均布荷载荷载是均匀分布的
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力系的简化
平面 汇交力系 力偶系 空间 平行力系 一般力系 简化----用最简单的力系等效替换复杂力系。
力系
1源自文库
第五节
基本力系的简化
一、汇交力系及其简化
•汇交力系(concurrent force system) ： 所有力的作用线汇交于一点的力系。
2
F1
F1
F2
F3
F2
Fn
Fn
A
F2
A
F1
F4
• 若汇交力系中，力的作用线在同一平面内， 则称为平面汇交力系(concurrent coplanar force system)。 • 若汇交力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为 空间汇交力系(concurrent noncoplanar force system) 。
合力大小： FR Fi 求合力作用点
x
O
建立如图坐标系，对x和y轴的矩：
M x yC FR yi Fi M y xC FR xi Fi
将力旋转90o，对x轴的矩：
xC
xF
i
i
yC zC
FR yi Fi FR
i i
平行力系 中心坐标
M x zC FR zi Fi
V
28
• 均质等厚薄板或薄壳的重心公式
xC
A
xdA A
yC
A
ydA A
zC
A
zdA A
• 均质等截面细杆（线）的重心公式
xC xdl
l
l
yC
ydl
l
l
zC
zdl
l
l
29
重心与形心 什么叫形心？ • 重心与形心是两个不同的概念，重心与重力场有关， 而形心与重力场无关。对均质物体而言，重心与形心 重合。
8
二、力偶系及其简化
1、 概念与性质
F
A
F1
F
F2
'
B
•力偶(couple)： F , F , F F 不共线 •力偶系(couple system)： 作用于刚体上的 一组力偶。
@ 力偶合力为零，不能与单个力等效，是一种最简单力系。 @ 力偶对刚体只产生转动效应，用对任意点的力矩度量。
解：根据合力投影定理
z F1 F3
FRx Fix
0 F2 cos45 0 1 N
FRy Fiy
F3 cos45 F2 cos45 3 N
P1
O
x
P3 FR
F2
7
FRz Fiz
F3 cos45 F1 5 N
F1 F2
F1
h1
h2
F2
12
2、 力偶系的简化
力偶系：作用在刚体上的一群力偶 力偶为自由矢量 移至同一点O
{M1, M2 ,
, Mn} {MR}
力偶简化后仍为力偶
M R M ix i M iy j M iz k
i 1 i 1 i 1
n
n
n
cos(M R , i )
24
分布载荷对A点之矩：
1 2 1 b 1 M A qa a qb (a ) q(2a 2 3ab b 2 ) 2 3 2 3 6
方向顺时针
F1
1 1 qa, F2 qb 2 2
25
例 图示水埧取1m长，已知：砼埧重P1=594kN，土埧重P2=297kN，水深h=8m，求：荷 载向A点简化时主矢、主矩值；在埧底主矩等于零为何处。
则合力：FR Fi Fix i Fiy j Fiz k
FRx i FRy j FRz k
5
则合力：FR Fi Fix i Fiy j Fiz k
FRx i FRy j FRz k
其中
FRx Fix FRy Fiy FRz Fiz
A C
B A B A
B
B
A
xq( x)dx
几种常见的线分布载荷：（见下表）
23
例
将图示分布载荷进行简化，并求对A点之矩。
解：将分布载荷图形分成两个三 角形，每个三角形载荷合力大小 分别为：
1 1 F1 qa, F2 qb 2 2
作用线位置如图示。整个分布载荷的合力大小为
FR F1 F2 1 q(a b) 2
19
均布荷载：荷载是均匀分布的（q为常数）； 非均布荷载：荷载不是均匀分布的（q不是常数）； 荷载图：表示荷载分布情况的图。
问题：如何简化分布荷载？
平行力系简化
20
一、两同向平行力的合成
已知两平行力： F1 F2 ，求其合成结果。 二力向一点C平行移动，附加力偶 M1 M 2 欲使两附加力偶抵消，C点必在AB之间，其位置满足：
设{F 1, F 2,
Fn } 为作用在A点的汇交力系
则该力系的合力为 {FR } {F1, F2 ,
, Fn} (A为作用点)
FR F1 F2
2、 解析法
Fn Fi
z
Fn A x F1
F2
FR
y
建立正交坐标系Oxyz， 每个力可用坐标轴上的分力表达：
Fi Fix i Fiy j Fiz k
B B
求合力大小及作用线位置。
即等于ABba载荷图形的面积。
设合力作用点x坐标为xC： 由合力矩定理： FR xC
