2.等差数列与等比数列的判定

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 445

[中国高考数学母题](第139号)

等差数列与等比数列的判定

等差数列和等比数列的判定既有问题的研究特性又有解决问题的方法功能;其中,方法功能是指利用换元思想,并对递推关系式进行恒等变形,求数列通项的方法.

[母题结构]:等差数列的判定与等比数列

的判定如表:

[母题解析]:略.

1.等差数列的判定

子题类型Ⅰ:(2014年大纲高考试题)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (Ⅰ)设b n =a n+1-a n ,证明:{b n }是等差数列; (Ⅱ)求{a n }的通项公式.

[解析]:(Ⅰ)由a n+2=2a n+1-a n +2⇒a n+2-a n+1=(a n+1-a n )+2⇒b n+1=b n +2⇒{b n }是首项b 1=1,公差d=2的等差数列;

(Ⅱ)由b n =2n-1,b n =a n+1-a n ⇒a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1)=1+b 1+b 2+…+b n-1=n 2

-2n+2.

[点评]:对等差数列的通项求法可推广到:广义等差数列{a n }:a 1=a,a n+1=a n +f(n),其通项a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…

+(a n -a n-1)=a+f(1)+f(2)+…+f(n-1);特别地,广义等差数列{a n }是等差数列,则f(n)是常数.

[同类试题]:

1.(2008年福建高考试题)己知{a n }是正数组成的数列,a 1=1,且点(n a ,a n+1)(n ∈N*)在函数y=x 2

+1的图像上. (Ⅰ)求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)若数列{b n }满足:b 1=1,b n+1=b n +n a 2,求证:b n b n+2

.

2.(2013年安徽高考试题)设数列{a n }满足a 1=2,a 2+a 4=8,且对任意n ∈N +,函数f(x)=(a n -a n+1+a n+2)x+a n+1cosx-a n+2sinx 满足

f '(

2

π)=0.(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式;

(Ⅱ)若b n =2(a n +n

a 21),求数列{a n }的前n 项和S n .

2.等比数列的判定

子题类型Ⅱ:(2013年陕西高考文科试题)设S n 表示数列{a n }的前n 项和. (Ⅰ)若{a n }为等差数列,推导S n 的计算公式; (Ⅱ)若a 1=1,q ≠0,且对所有正整数n,有S n =

q

q n

--11,判断{a n }是否为等比数列.

[解析]:(Ⅰ)由{a n }为等差数列⇒a k +a n-k+1=a 1+a n (k=1,2,3,…,n-1);由S n =a 1+a 2+a 3+…+a n ……①⇒S n =a n +a n-1+a n-2+…+a 1…

…②;由①+②得:2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n-1)+(a 3+a n-2)+…+(a n +a 1)=n(a 1+a n )=n[2a 1+(n-1)d]⇒S n =

2)(1n a a n +=na 1+2

)

1(-n n d; (Ⅱ)由S n =q q n --11⇒a n+1=S n+1-S n =q q n --+111-q

q n --11=q q q n n --+11=q n ,又a 1=1⇒a n =q n-1

⇒{a n }是首项a 1=1,公比q ≠1的等比数列.

[点评]:对等比数列的通项求法可推广到:广义等比数列{a n }:a 1=a,a n+1=f(n)a n ,其通项a n =a 11

2312-⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n

a a a a a a =af(1)f(2)…f(n-1).特别地,广义等比数列{a n }是等比数列,则f(n)是常数.

[同类试题]:

3.(2015年浙江高考试题)已知数列{a n }和{b n }满足:a 1=2,b 1=1,a n+1=2a n (n ∈N *

),b 1+

21b 2+31b 3+…+n

1b n =b n+1-1(n ∈N *

).

446 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题

(Ⅰ)求a n 与b n ; (Ⅱ)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ,求T n .

4.(2013年陕西高考理科试题)设{a n }是公比为q 的等比数列.

(Ⅰ)推导{a n }的前n 项和公式; (Ⅱ)设q≠1,证明数列{a n +1}不是等比数列. 3.递推关系的判定

子题类型Ⅲ:(2016年四川高考试题)已知数列{a n }的首项为1,S n 为数列{a n }的前n 项和,S n+1=qS n +1,其中q>0,n ∈N +

.

(Ⅰ)若a 2,a 3,a 2+a 3成等差数列,求数列{a n }的通项公式; (Ⅱ)设双曲线x 2

-

22

n

a y =1的离心率为e n ,且e 2=2,求e 12+e 22+…+e n 2

.

[解析]:由S n+1=qS n +1⇒a 2=qa 1,且a n+2=S n+2-S n+1=(qS n+1+1)-(qS n +1)=qa n+1⇒数列{a n }是以首项a 1=1,公比为q 的等比数列;

(Ⅰ)由a 2+(a 2+a 3)=2a 3⇒a 3=2a 2⇒q=2⇒a n =2n-1; (Ⅱ)由e n 2=1+a n 2,e 2=2⇒a 22=3⇒q=3⇒e 12+e 22+…+e n 2

=n+

2

1(3n

-1). [点评]:利用数列的判定,求数列的通项,注意:①数列的换元思想,即令b n =f(a n ),并分别求出b 1=f(a 1),b n+1=f(a n+1);②递推

式的恒等变形思想,即对己知的递推关系式进行恒等变换,其目标是寻找b n 与b n+1的关系式,从而通过研究数列{b n },去解决数列{a n }的有关问题;③递推的思想方法,即把递推关系式中的n 通过赋值于n+1或n-1,得到新的递推关系,并能对所得递推关系或己知递推关系这两式进行加、减和代入变换等.

[同类试题]:

5.(2014年安徽高考试题)数列{a n }满足a 1=1,na n+1=(n+1)a n +n(n+1),n ∈N *

. (Ⅰ)证明:数列{

n

a n }是等差数列; (Ⅱ)设

b n =3n

⋅n a ,求数列{b n }的前n 项和S n .

6.(2015年广东高考试题)设数列{a n }的前n 项和为S n ,n ∈N +

.已知a 1=1,a 2=23,a 3=4

5

,且当n ≥2时,4S n+2+5S n =8S n+1+S n-1. (Ⅰ)求a 4的值; (Ⅱ)证明:{a n+1-

2

1

a n }为等比数列; (Ⅲ)求数列{a n }的通项公式. 4.子题系列: