ．4、在△ABC 中，∠A ＝3π，sin B ＝135，则cos C ＝ ．5、设k 、θ是实数，使得关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2－1＝0的两个根为sin θ和cos θ，则θ的取值范围是 ． 6、数()n2245+（n ∈N ）的个位数字是 ．三、 （20分）已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．四、 （20分）（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2＋(a ＋2002)x ＋a ＝0的两根皆为整数．（2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2－2a ＝0有三个整数根．五、 （20分）试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2＋(y －7)2≤r 2}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何θ∈R ，都有cos2θ＋x cos θ＋y ≥0}之中．第一试一、选择题：题号 1 23 4 5 6 答案 C CDABD二、填空题：1、38181-或381587；2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{θ|θ＝2n π＋π或2n π－2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、（50分）设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．求证：()12=-+-+baczcaba的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．二、（50分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点D 分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点K．求证：（1）AK⊥BC；AC B DQKP（2） BCS AQ AP AK ABC△2<=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．三、（50分）给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：∑==+=+ni i n j j ji a 1),,3,2,1(124．确定和式∑=+=ni ii a S 112的值（写成关于n 的最简式子）．参考答案第一试一、选择题：题号1 23456答案 CC D A B D二、填空题：1、38181-或381587；2、7×2n -1－n 2－2n －3；3、343；4、261235-； 5、{θ|θ＝2n π＋π或2n π－2π，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021y z x 或⎪⎩⎪⎨⎧===021z z y ．四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）a 的可能取值有－3，11，－1，9．五、r max ＝24．第二试一、证略（提示：直接解出()2i42⋅---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然后利用反证法证明必要性）．二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BCS ABC△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．三、()11212++-=n S ．。
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题(一试)
