考研数学差分方程及其应用
考研数学三十六计之四
考研数三大纲是要求考差分与差分方程的。 由于差分方程与微分方程有一些 类似之处，因此，一般高数书都是将微分方程与差分方程放在一起讲的。本讲将 详细介绍差分的定义、性质以及一阶线性差分方程的解法。 1.差分的定义 ① 差分 设函数 y = f (t ) 中的自变量 t 取所有的非负整数，并记其函数值为 yt ，则其函 数值可以排列成一个数列 y0 , y1 , y2 ," , yn ," ，差 yt +1 − yt 称为函数 yt 的差分，也称 为一阶差分，记为 Δyt ，即 Δyt = yt +1 − yt 。 ② 高阶差分 对于导数来说，一阶导数的导数称为二阶导数，与此相似，二阶 差分就是一阶差分的差分，即
Δ 2 yt = Δ(Δyt ) = Δyt +1 − Δyt = ( yt + 2 − yt +1 ) − ( yt +1 − yt ) = yt + 2 − 2 yt +1 + yt ，
同样可以定义三阶差分、四阶差分以及更高阶的差分，二阶及二阶以上的差分统 称为高阶差分。 为了表达上的方便，我们规定
i =0 i =0 t −1 t −1
k 次多项式， C 为常数。我们用数学归纳法来论证这个事实。
事实上，当 k = 0 时，结论是正确的。 假设 k ≤ n ∈ N 时，结论成立，即 ∑ i k a i = Pk (t )a t + C 。当 k = n + 1 时，
i =0 t −1
令
S = ∑ i k a i = ∑ i n +1a i = ∑ i n +1a i
4
因此，
∑ i 2 ai = ∑ i(i − 1)ai +∑ iai =
差分方程介绍
例如，如认为第一季度的销售量大体按线性增长，可设销售量
(1) yk = ak + b
(1) (1) yk = 1.3k + 9.5, y6 = 17.3
得到
缺点：数据少，用回归分析不好。改用差分方程
yk = a1 yk −1 + a2 yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 或者 用二阶差分， yk = a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3
和最小二乘法，使 最小，求出
∑[ y
3
5
k
− (a1 yk −1 + a2 yk − 2 + a3 a3 = −8, y6 = 21, y7 = 19
上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前 上述为预测各年第一季度销售量而建立的二阶差分方程，虽然其系数与前5 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。 年第一季度的统计数据完全吻合，但用于预测时预测值与事实不符。凭直 第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。 觉，第六年估计值明显偏高，第七年销售量预测值甚至小于第六年。稍作 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程， 分析，不难看出，如分别对每一季度建立一差分方程，则根据统计数据拟 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 合出的系数可能会相差甚大，但对同一种商品，这种差异应当是微小的， 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 故应根据统计数据建立一个共用于各个季度的差分方程。 为此， 为此，将季度编号为
∗
只取一次项近似为： 只取一次项近似为： （5）是（4）的近似线性方程，x ∗ 也是 ( 5 ) ） ）的近似线性方程， 的平衡点， 的平衡点，关于线性方程平衡点稳定的条 件上面已给出。 件上面已给出。
差分方程
第七节 差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们称这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y .例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C-=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
高数第七章(11)差分方程的概念.
2.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 yx Yx yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
7.P(t ) 1 1 ,Q(t ) (1 1)2t
t
t
D. yx 2 yx1 3 yx2 4
解 由差分方程的定义有：A, D是差分方程.
B的 左 端
3yx
3( yx1
yx )
3 yx1
3
y
，
x
则 等 式 实 为 3 yx1 a x， 仅 含 一 个 时 期 的 函 数
值y
x
，
1
故
不
是
差
分
方
程.而C的
左
端2
yx
( yx1
yx)
yx1 yx
yx2
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx zx1 yx zx1 yx zx
yx1 yx zx1 yx zx1 zx
z x1Δ y x y xΔ z x
又证明（3）
yx zx
yx1 zx1 yx zx yx1 zx1 yx1 zx yx1 zx yx zx
解 ， 求 常 数α ，β .
7、 已 知y1 (t ) 2t , y2 (t ) 2t 3t是 方 程yt1 P(t ) yt Q(t ) 的 两 个 特 解 ， 求P(t)，Q(t)．
练习题答案
1.a x (a 1);2.2;3.C;4.C;
6.(1)α
差分方程及其建模举例
差分方程模型的理论和方法1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。
通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。
差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。
通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。
2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。
实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。
差分方程模型有着非常广泛的实际背景。
在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。
可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。
3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。
或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。
在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。
差分方程考研题库
差分方程考研题库一、基础知识题1. 定义差分方程：给定一个函数\( y \)，如果存在一个方程，使得\( y \)的第\( n \)项与前\( k \)项的函数值有关，那么这个方程被称为差分方程。
2. 差分方程的阶数：差分方程中，最高次的差分项的阶数称为该差分方程的阶。
3. 差分方程的解：满足差分方程的函数序列称为该差分方程的解。
二、计算题1. 给定一阶线性差分方程\( y_{n+1} - y_n = 2 \)，求其通解。
2. 考虑二阶齐次线性差分方程\( y_{n+2} - 2y_{n+1} + y_n = 0 \)，求其特征方程，并求出其通解。
3. 解下列非齐次线性差分方程\( y_{n+1} + y_n = 3n + 1 \)。
三、证明题1. 证明对于一阶线性齐次差分方程\( ay_{n+1} - by_n = 0 \)，其通解为\( y_n = C \cdot b^n \)，其中\( C \)为常数。
2. 证明二阶线性齐次差分方程\( y_{n+2} - 2y_{n+1} + y_n = 0 \)的特征方程为\( r^2 - 2r + 1 = 0 \)。
四、应用题1. 某公司每年的利润增长率为5%，如果第一年的利润为100万元，求第\( n \)年的利润。
2. 一个种群的增长遵循差分方程\( P_{n+1} = kP_n(1 -\frac{P_n}{K}) \)，其中\( k \)是增长率，\( K \)是环境的承载能力。
求该种群的稳定状态。
五、综合题1. 考虑一个具有周期性变化的差分方程\( y_{n+1} = y_n + 2\sin(\frac{2\pi n}{T}) \)，分析其解的性质。
2. 给定一个差分方程\( y_{n+1} = \alpha y_n + \beta n \)，其中\( \alpha \)和\( \beta \)是常数，求其通解。
结束语差分方程的解题方法多样，包括直接法、特征方程法、迭代法等。
数学模型(差分方程)
定义为
X ( z ) Z [ x(k )] x(k ) z k
k 0 k
其中z是复变量，因此级数 x(k ) z 的收敛域为某个圆的外部。
k 0
X ( z)
的Z反变换记作 x(k ) Z 1[ X ( z)]
(k )
1.几个常用离散函数的变换
一部分为当月新生的，而由题设知当月新生的兔子对数等于上上月
兔子对数，所以
h(n) h(n 1) h(n 2), n 3 h(1) h(2) 1
一、常系数线性齐次差分方程的求解方法-解析法 形如
h(n) a1h(n 1) a2h(n 2) ak h(n k ) 0 (n k , k 1,) (1)
h(n) h(n 1) 3h(n 2) 5h(n 3) 2h(n 4) 0 ( n 4,5, )
的特解 . 解：该差分方程对应的特征方程为
x 4 x3 3x 2 5 x 2 0
x 其根为：1 x2 x3 1, x4 2 ，所以
令l k N
特别地 Z[ x(k 1)] z[ X ( z) X (0)] 证 ： Z[ x(k N )] x(k N ) z
k 0 N
l l 0
k
x(l ) z
l N
l N
z
N
=z [ x(l ) z x(l ) z l ] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
差分方程的通解为：
t
mi
重根，则该
h(n) h1 (n) h2 (n) ht (n) hi (n)
差分方程(第四章)
差分方程对连续型变量而言，我们常常回到微分方程的问题。
对离散型变量将导致一类的问题。
一、差分的定义定义：设()t y y t =是一个函数，自变量从t 变化到1t +，这时函数的增量记为(1)()t y y t y t ∇=+-，我们称这个量为()y t 在点t 步长为1的一阶差分，简称为()y t 的一阶差分。
为了方便我们也记1(1),()t t y y t y y t +=+=，即1t t t y y y +∇=-。
称21121()()()2t t t t t t t t y y y y y y y y +++++∇∇=---=-+为()y t 的二阶差分，简记为2t y ∇。
同样记2()t y ∇∇为3t y ∇，并称为三阶差分。