B
A
xdFi
xC
即ABba载荷图形形心的x坐标。
结论：沿直线垂直于该直线的同向线荷载， 其合力的大小等于荷载图的面积， 合力方向与原荷载相同，合力作用线通过荷载图的形心。22
q( x)dx x xq( x)dx q ( x ) dx
集中荷载: 力的作用位置可抽象成一个几何点。 分布荷载: 力的作用位置具有一定大小范围。
18
分布荷载的分类：体荷载、面荷载、线荷载
体荷载：荷载分布于某一体积内。（例如重力荷载） 面荷载：荷载分布于某一面积上。（例如楼板承受的荷载） 线荷载：荷载分布于某一狭长形状的体积或面积上时，则可简 化为沿其长度方向中心线分布的线荷载。 常见的平面结构的线荷载： 沿某一直线连续分布的同向平行线荷载（平面平行力系）。 线荷载集度： 作用于构件单位长度上的荷载的大小，常用符号 q表示， 单位为N/m或kN/m。
M1 rBA F1
F2’
M2 rCD F2
rBA F1 M1 M2 rCD F2
11
力偶的性质 性质一 力偶是自由矢量
力偶可在其作用面内任意移动,而不改变对刚体的作用效应
F
F
性质二 在保持力偶矩不变的情况下，同时改变组成力偶的 力大小及力偶臂的长短，则不会改变它对刚体的转动效应。
汇交力系合力矩定理： 若作用在刚体上的汇交力系存在合力，则合力对任一点 A的矩，就等于该力系中各力对同一点之矩的矢量和。
例：求力F对A轴的力矩。
M A ( F ) M A ( Fx ) M A ( Fy ) Fx b Fy a
F cos b F sin a
zF FR
27
1、 重心的概念
重心：物体重力形成的空间平行
力系的中心。
重 心 坐 标 公 式
Pi xi xC , P Pi yi yC , P Pi zi zC P
对 连 续 、 均 匀 物 体
xC V y d v yC V V z dv zC V V xdv
FRy= Fiy=P1＋ P2= 891kN,
主矩：M0= Q· 2.67 ＋P1· 1.5 ＋P2· 4= 2917.38kN· m
主矩等于零处: xR=M0/ FRy=3.28m
26
三、空间平行分布力
z
空间平行力系：{F1, F2 , , Fn}
F2 F1 C F Fi Fn y
若力系最终简化为作用在C点的合力，
r1 F1 r2 F2
A
M1
C
B A
C
B
A r1
C
r2
B
F1
F2
F1 F2 M2 FR
最终简化为作用在C点的合力 FR F1 F2 问题：保持二力平行及作用点A、B不变，改变二力作用方向， 其合力作用点位置发生变化吗？
21
二、平面平行分布力的等效
图中AB线段上作用垂直分布载荷 其合力大小 FR A dFi A q( x)dx
简化为
问题：已知力 F 和与其垂直的力偶 M B ，如何进一步简化该力系？
作用于A点的力 F ' F 大小：rBA 方向（单位矢量）： n
rBA
MB F
定位矢量 rBA如何确定？ 则
F MB M B F MB F2 F F MB
F MB F MB
16
四、力螺旋
3m 1m
0
Q
y
P1
P2
q=y
A FRy y
dy yc
解： 水比重 ：=9.8kN/m3 h 1 水合力: Q qdy h 2γ 314kN 0 2 x h 2 2 水作用点: yC 0 y dy/Q 3h
1 yQ h 2.67m 3
yQ FRx
M0
FRx=Fix =314kN,
z
Fn A x F1
F2
FR
y
合力作用线经过汇交点 合力投影定理
合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一坐 标轴上投影的代数和。
6
例
汇交力系 {F 1F 2
F3} 的作用点在边长为 2m 的正六面体相应
2 N , F3 2 2 N
的顶点O上，三力的大小分别为 F1 3N , F2
求合力。
大小：
为自由矢量 单位：N . m
M d F
F ' F M
B
方向： 垂至于力偶所在平面 指向： 符合右手螺旋法则
F
rBA
A
力偶三要素
10
F’
力偶的等效条件(定理）
{F1 , F1'} {F2 , F2'}
•两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等
M1
B
M2 rBA
A
F1
C
rCD
D
F2
F1’
3
汇交力系简化
1、几何法（矢量法）
设 {F 为作用在A点的力系，求其合力 1, F 2, F 3}
F3
A
F2
F1
FR
F3
FR12
FR
F1
F3
F2
F1
F2
力 多 边 形
FR12 F1 F2
FR FR12 F3
FR F1 F2 F3
合力为力多边形的封闭边， 4 作用于汇交点。