2024年全国高中数学联赛模拟练习试题（一试）一、填空题1．设非空集合{}1,2,,9A ⊆L 满足a A ∀∈，10a A -∈，则这样的A 的个数为． 2．在锐角三角形 ABC 中，边 2BC =，2B A =，则边 AC 的取值范围是．3．设 ,R a b ∈，函数() f x ax b =+满足() 1f x ≤对任意[] 0,1?x ∈都成立，则 ab 的最大值为．4．P 是双曲线221916x y -=的右支上一点，,M N 分别是圆2210210x y x +++=和2210240x y x +-+=上的点，则||||PM PN -的最大值为．5．已知向量1,2a b r r ==，且a r 和b r 的夹角为2π3，若a tb +r r 与ta b +r r 的夹角为钝角，则 t 的取值范围为．6．甲、乙两人玩游戏，规则如下：第奇数局，甲赢的概率为 34；第偶数局，乙赢的概率为 34．每一局没有平局．规定：当其中一人赢的局数比另一人赢的局数多两次时游戏结束．则游戏结束时，甲、乙两人玩的局数的数学期望为．7．若 X 是棱长为 ABCD 内一点，以 X 在四面体 ABCD 的四个面上的射影为顶点的新四面体的体积的最大值为．8．一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格 O 处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是．二、解答题9．已知复数列{}n z 满足：()()111i 1n n n z z z z n +==+≥，求2024z ．10．设非负实数 ,,?x y z 满足22210x y z ++=.值.11．已知点()() 3,00M m m ->， N 、 P 两点分别在 y 轴、 x 轴上运动，且满足·0MN NQ =u u u u r u u u r ，1 2NP PQ =u u u r u u u r ． (1)求Q 的轨迹方程；(2)若一正方形的三个顶点在点Q的轨迹上，求其面积的最小值．。
全国高中数学联赛模拟试题(一)
全国高中数学联赛模拟试题(一)第一试一、选择题(共36分)1. 在复平面上；非零复数z 1；z 2在以z=i 对应的点为圆心；1为半径的圆上；21z z 的实部为零；argz 1＝π6；则z 2＝ ( )A.－32＋32i B.32－32i C.－32＋32iD.32－32i 2. 已知函数f(x)＝log a (ax 2－x ＋12)在[1；2]上恒正；则实数a 的取值范围是( )A.(12；58)B.(32；＋∞)C.(12；58)∪(32；＋∞)D.(12；＋∞) 3. 已知双曲线过点M(－2；4)和N(4；4)；它的一个焦点为F 1(1；0)；则另一个焦点F 2的轨迹方程是 ( )A.(x －1)225＋(y －4)216＝1(y ≠0)或x ＝1(y ≠0)B.(x －1)216＋(y －4)225＝1(x ≠0)或x ＝1(y ≠0)C.(x －4)225＋(y －1)216＝1(y ≠0)或y ＝1(x ≠0)D.(x －4)216＋(y －1)225＝1(x ≠0)或y ＝1(x ≠0)4. 已知正实数a ；b 满足a ＋b ＝1；则M ＝1＋a 2＋1＋2b 的整数部分是 ( )5. 一条笔直的大街宽度为40米；一条人行横道穿过这条街；并与街道成一定的角度；人行横道长度为50米；与大街边缘结合部的宽度为15米；则人行横道的宽度为( )6. 一条铁路原有m 个车站；为适应客运需要新增加n(n ＞1)个车站；结果客运车票增加了58种(注：从甲站到乙站和从乙站到甲站需要两种不同的车票)；那么原有车站的个数为 A.12 B.13 C.14 D.15 ( )二、填空题(共54分)7. 长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的23倍；把它折成无底的正三棱柱；使AD 与BC 重合；折痕线EF ；GH 分别交原来长方形对角线AC 于M 、N ；则折后截面AMN 与底面AFH 所成的角是_____.8. 在△ABC 中；a ；b ；c 是角A ；B ；C 的对边；且满足a 2＋b 2＝2c 2；则角C 的最大值是_____.9.从盛满a升(a＞1)纯酒精的容器中倒出1升；然后加水填满；在倒出1升混合溶液后又加水填满；如此继续下去；则第n次操作后溶液的浓度为__________________. 10.已知函数f(x)和g(x)的定义域均为非负实数集；对任意的x≥0；规定f(x)*g(x)＝min{f(x)；g(x)}；若f(x)＝3－x；g(x)＝2x＋5；则f(x)*g(x)的最大值是_________.11.从1到100的自然数中；每次取出不同的两个数；使它们的和大于100；则可有_______种不同的取法.12.