一般记1()n n t t y y -∇=∇∇，称为n 阶差分，且有0(1)nni it n t n i i y Cy +-=∇=-∑。
性质：当,,a b C 是常数，t y 和t z 是函数时， （1）()0C ∇=； （2）()()t t C y C y ∇=∇；（3）()()()t t t t ay bz a y b z ∇±=∇±∇；（4）11()()()()()t t t t t t t t t t y z y z z y y z z y ++∇⋅=∇+∇=∇+∇；（5）1111()()()()t t t t t t t t t t t t t t y z y y z z y y z z z z z z ++++⎛⎫∇-∇∇-∇∇== ⎪⋅⋅⎝⎭，（其中，0t z ≠）。
例1：已知,(0)nt y t t =≠，求()t y ∇。
解：()(1)n n t y t t ∇=+-。
特别，当n 为正整数时，1()ni n i t ni y Ct-=∇=∑，阶数降了一阶。
推论：若,m n 为正整数且m n >时，()P t 为n 次多项式，则()0m P t ∇=。
差分方程方法与应用应用举例优秀课件
x*不稳定，研究x1*, x2*的稳定性
倍周期收敛
x* 1,2
b1
b22b3的稳定性 2b
[f(2)(x)][f(x)2] (f(2 )(x))x x 1 * (f(2 )(x))x x2 *f(x 1 * )f(x2 *)
f(x)b(12x) (f(2 )(x))x x 1 *,x2 *b 2(12 x 1 *)1 (2 x2 *)
单周期不收敛
2倍周期收敛
xk1f(xk) x k 2 f(x k 1 ) f(f(x k ) )f(2 )(x k )(*
xf(f(x)) b b(1 x x )1 [ b(1 x x )]f(x)b(x1x)
(*)的平衡点 x* 1 1 x* b1 b22b3
b
1,2
2b
x 1 *f(x 2 * ),x 2 *f(x 1 * ) 0x1 *x*x2 *1
背 房。他们看到一则理想的房产广告：“名流花 景 园之高尚住宅公寓，供工薪阶层选择。一次性
付款优惠价40.2万元。若不能一次性付款也没 关系，只付首期款为15万元，其余每月1977.04 元等额偿还，15年还清。(公积金贷款月利息为 3.675‰）。
问 题 公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？
假 贷款期限内利率不变 设 银行利息按复利计算
y
g
需求曲线变为水平 y0 以行政手段控制价格不变
0
2. 使 尽量小，如 =0 y
供应曲线变为竖直
靠经济实力控制数量不变
0
f
x g
f
x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高 xk1h(yk)
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。
差分方程在经济学中的应用应用数学
本科毕业论文(设计) 论文题目：差分方程在经济学中的应用学生姓名：雷晶学号： 1004970226专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导老师：舒蕊艳完成日期：2014年5月20日差分方程在经济学中的应用内容摘要本文叙述了研究差分方程的意义和背景、差分方程的定义、常见的解法以及差分方程相关模型,重点介绍差分方程经济学中的应用模型—筹措教育经费模型,包括问题的提出、模型举例和分析、提出假设、模型建立、模型求解、结果分析等等步骤对模型进行了更深层次的分析,做了进一步的推广.本文所介绍的筹措教育经费模型主要研究的是子女的教育费用,假定某家庭从孩子m岁起,每月拿出一部分钱存进银行,用于投资子女的大学教育,并计划n年后支出一些,直到孩子大学毕业,全部用完账户中的资金.差分方程的理论研究近十年来发展十分迅速,尤其是在经济领域,帮助人们解决了很多实际问题,筹措教育经费模型的建立为广大中国家庭子女教育的费用问题提供了明确的解决方法,是差分方程理论最贴近实际的模型之一.关键词：差分方程存款模型经济增长模型筹措教育经费模型, . . , , , , . a .’s . , ’s ’s m n , ., . a . a ’s .目录一、绪论 (1)（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的意义 (1)（二）研究背景 (2)二、研究的理论基础 (2)（一）差分 (2)（二）差分方程 (3)（三）差分方程的解 (4)（四）特征根法 (4)三、差分方程的经济应用模型简介 (5)（一）贷款模型 (5)（二）存款模型 (6)（三）乘数-加速数模型 (7)（四）哈罗德-多马经济增长模型 (10)（五）投入产出模型 (11)（六）筹措教育经费模型 (12)四、总结 (14)参考文献 (16)序言数学这一学科从建立到现在,发展迅速,在人们的生活中也得到了越来越多的应用,人们把数学理论与生活实际相结合,这样的做法不仅解决了实际问题,也更加丰富了数学理论.差分方程是数学知识应用最广泛的部分之一,它在经济领域中的应用效果最为显著.本文先描述了差分方程的理论,然后对应用广泛的几个差分方程经济模型做了简单介绍,最后重点介绍了筹措教育经费模型,这是差分方程在经济领域最贴近实际生活的一个模型之一,从问题的描述出发,到模型建立、求解,最后对结果进行了分析和推广.研究差分方程在经济学中的应用,不仅能帮助解决生活中的经济问题,反过来更能进一步丰富数学理论.所以,研究差分方程的应用,在实际生活当中具有重要的意义.一、绪论（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的和意义数学这一基础性学科在不断发展,在现代经济学中所起的作用也日益突出.数学是一切学科的基础,经济领域也不例外,要发展经济就要研究经济理论,掌握经济规律,预测经济发展的趋势,这些都离不开数学这一工具.经济学中的变量有三种类型,自变量和因变量、存量和流量、内生变量和外生变量,经济模型是研究经济学领域中的经济变量之间的关系的,在其中加入数学元素,使得问题的描述简洁清楚、语言严密精确.在研究过程中通过参考已有的数学模型或数学定理有利于新结果的产生,可得到精准的结论.经济模型[1]是研究分析经济变量关系的一个重要工具,连接了经济理论和经济现实,也让数学理论得到更加广泛的应用.经济数学模型具体来说,是在经济理论的指导下,通过建立数学模型的这个过程,把研究对象简单化,转化为本质同一的对象,使研究对象具有代表性,以一代全,实际操作起来更加方便,从而实现对经济现实的简化.故对于变量数量繁多,而且变量之间的关系复杂多变的经济数量关系进行分析研究,经济数学模型不可或缺.在经济数学模型中,差分方程的应用非常广泛,人们建立了一系列以差分方程理论为核心的一系经济类数学模型,如市场经济中的蛛网模型、养老保险模型以及筹措教育经费模型等等,相应模型的建立也就解决了相应的经济学中的问题,如市场经济中的蛛网模型的研究就是基于自由竞争的市场经济中的供需变化与价格变化的循环现象,筹措教育经费模型则是站在一个理性角度,定量研究某家庭投资子女教育所需的费用.其实,总结一下,不难发现,以上的模型都是关于离散变量的规律、性质问题,只要判断出要研究的问题具有这类共同点,就可以考虑用差分方程模型来分析求解问题.差分方程其实与微分方程有些许相似,差分方程是含有未知函数及其差分的函数方程,微分方程是含有未知函数的导数的方程,差分方程是微分方程的离散化.差分方程反映的是离散变量的取值规律.整个模型研究过程是通过建立离散变量取值所满足的平衡关系,从而建立起差分方程.建立差分方程模型,不仅可以从定性角度为社会问题的解决提供思路,还从定量的角度解决了实际问题.在经济学中,差分方程的应用使得实证研究更加系统化、规范化,精确的数学方法让广大研究者最大程度地汲取有用的信息,得到定量性结论.在得到结论的同时,也方便对未来的经济形势和发展情况作出较为精确预测,这对于个人的理财和国家的经济发展无疑起到了非常重大的作用.举个例子,市场经济中的蛛网模型主要是研究在自由市场上的一种现象：商品的供给大于需求时,销售不畅会导致价格的大幅下跌,而价格的下降又会使得商品的供给量下降,因此价格又会上升,如果没有干预,会如此的往复.人们利用差分方程的知识对此过程进行研究,又发现在图像中,商品产量和价格的图形轨迹类似于蜘蛛网状,于是便有了差分方程的蛛网模型的诞生.对于政府来说,也会更加方便,便于及时地进行经济干预.中国的社会主义市场经济体制强调的是以市场和计划两种手段来调配社会资源,市场为主,计划为辅,蛛网模型的建立,把市场调配资源的整个过程体现了出来,同时也让政府可以更有计划性、更有目的性地来干预经济,经济调控的效果也会更好.所以,研究差分方程,对于数学理论的发展和实际生活都具有十分重大的意义.（二）研究背景应用差分方程的知识,建立经济模型,解决经济学的问题是要针对目标问题,确定离散变量,根据实际,建立离散变量所满足的平衡关系式,从而建立差分方程.通过求出方程的解和对解的分析,把握这个离散变量变化的规律,并进一步结合其他的分析,得出原问题的解.差分方程的研究历史比较短暂,真正开始于上个世纪90年代,发展迅速,且成果显著,在国内外一直都是数学学者们的研究热点.在国内,很多学者也在这一领域辛勤工作着,怀化学院的数学系主任魏耿平就是代表人物之一,他的论文发表在国内外许多著名的期刊杂志上,如美国的源刊、国内的《数学学报》等.在国外,随着差分方程理论的快速发展,国际上出现了一种专业性的差分方程的期刊,它的名称叫做,能在这样一个国际性的期刊上发表学术成果,对个人的研究成果是一种很大的肯定,同时对数学学科的发展是具有非常大的意义的.这一专业期刊杂志的出现更加推动了差分方程理论在竞争中的不断发展,以及差分方程在实际中应用的进程,差分方程众多优秀的研究成果也有了展示的平台.如今,随着人们对知识产权的重视程度的提高,中国国内的学术氛围更加浓厚,个人对于这方面的保护意识也越来越强.这样越来越好的氛围有利于国内各领域内的学者们的研究工作的进行,也会推进数学理论的进程.在这样一个良好的气氛之下,相信差分方程理论的发展会越快越好,同时它对中国经济的繁荣发展也会起到更加强大的推动作用和理论指导作用.二、研究的理论基础（一）差分[2]设定义在整数集上的函数：()n f y = ,,2,1,0,1,2,ΛΛ--=n则函数()n f y n =的一阶差分定义为：()()n f n f y y y n n n -+=-=∆+11.函数()n f y n =的二阶差分n y 2∆定义为一阶差分的差分,即：()()n n n n y y y y -∆=∆∆=∆+12.由差分四则运算法则之中的：()n n n n z y z y ∆+∆=+∆,可得：n n n n n n y y y y y y +-=∆-∆=∆+++12122.以此类推，k 阶差分就可以定义为1-k 阶差分的差分,即：(),,3,2,10111Λ=-=∆-∆=∆-+=-+-∑k y c y y y i k n ik ki in k n k n k其中,()!!!i k i k c ik -=.例1、设n n y n 252+=,求n y ∆和n y 2∆.解：()()()71025121522+=+-+++=∆n n n n n y n ,()()()1071071102=+-++=∆∆=∆n n y y n n .（二）差分方程[2]定义1：含有未知函数n y 及其差分ΛΛ,,2n n y y ∆∆的函数方程成为差分方程. 形式：()0,,,,,n 2=∆∆∆n m n n n y y y y F Λ.定义2：含有未知函数两个或两个以上的函数值Λ,,1+n n y y 的等式,称为常差分方程. 形式：()0,,,,1=++k n n n y y y n F Λ.