北师大版-数学-八年级上册- 里程碑上的数课后拓展训练

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5.5 应用二元一次方程组-里程碑上的数八年级数学北师大版上册课时优化训练(含答案)

5.5应用二元一次方程组—里程碑上的数——八年级数学北师大版(2012)上册课时优化训练1.小张家在小王家西边100米，他们同时从各自家里出发，前往小张家西边的博物馆.设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，如果出发10分钟后两人同时到达了博物馆，并且小张3分钟行走的路程比小王5分钟行走的路程少210米，则可列方程组( )A. B. C. D.2.A地至B地的航线长1200千米,一艘轮船从A地顺水开往B地需30小时,它逆水返回需要40小时,设轮船在静水中的速度为x千米/小时,水速为y千米/小时,可列方程组( )A. B.C. D.3.小明、小华两人练习跑步，如果小华先跑，则小明跑就可追上他；如果小华先跑，则小明跑就可追上他，若设小明的速度为，小华的速度为，则下列符合题意的方程组是( )A. B.C. D.4.作业本中有这样一道题：“小明去郊游，上午8时30分从家中出发，先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息后沿原路返回，正好下午3时到家.若他平路每小时走，登山每小时走，下山每小时走，求小明家到山顶的路程.”小李查看解答时发现答案中的方程组中有污损：则答案中另一个方程应为( )A. B.C. D.5.从甲地到乙地有一段上坡与一段平路,如果保持上坡每小时走3km,平路每小时走4km.下坡每小时走5km,那么从甲地到乙地需54min,从乙地到甲地需42min.设从甲地到乙地的上坡路程长x km,平路路程长为y km,依题意列方程组正确的是( )A. B. C. D.6.“悟空顺风探妖踪，千里只用五分钟；归时五分行六百，试问风速是多少？”大致意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了5分钟：回来时逆风，5分钟只走了600里，试求风的速度是每分钟多少里？( )A.30B.40C.50D.607.小明和小亮练习赛跑，如果小明让小亮先跑2秒，那么小明跑6秒就追上小亮，如果小明让小亮先跑16米，那么小明跑8秒就追上小亮.则小明和小亮每秒跑的路程分别为( )A.6米，4米B.10米，8米C.8米，6米D.6米，8米8.在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图(如图1)浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为( )A.7B.9C.13D.159.2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦,3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦,设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦和,则可列方程组______.10.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60 m，下坡路每分钟走80 m，上坡路每分钟走40 m，则他从家里到学校需10 min，从学校到家里需15min.设平路有，下坡路有，则可列方程组为__________.11.一个两位数,个位数字比十位数字大5,如果把个位数字与十位数字对调,那么所得到的新数与原数的和是99,这个数为________.12.甲、乙两工程队共同修建150 km的公路，原计划30个月完工.实际施工时，甲队通过技术创新，施工效率提高了50%，乙队施工效率不变，结果提前5个月完工.甲、乙两工程队原计划平均每月分别修建公路___________km，___________km.13.一艘轮船在相距的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用了，从乙地到甲地逆流航行用了.（请列方程组解答）（1）求这艘轮船在静水中的速度和水流速度；（2）若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？14.某两位数，两个数位上的数之和为.这个两位数加上，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数.(1)列一元一次方程求解.(2)如果设原两位数的十位数字为，个位数字为，列二元一次方程组.(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组.答案以及解析1.答案：A解析：设小张每分钟走x米，小王每分钟走y米，由题意得，，故选A.2.答案：B解析：设轮船在静水中的平均速度为x千米/小时,水速为y千米/小时,则：船顺水行驶速度为：千米/小时.船顺水行驶速度为：千米/小时.依题意,得：.故选：B.3.答案：D解析：依题意得：，即，故选：D.4.答案：D5.答案：C解析:设从甲地到乙地上坡与平路分别为x km,y km,由题意得:,故选:C.6.答案：B解析：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，依题意，得解得答：风的速度为40里/分钟.故选B.7.答案：C解析：设小明的速度为x米/秒，小亮的速度为y米/秒，则，解得，小明和小亮每秒跑的路程分别为8米，6米，故选：C.8.答案：C解析：根据题意得：，解得：，.故选：C.9.答案：解析：由“2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦”可得：,由“3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦”可得：,因此可列方程组：,故答案为：.10.答案：（变形后正确即可）解析：小华从家到学校时，平路需要的时间为，下坡路需要的时间为；从学校回家时，上坡路需要的时间为，平路需要的时间为.所以可列方程组为11.答案：27解析:设个位数字为x,十位数字为y,由题意,得,解得:,即原来的两位数是27.故答案为:27.12.答案：2；3解析：设甲工程队原计划平均每月修建公路，乙工程队原计划平均每月修建公路，根据题意，得解得13.答案：（1）这艘轮船在静水中的速度是，水流速度是（2）甲、丙两地相距解析：（1）设这艘轮船在静水中的速度是，水流速度是.依题意，得解得答：这艘轮船在静水中的速度是，水流速度是.（2）设甲、丙两地相距，则乙、丙两地相距.依题意，得，解得.答：甲、丙两地相距.14.答案：(1)原两位数为38(2)(3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组解析：（1）设原两位数的个位数字为，则十位数字为，依题意，得：，解得：，∴.答：原两位数为38；（2）设原两位数的十位数字为，个位数字为，依题意，得：；（3）结合（1）可知，，，∴，，∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组.。

