专题十统计与算法初步
数学一轮复习第十章算法初步统计与统计案例10.1算法与算法框图学案理
第十章算法初步、统计与统计案例10。
1算法与算法框图必备知识预案自诊知识梳理1.算法的含义在解决某些问题时，需要设计出一系列可操作或可计算的，通过实施这些来解决问题，通常把这些称为解决这些问题的算法。
2。
算法框图在算法设计中,算法框图可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思想和步骤,算法框图的三种基本结构:、、。
3.三种基本逻辑结构（1)顺序结构:按照步骤的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法,或者称为算法的顺序结构.其结构形式为（2）选择结构：需要，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构。
其结构形式为（3）循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况.反复执行的处理步骤称为.其基本模式为4.基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它们分别是：、输出语句、、条件语句和.5。
赋值语句（1)一般形式：变量=表达式。
(2）作用:将表达式所代表的值赋给变量。
6.条件语句（1)If—Then—Else语句的一般格式为:If条件Then语句1Else语句2End If(2)If—Then语句的一般格式是:If条件Then语句End If7.循环语句(1）For语句的一般格式:For循环变量=初始值To终值循环体Next（2）Do Loop语句的一般格式:Do循环体Loop While 条件为真考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√",错误的画“×”.（1)一个算法框图一定包含顺序结构，但不一定包含选择结构和循环结构。
（）(2)算法只能解决一个问题,不能重复使用。
（）（3）选择结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的。
（)（4）循环结构中给定条件不成立时，执行循环体,反复进行，直到条件成立为止。
（)（5)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框.（）2。
某地区打的士收费办法如下：不超过2公里收7元，超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2。
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专题十算法与统计自查网络核心背记一、算法与程序框图1．算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．其基本思想是一．2．作为一个算法，应具有以下五个特点：____、_______________________________3. -般来说，算法有下列三种描述方法：____、____、____4.通常用一些通用构成一张图来表示算法，这种图叫程序框图（简称框图）．一个程序框图包括以下几个部分：，表示相应操作的程序框；带箭头的流程线；程序框外必要的文字说明．常用的表示算法步骤的图形符号如下：5．按照步骤依次执行的一个算法，称为具有”顺序结构”的算法，或者称为算法的6．条件分支结构是依据____选择执行不同指令的控制结构．7．在科学计算中，经常会遇到许多有规律的重复计算．如果一个计算过程，要重复一系列的计算步骤若干次，每次计算步骤完全相同，则这种算法过程称为循环过程．常见的循环结构有____（WHILE型）循环和____ 型(UNTIL型)循环．二、基本算法语句1．赋值语句的一般格式为，赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量，在赋值语句中，一个变量对应唯一一个值．2．输入语句的一般格式是____3．输出语句的功能是以某种形式把____ “输．出”出来，输出语句中的“PRINT”的一般格式为PRINT“提示内容”；表达式．4．条件语句共有三种格式，分别是__．一、___ _____、5.循环语句有两种，它们是、____．三、中国古代数学中的算法案例（一）求两个正整数的最大公约数的算法1.等值算法<九章算术》中记载：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之，”此算法叫“更相减损之术”，也叫等值算法，它是我国古代数学家在求两个正整数的最大公约数时的一个算法，也就是：对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，接着把得到的差与较小的数比较，用这两个数中较大的数减去较小的数，继续上述操作（大数减小数），直到产生一对相等的数为止，那么这个数（等数）即是所求的最大公约数．显然，上述过程中大数减去小数是一个重复执行的过程，因此只需将大数赋给变量优，小数赋给变量n，那么m-n就可以通过循环结构实现算法．以求正整数m,n（m>n）的最大公约数为例．算法步骤和其程序框图如下：S1输入两个正整数m，n（m>n）；S2 r-m-n;S3如果r<n，那么m-n，n-r，否则，m-r；S4如果m-n，则执行下一步，否则返回S2;S5输出m．2．辗转相除法辗转相除法就是给定的两个数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数，继续上面的除法，直到余数为零，此时的除数就是所求的最大公约数．从算法思想我们可以看出，辗转相除法的基本步骤是用较大的数（用a表示）除以较小的数（用6表示），得到除式：a=nb+r(0≤r<b)，其中，．为余数．由于这是一个反复执行的步骤，且执行的次数由余数，是否等于O决定，所以我们可以把它看作一个>体，用循环结构就可以实现其算法．以求正整数n，6（a>6）的最大公约数为例．算法步骤和其程序框图如下： Sl输入两个正整数a，6（a>6）；S2计算a除以6所得的余数r；S3 a-b,b=r;S4若r-0，则a，6的最大公约数等于6．输出6；否则返回S2．（二）割圆术割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率K的方法，“割圆术”的具体操作步骤如下：Sl从半径为1的圆内接正六边形开始，计算它的面积Sb．S2逐步加倍圆内接正多边形的边数，分别计算圆内接正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、……的面四、随机抽样1．总体和样本一般把所考查对象的某一数值全体构成的集合看做总体，构成总体的每一个元素作为个体，从总体中抽出的若干个个体所组成的集合叫做，样本中个体的个数叫做2-一般地，从元素个数为N的总体中一地抽；取容量为咒的样本，如果每一次抽取时总体币的否个个体有——一的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样，这样抽取的样本叫做简单随机样本．3．简单随机抽样常用的方法：4．将总体分成均衡的若干部分，然后按照的法则，从每一部分抽取个体，得到所需要的样本，这种抽样的方法叫做系统抽样，也称作5·一般的，在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占进行简单随机抽样，这种抽样的方法就叫做分层抽样，有时也抽样．6．简单随机抽样、系统抽样和分层抽样都是——抽样，每个个体被抽到的可能性都是——-五、用样本估计总体1·用____估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．2．列频率分布表、绘制频率分布直方图的步骤(1)求____（也称全距，即一组数据中最大值与最小值的差）．(2)决定组距与组数，组数=——(3)决定一，将数据分组．分组时，通常对组内数值所在区间取左的右开区间，最后一组取闭区间'当然也可以采用其他分组方法．(4)登记频数，计算频率，列出频率分布表．频率一一表(5)绘制频率分布直方图，各小矩形的——示相应各组的频率，这样，频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小．在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于3．总体密度曲线把频率分布直方图各个长方形上边的——用线段连接起来，就得到频率分布折线图．为了方便看图；一般习惯于把频率分布折线图画成与横轴相连，所以横轴上的左右两端点没有实际的意义．如果样本容量越大，所分组数越多，频率分布就越接近于总体在各个小组内所取值的个数与总数比值的大小，设想如果样本容量不断增大，分组的组距不断缩小，则频率分布直方图实际上越来越接近于总体的分布，它可以用一条光滑曲线y=f(z)来描绘，这条光滑曲线就叫做．它精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．4．茎叶图茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数，茎叶图通常用来记录两位数的数据，把两位数的十位数字作为“”，个位数字作为“____”，茎叶图可用来分析单组数据，也可以对两组数据进行比较．茎叶图不仅能够保留原始数据，而且能够展示数据的分布情况．5．用样本平均数估计总体平均数(1)设容量为n的样本数据分别为z．，zz，…，岛，则称为这n个数据的平均数．平均数与样本数据之间的偏差最小，是与样本数据最接近、最理想的近似值．(2)平均数是频率分布直方图的“重心”．由于平均数与样本的每一个数据都有关，所以任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变．所以在频率分布直方图中，平均数是直方图的平衡点．6．用样本标准蓁估计总体标准差六、变量的相关性1．变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是的函数关系；另一类是变量间确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有的，也就是说：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定，这两个变量之间的关系叫相关关系．2.样本中n个数据点（x，yi）(i-l，2，…，n)描在平面直角坐标系中，以表示具有____关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点瓯一从散点’图可以看到点散布的位置是从左下角到右上角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为相关．反之，如果两个变量的散点图中点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为相关．3．从散点图上可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势．这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似描述，这种近似的过程称为曲线拟合，在两个变量z和y的散点图中，所有点看上去都在一条附近波动，则称变量间是线性相关的．此时，我们可以用一条直线来拟合，这条直线叫5．顺序结构6．指定条件7．当型直到二、1-变量一表达式2．INPUT“提示内容”；变量3．求解的结果4．IF- ELSE- END格式IF- END格式条件语句的嵌套5．UNTIL循环语句WHILE循环语句四、1．样本样本容量2．不放回相同3．抽签法随机数表法4．预先指定一个等距抽样5．比例规律探究1．在具体画程序框图时，要注意的问题：流程线上要有标志执行顺序的箭头；判断框后边的流程线应根据情况标注“是”或“否”；在循环结构中，要注意根据条件设计合理的计数变量、累加变量等．2．关于三种抽样方法的使用，不管采取哪一种抽样方法，必须保证整个抽样过程中每个个体被抽到的机会相同．有比较才有选择，在解决具体问题时，要根据抽样方法的特点及其适用范围恰当选择，可通过下表加深理解．3．简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特点是：在抽样过程中每一个个体被抽取的可能性相等，体现了这些抽样方法的客观性和公平性．其实简单随机抽样是最简单和最基本的抽样方法，在进行系统抽样和分层抽样时都要用到简单随机抽样方法，抽样方法经常交叉起来应用．对于个体数量很大的总体，可采用系统抽样，系统中的每一均衡部分，又可采用简单随机抽样，对于个体差异明显的总体，可采用分层抽样，各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样．4．画频率分布直方图，一般分为以下几个步骤：先求样本数据中的最大值和最小值（称为极差），再确定合适的组数和组距，决定分点（每个分点只属于一组，故一般采用半开半闭区间），然后列出频率分布表（准确，查数据容易），画频率分布直方图（直观）．实际应用1．如果执行下面的框图，输入N-5，则输出的数等于( )2．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知a-一一_．若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150］三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为3．为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有数据见下表（单位：人）．。
高考数学一轮复习 第10章 算法初步、统计与统计案例 第1节 算法与算法框图教学案 理 北师大版-北