的大小和方向。 解： 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到A点。 合力偶在坐标轴上的投影分别为 合力偶: M Rx M 3 M 4 cos45 M 5 cos45 193.1 N .m MR 193.1 i 80 j 193.1 k M Ry M 2 80 N .m M Rz M1 M 4 cos45 M5 cos45 193.1 N .m 14
三、力的平移定理
F
A B
A
F
B
F '' F ' F
A
F’
B
MB
A B
F’
F
rBA
F”
力的平 移定理
F'F {F}A {F ', MB}B , MB rBA F MB (F ) 15
MB
B
F
F’
A
F
B
F’
A
rBA
B
F”
在垂直 M B的平面上将力偶等效为两个力，且 F ' F '' F
力螺旋：力与某力偶矩矢构成的力系，
若两者平行，则称为力螺旋。
力螺旋也是一种最简单的力系。
如果 FR 与 M O 同向，称为右螺旋； 如果 FR 与 M O 反向，称为左螺旋。
力 FR 的作用线称为力螺旋的中心轴。
17
第六节
平行分布力(荷载)
荷载：工程结构所承受的主动力。 例如：物体的重力、水压力、风力等。 荷载分为：集中荷载（集中力）、分布荷载（分布力）
9
力偶矩 ( moment of a couple )
F
B
MO MO (F ) MO (F ') rA F rB F '
rBA
d
A
rA F rB (F ) (rA rB ) F rBA F
力偶矩： 与取矩点无关
F’
rB
rA
O
M rBA F
M
MR
ix
M R ( M ix )2 ( M iy ) 2 ( M iz ) 2
cos(M R
M , j) MR
iy
cos(M R , k )
M
MR
iz
13
例：工件如图所示，它 的四个面上同时钻五个 孔，每个孔所受的切削 力偶矩均为80 N· m。求
工件所受合力偶矩矢量
合力： FR i 3 j 5k
y
P2
求汇交力系各力对O点力矩之和。
M
i 1
n
O
(Fi )
r F
i 1
n
i
r Fi
n
z
F2 FR Fn
y
r FR MO (FR )
n i 1
i 1
F1 r
o
x
即：
M O ( FR ) M O (Fi )
平面 汇交力系 力偶系 空间 平行力系 一般力系 简化----用最简单的力系等效替换复杂力系。
力系
1源自文库
第五节
基本力系的简化
一、汇交力系及其简化
•汇交力系(concurrent force system) ： 所有力的作用线汇交于一点的力系。
2
F1
F1
F2
F3
F2
Fn
Fn
A
F2
A
F1
F4
• 若汇交力系中，力的作用线在同一平面内， 则称为平面汇交力系(concurrent coplanar force system)。 • 若汇交力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为 空间汇交力系(concurrent noncoplanar force system) 。
合力大小： FR Fi 求合力作用点
x
O
建立如图坐标系，对x和y轴的矩：
M x yC FR yi Fi M y xC FR xi Fi
将力旋转90o，对x轴的矩：
xC
xF
i
i
yC zC
FR yi Fi FR
i i
平行力系 中心坐标
M x zC FR zi Fi
V
28
• 均质等厚薄板或薄壳的重心公式
xC
A
xdA A
yC
A
ydA A
zC
A
zdA A
• 均质等截面细杆（线）的重心公式
xC xdl
l
l
yC
ydl
l
l
zC
zdl
l
l
29
重心与形心 什么叫形心？ • 重心与形心是两个不同的概念，重心与重力场有关， 而形心与重力场无关。对均质物体而言，重心与形心 重合。
8
二、力偶系及其简化
1、 概念与性质
F
A
F1
F
F2
'
B
•力偶(couple)： F , F , F F 不共线 •力偶系(couple system)： 作用于刚体上的 一组力偶。
@ 力偶合力为零，不能与单个力等效，是一种最简单力系。 @ 力偶对刚体只产生转动效应，用对任意点的力矩度量。
解：根据合力投影定理
z F1 F3
FRx Fix
0 F2 cos45 0 1 N
FRy Fiy
F3 cos45 F2 cos45 3 N
P1
O
x
P3 FR
F2
7
FRz Fiz
F3 cos45 F1 5 N
F1 F2
F1
h1
h2
F2
12
2、 力偶系的简化
力偶系：作用在刚体上的一群力偶 力偶为自由矢量 移至同一点O
