数学建模报告选址问题

长沙学院数学建模课程设计说明书

题目选址问题

系(部) 数学与计算机科学

专业(班级) 数学与应用数学

姓名

学号

指导教师

起止日期 2015、6、1——2015、6、5

课程设计任务书

课程名称：数学建模课程设计

设计题目：选址问题

已知技术参数和设计要求：

选址问题（难度系数1.0）

已知某地区的交通网络如下图所示，其中点代表居民小区，边代表公路，边上的数字为小区间公路距离（单位：千米），各个小区的人数如下表所示，问区中心医院应建在哪个小区，可使离医院最远的小区居民人均就诊时所走的路程最近？

各阶段具体要求：

1．利用已学数学方法和计算机知识进行数学建模。

2．必须熟悉设计的各项内容和要求，明确课程设计的目的、方法和步骤。 3．设计中必须努力认真，独立地按质按量地完成每一阶段的设计任务。 4．设计中绝对禁止抄袭他人的设计成果。

5．每人在设计中必须遵守各组规定的统一设计时间及有关纪律。 6．所设计的程序必须满足实际使用要求，编译出可执行的程序。 7．要求程序结构简单，功能齐全，使用方便。

设计工作量：

论文：要求撰写不少于3000个文字的文档，详细说明具体要求。

1v 5

工作计划：

提前一周：分组、选题；明确需求分析、组内分工；

第一天：与指导老师讨论，确定需求、分工，并开始设计；第二~四天：建立模型并求解；

第五天：完成设计说明书，答辩；

第六天：针对答辩意见修改设计说明书，打印、上交。

注意事项

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长沙学院课程设计任务书（每学生1份）

长沙学院课程设计论文（每学生1份）

长沙学院课程设计鉴定表（每学生1份）

指导教师签名：日期：

教研室主任签名：日期：

系主任签名：日期：

长沙学院课程设计鉴定表

目录

第一章课程设计的目的、任务及要求 (2)

1.1 目的 (2)

1.2 主要任务 (2)

1.3 要求 (2)

摘要 (3)

第二章问题重述 (4)

2.1 问题背景 (4)

2.2 问题重述 (4)

第三章问题分析 (5)

第四章假设与符号约定 (6)

4.1 模型假设 (6)

4.2符号说明 (6)

第五章模型的建立与求解 (7)

5.1.选定中心点 (7)

5.1.1 模型一 (7)

5.1.2 模型二 (7)

5.2 题目引申 (9)

第六章模型的结果分析与检验 (10)

6.1 结果分析 (10)

6.2 模型检验 (10)

6.3 模型优缺点 (12)

结论 (13)

参考文献 (14)

结束语 (15)

附录 (16)

第一章课程设计的目的、任务及要求

1.1 目的

1、巩固《数学建模》课程基本知识，培养运用《数学建模》理论知识和技能分析解决实际应用问题的能力；

2、初步掌握数学建模的基本流程，培养科学务实的作风和团体协作精神；

3、培养调查研究、查阅技术文献、资料、手册以及撰写科技论文的能力。

1.2 主要任务

1、利用所学建模知识求解最短路径问题；

2、建立一个模型；

3、拓展问题，深入思索医院选址的约束因素。

1.3 要求

1．利用已学数学方法和计算机知识进行数学建模．

2．必须熟悉设计的各项内容和要求，明确课程设计的目的．方法和步骤。

3．设计中必须努力认真，独立地按质按量地完成每一阶段的设计任务。

4．设计中绝对禁止抄袭他人的设计成果。

5．每人在设计中必须遵守各组规定的统一设计时间及有关纪律。

6．所设计的程序必须满足实际使用要求，编译出可执行的程序。

7．要求程序结构简单，功能齐全，使用方便。

摘要

本文研究在几个小区之间选择一个最适合的小区来建设医院的问题，利用实验数据建立数学模型，成功构建了中心医院所在小区与各个小区之间的距离、小区人数、以及各小区去往医院的交通方式等因素的模型，在实际的应用中具有重要意义.

针对问题本身，运用了两种方法处理.一是直接根据最短距离进行求解.将居民点与其之间的距离抽象成图论中的加权简单图，而所求的“可使距离医院最远的小区居民就诊时所走的路程最近的小区”，则可以简化为图论中的最短路的模型，利用Floyd算法，运用Matlab求解出每两个小区之间的最短距离，再根据模型求解得出最适合建设中心医院的小区，从而得到小区

v是最适合建立中心医院的小区.二是以各顶点的载荷（人

6

口数）加权，求每一个顶点至其他各个顶点的最短路径长度的加权和，建立模型，以此来确定中心点的位置，得到

v小区较适合作为中心医院的建设点.进一步综合两种方

6

案得到最优解，则最终选定

v为最佳建设点.