第10章算法初步、统计与统计案例全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式高考在本章一般命制1～2道小题或者1道解答题，分值占5～22分．2.考查内容(1)统计与统计案例的命题以一道小题或一道大题的形式考查，难度中等．主要以生活中的实际问题为背景，考查随机抽样与样本估计总体、线性回归方程的求解与运用、独立性检验问题．(2)算法中的循环结构和条件结构是高考考查的热点，题型以选择题为主，属容易题．3.备考策略从2019年高考试题可以看出，统计与概率、随机变量及其分布的综合特点明显．对回归分析的考查越来越注重，算法会逐步退出高考舞台.第一节算法与算法框图[最新考纲] 1.了解算法的含义，了解算法的思想.2.理解算法框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件、循环.3.了解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．1．常用算法框图及其功能2．三种基本逻辑结构(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构〞的算法，或者称为算法的顺序结构．其结构形式为(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．其结构形式为(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．其基本模式为3．基本算法语句任何一种程序设计语言中都包含五种基本的算法语句，它分别是：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句和循环语句．4．赋值语句(1)一般形式：变量＝表达式．(2)作用：将表达式所代表的值赋给变量．5．条件语句(1)If－Then－Else语句的一般格式为：If 条件Then语句1Else语句2End If(2)If－Then语句的一般格式是：If 条件Then语句End If6．循环语句(1)For语句的一般格式：For循环变量＝初始值To终值循环体Next(2)Do Loop语句的一般格式：Do循环体Loop While 条件为真一、思考辨析(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)一个程序框一定包含顺序结构，但不一定包含条件结构和循环结构．( )(2)条件结构的出口有两个，但在执行时，只有一个出口是有效的．( )(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( )(4)在赋值语句中，x＝x＋1是错误的．( )[答案] (1)√(2)√(3)×(4)×二、教材改编1．如下图的算法框图的运行结果为( )A．2 B．2.5C ．3D ．3.5B [因为a ＝2，b ＝4，所以输出S ＝24＋42＝2.5.应选B.]第1题图 第2题图2．执行如下图的算法框图，假设输出的S 为4，那么输入的x 应为( ) A ．－2 B ．16 C ．－2或8D ．－2或16D [算法框图是求函数S ＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >12－x，x ≤1 的函数值，S ＝4时，x ＝－2或16.应选D.]3．阅读如下图的算法框图，运行相应的程序，那么输出S 的值为( ) A ．－10 B ．6 C ．14D ．18B [由题意知：i ＝2，S ＝20－2＝18；i ＝4，S ＝18－4＝14；i ＝8，S ＝14－8＝6， 满足i ＞5的条件，结束循环，输出S 的值为6，应选B.]第3题图 第4题图4．函数y ＝|x －3|，如下图算法框图表示的是给定x 值，求其相应函数值y 的算法．请将该算法框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．x ＜3？ y ＝x －3 [由y ＝|x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，3－x ，x ＜3及算法框图知，①处应填x ＜3？，②处应填y ＝x －3.]考点1 算法框图的执行问题解决“输入、输出型〞问题的思路(1)要明确算法框图的顺序结构、条件结构和循环结构．注意区分当型循环和直到型循环，循环结构中要正确控制循环次数，要注意各个框的顺序．(2)要识别运行算法框图，理解框图所解决的实际问题． (3)按照题目的要求完成解答并验证．1.阅读如下图的算法框图，假设输入的a ，b ，c 的值分别是21,32,75，那么输出的a ，b ，c 分别是( )A ．75,21,32B ．21,32,75C ．32,21,75D ．75,32,21A [当a ＝21，b ＝32，c ＝75时，依次执行算法框图中的各个步骤：x ＝21，a ＝75，c ＝32，b ＝21，所以a ，b ，c 的值依次为75,21,32.]第1题图 第2题图2．(2019·全国卷Ⅲ)执行如下图的算法框图，如果输入的ε为0.01，那么输出s 的值等于( )A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127C [输入的ε为0.01，x ＝1，s ＝0，x ＝12＞0.01，不满足条件；s ＝0＋1＋12，x ＝14＞0.01，不满足条件；…s ＝0＋1＋12＋…＋126，x ＝1128＝0.007 812 5<0.01，满足条件， 输出s ＝1＋12＋…＋126＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－127＝2－126，应选C.] 3．(2019·某某一模)执行如下图的算法框图，假设输出的结果为48，那么输入k 的值可以为( )A ．6B ．10C ．8D ．4C [执行算法框图，可知：第一次循环：n ＝1＋3＝4，S ＝2×1＋4＝6； 第二次循环：n ＝4＋3＝7，S ＝2×6＋7＝19； 第三次循环：n ＝7＋3＝10，S ＝2×19＋10＝48， 要使得输出的结果为48，根据选项可知k ＝8，应选C.]4．(2019·某某二模)如图的算法框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术〞．执行该算法框图，假设输入的a ，b 分别为176,320，那么输出的a 为( )A．16 B．18C．20 D．15A[由a＝176，b＝320，a≠b，且不满足a>b，那么b＝320－176＝144，由a>b，那么a＝176－144＝32，由a<b，那么b＝144－32＝112，由a<b，那么b＝112－32＝80，由a<b，那么b＝80－32＝48，由a<b，那么b＝48－32＝16，由a>b，那么a＝32－16＝16，由a＝b，退出循环，输出a＝16.应选A.](1)解决此类问题最常用的方法是列举法，即依次执行循环体中的每一步，直到程序终止．(2)对于算法案例，可依据算法框图将抽象的数学问题转变为具体步骤化的逻辑思维问题．考点2 算法框图的功能识别辨析算法框图功能问题，可将程序执行几次，即可根据结果作出判断．1.某算法的算法框图如下图，那么该算法的功能是( )A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和C[由算法框图可得S＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．应选C.]第1题图第2题图2．如下图的算法框图所实现的功能是( )A．输入a的值，计算(a－1)×32 021＋1的值B．输入a的值，计算(a－1)×32 020＋1的值C．输入a的值，计算(a－1)×32 019＋1的值D．输入a的值，计算(a－1)×32 018＋1的值B[由算法框图，可知a1＝a，a n＋1＝3a n－2，由i的初值为1，末值为2 019，可知，此递推公式共执行了2 019＋1＝2 020次，又由a n＋1＝3a n－2，得a n＋1－1＝3(a n－1)，得a n －1＝(a－1)×3n－1.即a n＝(a－1)×3n－1＋1，故a2 021＝(a－1)×32 021－1＋1＝(a－1)×32 020＋1，应选B.]3．如果执行如图的算法框图，输入正整数N(N≥2)和实数a1，a2，…，a N，输出A，B，那么( )A ．A ＋B 为a 1，a 2，…，a N 的和 B ．A ＋B2为a 1，a 2，…，a N 的算术平均数C ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数D ．A 和B 分别是a 1，a 2，…，a N 中最小的数和最大的数C [易知A ，B 分别为a 1，a 2，…，a N 中最大的数和最小的数．应选C.] 考点3 算法框图的补充与完善具体解题方法有以下两种：一是先假定空白处填写的条件，再正面执行程序，来检验填写的条件是否正确；二是根据结果进行回溯，直至确定填写的条件是什么．(1)(2019·全国卷Ⅰ)如图是求12＋12＋12的算法框图，图中空白框中应填入( )A ．A ＝12＋AB ．A ＝2＋1AC ．A ＝11＋2AD ．A ＝1＋12A(2)(2017·全国卷Ⅰ)如下图的算法框图是为了求出满足3n －2n >1 000的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．A >1 000和n ＝n ＋1B ．A >1 000和n ＝n ＋2C ．A ≤1 000和n ＝n ＋1D ．A ≤1 000和n ＝n ＋2(1)A (2)D [(1)执行第1次，A ＝12，k ＝1≤2，是，因为第一次应该计算12＋12＝12＋A，k ＝k ＋1＝2，循环，执行第2次，k ＝2≤2，是，因为第二次应该计算12＋12＋12＝12＋A，k ＝k ＋1＝3，循环，执行第3次，k ＝3≤2，否，输出A ，故循环体为A ＝12＋A，应选A.秒杀速解：认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为A ＝12＋A.(2)因为题目要求的是“满足3n－2n＞1 000的最小偶数n 〞，所以n 的叠加值为2，所以内填入“n ＝n ＋2〞．由算法框图知，当内的条件不满足时，输出n ，所以内填入“A ≤1 000〞．应选D.]确定控制循环变量的思路，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．[教师备选例题]1．如图是计算1＋13＋15＋…＋131的值的算法框图，那么图中①②处应填写的语句分别是( )A ．n ＝n ＋2，i >16B ．n ＝n ＋2，i ≥16C ．n ＝n ＋1，i >16D ．n ＝n ＋1，i ≥16A [式子1＋13＋15＋…＋131中所有项的分母构成首项为1，公差为2的等差数列． 由31＝1＋(k －1)×2，得k ＝16，即数列共有16项．]2．如图1是某县参加2019年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10(如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数)．如图2是统计图1中身高在一定X 围内学生人数的一个算法框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写( )图1 图2A ．i <6？B ．i <7？C ．i <8？D ．i <9?C [统计身高在160～180 cm 的学生人数，即求A 4＋A 5＋A 6＋A 7的值．当4≤i ≤7时，符合要求．]1.(2019·某某一模)数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，利用如图算法框图计算该数列的项时，假设输出的是2，那么判断框内的条件不可能是( )A ．n ≤2 012B ．n ≤2 015C ．n ≤2 017D ．n ≤2 018C [通过分析，本算法框图为“当型〞循环结构，判断框内为满足循环的条件，循环前，A ＝12，n ＝1； 第1次循环，A ＝1－2＝－1，n ＝1＋1＝2；第2次循环，A ＝1＋1＝2，n ＝2＋1＝3；第3次循环，A ＝1－12＝12，n ＝3＋1＝4； …所以，程序运行时计算A 的值是以3为周期循环，当程序运行后输出A ＝2时，n ＋1能被3整除，此时不满足循环条件．分析选项中的条件，满足题意的C.应选C.]第1题图 第2题图2．(2019·某某二模)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，f (x )＝2 019x 2 018＋2 018x 2 017＋…＋2x ＋1，算法框图设计的是求f (x 0)的值，在M 处应填的执行语句是( )A ．n ＝2 018－iB ．n ＝2 019－iC ．n ＝i ＋1D ．n ＝i ＋2B [由中的算法框图可知：该算法框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，结合算法框图的功能可知： n 的值为多项式的系数，为2 019,2 018,2 017，…，1，由算法框图可知，处理框处应该填入n ＝2 019－i .应选B.]。
高三数学(文)总复习：第十章算法初步、统计、统计案例
第十章错误!算法初步、统计、统计案例第一节算法初步1．算法（1）算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．（2）应用：算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题．2．程序框图定义：程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构及相应语句名称示意图相应语句顺序结构①输入语句：INPUT “提示内容”；变量②输出语句：PRINT “提示内容"；表达式③赋值语句：变量＝表达式条件结构IF 条件THEN语句体END IFIF 条件THEN语句体1ELSE语句体2END IF循环结构直到型循环结构DO循环体LOOP UNTIL条件当型循环结构WHILE 条件循环体WEND［小题体验]1．（教材习题改编)如图所示的程序框图的运行结果为________．解析:因为a＝2，b＝4,所以输出S＝错误!＋错误!＝2．5．答案：2．52．执行如图的程序框图，则输出的结果为________．解析：进行第一次循环时，S＝错误!＝20，i＝2，S＝20〉1；进行第二次循环时，S＝205＝4，i＝3，S＝4〉1；进行第三次循环时，S＝错误!＝0．8，i＝4,S＝0．8〈1，此时结束循环，输出的i＝4．答案：41．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算,而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环"，是循环结构必不可少的一部分．3．易混淆当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”；而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”；两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．[小题纠偏］1．按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件为（）A ．i ＞7？B ．i ＞9？C ．i ＞10？D ．i ＞11?解析：选A ∵21＋23＋25＋27＝170,∴判断框内应补充的条件为i ＞7？或i ≥9?．2．如图所示，程序框图的输出结果是________．解析：第一次循环:S ＝错误!,n ＝4； 第二次循环：n ＝4<8，S ＝错误!＋错误!,n ＝6;第三次循环:n ＝6<8，S ＝错误!＋错误!＋错误!，n ＝8；第四次循环：n ＝8<8不成立，输出S ＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!． 答案：1112考点一 算法的三种基本结构错误!［题组练透］1．（2016·北京高考）执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1,则输出的k 值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 开始a＝1，b＝1，k＝0；第一次循环a＝－错误!，k ＝1；第二次循环a＝－2,k＝2；第三次循环a＝1,条件判断为“是”，跳出循环,此时k＝2．2．定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则错误!⊗错误!的值为（)A．4 B．3C．2 D．－1解析：选A 由程序框图可知，S＝错误!因为2cos错误!＝1，2tan错误!＝2，1<2，所以错误!⊗错误!＝2(1＋1)＝4．3．（2016·全国甲卷）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2，5，则输出的s＝( ）A．7B．12C．17D．34解析：选C 第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2;第三次运算：s＝6×2＋5＝17,k＝3〉2，结束循环，输出s＝17．4．（2016·河南省六市第一次联考)如图所示的程序框图,若输出的S＝88，则判断框内应填入的条件是( )A．k>3？B．k>4?C．k>5？D．k〉6？解析：选C 依次运行程序框图中的语句:k＝2，S＝2；k＝3，S ＝7；k＝4，S＝18;k＝5，S＝41；k＝6，S＝88,此时跳出循环，故判断框中应填入“k>5？"．[谨记通法]程序框图的3个常用变量（1）计数变量：用来记录某个事件发生的次数,如i＝i＋1．(2）累加变量：用来计算数据之和,如S＝S＋i．(3)累乘变量：用来计算数据之积,如p＝p×i．[提醒] 处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．错误!错误!［锁定考向］算法是高考热点内容之一,算法的交汇性问题是高考的一大亮点．常见的命题角度有：(1）与概率、统计的交汇问题；(2)与函数的交汇问题；(3)与不等式的交汇问题;(4)与数列求和的交汇问题．［题点全练]角度一：与概率、统计的交汇问题1．（2016·黄冈模拟)随机抽取某中学甲、乙两个班各10名同学,测量他们的身高获得身高数据的茎叶图如图(1），在样本的20人中，记身高在［150,160），[160，170），［170,180）,[180，190）的人数依次为A1,A2，A3,A4．