{M1, M2 ,
, Mn} {MR}
力偶简化后仍为力偶
M R M ix i M iy j M iz k
i 1 i 1 i 1
n
n
n
cos(M R , i )
24
分布载荷对A点之矩：
1 2 1 b 1 M A qa a qb (a ) q(2a 2 3ab b 2 ) 2 3 2 3 6
方向顺时针
F1
1 1 qa, F2 qb 2 2
25
例 图示水埧取1m长，已知：砼埧重P1=594kN，土埧重P2=297kN，水深h=8m，求：荷 载向A点简化时主矢、主矩值；在埧底主矩等于零为何处。
则合力：FR Fi Fix i Fiy j Fiz k
FRx i FRy j FRz k
5
则合力：FR Fi Fix i Fiy j Fiz k
FRx i FRy j FRz k
其中
FRx Fix FRy Fiy FRz Fiz
A C
B A B A
B
B
A
xq( x)dx
几种常见的线分布载荷：（见下表）
23
例
将图示分布载荷进行简化，并求对A点之矩。
解：将分布载荷图形分成两个三 角形，每个三角形载荷合力大小 分别为：
1 1 F1 qa, F2 qb 2 2
作用线位置如图示。整个分布载荷的合力大小为
FR F1 F2 1 q(a b) 2
19
均布荷载：荷载是均匀分布的（q为常数）； 非均布荷载：荷载不是均匀分布的（q不是常数）； 荷载图：表示荷载分布情况的图。
问题：如何简化分布荷载？
平行力系简化
20
一、两同向平行力的合成
已知两平行力： F1 F2 ，求其合成结果。 二力向一点C平行移动，附加力偶 M1 M 2 欲使两附加力偶抵消，C点必在AB之间，其位置满足：
设{F 1, F 2,
Fn } 为作用在A点的汇交力系
则该力系的合力为 {FR } {F1, F2 ,
, Fn} (A为作用点)
FR F1 F2
2、 解析法
Fn Fi
z
Fn A x F1
F2
FR
y
建立正交坐标系Oxyz， 每个力可用坐标轴上的分力表达：
Fi Fix i Fiy j Fiz k
B B
求合力大小及作用线位置。
即等于ABba载荷图形的面积。
设合力作用点x坐标为xC： 由合力矩定理： FR xC
B
A
xdFi
xC
即ABba载荷图形形心的x坐标。
结论：沿直线垂直于该直线的同向线荷载， 其合力的大小等于荷载图的面积， 合力方向与原荷载相同，合力作用线通过荷载图的形心。22
q( x)dx x xq( x)dx q ( x ) dx
集中荷载: 力的作用位置可抽象成一个几何点。 分布荷载: 力的作用位置具有一定大小范围。
18
分布荷载的分类：体荷载、面荷载、线荷载
体荷载：荷载分布于某一体积内。（例如重力荷载） 面荷载：荷载分布于某一面积上。（例如楼板承受的荷载） 线荷载：荷载分布于某一狭长形状的体积或面积上时，则可简 化为沿其长度方向中心线分布的线荷载。 常见的平面结构的线荷载： 沿某一直线连续分布的同向平行线荷载（平面平行力系）。 线荷载集度： 作用于构件单位长度上的荷载的大小，常用符号 q表示， 单位为N/m或kN/m。
M1 rBA F1
F2’
M2 rCD F2
rBA F1 M1 M2 rCD F2
11
力偶的性质 性质一 力偶是自由矢量
力偶可在其作用面内任意移动,而不改变对刚体的作用效应
F
F
性质二 在保持力偶矩不变的情况下，同时改变组成力偶的 力大小及力偶臂的长短，则不会改变它对刚体的转动效应。
汇交力系合力矩定理： 若作用在刚体上的汇交力系存在合力，则合力对任一点 A的矩，就等于该力系中各力对同一点之矩的矢量和。
例：求力F对A轴的力矩。
M A ( F ) M A ( Fx ) M A ( Fy ) Fx b Fy a
F cos b F sin a
zF FR
27
1、 重心的概念
重心：物体重力形成的空间平行
力系的中心。
重 心 坐 标 公 式
Pi xi xC , P Pi yi yC , P Pi zi zC P
对 连 续 、 均 匀 物 体
xC V y d v yC V V z dv zC V V xdv
FRy= Fiy=P1＋ P2= 891kN,
主矩：M0= Q· 2.67 ＋P1· 1.5 ＋P2· 4= 2917.38kN· m
主矩等于零处: xR=M0/ FRy=3.28m
26
三、空间平行分布力
z
空间平行力系：{F1, F2 , , Fn}
F2 F1 C F Fi Fn y
若力系最终简化为作用在C点的合力，
r1 F1 r2 F2
A
M1
C
B A
C
B
A r1
C
r2
B
F1
F2
F1 F2 M2 FR