6

针对问题的引申，考虑了到达医院的交通方式、费用以及各个小区的发病率等，以总交通费用之和建立数学模型，最后选择交通费用最少的

v小区作为最佳选址.

6

关键词：选址问题、Floyd算法、图论

2.1 问题背景

这是一个最优选址问题，是一种重要的长期决策，它的好坏直接影响到服务方法、服务质量、服务效率、服务成本，医疗网点对经济和社会的发展起着至关重要的作用。当人们对健康越来越重视的同时，医院的选择也成为人们关注的对象。

2.2 问题重述

已知某一地区的交通路线图，其中的点代表居民居住区域，边代表道路，边上的数字表示两小区之间的距离（单位：千米），各个小区的人数见下表，要求在这7个小区间选一个小区建立一个中心医院，使得距离中心医院最远的小区居民也能很快的到达中心医院，问中心医院建在哪个小区合适？

2.3 题目引申：

在考虑到患者去医院所选择的交通方式的情况下，对该问题再进行分析，即在给定的各种交通工具和各种工具所对应的费用的条件下，求将中心医院设在哪一个小区，使得各个小区患者到该小区所花费的交通费用最少？

由于每两个小区之间的路径不同，因为题目中只需考虑离医院最远小区到医院的距离最近，则只需考虑其他各个小区的人到达医院的路径问题，即只需要找出各小区到医院的最短路径。

第一步：这是一个选定中心点的建模问题，建模得出中心点来确定医院的位置。

第二步：求出其它各点到达中心医院的最短距离，得出初步的选址方案。

第三步：再通过第二种方法得到可行的选址地点，再建模进行计算和分析是否为最佳方案，综合两种方法的考量，得出最佳选址方案。

第四步：在已知条件下对题目进行引申，考虑病患到医院的交通费用，对此引申建立数学模型，求解在考虑交通费用的条件下，求得最佳选址方案，根据之前求得的选址方案进行对比，选择最优方案，得到该问题的最优解。

第五步：通过网上数据的采集，对给出的模型进行检验与分析，判断方案是否符合实际，能否推广到更多领域，进行分析，得出最终选址方案。

第四章假设与符号约定4.1 模型假设

（1）假设各小区的发病率是一致的.

（2）假设每个小区选择同种交通工具的人数的比例是相同的. （3）假设医院所在小区的患者的交通费用为0.

（4）假设生病的人都会去医院就医.

（5）假设乘坐每种交通方式都不会影响病情.

4.2符号说明

其中i,k=1,2,..7,j=1,2,….n

第五章 模型的建立与求解

5.1.选定中心点 5.1.1 模型一

设G ＝（V ，E ）是一个无向简单连通赋权图，连接两个顶点的边的权值代表它们之间的距离，对于每一个顶点i v ，它与各个顶点之间的最短路径长度为7321,...,,k k k k d d d d （其中k=1,2，…7）。这些距离中的最大数称为顶点i v 的最大服务距离，记为)(ki v D 。 求每一个顶点的最大服务距离,显然，它们分别是矩阵D 【见附录1】中各行的最大值，见表1.

表1 各小区间的最短距离

由表1可建立如下模型：

}...,30,0max{},...,,max{)(7,37321k k k k k k ki d d d d d d v D ==

则

)}(),...,(),(min{721i i i v D v D v D

即为所求。 即：93)(15=v D ，

63)(25=v D ，50)()(3531==v D v D ，63)(41=v D ，93)(51=v D ，

48)(65=v D ，63)(75=v D .