北师大版八年级数学上册《5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数》同步练习

5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数一．选择题1．今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有x人，商品的价格为y，依题意可列方程组为（）A．B．C．D．2．一种饮料有两种包装，2大盒、4小盒共装88瓶，3大盒、2小盒共装84瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？设大盒装x瓶，小盒装y瓶，则可列方程组（）A．B．C．D．3．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，其中A型粽子28元/千克，B 型粽子24元/千克．若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，且购进两种粽子共用了2560元．设购进A型粽子x千克，B型粽子y千克，则可列方程为（）A．B．C．D．4．某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，若分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（）A．B．C．D．5．某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：捐款（元）35810人数2■■31表格中捐款5元和8元的人数不小心技墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组（）A．B．C．D．6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（）A．B．C．D．7．甲、乙两种盐水，若分别取甲种盐水240g，乙种盐水120g，混合后，制成的盐水浓度为8%；若分别取甲种盐水80g，乙种盐水160g，混合后，制成的盐水浓度为10%，求甲、乙两种盐水的浓度各是多少？如果设甲种盐水的浓度为x，乙种盐水浓度为y，根据题意，可列出下方程组是（）A．B．C．D．8．用一根长80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm．设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，列出关于x、y的二元一次方程组，下列正确的是（）A．B．C．D．9．一道来自课本的习题：甲乙两人相距27km．若两人同时出发相向而行，则出发1.5h相遇；若两人仍是相向而行，但甲比乙先出发30min，则乙出发70min后两人相遇，求甲乙两人的速度．嘉琪将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设甲乙两人的速度分别为x、ykm/h，已经列出一个方程1.5x+1.5y＝27，则另一个方程是（）A．0.3x+0.7y＝27B．x+y＝27C．x+y＝27D．x+y＝2710．某果园现有桃树和杏树共500棵，计划一年后桃树增加3%，杏树增加4%，这样果园里这两种果树将增加3.6%，如果设该果园现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，可列方程组为（）A．B．C．D．11．A地至B地的航线长9360km，一架飞机从A地顺风飞往B地需12h，它逆风飞行同样的航线要13h，则飞机无风时的平均速度是（）A．720km B．750km C．765km D．780km 12．《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤（16两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问钱数和肉价各是多少？则该问题中，哑巴所带的钱共能买到的肉为（）A．10两B．11两C．12两D．13两13．如图，有四个相同的小长方形和两个相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长与宽的差是（）A．B．﹣C．D．2m﹣3n14．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地（）A．120km B．140km C．160km D．180km15．小林去超市帮妈妈买回一批规格一样的纸杯．如图，他把3个纸杯叠在一起高度是9cm，把8个纸杯叠在一起高度是14cm，若把50个纸杯叠在一起时，它的高度约是（）cm．A．150cm B．56cm C．57cm D．81cm二．填空题16．街道为环卫工人发放口罩，如果每人发5个，还剩下3个，如果每人发6个，还缺5个，则一共有名环卫工人．17．如图，5个大小形状完全相同的长方形纸片，在直角坐标系中摆成如图图案，已知B（﹣8，5），则点A的坐标是．18．某图书馆分两次购进一批图书．第一次购买了A、B两种经典名著若干本，用去5890元；第二次购买了C、D两种现代文学若干本，用去3770元，其中A、B两种图书的数量分别与C、D两种图书的数量相等，且A种图书与D种图书的进价相同，B种图书与C种图书的进价相同．若A、B两种图书的进价之和为105元，则该图书馆购进的这一批图书共有本．19．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果甲乙同时同地出发，反向而行，每隔2分钟相遇一次；如果甲乙同时同地出发，同向而行，每隔6分钟相遇一次．则甲每分钟跑圈．20．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若AD＝12cm，BE＝4cm，则一个小长方形的面积为．21．方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛，问1个大桶和1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组为．22．体育馆的环形跑道长400米，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果同向而行80秒乙追上甲一次；如果反向而行，他们每隔30秒相遇一次；求甲、乙的速度分别是多少？如果设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，所列方程组是．23．甲、乙两种车辆运土，已知5辆甲车和四辆乙车一次可运土140立方米，3辆甲车和2辆乙车一次可运土76立方米，若每辆甲车每次运土x立方米，每辆乙车每次运土y立方米，则可列方程组．24．一个两位数的十位数字与个位数字的和是13，把这个两位数减去27，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，则这个两位数为．25．解古算题：今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱四十八，乙得甲太半而亦钱四十八．甲、乙持钱各几何？题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48，如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱48．则甲带了钱．三．解答题26．某景点的门票价格如下表：购票人数（人）1～5051～99100以上（含100）门票单价（元）484542（1）某校七年级1、2两个班共有102人去游览该景点，其中1班人数少于50人，2班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付4737元，两个班各有多少名学生？（2）该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过50人，九年级的报名人数超过50人，但不超过80人．若两个年级分别购票，总计支付门票费4914元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4452元，问八年级、九年级各报名多少人？27．哈美加在疫情期间决定往灾区捐赠物资，租用了甲和乙两种型号的货车，将已经装箱的药品、食品、日用品运往灾区，每辆车中均装有药品、食品、日用品，其中甲货车总共装箱400箱，药品的箱数占甲车总箱数的．（1）甲货车中药品多少箱？（2）若乙货车的总箱数比甲货车的总箱数多，且乙货车中食品箱数占乙货车总箱数的一半，求乙货车中食品有多少箱？（3）在（1）、（2）的条件下，甲货车中日用品的箱数是乙货车中日用品的箱数的，到灾区两车救灾物资在一起，此时日用品的箱数占两车总箱数的，求甲货车中食品有多少箱？28．某玩具店购进一批甲、乙两款乐高积木，它们的进货单价之和是720元．甲款积木零售单价比进货单价多80元．乙款积木零售价比进货单价的1.5倍少120元，按零售单价购买甲款积木4盒和乙款积木2盒，共需要2640元．（1）分别求出甲乙两款积木的进价；（2）该玩具店平均一个星期卖出甲款积木40盒和乙款积木24盒，经调查发现，甲款积木零售单价每降低2元，平均一个星期可多售出甲款积木4盒，商店决定把甲款积木的零售价下降m（m＞0）元，乙款积木的零售价和销量都不变．在不考虑其他因素的条件下，为了顾客能获取更多的优惠，当m为多少时，玩具店一个星期销售甲、乙两款积木获取的总利润恰为5760元．29．某商店决定购进A、B两种纪念品出售，若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要215元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品10件，需要205元．（1）求A、B两种纪念品的购进单价；（2）已知商店购进两种纪念品（A、B都要有）共花费750元，那么该商店购进这A、B 两种纪念品有几种可行的方案，并写出具体的购买方案．30．如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A在y轴的正半轴上，坐标为（0，a），点B在x轴的负半轴上，坐标为（b，0），同时a、b满足．连接AB，且AB＝10．点D是x轴正半轴上的一个动点，点E是线段AB上的一个动点，连接DE．（1）求A、B两点坐标；（2）若∠BED＝90°，点D的横坐标为x，线段DE的长为d，请用含x的式子表示d；（3）若∠BED＝100°，AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE相交于点F，求∠F的度数．参考答案一．选择题1．解：设有x人，商品的价格为y，依题意，得．故选：D．2．解：由题意可得，，故选：A．3．解：设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意，得，故选：D．4．解：设分配x名工人生产螺栓，y名工人生产螺母，因为一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺栓22个或螺母16个，所以可得方程组：．故选：D．5．解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：，即．故选：A．6．解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，依题意，得：．故选：C．7．解：甲种盐水的浓度为x，乙种盐水的浓度为y，依题意有，故选：A．8．解：设这个长方形的长为xcm、宽为ycm，由“这个长方形的长比宽多10cm”得到方程：x﹣y＝10．由长方形的周长是80cm得到方程：2x+2y＝80．所以由题意可得方程组，，故选：B．9．解：设甲乙两人的速度分别为x、ykm/h，已经列出一个方程1.5x+1.5y＝27，则另一个方程是：（+）x+y＝27，整理得：x+y＝27．故选：C．10．解：设现有桃树和杏树分别为x棵，y棵，根据题意得：，故选：B．11．解：设飞机无风时的平均速度是akm/h，风速为bkm/h，，解得，，即飞机无风时的速度为750km/h，故选：B．12．解：设肉价为x文/两，哑巴所带的钱数为y文，依题意，得：，解得：，∴＝＝11．故选：B．13．解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：m+y﹣x＝n+x﹣y，即2x﹣2y＝m﹣n，整理得：x﹣y＝．则小长方形的长与宽的差是．故选：C．14．解：设甲行驶到C地时返回，到达A地燃料用完，乙行驶到B地再返回A地时燃料用完，如图：设AB＝xkm，AC＝ykm，根据题意得：，解得：．∴乙在C地时加注行驶70km的燃料，则AB的最大长度是140km．或者：设AC＝ykm即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足一下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C回到A．从A到C，甲、乙两车都行驶了AC，即乙车耗油量为ykm，也即甲车注入燃料量为ykm，注入后甲车剩余ykm（刚好返回A地），所以对于甲车，y+y+y＝210，所以y＝70．从乙车角度，从C出发是满燃料，所以AB（105+70）÷2＝140（km）．故选：B．15．解：设1个纸杯的高度为xcm，每叠加1个纸杯高度增加ycm，依题意，得：，解得：，∴x+（50﹣1）y＝56．故选：B．二．填空题（16．解：设一共有x名环卫工人，要发放的口罩共有y个，依题意，得：，解得：．故答案为：8．17．解：设长方形纸片的长为x，宽为y，依题意，得：，解得：，∴x﹣y＝3，x+2y＝6，∴点A的坐标为（﹣3，6）．故答案为：（﹣3，6）．18．解：设购进A种图书x本，B种图书y本，A种图书的单价为a元，则购进C种图书x 本，D种图书y本，B种图书的单价为（105﹣a）元，C种图书的单价为（105﹣a）元，D种图书的单价为a元，依题意，得：，由①+②，得：105（x+y）＝5890+3770，∴x+y＝92，∴2（x+y）＝184．故答案为：184．19．解：设甲的速度为x圈/分钟，乙的速度为y圈/分钟，依题意，得：或，解得：或．故答案为：或．20．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，解得：，∴小长方形的面积＝2×6＝12（cm2）．故答案为：12cm2．21．解：设1个大桶可以盛酒x斛，1个小桶可以盛酒y斛，依题意，可列二元一次方程组，故答案为：．22．解：根据题意，得．故答案为：．23．解：设甲种车辆一次运土x立方米，乙车辆一次运土y立方米，由题意得，，故答案为：．24．解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意，得：，解得：，∴10x+y＝85．故答案为85．25．解：设甲原有的钱数为x，乙原有的钱数为y，根据题意，得，解得：故答案为：36．三．解答题26．解：（1）设七年级1有x名学生，2班有y名学生，由题意得：，解得：，答：七年级1有49名学生，2班有53名学生；（2）设八年级报名x人，九年级报名y人，分两种情况：①若x+y＜100，由题意得：，解得：，（不合题意舍去）；②若x+y≥100，由题意得：，，解得：，符合题意；答：八年级报名48人，九年级报名58人．27．解：（1）400×＝100（箱），答：甲货车中药品100箱；（2）400×（1+）＝600（箱），600×＝300（箱），答：乙货车中食品有300箱；（3）甲货车和乙货车共有：400+600＝1000（箱），1000×＝280（箱），设甲货车中日用品为x箱，乙货车中日用品为y箱，由题意得：，解得：，即甲货车中日用品为120箱，则甲货车中食品的箱数为：400﹣100﹣120＝180（箱），答：甲货车中食品有180箱．28．解：（1）设甲款积木的进价为每盒x元，乙款积木的进价为每盒y元，则，解得：，答：甲款积木的进价为每盒400元，乙款积木的进价为每盒320元；（2）由题可得：（80﹣m）（40+2m）+24×40＝5760，解得m1＝20，m2＝40．因为顾客能获取更多的优惠，所以m＝40．29．解：（1）设A种纪念品的购进单价为x元，B种纪念品的购进单价为y元，依题意，得：，解得：．答：A种纪念品的购进单价为15元，B种纪念品的购进单价为13元．（2）设购进A种纪念品m件，B种纪念品n件，依题意，得：15x+13y＝750，∴x＝50﹣y．∵x，y均为正整数，∴y为15的倍数，∴或或，∴该商店共有3种进货方案，方案1：购进37件A种纪念品，15件B种纪念品；方案2：购进24件A种纪念品，30件B种纪念品；方案3：购进11件A种纪念品，45件B种纪念品．30．解：（1）∵a、b满足，∴解方程组得，，∴点A坐标为（0，8），点B坐标为（﹣6，0）；（2）如图1，连接AD，∵A（0，8），B（﹣6，0），∴OA＝8，OB＝6，在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB＝10．∵点D是x轴正半轴上的一个动点，点D的横坐标为x，∴OD＝x，∴BD＝6+x，∵AB＝10，DE＝d，∠BED＝90°，∴S△BAD＝AB•DE＝BD•OA，∴10d＝8（6+x），∴d＝x+（x＞0）；（3）如图2，延长AF，交BD于点C，∵AF、DF分别平分∠BAO、∠BDE，∴∠CAO＝∠BAO，∠CDF＝∠BDE，∵∠BED＝100°，∠BOA＝90°，∴∠ABD＝180°﹣∠BED﹣∠BDE＝80°﹣∠BDE，又∵∠ABD＝90°﹣∠BAO，∴80°﹣∠BDE＝90°﹣∠BAO，∴∠BAO﹣∠BDE＝10°，∵∠ACD＝90°﹣∠CAO＝90°﹣∠BAO，∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝∠ACD+∠CDF＝90°﹣∠BAO+∠BDE＝90°﹣（∠BAO﹣∠BDE）＝90°﹣×10°＝85°．。