如图(2)是统计样本中身高在一定范围内的人数的算法框图．若图中输出的S＝18,则判断框内应填________．图（1) 图(2)解析:由于i从2开始,也就是统计大于或等于160的所有人数,于是就要计算A2＋A3＋A4，因此，判断框应填i＜5?或i≤4?．答案：i＜5？或i≤4?角度二：与函数的交汇问题2．（2017·成都质检)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．－错误!B．0C．错误!D．336错误!解析：选C 由框图知输出的结果s＝sin错误!＋sin错误!＋…＋sin错误!，因为函数y＝sin错误!x的周期是6，所以s＝336错误!＋sin错误!＝336×0＋错误!＝错误!,故选C．角度三：与不等式的交汇问题3．(2016·全国乙卷)执行如图所示的程序框图,如果输入的x＝0,y＝1,n＝1，则输出x，y的值满足（）A．y＝2x B．y＝3xC．y＝4x D．y＝5x解析：选C 输入x＝0，y＝1，n＝1，运行第一次，x＝0,y＝1,不满足x2＋y2≥36；运行第二次，x＝错误!，y＝2，不满足x2＋y2≥36；运行第三次，x＝32,y＝6，满足x2＋y2≥36，输出x＝错误!，y＝6．由于点错误!在直线y＝4x上，故选C．角度四：与数列求和的交汇问题4．如图所示的程序框图,该算法的功能是( ）A．计算（1＋20）＋(2＋21)＋(3＋22）＋…＋(n＋1＋2n）的值B．计算（1＋21)＋(2＋22)＋（3＋23）＋…＋（n ＋2n)的值C．计算（1＋2＋3＋…＋n）＋（20＋21＋22＋…＋2n－1)的值D．计算［1＋2＋3＋…＋(n－1）］＋（20＋21＋22＋…＋2n）的值解析：选C 初始值k＝1，S＝0,第1次进入循环体时，S＝1＋20,k＝2；第2次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21，k＝3，第3次进入循环体时，S＝1＋20＋2＋21＋3＋22,k＝4．…；给定正整数n，当k＝n时,最后一次进入循环体，则有S＝1＋20＋2＋21＋…＋n＋2n－1，k＝n＋1,终止循环体，输出S＝(1＋2＋3＋…＋n）＋(20＋21＋22＋…＋2n－1）,故选C．［通法在握]解决算法交汇问题的3个关键点（1)读懂程序框图，明确交汇知识；（2)根据给出问题与程序框图处理问题；（3）注意框图中结构的判断．[演练冲关]1．（2017·南昌模拟）从1,2,3，4，5，6,7,8中随机取出一个数为x,执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于40的概率为（）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选B 依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13，22,31，40，49，58，67,76，所以输出的x不小于40的概率为错误!．2．(2016·长春市质检)运行如图所示的程序框图,则输出的S值为( ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：选A 由程序框图可知,输出的结果是首项为错误!，公比也为错误!的等比数列的前9项和,即为错误!,故选A．3．执行如图所示的程序框图,若输入x＝9，则输出y＝________．解析：第一次循环：y＝5，x＝5;第二次循环：y＝错误!，x＝错误!；第三次循环：y＝错误!，此时｜y－x｜＝错误!＝错误!<1，故输出y＝错误!．答案：错误!考点三算法基本语句错误!［典例引领］设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是（）错误!A．13 B．13．5C．14 D．14．5解析:选A 当填13时，i值顺次执行的结果是5,7，9，11，当执行到i＝11时，下次就是i＝13，这时要结束循环，因此计算的结果是1×3×5×7×9×11，故不能填13,但填的数字只要超过13且不超过15均可保证最后一次循环时，得到的计算结果是1×3×5×7×9×11×13,故选A．［由题悟法］算法语句应用的4个关注点(1)输入、输出语句：在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号，变量之间用逗号隔开．(2）赋值语句：左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量．（3)条件语句：条件语句中包含条件语句时，要分清内外条件结构，保证结构完整性．(4）循环语句：分清“for”和“while”的格式,不能混用．［即时应用］1．根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为( ）A．25 B．30C．31 D．61解析：选C该语句表示分段函数y＝错误!当x＝60时，y＝25＋0．6×（60－50）＝31．∴输出y的值为31．2．按照如图程序运行，则输出K的值是________．解析：第一次循环，X＝7，K＝1；第二次循环，X＝15,K＝2；第三次循环，X＝31，K＝3，X>16，终止循环,则输出K的值是3．答案：3一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈［－1,3］,则输出的s属于（)A．[－3，4]B．[－5，2］C．［－4，3］D．［－2，5]解析：选A 当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈［－3,3)．当1≤t≤3时,s＝4t－t2．函数在[1，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减．∴s∈［3，4］．综上知s∈[－3，4]．2．(2016·沈阳市教学质量监测）执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，b＝－2,则输出的a的值为( )A．16B．8C．4D．2解析：选B 当a＝－1，b＝－2时，a＝(－1)×(－2）＝2〈6；a ＝2，b＝－2时,a＝2×（－2)＝－4<6；当a＝－4，b＝－2时，a＝(－4）×(－2)＝8>6，此时输出的a＝8，故选B．3．（2017·合肥质检)执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3,则输入的a的值可以是（) A．20 B．21C．22 D．23解析：选A 根据程序框图可知，若输出的k＝3，则此时程序框图中的循环结构执行了3次，执行第1次时，S＝2×0＋3＝3，执行第2次时，S＝2×3＋3＝9,执行第3次时，S＝2×9＋3＝21，因此符合题意的实数a的取值范围是9≤a<21，故选A．4．（2016·四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3，2,则输出v的值为（)A．9 B．18C．20 D．35解析：选B 由程序框图知，初始值:n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次循环:v＝4，i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0;第三次循环：v＝18,i＝－1．结束循环,输出当前v的值18．故选B．二保高考，全练题型做到高考达标1．已知实数x∈[2,30］，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率为( )A．错误!B．错误!C．59D．49解析:选B 由程序框图可知,经过3次循环跳出，设输入的初始值为x＝x0，则输出的x＝2[2（2x0＋1）＋1]＋1≥103,所以8x0≥96，即x0≥12，故输出的x不小于103的概率为P＝30－1230－2＝1828＝错误!．2．（2017·长春模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝7，则输入的整数K的最大值是（）A．18 B．50C．78 D．306解析：选C 第一次循环S＝2，n＝2,第二次循环S＝6，n＝3，第三次循环S＝2，n＝4，第四次循环S＝18，n＝5,第五次循环S＝14，n＝6，第六次循环S＝78,n＝7，需满足S≥K,此时输出n＝7，所以18＜K≤78,所以整数K的最大值为78．3．（2016·福建省毕业班质量检测）执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）A．1 B．2C．8 D．9解析：选C 由程序框图可知,其功能是运算分段函数y＝错误!因为y＝3，所以错误!或错误!或错误!解得x＝－2或x＝8，故选C．4．执行如图所示的程序框图,如果输入n的值为4，则输出S的值为( )A．15 B．6C．－10 D．－21解析：选C 当k＝1，S＝0时，k为奇数，所以S＝1，k＝2,2<4；k＝2不是奇数，所以S＝1－4＝－3，k＝3,3<4；k＝3是奇数，所以S＝－3＋9＝6，k＝4,4＝4；k＝4不是奇数,所以S＝6－16＝－10，k ＝5，5>4，所以输出的S＝－10,故选C．5．（2017·黄山调研)我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺,两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n＝( ）A．4 B．5C．2 D．3解析：选A 第一次循环，得S＝2，否;第二次循环，得n＝2，a＝错误!，A＝2，S＝错误!,否；第三次循环，得n＝3，a＝错误!，A＝4，S＝错误!,否;第四次循环，得n＝4，a＝错误!，A＝8，S＝错误!〉10，是,输出的n＝4，故选A．6．（2017·北京东城模拟)如图给出的是计算错误!＋错误!＋错误!＋错误!＋…＋错误!的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A．i＜50？B．i＞50？C．i＜25? D．i＞25?解析：选B 因为该循环体需要运行50次，i的初始值是1，间隔是1,所以i＝50时不满足判断框内的条件，而i＝51时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入i〉50?．7．如图（1）是某县参加2 016年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位:cm)在[150，155）内的学生人数）．图（2)是统计图(1）中身高在一定范围内学生人数的一个程序框图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm）的学生人数，则在流程图中的判断框内应填写( )A．i＜6？B．i＜7？C．i＜8? D．i＜9?解析：选C 统计身高在160～180 cm的学生人数，则求A4＋A5＋A6＋A7的值．当4≤i≤7时，符合要求．8．执行如图所示的程序框图，如果输入的x,y∈R，那么输出的S的最大值为( )A．0 B．1 C．2 D．3解析：选C 当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1，当条件x≥0,y≥0，x＋y≤1成立时S＝2x ＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．作出不等式组错误!表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知当直线S ＝2x＋y经过点M(1,0）时S最大，其最大值为2×1＋0＝2，故输出S的最大值为2．9．(2016·山东高考）执行如图所示的程序框图,若输入的a，b 的值分别为0和9,则输出的i的值为________．解析：第1次循环：a＝0＋1＝1,b＝9－1＝8，a＜b，此时i＝2；第2次循环:a＝1＋2＝3，b＝8－2＝6，a＜b，此时i＝3；第3次循环:a＝3＋3＝6，b＝6－3＝3,a＞b,输出i＝3．答案：310．(2017·广州市五校联考)如图所示的程序框图，其输出结果为________．解析:由程序框图，得S＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋错误!＝1－错误!＝错误!，故输出的结果为错误!．答案：67第二节随机抽样1．简单随机抽样 （1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)特点：每个个体被抽到的概率相等；（3）常用方法：抽签法和随机数法．2．分层抽样(1）在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法是一种分层抽样．(2）分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样．3．系统抽样的步骤假设要从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本．(1)先将总体的N 个个体编号；（2）确定分段间隔k，对编号进行分段．当错误!（n是样本容量)是整数时，取k＝错误!；（3）在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l（l≤k）;(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号l＋k，再加k得到第3个个体编号l＋2k，依次进行下去，直到获取整个样本．[小题体验］1．（教材习题改编）老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5,10，15，20,25,30,35,40,45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（）A．随机抽样 B．分层抽样C．系统抽样D．以上都不是解析：选C 因为抽取学号是以5为公差的等差数列，故采用的抽样方法应是系统抽样．2．（教材习题改编)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析：设应从高二年级抽取x名学生,则错误!＝错误!．解得x＝15．答案：151．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当错误!不是整数时,注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．3．分层抽样中,易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即错误!．［小题纠偏］1．利用简单随机抽样从含有8个个体的总体中抽取一个容量为4的样本，则总体中每个个体被抽到的概率是________．解析：总体个数为N＝8，样本容量为M＝4，则每一个个体被抽到的概率为P＝错误!＝错误!＝错误!．答案：错误!2．已知某商场新进3 000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标,现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11,则第六十一组抽出的号码为________．解析：每组袋数:d＝错误!＝20，由题意知这些号码是以11为首项,20为公差的等差数列．a61＝11＋60×20＝1 211．答案：1 211考点一简单随机抽样错误![题组练透]1．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（)7816 6572 0802 6314 07024369 9728 01983204 9234 4935 8200 36234869 6938 7481A．08 B．07C．02 D．01解析:选D 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08，02，14，07，01，所以第5个个体的编号是01．2．