人教版数学选修1-2知识点总结..pdf
高中数学选修1-2知识点总结
知识点总结选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立．(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础； B.假设在n=k 时命题成立 C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
数学选修1至2知识点总结
数学选修1至2知识点总结一、选修11. 一次函数一次函数是数学中的一种基本类型的函数，其一般形式为y=ax+b，其中a,b为常数且a≠0。
一次函数的图像是一条通过原点的直线，斜率a表示直线的倾斜程度，常数b表示直线与y轴的交点。
在数学上，一次函数是一种简单串直线函数，但它在实际应用中有着广泛的用途，如经济学、物理学等领域均可利用一次函数来描述问题。
2. 二次函数二次函数是一种常见的函数类型，其一般形式为y=ax²+bx+c，其中a,b,c为常数且a≠0。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其开口方向取决于a的正负。
二次函数对应的抛物线有着许多特性，如顶点坐标、对称轴、焦点、直焦距等，这些特性能够帮助我们更好地理解二次函数的性质。
3. 多项式函数多项式函数是由常数组成的数列f(n),在数学中，n是一个变量，它的值可以是实数或者复数，但不是整数或负数，并有定义域。
封闭整数或负数的情况是另一种基于变量方面的数列。
4. 分式函数分式函数是由两个多项式相除而得到的函数，分母不能取0。
5. 指数函数、对数函数指数函数和对数函数是常见的特殊函数类型，它们在数学和实际应用中都有着重要的作用。
指数函数的一般形式是y=a^x，其中a为底数，x为指数，而对数函数的一般形式是y=loga(x)，其中a为底数，x为真数。
指数函数和对数函数之间存在着互为反函数的关系，它们在代数、几何、概率等方面均有广泛的应用。
6. 三角函数三角函数是用于描述角度与变化的函数，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在三角学和实际问题中都有着重要的应用。
三角函数不仅能够描述角度的变化，还能够描述周期性的现象，如振动、波动等。
7. 数列与数学归纳法数列是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列，数学归纳法是一种证明数学命题的常用方法。
数列与数学归纳法是数学中重要的概念和方法，它们在数学分析、组合数学、离散数学等领域都有着广泛的应用。
【精品】高中数学选修1-2 知识讲解_数学归纳法 讲义 知识点+练习题_提高
数学归纳法【学习目标】1.知识与技能（1）了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤；（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2.过程与方法（1）通过学习数学归纳法的原理和基本思想，了解数学方法的博大、精妙，形成对数学证明方法的进一步认识。
（2）通过了解数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题，感受递推的思想。
3.情感、态度与价值观通过学习，加深对由一般到特殊以及由一般到特殊的认识规律的认识，进一步认识有限与无限的辩证关系，培养辩证的观点。
【要点梳理】要点一:数学归纳法的概念与原理数学归纳法的定义对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.数学归纳法的原理数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础。
但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据。
但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。
其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。
数学归纳法的功能和适用范围1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
人教A版高中数学选修12知识点
选修1-2数学学问点第一部分 统计案例1．线性回来方程①变量之间的两类关系：函数关系及相关关系； ②制作散点图，推断线性相关关系③线性回来方程：a bx y +=∧〔最小二乘法〕1221ni i i ni i x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 留意：线性回来直线经过定点 。
2．相关系数〔断定两个变量线性相关性〕：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x , 相关；r <0时，变量y x , 相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性 ；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．回来分析中回来效果的断定： ⑴总偏向平方和：∑=-ni iy y12)(⑵残差：∧∧-=i i i y y e ；⑶残差平方和：21)(∑=∧-ni yi yi ；⑷回来平方和：∑=-ni iy y12)(－21)(∑=∧-ni yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧---=ni i ini i iy yy y R 12122)()(1 。
注：①2R 得知越大，说明残差平方和越小，那么模型拟合效果 ；②2R 越接近于1，，那么回来效果 。
4．独立性检验〔分类变量关系〕：随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系 ，反之， 。
第二部分 推理及证明一．推理：⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是依据已有事实，经过视察、分析、比较、联想，在进展归纳、类比，然后提出揣测的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)
![人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理] 复数的概念与运算(文)](https://img.taocdn.com/s3/m/a7638f276bd97f192279e9a2.png)
人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习复数的概念与运算【学习目标】1．理解复数的有关概念：虚数单位i 、虚数、纯虚数、复数、实部、虚部等。
2．理解复数相等的充要条件。
3. 理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数。
4. 会进行复数的加、减运算，理解复数加、减运算的几何意义。
5. 会进行复数乘法和除法运算。
【要点梳理】知识点一：复数的基本概念1.虚数单位i数i 叫做虚数单位，它的平方等于1-，即21i =-。
要点诠释：①i 是－1的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是i -；②i 可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立。
2. 复数的概念形如a bi +（,a b R ∈）的数叫复数，记作：z a bi =+（,a b R ∈）；其中：a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 是虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示。