5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数北师大版八年级数学上册教案

应用二元一次方程组 ——里程碑上的数教学目标1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。

2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。

3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

教学过程教学反思一、学习目标：1．用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。

2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型。

3．归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤。

二、自学指导：1．自觉思考：（1）小明的爸爸骑着摩托车，载着小明在公路上匀速行驶。

小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看见里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数。

完成下面问题。

①设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看见里程碑上的数表示出来吗？②本题的等量关系有哪些？（2）两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数。

已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数。

①假设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为。

②你能列出怎样的方程组？（3）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？2．小组交流，讨论。

3．教师点评。

三、当堂训练：1．课后习题2．北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示。

2024八年级数学上册第五章二元一次方程组5应用二元一次方程组__里程碑上的数习题课件新版北师大版

所以第一次他们拼成的两位数为45.
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(3)第二次他们拼成的两位数又是多少呢？
解：(3) x ， y 的位置调换，根据(1)得十位数字是5，个
位数字是4.
所以第二次他们拼成的两位数是54.
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丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，则甲、丙
两地相距多少千米？
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解：(2)设该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的
航行时间均为 z h.
依题意得(12＋3) z ＋(12－3) z ＝90，
解得 z ＝3.75.
所以(12＋3)×3.75＝56.25(km).
所以甲、丙两地相距56.25 km.
y ，则第一次拼成的两位数为10 x ＋ y ，第二次拼成的
两位数为10 y ＋ x .
根据题意，得ቊ
＋ = ，
= ，
解得ቊ
= .
＋ − = ＋，
所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4，5.
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11. 【情境题·游戏活动型】小明和小华在一起玩数字游
年龄是你现在年龄的时候，你就是18岁.”设现在弟弟的
年龄是 x 岁，哥哥的年龄是 y 岁，则下列方程组正确的是
(
D )
＝ − ，
A. ቊ
− = −

北师大版八年级上册数学里程碑上的数课时练(附答案)

