高一【数学(人教B版)】均值不等式及其应用(1)-课件

交半圆于 D ，
若 AC a ， BC b ，
A
则 CD ab ， OD OA a b ，
2
由图知： OD CD ，即 a b ab ．
2
D
• OC
B
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
（即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
作业
通过实例判断三个正数 a,b,c 的算术平均值 a b c 与几何平 3
均值 3 abc 的大小关系，你能够证明吗？
谢谢
均值不等式及其应用（1）
高一年级 数学
1．知识引入
ab
前面所讲， 2 是作为数轴上 Aa ， Bb两点的中点坐标
出现的，显然这是几何上的表现．
ab
我们称 2 为实数 a,b 的算术平均值，即“形”到“数”．
x
a
b
x
x
a
2
b
，
类比得到， x b x2 ab ，此时 a,b 同号， ax
这里我们先考虑 a,b 都是正数，
则称 x ab 为正数 a,b 的几何平均值．
a
1
2
3
b
1
4
2
1
3
1
2
2．定义概念
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
已知： a 0,b 0ab a b 2 ab
4
当且仅当 a b 时，等号成立，所以， a b ab ． 2
（当 a 0,b 0 时， a b a2 b2 ）
均值不等式：
如果 a,b 都是正数，那么 a b 2
当且仅当 a b 时，等号成立．
ab ，
（即：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值）
3．适当拓展
显然，从均值不等式的证明方法中都用到 (a b)2 0 ， 即 a2 b2 2ab ，即 a2 b2 ab ，
a b 0，
2
2
2
当且仅当 a b 0 ，即 a b 时，等号成立， 所以， a b ab ．
2
（a b ab 0）
已知： a 0,b 0 ，求证： a b ab ．
2
证明：（法二）
a
b 2
2
a2
b2 4
2ab
a2 b2 2ab 4ab
4
a b2
2
ab ab ab .
2 都可以看作均值不等式的推论，此时 a,b R ．
由两个正数的均值不等式类比得到：三个，四个，…， 多个正数的均值不等式，
如果 a,b,c 都是正数，那么 a b c 3 abc ， 3
当且仅当 a b c 时，等号成立．
均值不等式的几何形式体现：
如图， AB 是圆的直径， CD AB 于 C ，