由此可得，48)}(min{)(65==ki v D v D ，所以6v 是中心点，也就是说，医院设在6v 上是可行的。

方案：区中心医院应建在6v 小区，可使离医院最远的小区5v 居民人均就诊时所走的路程最近，此时6v 小区与5v 小区的最短距离为48 km. 最佳方案即为所求。 5.1.2 模型二

以各顶点的载荷（人口数）加权，求每一个顶点至其他各个顶点的最短路径长度的加权

和 ，以此来确定中心点。 由题目中已给出的小区人数的表格

再结合表（1）可建立如下模型：

∑==7

1)()(i ki

i k d v a v S

若：（1）将医院设在1v 小区：

∑===7

1112706243

)()(i i i d v a v S

（2）将医院设在2v 小区：

1396683)()(7

122==∑=i i i d v a v S

（3）将医院设在3v 小区：

1441290)()(7

133==∑=i i i d v a v S

（4）将医院设在4v 小区：

∑===7

1441434207)()(i i i d v a v S

（5）将医院设在5v 小区：

2661447)()(57

15==∑=i i i d v a v S

（6）将医院设在6v 小区：

∑===7

1661185423)()(i i i d v a v S

（7）将医院设在7v 小区：

1774173

)()(77

17==∑=i i i d v a v S

经比较，可得：

1185423)(min )(7

16==∑=ki i i k

d v a v S

所以，6v 是题目中图1的中位点。即：中心医院设在6v 是可行的。

方案：区中心医院应建在6v 小区，而此时可使离医院最远的小区5v 居民人均就诊时所走的路程最近，由表1可看出，6v 小区与5v 小区的最短距离为48 km. 5.2 题目引申

在考虑到患者去医院所选择的交通方式的情况下，对该问题再进行分析，即在给定的各种交通工具和各种工具所对应的费用的条件下，求将中心医院设在哪一个小区，使得各个小区患者到该小区所花费的费用最少？ 对该问题建立模型进行求解，

由假设可知： ???≠==i k d i

k d ki ki ,,0

每个小区的患病人数：

a v a P i ?=)(

其中 1...211=+++=∑=n n

j j b b b b

乘坐每种交通工具每km 的费用：

)

()...()()(22111n n n

j j j y C b y C b y C b y C b C ?+?+?=?=∑=

计算各个小区到医院的总费用之和：

∑∑==????=??=711

)

()()(i n

j j j ki i ki k y C b d a v a d C P v C

∑∑==????=n

j j j i i i y C b d v a a 1

71

1)()(

由上述公式可知，医院的选址只与∑=?7

1

)(i ki i d v a 有关，则比较∑=?7

1

)(i ki i d v a 的大小就可得

到交通总费用最少的最佳选址方案。又由第一问中求出了)()(17

1

1v S d v a i i i =?∑=，结合表1，

所以若

（1）将医院设在1v 小区，2706243)(1=v S （2）将医院设在2v 小区，1396683)(2=v S （3）将医院设在3v 小区，1441290)(3=v S （4）将医院设在4v 小区，1434207)(4=v S （5）将医院设在5v 小区，2661447)(5=v S （6）将医院设在6v 小区，1185423)(6=v S

（7）将医院设在7v 小区，1774173)(7=v S 通过比较可得出：1185423)(min )(7

16==∑=ki i i k

d v a v S

由此可得出最佳选址方案：将医院设在6v 小区可使得各小区到医院的交通费用最少，经过合理分析，从而确定了医院的最佳选址地点。

第六章 模型的结果分析与检验

6.1 结果分析

综合最远小区到医院的最短距离，以及患者到医院的交通费用最少的情况考虑，选择6v 小区来建立区中心医院是最合适的选择，既可以节省患者的交通时间，使得病情在有效时间内能够得到很好的控制，不会延误病情，又为患者节省掉一部分的交通开支，从医院或者从患者的角度来看，此方案很合理。 6.2 模型检验

根据网上数据，找到1919年禽流感的发病率为2.5%~5%,由于医院每日接待人数有限，则本题中取a=2.5%,选取三种交通方式为公交车，出租车，私家车，其中公交车全程2元，即与距离无关，出租车为1.5元/km,私家车为0.5元/km ，据网上调查显示：选择坐公交车的人数占80%，选择坐出租车的占12%，选择坐私家车的人占8%。 通过以上数据来对此次建立的模型进行检验，得出如下结果：

∑∑==????=n

j j j i i i k y C b d v a a v C 1

71

1)()()(

∑=???+?+???=7

1

)(8.02%5.2)5.008.05.112.0()(%5.2i i k v a v S （其中k i ≠）

表2

通过具体数据的检验及表2，可看出在医院接待患者的人数相同的情况下，6v 小区作为建设中心医院可使得患者的交通费用最少，因此结合数据考虑，6v 小区是建立中心医院的最佳地点，符合实际情况，由此综合诸多元素考虑，选择6v 建立市中心医院是最佳选址方案，由模型检验也可看出6v 的总交通费用最少，最远小区5v 到医院的距离也最短，因此得出此方案是合理的，是可行的。