北师大版八年级上册数学里程碑上的数课时练（附答案）一、单选题1.如图，面积为 900 的正方形 ABCD 由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中大长方形的长是小长方形长的 3 倍，若中间小正方形（阴影部分）的面积为 16 ，则小长方形的周长是（）A. 16B. 18C. 20D. 242.甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄是（）A. 10岁B. 15岁C. 20岁D. 30岁3.小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时，下坡路的平均速度是5千米/时．若设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟，根据题意可列方程组为（）A.{3x +5y =1200x +y =16)B.{360x +560y =1.2x +y =16)C.{3x +5y =1.2x +y =16)D.{360x +560y =1200x +y =16) 4.永川到成都路程全长288km ，一辆小汽车和一辆客车同时从永川、成都两地相向而行，经过1小时50分钟相遇，相遇时小汽车比客车多行驶40km ．设小汽车和客车的平均速度为x km /h 和y km /h ，则下列方程组正确的是（）A. {x +y =401.5(x +y)=288B. {x −y =401.5(x +y)=288C. {x −y =40116(x +y)=288D. {116(x −y)=40116(x +y)=288 5.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作.在它的“方程”这一章里，二元一次方程组是由算筹（算筹是中国古代用来记数、列式和进行演算的一种工具）来记录的.在算筹记数法中，以“立”“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示两位数时，个位用立式，十位用卧式.如图（1），从左到右列出的算筹数分别表示 x 、 y 的系数与相应的常数项，根据图（1）可列出方程组 {3x +y =177x +4y =23，则根据图（2）列出的方程组是（）A. {x +5y =32x +2y =14B. {x +5y =112x +4y =9C. {x +5y =212x +2y =9D. {x +5y =12x +2y =9二、填空题6.已知关于x 、y 的方程组 {3x +y =5x −2y =2，则2x+3y 的值是________. 7.某铁路桥长y 米，一列x 米长的火车，从上桥到过桥共用30秒，整列火车在桥上的时间为20秒，若火车的速度为20米∕秒，则桥长是________米．8.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2 头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x 两，每只羊值金y 两，可列方程组为________9.一个两位数的各位数字之和为8，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数小18，则原来的两位数是________10.某班有30名同学去看演出，购买甲、乙两种票共用去690元，其中甲种票每张25元，乙种票每张20元，设购买了甲种票x 张，乙种票y 张，由此可列出方程组________．三、解答题11.阅读下列范例，按要求解答问题.例：已知实数a ，b ，c 满足： a +b +2c =1,a 2+b 2+6c +32=0 ，求a ，b ，c 的值.解：∵a+b+2c ＝1，∴a+b ＝1﹣2c ，设 a =1−2c 2+t,b =1−2c 2−t ① ∵ a 2+b 2+6c +32=0 ②将①代入②得： (1−2c 2+t)2+(1−2c 2−t)2+6c +32=0 整理得：t 2+（c 2+2c+1）＝0，即t 2+（c+1）2＝0，∴t ＝0，c ＝﹣1将t ，c 的值同时代入①得： a =32,b =32 .∴ a =b =32,c =−1 .以上解法是采用“均值换元”解决问题.一般地，若实数x ，y 满足x+y ＝m x =m 2+t,y =m 2−t ，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题.现请你根据上述方法试解决下面问题：已知实数a ，b ，c 满足：a+b+c ＝6，a 2+b 2+c 2＝12，求a ，b ，c 的值.12.已知方程组 {ax −by =4,ax +by =6与方程组 {3x −y =5,4x −7y =1 的解相同，求 a ， b 的值．四、综合题13.放学后，小君和小颖分别带有30元钱，到学校附近的地摊上购买一种特殊型号的笔芯和卡通笔记本.这种笔芯每盒10支，如果整盒买比单支买每支可优惠0.5元；一次购买的卡通笔记本达到5本及以上，可以享受9折优惠.小君要买4支笔芯，3本笔记本，共需花30元；小颖要买6支笔芯，2本笔记本，也需30元.（1）如果单独购买，一支笔芯的价格和一本笔记本的价格各是多少元?（2）小君和小颖都还想再买一件单价为3.5元的小工艺品，他们要怎样做才能在现有钱的条件下，既买到各自需要买的文具，又能买到小工艺品呢?请通过计算说明.14.为奖励表现优秀的学生，某校准备购买一批文具袋和圆规作为奖品，已知购买1个文具袋和2个圆规需21元；购买2个文具袋和3个圆规需39元.（1）求文具袋和圆规的单价.（2）学校准备购买文具袋20个，圆规若干.文具店给出两种优惠方案：方案一；购买一个文具袋送1个圆规.方案二：购买圆规10个以上时，超出10个的部分按原价的八折优惠，文具袋不打折.若学校购买圆规100个，则选择哪种方案更合算？请说明理由.答案一、单选题1. B2. C3. B4. D5. C二、填空题6. 37. 5008. {5x +2y =102x +5y =89. 53 10. {x +y =3025x +20y =690三、解答题11. 解：∵ a+b+c ＝6， ∴a+b=6-c ，设a =6−c 2+t ， b =6−c 2−t ①∵ a 2+b 2+c 2＝12②，将①代入②得： (6−c 2+t)2+(6−c 2−t)2+c 2=12 ，整理得： 3c 2-12c+4t 2+12=0，即3（c-2）2+4t 2=0，∴c=2，t=0，将t ，c 的值同时代入①得： a=2，b=2，∴a=b=c=2.12. 解：解方程组 {3x −y =5,4x −7y =1.得 {x =2,y =1. 把 {x =2,y =1. 代入方程组 {ax −by =4,ax +by =6. 得 {2a −b =4,2a +b =6.解这个方程组，得 {a =2.5,b =1.四、综合题13. （1）若单独购买，设一支笔芯x 元，一本笔记本y 元，根据题意，可得{4x +3y =306x +2y =30，解得 {x =3y =6 ，所以，一支笔芯3元，一本笔记本6元；（2）为能买到工艺品，两人可合起来买，享受优惠，两人合起来，需要支付的总价钱为：(6+4)×(3−0.5)+(3+2)×6×0.9=52 （元），小君买笔芯和笔记本需要付的钱为：4×2.5+3×6×0.9=26.2 （元），剩余的钱为3.8元；小颖买笔芯和笔记本需要付的钱为：6×2.5+2×6×0.9=25.8 （元），剩余的钱为4.2元；所以，小君和小颖合起来买后，两人即可以买到笔芯和笔记本，也可以分别买到一件3.5元的工艺品. 14. （1）解：设文具袋的单价为x 元/个，圆规的单价为y 元/个，依题意，得： {x +2y =212x +3y =39 ，解得： {x =15y =3. 答：文具袋的单价为15元/个，圆规的单价为3元/个。

北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》说课稿1

北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》说课稿1一. 教材分析北师大版数学八年级上册5《应用二元一次方程组——里程碑上的数》这一节内容，是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行进一步的拓展和应用。

通过这一节内容的学习，学生将能够更好地理解和掌握二元一次方程组的应用，提高解决实际问题的能力。

本节课的主要内容是通过实际问题引入二元一次方程组，并通过解方程组的方法求解实际问题。

这些问题涉及到年龄问题、距离问题等，都是与生活实际密切相关的问题。

通过解决这些问题，学生不仅能够巩固和提高二元一次方程组的知识，还能够提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析在教学之前，我对学生的学情进行了分析。

根据我的了解，大部分学生对二元一次方程组的基础知识已经有了较好的掌握，能够熟练地列出和求解二元一次方程组。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为数学问题，这就需要我们在教学中进行引导和培养。

同时，学生在解决实际问题时，往往对问题的理解不够深入，解题思路不够清晰。

因此，在教学过程中，我们需要引导学生深入理解问题，明确解题思路，提高解题效率。

三. 说教学目标根据教材内容和学情分析，我制定了以下教学目标：1.知识与技能：使学生能够理解和掌握二元一次方程组的应用，能够通过解方程组的方法求解实际问题。

2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极的学习态度和良好的学习习惯。

四. 说教学重难点根据教材内容和学情分析，我确定了以下教学重难点：1.重点：理解和掌握二元一次方程组的应用。

2.难点：如何将实际问题转化为数学问题，以及如何通过解方程组的方法求解实际问题。

五. 说教学方法与手段为了实现教学目标，我采用了以下教学方法与手段：1.情境教学法：通过实际问题引入二元一次方程组，激发学生的学习兴趣和解决问题的欲望。

北师大版初中数学八年级(上)备课资料5-5 应用二元一次方程组——里程碑上的数

5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。

北师大版八年级数学上册第五章《应用二元一次方程组-里程碑上的数》课时练习题(含答案)