在差分方程出现的未知函数下标的最大差称为该差分方程的阶.根据定义,k 阶差分方程的一般形式为：()0,,,,1=++k n n n y y y n F Λ, 其中，n 是自变量,n y 是未知函数.例如,方程n n n n y y y 23212⋅=-+++是二阶差分方程.注意,方程21232n y y n n =+++是一阶差分方程.（三）差分方程的解[5]如果将函数()n y φ=代入差分方程后,使其称为恒等式,则称此函数该差分方程的解.若差分方程的解中含有任意常数,且所含独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同,则称这样的解为该差分方程的通解,由于通解中含有任意常数,所以在应用时,还需要确定这些常数的条件.这种条件称为定解条件.由定解条件确定了通解中的所有任意常数后所得到的解称为特解.对k 阶差分方程，常见的定解条件是初始条件：,,,,111100--===k k a y a y a y Λ其中,110,,,-k a a a Λ都是已知常数.例2、验证()nnn n c y 332-+=是差分方程nn n n y y 321⋅=-+的通解.解：将()nnn n c y 332-+=代入差分方程中,得：左边=()()[]=⋅=-+--+++n n n n n n n c n c 3332232211右边等式成立,故()nnn n c y 332-+=是所给差分方程的解.又因为其中含有一个任意常数,且给定的差分方程是一阶方程,所以,此解为通解.（四）特征根法[5]一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式如下：)0(01==++a ay y x x （2-1） 这类方程的解法通常有两种,迭代法和特征根法,在这里介绍的是在差分方程模型中经常用到的特征根法.原一阶常系数齐次线性差分方程01=++x x ay y ,等价于()01=++∆x x y a y ,可以看出x y 的形式一定是某个指数函数.于是,假设()0≠=λλxx y ,代入方程,可得：01=++x x a λλ, （2-2）称方程（2-2）为齐次方程（2-1）的特征方程,解之得：a -=λ,是特征方程的根（简称特征根）.于是()xa y -=是齐次方程（2-1）的一个解,从而有：()xx a c y -=（c 为任意常数）.是齐次方程的通解.例3、求方程021=-+x x y y 的通解. 解：原方程的特征方程为：02=-λ,解之得：2=λ,于是,原方程的通解为：x c y 2⋅=.三、差分方程的经济应用模型简介差分方程模型在解决实际问题是,一般步骤如下：第一步,先要检验变量是否符合差分方程的理论条件,并进一步分析实际问题,设定好实际问题中的未知函数,建立差分方程,提出初始条件;第二步,先求解所建立的方程的通解,再根据之前设定的初始条件求出特解;第三步,用所得出的解给实际问题一个答复,并结合实际进行分析.在经济学中的差分方程模型很多,下面简单介绍几个差分方程应用较广泛的经济模型.有与个人日常生活中理财相关的,也有与国家的经济增长相关的.（一）贷款模型贷款这是老百姓生活中常见的一种现象,现在,不管是买房、买车,甚至是大学教育都已经开始流行贷款.买房、买车是一个人的一生中的重头消费项,在存款不足的情况下,可以帮助实现自己的房子、车子梦.一般是先支付部分款项,再通过银行贷款付清余额.首先以买房为例介绍贷款模型,假设某房屋总价为a 元,先付首付款后便可入住,剩下的可以通过银行贷款来付清,年利率为r ,需要n 年付清,利用差分方程的知识就可以计算出平均每月需要付多少钱,以及总共需要付的利息.具体求解的过程如下：实际在买房时,所需的首付款是房款全额的4060%不等,假设首付款为房款全额的40%,贷款 总额为a 53元.假设每月应付x 元,总共需要支付的利息为I 元,月利率为12r,即得到： 第一个月的应付利息为：2053121raa r y =⨯=, 第二个月的应付利息为：121211253112rx y r r y x a y -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=,由此类推,可以得到：121211rx y r y t t -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+,上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程,先求其对应的齐次方程：01211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t y r y ,的通解,再求原方程的一个特解,相加后即可求得原方程的通解.最后,就可以计算出每月需要支付的钱,即：112112121531212-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=nnr r r a x , （2-3）总共需要支付的利息为：a r r r a n I nn5311211212153121212--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯=. （2-4） 如下表,表2-1,是中国人民银行最新调整后的金融机构人民币贷款基准利率表：一般房贷或车贷都会在五年以上,所以采用6.55%的贷款利率,假设现在某人要买一栋全款为一百万元,贷款60万,在10年内还清,由（2-3）和（2-4）式,每月应支付的金额为：69.6912=x ,总共所需支付的利息为：47.829523=I .现实生活中,个人买房的实际情况不同,房子的具体地段、户型、大小面积、楼层等等有差异,所需支付的首付款数额也必然不同,在了解了这个模型后,只需带入相应字母所代表的数据,并相应地代入首付款金额,就可以很方便地计算出贷款的利息等数据,个人在还款的同时,心里也会有个底.（二）存款模型存款,同样也是生活中的一件平常的事,但其中也是有很多的数学知识的,掌握了,就可以大致了解存款的利息,更容易把握存钱的时机,也可以更好地树立理财的观念.存款是中国人比较传统的一种理财方式,因为银行存款利率的变化,如果想要获得更好的收益,就要掌握一定的数学知识,这样才能更准确地判断存款时机,获得更好地收益.先用字母代替具体数字,假设0s 为最初存入银行的资金总额,t s 为t 时期的存款总额,r 为存款利率,按年复利计息,就可以得到t s 与r 之间的关系,得到一个一阶常系数齐次线性方程：()Λ,2,1,0,11=+=+=+t s r rs s s t t t t求解方程,原方程的特征方程为：()01=+-r λ,解之得：r +=1λ,所以,原差分方程的通解如下：()0,1s c r c s tt =+=,即：t 时期取款所获取的收益为：()tt r s s +=10.如果要存款来获取收益,可以通过（2-5）式来得出最后的收益情况;如果在生活中需要贷款,那么就可以利用（2-3）,（2-4）两个式子大致计算出每月所需支付的资金,以及所需支付的全部利息,不会发生在银行贷款时理不清楚的现象,也有利于自己管理自己的财产.根据中国人民银行最新发布的金融机构人民币存款基准利率调整表,表2-2：活期存款利率为0.35%,若最初存进银行的金额是100000=S 元,3=t ,第3年的收益3S 为：()37.101050035.011000033=+=S .按照最长的5年的定期存款利率4.75%来计算，假设最初的存款100000=S ，5=t ，第5年的收益5S 为：()60.126110475.011000055=+=S .存款作为中国老百姓传统的理财方式,虽然已经不多见了,但平时生活中留有存款,也可以应对老人生病等突发的状况.平时留有一定数额的存款还是有不少作用的,对存款利率的了解是很重要的.（三）乘数-加速数模型[4]差分方程在经济学中的应用除了与实际生活联系密切的模型之外,也有关于宏观经济方面的模型,比如经济增长模型等.对于一个国家来说,经济的增长十分重要,持续稳定增长的经济会给人民带来更多的福祉.所以,第三个模型介绍的是由萨缪尔森提出的乘数-加速数模型,它是属于典型的凯恩斯主义.在介绍乘数-加速数模型之前,首先应明确本模型中所涉及的两个经济原理,乘数原理和加速原理.乘数原理说明了投资变动对国民收入变动的影响,而加速原理说明了国民收入的变动对投资变动的影响.乘数-加速数模型就是二者结合起来对经济周期的影响.假设K 为资本存量,Y 为产量水平,v 代表资本-产量比率,有：vY K =,一般情况下,资本-产量比1>v .()1-t 时期的K 和Y 的关系可表示为：11--=t t vY K ,从1-t 时期到t 时期,资本存量的增加量是1--t t K K .资本的增加需要投资的增加,记t I 是t 时期的投资净额,则有：1--=t t t K K I ,由11--=t t vK K ,可以推导出：()11---=-=t t t t t Y Y v Y vY I . （2-6） 上式表明,在资本-产量的比率保持不变的情况下,t 时期的净投资额t I 决定于1-t 到t 时期的产量的变动量,v 被称为加速数.由于生产过程中难以避免机器的磨损等,就会导致重置投资,将其视为折旧,与净投资额组成了总投资,则（2-6）式就变成了：t 时期的投资总额()t Y Y v t t +-=-1时期的折旧,所以，可以得到产量水平与投资支出之间的关系.加速数为大于1，资本存量的增加必须要超过产量的增加.前提是资本存量充分利用.萨缪尔森的乘数-加速数模型基本方程如下：t t t t G I C Y ++=, （2-7） 10,1<<=-ββt t Y C （2-8） ()0,1>-=-v C C v I t t t , （2-9） 其中,t Y 是国民收入,t C 是消费额,t G 是政府的购买.假定政府购买t G 是常数,G G t =.求解方程：将（2-8）（2-9）代入（2-7）式中,可得：()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,化简后,有：()G vY Y v Y t t t =++-++ββ121,得出特征方程：()012=++-v v βλβλ,求解特征方程,是一个一元二次方程，由：()v v ac b ββ414222-+=-=∆,因为∆值有可能大于0等于0,或小于0,故对应∆的不同取值,解有三种情况. 故,化简之后的方程：()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,通解为：=t Y 0-12211>∆++，βλλGC C tt , ()0,121=∆-++βλGt C C t, ()0,1sin cos 21<∆-++βϖϖGt C t C r t, 其中,()()[]()().1arctan ,,121,121,412,122v v r v v v v v +∆-===+=∆-+=-+=∆βϖβββλβλββ由此得到国民收入t Y 的计算公式,代入原方程就可以计算出本期消费t C ,本期私人投资t I .假设边际消费倾向5.0=β,加速数1=v ,政府每期开支相同,亿1=t G ,从上期国民收入中来此模型模型集合了两种经济原理,对经济周期的分析更注重外部的因素,投资影响收入和消费,消费和收入反过来也会影响投资,从而形成经济扩张或收缩的局面,这是西方学者的对经济波动的一种解释.政府对经济进行干预,就可以改变或缓和经济波动.采取适当政策刺激投资,鼓励提高劳动生产效率,就可以提高加速数,就可缓和经济萧条.（四）哈罗德-多马经济增长模型[6]宏观经济中的差分方程模型除了上述的萨缪尔森的乘数-加速数模型,还有另外一种经济增长模型,就是由哈罗德和多马共同提出的哈罗德-多马经济增长模型,同样也是凯恩斯理论的典型.