2020年河北省衡水二中高考二模数学试题(附答案解析)
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A．8B．9C．14D．15
7．设 ， ， 是空间的三条直线， ， 是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）
A．当 时，若 ，则
B．当 时，若 ，则
C．当 ，且 是 在 内的射影时，若 ，则
D．当 ，且 时，若 ，则
8．已知复数 满足 ， 是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
9．抛物线 的准线交圆 ： 于点 ， .若 ，则抛物线的焦点为（ ）
A． B．
C． D．
10．在 中，点P是BC上的点， ,则（）
A． B．
C． D．
11．棱长为1的正方体 中， 为正方体表面上的一个动点，且总有 ，则动点 的轨迹所围成图形的面积为（）
A． B． C． D．1
12．大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之
数五十”的推论,如图一,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和。是中华传统
故选：D
本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.
3．A
解不等式 ，得出集合 ，再对四个选项的命题进行验证．
解不等式 ，得 或 ，则集合 ，
所以， ， ， ， ，故选A.
本题考查一元二次不等式的解法、集合的交集、并集计算以及集合间的包含关系，解出集合是解本题的关键，另外在处理无限数集相关的问题时，可适当利用数轴来强化理解．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）若射线 分别与圆 和直线 交于点 ， （点 异于坐标原点 ），求线段 的长.
18．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．
19．在四棱锥 中，底面 是一直角梯形， ， , ， ， 底面 .
（1）在线段 上是否存在一点F，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由；
15．双曲线 的焦距为______.
16．已知 ,符号 表示不超过 的最大整数，若函数 有且仅有3个零点，则实数 的取值范围是_________.
三、解答题
17．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 经过极点，且其圆心的极坐标为 .
4．C
设导函数 的图象与x轴的交点从左到右依次为 ，写出函数的单调区间即得极值点.
设导函数 的图象与x轴的交点从左到右依次为 ，
所以函数f（x）的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
所以函数有两个极大值点 ，两个极小值点 .
故选：C
本题主要考查函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知， 为偶函数，不符合题意，排除B；
其次，在剩下的3个选项,对其在 上的零点个数进行判断, 在 上无零点,不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在 上单调递减,不符合题意，排除C.
故选：A．
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．
（2）在（1）的条件下，若 与 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
20．设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点， 两点分别是椭圆 的上，下顶点， 是等腰直角三角形，延长 交椭圆 于 点，且 的周长为 .
（1）求椭ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的方程；
（2）设点 是椭圆 上异于 的动点，直线 与直 分别相交于 两点，点 ，求证： 的外接圆恒过原点 .
文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,0,2,4,
8,12,18,…,如图二,是求大衍数列前n项和的程序框图,执行该程序框图,输入m=12,则输出的S为
A．322B．250C．140D．190
二、填空题
13．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．
14．已知数列 中， ，则数列 的前 项和为 __________．
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
5．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （）
A．2017B．2018C．2019D．2020
6．某社团小组有2名男生和4名女生，现从中任选2名学生参加活动，且至少有1名男生入选，则不同的选法种数有（）
2020年河北省衡水二中高考二模数学试题
一、单选题
1．已知函数 的图象如图所示，则 可以为（）
A． B． C． D．
2．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月 ）变化图表，则以下说法错误的是（）
（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）
2．D
采用逐一验证法，根据图表，可得结果.
A正确，从图表二可知，
3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大
B正确，从图表二可知，
4月份只有北京市居民消费价格指数低于102
C正确，从图表一中可知，
只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大
D错误，从图表一可知
上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
22．已知函数 （ 且 ）.
（1）当 时，曲线 与 相切，求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
23．如图, 是直角 斜边 上一点, ．
（Ⅰ）若 ，求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的长．
【答案与解析】
1．A
根据图象可知，函数 为奇函数，以及函数在 上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．
21．为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在 上．将这些成绩分成六段 ， ，…， 后得到如下部分频率分布直方图．
（Ⅰ）求抽出的60名学生中分数在 内的人数；
（Ⅱ）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校的优秀人数．
A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均
B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102
C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小
D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
3．已知集合 ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的定义域为 ，导函数 的图象如图所示，则函数 ( )
7．设 ， ， 是空间的三条直线， ， 是空间的两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）
A．当 时，若 ，则
B．当 时，若 ，则
C．当 ，且 是 在 内的射影时，若 ，则
D．当 ，且 时，若 ，则
8．已知复数 满足 ， 是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
9．抛物线 的准线交圆 ： 于点 ， .若 ，则抛物线的焦点为（ ）
A． B．
C． D．
10．在 中，点P是BC上的点， ,则（）
A． B．
C． D．
11．棱长为1的正方体 中， 为正方体表面上的一个动点，且总有 ，则动点 的轨迹所围成图形的面积为（）
A． B． C． D．1
12．大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之
数五十”的推论,如图一,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理。数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和。是中华传统
故选：D
本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.