要点诠释：复数定义中，,a b R ∈容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据.3.复数的分类对于复数z a bi =+（,a b R ∈）若b=0,则a+bi 为实数，若b≠0,则a+bi 为虚数，若a=0且b≠0，则a+bi 为纯虚数。
分类如下：用集合表示如下图：4.复数集与其它数集之间的关系 N Z Q R C （其中N 为自然数集，Z 为整数集，Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集。
） 知识点二：复数相等的充要条件两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.即：特别地：00a bi a b +=⇔==.要点诠释：① 一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样.② 根据复数a+bi 与c+di 相等的定义，可知在a=c ，b=d 两式中，只要有一个不成立，那么就有a+bi≠c+di （a ，b ，c ，d ∈R ）．③ 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小. 如果两个复数都是实数，就可以比较大 小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小.④ 复数相等的充要条件提供了将复数问题化归为实数问题来解决的途径，这也是本章常用的方法， 简称为“复数问题实数化”．知识点三、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则：设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定： 12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
高中数学文科选修1-2知识点总结2知识讲解
高中数学选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立． (2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B = 通过观察得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验 根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第四章 复数必背结论1.(1) z =a +bi ∈R ⇔b =0 (a,b ∈R )⇔z=z ⇔ z 2≥0； (2) z =a +bi 是虚数⇔b ≠0(a ,b ∈R )；(3) z =a+b i 是纯虚数⇔a =0且b ≠0(a,b ∈R )⇔z ＋z ＝0（z≠0）⇔z 2<0； (4) a +b i=c +di ⇔a =c 且c =d (a,b,c,d ∈R )； 2．复数的代数形式及其运算设z 1= a + bi , z 2 = c + di (a,b,c,d ∈R )，则： (1) z 1±z 2 = (a + b )± (c + d )i ；(2) z 1·z 2 = (a +bi )·(c +di )＝（ac -bd ）+ (ad +bc )i ； (3) z 1÷z 2 ==-+-+))(())((di c di c di c bi a id c ad bc d c bd ac 2222+-+++ (z 2≠0) ; 3．几个重要的结论(1) i i 2)1(2±=±； ;11;11i ii i i i -=+-=-+(2) i 性质：T=4；i i i i i i n n n n -=-===+++3424144,1,,1；;03424144=++++++n n n i i i i(3) zz z z z 111=⇔=⇔=。
高中数学选修1-2知识点总结
高中数学选修1-2知识点总结知识点总结选修1-2知识点总结第一章统计案例1 .线性回归方程① 变量之间的两类关系：函数关系与相关关系;② 制作散点图，判断线性相关关系 ③ 线性回归方程：y bx a （最小二乘法）a y bx注意：线性回归直线经过定点（x,y ）.2. 相关系数（判定两个变量线性相关性）n n2 2(X i x)2(y i y)2i 1i 1注：⑴r >0时，变量x,y 正相关；r <0时，变量x, y 负相关；⑵①|r |越接近于1,两个变量的线性相关性越强；②|r|接近 于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3. 条件概率对于任何两个事件 A 和B,在已知B 发生的条件下，A 发生的概 率称为B 发生时A 发生的条件概率.记为RA B ）,其公式为RA B P （ABP (A )其中,nX i y i i 1n2 Xii 1nx y-2nxn__(X i x)(y i y)i 1独立炖检整 绽计炭M一可红件化的回扫分析 「|松件膛 「闹互独立爭件L 曲小二乘法求线性回SJ 方租2 X 2 的独立性故验高中数学选修1-2知识点总结4相互独立事件(1) 一般地，对于两个事件 A , B,如果_RAE) = P (A )P (B )，则 称A B 相互独立.(2) 如果A,A ,…，An 相互独立，则有RAA …A) = _RA)RA)… RA). ⑶ 如果A , B 相互独立，则A 与B,入与B,入与B 也相互独立.5.独立性检验(分类变量关系)：(1) 2 X 2列联表设代B 为两个变量，每一个变量 都可以取两个值，变量A ：A,A 2瓦；变 量 B : B I ,B 2 B I ；通过观察得到右表所示数据:并将形如此表的表格称为2X 2列联表.(2) 独立性检验根据2X 2列联表中的数据判断两个变量 A , 是否独立的问题叫2X 2列联表的独立性检验.(3) 统计量x 2的计算公式_________ n (ad — be ) 2 ________x 2= (a + b )( e + d )( a + e )(b + d )第二章推理与证明考点一合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质，退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推 理,叫做归纳推理，归纳是从特殊到一般的过程，它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似 (或一致)性，推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理，叫做类比推理.类比推理的一般步骤：(1) 找出两类事物的相似性或一致性；(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)； (3) —般的，事物之间的各个性质并不是孤立存在的，而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似，那么他们在另一写性质上也可能相同或类似 ，类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题越可靠.考点二演绎推理(俗称三段论)0;高中数学选修1-2知识点总结由一般性的命题推出特殊命题的过程，这种推理称为演绎推理考点三数学归纳法：它是一个递推的数学论证方法 • 步骤:A.命题在n=1 （或n 0）时成立，这是递推的基础;B. 假设在n=k 时命题成立C. 证明n=k+1时命题也成立 完成这两步，就可以断定对任何自然数 （或n>=圧,且n N ）结论都成立。
人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）
![人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）](https://img.taocdn.com/s3/m/44cfeb771fd9ad51f01dc281e53a580217fc505b.png)
⼈教版⾼中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]框图（1）⼈教版⾼中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习框图【学习⽬标】1．通过具体实例，进⼀步认识程序框图，了解⼯序的流程图。