这个模型与乘数-加速数模型的结论不同,它认为,经济的增长是不稳定的.具体的模型描述如下：假设,t S 为t 时期的储蓄额,t Y 为t 时期的国民收入,t I 则是t 时期的投资额,边际储蓄倾向用s 表示,10<<s ,与乘数-加速数模型一样,假定加速数v 保持不变.v s ,都是常数.哈罗德-多马经济增长模型的方程如下：10,1<<=-s sY S t t ,()0,1>-=-v Y Y v I t t t ,t t I S =, 化简方程,得到：011=----t t t sY vY vY ,可得到特征方程：0=--s v v λ,解之得：vs +=1λ,故原方程的通解：tt v s c Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.其中,c 是常数,vs指的就是要保证所有储蓄转化为投资的经济增长率,经济学中称为保证增长率.保证增长率vs中,v 是加速数,一般是假定不变的,s 是边际储蓄倾向,表示的是国民收入每增加一个单位,储蓄会增加的程度.依据哈罗德-多马经济增长模型,如果可以保证t 时期的储蓄额和投资保持平衡,储蓄额可以得到充分的利用,那么国民收入就会按照保证增长率vs增长.但在实际中,储蓄与投资之间的完全转化是难以实现的,因此会造成经济的增长不稳定的状况,就会得到相应的结论.（五）投入产出模型[8]如果说上述的两个经济增长模型是对经济增长速度的深刻阐述,那么最后要介绍的投入产出模型,则是更进一步的对结果的探究.投入产出模型,是一种定量分析并衡量经济效益的模型,可以为国家经济政策的制定提供依据.从事某一项经济活动之前会有成本的投入,如人力、财力等,经济活动结束后会有一定的收益,投入产出模型的提出,就是将投入与产出量化,用数学方法来进行宏观经济的核算,并经过合理的分析后,采取一定的措施,调控成本,提高国家经济效益.此模型诞生在美国,由著名经济学家列昂捷夫提出,是国民经济核算的重要组成之一.我们在这里介绍的是静态投入产出模型,是对一个时期的经济活动的计划投入、计划收入以及对应的实际收入进行计算.具体如下：假设,t 时期初,国家计划投资额t I ',对应的实际投资t I ,计划消费t C ',对应实际的消费是t C ,计划的收入t Y ',对应实际的收入是t Y ,假定计划消费可以实现,且计划投资与实际投资相等,则有：t t t t C C I I ='=',,也有：t t t t t Y C I C I =+='+', （2-10）实际的收入t Y 是这样计算的,假定t S 为实际的储蓄额,则有：t t t C Y S -=, （2-11） 由（2-10）和（2-11）两式可得：t t t t S C Y I =-=,即,实际的投资额与实际储蓄额相等,但计划储蓄与实际储蓄是不等的,所以,计划投资额与计划储蓄不等.一般本期计划消费是根据上一期的收入和消费额指定的,上期的收入与本期的计划消费是有函数关系的,假定计划消费是上期收入的一次线性函数,故有：k aY C t t +='-1,其中,a 是边际消费倾向,一般情况下10<<a ,k 是常数,代表基本生活消费.将上式代入（2-10）中,可以得到如下的一阶常系数线性差分方程：t t t Y I k aY =++-1,用特征根法解方程,原差分方程的特征方程为：0=--t I k λ,解之得：t I k +=λ,故,原差分方程的通解为：()tt t I k c Y +=.若已知基本的消费和计划投资（前提假定计划投资与实际投资相等）,就可以计算出实际的收入.差分方程的应用远远不止上述的这些日常生活中的理财行为,以及宏观经济上的应用,它的应用也远不止经济学这一个领域,它对我们生活的影响可大可小,可以帮助我们更好地规划生活,这也体现了以差分方程为代表的数学理论知识,在实践中的巨大作用.（六）筹措教育经费模型 1、问题描述中国整体的国民收入水平在改革开放之后大大提高,但由于传统观念的影响,老百姓的理财意识并不强,一般家庭的消费支出并不高,人们总是习惯于把钱存入银行或信用社,但有一个共同的大的消费支出是不可避免的,就是子女的教育经费支出.在一个小孩上大学之前,从小学到高中是义务教育阶段,国家会承担多数的教育费用,这时候家庭负担较轻,不会造成经济压力.但到了大学阶段,学费数额一下子上升,一般的中国家庭经济压力就会加大.为了解决老百姓的这个问题,国家也有了很多的优惠政策,如生源地助学贷款、学校方面所提供的助学贷款、贫困助学金等.对此,还是有很多父母不愿孩子在进入社会之初就背负经济上的压力,想要让孩子轻装上阵,于是就想有计划地存款,为孩子以后的高等教育做准备.那么,假如某家庭从孩子出生时就开始准备存款,每个月从工资中拿出一部分资金,存入银行账户,用于投资子女以后的高等教育,并计划在20年后开始从该账户中每月支取固定的数额b 元,直到子女完成学业,并且在5年内要用完全部资金,要实现这个投资目标,20年后共要筹措多少资金?每月要向银行存入多少钱?2、问题分析此问题可以分成两个阶段,第一阶段是在前面20年,每月向银行存入一笔数额固定的资金,第二阶段,是在20年后将所有资金用于子女的教育,每月支取b 元,因为大学的学制一般是4年,少数专业如机械类,学制为五年,所以假定要在5年内用完该账户上的资金.3、建立模型首先,假设从一开始到20年内总共要筹措x 元资金,第n 个月向银行存款账户存入了n I 元,每月存入资金a 元,同时,设20年后第n 个月银行账户里有n S 元.（假设月利率为r ）所以,采用逆向思维,从该账户设立20年后开始,每月从该账户支取固定数额b 元,且5年内用完,账户里的钱开始逐年递减,则关于n S 的差分方程为：b S r S n n -⋅=+1,因为是5年内取完前20年存入的x 元,共有120个月的时间,故，0,600==S x S .。
差分方程2
致价格下跌，农民觉得养猪赔钱，于是转而经营其
它农副产品 . 过一段时间猪肉上市量减少，供不应求 导致价格上涨，原来的饲养户觉得有利可图，又重 操旧业，这样下一个时期会重新出现供大于求 , 价格 下跌的局面. 在没有外界干预的条件下，这种现象将
一直循环下，在完全自由竞争的市场体系中，这种
现象是永远不可避免的 . 由于商品的价格主要由需求
yt a t y0 ( t 0,1,2,).
yt 1 ayt 0
(4)
(2) 特征方程法求解：设
Y t ( 0)
是方程 (4) 的解，代入(4)，得
t 1 a t 0 ( 0)，
化简得：
a 0,
即
a.
t 1 a t 0
利率，按年复利计息，则 S t 与 r 有如下关系式：
S t 1 S t rS t (1 r ) S t ,
t 0,1,2,,
这是关于 S t 的一个一阶常系数齐次线性差分方程，
其通解为
S t (1 r ) t S 0 ,
t 0,1,2,,
其中 S 0为初始存款总额.
二、 一阶常系数线性差分方程 一阶常系数线性差分方程的一般形式为
yt 1 ayt f ( t )，
其中 a 0 为常数，f ( t ) 为已知函数. 当 f (t ) 0 时，称方程
yt 1 ayt 0
(3)
(a 0)
(4)
为一阶常系数齐次线性差分方程. 若 f (t ) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性 差分方程.
2
a r 12n I (1 ) I 2 12 (1 r 12n ) 1 12 x, r 12
差分方程详解
差分方程百科内容来自于:差分方程是含有未知函数及其导数的方程，满足该方程的函数称为差分方程的解。
基本概念一、差分的概念设函数yt=f(t)在t=…，-2，-1，0，1，2，…处有定义,对应的函数值为…，y-2，y-1，y0，y1，y2，…，则函数yt=f(t)在时间t的一阶差分定义为Dyt=yt+1-yt=f(t+1)-f(t)。
依此定义类推，有Dyt+1=yt+2-yt+1=f(t+2)-f(t+1)，Dyt+2=yt+3-yt+2=f(t+3)-f(t+2)，………………一阶差分的性质(1) 若yt=C(C为常数)，则Dyt=0；(2) 对于任意常数k，D(kyt)=kDyt；(3) D(yt+zt)=Dyt+Dzt。
函数yt=f(t)在时刻t的二阶差分定义为一阶差分的差分，即D2yt= D (D yt)= D yt+1- D yt=(yt+2-yt+1)-(yt+1-yt)=yt+2-2yt+1+yt．依此定义类推，有D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1，D2yt+2= Dyt+3-Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2，………………类推，计算两个相继的二阶差分之差，便得到三阶差分D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt，D3yt+1= D2yt+2- D2yt+1=yt+4-3yt+3+3yt+2-yt+1，………………一般地,k阶差分(k为正整数)定义为这里二、差分方程含有未知函数yt=f(t)以及yt的差分Dyt，D2yt，…的函数方程，称为常差分方程(简称差分方程)；出现在差分方程中的差分的最高阶数，称为差分方程的阶。
n阶差分方程的一般形式为F(t，yt，Dyt，…，Dnyt)=0，其中F是t，yt, Dyt，…，Dnyt的已知函数，且Dnyt一定要在方程中出现。
含有两个或两个以上函数值yt，yt+1，…的函数方程，称为(常)差分方程，出现在差分方程中未知函数下标的最大差，称为差分方程的阶。
差分方程讲解
解 特征方程为
2 4 + 16 = 0.
方程的根为
1,2 2 2 3i , r 4, .
3
原方程的通解为
y x C1 cos x C 2 sin 3 3
x x4 .
代入初始条件 y0=0, y1=1得
C1 cos 0 C 2 sin 0 40 0, 1 C1 cos C 2 sin 4 1, 3 3
其中 B 为待定系数.
例11 求差分方程 yx+2 3yx+1 + 2yx = 2x的一个特解.
解 对应的齐次方程的特征方程为 方程的根为
2 3 + 2 = 0. 1 = 1, 2 = 2,
因为 q = 2 =2, 设特解为 y Bx 2 x ,
x
代入原方程, 得 B(x+2)2x+23B(x+1)2x+1+2Bx2x = 2x, 1 B , 2 1 x x 所求特解为 yx x 2 x 2 . 2
设特解的待定式为 m y x B0 B1 x Bm x (a 1)
或
(6)
(7)
y x ( B0 B1 x Bm x m ) x (a 1)
其中B0 , B1 , , Bm为待定系数.
例5 求差分方程 yx+1 2yx = 3x2 的一个特解.
为二阶差分, 记为2 yx, 即
2 yx = (yx) = yx+2 2 yx+1 + yx
同样可定义三阶差分3yx, 四阶差分4yx, 即
3yx = (2yx), 4yx = (3yx) .
差分方程基本知识
3. 常系数线性差分方程及解的性质
定义4 形如
ytn a1 ytn1 an1 yt1 an yt f ( x)
(1)
的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中
a1 , a2 , , an 为常数，且 an 0, f (t )为已知函数.
当 f (t) 0时，差分方程(1)称为齐次的，
例如，
yt2 2 yt1 yt 3t
是一个二阶差分方程， 可以化为
yt 2 yt1 yt2 3t2.
如果将原方程的左边写为
( yt2 yt1 ) ( yt1 yt ) yt1 yt 2 yt ,
则原方程还可化为 2 yt 3t.
若 f (t) 0, 则 (3) 称为一阶常系数非齐次线性
差分方程.