若实数a＞0；则满足a5－a3＋a＝2的a值属于区间:①(0；63)；②(62；63)；③(63；＋∞)；④(0；32).其中正确的是_________________.三、解答题(共计60分)13.(20分)求证：经过正方体中心的任意截面的面积不小于正方体一个侧面的面积.14.(20分)直线Ax＋By＋C＝0(ABC≠0)与椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2相交于P和Q两点；O为坐标原点；且OP⊥OQ；求证：a2b2c2＝a2＋b2A2＋B2.15.(20分)某新建商场设有百货部、服装部和家电部三个经营部；共有190名售货员；计划全商场的日营业额(每日卖出商品所收到的总金额)为60万元；根据经验；各部商品每1万元营业额需要售货员人数及每1万元营业额所得利润情况如表所示；商场将计划日营业额分配给三个经营部；同时适当安排各部的营业员人数；若商场预计每日的总利润为c万元；且19≤c≤；又已知商场分配给经营部的营业额均为整数万元；问这第二试一、(50分)矩形ABCD 的边AD ＝λ·AB ；以AB 为直径在矩形外作半圆；在半圆上任取不同于A 、B 的一点P ；连PC 、PD 交AB 于E 、F ；若AE 2＋BF 2＝AB 2；求正实数λ的值.二、(50分)若a i ∈R ＋(i ＝1；2；……；n)；S ＝∑=n1i ia；且2≤n ∈N ；求证：∑∑==-≥-n 1k 2k n1k k3ka 1n 1a S a .三、(50分)无穷数列{c n }由下列法则定义：c n ＋1＝|1－|1－2c n ||；而0≤c 1≤1(1)证明：仅当c 1是有理数时；数列自某一项开始成为周期数列； (2)存在多少个不同的c 1值；使得数列自某项之后以T 为周期(对于每个T ＝2；3；……)?全国高中数学联赛模拟试题(一)参考答案 第一试一、选择题 1. A如图所示；设复数z 1对应的点为Z 1；则|OZ 1|＝2sin π6＝1；∴ z 1＝32＋12i再设z 2＝x ＋yi(x ；y ∈R)由|z 2－i|＝1得x 2＋(y －1)2＝1 …………① ∵ (32－12i)(x ＋yi)的实部等于0； ∴ 3x ＋y ＝0 …………②联立①②解得⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=0y 0x 23y 23x 或(舍去) 故z 2＝－32＋32i 2. C设g(x)＝ax 2－x ＋12；首先由g(x)＞0得a ＞x －12x 2＝－12x 2＋1x当1≤x ≤2时；(－12x 2＋1x )max ＝12从而a ＞12；在此前提下；易知函数g(x)＝ax 2－x ＋12的对称轴x ＝12a在区间[1；2]的左边；从而g(x)在[1；2]上是增函数.当a ＞1时；f(x)在[1；2]上是增函数；有f(1)＝log a (a －1＋12)＞0；⇒ a ＞32当12＜a ＜1时；f(x)在[1；2]上是减函数；有yf(2)＝log a (4a －2＋12)＞0；⇒ 12＜a ＜58综上：12＜a ＜58或a ＞323. A易知|MF 1|＝|NF 1|＝5而||MF 1|－|MF 2||＝||NF 1|－|NF 2|| 即|5－|MF 2||＝|5－|NF 2||当5－|MF 2|＝5－|NF 2|时；即|MF 2|＝|NF 2|时；点F 2的轨迹是线段MN 的中垂线； 其方程为x ＝1(y ≠0)当5－|MF 2|＝|NF 2|－5时；即|MF 2|＋|NF 2|＝10时；点F 2的轨迹是以M 、N 为焦点；长轴长为10的椭圆；其方程为(x －1)225＋(y －4)216＝1(y ≠0)4. B一方面；M ＞1＋0＋1＋0＝2另一方面；M ＜1＋2a ＋a 2＋1＋2b ＋b 2＝1＋a ＋1＋b ＝2＋(a ＋b)＝3所以；2＜M ＜3 5. C如图；人行横道的面积S ＝15×14＝600∴ S ＝50x ＝600 ⇒ x ＝12 6. C新增的n 个车站之间需要P n 2种车票；新增的n 个车站与原来的m 个车站之间需要2mn种车票；从而P n 2＋2mn ＝58；即n(n －1＋2m)＝58注意到n 和n －1＋2m 都是整数；而58只能分解为1×58和2×29两种情况；又n ＞1 所以n ＝2；n －1＋2m ＝29；或n ＝29；n －1＋2m ＝2；或n ＝58；n －1＋2m ＝1 只有第一组有满足题意的解：n ＝2；m ＝14 二、填空题 7.