数列与函数例题分析

第26课 数列与函数

●考试目标 主词填空

1.函数的定义域常要推导或计算才能确定，而数列的定义域都是已知的，是事先确定的，要么是集合{1，2，3，…，n }.要么是{1，2，3，…，n ，…}.

2.函数的值域须依其定义域推算确定，数列的值域也是计算所得：且为{a 1，a 2，…，a n }或{a 1，a 2，a 3，…，a n ，…}.

3.函数的图像最常见的是连续不断的曲线(若是分段函数则在每一段上是连续不断的曲线)，而数列对应的点(n ，a n )描绘出来的图形是一些“孤零零的点”，不是线状图形.

4.函数的单调性考察，须在其定义域内任取x 1，x 2，不妨设x 1

5.函数的最值，在数列中就是“最大项”或“最小项”.

6.函数的作图，往往要利用函数的各种性质或用“变换”作图，而数列的图形只须描点即可. ●题型示例 点津归纳

【例1】 填空题.(1)函数f (x )=si n 5x

π(x ∈N *)的值域是 ，最大函数值为 .

(2)当且仅当n = 时，数列{n 2-21n }单调增.

【解前点津】 (1)考察函数在一个周期内的取值情况即可.

(2)a n =n 2-21n 解不等式：a n

【规范解答】 (1)f (1)=si n 5π，f (2)=si n 52π，f (3)=si n 53π=si n 52π，f (4)=si n 54π=si n 5

π，f (5)=0，故值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧

--52sin ,52sin

,5sin ,5sin ,0πππ

π. (2)令a n =n 2-21n .由a n 10.故n ∈{11，12，13，…}.

【解后归纳】 考察数列{a n }的单调性，关键是看a n a n +1)成立与否.

【例2】 判断并证明函数f (x )=1+x -x (x ∈N *)的单调性.

【解前点津】 化函数f (x )为)

1(1

x x ++再比较f (x +1)与f (x )的大小. 【规范解答】 证明：f (x )= )1(1x x ++>0(x ∈N *),故)()1(x f x f +=121+++++x x x x <1，∴

f (x +1)

【解后归纳】 (1)将分子有理化，是逆向思维，(2)当被比较的两个量是正数时，可考虑比较商.

【例3】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，且(3-m )S n +2ma n =m +3(n ∈N *)，其中m 为常数且m ≠-3.

(1)求证：{a n }是等比数列.

(2)若函数{a n }的公比q =f (m )，数列{b n }满足：b 1=a 1，b n =23f (b n -1)(n ∈N *，n ≥2)，求证：⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为

等差数列，并求b n .

【解前点津】 (1)将a n 与S n 的递推式转化为关于a n 与a n +1的递推式；(2)通过变形，证明 111--n n b b (n ≥2)是一个与n 无关的常数. 【规范解答】 证明：(1)由条件：⎩

⎨⎧+=+-+=+-++32)3(32)3(11m ma S m m ma S m n n n n ，两式相减得：(3-m )a n +1+2m (a n +1-a n )=0⇒n n a a 1+=32+m m 与n 无关，故{a n }是一个公比为3

2+m m 的等比数列. (2)由b 1=a 1=1，q =f (m )=

32+m m ，b n =23f (b n -1)=23·3211+--n n b b ⇒b n b n -1+3b n =3b n -1⇒n b 1-11-n b =31，∴⎭

⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是首项为1，公差为31的等差数列，∴n b 1=1+31-n =32+n ，∴b n =23+n . 【解后归纳】 将a n 与S n 这种异类的递推公式转化为a n 与a n +1(或S n 与S n +1)这种同类的递推公式，是变形的“常用方法”，常用的结论是：a n +1=S n +1-S n .

【例4】 已知等比数列{x n }的各项为不等于1的正数，数列{y n }满足n

a n x y log =2 (a >0，a ≠1)，设y 3=18，y 6=12.

(1)数列{y n }的前多少项和最大?最大值为多少?

(2)试判断是否存在自然数M ，使得n >M 时，x n >1恒成立，若存在，求出相应的M ；若不存在， 请说明理由.

(3)令a n =log n x x n +1(n >13，n ∈N *),试比较a n 与a n +1的大小.

【解前点津】 通过计算y n +1-y n ，考察{y n }的属性，才能计算其前n 项和.

【规范解答】 (1)y n =2log a x n ，y n +1=2log a x n +1⇒y n +1-y n =2log a x n +1-2log a x n =2log a n

n x x 1+，∵{x n }为等比数列，∴n

n x x 1+为定值，∴{y n }为等差数列，又y 6-y 3=3d =12-18，∴d =-2.y 1=y 3-2d =22，∴S n =22n +2

)1(-n n (-2)=-n 2+23n ，∴当n =11或n =12时，S n 取最大值132. (2)已知y n =22+(n -1)·(-2)=2log a x n ，∴x n =a 12-n ，又x n =a 12-n >1恒成立，∴当a >1时，12-n >0，n <12；当012.

∴当0M 时，x n >1恒成立.