1. 常系数齐次线性差分方程的通解 对于一阶常系数齐次线性差分方程
yt1 ayt 0
(4)
通常有如下两种解法.
(1) 迭代法求解： 设 y0 已知，则
yn ayn1 a(ayn2 ) a2 yn2 an1 y1 an y0 ,
由于 a 1 , b 5 , a b,
22
故可设其特解为： yt* kbt .
代入方程，解得：k c 1 ,
ba 2
故原差分方程通解为：
yt
Y
yt*
A
1 t 2
1 2
5 t 2
.
(三) f (t) ctn (c为常数)， 则差分方程为
2
于是原方程的通解为
其中C为任意常数.
yt
C(
1)t , 2
差分方程在经济学中的应用
第四节 差分方程在经济学中的应用本节介绍差分方程在经济学中的几个简单应用，以期望读者有一些初步了解．一、 存款模型设S t 为t 期存款总额，i 为存款利率，则S t 与i 有如下关系式：S t +1=S t +iS t =(1+i )S i , t =0,1,2,…，其中S 0为初始存款总额．二、 动态供需均衡模型(蛛网定理)普通市场上一般商品的价格能影响消费者对该种商品的需求量，需求量与价格呈反向 变化．设D t 表示t 期的需求量，S t 表示t 期的供给量，P t 表示商品t 期价格，则传统的动态供 需均衡模型为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=-)3(,)2()1(,,111t t t t t t S D P b a S bP a D 其中a ,b ,a 1,b 1均为已知常数．上述各方程的经济意义是：(1)式表示t 期(现期)需求依赖于同期价格；(2)式表示t 期(现期)供给依赖于(t -1)期(前期)价格．这里实际上假定该种商品生产行为既不是瞬时的，也不是连续的，而是要求有一个固定的生产周期．生产者总认为：本期的市场价格将在下一周期内保持不变，并按现期价格安排下一周期的生产．因此，第t 期的供给量S t ，实际上由前一周期价格P t -1决定，也就是说，供给量滞后于价格一个周期．(3)_式为供需均衡条件． 若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即P t =P t -1=P e ，那么由(1)(2)(3)式，我们即得静态均衡价格：P e =bb a a --11． 显然，若将需求曲线与供给曲线画在同一坐标平面上，其交点(P e ,Q e )即为该种商品的静态均衡点．一般地，将动态供需均衡模型的(1)(2)两式代入(3)式，便得到动态供需均衡模型的等价差分方程：P t -bb 1P t -1=b a a -1． (11-4-1) 这是一个一阶常系数非齐次线性差分方程，可求得(11-4-1)的一个特解t P =bb a a --11 =P e , 从而，方程(11-4-1)的通解为： P t =A (b b 1)t ＋P e , 这里A 为任意常数．若初始价格P 0已知时，将其代入通解，可求得任意常数A =P 0-P e ，此时，通解改写为P t =(Ｐ0-Ｐe )(1b b )t +Ｐe ． (11-4-2) 如果初始价格P 0=P e ,那么Ｐt =Ｐe ，这表明没有外部干扰发生，价格将固定在常数值Ｐe 上，这就是前面所说的静态均衡．如果初始价格Ｐ0≠Ｐe ,那么价格Ｐt 将随t 的变化而变化．显然，由通解(11-4-2)式可知，当且仅当︱1b b︱＜1时，有 10e e e lim lim ()()t t t t b P P P P P b →+∞→+∞⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦, 也就是说，动态价格Ｐt 随着t 的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格Ｐe ．图11-1是普通商品的价格与供需关系图．图11-1图11-1形状类似于蜘蛛网，故称此模型为蛛网模型(或蛛网定理)．三、 凯恩斯(K e yn e s ．J ．M)乘数动力学模型设Y t 表示t 期国民收入，C t 为t 期消费，I t 为t 期投资，I 0为自发(固定)投资，ΔI 为周期固定投资增量．凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=-)3(,)2()1(,0,1I I I bY a C I C Y tt t t t t ∆ 其中(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数，即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a (≥0)为基本消费水平，b 为边际消费倾向(0＜b ＜1);(3)式为投资函数，这里仅考虑为固定投资．在(1)(2)(3)式中消去C t 和I t ，得到一阶常系数非齐次线性差分方程：Y t -bY t -1=a +I 0+ΔI ． (11-4-3)可求得(11-4-3)的一个特解t Y =bI I a -++10∆, 从而，方程(11-4-3)的通解为 Y t =A ·b t ＋b I I a -++10∆，其中A 为任意常数．我们称系数b-11为凯恩斯乘数． 四、 哈罗德(Harrod ．R ．H)经济增长模型设S t 为t 期储蓄，Y t 为t 期国民收入，I t 为t 期投资，s 称为边际储蓄倾向(即平均储蓄倾向)，0＜s ＜1，k 为加速系数．哈罗德宏观经济增长模型为：11,01,(1)(),0,(2),(3)t t t t t tt S sY s I k Y Y k S I --=<<⎧⎪=->⎨⎪=⎩ 其中s ,k 为已知常数．(1)式表示t 期储蓄依赖于前期的国民收入；(2)式表示t 期投资为前两期国民收入差的加速，且预期资本加速系数k 为常数；(3)式为均衡条件．经整理后得齐次差分方程Y t -k s k + Y t -1=0， (11-4-4) 其通解为Y t =A (1+k s )t ， (11-4-5) 其中A 为任意常数，k s ＞0，哈罗德称之为“保证增长率”．其经济意义就是：如果国民收入Y t 按保证增长率ks 增长，那么就能保证t 期储蓄与t 期投资达到动态均衡，即I t =S t , t =0,1,2,…．假定t -1期收入Y t -1满足于通解(11-4-5)，而t 期收入Y t 由于某种外部干扰使其不满足于(11-4-5)，而是Y t =A (1+k s )t +B (B ≠0,称为外部干扰)， 不妨设B ＞0，那么有I t =k (Y t -Y t -1）=k ［k s A (1+k s )t -1+B ］ =sA (1+ks )t -1＋kB =sY t -1+kB=S t +kB ．因kB ＞0,故I t ＞S t ．这就表示：总投资将大于总供给(由储蓄提供)，从而对收入产生一个向上的压力，迫使收入较以前增加得更多．这就充分地说明了，“保证增长率”保证了国民收入的增长．五、 萨缪尔森(Samu e lson P ．A)乘数加速数模型设Y t 为t 期国民收入，C t 为t 期消费，I t 为t 期投资，G 为政府支出(各期均相同)．萨缪尔森将乘数和加速数两个参数同时引进而得到国民经济收支均衡模型(也称为乘数-加速数模型)：⎪⎩⎪⎨⎧>-=<<=++=--)3(,0),()2(,10,)1(,11k C C k I b bY C G I C Y t t tt t t t t 其中G ＞0为常数，b 称为边际消费倾向(常数)，k 为加速数．将(2)(3)两式代入(1)并经整理后得：Y t -b (1+k )Y t -1+bkY t -2＝G ． （11-4-6）这是关于Y t 的二阶常系数非齐次线性差分方程．不难求得其特解t Y ＝b G-1． 其经济意义为：国民收入的均衡值等于凯恩斯乘数b -11与政府支出自发投资G 的乘积．方程(11-4-6)对应的齐次方程为Y t -b (1+k )Y t -1+bkY t -2=0， (11-4-7)其特征方程为λ2-b (1+k )λ+bk =0， (11-4-8)特征方程的判别式Δ=b 2（1＋k )2-4bk =b ［b (1+k )2-4k ］,当Δ＞0时，(11-4-8)有两相异实根：λ1=21［b (1+k )-∆］,λ2=21［b (1+k )+ ∆］.方程(11-4-7)的通解为：Y A (t )=A 1·λ1t +A 2·λ2t (A 1,A 2为任意常数)．当Δ=0时，(11-4-8)有一对相等实特征根：1(1)2b k λ=+，方程（11-4-7）的通解为：12()()tA Y t A A t λ=+⋅，（A 1，A 2为任意常数）.当Δ<0时，(11-4-8)有一对共轭复根：λ=21[b (1+k )+i ∆],λ=21[b (1+k )-i ∆],方程(11-4-7)的通解为：Y Ａ(t )=γt (A 1cos ωt +A 2sin ωt ),A 1,A 2为任意常数；γ和ω由下式确定⎪⎩⎪⎨⎧∈+==),0(,)1(arctan ,πωωγk b bk ∆．综合上述，方程(11-4-6)的通解为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<-++=-+⋅+>-+⋅+=,0,1sin cos (,0,1)(,0,121212211∆∆∆当当当b G t A t A b G t A A b G A A Y t t t t t ωωγλλλ， 其中Δ=b ［b (１＋k )2-4k ］，A 1，A 2为任意常数，λ1，λ2及λ，γ和ω均如前面所述．若求出Y t ,由所给模型就不难确定C t 和I t ．习题11-41． 设Y t 为t 期国民收入，C t 为t 期消费，I 为投资(各期相同)．卡恩(Kahn)曾提出 如下宏观经济模型：1,,01,0,t t t t Y C I C Y αβαβ-=+⎧⎨=+<<>⎩其中α，β均为常数，试求Y t 和C t ．2． 设Y t ，C t ，I t 分别表示t 期的国民收入、消费和投资，三者之间满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>+=≥<<+=+=+,0,,0,10,,1γγβαβαt t t t t t t t I Y Y Y C I C Y这里α,β,γ均为常数．求Y t ,C t ,I t .3． 设Y t 为t 期国民收入，S t 为t 期储蓄，I t 为t 期投资，三者之间满足如下关系：⎪⎩⎪⎨⎧>=>-=≥<<+=-,0,,0),(,0,10,1δδγγβαβαt tt t t t t I S Y Y I Y S ， 这里α，β，γ，δ均为常数，试求Y t ,S t ,I t ．4． 挪威数学家汉逊(Ｈanssen ．J ．S)研究局部化理论模型遇到如下的差分方程：D n +2(t )-4(ab +1)D n +1(t )+4a 2b 2D n (t )＝０，这里a ,b 为常数，而D n (t )为未知函数，若1+2ab ＞0,试求方程的解．5． 梅茨勒(Ｍetzler ．L ．A)曾提出如下的库存模型：⎪⎩⎪⎨⎧-=<<=++=---),(,10,,211t t tt t t t t Y Y S Y U S U Y βββα, 其中Y t 为t 期总收入，U t 为t 期销售收入，S t 为t 期库存量．α和β为常数．试求Y t ，U t ，S t 关于t 的表达式．。
考研数学——差分方程及其应用
附录：差分方程及其应用一、 差分的概念定义1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分, 也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即 t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++类似可定义三阶差分, 四阶差分,……),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆例1 设322-+=t t y t ，求t y ∆，t y 2∆。