下列抽样试验中,适合用抽签法的有( ）A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱（每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验解析：选B A，D中的总体中个体数较多，不适宜抽签法,C 中甲、乙两厂的产品质量有区别,也不适宜抽签法，故选B．3．利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为错误!，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为（）A．错误!B．错误!C．514D．错误!解析：选C 根据题意，错误!＝错误!，解得n＝28．故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为错误!＝错误!．[谨记通法]简单随机抽样的特点（1）抽取的个体数较少．（2)是逐个抽取．(3）是不放回抽取．(4)是等可能抽取．只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．错误!错误!［典例引领]（2016·兰州市实战考试)采用系统抽样方法从1 000人中抽取50人做问卷调查,将他们随机编号1，2，…，1 000．适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8．若抽到的50人中，编号落入区间［1，400］的人做问卷A,编号落入区间[401,750］的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷C的人数为（)A．12 B．13C．14 D．15解析：选A 根据系统抽样的特点可知，所有做问卷调查的人的编号构成首项为8,公差d＝错误!＝20的等差数列｛a n｝，∴通项公式a n＝8＋20（n－1)＝20n－12，令751≤20n－12≤1 000，得错误!≤n≤错误!，又∵n∈N＊，∴39≤n≤50，∴做问卷C的共有12人,故选A．［由题悟法]系统抽样的3个关注点(1）若不改变抽样规则,则所抽取的号码构成一个等差数列，其首项为第一组所抽取的号码，公差为样本间隔．故问题可转化为等差数列问题解决．(2)抽样规则改变，应注意每组抽取一个个体这一特性不变．（3）如果总体容量N不能被样本容量n整除,可随机地从总体中剔除余数，然后再按系统抽样的方法抽样．［即时应用］1．（2016·江西八校联考)从编号为001,002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032，则样本中最大的编号应该为（) A．480 B．481C．482 D．483解析：选C 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a1＝7,a2＝32，d＝25，所以7＋25（n－1）≤500,所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482．2．(2017·安徽皖北联考）某学校采用系统抽样方法,从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33~48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（)A．5 B．7C．11 D．13解析：选B 把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组，所以第1组抽到的数为39－32＝7．错误!错误![典例引领]1．（2015·湖北高考）我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（) A．134石B．169石C．338石D．1 365石解析：选B 设1 534石米内夹谷x石,则由题意知错误!＝错误!,解得x≈169．故这批米内夹谷约为169石．2．（2015·福建高考）某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．解析：设男生抽取x人,则有错误!＝错误!，解得x＝25．答案：25[由题悟法]进行分层抽样的相关计算时,常用到的2个关系(1)错误!＝错误!；（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．[即时应用]1．某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中抽取________所学校，中学中抽取________所学校．解析:因为分层抽样也叫按比例抽样，所以应从小学中抽取错误!×30＝错误!×30＝18(所)，同理可得从中学中抽取错误!×30＝错误!×30＝9（所)．答案：18 92．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：产品类别A B C产品数量(件）1 300样本容量(件)130由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C的产品数量是________件．解析:设样本容量为x，则错误!×1 300＝130，∴x＝300．∴A产品和C产品在样本中共有300－130＝170（件）．设C产品的样本容量为y，则y＋y＋10＝170,∴y＝80．∴C产品的数量为错误!×80＝800(件）．答案：800一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．下面的抽样方法是简单随机抽样的是（)A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2 709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品,称其重量是否合格C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中抽取3件进行质量检验解析：选D A、B是系统抽样,因为抽取的个体间的间隔是固定的；C是分层抽样，因为总体的个体有明显的层次;D是简单随机抽样．2．某工厂生产A，B,C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽取容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为( ）A．50 B．60C．70 D．80解析：选C 由分层抽样方法得错误!×n＝15，解之得n＝70．3．某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中,那么样本中还有一个同学的学号是（)A．10 B．11C．12 D．16解析：选D 因为29号、42号的号码差为13，所以3＋13＝16，即另外一个同学的学号是16．4．某单位有职工480人,其中青年职工210人,中年职工150人，老年职工120人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．解析：设样本容量为n，则错误!＝错误!，n＝16．则样本容量为16．答案：165．为了了解1 200名学生对学校某项教改实验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本,考虑采取系统抽样，则分段的间隔k 为________．解析：在系统抽样中，确定分段间隔k，对编号进行分段，k＝Nn（N为总体的容量，n为样本的容量)，所以k＝错误!＝错误!＝40．答案：40二保高考，全练题型做到高考达标1．从30个个体中抽取10个样本,现给出某随机数表的第11行到第15行(见下表)，如果某人选取第12行的第6列和第7列中的数作为第一个数并且由此数向右读，则选取的前4个的号码分别为( )9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 16405858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 78142889 6628 6757 8231 1589 0062 0047 38155131 8186 3709 4521 6665 5325 5383 27029055 7196 2172 3207 1114 1384 4359 4488A．76，63，17，00 B．16,00，02，30C．17,00，02，25 D．17，00,02，07解析：选D 在随机数表中,将处于00～29的号码选出，第一个数76不合要求，第2个63不合要求，满足要求的前4个号码为17,00,02,07．2．一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2,3,…，9．现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是( )A．72 B．74C．76 D．78解析：选C 由题意知：m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76．故选C．3．（2017·兰州双基测试）从一个容量为N的总体中抽取一个容量为n的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3,则（）A．p1＝p2〈p3B．p2＝p3〈p1C．p1＝p3<p2D．p1＝p2＝p3解析：选D 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知，无论哪种抽样，每个个体被抽中的概率都是相等的，所以p1＝p2＝p3．4．某工厂在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a,b，c构成等差数列,则第二车间生产的产品数为( )A．800双B．1 000双C．1 200双D．1 500双解析：选C 因为a,b，c成等差数列，所以2b＝a＋c,即第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的三分之一,根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的三分之一，即为1 200双皮靴．5．将参加夏令营的600名学生编号为：001,002,…,600．采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在A营区，从301到495在B营区,从496到600在C营区，则三个营区被抽中的人数依次为（)A．26，16,8 B．25,17,8C．25,16，9 D．24，17，9解析:选B 依题意及系统抽样的意义可知,将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N＊）组抽中的号码是3＋12（k－1)．令3＋12(k－1）≤300,得k≤错误!，因此A营区被抽中的人数是25;令300〈3＋12(k－1）≤495，得错误!〈k≤42，因此B营区被抽中的人数是42－25＝17，故C营区被抽中的人数为50－25－17＝8．故选B．6．一汽车厂生产A，B，C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表（单位：辆):50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为________．解析：由题意可得错误!＝错误!，解得z＝400．答案：4007．（2017·北京海淀模拟）某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示,现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时,估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．。
2020版高考数学复习第十章算法初步、统计与统计案例10.1算法初步课件文北师大版
考点3
思考应用顺序结构与选择结构时应注意什么? 解题心得应用顺序结构与选择结构的注意点: (1)顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、 框与框之间是按从上到下的顺序进行的. (2)选择结构:利用选择结构解决算法问题时,重点是判断框,是否 满足判断框内的条件,对应的下一图框中的内容是不一样的,故要 重点分析判断框内的条件是否满足.
10.1
算法初步
-2知识梳理
考点自诊
1.算法的含义 在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的 步骤 , 通过实施这些 步骤 来解决问题,通常把这些 步骤 称为 解决这些问题的算法. 2.算法框图 在算法设计中,算法框图可以准确、清晰、直观地表达解决问题 的思想和步骤,算法框图的三种基本结构: 顺序结构 、 选择结构 、 循环结构 .
-10知识梳理
考点自诊
2.(2018全国2,文8)为计算 S=1-2 + 3 − 4+…+99 − 100 ,设计了下 面的程序框图,则在空白框中应填入( B )
1
1
1
1
1
A.i=i+1 C.i=i+3
B.i=i+2 D.i=i+4
1 解析:由于 N=0,T=0,i=1,N=0+ =1, 1 1 1 1 1 1 T=0+ = ,i=3,N=1+ , T= + ,i=5… 1+1 2 3 2 4 1 1 1 1 1 最后输出 S=N-T=1- + − +…+ − , 2 3 4 99 100 1 1 一次处理 ������ 与 ������+1两项,故 i=i+2.
-9知识梳理
高考数学一轮总复习第十章算法初步统计与统计案例10.1算法初步课件理
A．－5 C．－1
B．5 D．－2
解析：根据判断框，如果 x＜0，则执行 y＝3x－2， 当 x＝－1 时，x＜0，则 y＝3×(－1)－2＝－5，故选 A.
答案：A
第十一页，共45页。
2．执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 s 的值是( )
A．1 C．4
B．2 D．7
第十二页，共45页。
第十五页，共45页。
3
考点疑难突破
第十六页，共45页。
算法(suàn fǎ)的三种基本结构
[题 组 训 练]
1. (2017 年全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输
出 S 的值小于 91，则输入的正整数 N 的最小值为( )
A．5B．4C．3D．2第十七页，共45页。
解析：第一次循环，S＝0＋100＝100，M＝－11000＝－10，t＝t＋1＝2；第二次循 环，S＝100－10＝90，M＝－－1100＝1，t＝t＋1＝3；此时 S＜91，应满足条件输出， 此时 t＝3，所以输入的正整数 N 的最小值为 2.
循环结构.
考
第五页，共45页。
方程求解、不等式求 解、数列求和、统计 量计算等问题交汇命 题；给出程序框图的
2
基础自主梳理
第六页，共45页。
「基础知识填一填」 1．算法 (1)算法通常是指按照 一定(yīdìng解)规决则某一类问题的明确(m和íng有qu限è) (y的ǒu步xi骤àn．) (2)应用：算法通常可以编成计算机程序 ，让计算机执行并解决问题． 2．程序框图 定义：程序框图又称流程图，是一种用 程序框 、流程线及 文字说明 来表示 算法的图形．
3 A.4 C．87
B．58 D．12
2019届高考数学一轮复习 第十章 算法初步、统计、统计案例 第一节 算法初步课件 理.pptx
问题． 2．程序框图
程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明 来表示算法的图形．
6
3．三种基本逻辑结构及相应语句
名称 示意图
相应语句
①输入语句：
INPUT “提示内容”；变量
顺序结构
②输出语句： PRINT “提示内容”；表达式
分清“当型”和“直到型”的格式，不能混用
24
考点二 顺序结构和条件结构 [考什么·怎么考]
顺序结构和条件结构在高考中单独命题的机会较 小，且多为选择题，难度较小，属于低档题.
