运筹学线性规划的标准形式分解

松弛变量与剩余变量

概念：

松弛变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“≤”， 则在不等式左边加入一个非负变量，这个非负变量成为 松弛变量。

剩余变量：在线性规划模型中，如果约束条件为“≥”， 则在不等式左边减去一个非负变量，这个非负变量成为 剩余变量。
理解松弛变量的实际含义

例：某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产。生产单位产

设甲、乙两种产品的产量分别为x1、x2：
m ax F 5 0x1 1 0 0x2 s.t . x1 x2 3 0 0 2 x1 x2 4 0 0 x2 2 5 0 x1 0, x2 0
图解法
400
2 x1 x2 400
B C
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）

例1
min F 3 x1 4 x2 2 x3 5 x4 s.t. 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x1 x2 2 x3 x4 14 2 x1 3 x2 x3 2 x4 2 x1 0, x2 0, x3 0, x4无符号限制
— 剩余变量
2x1 3x2 x3 2x4 x6 2
步骤5：满足变量非负条件

设新变量x7≥0，令x7=-x2，带入目标函数和约束条
件中。

设两个新变量x8≥0， x9≥0，
令x4=x8-x9，带入目标函数和约束条件中。
整理得：
整理后数学模型为：
max S 3x1 4 x7 2 x3 5 x8 5 x9 0 x5 0 x6 s.t. 4 x1 x7 2 x3 x8 x9 2 x1 x7 2 x3 x8 x9 x5 14 2 x1 3x7 x3 2 x8 2 x9 x6 2 x j 0, j 1,3,5,6,7,8,9
400
O
50 x1 100 x2 0
松弛变量x3=0,x4=50,x5=0

最优解在B点。B点是第1、第3个约束条件对
应的直线的交点，所以第1、第3个约束条件
加入的松弛变量为0，而第2个约束条件加入
的松弛变量不为0（与B点还有一点距离）。
剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=0
3 500 2 400 B 300 200 100 2 x1 3x2 0 100 200 300


另外，

关于松弛变量和剩余变量的信息也可以
从图解法中获得。
松弛变量x3=0,x4=50,x5=0
400 2 B C
2 x1 x2 400
3
可行解域为OABCD 最优解为B点（50，250）
300
A 200 100
x2 250
1 100 D 200 300
x1 x2 300

“=“
引入新变量(松弛变量）x5≥0，将约束条件 不等式变为等式。
x1 x2 2x3 x4 14
+ 松弛变量
x1 x2 2x3 x4 x5 14
步骤4： “≥”

“=”
引入新变量（剩余变量）x6≥0，将约束条件 不等式变为等式。
2 x1 3x2 x3 2 x4 2
max F 50x1 100x2 s.t. x1 x2 x3 300 2 x1 x2 x4 400 x2 x5 250 x j 0, j 1, ,5

∵最优解为x1=50,x2=250,∴代入标准化的数学模型， 得松弛变量x3=0,x4=50,x5=0。
300
A 200 100
x2 250
x1 x2 300
100 D 200 300 400
O
50 x1 100 x2 0
最优解的解释

最优解x1=50，x2=250表示甲产品生产50个单位，乙
产品生产250个单位时，获利最大。

此时，资源利用情况为（代入约束条件）：

设备台时利用量=1*50+1*250=300=资源限制量
第2个约束条件加入的剩余变量不为0（与 C点还有一点距离）。
思考题与练习题

例：
a x
ij
j
3
aij x j 3
改造方法（3）

3、若约束条件不等式符号为“≤”，则在不等式左边
加上一个非负变量（称为松弛变量），把不等式改为等 式。

例：
a x
ij
j
bi
新设一个非负变量
a
j 1
m
ij
x j xm1 bi
改造方法（4）

4、若约束条件不等式符号为“≥”，则在不等式左边
生产需要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A、 B两种原料，使得购进成本最低？
建立数学模型：

设x1，x2分别为原料A、B的购进量：
m in F 2 x1 3 x2 s.t . x1 x2 3 5 0 x1 1 2 5 2 x1 x2 6 0 0 x1 0, x2 0

原料A使用量=2*50+1*250=350<资源限制量400
原料B使用量=1*250=250=资源限制量

引入松弛变量x3,x4,x5，将数学 模型标准化：
max F 50x1 100x2 s.t. x1 x2 300 2 x1 x2 400 x2 250 x1 0, x2 0
改造方法（1）