解 32)32(]3)1(2)1[(221+=-+--+++=-=+t t t t t y y y t t t ∆。
tt t t t y y y y y +-==++1222)(∆∆∆232]312)1[(2]3)2(2)2[(222=-++-+++--+++=t t t t t t ）（。
二、差分方程的概念定义2 含有未知函数t y 的差分的方程称为差分方程.差分方程的一般形式：0),,,,,(2=∆∆∆t n t t t y y y y t F或 .0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G 差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.线性差分方程的一般形式是)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++其特点是t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次的.三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f Py y t t =-+ （1）其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为：01=-+t t Py y称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程（1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.四、一阶常系数线性差分方程的迭代解法一阶常系数线性差分方程的一般形式为：)(1t f ay y t t =++， （2） 其中常数0≠a ，)(t f 为t 的已知函数，当)(t f 不恒为零时，（2）式称为一阶非齐次差分方程；当0)(≡t f 时，差分方程：01=++t t ay y （3） 称为与一阶非次线性差分方程对应的一阶齐次差分方程。
数学建模差分方程问题
数学建模差分方程问题数学建模是运用数学方法解决现实问题的一种方法。
而差分方程是数学建模中常用的一种数学工具，用于描述离散时间的动态系统。
本文将介绍差分方程的基本概念和应用，并以一个实际问题为例进行论述。
一、差分方程概述差分方程是一种用差分代替导数的方程，适用于离散时间的动态系统建模。
差分方程常用于描述离散时间下的变量变化规律，包括时序数据和动态优化等问题。
差分方程可以通过迭代求解来获得系统的演化过程。
二、差分方程的类型差分方程可分为线性差分方程和非线性差分方程两种类型。
线性差分方程的形式为：y(n+1) = a*y(n) + b*y(n-1)其中，y(n)表示第n个时间点的变量值，a和b为常数。
非线性差分方程的形式更加复杂，可以包含更多的项和参数，例如：y(n+1) = a*y(n)^2 + b*y(n-1) + c*n其中，y(n)^2表示y(n)的平方，c*n表示变量与时间的乘积。
三、差分方程的应用差分方程广泛应用于各个领域的实际问题，在科学研究、工程设计和金融市场等方面都有重要的应用价值。
下面以生态系统模型为例，来介绍差分方程的具体应用。
生态系统模型是生态学领域中的重要问题之一。
考虑一个简化的生态系统，由捕食者和被捕食者两个物种组成。
假设捕食者的数量为x，被捕食者的数量为y。
捕食者的增长速率与被捕食者的数量成正比，而被捕食者的减少速率与捕食者的数量成正比。
则可以建立如下差分方程模型：x(n+1) = x(n) + a*x(n)*y(n)y(n+1) = y(n) - b*x(n)*y(n)其中，a和b为模型的参数，表示捕食者与被捕食者之间的相互作用强度。
通过迭代求解这个差分方程模型，可以得到生态系统中捕食者和被捕食者数量的变化趋势。
四、差分方程的求解方法差分方程的求解可以通过数值方法进行。
常见的有欧拉法和龙格-库塔法等。
这些方法可以将差分方程转化为计算机程序进行求解，得到系统的近似解。
五、差分方程与其他数学工具的关系差分方程与微分方程是数学建模中常用的两种数学工具。
差分方程笔记
差分方程笔记
差分方程是一种数学工具，它可以帮助我们研究某些重要类型的函数。
它表示不同值之间的变化，并且可以定义函数的行为。
因此，差分方程在数学中有广泛的应用。
差分方程的定义是，给定一个函数f（x），它表示不同x值之间的变化，可以通过求解关于x的微分方程来解释这种变化。
因此，差分方程可以用来表示一个函数的行为。
微分方程的求解过程可以分为三个步骤：求函数的微分，求微分方程的解，并确定解的精确类型。
第一步，我们首先要求函数的微分，也就是求斜率。
微分可以理解为一个函数的变化速度。
它用来描述函数的变化率。
在求解微分方程的解之前，我们需要根据所求的函数定义其格式，使用基本的微积分定理来解决它。
根据函数的特征，我们可以求出微分方程的一般解，其中包含一个或多个未知数。
最后，我们可以求出函数的定积分。
定积分可以用来求出函数的精确表达，从而确定解的精确类型，并可以详细了解函数的行为。
以上就是求解差分方程的基础知识。
差分方程经常用于研究常见的函数，这些函数经常用于解决实际的问题。
例如，电子电路和机器人控制系统都有利用差分方程研究的应用。
因此，差分方程的研究是数学中重要的一个领域。
它的研究可以帮助我们解决许多实际问题，这些问题通常很复杂，需要我们深入探索。
此外，差分方程也可以应用于计算机科学和工程研究中。
总而言之，差分方程在数学中有广泛的应用，它可以用来帮助我们解决实际问题，可以让我们更好地理解函数的行为，也可以用于计算机科学和工程领域中的研究，因此它受到了广泛的认可。
差分方程在经济学中的应用应用数学
本科毕业论文(设计) 论文题目：差分方程在经济学中的应用学生姓名：雷晶学号： 1004970226专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导老师：舒蕊艳完成日期：2014年5月20日差分方程在经济学中的应用内容摘要本文叙述了研究差分方程的意义和背景、差分方程的定义、常见的解法以及差分方程相关模型,重点介绍差分方程经济学中的应用模型—筹措教育经费模型,包括问题的提出、模型举例和分析、提出假设、模型建立、模型求解、结果分析等等步骤对模型进行了更深层次的分析,做了进一步的推广.本文所介绍的筹措教育经费模型主要研究的是子女的教育费用,假定某家庭从孩子m岁起,每月拿出一部分钱存进银行,用于投资子女的大学教育,并计划n年后支出一些,直到孩子大学毕业,全部用完账户中的资金.差分方程的理论研究近十年来发展十分迅速,尤其是在经济领域,帮助人们解决了很多实际问题,筹措教育经费模型的建立为广大中国家庭子女教育的费用问题提供了明确的解决方法,是差分方程理论最贴近实际的模型之一.关键词：差分方程存款模型经济增长模型筹措教育经费模型The Application of Differential Equations in EconomicsAbstractThis paper is about the significance, background and definition of differential equations. It also describes the common solutions and some related models of differential euqations. The paper focuses on the differential equations in economics model- raising educational funds model which includes proposing questions, the model for example and analysis, putting forword the hypothesis, building and solving the model, analysing the result and so on. And this paper makes a deeper analysing of the model and does the futher promotion.The main aspect of the raising educational funds model in this paper is children’s education expenses. Here comes the hypothesis, assuming that the family puts some money in the bank for investment in their children’s college education from their children’s m years old and plans to spend some after n years until the children graduated from college, run out of all the funds in the account.Researching on the theory of differential equations in past decade developes very quickly, especially in the economic field. It helps people a lot in solving many practical problems. The building of raising educational funds model which is one of the most close model to reality provides a clear solution to the cost of children’s education for the majority of Chinese family.Key word:D ifferential equations Deposit model Economic-gain model Raising educational funds model目录一、绪论 (1)（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的意义 (1)（二）研究背景 (2)二、研究的理论基础 (2)（一）差分 (2)（二）差分方程 (3)（三）差分方程的解 (4)（四）特征根法 (4)三、差分方程的经济应用模型简介 (5)（一）贷款模型 (5)（二）存款模型 (6)（三）乘数-加速数模型 (7)（四）哈罗德-多马经济增长模型 (10)（五）投入产出模型 (11)（六）筹措教育经费模型 (12)四、总结 (14)参考文献 (16)序言数学这一学科从建立到现在,发展迅速,在人们的生活中也得到了越来越多的应用,人们把数学理论与生活实际相结合,这样的做法不仅解决了实际问题,也更加丰富了数学理论.差分方程是数学知识应用最广泛的部分之一,它在经济领域中的应用效果最为显著.本文先描述了差分方程的理论,然后对应用广泛的几个差分方程经济模型做了简单介绍,最后重点介绍了筹措教育经费模型,这是差分方程在经济领域最贴近实际生活的一个模型之一,从问题的描述出发,到模型建立、求解,最后对结果进行了分析和推广.研究差分方程在经济学中的应用,不仅能帮助解决生活中的经济问题,反过来更能进一步丰富数学理论.所以,研究差分方程的应用,在实际生活当中具有重要的意义.