25
1．执行如图所示的程序框图．若输出 y＝－ 3，则输入角 θ＝( )
π A.6
B．－π6
π C.3
D．－π3
解析：由输出 y＝－ 3<0，排除 A、C，又当 θ＝－π3时，输出
(2)领悟该语句的功能；
(3)根据语句的功能运行程序，解决问题．
2．算法语句应用的 4 关注
输入、输 在输入、输出语句中加提示信息时，要加引号， 出语句 变量之间用逗号隔开
赋值语句 左、右两边不能对换，赋值号左边只能是变量
条件语句
条件语句中包含多个条件语句时，要分清内外条 件结构，保证结构的完整性
循环语句
第十章
算法初步、统计、统计案例
1
第一 节
算法初步
2
课前·双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
课堂·考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
课后·三维演练
分层训练，梯度设计，及时查漏补缺
3
课 前 双基落实
知识回扣，小题热身，基稳才能楼高
高考数学大一轮复习 第十章 算法初步、统计、统计案例精品讲义 理(含解析)
第十章算法初步、统计、统计案例第一节算法初步基础盘查算法及程序框图(一)循纲忆知1．了解算法的含义，了解算法的思想．2．理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环．(二)小题查验1．判断正误(1)任何算法必有条件结构( )(2)算法可以无限操作下去( )(3)▱是赋值框，有计算功能( )答案：(1)×(2)×(3)×2．(人教A版教材例题改编)已知程序框图如图所示，则输出的结果是________．答案：5 0503．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是____________．解析：运行框图：第一步：S＝1，k＝1;第二步：S＝3，k＝2；第三步：S＝11，k＝3；第四步：S＝11＋211＞100，k＝4.故输出的k＝4.答案：44．(2015·广州模拟)执行如图的程序框图，如果输入的N的值是6，那么输出的p的值是________．解析：由程序框图可得p＝1×3×5×7＝105.答案：105考点一算法的基本结构|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]程序框图的三种基本结构(1)顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下顺序进行的．程序框图中一定包含顺序结构．(2)条件结构当需要对研究对象进行逻辑判断时，要使用条件结构，它是根据指定条件选择执行不同指令的控制结构．(3)循环结构两种循环结构的特点直到型循环结构：在执行了一次循环体后，对条件进行判断，如果条件不满足，就继续执行循环体，直到条件满足时终止循环．当型循环结构：在每次执行循环体前，对条件进行判断，当条件满足时，执行循环体，否则终止循环．[题组练透]1．(2015·威海一模)根据给出的程序框图，计算f(－1)＋f(2)＝( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选A 输入－1，满足x≤0，所以f(－1)＝4×(－1)＝－4；输入2，不满足x ≤0，所以f (2)＝22＝4， 即f (－1)＋f (2)＝0.故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选D 在循环体部分的运算为：第一步，M ＝2，S ＝5，k ＝2；第二步，M ＝2，S ＝7，k ＝3.故输出结果为7.3．(2014·重庆高考)执行如图所示的程序框图，若输出k 的值为6，则判断框内可填入的条件是( )A ．s >12B ．s >35C ．s >710D ．s >45解析：选C 当输出k 的值为6时，s ＝1×910×89×78＝710，结合题中的程序框图知，选C.[类题通法]1．解决程序框图问题要注意几个常用变量：(1)计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i＝i＋1.(2)累加变量：用来计算数据之和，如S＝S＋i.(3)累乘变量：用来计算数据之积，如p＝p×i.2．处理循环结构的框图问题，关键是理解并认清终止循环结构的条件及循环次数．考点二算法的交汇性问题|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]算法是高考热点内容之一，算法的交汇性问题是新课标高考的一大亮点，归纳起来常见的命题角度有：(1)与统计的交汇问题；(2)与函数的交汇问题；(3)与线性规划的交汇问题；(4)与数列求和的交汇问题.角度一：与统计的交汇问题1．某班有24名男生和26名女生，数据a1，a2，…，a50是该班50名学生在一次数学学业水平模拟考试中的成绩(成绩不为0)，如图所示的程序用来同时统计全班成绩的平均分：A，男生平均分：M，女生平均分：W.为了便于区别性别，输入时，男生的成绩用正数，女生的成绩用其成绩的相反数，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入( )A ．T ＞0？，A ＝M ＋W50 B ．T ＜0？，A ＝M ＋W50 C ．T ＜0？，A ＝M －W 50D ．T ＞0？，A ＝M －W50解析：选D 依题意得，全班成绩的平均数应等于班级中所有的学生的成绩总和除以总人数，注意到当T ＞0时，输入的是某男生的成绩；当T ＜0时，输入的是某女生的成绩的相反数．结合题意得，选D.角度二：与函数的交汇问题2．(2014·湖南高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6]解析：选D 由程序框图可知S 是分段函数，且S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 2－2，t ∈[－2，0，t －3，t ∈[0，2]，其值域为(－2,6]∪[－3，－1]＝[－3,6]，故选D.角度三：与线性规划的交汇问题3．(2014·四川高考)执行如图所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，由线性规划的图解法知，目标函数S ＝2x ＋y 的最大值为2，否则，S 的值为1.所以输出的S 的最大值为2.角度四：与数列求和的交汇问题4．(2015·湘潭模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．解析：共循环 2 014次，由裂项求和得S ＝11×2＋12×3＋…＋12 013×2 014＋12 014×2 015＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 013－12 014＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015. 答案：2 0142 015[类题通法]解决算法的交汇性问题的方法(1)读懂程序框图，明确交汇知识； (2)根据给出问题与程序框图处理问题； (3)注意框图中结构的判断．考点三 基本算法语句|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1．条件语句的格式及框图 (1)IF －THEN 格式：(2)IF －THEN －ELSE 格式：2．循环语句的格式及框图(1)UNTIL语句：(2)WHILE语句：[典题例析]1．(2015·湖北八市联考)按照如图程序运行，则输出K的值是________．X＝3K＝0DOX＝2*X+1K=K+1LOOP UNTIL X＞16PRINT KEND解析：第一次循环，X＝7，K＝1；第二次循环，X＝15，K＝2；第三次循环，X＝31，K＝3；终止循环，输出K的值是3.答案：32．(2015·西安模拟)如图所示的程序中，输出的S的值为________．解析：根据多次赋值的意义，有a＝5，b＝6＝c，∴S＝5＋6＋6＝17.答案：17[类题通法]1．输入语句、输出语句和赋值语句基本对应于算法的顺序结构．2．在循环语句中也可以嵌套条件语句，甚至是循环语句，此时需要注意嵌套格式，这些语句需要保证算法的完整性，否则就会造成程序无法执行．[演练冲关](2015·南京三模)执行下边的程序，输出的结果是________．S＝1i＝3WHILE S＜＝200S＝S*ii＝i＋2WENDPRINT iEND解析：根据循环结构可得：第一次：S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，由3≤200，则循环；第二次：S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，由15≤200，则循环；第三次：S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，由105≤200，则循环；第四次：S＝105×9＝945，i＝9＋2＝11，由945＞200，则循环结束，故此时i＝11.答案：11一、选择题1．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( )a＝3b＝5c＝6a＝bb＝cS＝a＋b＋cPRINT SENDA．15 B．105C．245 D．945解析：选B 逐次计算的结果是T＝3，S＝3，i＝2；T＝5，S＝15，i＝3；T＝7，S＝105，i＝4，此时输出的结果为S＝105.选B.2．执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于( )A．[－3,4] B．[－5,2]C．[－4,3] D．[－2,5]解析：选A 当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈[－3,3)．当1≤t≤3时，s＝4t－t2.函数在[1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减．∴s∈[3,4]．综上知s∈[－3,4]．故选A.3．(2014·陕西高考)根据如图所示的框图，对大于2的整数N，输出的数列的通项公式是( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2(n －1)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －1解析：选C 由程序框图可知：a 1＝2×1＝2，a 2＝2×2＝4，a 3＝2×4＝8，a 4＝2×8＝16，归纳可得：a n ＝2n，故选C.4．(2014·江西高考)阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．11解析：选B i ＝1，S ＝0，第一次循环：S ＝0＋lg 13＝－lg 3>－1；第二次循环：i ＝3，S ＝lg 13＋lg 35＝lg 15＝－lg 5>－1；第三次循环：i ＝5，S ＝lg 15＋lg 57＝lg 17＝－lg 7>－1；第四次循环：i ＝7，S ＝lg 17＋lg 79＝lg 19＝－lg 9>－1；第五次循环：i ＝9，S ＝lg 19＋lg 911＝lg111＝－lg 11<－1.故输出i ＝9.5．(2015·北京西城一模)执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝2，b ＝2，那么输出的a 值为( )A ．4B ．16C ．256D ．log 316解析：选C log 32＞4不成立， 执行第一次循环，a ＝22＝4； log 34＞4不成立，执行第二次循环，a ＝42＝16； log 316＞4＝log 334＝log 381不成立， 执行第三次循环，a ＝162＝256；log 3256＞4＝log 381成立，跳出循环体，输出a 的值为256，故选C. 6．(2014·安徽高考)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A．34 B．55C．78 D．89解析：选B 由题中程序框图(算法流程图)知：x＝1，y＝1，z＝2；x＝1，y＝2，z＝3；x＝2，y＝3，z＝5；x＝3，y＝5，z＝8；x＝5，y＝8，z＝13；x＝8，y＝13，z＝21；x＝13，y＝21，z＝34；x＝21，y＝34，z＝55>50，跳出循环．故输出结果是55.7．(2015·辽宁五校联考)某程序框图如图所示，若该程序运行后输出k的值是6，则满足条件的整数S0的个数有( )A．31 B．32C．63 D．64解析：选B 输出k的值为6说明最后一次参与运算的k＝5，所以S＝S0－20－21－22－23－24－25＝S0－63，上一个循环S＝S0－20－21－22－23－24＝S0－31，所以31＜S0≤63，总共32个满足条件的S0.8．(2015·石家庄模拟)某程序框图如图所示，若输出的S＝120，则判断框内为( )A．k＞4? B．k＞5?C．k＞6? D．k＞7?解析：选B 依题意，进行第一次循环时，k＝1＋1＝2，S＝2×1＋2＝4；进行第二次循环时，k＝2＋1＝3，S＝2×4＋3＝11；进行第三次循环时，k＝3＋1＝4，S＝2×11＋4＝26；进行第四次循环时，k＝4＋1＝5，S＝2×26＋5＝57；进行第五次循环时，k＝5＋1＝6，S＝2×57＋6＝120，此时结束循环，因此判断框内应为“k＞5？”，选B.二、填空题9．(2015·南京模拟)根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为________．S＝0For I From 1 To 10S＝S＋IEnd ForPrint S解析：解析：这是一个1＋2＋3＋…＋10的求和，所以输出的S的值为55.答案：5510．关于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，1＜x≤4，cos x，－1≤x≤1的程序框图如图所示，现输入区间[a，b]，则输出的区间是________．解析：由程序框图的第一个判断条件为f(x)＞0，当f(x)＝cos x，x∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0,1]．答案：[0,1]11．(2014·江苏高考改编)如图是一个程序框图，则输出的n的值是________．解析：该程序框图共运行5次，各次2n的值分别是2,4,8,16,32，所以输出的n的值是5.答案：512．(2014·湖北高考)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a ＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.解析：当a＝123时，b＝321－123＝198≠123；当a＝198时，b＝981－189＝792≠198；当a＝792时，b＝972－279＝693≠792；当a＝693时，b＝963－369＝594≠693；当a＝594时，b＝954－459＝495≠594；当a＝495时，b＝954－459＝495＝a，终止循环，输出b＝495.答案：495第二节随机抽样基础盘查一简单随机抽样(一)循纲忆知1．理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本(抽签法、随机数表法)．(二)小题查验1．判断正误(1)在简单随机抽样中，某一个个体被抽到的可能性与第几次抽取有关，第一次抽到的可能性最大( )(2)从100件玩具中随机拿出一件，放回后再拿出一件，连续拿5次，是简单随机抽样( )答案：(1)×(2)×2．(2015·广东七校联考)假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将800袋牛奶按000,001，…，799进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________．(下面摘取了随机数表第7行至第9行)87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：由随机数表，可以看出前4个样本的个体的编号是331,572,455,068.于是，第4个样本个体的编号是068.答案：068基础盘查二系统抽样(一)循纲忆知了解系统抽样方法(编号、分组抽取)．(二)小题查验1．判断正误(1)系统抽样适用于元素个数较多且分布均衡的总体( )(2)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平( )答案：(1)√(2)×2．(人教B版教材习题改编)某工厂平均每天生产某种机器零件大约10 000件，要求产品检验员每天抽取50件零件，检查其质量状况，采用系统抽样方法抽取，若抽取的第一组中的号码为0010，则第三组抽取的号码为________．答案：04103．用系统抽样法(按等距离的规则)要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1～160编号．按编号顺序平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组应抽出的号码为125，则第一组中按此抽签方法确定的号码是________．答案：5基础盘查三分层抽样(一)循纲忆知了解分层抽样的方法(计算抽样比、分层抽取样本)．(二)小题查验1．判断正误(1)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关( )(2)分层抽样时，为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同( )答案：(1)×(2)√2．