分组分解因式分解练习题

分组分解因式分解练习题

1. 按字母特征分组a?b?ab?1 a2－ab＋ac－bc

2. 按系数特征分组7x2?3y?xy?21x ac?6ad

3. 按指数特点分组a2?9b2?2a?6bx2?x?4y2?2y

2224.按公式特点分组a－2ab＋b－c a2?4b2?12bc?9c2

四．总结规律

1.合理分组；

2.组内分解

3.组间再分解

4.如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化.

五．练习巩固

1．用分组分解法把ab－c＋b－ac分解因式分组的方法有 A．1种B.2种C.3种D.4种

2. 用分组分解a2－b2－c2＋2bc的因式，分组正确的是

A.?bc)

C.?222222?bc?3bd B.?2bc

D.a?222222

3．填空：

ax＋ay－bx－by=－ =

x2－2y－4y2＋x= ＋ =

4a2－b2－4c2＋4bc= － =

4．把下列各式分解因式

ax25x?6y?15x?2xy ?3x?4a?1227a?ab?21a?3bm2－6m ＋2n－n2

4x－4xy－a＋y22 1―m―n＋2mn2

分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。

应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。

1. 在数学计算、化简、证明题中的应用

242aaa1 例1. 把多项式2分解因式，所得的结果为

3254

式后，再进一步分解；此题也可把x，x分别看作一组，

此?x和x?1?x

时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解法1：

原式??

?

?

解法2：

原式

?x4?x2?

??[?x2]?

22

A.22C.22

B.

22

D.

分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。

242

2aaa1 解：原式?

2. 在几何学中的应用

222

?，a?c?b?2ac 例：已知三条线段长分别为a、b、c，

且满足ab

?a4?2a3?3a2?2a?1

1

222

??2?1

?

2

2

证明：以a、b、c为三边能构成三角形

分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”

222acb2ac 证明：?

故选择C

5432

例2. 分解因式xxxxx 1

分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把

5432x?x?x和?x?x?1分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因

?a2?c2?b2?2ac?0

?a?2ac?c?b?0，即?b?0??0又?a?c?b?a?c?b?a?c?b?0，a?c?b?0?a?b?c，a?b?c即a?b?c?a?b

?以a、b、c为三边能构成三角形

2

2

2

2

2

22

例1.分解因式：1_____________。 ?m?n?2mn?2解：1 ?mn??2mn

?1?

?1?2

?

说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。

例2．分解因式：x2?y2?x?y?____________

2解：x2?y2?x?y??

3. 在方程中的应用例：求方程x的整数解 ?y?xy

分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解解：? x?y?xy

?xy?x?y?0?xy?x?y?1??1即x1

??

?

说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。

例3. 分解因式：x3?3x2?4x?12?____________

32

解：x3?3x2?4x?12?x ?4x?3x?12

1

?x,y是整数?x?1?1

??或?y?1??1

?x?1??1?

?y?1?1

2

?xx?3

?

说明：分组的目的是能够继续分解。

5、题型展示：

222?mn?n?1 例1. 分解因式：m

x?0?x??2?

或 ? ??y?0?y?2?

4、中考点拨

222?mn?n?1 解：m

222?mn?m?4mn?n2?1

解一：

333

xx ?2?3?33x??22xx?

222

??

??

22

?

22

?3?2x

2

?

说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。

2222

?b?1，c?d?1，且ac?bd?0 例2. 已知：a，求ab+cd 的值。

解二：

3322

x?2x?3?x?x?x?2x?3