一、绪论（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的和意义数学这一基础性学科在不断发展,在现代经济学中所起的作用也日益突出.数学是一切学科的基础,经济领域也不例外,要发展经济就要研究经济理论,掌握经济规律,预测经济发展的趋势,这些都离不开数学这一工具.经济学中的变量有三种类型,自变量和因变量、存量和流量、内生变量和外生变量,经济模型是研究经济学领域中的经济变量之间的关系的,在其中加入数学元素,使得问题的描述简洁清楚、语言严密精确.在研究过程中通过参考已有的数学模型或数学定理有利于新结果的产生,可得到精准的结论.经济模型[1]是研究分析经济变量关系的一个重要工具,连接了经济理论和经济现实,也让数学理论得到更加广泛的应用.经济数学模型具体来说,是在经济理论的指导下,通过建立数学模型的这个过程,把研究对象简单化,转化为本质同一的对象,使研究对象具有代表性,以一代全,实际操作起来更加方便,从而实现对经济现实的简化.故对于变量数量繁多,而且变量之间的关系复杂多变的经济数量关系进行分析研究,经济数学模型不可或缺.在经济数学模型中,差分方程的应用非常广泛,人们建立了一系列以差分方程理论为核心的一系经济类数学模型,如市场经济中的蛛网模型、养老保险模型以及筹措教育经费模型等等,相应模型的建立也就解决了相应的经济学中的问题,如市场经济中的蛛网模型的研究就是基于自由竞争的市场经济中的供需变化与价格变化的循环现象,筹措教育经费模型则是站在一个理性角度,定量研究某家庭投资子女教育所需的费用.其实,总结一下,不难发现,以上的模型都是关于离散变量的规律、性质问题,只要判断出要研究的问题具有这类共同点,就可以考虑用差分方程模型来分析求解问题.差分方程其实与微分方程有些许相似,差分方程是含有未知函数及其差分的函数方程,微分方程是含有未知函数的导数的方程,差分方程是微分方程的离散化.差分方程反映的是离散变量的取值规律.整个模型研究过程是通过建立离散变量取值所满足的平衡关系,从而建立起差分方程.建立差分方程模型,不仅可以从定性角度为社会问题的解决提供思路,还从定量的角度解决了实际问题.在经济学中,差分方程的应用使得实证研究更加系统化、规范化,精确的数学方法让广大研究者最大程度地汲取有用的信息,得到定量性结论.在得到结论的同时,也方便对未来的经济形势和发展情况作出较为精确预测,这对于个人的理财和国家的经济发展无疑起到了非常重大的作用.举个例子,市场经济中的蛛网模型主要是研究在自由市场上的一种现象：商品的供给大于需求时,销售不畅会导致价格的大幅下跌,而价格的下降又会使得商品的供给量下降,因此价格又会上升,如果没有干预,会如此的往复.人们利用差分方程的知识对此过程进行研究,又发现在图像中,商品产量和价格的图形轨迹类似于蜘蛛网状,于是便有了差分方程的蛛网模型的诞生.对于政府来说,也会更加方便,便于及时地进行经济干预.中国的社会主义市场经济体制强调的是以市场和计划两种手段来调配社会资源,市场为主,计划为辅,蛛网模型的建立,把市场调配资源的整个过程体现了出来,同时也让政府可以更有计划性、更有目的性地来干预经济,经济调控的效果也会更好.所以,研究差分方程,对于数学理论的发展和实际生活都具有十分重大的意义.（二）研究背景应用差分方程的知识,建立经济模型,解决经济学的问题是要针对目标问题,确定离散变量,根据实际,建立离散变量所满足的平衡关系式,从而建立差分方程.通过求出方程的解和对解的分析,把握这个离散变量变化的规律,并进一步结合其他的分析,得出原问题的解.差分方程的研究历史比较短暂,真正开始于上个世纪90年代,发展迅速,且成果显著,在国内外一直都是数学学者们的研究热点.在国内,很多学者也在这一领域辛勤工作着,怀化学院的数学系主任魏耿平就是代表人物之一,他的论文发表在国内外许多著名的期刊杂志上,如美国的SCI源刊、国内的《数学学报》等.在国外,随着差分方程理论的快速发展,国际上出现了一种专业性的差分方程的期刊,它的名称叫做journal of difference equations and applications,能在这样一个国际性的期刊上发表学术成果,对个人的研究成果是一种很大的肯定,同时对数学学科的发展是具有非常大的意义的.这一专业期刊杂志的出现更加推动了差分方程理论在竞争中的不断发展,以及差分方程在实际中应用的进程,差分方程众多优秀的研究成果也有了展示的平台.如今,随着人们对知识产权的重视程度的提高,中国国内的学术氛围更加浓厚,个人对于这方面的保护意识也越来越强.这样越来越好的氛围有利于国内各领域内的学者们的研究工作的进行,也会推进数学理论的进程.在这样一个良好的气氛之下,相信差分方程理论的发展会越快越好,同时它对中国经济的繁荣发展也会起到更加强大的推动作用和理论指导作用.二、研究的理论基础（一）差分[2]设定义在整数集上的函数：()n f y = ,,2,1,0,1,2, --=n则函数()n f y n =的一阶差分定义为：()()n f n f y y y n n n -+=-=∆+11.函数()n f y n =的二阶差分n y 2∆定义为一阶差分的差分,即： ()()n n n n y y y y -∆=∆∆=∆+12.由差分四则运算法则之中的：()n n n n z y z y ∆+∆=+∆,可得：n n n n n n y y y y y y +-=∆-∆=∆+++12122.以此类推，k 阶差分就可以定义为1-k 阶差分的差分,即：(),,3,2,10111 =-=∆-∆=∆-+=-+-∑k y c y y y i k n i k k i in k n k n k 其中,()!!!i k i k c i k -=. 例1、设n n y n 252+=,求n y ∆和n y 2∆. 解：()()()71025121522+=+-+++=∆n n n n n y n , ()()()1071071102=+-++=∆∆=∆n n y y n n . （二）差分方程[2]定义1：含有未知函数n y 及其差分 ,,2n n y y ∆∆的函数方程成为差分方程.形式：()0,,,,,n 2=∆∆∆n m n n n y y y y F .定义2：含有未知函数两个或两个以上的函数值 ,,1+n n y y 的等式,称为常差分方程. 形式： ()0,,,,1=++k n n n y y y n F .在差分方程出现的未知函数下标的最大差称为该差分方程的阶.根据定义,k 阶差分方程的一般形式为：()0,,,,1=++k n n n y y y n F ,其中，n 是自变量,n y 是未知函数.例如,方程n n n n y y y 23212⋅=-+++是二阶差分方程.注意,方程21232n y y n n =+++是一阶差分方程.（三）差分方程的解[5] 如果将函数()n y φ=代入差分方程后,使其称为恒等式,则称此函数该差分方程的解.若差分方程的解中含有任意常数,且所含独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同,则称这样的解为该差分方程的通解,由于通解中含有任意常数,所以在应用时,还需要确定这些常数的条件.这种条件称为定解条件.由定解条件确定了通解中的所有任意常数后所得到的解称为特解.对k 阶差分方程，常见的定解条件是初始条件：,,,,111100--===k k a y a y a y其中,110,,,-k a a a 都是已知常数.例2、验证()n n n n c y 332-+=是差分方程nn n n y y 321⋅=-+的通解. 解：将()nn n n c y 332-+=代入差分方程中,得： 左边=()()[]=⋅=-+--+++n n n n n n n c n c 3332232211右边 等式成立,故()nn n n c y 332-+=是所给差分方程的解.又因为其中含有一个任意常数,且给定的差分方程是一阶方程,所以,此解为通解.（四）特征根法[5]一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式如下：)0(01==++a ay y x x （2-1） 这类方程的解法通常有两种,迭代法和特征根法,在这里介绍的是在差分方程模型中经常用到的特征根法.原一阶常系数齐次线性差分方程01=++x x ay y ,等价于()01=++∆x x y a y ,可以看出x y 的形式一定是某个指数函数.于是,假设()0≠=λλx x y ,代入方程,可得：01=++x x a λλ, （2-2）称方程（2-2）为齐次方程（2-1）的特征方程,解之得：a -=λ,是特征方程的根（简称特征根）.于是()xa y -=是齐次方程（2-1）的一个解,从而有： ()xx a c y -=（c 为任意常数）. 是齐次方程的通解.例3、求方程021=-+x x y y 的通解.解：原方程的特征方程为：02=-λ,解之得：2=λ,于是,原方程的通解为：x c y 2⋅=.三、差分方程的经济应用模型简介差分方程模型在解决实际问题是,一般步骤如下：第一步,先要检验变量是否符合差分方程的理论条件,并进一步分析实际问题,设定好实际问题中的未知函数,建立差分方程,提出初始条件;第二步,先求解所建立的方程的通解,再根据之前设定的初始条件求出特解;第三步,用所得出的解给实际问题一个答复,并结合实际进行分析.在经济学中的差分方程模型很多,下面简单介绍几个差分方程应用较广泛的经济模型.有与个人日常生活中理财相关的,也有与国家的经济增长相关的.（一）贷款模型贷款这是老百姓生活中常见的一种现象,现在,不管是买房、买车,甚至是大学教育都已经开始流行贷款.买房、买车是一个人的一生中的重头消费项,在存款不足的情况下,可以帮助实现自己的房子、车子梦.一般是先支付部分款项,再通过银行贷款付清余额.首先以买房为例介绍贷款模型,假设某房屋总价为a 元,先付首付款后便可入住,剩下的可以通过银行贷款来付清,年利率为r ,需要n 年付清,利用差分方程的知识就可以计算出平均每月需要付多少钱,以及总共需要付的利息.具体求解的过程如下：实际在买房时,所需的首付款是房款全额的40%-60%不等,假设首付款为房款全额的40%,贷款 总额为a 53元.假设每月应付x 元,总共需要支付的利息为I 元,月利率为12r ,即得到： 第一个月的应付利息为： 2053121ra a r y =⨯=, 第二个月的应付利息为： 121211253112rx y r r y x a y -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=, 由此类推,可以得到：121211rx y r y t t -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+, 上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程,先求其对应的齐次方程：01211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t y r y , 的通解,再求原方程的一个特解,相加后即可求得原方程的通解.最后,就可以计算出每月需要支付的钱,即：112112121531212-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=n n r r r a x , （2-3）总共需要支付的利息为：a r r r a n I n n 5311211212153121212--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯=. （2-4） 如下表,表2-1,是中国人民银行最新调整后的金融机构人民币贷款基准利率表：一般房贷或车贷都会在五年以上,所以采用6.55%的贷款利率,假设现在某人要买一栋全款为一百万元,贷款60万,在10年内还清,由（2-3）和（2-4）式,每月应支付的金额为：69.6912=x ,总共所需支付的利息为：47.829523=I .