(人教B版教材例题改编)某校高中生有900名，其中高一有400名，高二有300名，高三有200名，打算抽取容量为45的一个样本，则高三学生应抽取________人．答案：103．某单位有职工480人，其中青年职工210人，中年职工150人，老年职工120人．为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为________．解析：设样本容量为n，则7210＝n480，解得n＝16.答案：16考点一简单随机抽样|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识](1)抽取方式：逐个不放回抽取；(2)每个个体被抽到的概率相等；(3)常用方法：抽签法和随机数法．[提醒] 简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样，且每个个体被抽到的概率相等．[题组练透]1．下列抽取样本的方式是简单随机抽样的有( )①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A ①不满足样本的总体数较少的特点；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点．2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150,120,180,150个销售点．公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区有20个大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务等情况，记这项调查为②，则完成①，②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法解析：选B 一般甲、乙、丙、丁四个地区会存在差异，采用分层抽样法较好．在丙地区中抽取的样本个数较少，易采用简单随机抽样法．3．(2013·江西高考)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A．08 B．07C．02 D．01解析：选D 从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的数字为08,02,14,07,01，…，故选出的第5个个体的编号为01.[类题通法]抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．考点二系统抽样|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]系统抽样的步骤假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．(1)先将总体的N个个体编号；(2)确定分段间隔k ，对编号进行分段．当N n (n 是样本容量)是整数时，取k ＝N n ；(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l ≤k )；(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l 加上间隔k 得到第2个个体编号l ＋k ，再加k 得到第3个个体编号l ＋2k ，依次进行下去，直到获取整个样本．[提醒] 系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当N n不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的，各段入样的个体编号成等差数列．[典题例析](2014·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )A ．50B ．40C ．25D ．20 解析：由1 00040＝25，可得分段的间隔为25.故选C. 答案：C[类题通法]解决系统抽样问题的两个关键步骤(1)分组的方法应依据抽取比例而定，即根据定义每组抽取一个样本．(2)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定了．[演练冲关]已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．(1)若第1组抽出的号码为2，_________________________；(2)分别统计这5名职工的体重(单位：千克)，获得体重数据的茎叶图如图所示，则该样本的方差为________．解析：(1)由题意知被抽出职工的号码为2,10,18,26,34.(2)由茎叶图知5名职工体重的平均数x ＝59＋62＋70＋73＋815＝69， 则该样本的方差s 2＝15×[(59－69)2＋(62－69)2＋(70－69)2＋(73－69)2＋(81－69)2]＝62.答案：(1)2,10,18,26,34(2)62考点三 分层抽样的交汇命题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识](1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．(2)分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．[提醒] 分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的，即样本容量n 总体个数N. [多角探明]分层抽样是历年高考的重要考点之一，高考中常把分层抽样、频率分布、概率综合起来进行考查，反映了当前高考的命题方向．这类试题难度不大，但考查的知识面较为宽广，在解题中要注意准确使用所学知识，不然在一个点上的错误就会导致整体失误.常见的命题角度有：(1)与频率分布相结合问题；(2)与概率相结合问题.角度一：与频率分布相结合问题1．(2014·广东高考)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．100,10B ．200,10C ．100,20D ．200,20解析：选D 易知(3 500＋4 500＋2 000)×2%＝200，即样本容量；抽取的高中生人数为2 000×2%＝40，由于其近视率为50%，所以近视的人数为40×50%＝20.角度二：与概率相结合问题2．(2015·广东六校联考)某市A ，B ，C ，D 四所中学报名参加某高校2014年自主招生的学生人数如下表所示：中学的学生中随机抽取50名参加问卷调查．(1)从A ，B ，C ，D 四所中学中各抽取多少名学生？(2)从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，求这2名学生来自同一所中学的概率；(3)在参加问卷调查的50名学生中，从来自A ，C 两所中学的学生中随机抽取2名学生，用X 表示抽得A 中学的学生人数，求X 的分布列．解：(1)由题意知，四所中学报名参加该高校2014年自主招生的学生总人数为100，则抽样比为50100＝12. ∵30×12＝15,40×12＝20,20×12＝10,10×12＝5， ∴应从A ，B ，C ，D 四所中学中抽取的学生人数分别为15,20,10,5.(2)设“从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学”为事件M ，∵从50名学生中随机抽取2名学生的取法共有C 250＝1 225种，来自同一所中学的取法共有C 215＋C 220＋C 210＋C 25＝350(种)，∴P (M )＝3501 225＝27. 即从参加问卷调查的50名学生中随机抽取2名学生，这2名学生来自同一所中学的概率为27. (3)由(1)知，来自A ，C 两所中学的学生人数分别为15,10.依题意得，X 的所有可能取值为0,1,2，∵P (X ＝0)＝C 210C 225＝320，P (X ＝1)＝C 115C 110C 225＝12， P (X ＝2)＝C 215C 225＝720，∴X 的分布列为P 320 12 720[类题通法]进行分层抽样的相关计算时，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比．一、选择题1．(2014·湖南高考)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1、p 2、p 3，则( )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：选D 根据抽样方法的概念可知，简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种抽样方法，每个个体被抽到的概率都是n N，故p 1＝p 2＝p 3，故选D.2．某学校有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 解析：选D 从全体学生中抽取100名应用分层抽样法，按男、女学生所占的比例抽取．故选D.3．(2015·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n ＝( )A ．54B ．90C ．45D ．126解析：选B 依题意得33＋5＋7×n ＝18，解得n ＝90，即样本容量为90. 4．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是( )A ．5B ．7C ．11D ．13解析：选B 间隔数k ＝80050＝16，即每16人抽取一个人．由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数为7.5．某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，恰好抽到了4个男生、6个女生，则下列命题正确的是( )A ．该抽样可能是简单随机抽样B ．该抽样一定不是系统抽样C ．该抽样中女生被抽到的概率大于男生被抽到的概率D ．该抽样中女生被抽到的概率小于男生被抽到的概率解析：选A 本题看似是一道分层抽样的题，实际上每种抽样方法都可能出现这个结果，故B 不正确．根据抽样的等概率性知C ，D 不正确．6．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01,02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为( )A ．C ．02D ．17解析：选C 从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21,32,09,16,17,02，故选出的第6个红色球的编号为02.二、填空题7．(2014·天津高考)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．解析：设应从一年级本科生中抽取x 名学生， 则x300＝44＋5＋5＋6，解得x ＝60. 答案：608．(2014·湖北高考)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．解析：分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的有50件，则乙设备生产的有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件．答案：1 8009．某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成(每人只参加一项)，现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本，若分别采用系统抽样法和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为n＋1时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为________．解析：总体容量为6＋12＋18＝36.当样本容量为n时，由题意可知，系统抽样的抽样距为36n，分层抽样的抽样比是n36，则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为6×n36＝n6，篮球运动员人数为12×n36＝n3，足球运动员人数为18×n36＝n2，可知n应是6的倍数，36的约数，故n＝6,12,18.当样本容量为n＋1时，剔除1个个体，此时总体容量为35，系统抽样的抽样距为35n＋1，因为35n＋1必须是整数，所以n只能取6，即样本容量n为6.答案：610．(2015·北京海淀区期末)某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为 1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.答案：50 1 015三、解答题11．用分层抽样法从高中三个年级的相关人员中抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表：年级 相关人数 抽取人数高一 99 x 高二 27 y高三182(1)求x ，y 的值；(2)若从高二、高三年级抽取的人中选2人，求这2人都来自高二年级的概率．解：(1)由题意可得x 99＝y 27＝218，所以x ＝11，y ＝3.(2)记从高二年级抽取的3人为b 1，b 2，b 3，从高三年级抽取的2人为c 1，c 2，则从这两个年级抽取的5人中选2人的所有等可能基本事件共有10个：(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)，设所选的2人都来自高二年级为事件A ，则A 包含的基本事件有3个：(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)．则P (A )＝310＝0.3，故所选的2人都来自高二年级的概率为0.3. 12．一次数学模拟考试，共12道选择题，每题5分，共计60分，每道题有四个可供选择的答案，仅有一个是正确的．学生小张只能确定其中10道题的正确答案，其余2道题完全靠猜测回答．小张所在班级共有40人，此次考试选择题得分情况统计表如下：得分(分) 40 45 50 55 60 百分率15%10%25%40%10%(1)应抽取多少张选择题得60分的试卷？(2)若小张选择题得60分，求他的试卷被抽到的概率． 解：(1)得60分的人数为40×10%＝4. 设抽取x 张选择题得60分的试卷，则2040＝x4，则x ＝2，故应抽取2张选择题得60分的试卷．(2)设小张的试卷为a 1，另三名得60分的同学的试卷为a 2，a 3，a 4，所有抽取60分试卷的方法为：(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，a 4)，(a 2，a 3)，(a 2，a 4)，(a 3，a 4)共6种，其中小张的试卷被抽到的抽法共有3种，故小张的试卷被抽到的概率为P ＝36＝12.第三节用样本估计总体基础盘查一频率分布直方图(一)循纲忆知1．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率分布折线图，体会他们各自的特点．2．会用样本的频率分布估计总体分布．(二)小题查验1．判断正误(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率( )(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为1( )答案：(1)×(2)√2．(人教A版教材习题改编)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数有________人．答案：253．一个容量为200的样本的频率分布直方图如图所示，则样本数据落在[5,9)内的频率和频数分别为______________．解析：由频率分布直方图可得样本数据落在[5,9)内的频率为0.05×4＝0.2，频数为0.2×200＝40.答案：0.2,40基础盘查二茎叶图(一)循纲忆知会画茎叶图，理解茎叶图的特点，并且会用茎叶图估计总体分布．。
