第六章势流理论

第六章势流理论课堂提问：为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同本章内容：1．势流问题求解的思路2．库塔----儒可夫斯基条件3. 势流的迭加法绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流4．布拉休斯公式5．库塔----儒可夫斯基定理学习这部分内容的目的有二：其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。

求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。

其二，明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。

２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。

本章重点：1、平面势流问题求解的基本思想。

2、势流迭加法3、物面条件，无穷远处条件4、绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

5、四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。

6、麦马格鲁斯效应的概念7、计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理8、附加惯性力，附加质量的概念本章难点：1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置， 流线图谱，升力，阻力，环流方向等。

2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念 §６-1 几种简单的平面势流平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。

例如：1）绕一个无穷长机翼的流动，2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。

如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。

这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。

一、均匀流流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo ，V ｘ＝V o ， V y ＝０平面流动速度势的全微分为dx V dy V dx V dy ydx x d y x 0=+=∂∂+∂∂=ϕϕϕ积分： φ＝Vox （６-4）流函数的全微分为，dy V dy V dx V dy ydx x d o x y =+-=∂∂+∂∂=ψψψ 积分： ψ＝Vo ｙ （６-5） 由（６-4）和（６-5）可得：流线：ｙ=const ，一组平行于ｘ轴的直线。

等势线：ｘ＝const ，一组平行于ｙ轴的直线。

均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的 流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图６-4所示。

图６-4二、源或汇平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反。

设源的体积流量为Ｑ，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零。

现以原点为中心，任一半径ｒ作一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程， 体积流量Ｑ２πｒｖｒ＝Ｑ∴ｖｒ＝Ｑ/２πｒ （６-6）在直角坐标中，有xy V yx V y x ∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=ψϕψϕ在极坐标中有：r r s V r s r V s r ∂∂-=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂=ψθϕϕθψψϕ11 （６-7） 极坐标中φ和ψ的全微分：θπψπϕθπθθθψψψπθθθϕϕϕ2ln 222Q rQ d Q d rV dr V d dr r d dr r Q d rV dr V d dr r d r s s r ===+-=∂∂+∂∂==+=∂∂+∂∂=（６-8）流线：为θ＝const ，从原点引出的一组射线；等势线为ｒ＝const ，就是和流线正交的一组同心圆。

由（６-6）式可看出，当Ｑ＞０，则ｖｒ＞０，坐标原点为源点； 如果Ｑ＜０，则ｖｒ＜０，流体向原点汇合，图６-7 扩大壁面和源的互换性乃是汇点。

源（汇）的速度势，还适用于扩大（收缩）， 渠道中理想流体的流动。

图６-7三、偶极子偶极流：流量相等的源和汇无限靠近，且随着其间距δｘ→０，其流量Ｑ→∞，且Ｑδｘ→Ｍ（δｘ→０） （６-9）则这种流动的极限状态称为偶极子，Ｍ称为偶极矩。

用迭加法求φ和ψ。

)ln (ln 22121r r Q-++=πϕϕϕ 由图６-8 (ａ)所示： 121cos θδx r r +≈因此)cos 1ln(2cos ln 2ln 2)ln (ln 222222212121r x Qr x r Q r r Q r r Q θδπθδπππϕϕϕ+=+==-++=图６-8 (ａ)式中ｚ＝δｘｃｏｓθ１ｒ２是个小量，我们利用泰劳展开式 将φ展开并略去δｘ二阶以上小量得当δｘ→０时，Ｑδｘ→Ｍ，θ１→θ，ｒ2→ｒ。

其中ｒ,θ为Ａ点的极坐标，这样便可从 上式得到偶极子的速度势为（６-１0）直角坐标有222y x xM +=πϕ （６-11）对于流函数： )(2)(22121δθπθθπψψψQ Q =-++= 图６-8(ａ)三角形ＢＣＤ：ｒ２δθ＝δｘｓｉｎθ１，有21sin r x θδδθ=所以 2sin 2r x M θδπψ=ｎθｒ2当δｘ→０时，Ｑδx →Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ，所以rM θπψsin 2-= （６-12）⋅⋅⋅⋅-+-=+32)1ln(32z z z z rM θπϕcos 2=21cos 2r x Q θδπϕ≈直角坐标有222y x yM +-=πψ （６－13）令ψ＝C 即得流线族： c y x yM =+-222π或122c yx y=+ 即 0122=-+c yy x 配方后得 2121241)21(c c y x =-+ （６－14） 图６-１０(ｂ） 流线：圆心在ｙ轴上与x 轴相切的一组圆，如图６-１０(ｂ）中的实线。

流体是沿着上述的圆周，由坐标原点流出，重新又流入原点。

等势线：中心在ｘ轴上与ｙ轴相切的一组圆，并与ψ＝const 正交，如图６-8(ｂ）中的虚线。

偶极子是有轴线和有方向：源和汇所在的直线就是偶极子的轴线，由汇指向源的方向，就是偶极轴的方向，偶极子的方向是ｘ轴的负向。

四、点涡（环流）流场中坐标原点处有一根无穷长直涡索，方向垂直于平面ｘｙ平面，与ｘｙ平面的交点为一个点涡。

点涡在平面上的诱导速度沿着以点涡为中心的圆周的切线方向，大小与半径成反比，即02=Γ=r s v rv π （６－15）极坐标下： θπθϕd rd v dr v d s r 2Γ=+= 积分得:θπϕ2Γ=（６－16） 流函数 dr rrd v dr v v d r r s πθψ2Γ-=+-= 积分： r ln 2πψΓ-= （６－17） 流线：ψ＝const 就是ｒ＝Ｃ，即一组以涡点为中 心的同心圆， 如图６-9所示。