2．能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题中的作⽤。
3. 能画出简单问题的结构图，能解读结构图。
【要点梳理】要点⼀、框图的分类本节概念分类如右图：要点⼆、流程图的概念、分类及其关系1. 流程图：由⼀些图形符号和⽂字说明构成的图⽰称为流程图，它常⽤来表⽰⼀些动态过程，通常会有⼀个“起点”，⼀个或多个“终点”．2. 流程图的分类：流程图可分为程序框图与⼯序流程图．3. 程序框图：程序框图就是算法步骤的直观图⽰，算法的输⼈、输出、条件、循环等基本单元构成了程序框图的基本要素，基本要素之间的关系由流程线来建⽴。
要点诠释：程序框图主要⽤于描述算法，⼀个程序的流程图要基于它的算法。
在设计流程图的时候要分步进⾏，把⼀个⼤的流程图分割成⼩的部分，按照三个基本结构，即顺序结构、选择结构、循环结构来局部安排，最后把流程图进⾏部分之间的组装，从⽽完成完整的程序流程图．4．⼯序流程图：流程图可⽤于描述⼯业⽣产的流程，这样的流程图称为⼯序流程图．要点诠释：⼯序流程图（统筹图）⽤于描述⼯业⽣产流程。
每⼀个矩形框代表⼀道⼯序，流程线则表⽰两相邻⼯序之间的关系，这是⼀个有向线，⽤于指⽰⼯序进展的⽅向，因此画图时要分清先后顺序，判断是⾮区别，分清流向．特别注意：在程序框图中可以有⾸尾相接的圈图或循环回路，⽽在⼯序流程图上，不允许出现⼏道⼯序⾸尾相接的圈图或循环回路．要点三、程序框图、⼯序流程图的画图与识图1.程序框图的画法：最基本的程序框有四种：起⽌框，输⼊输出框，处理框（执⾏框），判断框．画法要求：（1）使⽤标准的框图符号；（2）框图⼀般按照从上到下、从左到右的顺序画；（3）除判断框外，⼤多数程序框只有⼀个进⼊点和⼀个退出点，判断框是具有超过⼀个退出点的唯⼀符号；（4）⼀种判断框是“是”与“否”两分⽀的判断，⽽且有且仅有两个结果；另⼀种是多分⽀判断，有⼏种不同的结果；（5）在框图符号内描述的语⾔要⾮常简练、清楚．2.⼯序流程图的画法：将⼀个⼯作或⼯程从头⾄尾依先后顺序分为若⼲道⼯序（即⾃顶向下），每⼀道⼯序⽤矩形框表⽰，并在该矩形框内注明此⼯序的名称或代号．两相邻⼯序之间⽤流程线相连．有时为合理安排⼯程进度，还要在每道⼯序框上注明完成该⼯序所需的时间．开始时⼯序流程图可以画得粗疏，然后再对每⼀框逐步细化。
人教版高中数学选修1-2知识点汇总
人教版高中数学选修1-2知识点第一章统计案例1.线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；②制作散点图，判断线性相关关系；③线性回归方程：a bx y +=∧(最小二乘法)。
其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑注意：线性回归直线经过定点),(y x .2.相关系数(判定两个变量线性相关性)：∑∑∑===----=ni ni iini i iy yx xy y x xr 11221)()()((注意：(1)r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；(2)①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率.记为P (A |B ),其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4.相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称A 、B 相互独立.(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立.5.独立性检验(分类变量关系)：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到下表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验。
(3)统计量χ2的计算公式：χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章推理与证明1.推理(1)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
高中数学选修1-2知识点总结61389
知识点总结选修1-2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关； ⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立．(2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝_ P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B =通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章 推理与证明考点一 合情推理与类比推理根据一类事物的部分对象具有某种性质,退出这类事物的所有对象都具有这种性质的推理,叫做归纳推理,归纳是从特殊到一般的过程,它属于合情推理根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性,推测其中一类事物具有与另外一类事物类似的性质的推理,叫做类比推理.类比推理的一般步骤:(1) 找出两类事物的相似性或一致性;(2) 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想);(3) 一般的,事物之间的各个性质并不是孤立存在的,而是相互制约的.如果两个事物在某些性质上相同或相似,那么他们在另一写性质上也可能相同或类似,类比的结论可能是真的.(4) 一般情况下,如果类比的相似性越多,相似的性质与推测的性质之间越相关,那么类比得出的命题越可靠.考点二 演绎推理(俗称三段论)由一般性的命题推出特殊命题的过程,这种推理称为演绎推理.考点三 数学归纳法:它是一个递推的数学论证方法. 步骤:A.命题在n=1（或0n ）时成立，这是递推的基础； B.假设在n=k 时命题成立 C.证明n=k+1时命题也成立,完成这两步,就可以断定对任何自然数(或n>=0n ,且n N ∈)结论都成立。
最新人教版数学选修1-2知识点总结教程文件
数学 选修1－2知识点总结第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）其中，1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x .2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni iini i iy yx xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3.条件概率对于任何两个事件A 和B ，在已知B 发生的条件下，A 发生的概率称为B 发生时A 发生的条件概率. 记为P (A |B ) , 其公式为P (A |B )＝P （AB ）P （A ）4相互独立事件(1)一般地，对于两个事件A ，B ，如果_ P (AB )＝P (A )P (B ) ，则称A 、B 相互独立． (2)如果A 1，A 2，…，A n 相互独立，则有P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n ).(3)如果A ，B 相互独立，则A 与B －，A －与B ，A －与B －也相互独立．5．独立性检验（分类变量关系）：(1)2×2列联表设,A B 为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量121:,;A A A A =变量121:,;B B B B = 通过观察得到右表所示数据： 并将形如此表的表格称为2×2列联表．(2)独立性检验 根据2×2列联表中的数据判断两个变量A ，B 是否独立的问题叫2×2列联表的独立性检验．(3) 统计量χ2的计算公式χ2=n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）第二章框图1.流程图流程图是由一些图形符号和文字说明构成的图示．流程图是表述工作方式、工艺流程的一种常用手段，它的特点是直观、清晰．2.结构图一些事物之间不是先后顺序关系，而是存在某种逻辑关系，像这样的关系可以用结构图来描述．常用的结构图一般包括层次结构图，分类结构图及知识结构图等．第三章推理与证明1.推理⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