6.3模型优缺点

模型的优点：

（1）问题一我们采取了找中心点的方法对模型进行了合理的构建，方法简单易懂。（2）问题二我们对模型实现了实例化，用数据进行了精确的计算分析，并用matlab对模型进行了求解，满足所有小区居民对医院位置的要求。

（3）最后我们选出了一组数据进行了计算，用计算数据充分说明了我们所建模型的合理性。

模型的缺点：

（1）模型和算法的选取比较单一，未能用到更多、更好的优化模型，缺乏与其他模型的对比性。

（2）其中的找中心点的方法针对本题较简单，但对实际其他较复杂问题不具有通用性。

结论

在这近一周的努力，我们经过反复的思考、讨论、检验，终于顺利的完成了这一次的数学建模。在建模过程中，我们遇到了很多的困难和障碍。在选题的时候我们简单商量了一下，最终选定了此次的最优选址问题。选定题目的时候，我们开始觉得问题较为复杂，无法理解题目的要求，但是在老师和同学的引导和帮助下，我们打开思路，拓宽思维面，不再局限于问题。

经过讨论发现医院的选址不仅关系到各个小区的利益，更与社会的经济的长期发展离息息相关，若无法决定好医院的位置，将对该地区的社会生活经济健康造成长期的伤害。明白了这一点我们考虑的就更加全面。虽然接下来的过程中也是困难重重，但我们却更加有信心能够完成这次的问题。

在此次模型建立的探索过程中，我们以前很陌生、抽象的课程（数学建模）变得清晰起来，也切实体会到在建立模型中的种种艰辛。通过此次建模达到了总和所学知识，学以致用的目的，也对数学建模有了更深入的认识，不仅熟悉了建模过程可能遇到的问题，在思想上形成了系统的概念，使自己动手能力和综合能力有了新的提高。

此次的模型是求最优选址、最短路径，具有一定的实用性。我们利用了Floyd算法，用matlab求解。从总体上纵观此次的模型，达到了我们所预期的效果。

参考文献

[1]姜启源、谢金星、叶俊编，数学模型-4版[M]，北京，高等教育出版社，2011.1

结束语

我们进行了为期一周的数学建模课程设计。通过这次课程设计我们拓宽了知识面，锻炼了能力，综合素质也有了较大的提高。安排课设的基本目的，在于理论与实际的结合、人与人的沟通，进一步提高思想觉悟。预期是观察、分析和解决实际问题的实际工作能力能力，以培养适应社会主义现代化建设需要的高素质复合型人才。作为整个学习体系的有机组成部分。课程设计的一个重要功能在于运用学习成果，检验学习成果。运用学习成果把课堂上学到的理论知识，尝试性的运用到实际设计工作，并从理论的高度对设计工作的现代化提出一些有针对性的建议和设想。检验学习成果，看一看课堂学习与实际工作底有多大差距。并通过综合分析找出学习中存在的不足，以便为完善学习计划，改变学习内容与方法提供实践依据。对我们信息与计算科学系的学生来说，实际能力培养至关重要，而这种能力培养单靠课堂教学是远远不够的，必须从课堂走向时间。这也是为毕业设计做预演，通过课程设计让我们了解到自身与实际的差距，并在以后学习期间及时补充相关知识，为求职与工作做好了充分的知识和能力的准备，从而缩短了从学校走向社会心理转型期。

在建模过程中，我们也得到老师和同学们的热心帮助，我们才能顺利完成此次的建模，在此向帮助和指导我们的老师同学表示最衷心的感谢！

附录

【附录1】:

Matlab程序代码：

建立M文件：

function[D,R]=floyd(a)

n=size(a,1);

D=a

for i=1:n

for j=1:n

R(i,j)=j;

end

end

R

for k=1:n

for i=1:n

for j=1:n

if D(i,k)+D(k,j)

D(i,j)=D(i,k)+D(k,j);

R(i,j)=R(i,k);

end

end

end

k

D

R

end

a=[0 30 inf inf inf inf inf;30 0 20 inf inf 15 inf;...

inf 20 0 20 60 25 inf;inf inf 20 0 30 18 inf;...

inf inf 60 30 0 inf inf;inf 15 25 18 inf 0 15;...

inf inf inf inf inf 15 0];

[D,R]=floyd(a)

D =

0 30 50 63 93 45 60

30 0 20 33 63 15 30

50 20 0 20 50 25 40

63 33 20 0 30 18 33