整数的性质及其应用

第二节 整数的性质及其应用（1）基础知识整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。

1．整除的概念及其性质在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。

定义：设b a ,是给定的数，0≠b ，若存在整数c ，使得bc a =则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a记作b a 。

由整除的定义，容易推出以下性质：(1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；(2)若a b |且c b |，则)(|c a b ±即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。

若反复运用这一性质，易知a b |及c b |，则对于任意的整数v u ,有)(|cv au b ±。

更一般，若n a a a ,,,21 都是b 的倍数，则)(|21n a a a b +++ 。

或着i b a |，则∑=ni i i b c a 1|其中n i Z c i ,,2,1, =∈；(3)若a b |，则或者0=a ，或者||||b a ≥，因此若a b |且b a |，则b a ±=；(4)b a ,互质，若c b c a |,|，则c ab |；(5)p 是质数，若n a a a p 21|，则p 能整除n a a a ,,,21 中的某一个；特别地，若p 是质数，若na p |，则a p |；(6)(带余除法)设b a ,为整数，0>b ，则存在整数q 和r ，使得r bq a +=，其中b r <≤0，并且q 和r 由上述条件唯一确定；整数q 被称为a 被b 除得的(不完全)商，数r称为a 被b 除得的余数。

注意：r 共有b 种可能的取值：0,1，……，1-b 。

若0=r ，即为a 被b 整除的情形；易知，带余除法中的商实际上为⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a （不超过ba的最大整数），而带余除法的核心是关于余数r 的不等式：b r <≤0。

证明a b |的基本手法是将a 分解为b 与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2。

若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x xy x y x ； 若n 是正奇数，则))((1221----+-+-+=+n n n n n n y xy y x xy x y x ；（在上式中用y -代y ）(7)如果在等式∑∑===m k k n i ib a 11中取去某一项外，其余各项均为c 的倍数，则这一项也是c 的倍数；(8)n 个连续整数中，有且只有一个是n 的倍数；(9)任何n 个连续的整数之积一定是n!的倍数，特别地，三个连续的正整数之积能被6整除；2．奇数、偶数有如下性质：(1)奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数⨯偶数＝偶数，奇数⨯偶数＝偶数，奇数⨯奇数＝奇数；即任意多个偶数的和、差、积仍为偶数，奇数个奇数的和、差仍为奇数，偶数个奇数的和、差为偶数，奇数与偶数的和为奇数，和为偶数；（2）奇数的平方都可以表示成18+m 的形式，偶数的平方可以表示为m 8或48+m 的形式；（3）任何一个正整数n ，都可以写成l n m2=的形式，其中m 为负整数，l 为奇数。

（4）若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

3．完全平方数及其性质能表示为某整数的平方的数称为完全平方数，简称平方数。

平方数有以下性质与结论：（1）平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9；（2）偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1，即任何平方数被4除的余数只有可能是0或1；（3）奇数平方的十位数字是偶数；（4）十位数字是奇数的平方数的个位数一定是6；（5）不能被3整除的数的平方被3除余1，能被3整数的数的平方能被3整除。

因而，平方数被9也合乎的余数为0,1，4,7，且此平方数的各位数字的和被9除的余数也只能是0,1，4,7；（6）平方数的约数的个数为奇数；（7）任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

（8）设正整数b a ,之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若（b a ,）＝1，则b a ,都是整数的k 次方幂。

一般地，设正整数c b a ,,, 之积是一个正整数的k 次方幂（2≥k ），若c b a ,,, 两两互素，则c b a ,,, 都是正整数的k 次方幂。

4．整数的尾数及其性质整数a 的个位数也称为整数a 的尾数，并记为)(a G 。

)(a G 也称为尾数函数，尾数函数具有以下性质：（1）=))((a G G )(a G ；（2）)(21n a a a G +++ ＝)]()()([21n a G a G a G G +++ ；（3）=⋅⋅⋅)(21n a a a G )]()()([21n a G a G a G G ⋅⋅⋅ ；（4）0)10(=a G ；)()10(b G b a G =+；（5）若c b a 10=-，则)()(b G a G =；（6）+∈=N k a a G aG k ,),()(44； （7）++∈<<≥=N r k a r k a G a G r r k ,,,40,0),()(4；（8）⎪⎩⎪⎨⎧=同为奇数时当同时为偶数时为奇数或为偶数，当是偶数为奇数，当212121421,),(,),(),()(121b b a G b b b b a G b b a G a G b b n b b5．整数整除性的一些数码特征（即常见结论）（1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能；（2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能；（3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能；（4）若一个整数的未三位数字能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除，否则不能；（5）若一个整数的奇位上的数码之和与偶位上的数码之和的差是11的倍数，则这个数能被11整除，否则不能。