数学选修1-2知识点及习题 (2)
选修1-2知识点第一章 统计案例1．线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：a bx y +=∧（最小二乘法）1221ni i i nii x y nx y b x nx a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 注意：线性回归直线经过定点),(y x 。
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：∑∑∑===----=ni ni i ini i iy y x xy y x xr 11221)()())((注：⑴r >0时，变量y x ,正相关；r <0时，变量y x ,负相关；⑵①||r 越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②||r 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．回归分析中回归效果的判定：⑴总偏差平方和：∑=-ni i y y 12)(；⑵残差：∧∧-=i i i y y e ； ⑶残差平方和：21)(∑=∧-ni yi yi ；⑷回归平方和：∑=-ni iy y12)(－21)(∑=∧-ni yi yi ；⑸相关指数∑∑==∧---=ni i ini i iy yy y R 12122)()(1 。
注：①2R 得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；②2R 越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：随机变量2K 越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。
第二章 推理与证明一．推理：⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
①归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。
注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。
②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。
(完整word版)高中数学文科选修1-2知识点总结2,推荐文档
高中数学选修1-2知识点总结⑵①|r|越接近于1，两个变量的线性相关性越强；②|r|接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3•条件概率对于任何两个事件A和B，在已知B发生的条件下，A发生的概率称为B发生时A发生的条件概率•记为P(A|B),其公式为P(A|B)=；(爲4相互独立事件(1) 一般地，对于两个事件A, B，如果_P(AB)= P(A)P(B)，则称A、B相互独立.(2) 如果A1, A2,…，An 相互独立，则有P(A1A2…A n)= _ P(A1)P(A2)…P(A n).(3) 如果A, B相互独立，则A与E , A与B,5.独立性检验(分类变量关系)：(1) 2 2列联表设代B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：AA A1;变量B:B1,B2 B1; 通过观察得到右表所示数据：并将形如此表的表格称为2X2列联表.(2) 独立性检验根据2X2列联表中的数据判断两个变量 A , B是否独立的问题叫2 X列联表的独立性检验.(3) 统计量x2的计算公式_ n (ad —be) 2 __________x 2_(a + b)( c+ d) ( a+ e)( b+ d) ——Bi恵计b a + bc t/-f-rfa4-c+^+rf独寂性判断疑宥关联2,706死鴨的把握判定变量盹笑联暫悯的祀撮判定变量仁H有棗轶列咄的把握判宦变址九占有关联第一章统计案例疣il' 案1 .线性回归方程①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系;②制作散点图，判断线性相关关系③线性回归方程：y bx a (最小二乘法)n ___X i y i nx yb u ____其中，n 2X ii 1-2nxbxa y注意：线性回归直线经过定点(x, y).2 •相关系数(判定两个变量线性相关性)n(X i x)(y i y)i 1n _ n _ (X i x)2 (y i y)2i 1 i 1注：⑴r >0时，变量x, y正相关; r <0时，变量x, y负相关;第四章复数必背结论1.(1) z=a+bi € R b=0 (a,b€ R) z= z z2>0⑵ z=a+bi 是虚数0a,b€ R)；⑶ z=a+bi 是纯虚数a=0 且b^0<,b€ R) z+ z = 0 (z工) z2<0;(4) a+bi=c+di a=c 且c=d(a,b,c,d€ R)；2 •复数的代数形式及其运算设z i= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,d€ R),贝U：(1) z i ± = (a + b) ±c + d)i ；(2) z i • z2 = (a+bi) (・c+di)=( ac-bd) + (ad+bc)i;(3) z1 切=e bi)(c di) di)(cdi)ac bd bc( c2 .2 2c d c3 . 几个重要的结论( 1(1 i)22i ; 1 i.1 i i; i;1 i 1 i⑵i性质：T=4;i 4n 丄・1,i4n 1 ・・4n 2i,i⑶乙1zz 1z1—。
人教课标版高中数学选修1-2：《推理与证明》章末回顾-新版
第二章推理与证明章末小结一、知识梳理1．思维导图2．知识梳理1.归纳推理和类比推理都是合情推理，归纳推理是由特殊到一般，由部分到整体的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理．二者都能由已知推测未知，都能用于猜测，得出新规律，但推理的结论其正确性有待于去证明．2．演绎推理与合情推理不同，演绎推理是由一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式，只要前提正确，推理形式正确，得到的结论就正确．3．合情推理与演绎推理既有联系，又有区别，它们相辅相成，前者为人们探索未知提出猜想提供科学的方法，后者为人们证明猜想的正确性提供科学的推理依据．4．综合法、分析法、反证法都是数学证明的基本方法．综合法常用于由已知出发进行推理较易找到思路的问题；分析法常用于条件复杂，思考方向不明确的问题，但单纯用分析法证明的情形较少，通常是“分析找思路，综合写过程”；分析法的证明过程充分体现了转化的思想，而反证法则是正难则反思想的体现．另外用反证法证题时，原命题的反面不止一种情形时，要注意分类讨论．二、重难点突破1.进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，后者结论可能为真！合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．6．分析法的过程仅需要寻求某结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．一般地，用分析法书写解题步骤的基本格式是：要证：……，只需证……，只需证……，……，……显然成立，所以……成立．