3．A
解不等式 ，得出集合 ，再对四个选项的命题进行验证．
解不等式 ，得 或 ，则集合 ，
所以， ， ， ， ，故选A.
本题考查一元二次不等式的解法、集合的交集、并集计算以及集合间的包含关系，解出集合是解本题的关键，另外在处理无限数集相关的问题时，可适当利用数轴来强化理解．
（1）求圆 的极坐标方程；
（2）若射线 分别与圆 和直线 交于点 ， （点 异于坐标原点 ），求线段 的长.
18．已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1） ；
（2） ．
19．在四棱锥 中，底面 是一直角梯形， ， , ， ， 底面 .
（1）在线段 上是否存在一点F，使得 平面 ，若存在，求出 的值；若不存在，试说明理由；
15．双曲线 的焦距为______.
16．已知 ,符号 表示不超过 的最大整数，若函数 有且仅有3个零点，则实数 的取值范围是_________.
三、解答题
17．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆 经过极点，且其圆心的极坐标为 .
4．C
设导函数 的图象与x轴的交点从左到右依次为 ，写出函数的单调区间即得极值点.
设导函数 的图象与x轴的交点从左到右依次为 ，
所以函数f（x）的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
所以函数有两个极大值点 ，两个极小值点 .
故选：C
本题主要考查函数的单调性和极值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
首先对4个选项进行奇偶性判断，可知， 为偶函数，不符合题意，排除B；
其次，在剩下的3个选项,对其在 上的零点个数进行判断, 在 上无零点,不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断, 在 上单调递减,不符合题意，排除C.
故选：A．
本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．
（2）在（1）的条件下，若 与 所成的角为 ，求二面角 的余弦值.
20．设 ， 分别是椭圆 的左，右焦点， 两点分别是椭圆 的上，下顶点， 是等腰直角三角形，延长 交椭圆 于 点，且 的周长为 .
（1）求椭ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的方程；
（2）设点 是椭圆 上异于 的动点，直线 与直 分别相交于 两点，点 ，求证： 的外接圆恒过原点 .
文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题,0,2,4,
8,12,18,…,如图二,是求大衍数列前n项和的程序框图,执行该程序框图,输入m=12,则输出的S为
A．322B．250C．140D．190
二、填空题
13．由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示，则其体积是；表面积是．
14．已知数列 中， ，则数列 的前 项和为 __________．
A．无极大值点、有四个极小值点
B．有一个极大值点、两个极小值点
C．有两个极大值点、两个极小值点
D．有四个极大值点、无极小值点
5．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 （）
A．2017B．2018C．2019D．2020
6．某社团小组有2名男生和4名女生，现从中任选2名学生参加活动，且至少有1名男生入选，则不同的选法种数有（）
2020年河北省衡水二中高考二模数学试题
一、单选题
1．已知函数 的图象如图所示，则 可以为（）
A． B． C． D．
2．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月 ）变化图表，则以下说法错误的是（）
（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是北京、天津、上海、重庆）
2．D
采用逐一验证法，根据图表，可得结果.
A正确，从图表二可知，
3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大
B正确，从图表二可知，
4月份只有北京市居民消费价格指数低于102
C正确，从图表一中可知，
只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大
D错误，从图表一可知
上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
22．已知函数 （ 且 ）.
（1）当 时，曲线 与 相切，求 的值；
（2）若 ，求 的取值范围.
23．如图, 是直角 斜边 上一点, ．
（Ⅰ）若 ，求角 的大小；
（Ⅱ）若 ，且 ，求 的长．
【答案与解析】
1．A
根据图象可知，函数 为奇函数，以及函数在 上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．
21．为了估计某校的某次数学期末考试情况，现从该校参加考试的600名学生中随机抽出60名学生，其成绩（百分制）均在 上．将这些成绩分成六段 ， ，…， 后得到如下部分频率分布直方图．
（Ⅰ）求抽出的60名学生中分数在 内的人数；
（Ⅱ）若规定成绩不小于85分为优秀，则根据频率分布直方图，估计该校的优秀人数．
A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均
B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102
C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小
D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势
3．已知集合 ， ，则有（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的定义域为 ，导函数 的图象如图所示，则函数 ( )