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乘法原理： • 如果一个事件的完成要经过K个步骤，
每一步骤分别有n1，n2，……，nk种方法 • 则完成该事件共有n1n2…nk种方法。 加法原理： • 如果一个事件的完成有K种方式，每种
方式分别有n1，n2，……，nk种方法 • 则完成该事件共有n1+n2+…+nk种方法。
3
习题
计算抛3枚硬币时，如下结果发生的概率： （1）3枚中有1枚出现正面的概率； （2）3枚中至少有1枚出现正面的概率； （3）3枚中第一枚和第二枚都出现正面的概率； （4）3枚都出现反面的概率。
21
抽样估计的基本概念
一、总体和样本 总体（Population）：所要研究对象的全体。 样本（Sampling）：为推断总体的某些特征，从
总体中抽取的若干个体（Item unit ）。
二、参数和统计量 参数 —— 总体 统计量 —— 样本
22
关键术语
参数(Parameter) 样本统计量(Sampling Statistic) 抽样分布(Sampling distribution)
3.P(900x11)0 0P(901 00 0z0 11 0 10 0)00
200
200
P ( 0 .5z0 .5 )38.3%
19
例：某年A省理科考生的高考成绩服从平均
分=500分，标准差=100分的正态分布，求：
（1）考生的考分低于500分的概率；
（2）设考生的考分为X，问X为何值才能使75%的
二、变 y量 abx
E(y) abE(x)
2(y) b2 2(x)
11
某地电信局每月固定收取每部电话16元， 市内电话每分钟收费0.1元。已知某集团用 户电话每月使用时间的标准差为80分钟， 试计算该集团用户每月话费的标准差。
y160.1x
12
正态分布
Normal Distribution
• 了解正态分布的特征 f(x) • 掌握与正态分布有关
6
随机变量及分布
离散型随机变量的概率分布
（一）概率分布——分布列
例：打靶规定打中域Ⅰ得3分，打中域Ⅱ得2分，打中 域Ⅲ得1分，域外得0分。一射手每100次射击，平 均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中域Ⅲ。该射 手射击得分的概率分布为：
X
01
23
P（X） 0.05 0.10 0.55 0.30
统计基础
一、随机事件与概率
（一）随机事件
有两种以上可能的结果，但在某一次观察中 会出现哪一种结果具有不确定性的事件。 事件：A、B、C
（二）概率：度量随机事件发生的可能性。
1
事件概率的计算
1.古典概率 • 等可能性 • P（A）=m/n 2.统计概率 • P（A）≈m/n 3.主观概率
2
计数法则
f(X) B
A
C X
15
正态分布概率
连续概率分布是对
? 密度函数曲线以下
面积的积分!
d
P(c X d) f (X )dx
c
f(X)
X cd
16
正态分布的标准化
Z X
正态分布
标准正态分布 z = 1
X
Z = 0 Z
17
计算 (1)P(z<1.96) (2)P(z>1.5) (3)P(z<-2) (4)P(z>-1) (5)P(-2.33<z<2.33)
8
连续型随机变量的概率分布
X、P（x）
0 P(x) 1 P(x) 1
概率密度函数: f (x) f (x) 0
f (x)dx 1
9
连续型随机变量的特征值
E(x) x f (x)dx x2 xE(x)2 f (x)dx
10
数学期望值和方差的数学性质
一、常量 a
E(a) a
2(a) 0
7
X
0 1 23
P(X) 0.05 0.10 0.55 0.30
（二）离散型随机变量的数学期望值和方差
1.期望值(Expected value)
x E (x ) x p (x )
该射手得分的数学期望值是:
E(X)=0×0.05+1×0.10+2×0.55+3×0.30=2.10分
2.方差
V ( x ) a x 2 r x E ( x ) 2 P ( x ) V ( x ) a x 2 r E x E ( x ) 2
23
抽样分布
抽样分布——样本统计量的概率分布
• 样本平均数的分布特征 x
一、样本平均数的平均数等于总体平均数
E(x)
24
二、样本平均数的方差 x
等于总体方差的1/n。
的概率计算
1. 钟型，对称 2. 随机变量值域无限。
x 均值 Mean
13
正态分布概率密度函数
(x)2
f(x) 1 e 22 2
f(x)：随机变量 x 的概率密度函数 x ： 随机变量的值(- < X < ) = 3.14159; e = 2.71828 ：总体的均值 σ：总体的标准差