北师大版八年级数学上册第五章《5.应用二元一次方程组-里程碑上的数》课时练习题（含答案）一、单选题1．一个两位数，十位数字比个位数字大4；将这个两位数的十位数字与个位数字对调后，比原数减少了36，求原两位数．若设原两位数十位数字是x ，个位数字是y ，则列出方程组为（）A ．4101036x y x y y x -=⎧⎨+=+-⎩B ．4101036x y x y y x +=⎧⎨+=+-⎩C ．4103610x y x y y x-=⎧⎨+-=+⎩D ．4103610y x x y y x-=⎧⎨+-=+⎩2．如图，AB ⊥BC ，∠ABC 的度数比∠DBC 的度数的两倍少15°，设∠ABD 和∠DBC 的度数分别为x °，y °，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（）．A ．9015x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．90215x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．90152x y x y +=⎧⎨=-⎩D ．90215x y x y +=⎧⎨=-⎩3．小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路，她去学校共用了16分钟，假设小颖上坡路的平均速度是3千米/小时，下坡路的平均速度是5千米/小时，若设小颖上坡用了min x ，下坡用了min y ，根据题意可列方程组（）A ．35120016x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．35 1.2606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩C ．35 1.216x y x y +=⎧⎨+=⎩D ．351200606016x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩4．《算法统宗》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是：甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只羊，二家之数相当，两人闲坐恼心肠，画地算了半晌．这个题目的意思是：甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，两人都在暗思对方有多少只羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍．”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家的羊数就一样多．”设甲有x只羊，乙有y只羊，根据题意列出二元一次方程组为（）A．()929,99.x yy x⎧-=+⎨+=-⎩B．()929,99.x yy x⎧+=-⎨+=-⎩C．92,9.x yy x+=⎧⎨+=⎩D．92,99.x yy x-=⎧⎨+=-⎩5．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，物品价格为y钱，可列方程组为（）A．8374x yx y-=⎧⎨+=⎩B．8374x yx y+=⎧⎨-=⎩C．8374y xy x-=⎧⎨-=⎩D．8374x yx y-=⎧⎨-=⎩6．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x与y的和是（）A．9 B．10 C．11 D．127．某文具店一本练习本和一支水笔的单价合计为3元，小妮在该店买了20本练习本和10支水笔，共花了36元．如果设练习本每本为x元，水笔每支为y元，那么根据题意，下列方程组中，正确的是（）A．3201036x yx y-=⎧⎨+=⎩B．3201036x yx y+=⎧⎨+=⎩C．3201036y xx y-=⎧⎨+=⎩D．3102036x yx y+=⎧⎨+=⎩8．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么早晨是晴天，已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天早晨是晴天，则这一段时间有（）A．9天B．11天C．13天D．22天二、填空题9．《九章算术》中记载了一道数学问题，其译文为：有大小两种盛酒的桶，已知5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛（斛，音hú，是古代一种容量单位），1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛．1个大桶、1个小桶分别可以盛酒多少斛？设1个大桶可以盛酒x 斛、1个小桶可以盛酒y 斛．根据题意，可列方程组为__________．10．《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的12，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的23，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x 钱，乙持钱数为y 钱，列出关于x ，y 的二元一次方程组是______． 11．某公司向银行申请了甲、乙两种贷款，共计68万元，每年需付出3.2万元利息．已知甲种贷款每年的利率为4.5%，乙种贷款每年的利率为5%，则该公司申请的甲种贷款的数额为_____万元．12．小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和第一个方程，并求解这道应用题．应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？解：设“五一”的同样的电视每台x 元，空调每台y 元，根据题意，得()0.824007200x y ⎧⎪⎨+-=⎪⎩■■■■①②．被墨水污染的条件是：_________________；被墨水污染的第一个方程是：___________．三、解答题13．2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受国内外广大朋友的喜爱，北京奥组委官方也推出了许多与吉祥物相关的商品，其中有A 型冰墩墩和B 型雪容融两种商品．已知购买1个A 型商品和1个B 型商品共需要220元，购买3个A 型商吕和2个B 型商品共需要560元，求每个A 型商品的售价．14．根据市场调查，某厂某种消毒液的大瓶装(500g) 和小瓶装(250g) 两种产品的销售数量(按瓶计算)比为2：5．该厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应分装大、小瓶两种产品各多少瓶？15．如图，在33⨯的方格内，填写了一些代数式和数．(1)在图1中各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请你求出x ，y 的值； (2)把满足（1）的其它6个数填入图2中的方格内．16．5月19日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织去井冈山开展研学旅行活动．在此次活动中，小明、小亮等同学随家长一同到某游乐园游玩．已知成人票每张35元，学生票按成人票五折优惠．他们一共12人，门票共需350元． (1)小明他们一共去了几个成人，几个学生？(2)如果团体票（16人或16人以上）按成人票六折优惠，请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？17．如果一个自然数N 的个位数字不为0，且能分解成A ×B ，其中A 与B 都是两位数，A 的十位数字比B 的十位数字大2，A 、B 的个位数字之和为10，则称数N 为“美好数”，并把数N 分解成N A B =⨯的过程，称为“美好分解”．例如：∵2989 6149=⨯，61的十位数字比49的十位数字大2，且61、49的个位数字之和为10，∴2989是“美好数”；又如：∵6053519=⨯，35的十位数字比19的十位数字大2，但个位数字之和不等于10，∴605不是“美好数”．(1)判断525，1148是否是“美好数”？并说明理由；(2)把一个大于4000的四位“美好数”N 进行“美好分解”，即分解成N A B =⨯，A 的各个数位数字之和的2倍与B 的各个数位数字之和的和能被7整除，求出所有满足条件的N ．18．如图，在数轴上有A ，B 两点，其中点A 在点B 的左侧，已知点B 对应的数为4，点A 对应的数为a ．(1)若7113372663145a ⎛⎫=⨯-⨯÷⨯ ⎪⎝⎭，则线段AB 的长为______（直接写出结果）；(2)若点C 在射线AB 上（不与A ，B 重合），且236AC BC -=，求点C 对应的数；（结果用含a 的式子表示）(3)若点M 在线段AB 之间，点N 在点A 的左侧（M 、N 均不与A 、B 重合），且2AM BM -=，当3AMAN =，6BN BM =时，求a 的值。

八年级数学上册5.5里程碑上的数教案(新版)北师大版

课题：5.5里程碑上的数教学目标:1. 用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，归纳用方程组解决实际问题的一般步骤.2. 经历列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型.3•在学习过程中体验把复杂问题化为简单问题的策略，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神. 教学重点与难点：重点：用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤. 难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型 .课前准备：多媒体课件。

教学过程：一、情境创设，激趣导入小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶 .（课件出示）下图是小明每隔1小时看到的里程情况.问题：同学们，能确定小明在 12:00时看到的里程碑上的数吗？处理方式：教师多媒体展示情境，引导学生们仔细观看图片，并根据问题提示激发思考. 可以预设导语为：通过大家的共同努力，我们用二元一次方程组解决了 “鸡兔同笼”，“增收节支”等生活中的问题，这节课我们利用二元一次方程来解决小明看到里程碑上的数是多少？【教师板书课题：5.5里程碑上的数】设计意图：创设问题情境，激发学生的学习兴趣. 在引导学生将实际问题转化为数学问题时,学生会感到一些困难，从而教师指出学习了今天的这节课后，同学们就会有办法解决T .这种以实际问题作为切入点导入新课，不仅自然，而且也反映了 “数学来源于生活”，学是一个两位数字，它的两个数字之和为7.14 ：W十位与个位数字与12:00时所看到的正好互换了比12:00时看到的两位数中间多了个0.习数学是为更好“服务于生活” •二、知识回顾，夯实基础师：要利用二元一次方程解决有关数字的问题，就必须理解如何用字母表示两位数或三位数•问题1: 一个两位数，十位数字是 4个位数字是3,则这个两位数是__________________________ .问题2: 一个两位数，十位数字是X,十位数字是y,则这个两位数用代数式表示为问题3: 一个三位数，百位数字是X,十位数字是y,个位数字是z,则这个三位数用代数式表示为____________ .问题4:有两个两位数X和y.如果将X放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示如果将X放在y的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为处理方式：学生先独立解决，然后小组内交流.针对(2) (3)中出现的Xy和XyZ这种错误表示法要及时纠正.第四题有点难度，教师在巡视时给予点拨.设计意图：通过以上四个问题，让学生在已知一个数各位上的数字条件下，学会用代数式表示这个数，为后面的学习做好铺垫，打下基础.三、例题解析，提升技能例两个两位数的和是 68,在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数. 已知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位数.处理方式：学生先独立思考，然后教师根据学生思考情况组织组内进行交流，归纳得出题目中的等量关系，讨论后列出方程组并求解.可以把分析过程设计成问题帮助学生理解.解：设较大的两位数为X,较小的两位数为y.在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，所得的四位数可表示为在较大的两位数的左边写上较小的两位数，所得的四位数可表示为_________ .由题意列方程组为f X -解该方程组，得所以这两个两位数是_______ 和__设计意图：让学生经历和体验列方程组解决实际问题的过程，培养学生的独立思考的能力和与人合作的意识•共同分析题目中包含的所有等量关系并用等式的形式写出来，便于学生设未知的两个量，顺利列出方程组，更好地体会二元一次方程组是刻画现实世界的有效模型。