最终简化为作用在C点的合力 FR F1 F2 问题：保持二力平行及作用点A、B不变，改变二力作用方向， 其合力作用点位置发生变化吗？
21
二、平面平行分布力的等效
图中AB线段上作用垂直分布载荷 其合力大小 FR A dFi A q( x)dx
简化为
问题：已知力 F 和与其垂直的力偶 M B ，如何进一步简化该力系？
作用于A点的力 F ' F 大小：rBA 方向（单位矢量）： n
rBA
MB F
定位矢量 rBA如何确定？ 则
F MB M B F MB F2 F F MB
F MB F MB
16
四、力螺旋
3m 1m
0
Q
y
P1
P2
q=y
A FRy y
dy yc
解： 水比重 ：=9.8kN/m3 h 1 水合力: Q qdy h 2γ 314kN 0 2 x h 2 2 水作用点: yC 0 y dy/Q 3h
1 yQ h 2.67m 3
yQ FRx
M0
FRx=Fix =314kN,
z
Fn A x F1
F2
FR
y
合力作用线经过汇交点 合力投影定理
合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一坐 标轴上投影的代数和。
6
例
汇交力系 {F 1F 2
F3} 的作用点在边长为 2m 的正六面体相应
2 N , F3 2 2 N
的顶点O上，三力的大小分别为 F1 3N , F2
求合力。
大小：
为自由矢量 单位：N . m
M d F
F ' F M
B
方向： 垂至于力偶所在平面 指向： 符合右手螺旋法则
F
rBA
A
力偶三要素
10
F’
力偶的等效条件(定理）
{F1 , F1'} {F2 , F2'}
•两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等
M1
B
M2 rBA
A
F1
C
rCD
D
F2
F1’
3
汇交力系简化
1、几何法（矢量法）
设 {F 为作用在A点的力系，求其合力 1, F 2, F 3}
F3
A
F2
F1
FR
F3
FR12
FR
F1
F3
F2
F1
F2
力 多 边 形
FR12 F1 F2
FR FR12 F3
FR F1 F2 F3
合力为力多边形的封闭边， 4 作用于汇交点。
的大小和方向。 解： 将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢量表示，并平移到A点。 合力偶在坐标轴上的投影分别为 合力偶: M Rx M 3 M 4 cos45 M 5 cos45 193.1 N .m MR 193.1 i 80 j 193.1 k M Ry M 2 80 N .m M Rz M1 M 4 cos45 M5 cos45 193.1 N .m 14
三、力的平移定理
F
A B
A
F
B
F '' F ' F
A
F’
B
MB
A B
F’
F
rBA
F”
力的平 移定理
F'F {F}A {F ', MB}B , MB rBA F MB (F ) 15
MB
B
F
F’
A
F
B
F’
A
rBA
B
F”
在垂直 M B的平面上将力偶等效为两个力，且 F ' F '' F
力螺旋：力与某力偶矩矢构成的力系，
若两者平行，则称为力螺旋。
力螺旋也是一种最简单的力系。
如果 FR 与 M O 同向，称为右螺旋； 如果 FR 与 M O 反向，称为左螺旋。
力 FR 的作用线称为力螺旋的中心轴。
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第六节
平行分布力(荷载)
荷载：工程结构所承受的主动力。 例如：物体的重力、水压力、风力等。 荷载分为：集中荷载（集中力）、分布荷载（分布力）
9
力偶矩 ( moment of a couple )
F
B
MO MO (F ) MO (F ') rA F rB F '
rBA
d
A
rA F rB (F ) (rA rB ) F rBA F
力偶矩： 与取矩点无关
F’
rB
rA
O
M rBA F
M
MR
ix
M R ( M ix )2 ( M iy ) 2 ( M iz ) 2
cos(M R
M , j) MR
iy
cos(M R , k )
M
MR
iz
13
例：工件如图所示，它 的四个面上同时钻五个 孔，每个孔所受的切削 力偶矩均为80 N· m。求
工件所受合力偶矩矢量
合力： FR i 3 j 5k
y
P2
求汇交力系各力对O点力矩之和。
M
i 1
n
O
(Fi )
r F
i 1
n
i
r Fi
n
z
F2 FR Fn
y
r FR MO (FR )
n i 1
i 1
F1 r
o
x
即：
M O ( FR ) M O (Fi )