概率论习题五答案
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习题五
1.设抽样得到样本观测值为：
计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。
10__
110
__
2221
__2
211
:(38.2+40.0+42.4+37.6+39.2+41.0+44.0+43.2+38.8+40.6)40.5;
1010
2.1587;
1
() 2.1587 4.66;91()10i i i i i x x s s x x x x σ=========
-===-∑∑解10219
4.194.
10
i S ===∑ 2.设抽样得到100
计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。 解：由书上127页（）（）（）式可知：
6___
1
6___
2
22216___2
2
111(11522132542051267) 3.14;
10010011()[(1 3.14)15(6 3.14)7] 2.1216;9999
199() 2.1216 2.1004.100100i i i i i i i i
i x x n s x x n x x n σ=====⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==-=-⨯++-⨯==-=⨯=∑∑∑
3.略
4.从总体中抽取容量为n 的样本1,
,n X X ，设c 为任意常数，k 为任意正数，作变换(),1,2,
,.i i Y k X c i n =-=
证明：（1）;Y X c k
=+（2）2
2
2;y x S S k =其中X 及2x S 分别是1,
,n X X 的样本均值及样本方差；Y 及2
y S 分别
是1,,n Y Y 的样本均值及样本方差。
证明（1） 11,n
i i X X n ==∑由()i i Y k X c =-得i i Y X c k =+
11111()n n i i i i Y Y
X c Y nc c n k k n n
k
==∴=+=+⋅=+⋅∑∑
（2）
()()()2
22
11
2
222211
222
11()11()n n y i i i i n n
i i x i i y
x
S Y Y k X c kX kc n n kX kX k X X k S n n S S k ====⎡⎤=-=---⎣⎦=-=⋅-=⋅∴=
∑∑∑∑
5. 从总体中抽取两组样本，其容量分别为1n 及2n ，设两组的样本均值分别为1X 及2X ，样本方差分别为2
1S 及
22S ，把这两组样本合并为一组容量为12n n +的联合样本。 证明：（1）.联合样本的样本
均值1122
12
n X n X X n n +=
+；
（2）.联合样本的样本方差()()()()()
2
22
121211222
1212121111n n X X n S n S S n n n n n n --+-=++-++-
证明：（1）
111222
1211221212
,um um um um S n X S n X S S n X n X X n n n n ==++==
++
（2）
1
2
1
2
2
2
1221
1
1222
1112221
1
12()()1
()()1
n n i
i i i n n i
i i i X
X X X S n n X
X X X X X X X n n ====-+-=
+--+-+-+-=
+-∑∑∑∑
()()()()()()()
1
1
1
2
1111
22
1111111
2
211111
2
21111()2()0
1n i i n i i i n i i X X X X X X X X X X X X X X n X X n S n X X ===-+-⎡⎤
=-+-+--⎣⎦=-+-+=-+-∑∑∑又
()()
()()
()()2
2
2221
22
22222
2
112222221112222222
1111122222()12222n i i X X X X n S n X X n X X n X X n X X X X n X X X X n X n X X n X n X n X X n X =-+-=-+--+-=-++-+=-++-+∑同理而
()
()()
()
()
1122
12
2
1111221122121122221112222
12
12
1222n X n X X n n n X n X n X n X n X n X n X n X n X n n n X n n n n n n +=
++++∴=-
++⋅
+-
+++又化简得
()()()()()()
2
121212
2
22121211
22
21212121111n n X X n n n n X X n S
n S S n n n n n n -=
+--+-∴=
+
+-++-
6设随机变量X,Y,Z 相互独立，都服从标准正态分布N.(0, 1),求随机变量函数222
U X Y Z =++的分布函数与概率密度；并验证§定理1当k =3时成立，即U ～()2
3χ
解：X, Y, Z 相互独立且都服从N(0, 1),则U ～()2
3χ
显然
()312
23
21,0322,
0u U U e u f u P o u --⎧>⎪⎪⎛⎫
⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪≤⎩
不然，直接求U 的分布函数
()()
()()()()()(
)2222222
22
2222223
2
,,0,0
0,x y z u
x y z u
x
y z x y z u P U u P X Y Z u f x y z dxdydz f x f y f z dxdydz
u P U u u P U u e
dxdydz
++≤++≤++-
++≤≤=++≤=
=
≤≤=>≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰当当
利用三重积分的性质（略）也可得到结论。
7. 设随机变量X 服从自由度为k 的t 分布，证明：随机变量2
Y X =服从自由度为（1， k ）的F 分布。
证明：X ～()t k ,则可将X
记为X U =
其中～N(0, 1), V ～()2k χ 则2
22
1,U U V V k k
χ== 其中2U ～2χ()1， V ～2χ()k