人教版八年级数学因式分解复习

因式分解

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，在其它学科中也有广泛应用，学习本章知识时，应注意以下几点。

1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；

4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；

5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解；

第一部分：方法介绍

一、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c)

二、运用公式法：

(1) (a+b)(a-b) = a2-b2 ——— a2-b2=(a+b)(a-b)；

(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3 ——— a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；

(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ——— a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．

(5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

例.已知

是

的三边，且

，则

的形状是（）

A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形

解：

三、分组分解法：

（一）分组后能直接提公因式

例、分解因式：

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=

=

每组之间还有公因式！

=

（二）分组后能直接运用公式例、分解因式：

解：原式=

=

=

例、分解因式：

解：原式=

=

=

四、十字相乘法.

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——

进行分解。

特点：（1）二次项系数是1；（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。

思考：十字相乘有什么基本规律？

例.已知0＜

≤5，且

为整数，若

能用十字相乘法分解因式，求符合条件的

.

解析：凡是能十字相乘的二次三项式ax2+bx+c，都要求

>0而且是一个完全平方数。

于是

为完全平方数，

例、分解因式：

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即

2+3=5。 1

2

解：

=

1 3

=

1×2+1×3=5

用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。

例、分解因式：

解：原式=

1 -1

=

1 -6

（-1）+（-6）= -7

（二）二次项系数不为1的二次三项式——

条件：（1）

（2）

（3）

分解结果：

=

例、分解因式：

分析： 1 -2

3 -5

（-6）+（-5）= -11

解：

=

（三）二次项系数为1的齐次多项式

例、分解因式：

分析：将

看成常数，把原多项式看成关于

的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。

1 8b

1 -16b

8b+(-16b)= -8b

解：

=

=

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例9、

例10、

1 -2y 把

看作一个整体 1 -1

2 -3y 1 -2

(-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3

解：原式=

解：原式=

五、换元法。

例、分解因式（1）

（2）

解：（1）设2005=

，则原式=

=

=

（2）型如

的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。

原式=

设

，则

∴原式=

=

=

=

例、分解因式（1）

观察：此多项式的特点——是关于

的降幂排列，每一项的次数依次少1，并且系数成“轴对称”。这种多项式属于“等距离多项式”。

方法：提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。

解：原式=

=

设

，则

∴原式=

=

=

=

=

=

=

（2）

解：原式=

=

设

，则

∴原式=

=

=

=

六、添项、拆项、配方法。

例、分解因式（1）

解法1——拆项。解法2——添项。

原式=

原式=