八年级数学上册 5.5 应用二元一次方程组—里程碑上的数练习北师大版(2021学年)

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5。

５应用二元二次方程组——里程碑上的数一、选择题1.已知甲、乙两数之和是4２，甲数的3倍等于乙数的４倍,求甲、乙两数.设甲数为x ,乙数为ｙ，由题意可得方程组( ）Ａ。

⎩⎨⎧==+yx y x 3442ﻩ ﻩ ﻩ ﻩＢ。

⎩⎨⎧==+y x y x 4342 C.⎪⎩⎪⎨⎧==-443420y y x ﻩﻩ ﻩ ﻩD.⎩⎨⎧=-=+04342y x x y 2。

甲、乙两条绳共长17 m,如果甲绳减去51,乙绳增加１ m ，两条绳长相等,求甲、乙两条绳各长多少?若设甲绳长x ｍ，乙绳长y m,则得方程组（）Ａ。

⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+15117y x y x ﻩB 。

⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+1511y x y x C.⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+15117y x x y x ﻩﻩ ﻩＤ.⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+15117y x x y x 3。

一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的3倍,这条船在静水中的航速与河水的流速之比是（ )A 。

3∶１ﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩB.2∶1 C ．1∶１ﻩ ﻩ ﻩﻩD.5∶2 4。

甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边,组成的四位数比上面的四位数小１１88,求这两个数.如果甲数为x ,乙数为y ，则得方程组是（ )A 。

八年级数学上册 5.5 里程碑上的数教精品导学案北师大版

里程碑上的数学科数学课题5.5里程碑上的数授课教师教学目标用二元一次方程组解决有趣场景中的数字问题和行程问题重点把复杂问题化为简单问题德育目标鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神难点把复杂问题化为简单问题一、自主学习（1）一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，则这个两位数用代数式表示为；若交换个位和十位上的数字得到一个新的两位数，用代数式表示为．（2）一个两位数，个位上的数为x ，十位上的数为y ，如果在它们之间添上一个0，就得到一个三位数，这个三位数用代数式可以表示为．（3）有两个两位数a 和b ，如果将a 放在b 的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为；如果将a 放在b 的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为．教学过程课堂笔记二、互动导学如果设小明在12：00时看到的数的十位数字是x ，个位数字是y ，那么（1）12：00时小明看到的数可表示为，根据两个数字和是7，可列出方程；（2）13：00时小明看到的数可表示为，12：00～13：00间摩托车行驶的路程是；（3）14：00时小明看到的数可表示为，13：00～14：00间摩托车行驶的路程是；（4）12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？班级学校三、当堂检测两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．四、巩固提高、达标检测一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1．这个两位数是多少？五、拓展提升一个两位数是另一个两位数的3倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484．求这个两位数．六、反思励志名言教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

北师大版八年级上册 5.5应用二元一次方程组 —里程碑上的数练习(带答案)