三、题型探究（一）合情推理与演绎推理运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳、类比的方法进行探索，提出猜想；最后用演绎推理的方法进行验证．例1观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是S n.••••，• • •• •• • •，• • • •• •• •• • • •，…，n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；…，按此规律，推出S n与n的关系式为________．【知识点：归纳推理】详解：依图的构造规律可以看出：S2＝2×4－4，S3＝3×4－4，S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．…猜想：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)．答案：S n＝4n－4(n≥2，n∈N*)例2 若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则有数列n b =b (n ∈N *)也为等比数列，类比上述性质，相应地，数列{}n c 是等差数列，则有数列n d =________也是等差数列． 【知识点：类比推理】 详解 ：12n c c c n +++L 类比猜想可得12nn c c c d n+++=L 也成等差数列，若设等差数列{}n c 的公差为x ，则12nn c c c d n+++=L 11(1)2(1)2n n xnc x c n n -+==+-g可见{d n }是一个以c 1为首项，x 2为公差的等差数列，故猜想是正确的．答案：12nc c c n +++L ．例3 已知函数1133()5x x f x --=，1133()5x x g x -+=(1)证明f (x )是奇函数，并求f (x )的单调区间；(2)分别计算(4)5(2)(2)f f g -g 和(9)5(3)(3)f f g -g 的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．【知识点：函数的奇偶性，函数的单调性，指数的运算，不等式的性质】 详解：(1)证明：函数f (x )的定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又11113333()()()()55x x x x f x f x -------==-=-，∴f (x )是奇函数．任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，设x 1<x 2，1111113333112233121211331211()()()1555x x x x f x f x x x x x --⎛⎫-- ⎪-=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭g ， ∵1133120x x -<，113312110x x +>g ，∴12()()0f x f x -<∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．∴f (x )的单调递增区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．(2)解析：计算得(4)5(2)(2)0f f g -=g ，(9)5(3)(3)0f f g -=g ． 由此概括出对所有不等于零的实数x 有2()5()()0f x f x g x -=g ． ∵221111222233333333332()5()()5055555x x x x x x x x x x f x f x g x -------+---=-=-=g g g∴该等式成立．点评：问题(1)的大前提为函数奇偶性和单调性的定义．问题(2)实际上是合情推理在高考中的体现，有一定的创新性． （二）直接证明与间接证明 1．综合法和分析法综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题常用的思维方式．如果从解题的切入点的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等．应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用． 例4 设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab ≥8.【知识点：不等式的证明，综合法与分析法】 详解：证法一(综合法)∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14，∴1ab ≥4. 又1a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥4，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.证法二(分析法) ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴要证1a ＋1b ＋1ab ≥8，只需证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋a ＋bab ≥8，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋1a ≥8，即证1a ＋1b ≥4，即证a ＋b a ＋a ＋b b ≥4，即证b a ＋a b ≥2.由基本不等式可知，当a >0，b >0时，b a ＋ab ≥2成立，∴原不等式成立． 2．反证法反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑的角度看，命题：“若p 则q ”的否定是“若p 则¬q ”由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p 则¬q ”为假，从而可以导出“若p 则q ”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．例5 求证：两条相交直线有且只有一个交点．【知识点：反证法，两条直线的位置关系；数学思想：分类的思想】 详解：假设结论不成立，即有两种可能：①无交点；②不只有一个交点．(1)若直线a 、b 无交点，那么a ∥b 或a 与b 异面，与已知矛盾；(2)若直线a 、b 不只有一个交点，则至少有两个交点A 和B ，这样同时经过点A 、B 就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾． 综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．点拔：结论本身是否定形式或关于唯一性的命题、存在性的命题时，常用反证法． 例6 已知0<a ≤3，函数3()f x x ax =-在区间[1，＋∞)上是增函数，设当x 0≥1，f (x 0)≥1时，有00(())f f x x =.求证：f (x 0)＝x 0.【知识点：反证法，函数的单调性；数学思想：分类的思想】 证明：假设f (x 0)≠x 0，则必有f (x 0)>x 0或f (x 0)<x 0.若f (x 0)>x 0≥1，由于f (x )在[1，＋∞)上为增函数，则00(())f f x x >． 又00(())f f x x =，∴00()x f x >，与假设矛盾． 若00()1x f x >≥，则00()(())f x f f x >． 又00(())f f x x =，∴f (x 0)>x 0，也与假设矛盾．综上所述，当x 0≥1，f (x 0)≥1且00(())f f x x =时有f (x 0)＝x 0.点拔： (1)对于f (f (x 0))的性质知之甚少，直接证明有困难，因而用反证法来证明，增加了反设这一条件，为我们利用函数的单调性创造了可能． (2)反设中有两种情况，必须逐一否定． 四．