高考数学一轮复习第十章算法初步统计统计案例算法初步学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习：算法初步、统计、统计案例第一节算法初步命题分析预测学科核心素养从近五年的考查情况来看，本节是高考的必考内容，一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等偏下．主要的命题角度有选择结构与分段函数相结合，求循环结构的输入、输出值，补全程序框图等．本节通过算法流程图及其应用考查考生的数学运算和逻辑推理核心素养．授课提示：对应学生用书第233页知识点算法与算法流程图1．算法(1)算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．(2)应用：算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．2．算法流程图定义：流程图又称程序框图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形．3．三种基本逻辑结构名称内容顺序结构选择结构循环结构定义由若干个依次执行的步骤组成，这是任何一个算法都离不开的基本结构算法的流程根据条件是否成立有不同的流向，条件结构就是处理这种过程的结构从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，反复执行的步骤称为循环体算法流程图•温馨提醒•1．易混淆处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．易忽视循环结构中必有选择结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．1．(2021·唐山摸底)如图所示的算法流程图的功能是()A ．求1－13＋15－17＋…－119的值B ．求1＋13＋15＋17＋…＋119的值C ．求1＋13＋15＋17＋…＋121的值D ．求1－13＋15－17＋…＋121的值解析：输入a ＝1，n ＝1，S ＝0；S ＝1，a ＝－1，n ＝3；S ＝1－13，a ＝1，n ＝5；S ＝1－13＋15，a ＝－1，n ＝7；S ＝1－13＋15－17，a ＝1，n ＝9；…；S ＝1－13＋15－17＋…－119，a ＝1，n ＝21，21>19，退出循环．输出S ＝1－13＋15－17＋…－119．答案：A2．执行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为________．解析：按照算法流程图依次循环运算，当k ＝5时，停止循环，当k ＝5时，S ＝sin 5π6＝12． 答案：123．(易错题)若[x ]表示不超过x 的最大整数，执行如图所示的算法流程图，则输出S 的值为________．解析：由算法流程图可以看出，当n＝8时，S>6时，算法结束，故输出S＝[0]＋[2]＋[4]＋[6]＋[8]＝7．答案：7授课提示：对应学生用书第234页题型一算法流程图输出结果问题1．（2020·高考全国卷Ⅰ）执行下面的程序框图，则输出的n＝（）A．17B．19C．21 D．23解析：由程序框图可知S＝1＋3＋5＋…＋（2m－1）＝m2（m∈N＋），由S＞100，得m＞10（m∈N＋），故当m＝11时循环结束，输出的值为n＝2m－1＝21．答案：C2．（2021·哈尔滨六中期中测试）执行如图所示的算法流程图，若输出的结果是1516，则输入的a 为（ ）A ．3B ．6C ．5D ．4解析：第1次循环，n ＝1，S ＝12；第2次循环，n ＝2，S ＝12＋122；第3次循环，n ＝3，S ＝12＋122＋123；第4次循环，n ＝4，S ＝12＋122＋123＋124＝1516．因为输出的结果为1516，所以判断框的条件为n <4，所以输入的a 为4． 答案：D3．（2020·高考江苏卷）如图是一个算法流程图，若输出y 的值为－2，则输入x 的值是_________．解析：由于2x ＞0，所以y ＝x ＋1＝－2， 解得x ＝－3．答案：－3解决程序框图推结果问题要注意几个常用变量（1）计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如i ＝i ＋1． （2）累加变量：用来计算数据之和，如S ＝S ＋i ． （3）累乘变量：用来计算数据之积，如p ＝p ×i ．题型二 算法流程图的补全问题[例] （1）（2019·高考全国卷Ⅰ）如图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入（ ）A ．A ＝12＋AB ．A ＝2＋1AC ．A ＝11＋2AD ．A ＝1＋12A（2）（2021·石家庄模拟）执行如图所示的算法流程图，若输出的s ＝25，则判断框中可填入的条件是（ ）A ．i ≤4B ．i ≥4C ．i ≤5D ．i ≥5[解析] （1）对于选项A ，A ＝12＋A ．当k ＝1时，A ＝12＋12，当k ＝2时，A ＝12＋12＋12，故A 正确；经验证选项B ，C ，D 均不符合题意．（2）执行算法流程图，i ＝1，s ＝100－5＝95；i ＝2，s ＝95－10＝85；i ＝3，s ＝85－15＝70；i ＝4，s ＝70－20＝50；i ＝5，s ＝50－25＝25；i ＝6，退出循环．此时输出的s ＝25．结合选项知，选C ．[答案] （1）A （2）C算法流程图的补全及逆向求解问题（1）先假设参数的判断条件满足或不满足；（2）运行循环结构，一直到运行结果与题目要求的输出结果相同为止； （3）根据此时各个变量的值，补全算法流程图．[题组突破]1．如图所示的算法流程图是为了求出满足2＋32＋43＋…＋n ＋1n<2 019的最大正整数n 的值，那么在中，应填入（ ）A ．T <2 019B ．T ≤2 019C ．T ≥2 018D ．T ≥2 019解析：执行程序框图，T ＝0，i ＝1；T ＝0＋2＝2，i ＝2；T ＝2＋2＋12＝2＋32，i ＝3；…；T ＝2＋32＋43＋…＋i ＋1i ，i ＝i ＋1．由题中算法流程图的功能是求出满足2＋32＋43＋…＋n ＋1n <2 019的最大正整数n 的值，知T ＝2＋32＋43＋…＋i ＋1i ≥2 019满足判断框内成立的条件，此时结束循环．故判断框中应填T ≥2 019． 答案：D2．（2021·洛阳质检）执行如图所示的算法流程图，若输出的S ＝2524，则判断框内填入的条件不可以是（ ）A ．k ≤7B ．k <7C ．k ≤8D ．k <8解析：模拟执行算法流程图，可得S ＝0，k ＝0；k ＝2，S ＝12；k ＝4，S ＝12＋14；k ＝6，S ＝12＋14＋16；k ＝8，S ＝12＋14＋16＋18＝2524．由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S 的值为2524．结合选项可得判断框内填入的条件不可以是“k ≤8”． 答案：C算法流程图应用中的核心素养逻辑推理——算法与数学文化的交汇问题1．辗转相除法：求两个正整数的最大公约数的一种方法，这种算法是由欧几里得在公元前330年左右首先提出的，因此又叫欧几里得算法．2．更相减损术：任给两个正整数（若是偶数，先用2约数），以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）（或这个数与约简的数的乘积）就是所求的最大公约数．3．秦九韶算法：我国南宋数学家秦九韶在他的代表作《数书九章》中提出的一种用于计算一元n 次多项式的值的方法．[例] 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法．已知f （x ）＝2 018x 2 017＋2 017x 2 016＋…＋2x ＋1，如图所示的算法流程图是求f （x 0）的值，在“▭”中应填的语句是（ ）A．n＝i B．n＝i＋1C．n＝2 018－i D．n＝2 017－i[解析]由秦九韶算法得f（x）＝2 018x2 017＋2 017x2 016＋…＋2x＋1＝（…（（2 018x＋2 017）x＋2 016）x＋…＋2）x＋1，所以算法流程图的执行框内应填写的语句是n＝2 018－i．[答案] C本例将算法流程图与数学史有机地交融在一起，不仅考查了应用算法思想和逻辑结构分析、解决实际问题，更弘扬了数学文化，陶冶考生的情操．[对点训练]如图所示的算法流程图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该算法流程图，若输入的a，b分别为14，18，则输出的a＝（）A．0 B．2C．4 D．14解析：第一次执行，输入a＝14，b＝18，因为a<b，所以b＝18－14＝4；第二次执行，因为a＝14，b＝4，a>b，所以a＝14－4＝10；第三次执行，因为a＝10，b＝4，a>b，所以a＝10－4＝6；第四次执行，因为a＝6，b＝4，a>b，所以a＝6－4＝2；第五次执行，因为a＝2，b ＝4，a<b，所以b＝4－2＝2，此时a＝b＝2．答案：B。
2022高考数学第十章算法初步统计与统计案例10.1算法初步学案
第十章算法初步、统计与统计案例10.1算法初步必备知识预案自诊知识梳理1.算法的定义通常是指按照一定规则解决某一类问题的和的步骤.2.程序框图(1)概念:程序框图又称,是一种用、及来表示算法的图形.通常程序框图由程序框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带方向箭头,按照算法步骤的执行顺序将连接起来.(2)程序框图的图形符号及其功能:3.三种基本逻辑结构续表(1)(1)(2)(2)4.中国古代数学中的算法案例(1)求两个正整数(奇数)最大公约数的算法①更相减损术:用两数中较大的数减较小的数,把得到的差,与较小的数再构成一对新的数.再用这对数中较大的数减较小的数,以同样的操作一直做下去,直到产生一对相等的数,这个数就是最大公约数.②辗转相除法:用两数中较大的数除以较小的数,把所得的余数和较小的数构成一对新的数,继续做上面的除法,直到较大的数被较小的数除尽,这个较小的数就是最大公约数.(2)秦九韶算法:计算多项式的值的一种方法,如下:f(x)=a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+…+a1x+a0=(a n x n-1+a n-1x n-2+a n-2x n-3+…+a1)x+a0=((a n x n-2+a n-1x n-3+a n-2x n-4+…+a2)x+a1)x+a0=…=(…((a n x+a n-1)x+a n-2)x+…+a1)x+a0.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条件结构和循环结构.()(2)算法只能解决一个问题,不能重复使用.()(3)条件结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的.()(4)当型循环是给定条件不成立时,执行循环体,反复进行,直到条件成立为止.()(5)输入框只能紧接开始框,输出框只能紧接结束框.()2.某地区打的士收费办法如下:不超过2公里收7元,超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2.6元(其他因素不考虑),计算收费标准的程序框图如图所示,则①处应填()A.y=2.0x+2.2B.y=0.6x+2.8C.y=2.6x+2.0D.y=2.6x+2.8(第2题图)(第3题图)3.我国古代数学名著《孙子算经》有鸡兔同笼问题,根据问题的条件绘制如图的程序框图,则输出的x,y分别是()A.12,23B.23,12C.13,22D.22,134.如图的程序框图,当输出y=15后,程序结束,则判断框内应该填()A.x≤1B.x≤2C.x≤3D.x≤4(第4题图)(第5题图)5.运行如图所示的框图对应的程序,输出的结果为.关键能力学案突破考点条件结构为主的结果输出型问题【例1】(1)对任意非零实数a,b,若a☆b的运算原理如图所示,则(lo g√22√2)☆(18)-23=() A.1 B.2 C.3 D.4(第(1)题图)(第(2)题图)(2)输入a=1+√7,b=√3+√5,c=√2+√6,经过如图所示的程序运算后,输出的a,b,c的值分别为()A.1+√7,√3+√5,√2+√6B.√3+√5,1+√7,√2+√6C.√3+√5,√2+√6,1+√7D.√2+√6,√3+√5,1+√7解题心得条件结构程序框图的解题技巧(1)利用条件结构解决算法问题时,要根据题目的要求引入一个或多个判断框,而判断框内的条件不同,对应的下一个程序框中的内容和操作要相应地进行变化,故要逐个分析判断框内的条件.(2)解决此类问题,可按下列步骤进行:①先弄清变量的初始值;②按照程序框图从上到下或从左到右的顺序,依次对每一个语句、每一个判断框进行读取,在读取程序框时,应注意判断后的结论分别对应着什么样的结果,然后按照对应的结果继续往下读取程序框图;③输出结果.(3)如果含有嵌套的条件结构,一定要分清外层条件与内层条件及上下逻辑关系.对点训练1(1)如图是根据我国古代数学专著《九章算术》中更相减损术设计的程序框图,若输入的a=18,b=42,则输出的a=()A.2B.3C.6D.8(2)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生.则按程序框图正确编程运行时输出y的值为3的概率为()A.12B.13C.16D.18考点循环结构为主的结果输出型问题(多考向探究)考向1逐步推理验证类型【例2】(1)执行如图所示的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x(2)执行如图所示的程序框图,则输出的n等于()A.1B.2C.3D.4解题心得解决循环结构程序框图问题的注意事项(1)搞清楚判断框内的条件由计数变量还是累加变量来表示;(2)要注意判断框内的不等式是否带有等号,这直接决定循环次数的多少;(3)要准确利用程序框图的赋值语句与两个变量之间的关系,把握程序框图的整体功能,这样可以直接求解结果,减少运算的次数.对点训练2(2017全国2,理8)执行下面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=()A.2B.3C.4D.5考向2归纳推理得出规律类型【例3】执行如图所示的程序框图,则程序最后输出的结果为()A.15B.25C.35D.45解题心得归纳推理法适用的循环结构程序框图类型(1)在解决一些有规律的科学计算问题,尤其是累加、累乘等问题时,往往可以利用循环结构来解决.执行循环结构首先要分清是先执行循环体,再判断条件,还是先判断条件,再执行循环体.其次注意控制循环的变量是什么,何时退出循环.最后要清楚循环体内的程序是什么,是如何变化的.(2)当循环次数较多时,逐一列出前面的若干步骤,观察、归纳,利用周期性或规律性得出答案.对点训练3执行如图所示的程序框图,则输出的结果n=.考点程序框图的补全问题【例4】如图程序框图是为了求出满足3n-2n>2 020的最小偶数n,那么在和两个空白框中,分别可以填入()A.A>2 020和n=n+1B.A>2 020和n=n+2C.A≤2 020和n=n+1D.A≤2 020和n=n+2解题心得补全程序框图的条件或内容时,应结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件,或累加、累乘的变量的表达式,明确进入循环体时变量的情况、累加或累乘变量的变化.具体解题方法有以下两种:一是先假定空白处填写的条件,再正面执行程序,来检验填写的条件是否正确;二是根据结果进行回溯,直至确定填写的条件是什么.注意:此类问题务必先分清是直到型循环结构还是当型循环结构,二者判断框中的条件在同一问题中相反.对点训练4执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A.s≤34B.s≤56C.s≤1112D.s≤2524考点程序框图的功能判断问题【例5】如图是根据南宋数学家杨辉的“垛积术”设计的程序框图,该程序所能实现的功能是()A.求1+3+5+…+(2n-1)B.求1+3+5+…+(2n+1)C.求12+22+32+…+n2D.求12+22+32+…+(n+1)2解题心得判断程序框图的功能,根据程序框图的运行,分析其功能即可.对点训练52020年国庆期间,全国共接待国内游客6.18亿人次,其中某30个景区日均实际接待人数与最大接待人数比值依次记为a i(i=1,2,…,30),若该比值超过1,则称该景区“爆满”,否则称为“不爆满”,则如图所示的程序框图的功能是()A.求30个景区的爆满率B.求30个景区的不爆满率C.求30个景区的爆满数D.求30个景区的不爆满数第十章 算法初步、统计与统计案例 10.1 算法初步 必备知识·预案自诊知识梳理1.明确 有限2.(1)流程图 程序框 流程线 文字说明流程线 程序框 (2)起始和结束 输入和输出的信息 赋值、计算 成立与否 先后顺序 3.反复执行 循环体考点自诊1.(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)×2.D 当满足条件x>2时,即里程超过2公里,超过2公里时,每车收燃油附加费1元,并且超过的里程每公里收2.6元,所以y=2.6(x-2)+7+1=8+2.6(x-2),即整理可得y=2.6x+2.8.故选D .3.B 由程序框图,得x=1,y=34,S=138;x=3,y=32,S=134;x=5,y=30,S=130;x=7,y=28,S=126;…;x=23,y=12,S=94.输出x=23,y=12.故选B .4.C 当x=-3时,y=3;当x=-2时,y=0;当x=-1时,y=-1;当x=0时,y=0;当x=1时,y=3;当x=2时,y=8;当x=3时,y=15,x=4,结束.所以y 的最大值为15,可知x ≤3符合题意.判断框应填x ≤3,故选C .5.19 第一次循环:S=9>1,S=1,k=2;第二次循环:S=19,k=4;第三次循环:S=13,k=8;第四次循环:S=1,k=16;第五次循环:S=19,k=32;第六次循环:S=13,k=64;第七次循环:S=1,k=128;第八次循。
高考数学一轮复习第十章算法初步统计统计案例专题提能概率统计中的数学建模与数据分析课件
(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列 与数学期望； (2)(ⅰ)若从游客中随机抽取m(m∈N＋)人，记这m人的总分恰为m分的概 率为Am，求数列{Am}的前10项和； (ⅱ)在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计 得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1(n≥2)之间的关系，并求数列{Bn} 的通项公式.