6．质数与合数及其性质1．正整数分为三类：（1）单位数1；（2）质数（素数）：一个大于1的正整数，如果它的因数只有1和它本身，则称为质（素）数；（3）如果一个自然数包含有大于1而小于其本身的因子，则称这个自然数为合数。

2．有关质（素）数的一些性质（1）若1,>∈a Z a ，则a 的除1以外的最小正因数q 是一个质（素）数。

如果a q ≠，则a q ≤；（2）若p 是质（素）数，a 为任一整数，则必有a p |或（p a ,）＝1；（3）设n a a a ,,,21 为n 个整数，p 为质（素）数，且n a a a p 21|，则p 必整除某个i a （n i ≤≤1）；（4）（算术基本定理）任何一个大于1的正整数a ，能唯一地表示成质（素）因数的乘积（不计较因数的排列顺序）；（5）任何大于1的整数a 能唯一地写成k i p p p a k a k a a ,,,2,1,2121 == ① 的形式，其中i p 为质（素）数（)(j i p p j i <<）。

上式叫做整数a 的标准分解式；（6）若a 的标准分解式为①，a 的正因数的个数记为)(a f ，则)1()1)(1()(21+++=k a a a a f 。

典例分析例1．证明：100102000个被1001整除。

证明：]110)10()10)[(110(1)10(110100136653666336673200102000+-+-+=+=+=个 所以)1001(1103=+整除100102000个。

例2．对正整数n ，记)(n S 为n 的十进制表示中数码之和。

证明：n |9的充要条件是)(|9n S 。

证明：设011010a a a n k k +⨯++⨯= （这里90≤≤i a ，且0≠k a ），则n a a a n S +++= 10)(，于是有=-)(n S n )110()110(1-⨯++-⨯a a k k ①对于k i ≤≤1，知)110(|9-i，故①式右端k 个加项中的每一个都是9的倍数，从而由整除的性质可知它们的和也能被9整除，即))((|9n S n -。

由此可易推出结论的两个方面。

例3．设1≥k 是一个奇数，证明L 对于任意正整数n ，数k k k n +++ 21不能被2+n 整除。

证明：1=n 时，结论显然成立。

设2≥n ，记所说的和为A ，则： )2())1(3()2(22k k k k k k n n n A +++-++++= 。

由k 是正奇数，从而结于每一个2≥i ，数k k i n i )2(-++被2)2(+=-++n i n i 整除，故A 2被2+n 除得余数为2，从而A 不可能被2+n 整除（注意22>+n ）。

例4．设n m ,是正整数，2>m ，证明：（12-m ）（12+n ）。

证明：首先，当m n ≤时，易知结论成立。

事实上，n m =时，结论平凡；当m n <时，结果可由1212121-≤+≤+-m m n 推出来（注意2>m ）。

最后，m n >的情形可化为上述特殊情形：由带余除法m r r mp n <≤+=0,而0>q ，由于122)12(12++-=+r r mq n ，从而由若n 是正整数，则))((1221----++++-=-n n n n n n y xy y x x y x y x 知)12(|)12(--mq m ；而m r <≤0，故由上面证明了的结论知)12(-m )12(+r （注意0=r 时结论平凡），从而当m n >时，也有（12-m ）（12+n ）。

这就证明了本题的结论。

例5．设正整数d c b a ,,,满足cd ab =，证明：d c b a +++不是质（素）数。

证法一：由cd ab =，可设n m b d c a ==其中1),(=n m 。

由n m c a =意味着有理数ca 的分子、分母约去了某个正整数u 后得既约分数n m ，因此，nu c mu a ==, ① 同理，存在正整数v 使得mv d nvb ==, ②因此，d c b a +++＝))((v u n m ++是两个大于1的整数之积，从而不是素数。