π6； 折叠后；仍然有AF ＝FH ＝HB(或HA ；折叠后A 点和B 点重合)AM ＝MN ＝NC ；且它们的长度没有变；仍然等于折叠前的长度；但对角线AC 由直线段变成了折线段；A 、M 、N 三点由原来共线变成了A 、M 、N 三点构成三角形.设AD ＝a ；则AB ＝23a ；图(1)为折叠前的长方形；有AC ＝13a ；AM ＝MN ＝133a ；AF ＝FH ＝HB ＝233a ；MF ＝a 3；HN ＝2a 3. 15A B C D F H (1)E G M N (2) AD FH E GMN P设平面AMN 与平面AFH 的夹角为θ(图(2))；由S △AFH ＝12×233a ×233a ×sin60º＝33a 2.在Rt △NHA 中；AN ＝(233a)2＋(23a)2＝4a3取AN 的中点P ；∵ AM ＝MN ⇒ MP ⊥AN 在Rt △MPA 中；MP ＝(133a)2－(23a)2＝a ∴ S △AMN ＝a 2×4a 3＝2a23∴ cos θ＝S ×AFH S △AMN ＝32；∴ θ＝π68.π3； ∵ a 2＋b 2＝2c 2；∴ cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－a 2＋b222ab ＝a 2＋b 24ab∴ a 2－4abcos θ＋b 2＝0 即(a b )2－(4cosC)ab ＋1＝0(∵ b ≠0) 因为ab是正实数；所以4cosC ＞0且△≥0解得：cosC ≥12；所以C ≤π39.(1－1a)n；开始浓度为1；操作一次后溶液浓度为a 1＝1－1a；设操作n 此后的溶液浓度为a n ；则操作n ＋1次后溶液的浓度为a n ＋1＝a n (1－1a)∴ {a n }是首项、公比均为1－1a 的等比数列；∴ a n ＝a 1q n －1＝(1－1a )n3－1；∵ x ≥0；令3－x ＞2x ＋5；解得0≤x ≤4－2 3 所以f(x)*g(x)＝⎪⎩⎪⎨⎧-≥--<≤+324x x3324x 05x 2∵ 3－x 在R 上单调递减；故当x ≥4－23时；f(x)*g(x)≤f(4－23)*g(4－23)＝3－(4－23)＝23－1 当0≤x ＜4－23时；2x ＋5单调递增；故当x ∈[0；4－23)时； f(x)*g(x)＜2·(4－23＋5)＝23－1 综上所知；f(x)*g(x)的最大值为23－1 ；以1为被加数；则1＋100＞100；有1种取法；以2为被加数；则2＋100＞100；2＋99＞100；有2种取法； 依次可得；被加数为n(n ∈N ；n ≤50)时；有n 种取法；但51为被加数时；要扣除前面已取过的情况；只能取52；53；……；100；有49种取法；同理；被加数为52时；有48种取法；依次可得；当被加数为n(n ∈N ；51≤n ≤100)时；分别有100－n 种取法； 所以；不同的取法共有(1＋2＋3＋……＋50)＋(49＋48＋……＋1)＝2500种 12.③④∵ a 6＋1＝(a 2＋1)(a 4－a 2＋1)＝a 2＋1a (a 5－a 3＋a)＝2(a ＋1a)；(a ≠0)∵ a ＞0且a ≠1；∴ a 6＋1＞4；∴ a 6＞3；即a ＞63 又a 5－a 3＋a ＝2；∴ 2a 3＋1＝a 2＋1a 2＞2∴ a 3＜2；即a ＜32；综合可知；应填③④三、13．显然；所作截面是一个中心对称的凸多边形；它是一个四边形或六边形.如果截面是一个四边形；那么它一定没有截到立方体的某一组对面；其面积不小于这组对面中的一个；命题成立. 如果截面是一个六边形；那么它一定截到了正方体的六个面；将立方体展开在一个平面上；如图；设界面的周长为l ；正方体的棱长为a ；则 l ≥|AB|＝(3a)2＋(3a)2＝32a由于正方体的中心是内切球的球心；所以截面内含有半径为a2的圆；从而有S 截面≥12·a 2l ≥324a 2＞a 214．将Ax ＋By ＋C ＝0变形为1＝－Ax ＋ByC；代入椭圆方程；得b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(－Ax ＋By C)2整理得：(a 2b 2B 2－a 2C 2)y 2＋2ABa 2b 2xy ＋(a 2b 2A 2－b 2C 2)x 2＝0 当x ＝0时；显然成立；当x ≠0时；同除以x 2得：(a 2b 2B 2－a 2C 2)(y x )2＋2ABa 2b 2(y x)＋(a 2b 2A 2－b 2C 2)＝0该方程的两根为OP ；OQ 的斜率；∵ OP ⊥OQ ；所以－1＝a 2b 2A 2－b 2C 2a 2b 2B 2－a 2C 2；即a 2b 2c 2＝a 2＋b2A 2＋B215．