破解此题的关键：一是认真审题，判断随机变量的所有可能取值，并 注意相互独立事件的概率与互斥事件的概率的区别，求出随机变量取 各个值时的概率，从而列出随机变量的分布列；二是将概率的参数表 达式与数列的递推式相结合，可得数列的通项公式，此种解法新颖独 特.
(二)函数与期望相交汇应用 [例2] (2021·重庆一中模拟)某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋 糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的无偿捐献给饲 料加工厂.根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表.该蛋糕店一天 制作了这款蛋糕X(X∈N)个，以x(单位：个，100≤x≤150，x∈N)表示当 天的市场需求量，T(单位：元)表示当天出售这款蛋糕获得的利润.
(一)概率与数列交汇问题 [例 1] (2021·湖北武汉质量监测)武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅 有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景 点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个.为合理配置旅游资源，现对已参观黄 鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记 1 分，若继续游玩 东湖记 2 分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为12，游客之间选择意 愿相互独立.
[解析] (1)X 的所有可能取值为 3，4，5，6.
P(X＝3)＝123＝18，P(X＝4)＝C23123＝38，P(X＝5)＝C23123＝38，P(X＝6)＝ 123＝18. 所以 X 的分布列为
2019届高考数学(文)一轮复习课件-第十章 算法初步、统计、统计案例 10.1
算法初步、统计、统计案例
高考数学
解析：第一次运行后，S＝2，a＝3，n＝1； 第二次运行后，S＝5，a＝5，n＝2； 第三次运行后，S＝10，a＝9，n＝3； 第四次运行后，S＝19，a＝17，n＝4； 第五次运行后，S＝36，a＝33，n＝5； 第六次运行后，S＝69，a＝65，n＝6， 此时不满足 S＜t，输出 n＝6，故选 B. 答案：B
算法初步、统计、统计案例
高考数学
5．(教材习题改编)如图所示的程序框图的运行结果为 ________．
2 4 解析：因为 a＝2，b＝4，所以输出 S＝4＋2＝2.5. 答案：2.5
算法初步、统计、统计案例
高考数学
4 6．执行如图的程序框图，则输出的结果为________ ．
算法初步、统计、统计案例
高考数学
解析：进行第一次循环时， 100 S＝ 5 ＝20，i＝2，S＝20>1； 进行第二次循环时， 20 S＝ 5 ＝4，i＝3，S＝4>1； 进行第三次循环时， 4 S＝5＝0.8，i＝4，S＝0.8<1， 此时结束循环，输出的 i＝4.
算法初步、统计、统计案例
高考数学
考向一
顺序结构与条件结构
[自主练透型]
1．(2017· 山东卷)执行两次下图所示的程序框图，若第一次输 入的 x 的值为 7，第二次输入的 x 的值为 9，则第一次、第二次输 出的 a 的值分别为( ) A．0,0 B．1,1 C．0,1 D．1,0
算法初步、统计、统计案例
高考数学
解析：当 x＝7 时，∵ b＝2，∴ b2＝4＜7＝x. 又 7 不能被 2 整除，∴ b＝2＋1＝3. 此时 b2＝9＞7＝x，∴ 退出循环，a＝1，∴ 输出 a＝1. 当 x＝9 时，∵ b＝2，∴ b2＝4＜9＝x. 又 9 不能被 2 整除，∴ b＝2＋1＝3. 此时 b2＝9＝x，又 9 能被 3 整除，∴ 退出循环，a＝0. ∴ 输出 a＝0. 故选 D. 答案：D
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专题十统计与算法初步
）如果执行右边的程序框图，输入正整数
A . A +
B 为 31 , 32,,, A + B 、” B.—为 31, 32,
C . A 和B 分别是
D . A 和B 分别是 2.（2012高考山东卷）执行下面的程序框图，如果输入 3= 4，那么输出的n 的值为
A . 2 C . 4
D . 5
3.（2012高考安徽卷）甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5次，两人成绩的条形统计图
如图所示，贝y
1.（2012高考课标全国卷
,
N(N > 2)和实数a i ,
a N 的算术平均数
a i , 32, , , a N 中最大的数和最小的数 a i , 32, , , a N 中最小的数和最大的数
7
f
i
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B .甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
C .甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D .甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
甲
S S400
752 800
3 1
02 a
02337
1 2448
238
2
3
4
4.（2012高考陕西
卷）从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机,
计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为别
为m 甲, m乙，贝U
A . x甲＜x乙,m甲＞m乙
C . x甲＞x乙,m甲＞m乙
5.（2012高考陕西卷则图中空白框内应填入
B . x甲＜x乙,
D . x甲＞x乙,
）下图是用模拟方法估计圆周率
m甲＜m乙
m甲＜m乙
n值的程序框
图，
CW)
A/=0,JV=0,i=J
对其销售额进行统
x甲，x乙，中位数分
P表示估计结果,
N
A . P= 1000
C P=皿
C . 1000
_6.(2012 J•考江西卷为
y (x丰y).若样本
4N
B. P=1000 D
P严
D. P1000
)样本(X1, x2, ,, x n)的平均数为
(X1, X2,, X n, y1, y2,,
x，样本（y i, ¥2, , , y m）的平均数
y m）的平均数z = a x +（1 - a y，其中
1
0<a<2，则n , m 的大小关系为
A . nv m
B . n> m
C . n = m
D .不能确定
7. (2012高考天津卷)某地区有小学150所，中学75所，大学25所，现采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 30所学校对学生进行视力调查， 应从小学中抽取 _________ 所学校，中
学中抽取 ________ 所学校.
8. (2012高考广东卷)执行如图所示的程序框图，若输入
10.(2012高考辽宁卷)电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况, 随机抽取了 100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间 的
频率分布直方图：
(I )根据已知条件完成下面的
2 X 2
列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有 关？
非体育迷
体育迷
合计
男
女
10
55
合计
(n)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样 方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为 X.若每次抽 取的结果是相互独立的，求 X 的分布列，期望 E(X)和方差D(X).
n 的值为8,则输出s 的值为
9.(2012高考江西卷)下图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是
专题十统计与算法初步
该框图是求最大数和最小数， A 表示最大的，B 表示最小
的，故选 C. 当 n = 0 时，P = 1，Q = 3.
1 时，P = 5, Q = 7.
X 乙=5(5 X 3+ 6+ 9) = 6,
甲的成绩的方差为5(22
X 2+ 12
x 2)= 2, 乙的成绩的方差为5(12
X 3+ 32
X 1) = 2.4.
4.B 由茎叶图可得X 甲=
8 + 6 + 5 + 8+ 8 + 4 + 50 + 7 + 5+ 2 + 60+ 8 + 90 + 3 + 1 + 80
16
=345 =16 ,
X 乙=
2 + 8 +30 + 2 +3+ 3+ 7 + 100 + 1+ 2 + 4 + 4 +8+ 150 + 2 +3+8+ 120
16
巩才2方)
0. 05
0,01
玄841
& 635
n i +n 2+ n +i n +2
加 2 n (n 11n 22— n
12n 21) ? 附：X =
1. C
2. B 当n =
当 n = 2 时，P = 21, Q = 15. n = 3.
— 1 3.
C
X
=5(4 +5+ 6 +7+ 8)=
=457 =76，
m 甲=20, m 乙=29, 故选B.
5.D 0< X i < 1, OW y i w 1,. S 1= 1, x 2 + y 2
< 1,
即 5 =1
n
4 S 2=
S 1= 1000, r 2由几何概型可得
£= T = 1000,
Z = a X + (1 —
即:
=4M =7000. 6.A 由
1 —'—(X 1 + , + X n +
y
1 + , +
m + n' 1 a .(—.——
~)(X 1 + X 2 + , + m +n n 八
/1 — a 1 =(8 —^^ )(y1 + ‘ + m m+
n
a y m )= 7(X 1 +，+ X n )
y m ), X n )+(y 1+，+ y m )，
刚n —a( m+ n) ...............
即(m+n) n(X1 + X2 + , + 知)
1
n 1 + n 2+n +1n + 2
2
100 X( 30X 10— 45X 15)
100 ___ =
=二~~ 3.030. 75 X 25 X 45 X 55
33
因为3.030<3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
(n)由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率视为概率，即从观众中
抽取一名“体育迷”的概率为 1.
4
由题意X 〜B(3, 4)，从而X 的分布列为1 3
E(X)= np= 3X 4= 4,
13 9
D(X) = np(1 — p) = 3 X [X 4=—
n — a (m + n) , = ------- ---- --•卜1 +，+ y m ), m (m + n ) .■. [n — a ••• XM y,
(m+n)]x — [n — a (m + n)]y= 0; •••n — a (m+ n)
=0
,••• a
= m+n. •/ 0< a 7.18 9 8.8 1 • C n 1 . V1，…OV E1,.. n
< rn.
根据分层抽样的比例相等原则易求结果. 当 i = 2, k = 1 , s = 1 时，2<8, s = 1 X 2 = i = 4, k = 2 时，4<8 , s = 2(2 X 4) = 4. i = 6, k = 3 时，6<8 ,
当 9.3
第二次循环：
第三次循
环；
第四次循S= 3(4 X 6) = 8. s= 8.
i = 8时，跳出循环，二 k = 17 a = 17 T= 17 k= 2, a = 0 7 T = 17 k= 3, a= 0 7 T = 17 k= 4,
a= 17 T= 2 7 k= 5, a = 17T = 37k = 67输出 T = 3. 100人中，“体育迷”有25人，从而2X 2
10.解：(I )由频率分布直方图可知，在抽取的 列联表如下：
将2X2列联表中的数据代入公式计算，得
2_
n (n 11 n 22— n
12门21)
X =
27 27
g KI。