14
参数变化 ( 和 ) 对分布图形的影响
4
• 某游乐场设一摇奖装置，内装2个骰子， 每个骰子均有6面，每面分别记上1， 2，…，6分。
（1）若中奖的规则是：摇出的2个骰子分 数之和等于或超过10分，问中奖的机会 是多大？
（2）若中奖的规则改为：摇出的2个骰子 的分数必须相等，问中奖的机会多大？
5
• 有三扇关着的门，其中一扇门后面 放着一辆车。主持人知道车在哪里。 假定主持人请你猜哪扇门后面有车。 当你选定后，主持人打开另外两扇 门当中的一扇空门。然后，问你是 否愿意改变你的选择？
18
例题
某地区家庭人均月收入是服从μ=1000元,σ=200的正态 分布随机变量。求该地区人均月收入：
（1）超过1200元的概率；
（2）低于700元的概率；
（3）在900 — 1100元之间的概率。
1.P(x120)0P (z121 00) 0P (0 z1 )15.9% 200
2.P(x70)0P (z70 100 ) 0 P (z 0 1 .5 )6.7% 200
考生的考分低于这一值？
（3）问X为何值才能使90%的考生的考分高于这
一值？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2)P(zx050)00.75 100
x0 5000.675 100
x0 56.75
3)P(zx050) 00.90 100
x0 5001.28 100
x0 3270 2
用标准差判断概率
在均值±1个标准差(1x)之间取值的概率为68.27% 在均值±2个标准差(2x)之间取值的概率为95.45% 在均值±3个标准差(3x)之间取值的概率为99.73%
每一步骤分别有n1，n2，……，nk种方法 • 则完成该事件共有n1n2…nk种方法。 加法原理： • 如果一个事件的完成有K种方式，每种
方式分别有n1，n2，……，nk种方法 • 则完成该事件共有n1+n2+…+nk种方法。
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习题
计算抛3枚硬币时，如下结果发生的概率： （1）3枚中有1枚出现正面的概率； （2）3枚中至少有1枚出现正面的概率； （3）3枚中第一枚和第二枚都出现正面的概率； （4）3枚都出现反面的概率。
21
抽样估计的基本概念
一、总体和样本 总体（Population）：所要研究对象的全体。 样本（Sampling）：为推断总体的某些特征，从
总体中抽取的若干个体（Item unit ）。
二、参数和统计量 参数 —— 总体 统计量 —— 样本
22
关键术语
参数(Parameter) 样本统计量(Sampling Statistic) 抽样分布(Sampling distribution)
3.P(900x11)0 0P(901 00 0z0 11 0 10 0)00
200
200
P ( 0 .5z0 .5 )38.3%
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例：某年A省理科考生的高考成绩服从平均
分=500分，标准差=100分的正态分布，求：
（1）考生的考分低于500分的概率；
（2）设考生的考分为X，问X为何值才能使75%的
二、变 y量 abx
E(y) abE(x)
2(y) b2 2(x)
11
某地电信局每月固定收取每部电话16元， 市内电话每分钟收费0.1元。已知某集团用 户电话每月使用时间的标准差为80分钟， 试计算该集团用户每月话费的标准差。
y160.1x
12
正态分布
Normal Distribution
• 了解正态分布的特征 f(x) • 掌握与正态分布有关
6
随机变量及分布
离散型随机变量的概率分布
（一）概率分布——分布列
例：打靶规定打中域Ⅰ得3分，打中域Ⅱ得2分，打中 域Ⅲ得1分，域外得0分。一射手每100次射击，平 均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中域Ⅲ。该射 手射击得分的概率分布为：
X
01
23
P（X） 0.05 0.10 0.55 0.30
统计基础
一、随机事件与概率
（一）随机事件
有两种以上可能的结果，但在某一次观察中 会出现哪一种结果具有不确定性的事件。 事件：A、B、C
（二）概率：度量随机事件发生的可能性。
1
事件概率的计算
1.古典概率 • 等可能性 • P（A）=m/n 2.统计概率 • P（A）≈m/n 3.主观概率
2
计数法则
f(X) B
A
C X
15
正态分布概率
连续概率分布是对
? 密度函数曲线以下
面积的积分!