课后作业（一）选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致 【知识点：演绎推理】解：A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的． 2．用反证法证明命题“2＋3是无理数”时，假设正确的是( ) A ．假设2是有理数 B ．假设3是有理数 C ．假设2或3是有理数D ．假设2＋3是有理数【知识点：反证法】解析：D假设应为“2＋3不是无理数”，即“2＋3是有理数”．3．下列推理过程属于演绎推理的为()A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32…得出1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线(四面体每一个顶点与对面重心的连线)交于一点D．通项公式形如a n＝cq n(cq≠0)的数列{a n}为等比数列，则数列{－2n}为等比数列【知识点：归纳推理，类比推理，演绎推理】解析：D A是类比推理，B是归纳推理，C是类比推理，D为演绎推理．4．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是()A．x，y都不能被7整除B．x，y都能被7整除C．x，y只有一个能被7整除D．只有x不能被7整除【知识点：反证法】解析：A用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x，y至少有一个能被7整除”的否定是“x，y都不能被7整除”．5．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n个正方形数是()A．n(n－1) B．n(n＋1)C．n2D．(n＋1)2【知识点：归纳推理】解：C观察前5个正方形数，恰好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n2.6. 函数f(x)在[－1,1]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则下列不等式正确的是( )A ．f (cos α)>f (sin β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)<f (cos β)D ．f (sin α)<f (sin β)【知识点： 函数的单调性，三角函数的单调性，演绎推理】解：A α，β是锐角三角形的两个内角，这就意味着α，β为锐角，另外第三个角π－(α＋β)为锐角．所以0<α<π2，0<β<π2，π2<α＋β<π，所以π2>β>π2－α>0.，所以0<cos β<cos(π2－α)＝sin α<1， 1>sin β>sin(π2－α)＝cos α>0，又因为f (x )在[－1,1]上为减函数，所以f (sin β)<f (cos α)．故选A.7．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】解：D 法一：因为a ＋b ＋c ＝0，所以a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝0， 所以ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0.法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ca ＝0，否则a 、b 异号，所以ab ＋bc ＋ca ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选项D 正确．8．已知对正数a 和b ，有下列命题：①若a ＋b ＝1，则ab ≤12；②若a ＋b ＝3，则ab ≤32；③若a ＋b ＝6，则ab ≤3.根据以上三个命题提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，则ab ≤( )A ．2 B.92 C ．4D ．5【知识点：归纳推理】解：B 从已知的三个不等式的右边可以看出，其表现形式为12，32，62，所以，若a ＋b ＝9，则ab ≤92.9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3，4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1，2，3)，且法向量为m ＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y －z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y ＋z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0【知识点：归纳推理】解：A 所求的平面方程为－1×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0.化简得x ＋2y －z －2＝0.10．下列不等式中一定成立的是( ) A ．lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14>lg x (x >0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z ) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 【知识点：不等式的性质，不等式的证明，演绎推理】 解：C A 项中，因为x 2＋14≥x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x ；B 项中sin x ＋1sin x ≥2只有在sin x >0时才成立；C 项中由不等式a 2＋b 2≥2ab 可知成立；D 项中因为x 2＋1≥1，所以0<1x 2＋1≤1.11．已知f (x )＝sin x ＋cos x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′(n ∈N *)，经计算，f 1(x )＝cos x －sin x ，f 2(x )＝－sin x －cos x ，f 3(x )＝－cos x ＋sin x ，…，照此规律，则f 100(x )＝( )A ．－cos x ＋sin xB ．cos x －sin xC ．sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x【知识点：归纳推理】解：C 根据题意， f 4(x )＝[f 3(x )]′＝sin x ＋cos x ，f 5(x )＝[f 4(x )]′＝cos x －sin x ，f 6(x )＝[f 5(x )]′＝－sin x －cos x ，…，观察知f n (x )的值呈周期性变化，周期为4，所以f 100(x )＝f 96＋4(x )＝f 4(x )＝sin x ＋cos x .12．请阅读下列材料：若两个正实数a 1，a 2满足a 21＋a 22＝1，求证：a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1，因为对一切实数x ，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤ 2.根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，a n满足a21＋a22＋…＋a2n＝n时，你能得到的结论是()A．a1＋a2＋…＋a n≤2n B．a1＋a2＋…＋a n≤n2C．a1＋a2＋…＋a n≤n D．a1＋a2＋…＋a n≤n【知识点：归纳推理】解：C构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋a n)x＋n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0；即4(a1＋a2＋…＋a n)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋a n≤n.