注意：Γ＞０对应于反时针的转动，图6-8（b ）Γ＜０对应于顺时针的涡旋。

图６-9 §６－３ 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 势流迭加法：均匀流、源汇、偶极子、点涡这样一些几种简单的势流，具有可迭加性。

将它们之中的两个或两个以上迭加起来，在用物面边界条件来控制，会获得有实际意义的结果。

绕圆柱体的无环流流动就是一个典型的实例。

理想流体的边界条件：1） 无穷远条件（远场条件）ｒ＝∞，==y x v v v θ或ｒ＝∞，sin cos r r v v v v θθθθ=-=2）物面条件（近场条件）：ｒ＝ｒ０，ｖｎ＝ｖｒ＝０ 称为不可穿透条件零流线： ｒ＝ｒ０处ψ＝０是一条流线。

圆柱在静止无界流体中作等速直线运动 = 均匀流动+偶极子流动均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为：1202MCos v rCos rθϕϕϕθπ=+=+（ ６－18）1202MSin v rSin rθψψψθπ=+=-（６－19）观察ψ＝０这条流线，由（６－19）式，我们有： 0)2(0=-rMv Sin πθ 若ｓｉｎθ＝０，有θ＝０或π，因此ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴； 若ｖ０ｒ－Ｍ２πｒ＝０，020=-rMr v π即ｒ２＝Ｍ２πｖ０，022v M r π=令2002r v M=π, 就有ｒ＝ｒ０， 即ｒ＝ｒ０的圆周也是ψ＝０的流线的一部分，如图６－１0所示。

验证边界条件，将2002r v M π=代入φ，有)(cos 200rr r v +=θϕ （６－２0） 速度)1(sin 1)1(cos 22002200rr v r v r r v r v r +-=∂∂=-=∂∂=θθϕθϕθ （６－21） 图６－１0当ｒ→∞，从上式可得θθθsin cos 00v v v v r -==当ｒ＝ｒ０时，ｖｒ＝0这就证明了均匀流和偶极子迭加的速度势，满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的边界条件，当ｒ≥ｒ０的流动与均匀流绕圆柱的流动完全一样。

设想把均匀流加偶极子的流动图案中ｒ＜ｒ０的那一部分去掉（不感兴趣），而在其中充实以一个ｒ＝ｒ０的圆柱体，对流场流动不会有任何影响。

圆柱表面上速度分布：ｒ＝ｒ０时：θθsin 200v v v r -== （６－22）负号表示其方向与s 坐标轴方向相反， 如图６-10驻点位置：Ａ，Ｃ两点θ＝π或０，ｖｓ＝０称为驻点或分流点。

对Ｂ，Ｄ两点：022v v =±=θπθ （６－23）Ｂ，Ｄ两点：速度达到最大值，等于来流速度ｖ０之两倍，与圆柱体半径无关，Ｂ，Ｄ两点：速度增至２ｖ０，达最大值。

然后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时，速度又降至零。

离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方的无限远处时，再恢复为ｖ０。

圆柱表面上压力分布：运动是定常，设无穷远均匀流中的压力为ｐ０，忽略了质量力，拉格朗日方程222002v p v p ρρ+=+将园柱表面上速度分布代入，即得圆柱表面上压力分布 )sin 41(22200θρ-=-v p p （６－24）物面上的压力分布定义： 20021v p p C p ρ-=（６－25）由（６-24）式可得 θ4sin41-=p C （６-2６）压力分布既对称于ｘ轴也对称于ｙ轴，见图６-１1（ａ）。

Ａ，Ｃ两点压力最大ｃｐ＝１Ｂ，Ｄ两点压力最小ｃｐ＝－３ （６－2７） 沿ψ＝０这条流线压力变化为：左方无限远处，ｃｐ＝０，流到Ａ点时压力为极大值ｃｐ＝１。

由Ａ点分为两支分别流向Ｂ，Ｄ点，压力逐渐减小为极小值ｃｐ＝－３。

流向Ｃ点时压力逐渐增大，Ｃ点达极大值ｃｐ＝１。

由Ｃ点流向右方无限远处，压力又再次减小，最后压力重新降至ｐ０，ｃｐ＝０。

（ａ）理想流体；（ｂ）真实流体图６-１1因为其压力分布对称于ｘ轴，显然合力在ｙ轴上的分力Ｌ（升力）为零；同样，因其压力分布对称于ｙ轴，故合力在ｘ轴上的分力Ｒ（阻力）为零，即升力Ｌ＝０阻力Ｒ＝０（６－2８）这一结果与实验结果有严重矛盾，称为达朗贝尔谬理。