d
P(c X d) f (X )dx
c
f(X)
X cd
16
正态分布的标准化
Z X
正态分布
标准正态分布 z = 1
X
Z = 0 Z
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计算 (1)P(z<1.96) (2)P(z>1.5) (3)P(z<-2) (4)P(z>-1) (5)P(-2.33<z<2.33)
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连续型随机变量的概率分布
X、P（x）
0 P(x) 1 P(x) 1
概率密度函数: f (x) f (x) 0
f (x)dx 1
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连续型随机变量的特征值
E(x) x f (x)dx x2 xE(x)2 f (x)dx
10
数学期望值和方差的数学性质
一、常量 a
E(a) a
2(a) 0
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X
0 1 23
P(X) 0.05 0.10 0.55 0.30
（二）离散型随机变量的数学期望值和方差
1.期望值(Expected value)
x E (x ) x p (x )
该射手得分的数学期望值是:
E(X)=0×0.05+1×0.10+2×0.55+3×0.30=2.10分
2.方差
V ( x ) a x 2 r x E ( x ) 2 P ( x ) V ( x ) a x 2 r E x E ( x ) 2
23
抽样分布
抽样分布——样本统计量的概率分布
• 样本平均数的分布特征 x
一、样本平均数的平均数等于总体平均数
E(x)
24
二、样本平均数的方差 x
等于总体方差的1/n。
的概率计算
1. 钟型，对称 2. 随机变量值域无限。
x 均值 Mean
13
正态分布概率密度函数
(x)2
f(x) 1 e 22 2
f(x)：随机变量 x 的概率密度函数 x ： 随机变量的值(- < X < ) = 3.14159; e = 2.71828 ：总体的均值 σ：总体的标准差
14
参数变化 ( 和 ) 对分布图形的影响
4
• 某游乐场设一摇奖装置，内装2个骰子， 每个骰子均有6面，每面分别记上1， 2，…，6分。
（1）若中奖的规则是：摇出的2个骰子分 数之和等于或超过10分，问中奖的机会 是多大？
（2）若中奖的规则改为：摇出的2个骰子 的分数必须相等，问中奖的机会多大？
5
• 有三扇关着的门，其中一扇门后面 放着一辆车。主持人知道车在哪里。 假定主持人请你猜哪扇门后面有车。 当你选定后，主持人打开另外两扇 门当中的一扇空门。然后，问你是 否愿意改变你的选择？
18
例题
某地区家庭人均月收入是服从μ=1000元,σ=200的正态 分布随机变量。求该地区人均月收入：
（1）超过1200元的概率；
（2）低于700元的概率；
（3）在900 — 1100元之间的概率。
1.P(x120)0P (z121 00) 0P (0 z1 )15.9% 200
2.P(x70)0P (z70 100 ) 0 P (z 0 1 .5 )6.7% 200
考生的考分低于这一值？
（3）问X为何值才能使90%的考生的考分高于这
一值？
ຫໍສະໝຸດ Baidu
2)P(zx050)00.75 100
x0 5000.675 100
x0 56.75
3)P(zx050) 00.90 100
x0 5001.28 100
x0 3270 2
用标准差判断概率
在均值±1个标准差(1x)之间取值的概率为68.27% 在均值±2个标准差(2x)之间取值的概率为95.45% 在均值±3个标准差(3x)之间取值的概率为99.73%