（二）填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是________．【知识点：演绎推理】解：菱形的对角线互相垂直且平分大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时：甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可以判断乙去过的城市为________．【知识点：反证法；数学思想：分类思想】解：A易知三人同去的城市为A，又甲去过城市比乙去过的城市多，且甲没去过B城，∴甲去过A城，C城，乙只去过A城．15．通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为2R2.”猜想关于球的相应命题为________．【知识点：类比推理】解：半径为R的内接六面体中以正方体的体积为最大，最大值为839R3. “圆中正方形的面积“类比为“球中正方体的体积”，可得结论．16.如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3……依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．【知识点：归纳推理】解：14 根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1，∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. （三）解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝xx ＋2(x >0)．如下定义一列函数：f 1(x )＝f (x )，f 2(x )＝f (f 1(x ))，f 3(x )＝f (f 2(x ))，…，f n (x )＝f (f n －1(x ))，…，n ∈N *，那么由归纳推理求函数f n (x )的解析式．【知识点：归纳推理，函数的解析式】 解：依题意得，f 1(x )＝xx ＋2，f 2(x )＝x x ＋2x x ＋2＋2＝x 3x ＋4＝x（22－1）x ＋22f 3(x )＝x 3x ＋4x 3x ＋4＋2＝x 7x ＋8＝x（23－1）x ＋23，…，由此归纳可得f n (x )＝x（2n －1）x ＋2n(x >0)．18．(本小题满分12分)已知A ＋B ＝π3，且A ，B ≠k π＋π2(k ∈Z )．求证：(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝4.【知识点：演绎推理，诱导公式，两角和的正切】证明：由A ＋B ＝π3得tan(A ＋B )＝tan π3，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝3，所以tan A ＋tan B ＝3－3tan A tan B.所以(1＋3tan A )(1＋3tan B )＝1＋3(tan A ＋tan B )＋3tan A tan B ＝1＋3(3－3tanA tanB )＋3tan A tan B ＝4.故原等式成立．19．(本小题满分12分)把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，并判断类比的结论是否成立．(1)如果一条直线和两条平行线中的一条相交，则必和另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．【知识点：类比推理，反证法，直线与平面平行的性质】解：(1)类比为：如果一个平面和两个平行平面中的一个相交，则必和另一个相交． 结论是正确的，证明如下：设α∥β，且γ∩α＝a ，则必有γ∩β＝b ，若γ与β不相交，则必有γ∥β.又α∥β，所以α∥γ，与γ∩α＝a 矛盾，所以必有γ∩β＝b .(2)类比为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行，结论是错误的，这两个平面也可能相交．20．(本小题满分12分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)．【知识点：演绎推理，等差数列的前n 项和，等比 中项】证明：由题意得，S n ＝na ＋n （n －1）2d . 由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d .又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a .因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a .从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk )2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b 为正实数．(1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23； (2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.【知识点：不等式的证明，分析法，反证法】证明：(1)欲证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，即证b a ＋2b ＋a b ＋2a ≤23，只要证a 2＋b 2＋4ab 2a 2＋2b 2＋5ab ≤23. 因为a ，b 为正实数，只要证3(a 2＋b 2＋4ab )≤2(2a 2＋2b 2＋5ab )，即a 2＋b 2≥2ab ， 因为a 2＋b 2≥2ab 显然成立，故原不等式成立．(2)假设af (b )＝a b ＋2≤12，bf (a )＝b a ＋2≤12， 由于a ，b 为正实数，所以2＋b ≥2a ，2＋a ≥2b ，两式相加得：4＋a ＋b ≥2a ＋2b ，即a ＋b ≤4，与条件a ＋b >4矛盾，故af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.22．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝π2，AB ＝BC＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点．将△ABE 沿BE 折起图②中△A 1BE 的位置，得到四棱锥A 1-BCDE .(1)证明：CD ⊥平面A 1OC ；(2)当平面A 1BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥A 1-BCDE 的体积为362，求a 的值．【知识点：演绎推理，线面垂直的判定，面面垂直的性质，锥体的体积】(1)证明：在图①中，因为AB ＝BC ＝12AD ＝a ，E 是AD 的中点， ∠BAD ＝π2，所以BE ⊥AC ，即在图②中，BE ⊥A 1O ，BE ⊥OC ，从而BE ⊥平面A 1O C.又CD ∥BE ，所以CD ⊥平面A 1O C.(2)解：由已知，平面A 1BE ⊥平面BCDE ，且平面A 1BE ∩平面BCDE ＝BE ， 又由(1)知，A 1O ⊥BE ， 所以A 1O ⊥平面BCDE ， 则A 1O 是四棱锥A 1-BCDE 的高．由图①知，A 1O ＝22AB ＝22a ，平行四边形BCDE 的面积S ＝BC ·AB ＝a 2.从而四棱锥A 1-BCDE 的体积V ＝13×S ·A 1O ＝13a 2·22a ＝26a 3. 由26a 3＝362，得a ＝6.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 统计案例
1 ．线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程： y
其中， b
n
xi yi
i1
n xi2
bx a （最小二乘法）
nx y nx 2
i1
a y bx
注意：线性回归直线经过定点
( x, y) .