应用二元一次方程组—里程碑上的数练习一、选择题1.对于非零的两个实数m，n，定义一种新运算，规定，若，，则的值为A. 1B.C.D. 62.爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下时看到的两位数是A. 54B. 45C. 36D. 273.小明和小莉出生于2000年12月份，他们的生日不是同一天，但都是星期一，且小明比小莉出生早，两人出生日期和是22，那么小莉的生日是A. 15号B. 16号C. 17号D. 18号4.孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺，现设绳长x尺，木长y尺，则可列二元一次方程组为A. B. C. D.5.现有八个大小相同的长方形，可拼成如图、所示的图形，在拼图时，中间留下了一个边长为2的小正方形，则每个小长方形的面积是A. 50B. 60C. 70D. 806.我国明代数学家程大位所著算法统宗中记载了一道有趣的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”题目大意是：100个和尚分100个馒头，刚好分完．大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分一个馒头．问大、小和尚各有多少人？若大和尚有x人，小和尚有y人．则下列方程或方程组中：；；；正确的是A. B. C. D.7.九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一问题：“金有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚每枚黄金重量相同，乙袋中装有白银11枚每枚白银重量相同，称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两袋子重量忽略不计问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得A. B.C. D.8.已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为A. 50元、150元B. 50元、100元C. 100元、50元D. 150元、50元9.一道来自课本的习题：从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地需54min，从乙地到甲地需甲地到乙地全程是多少？小红将这个实际问题转化为二元一次方程组问题，设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是A. B. C. D.10.初一1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形每个图形由两个三角形和一个圆形组成，已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，可列式为A. B. C. D.11.某中学八班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共捐款400元，捐款情况记录表：捐款元35810人数231表格中捐款5元和8元的人数不小心技墨水污染看不清楚．若设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得方程组A. B.C. D.12.如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为A. B. C. D.13.孙子算经中有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何”若设人数为x，车数为y，所列方程组正确的是A. B. C. D.二、填空题14.某班的一个综合实践活动小组去甲、乙两个超市调查去年和今年“元旦”期间的销售情况，下面是调查后小明与其它两位同学进行交流的情景．小明说：“去年两超市销售额共为150万元，今年两超市销售额共为170万元”，小亮说：“甲超市销售额今年比去年增加小颖说：“乙超市销售额今年比去年增加根据他们的对话，得出今年甲超市销售额为______万元15.九章算术中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十，问甲、乙持钱各几何？”译文：“假设有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把自己一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把自己的钱给乙，则乙的钱数也能为问甲、乙各有多少钱？”设甲持钱数为x，乙持钱数为y，可列方程组为______．16.在矩形ABCD中，放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是______．17.小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为______．18.某商店准备用每千克19元的A糖果和每千克10元的B糖果混合成什锦糖果出售，混合后糖果的价格是每千克16元．现在要配制这种什锦糖果150千克，需要两种糖果各多少千克？设A糖果x千克，B糖果y千克，根据题意可列二元一次方程组：______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）19.某村在推进美丽乡村的活动中，决定建设幸福广场，计划铺设相同大小规格的红色和蓝色地砖．经过调查，获取信息如下：购买数量低于5000块购买数量不低于5000块红色地砖原价销售以八折销售蓝色地砖原价销售以九折销售如果购买红色地砖4000块，蓝色地砖6000块，需付款86000元；如果购买红色地砖1000块，蓝色地砖3500块，需付款99000元．则红色地砖与蓝色地砖的单价各为多少元？20.如图，在的方阵图中，填写了一些数和代数式其中每个代数式都表示一个数，使得每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等．求x，y的值；在备用图中完成此方阵图．21.近年来，小明家的木耳通过网络商店简称网店迅速销往全国，小明对木耳进行分级包装销售，相关信息如下表所示：若小明家今年五月份售出两种等级木耳共180千克，获得利润9600元，求五月份小明家销售一级木耳多少盒．根据之前的销售情况，估计小明家今年六月份能售出两种规格木耳共200千克，一级木耳的产量不多于80千克，设销售一级木耳，销售完两种等级木耳获得的总利润为元，求出y与x之间的函数关系式，并求小明家销售完六月份生产的两种木耳最多获利多少元？请说明理由．22.在长方形ABCD中，放入5个形状大小相同的小长方形，其中，．求小长方形的长和宽；求阴影部分图形的总面积．23.某农场去年计划生产玉米和小麦共200吨，采用新技术后，实际产量为225吨，其中玉米超产，小麦超产，该农场去年实际生产玉米、小麦各多少吨？答案和解析1.【答案】A【解答】解：根据题意可得解得：即，则．故选A．2.【答案】D【解答】解：设小明9时看到的两位数，十位数为x，个位数为y，即为；则9：45时看到的两位数为，9：：45时行驶的里程数为：；则12：00时看到的数为，9：：00时行驶的里程数为：；由题意列方程组得：，解得：，所以9：00时看到的两位数是27，故选：D．3.【答案】D【解答】解：设小明的生日是12月份的x号，小莉的生日是12月份的y号，则或或或解得不是整数，舍去或或不是整数，舍去或不合题意，舍去．综上所述，小莉的生日是18号．故选D．4.【答案】B【解析】解：设绳长x尺，长木为y尺，依题意得，5.【答案】B【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：，解得：，．6.【答案】C【解析】解：设大和尚有x人，小和尚有y人，依题意，得：，，．正确．7.【答案】A【解析】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得：．8.【答案】D【解答】解：设甲种商品的定价分别为x元，则乙种商品的定价分别为y元．根据题意得：，解得：．故选D．9.【答案】B【解析】解：设未知数x，y，已经列出一个方程，则另一个方程正确的是：．10.【答案】A【解析】解：设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据题意得：．11.【答案】A【解析】解：设捐款5元的有x名同学，捐款8元的有y名同学，根据题意可得：即．12.【答案】A【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，解得：，13.【答案】D【解答】解：设人数为x，车数为y，由题意可得：．故选D．14.【答案】110【解析】解：设甲超市去年销售额为x万元，乙超市去年销售额为y万元，根据题意，得，解得所以今年甲超市销售额为．故答案为110．15.【答案】【解析】解：由题意可得，，故答案为：．16.【答案】44【解析】解：设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，依题意得解得小长方形的长、宽分别为8cm，2cm，．设小长方形的长、宽分别为xcm，ycm，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．本题考查了二元一次方程组的应用，要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．17.【答案】【解析】解：由题意可得，，故答案为：．18.【答案】【解析】解：设需要每千克19元的糖果x千克，每千克10元糖果y千克，根据题意可得：，故答案为：．设需要每千克19元的糖果x千克，每千克10元糖果y千克，根据题意可得：糖果150千克；混合后糖果的价格是每千克16元；据此列方程组解答即可．19.【答案】解：设红色地砖每块a元，蓝色地砖每块b元，由题意可得：，解得：，答：红色地砖每块8元，蓝色地砖每块10元．20.【答案】解：根据题意得：，解得：．，，，．每行的3个数、每列的3个数、斜对角的3个数之和均相等，；；．完成方阵图，如图所示．21.【答案】解：设五月份小明家销售一级木耳m盒，二级木耳n盒，则根据题意可得：解得答：五月份小明家销售一级木耳160盒．根据题意可得即随着的增大而增大当时，y最大，最大值为元．答：小明家销售完六月份生产的两种木耳最多获利9200元．22.【答案】解：设小长方形的长为，宽为，依题意，得：，解得：．答：小长方形的长为4cm，宽为1cm．答：阴影部分图形的总面积为．23.【答案】解：设农场去年计划生产玉米x吨，小麦y吨，根据题意可得：，解得：，则去年实际生产玉米吨，去年实际生产小麦吨，答：农场去年实际生产玉米吨，小麦吨．。

北师大版数学八年级上册5《里程碑上的数》教学设计2

北师大版数学八年级上册5《里程碑上的数》教学设计2一. 教材分析北师大版数学八年级上册第五课《里程碑上的数》主要讲述了负数的认识和运用。

通过本节课的学习，学生能够理解负数的含义，掌握负数的运算方法，并能运用负数解决实际问题。

教材内容由浅入深，通过丰富的实例和练习，使学生更好地理解和掌握负数的概念和运用。

二. 学情分析学生在七年级已经学习了有理数的概念，对数的运算有一定的基础。

但部分学生对负数的理解可能仍存在困难，对负数在实际生活中的运用可能较为陌生。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际情境中认识负数，通过观察、操作、思考、交流等活动，加深对负数概念的理解，提高运用负数解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解负数的含义，掌握负数的运算方法，能运用负数解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，提高学生分析问题和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，引导学生认识到数学与生活的密切联系。

四. 教学重难点1.重点：负数的含义，负数的运算方法。

2.难点：负数在实际生活中的运用。

五. 教学方法采用情境教学法、启发式教学法和小组合作学习法。

通过生活情境引入负数的概念，引导学生主动探究负数的运算方法，分组讨论实际问题，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示负数的含义和运算方法。

2.练习题：准备一些有关负数的练习题，巩固所学知识。

3.实物：准备一些实际生活中的例子，如温度计、尺子等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示温度计的图片，引导学生观察负数的存在。

提问：“在温度计上，零下5摄氏度应该怎么表示？”让学生思考负数的含义。

2.呈现（10分钟）讲解负数的含义，举例说明负数在实际生活中的运用。

如：存款账户中的负数表示欠款，购物时的负数表示退货等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，找出生活中的负数例子，并说明负数的含义。

如：电梯上的负数表示地下楼层，海拔高度上的负数表示低于海平面等。

【导学案+习题】5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数北师大版八年级数学上册

5.5 应用二元一次方程组--- 里程碑上的数出示U标1归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.2 •让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型.3•在解决问题过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想.自学指导：阅读教材第120至121页，回答下列问题：［来］自学反馈1.一个两位数的十位数字是x,个位数字是y ,则这个两位数可表示为：10 x+y .2.—个三位数，若百位数字为a,十位数字为b,个位数字为c,则这个三位数为：100a+10b + c .3.—个两位数，十位数字为a,个位数字为b,若在这两位数中间加一个0,得到一个三位数，则这个三位数可表示为：1 0 0a + b .4.a为两位数，b是一个三位数，若把a放在b的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：1000a+b ・件作探究活动1例题解析例1李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9;8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8 倍，李刚在7:00时看到的数字是18。