设分配给百货、服装、家电营业额分别为x ；y ；z(万元)；(x ；y ；z 是正整数)；则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤++==++=++2x 25z x 2335y 7.19c 19z 2.0y 5.0x 3.0c 190z 2y 4x 560z y x 由①②得④③②①所以c ＝＋0.5(35－3x 2)＋0.2(25＋x2)＝－代入④得8≤x ≤10；∵ x ；y ；z 必为正整数；⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===∴60z 280y 450x 558z 292y 440x 530z 20y 10x 29z 23y 8x 或或 第二试一、如图；过P 点作PG⊥AB；垂足为G ；不失一般性；设AB ＝2；则AD ＝2λ再设PG ＝h ；∠PDA＝α；PCB ＝β；则AE ＝AB －BE ＝2－2λtanβ BF ＝AB －AF ＝2－2λtanα∵ (2λ＋h)tanα＋(2λ＋h)tanβ＝2∴ tanα＋tanβ＝22λ＋h……① 又(2λ＋h)tanα(2λ＋h)tanβ＝h 2∴ tanαtanβ＝h2(2λ＋h)2 ……② ∵ AE 2＋BF 2＝(2－2λtanα)2＋(2－2λtanβ)2＝AB 2∴ 8－8λ(tanα＋tan β)＋4λ2(tan 2α＋tan 2β)＝4即 λ2(tanα＋tanβ)2－2λ2tanαtanβ－2λ(tanα＋tanβ)＋1＝0 将①②代入上式；得 4λ2－2λ2h 2(2λ＋h)2－4λ2λ＋4＋1＝∴ h 2(1－2λ2)＝0∵ h≠0；∴ 1－2λ2＝0；即λ＝22解法二：仍如上图；不失一般性；设AB ＝2；则AD ＝2λ；令AF ＝x ；BE ＝y ；因为△PGE ∽△CBE ；于是PG BC ＝GE BE ；即PG 2λ＝GEy所以；GE ＝PG ·y2λ ……………………①同理；GF ＝PG ·x2λ……………………②①＋②得：EF ＝(x ＋y)PG2λ即PG ＝EF ·2λx ＋y ＝2λ(2－x －y)x ＋y……………………③由①②③得：GE ＝PG ·y 2λ＝2λ(2－x －y)x ＋y ·y ·12λ＝2－x －yx ＋y·yGF ＝PG ·x 2λ＝2－x －y x ＋y·x∴ BG ＝GE ＋y ＝2yx ＋y ……………………④同理AG ＝2xx ＋y ……………………⑤又PG 2＝AG ·BG ；综合③④⑤得4λ2(2－x －y x ＋y )2＝4xy (x ＋y)2化简得：λ2(2－x －y)2＝xy ……………………⑥又∵ AE 2＋BF 2＝AB 2∴ (2－x)2＋(2－y)2＝4即 4－4(x ＋y)＋x 2＋y 2＝0∴ 2－2(x ＋y)＋(x ＋y)2＝2xy ……………………⑦ 将⑥代入⑦得：4－4(x ＋y)＋(x ＋y)2＝2λ2(2－x －y)2即(2－x －y)2＝2λ2(2－x －y)2∵ x ＋y ≠2；∴ 2λ2＝1；∴ λ＝22二、由柯西不等式；得(S －a k )2≤(n－1)()a a2k n1k 2k -∑=∑∑∑∑∑∑∑=======-=---≥-∈---=-+--≥-----≥----≥-∴-=---≥--+-+-n 1k 2k 2n1k 2kn 1k 2kn1k k3k 2n1k 2k2k22kn1k 2k2kk3k22kn1k 2k 2k32k 2kk 3k 2k332k 2k 3k 32k k 3k k 3k a 1n 1)1n (2a n a )2n 3(a S a )N k ()1n (2aa )2n 3()1n (2aa a )1n (3a S a)1n (a a1n a3)1n ()a S (1n a 3a S a 21n a 3)1n ()a S ()a S a (3)1n ()a S (a S a a S a 则即原不等式得证.三、易知；题中的递推关系式即为c n ＋1＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤1c 21c 2221c 0c 2n n n n 若若 …………①(1)若C 1为有理数；即c 1＝pq ；其中(p ；q)＝1时；对一切n ；均有c n ＝p nq；其中p n ∈{0；1；2；……；q}故有n 1＜n 2；使得p n1＝p n2；从而c n1＝c n2；于是由①式可知{c n }从第n 1项之后呈周期变化.