１、若目标函数求最小值，则在函数式前加上
“－”号，转化为求最大值。转化后目标函数的
最优解不变，最优值差一个符号。

例：
min F c j x j
maxS min F c j x j
改造方法（2）

2、若约束条件中，某些常数项bi为负数，则可先在约
束条件等式或不等式两边乘上“-1”，使得bi≥0。
图解法
2 x1 x2 600
500 400 300 200 100 2 x1 3x2 0 100 200 300
x1 125
B
可行解域为ABC 最优解为C点（250，100）
A
C
x1 x2 350
400 500 600
最优解的解释

最优解x1=250，x2=100表示最佳购买方案是原料A购进250吨，原料B购
第三节 线性规划的标准形式

为什么要转化为标准形式？
标准形式的特点：

1、目标函数求最大值（max）；（不一定）
2、所有的约束条件均由等式表示（=）； 3、所有的决策变量限于非负值（xj≥0）； 4、每一个约束条件等式的右端常数均为非负值（bi>0)。
（不一定）



数学模型如下
max S c1 x1 c 2 x 2 c n x n s.t. a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n b2 a m1 x1 a m 2 x 2 a mn x n bm x1 , x 2 , , x n 0
松弛变量的含义

松弛变量x3=0，表示按最优生产方案生产时，设备已充分利
用，无多余的设备台时。 松弛变量x4=50，表示按最优生产方案生产时，原料A未用完， 还有50个单位。 松弛变量x5=0，表示按最优生产方案生产时，原料B已用完。



所以，松弛变量不等于零，表示某种资源较充裕。
理解剩余变量的含义
品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制如下表：
甲产品
设备 原料A 原料B

乙产品
1 1 1
资源限制
300台时 400kg 250kg
1 2 0
工厂每生产一单位甲产品可获利50元，每生产一单位乙产品可获利 100元，问工厂应分别生产多少单位产品甲和产品乙才能使得获利最 多？
建立数学模型：
进100吨。

代入约束条件分析：

总购进量=250+100=350吨=最低要求
原料A购进量=250>最低要求125 原料加工时数=2*250+100=600=最高限制



进一步计算剩余变量和松弛变量:

X3=0，表示正好达到最低要求； X4=125，表示超出最低要求，多购进125吨； X5=0，表示工时数被全部利用。
2 x1 x2 600 x1 125
可行解域为ABC 最优解为C点（250，100）
A
C 1 400
来自百度文库
x1 x2 350
500 600
剩余变量X3=0,X4=125，松弛变X5=0

最优解在C点。C 点是第1、第3个约束条件
对应的直线的交点，所以第1、第3个约束
条件加入的剩余变量和松弛变量都为0，而
减去一个非负变量（称为剩余变量），不等式改为等式。

例：
a x
ij
j
bi
新设一个非负变量
a
j 1
m
ij
x j xm1 bi
改造方法（5）

5、若约束条件中，某些决策变量没有非负要
求：

①xj≤0，则令新变量xj’=-xj；
②xj无符号限制，则可增设两个非负变量 Vk≥0,Uk≥0，令原变量Xk=Vk-Uk，代入原线性规 划问题的目标函数及约束条件。
将数学模型标准化

引入剩余变量x3，x4，及松弛变量x5：
min F 2 x1 3 x2 s.t. x1 x2 x3 350 x1 x4 125 2 x1 x2 x5 600 x j 0, j 1,2, 5
m in F 2 x1 3 x2 s.t . x1 x2 350 x1 125 2 x1 x2 600 x1 0, x2 0

例：某公司由于生产的需要，共需要A、B两种原料至少350
吨（A、B两种原料有一定的替代性），其中原料A至少购进 125吨。但由于A、B两种原料的规格不同，各自所需的加工 时间也是不同的，加工每吨原料A需要2小时，加工每吨原料 B需要1小时，而公司总共有600个加工时数，又知道每吨原
料A的价格为2万元，每吨原料B的价格为3万元，试问在满足
步骤1：min
max
min F 3x1 4 x2 2 x3 5x4
maxS min F 3x1 4x2 2x3 5x4
步骤2：bi<0
bi>0
4 x1 x2 2 x3 x4 2
4x1 x2 2x3 x4 2
步骤3：“≤”