归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）
，这种证明的方法叫分析法。
分析法又叫逆推证法或执果索因法。
(2) 间接证明 ??反证法 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证
明原命题成立，这种证明方法叫反证法。
第四章 复数
1. 复数的有关概念 (1) 把平方等于－ 1 的数用符号 i 表示，规定 i2＝－ 1，把 i 叫作虚数单位．
χ 2=
（ a＋ b）（ c ＋ d ）（ a＋ c ）（ b ＋ d ）
-5-
第二章 框图 第三章 推理与证明
1. 流程图 流程图是由一些图形符号和文字说明构成的图示．流程 图是表述工作方式、工艺流程的一种常用手段，它的特 点是直观、清晰． 2. 结构图
一些事物之间不是先后顺序关系，而是存在某种逻辑关 系，像这样的关系可以用结构图来描述．常用的结构图 一般包括层次结构图，分类结构图及知识结构图等．
复数的全体组成的集合叫作
_____________ ，记作 C.
3. 复数的分类
复数 a＋ bi （ a， b ∈R）
实数（ b＝0）
纯虚数（ a＝ 0 ） 虚数（ b≠0）
非纯虚数（ a ≠0）
4. 两个复数相等的充要条件
设 a， b ， c， d 都是实数，则 a＋ bi ＝ c＋ di，当且仅当 _________
间几乎不存在线性相关关系。
3. 条件概率
对于任何两个事件 A 和 B ，在已知 B 发生的条件下， A 发生的概率称为
条件概率 . 记为 P(A|B) , 其公式为 P(A|B) ＝ P（ AB ）
B 发生时 A 发生的
4 相互独立事件
P（ A）
(1) 一般地，对于两个事件 A ，B，如果 _ P(AB) ＝ P(A)P( B) ，则称 A、 B 相互独立．
(2) 形如 a ＋ bi 的数叫作复数 (a ， b 是实数， i 是虚数单位 ) ．通常表示为 z＝ a＋ bi(a ， b∈R)．
(3) 对于复数 z＝ a＋ bi ，a 与 b 分别叫作复数 z 的 ______ 与 ______ ，并且分别用 Re z 与 Im z 表示．
2. 数集之间的关系
必背结论
b=0 (a,b ∈R) z= z
z2≥0；
(2) z=a+bi 是虚数 b≠ 0(a,b∈R)；
(3) z=a+bi 是纯虚数 a=0 且 b≠ 0(a,b∈R)
∈
(4) a+bi=c+di
a=c 且 c=d(a,b,c,d R) ；
所研究的特殊情况；⑶ 结 论 --------- 根据一般原理，对特殊情况得出的判断。
-6-
2. 证明 (1) 直接证明 ①综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导
出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。②分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论
(1) 定义：当两个复数的实部 ________ ，虚部互为 ___________ 时，这样的两个复数叫作互为共轭复 数．复数 z 的共轭复数用 ______ 表示，即若 z＝ a＋ bi ，则 z －＝ __________ ．
(2) 性质：
＝
＝ ___________ ．
1.(1) z=a+bi ∈R
n
2 ．相关系数（判定两个变量线性相关性）
( xi x)( yi y)
：r
i1
n
n
( x x) 2 ( y y) 2
i1
i
i1
i
注：⑴ r >0 时，变量 x, y 正相关； r <0 时，变量 x, y 负相关；
⑵① | r | 越接近于 1，两个变量的线性相关性越强；②
| r | 接近于 0 时，两个变量之
-7-
5. 复平面 (1) 定义：当用 __________________ 的点来表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面． (2) 实轴： _______ 称为实轴．虚轴： _________ 称为虚轴．
6. 复数的模 若 z＝ a＋ bi(a ， b ∈ R) ，则 _______________ ． 7. 共轭复数
②类比推理
由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，
推出另一类对象也具有这些特征的推
理，称为类比推理，简称类比。类比推理是特殊到特殊的推理。
⑵演绎推理
从一般的原理出发， 推出某个特殊情况下的结论，
这种推理叫演绎推理。 演绎推理是由一般
到特殊的推理。
“三段论 ”是演绎推理的一般模式，包括：⑴ 大前提 --------- 已知的一般结论；⑵ 小前提 ---------
(2) 如果 A1， A2， ? ， A n 相互独立，则有 P(A 1A2 ? An)＝ P(A 1)P(A2) ? P( A n ).
－－
－－
(3) 如果 A， B 相互独立，则 A 与 B ， A 与 B， A 与 B 也相互独立．
5 ．独立性检验（分类变量关系）
：
(1)2 ×2 列联表
设 A, B 为两个变量， 每一个变量都可以取两
1. 推理 ⑴合情推理：
归纳推理和类比推理都是根据已有事实， 然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。
经过观察、 分析、 比较、联想，在进行归纳、
①归纳推理
由某类食物的部分对象具有某些特征，
推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，
类比， 或
者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。归纳推理是由部分到整体，由 个别到一般的推理。
个值，变量 A: A,A
A;变量 B:B,B
12
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
通过观察得到右表所示数据：
B;
2
1
并将形如此表的表格称为
2×2 列联表．
(2) 独立性检验
根据 2×2 列联表中的数据判断两个变量 A ， B 是否独立的问题叫 2×2 列联表的独立性检验．
(3) 统计量 χ２的计算公式 n （ ad － bc ） 2