假设数列自第n 1项之后呈周期为T 的变化；我们记： c n1＝∑∞=-⋅1k k k2a；即用二进制表示c n1；其中a k ＝0或1.并记k a ＝1－a k ；k∈N ……② 于是由①式可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡+⋅≡+⋅=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅=⋅=∑∑∑∑∞=-+∞=-++∞=-+∞=-++)2(mod 1a a 2a )2(mod 0a a 2a c 1a 2a 0a 2a c 211k k 2k 211k k 2k 2n 11k k 1k 11k k 1k 1n 11若若若若 由此并结合归纳法；即知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++⋅=++⋅=∑∑∞=-+∞=-++)2(mod 1a a 2a )2(mod 0a a 2a c T 11k k T k T 11k k T k T n 1 若若 由于c n1＋T ＝c n1；故当a 1＋……＋a T ≡0(mod2)时；立即可得a k ＝a k ＋T ；k∈N 由此表明c n1为二进制循环小数；故为有理数.当a 1＋……＋a T ≡1(mod2)时；由于c n1＋T ＝c n1；得a k ＝T k a +＝1－a k ＋T ；k∈N ……③ 由于③式也表明a k ＋T ＝T 2k a +；k∈N；所以a k ＝1－a k ＋T ＝1－T 2k a +＝1－(1－a k ＋2T )＝a k ＋2T ；k ∈N故c n1也为有理数再由递推式①知；c n1是由c 1经过n 1－1步有理运算得出的；所以；c 1也必为有理数.(2)如果分别取c 1＝(0.••0101)2；c 1＝(0.个└───┘1m 0111-•• )2； ……④ 则可使{c n }分别以T ＝2和T ＝m ；m ≥3为周期；又易见；只要将c 1取为④中的12k ；k ∈N ；都可使数列最终以相应的T 为周期；从而；对每个T ＝2；3；……都有无穷多个c 1使得数列自某项之后以T 为周期变化.。
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全国高中数学联赛模拟试题(六)
(命题人：秦永
苟春鹏)
第一试
、选择题：(每小题6分，共36分)
1、在复平面上，非零复数Z 1、Z 2在以i 对应的点为圆心，1为半径的圆上,
乙Z 2的实部为零，argz 1=，贝U
6
(B
)
3
,3 3. (B )
,3 3 (A)
i
2 2 2
2
(C )
3
3 (D ) 3
.3 2 i
2
2 2
2、已知函数f
log a 2
ax
在［1,2］上恒正，则实数a 的取值范围是
3、已知双曲线过点 点F 2的轨迹方程是
M( 2,4)， N(4,4)，它的一个焦点为 F i (1,0)，则另一个焦
25
16
“ 2
,2
X 1 y 4 16
25
,2
“ 2
X 4
y 1 25
16
,2
“ 2
X 4
y 1 16
25
(XM 0) (XM 0) 或x=1
或x=1
或y=1 或y=1 * 0)
* 0)
Z 2=
i i
(B)
i (C )
1
(D)
1 y 4 2
X 1 2
角度，人行道的宽度是15米，长度是50米，则人行道间的距离是 (A ) 9 米 (B ) 10 米 (C ) 12 米 (D ) 15 米
6、一条铁路原有m 个车站，为适应客运需要新增加n 个车站(n > 1),则客 运车票增加了 58种(注：从甲站到乙站需要两种不同的车票)，那么原 有车站的个数是 (A ) 12 (B ) 13 ( C ) 14 ( D ) 15
填空题：(每小题6分，共36分)
1、 长方形ABCD 的长AB 是宽BC 的2 3倍，把它折成无底的正三棱柱，使 AD 与BC 重合折痕线EF 、GH 分别交原对角线AC 于M 、N ，则折后截 面AMN 与底面AFH 所成的角是 ______________________ •
2、 在厶ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，且满足a 2+b 2=2c ?，则角C
的最大值是 ____________________ .
