整数的性质及其应用

第二节 整数的性质及其应用（1）

基础知识

整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完

全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质

在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，

并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a

记作b a 。

由整除的定义，容易推出以下性质：

(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；

(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若

反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。更一般，若

n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。或着i b a |，则∑=n

i i i b c a 1|其中

n i Z c i ,,2,1, =∈；

(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；

(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；

(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是

质数，若n

a p |，则a p |；

(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r

称为a 被b 除得的余数。注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。若0=r ，即为

a 被

b 整除的情形；

易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过b

a

的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在

较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个

分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。

若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x x

y x y x ； 若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x x

y x y x ；（在上式中用y -代y ）

(7)如果在等式∑∑===m k k n i i

b a 11中取去某一项外，其余各项均为

c 的倍数，则这一项也是c 的

倍数；

(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；

(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6

整除；

2．奇数、偶数有如下性质：

(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数⨯偶数＝偶数，奇数⨯

偶数＝偶数，奇数⨯奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、

差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；

（2）奇数的平方都可以表示成18+m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48+m 的形式；

（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m

2=的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。

（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则

这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整

数，它必为偶数。

3．完全平方数及其性质

能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。平方数有以下性质与结论：

（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；

（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数

只有可能是0或1；

（3）奇数平方的十位数字是偶数；

（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；

（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。因而，

平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，

4,7；

（6）平方数的约数的个数为奇数；

（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都

是整数的k 次方幂。一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），

若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。

4．整数的尾数及其性质

整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为)(a G 。)(a G 也称为尾数函数，尾数函数

具有以下性质：

（1）=))((a G G )(a G ；（2）)(21n a a a G +++ ＝)]()()([21n a G a G a G G +++ ；

（3）=⋅⋅⋅)(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ⋅⋅⋅ ；（4）0)10(=a G ；

)()10(b G b a G =+；

（5）若c b a 10=-，则)()(b G a G =；（6）+∈=N k a a G a

G k ,),()(44； （7）++∈<<≥=N r k a r k a G a G r r k ,,,40,0),()(4；

（8）⎪⎩⎪⎨⎧=同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数，当是偶数为奇数，当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G a G b b n b b

5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）

（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；

（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；

（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则

不能；

（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则

不能；

（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被

11整除，否则不能。

6．质数与合数及其性质

1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它

的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本

身的因子，则称这个自然数为合数。

2．有关质（素）数的一些性质

（1）若1,>∈a Z a ，则a 的除1以外的最小正因数q 是一个质（素）数。如果a q ≠，则a q ≤

；

（2）若p 是质（素）数，a 为任一整数，则必有a p |或（p a ,）＝1；

（3）设n a a a ,,,21 为n 个整数，p 为质（素）数，且n a a a p 21|，则p 必整除某个i a （n i ≤≤1）；

（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a ，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不

计较因数的排列顺序）；

（5）任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a k a a ,,,2,1,2121 == ① 的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i <<）。上式叫做整数a 的标准分解式；

（6）若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21+++=k a a a a f 。 典例分析