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数学模型课程作业

注意事项:

请将以下作业的答案写(或打印)在一张A4纸上,于16周周四前交给关老师。

交作业方式:14周周四9-10节带至课堂上交。其它时间自行送往行政楼706室上交。(若室内无人,请塞入门缝中。) 题目:

1. 流感病毒的传播符合阻滞增长模型。假设流感自然传播感染率为25%。海上一艘连载有120

人的船,出发时有5人感染了流感,但没有明显症状,所以未有采取措施防止流感传播。请问出海第几天,新增感染人数最多。

(提示:阻滞增长模型:11t t t t a a a r a N +⎛

⎫-=- ⎪⎝

⎭,其中a t :第t 期的数量;r :自然增长率;N :

最大限制值,且r , N > 0.)

答案要求:列出模型;计算出出海第几天,新增感染人数最多。

2. 因为生产成本原因,某汽车制造商在湖南、江西生产汽车,再运往广东、浙江、上海三地

销售。湖南、江西两地汽车年产量与广东、浙江、上海三地年销售量,以及每辆汽车从产地运往销售地的平均成本,见下表(单位:百)

请制定成本最低的配送方案。(提示:用线性规划方法列出成本最低的数学模型) 答案要求:列出线性规划模型;可不算出解。 3. 阻滞增长模型(Logistic 模型):()1rt

N

y t be

-=

+ t :时间;y (t ):t 时刻生物数量;N :环境最大容量,N > 0;r :生物的增长率r > 0;b 为常数。

模型常用于描述受环境约束的生物增长情况。如人口或其它生物数量增长、封闭地区的传染病传播等。

(1)理解如下阻滞增长模型线性化过程:

11ln 1ln 1rt rt

rt N N N N y be be b rt be y y y ---⎛⎫=

⇒=+⇒-=⇒-=- ⎪+⎝⎭

令21ln 1,ln ,N Y p b p r y ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭则:21ln 1ln N b rt Y p p t y ⎛⎫

-=-⇒=+ ⎪⎝⎭

(2)利用阻滞增长模型线性化结果,根据“数据.xls ”中1954年至2005年我国总人口数据,(研究认为我国最大人口容量约为15亿)分析我国总人口随时间变化的关系。 答案要求:列出我国总人口随时间变化的Logistic 模型;通过回归给出模型回归系数的值。 4. 请计算出下图从点 a 出发到点 j 的最短路径:

a

j

2

k

答案要求:列出点 a 到点 j 的最短路径及其长度。

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