裁师虑拽该题是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，强化图表分析法例2 有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小4 5;又知百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3,试求原来的3位数.分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为X：相等关系：1 .原三位数—4 5=新三位数2.9 百位数字=两位数—3解：设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y,根据题意”的得：「10 0 x+ y =10 y + x,-9 x= y —3 .解得「X =4,吗=3 9 .答：原来的三位数是4 3 9.载肺戌抜在解决具体问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段•活动2跟踪训练1. 一个两位数的十位数字与个位数字之和是7,如果把这个两位数加上45,那么恰好成为把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这个两位数是（）A.16B.25C.52D.612. 学校到县城有28千米，全程需1小时，除乘汽车外，还需要步行一段路，已知汽车的速度为36千米/时，人步行的速度为4千米/时，则步行用了（）A. 13分钟B. 14分钟C. 15分钟D. 16分钟3. 已知某桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车开始上桥到完全过桥共有1分钟，整列火车在桥上的时间为40秒.设火车的速度为每秒x米，车长为y米，所列方程正确的是（）*560x y100060x y1000A. B.40x y100040x y1000x y1000x y1000C.40D.401000一x y1000一x y60604. 请根据下列诗意列方程组解应用题.（1）周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3,个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数.（2）悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，风速多少请算清. （提示：1里=500米，1千里=500千米）活动3课堂小结1•在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题.2•这种处理问题的过程可以进一步概括为：分析问题〉抽象解牛[来源:学科网ZXXK]方程（组）1 「解答检验3 •要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分15案梃示跟踪训练1. A2. C3. B4.设这个两位数的十位上的数字是x,个位上的数字为y,根据题意，得X 3 y，解得X 3•答：这个两位数是36；6y 10x y. y 6(2)设风速为x千米/分钟，悟空的速度为y千米/分钟.由题意，得75X _4 x y 500， 2 'y 解得2 6 y x 300. 175y —.2答：风速为7575千米/分钟. 2。

北师大版数学八年级上册5《里程碑上的数》教案4

北师大版数学八年级上册5《里程碑上的数》教案4一. 教材分析《里程碑上的数》是人教版初中数学八年级上册第五章《实数与乘方》的一节内容。

本节课主要让学生了解有理数的乘方，掌握有理数乘方的法则，并能够运用有理数乘方解决实际问题。

教材通过实例引入有理数乘方的概念，让学生在具体的情境中感受数学知识与实际生活的联系，培养学生的数学应用意识。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的加减乘除运算，对实数概念有了初步的认识。

但乘方运算相对于加减乘除运算较为抽象，学生可能存在理解上的困难。

因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中发现乘方的规律，让学生在理解的基础上掌握有理数乘方。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握有理数的乘方概念，理解有理数乘方的法则，能够熟练地进行有理数乘方运算。

2.过程与方法：通过实例引入有理数乘方，让学生在实际问题中探究有理数乘方的规律，培养学生的数学探究能力。

3.情感态度与价值观：让学生感受数学知识与实际生活的联系，培养学生的数学应用意识，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.重点：有理数的乘方概念，有理数乘方的法则。

2.难点：有理数乘方的规律探究，有理数乘方在实际问题中的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生从实际问题中探究有理数乘方的规律，培养学生的数学探究能力。

六. 教学准备1.准备相关实例，用于引入有理数乘方概念。

2.准备多媒体课件，用于展示有理数乘方的规律。

3.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示我国航天事业的发展历程，引导学生关注里程碑上的重要数字，激发学生学习乘方的兴趣。

2.呈现（10分钟）展示实例：火箭发射高度的计算。

引导学生思考：如何用数学方法表示火箭发射高度的倍数关系？引入有理数乘方概念，解释有理数乘方的意义。

3.操练（10分钟）让学生自主探究有理数乘方的法则，引导学生发现乘方运算的规律。

北师大版八年级数学上册导学案+课后巩固-5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数(米)

《5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数》导学案【教学目标】1.会用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题。

2.归纳用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤．【教学重点】用二元一次方程组刻画数字问题和行程问题，初步体会列方程组解决实际问题的步骤。

【教学难点】将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。

【教学方法】自主探究合作交流【教学流程】（一）创设情境，引入新课：1、十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：___________2、若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数可表示为：__________3、一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个0，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：___________4、ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：___________让我们一起用以上知识解决下列实际问题。

(二) 新知探究：探究1：数字的表示问题1、小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1小时看到的里程情况.你能确定小明在 12:00时看到的里程碑上的数吗？（见课本120页插图）１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；１３：００十位与个位数字与１２：００时所看到的正好互换了；１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．如果设小明在12：00看到的数十位数字是x，个位数字是y，那么(1)12：00时小明看到的数可表示为__________________________.(2)13：00时小明看到的数可表示为__________________________.12：00～13：00间摩托车行驶的路程是_____________________________.(3)14：00时小明看到的数可表示为__________________________.13：00～14：00间摩托车行驶的路程是_____________________________.(4)12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程的关系是______.(5) 你能列出相应的方程吗？根据以上分析，得方程组解得因此,小结：要学会在实际中用含未知数的代数式表示出要分析的量；利用等量关系列方程。

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【课时闯关】北师大八上数学里程碑上的数课后拓展
训练
1．有一个两位数，减去它各数位上的数字之和的3倍，值为23，除以它各数位上的数字之和，商是5，余数是1，则这个两位数 ( )
A ．不存在
B ．有唯一的一个
C ．有两个
D ．有无数多个
2．甲、乙两人分别从相距5 km 的两地同时出发，若同向而行(快者在后)，则t 1小时后快者追上慢者，若相向而行，则t 2小时后两人相遇，那么快者速度是慢者速度的
( ) A. 112t t t + B. 121t t t +倍 C. 1212t t t t +-倍 D. 1212
t t t t -+倍 3．如果一个两位数除以这个两位数交换数字位置后的数，那么商是4，余数是3；如果这个两位数除以两个数字之和，那么所得的商是8，余数是7．求这个两位数．
4．某旅行团从甲地到乙地游览，甲、乙两地相距100千米，团里的一部分人乘车先行，其余人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，结果两部分人同时到达乙地．已知步行时速是8千米，汽车时速是40千米，则要使大家在下午3：00同时到达乙地，必须在什么时候出发?
5．南宁是广西最大的罗非鱼养殖产区，被农业部列为罗非鱼养殖优势区域．某养殖场计划下半年养殖无公害标准化罗非鱼和草鱼，要求这两个品种总产量G (吨)满足：1580
≤G ≤1600，总产值为1000万元．已知相关数据如下表所示．品
种
单价（万元/吨）罗
非鱼
0.45 草
鱼
0.85
该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在什么范围?(产值＝产量×单价)
参考答案
1．B
2．C
3．解：设这个两位数的十位数字为 x ，个位数字为y ，根据题意，得104(10)3,108()7.x y y x x y x y +=++⎧⎨+=++⎩解这个方程组，得7,1.x y =⎧⎨=⎩∴7×10＋1=71．答：这个两位数为71． 4．解：如图7—4所示，设先坐车的一部分人下车地点距甲
地 x 千米，这部分人下车地点距另一部分人的上车地点y 千
米．依题意，得,408210100,408x y x y y x x +-⎧=⎪⎪⎨+--⎪=⎪⎩
化简得230,2200,x y x y -=⎧⎨+=⎩解得75,50.x y =⎧⎨=⎩旅行团从甲地到乙地共用的时间为1007540840x x -+=+ 100758
-=5(小时)．答：要使大家在下午3：00同时到达乙地，必须在上午10：00出发．
5．解：设养殖场下半年罗非鱼的产量为 x 吨，草鱼的产量为y 吨，当G =1600时，依
题意，得1600,0.450.851000,x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组得900,700.x y =⎧⎨=⎩
当G ＝1580时，依题意，有1580,0.450.851000,x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组得857.5,722.5.
x y =⎧⎨=⎩答：该养殖场下半年罗非鱼的产量应控制在857.5～900吨之间（包括两端值）.。

北师大版-数学-八年级上册- 里程碑上的数 课后拓展训练

5.5 应用二元一次方程组-里程碑上的数 八年级数学北师大版上册课时优化训练(含答案)

北师大版八年级数学上册《5.5 应用二元一次方程组--里程碑上的数》 同步练习

5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数 北师大版八年级数学上册教案