现实生活中,个人买房的实际情况不同,房子的具体地段、户型、大小面积、楼层等等有差异,所需支付的首付款数额也必然不同,在了解了这个模型后,只需带入相应字母所代表的数据,并相应地代入首付款金额,就可以很方便地计算出贷款的利息等数据,个人在还款的同时,心里也会有个底.（二）存款模型存款,同样也是生活中的一件平常的事,但其中也是有很多的数学知识的,掌握了,就可以大致了解存款的利息,更容易把握存钱的时机,也可以更好地树立理财的观念.存款是中国人比较传统的一种理财方式,因为银行存款利率的变化,如果想要获得更好的收益,就要掌握一定的数学知识,这样才能更准确地判断存款时机,获得更好地收益.先用字母代替具体数字,假设0s 为最初存入银行的资金总额,t s 为t 时期的存款总额,r 为存款利率,按年复利计息,就可以得到t s 与r 之间的关系,得到一个一阶常系数齐次线性方程：() ,2,1,0,11=+=+=+t s r rs s s t t t t求解方程,原方程的特征方程为：()01=+-r λ,解之得：r +=1λ,所以,原差分方程的通解如下：()0,1s c r c s tt =+=,即：t 时期取款所获取的收益为：()tt r s s +=10.如果要存款来获取收益,可以通过（2-5）式来得出最后的收益情况;如果在生活中需要贷款,那么就可以利用（2-3）,（2-4）两个式子大致计算出每月所需支付的资金,以及所需支付的全部利息,不会发生在银行贷款时理不清楚的现象,也有利于自己管理自己的财产.根据中国人民银行最新发布的金融机构人民币存款基准利率调整表,表2-2：活期存款利率为0.35%,若最初存进银行的金额是100000=S 元,3=t ,第3年的收益3S 为：()37.101050035.011000033=+=S .按照最长的5年的定期存款利率4.75%来计算，假设最初的存款100000=S ，5=t ，第5年的收益5S 为：()60.126110475.011000055=+=S .存款作为中国老百姓传统的理财方式,虽然已经不多见了,但平时生活中留有存款,也可以应对老人生病等突发的状况.平时留有一定数额的存款还是有不少作用的,对存款利率的了解是很重要的.（三）乘数-加速数模型[4]差分方程在经济学中的应用除了与实际生活联系密切的模型之外,也有关于宏观经济方面的模型,比如经济增长模型等.对于一个国家来说,经济的增长十分重要,持续稳定增长的经济会给人民带来更多的福祉.所以,第三个模型介绍的是由萨缪尔森提出的乘数-加速数模型,它是属于典型的凯恩斯主义.在介绍乘数-加速数模型之前,首先应明确本模型中所涉及的两个经济原理,乘数原理和加速原理.乘数原理说明了投资变动对国民收入变动的影响,而加速原理说明了国民收入的变动对投资变动的影响.乘数-加速数模型就是二者结合起来对经济周期的影响.假设K 为资本存量,Y 为产量水平,v 代表资本-产量比率,有：vY K =,一般情况下,资本-产量比1>v .()1-t 时期的K 和Y 的关系可表示为：11--=t t vY K ,从1-t 时期到t 时期,资本存量的增加量是1--t t K K .资本的增加需要投资的增加,记t I 是t 时期的投资净额,则有：1--=t t t K K I ,由11--=t t vK K ,可以推导出：()11---=-=t t t t t Y Y v Y vY I . （2-6） 上式表明,在资本-产量的比率保持不变的情况下,t 时期的净投资额t I 决定于1-t 到t 时期的产量的变动量,v 被称为加速数.由于生产过程中难以避免机器的磨损等,就会导致重置投资,将其视为折旧,与净投资额组成了总投资,则（2-6）式就变成了：t 时期的投资总额()t Y Y v t t +-=-1时期的折旧,所以，可以得到产量水平与投资支出之间的关系.加速数为大于1，资本存量的增加必须要超过产量的增加.前提是资本存量充分利用.萨缪尔森的乘数-加速数模型基本方程如下：t t t t G I C Y ++=, （2-7） 10,1<<=-ββt t Y C （2-8） ()0,1>-=-v C C v I t t t , （2-9） 其中,t Y 是国民收入,t C 是消费额,t G 是政府的购买.假定政府购买t G 是常数,G G t =.求解方程：将（2-8）（2-9）代入（2-7）式中,可得：()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,化简后,有：()G vY Y v Y t t t =++-++ββ121,得出特征方程：()012=++-v v βλβλ,求解特征方程,是一个一元二次方程，由：()v v ac b ββ414222-+=-=∆,因为∆值有可能大于0等于0,或小于0,故对应∆的不同取值,解有三种情况. 故,化简之后的方程：()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,通解为：=t Y 0-12211>∆++，βλλGC C tt , ()0,121=∆-++βλGt C C t, ()0,1sin cos 21<∆-++βϖϖGt C t C r t, 其中,()()[]()().1arctan ,,121,121,412,122v v r v v v v v +∆-===+=∆-+=-+=∆βϖβββλβλββ由此得到国民收入t Y 的计算公式,代入原方程就可以计算出本期消费t C ,本期私人投资t I .假设边际消费倾向5.0=β,加速数1=v ,政府每期开支相同,亿1=t G ,从上期国民收入中来此模型模型集合了两种经济原理,对经济周期的分析更注重外部的因素,投资影响收入和消费,消费和收入反过来也会影响投资,从而形成经济扩张或收缩的局面,这是西方学者的对经济波动的一种解释.政府对经济进行干预,就可以改变或缓和经济波动.采取适当政策刺激投资,鼓励提高劳动生产效率,就可以提高加速数,就可缓和经济萧条.（四）哈罗德-多马经济增长模型[6]宏观经济中的差分方程模型除了上述的萨缪尔森的乘数-加速数模型,还有另外一种经济增长模型,就是由哈罗德和多马共同提出的哈罗德-多马经济增长模型,同样也是凯恩斯理论的典型.这个模型与乘数-加速数模型的结论不同,它认为,经济的增长是不稳定的.具体的模型描述如下：假设,t S 为t 时期的储蓄额,t Y 为t 时期的国民收入,t I 则是t 时期的投资额,边际储蓄倾向用s 表示,10<<s ,与乘数-加速数模型一样,假定加速数v 保持不变.v s ,都是常数.哈罗德-多马经济增长模型的方程如下：10,1<<=-s sY S t t ,()0,1>-=-v Y Y v I t t t ,t t I S =, 化简方程,得到：011=----t t t sY vY vY ,可得到特征方程：0=--s v v λ,解之得：vs +=1λ,故原方程的通解：tt v s c Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.其中,c 是常数,vs指的就是要保证所有储蓄转化为投资的经济增长率,经济学中称为保证增长率.保证增长率vs中,v 是加速数,一般是假定不变的,s 是边际储蓄倾向,表示的是国民收入每增加一个单位,储蓄会增加的程度.依据哈罗德-多马经济增长模型,如果可以保证t 时期的储蓄额和投资保持平衡,储蓄额可以得到充分的利用,那么国民收入就会按照保证增长率vs增长.但在实际中,储蓄与投资之间的完全转化是难以实现的,因此会造成经济的增长不稳定的状况,就会得到相应的结论.（五）投入产出模型[8]如果说上述的两个经济增长模型是对经济增长速度的深刻阐述,那么最后要介绍的投入产出模型,则是更进一步的对结果的探究.投入产出模型,是一种定量分析并衡量经济效益的模型,可以为国家经济政策的制定提供依据.从事某一项经济活动之前会有成本的投入,如人力、财力等,经济活动结束后会有一定的收益,投入产出模型的提出,就是将投入与产出量化,用数学方法来进行宏观经济的核算,并经过合理的分析后,采取一定的措施,调控成本,提高国家经济效益.此模型诞生在美国,由著名经济学家列昂捷夫提出,是国民经济核算的重要组成之一.我们在这里介绍的是静态投入产出模型,是对一个时期的经济活动的计划投入、计划收入以及对应的实际收入进行计算.具体如下：假设,t 时期初,国家计划投资额t I ',对应的实际投资t I ,计划消费t C ',对应实际的消费是t C ,计划的收入t Y ',对应实际的收入是t Y ,假定计划消费可以实现,且计划投资与实际投资相等,则有：t t t t C C I I ='=',,也有：t t t t t Y C I C I =+='+', （2-10）实际的收入t Y 是这样计算的,假定t S 为实际的储蓄额,则有：t t t C Y S -=, （2-11） 由（2-10）和（2-11）两式可得：t t t t S C Y I =-=,即,实际的投资额与实际储蓄额相等,但计划储蓄与实际储蓄是不等的,所以,计划投资额与计划储蓄不等.一般本期计划消费是根据上一期的收入和消费额指定的,上期的收入与本期的计划消费是有函数关系的,假定计划消费是上期收入的一次线性函数,故有：k aY C t t +='-1,其中,a 是边际消费倾向,一般情况下10<<a ,k 是常数,代表基本生活消费.将上式代入（2-10）中,可以得到如下的一阶常系数线性差分方程：t t t Y I k aY =++-1,用特征根法解方程,原差分方程的特征方程为：0=--t I k λ,解之得：t I k +=λ,故,原差分方程的通解为：()tt t I k c Y +=.若已知基本的消费和计划投资（前提假定计划投资与实际投资相等）,就可以计算出实际的收入.差分方程的应用远远不止上述的这些日常生活中的理财行为,以及宏观经济上的应用,它的应用也远不止经济学这一个领域,它对我们生活的影响可大可小,可以帮助我们更好地规划生活,这也体现了以差分方程为代表的数学理论知识,在实践中的巨大作用.（六）筹措教育经费模型 1、问题描述中国整体的国民收入水平在改革开放之后大大提高,但由于传统观念的影响,老百姓的理财意识并不强,一般家庭的消费支出并不高,人们总是习惯于把钱存入银行或信用社,但有一个共同的大的消费支出是不可避免的,就是子女的教育经费支出.在一个小孩上大学之前,从小学到高中是义务教育阶段,国家会承担多数的教育费用,这时候家庭负担较轻,不会造成经济压力.但到了大学阶段,学费数额一下子上升,一般的中国家庭经济压力就会加大.为了解决老百姓的这个问题,国家也有了很多的优惠政策,如生源地助学贷款、学校方面所提供的助学贷款、贫困助学金等.对此,还是有很多父母不愿孩子在进入社会之初就背负经济上的压力,想要让孩子轻装上阵,于是就想有计划地存款,为孩子以后的高等教育做准备.那么,假如某家庭从孩子出生时就开始准备存款,每个月从工资中拿出一部分资金,存入银行账户,用于投资子女以后的高等教育,并计划在20年后开始从该账户中每月支取固定的数额b 元,直到子女完成学业,并且在5年内要用完全部资金,要实现这个投资目标,20年后共要筹措多少资金?每月要向银行存入多少钱?2、问题分析此问题可以分成两个阶段,第一阶段是在前面20年,每月向银行存入一笔数额固定的资金,第二阶段,是在20年后将所有资金用于子女的教育,每月支取b 元,因为大学的学制一般是4年,少数专业如机械类,学制为五年,所以假定要在5年内用完该账户上的资金.3、建立模型首先,假设从一开始到20年内总共要筹措x 元资金,第n 个月向银行存款账户存入了n I 元,每月存入资金a 元,同时,设20年后第n 个月银行账户里有n S 元.（假设月利率为r ）所以,采用逆向思维,从该账户设立20年后开始,每月从该账户支取固定数额b 元,且5年内用完,账户里的钱开始逐年递减,则关于n S 的差分方程为：b S r S n n -⋅=+1,因为是5年内取完前20年存入的x 元,共有120个月的时间,故，0,600==S x S .。