3、 从盛满a 升( a > 1)纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1 升混合溶液后又用水填满，如此继续下去•则第 n 次操作后溶液的浓度 是 _____________________ .
4、 已知函数f(x)与g(x)的定义域均为非负实数集，对任意 x > 0，规定
f(x)*g(x)=mi n{ f(x),g(x)}.若 f(x)=3 x ，g(x)= 2x 5，则 f(x)* g(x)的最大 值为 ___________________ .
5、 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于
100，
则可有 ________不同的取法.
6、 若实数a > 0，则满足a 5 a 3+a=2的a 值属于区间：①0,63 ；②6 2,6 3 ；
③6 3,:④0,3. 2 .其中正确的是 ________________________
三、(20分)
求证：经过正方体中心的任一截面的面积不小于正方体的一个侧面 的面积
(20 分)
直线 Ax+Bx+C=0 (A • B • C ^0)与椭圆 b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2相交于 P 、
Q
5 一条笔直的大街宽是40米，一条人行道穿过这条大街，并与大街成某一
四、
两点，O 为坐标原点，且 OP 丄OQ .求证:
a 2
b 2 C 2
a 2
b 2 A 2
B 2 .
五、(20分)
某新建商场建有百货部、服装部和家电部三个经营部，共有190名售货员，计划全商场日营业额（指每日卖出商品的总金额）为60万元，根
据经验，各部商品每1万元营业额所需售货员人数如表1,每1万元营业额
所得利润如表2 •商场将计划日营业额分配给三个经营部，同时适当安排各
部的营业员人数，若商场预计每日的总利润为 c （万元）且
满足19< c< 19.7，又已知商场分配给经营部的日营业额均为正整数万元，
问这个商场怎样分配日营业额给三个部？各部分别安排多少名售货员？
表1各部每1万元营业额所需人数表
表2各部每1万元营业额所得利润表
第二试
（50 分）
矩形ABCD的边AD= -AB,以AB为直径在矩形之外作半圆，在半圆上任取不同于A、B的一点P,连PC、PD交AB于E、F,若AE2+BF2=AB2, 试求正实数的值.
(50 分)
n
若a i€ R+(i=1,2,…,n), S ，且2< n€ N .
i 1
求证：n
3
n
a k 、 1 2
->a k
三、（50分）
无穷数列｛C n｝可由如下法则定义：C n+1=|1 |1 2C n||,而0W C1 < 1.
（1）证明：仅当C1是有理数时，数列自某一项开始成为周期数列.
（2）存在多少个不同的C1值，使得数列自某项之后以T为周期（对于每个T=2,3,…）？
参考答案
第一试
、选择题:
题号123456
答案A C A B C C
、填空题:
2、
4、2.3 1;
6③④.
四、证略.
五、8, 23, 29 或10, 20, 30 （万元），对应40, 92, 58 或50, 80, 60 （人）.
第二试
4、已知正实数a、b满足a+b=1，则M 1 a2-1 2b的整数部分是
2
证略.
(1) 证略.
(2) 无穷个.
3、
5、2500;
证略.
(A) 1 (B) 2 ( C) 3 ( D) 4。