应用统计学因子分析与主成分分析案例解析_SPSS操作分析

因子分析与主成分分析

一、问题概述

现希望对30个省市自治区经济发展基本情况的八项指标进行分析。具体采用的指标只有：GDP、居民消费水平、固定资产投资、职工平均工资、货物周转量、居民消费价格指数、商品零售价格指数、工业总产值。这是一个综合分析问题，八项指标较多，用主成分分析法进行综合。

二、数据处理与分析

1.因子分析

打开数据后，在SPSS中进行因子分析的步骤如下：

选择“分析---降维---因子分析”，在弹出的对话框里

（1）描述---系数、KMO与Bartlett的球形度检验

（2）抽取---碎石图、未旋转的因子解

（3）旋转---最大方差法、旋转解、载荷图

（4）得分---保存为变量、显示因子得分系数矩阵

（5）选项---按大小排序

点击确定得到如下各图：

图3-1

图3-2

KMO 和 Bartlett 的检验

取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量。.620

Bartlett 的球形度检验近似卡方231.285 df 28 Sig. .000

图3-3

公因子方差

图3-6 成份矩阵a

图3-9

（2）因子模型中各统计量的意义

A）因子载荷错误！未找到引用源。：因子载荷错误！未找到引用源。为第i个变量在第j个因子上的载荷，实际上就是错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。的相关系数，表示变量错误！未找到引用源。依赖因子错误！未找到引用源。的程度，反应了第i个变量错误！未找到引用源。对于第j个因子错误！未找到引用源。的重要性。

B）变量错误！未找到引用源。的变量共同度：k个公因子对第i个变量方差的贡献，也称为公因子方差比，记为错误！未找到引用源。，公式为：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。（j=1,2,….,k）

表示全部公因子对变量错误！未找到引用源。的总方差所做出的贡献，也即是变量错误！未找到引用源。的信息能够被k个公因子所描述的程度。

C）公因子错误！未找到引用源。的方差贡献率：在因子载荷矩阵A中，各列元素错误！未找到引用源。的平方和记为错误！未找到引用源。，表示第j个公因子错误！未找到引用源。对于X所提供方差的总和，它是衡量公因子相对重要性的指标。方差贡献率越大，表明公因子对X的贡献越大。

（3）基本分析结果

A）KMO和球形Bartlett检验用于因子分析的适用性检验。KMO检验变量间的偏相关是否较小，Bartlett球形检验是判断相关矩阵是否是单位阵，参见图3-2。

由Bartlett检验可以看出，应拒绝个变量独立的假设，即变量间具有较强的相

关性，但是KMO的统计量为0.620，小于0.7，说明个变量间信息的重叠程度可能

不是特别的高，有可能做出的因子分析模型不是很完善，但还是值得尝试的。

B）变量共同度Communalities是表示各变量中所含原始信息能被提取的公因子所表示的程度，由图3-3所示的变量共同度可知：几乎所有变量的共同度都在80%以上，因此提取出的这几个公因子对各变量的解释能力是较强的。

C）碎石图用于显示各因子的重要程度，横轴为因子序号，纵轴表示特征根大小，从中可以非常直观的了解到哪些是最主要的因子，参见图3-5。本例中可见前三个因子的散点位于陡坡之上，而后五个因子散点成了平台，且特征根均小于1，因此至多考虑前三个公因子即可。

D）图3-4给出的是各成分的方差贡献率和累计贡献率，以及进行因子旋转后的方差贡献率和累计贡献率，前者将在主成分分析中进行说明。

E）图3-6为因子载荷矩阵，在前面已经直接按列的方向将其解释为个成分的系数，实际上严格讲因子载荷矩阵应该是各因子在各变量上的载荷，即是各因子对各变量的影响度。表示如下：

ZX1=0.884F1+0.385F2+0.120F3+错误！未找到引用源。

ZX2=0.606F1-0.596F2-0.277F3+错误！未找到引用源。

ZX8=0.822F1+0.429F2-0.210F3+错误！未找到引用源。

在表达式中各变量已经不是原始变量，而是标准化变量。错误！未找到引用

源。表示特殊因子，是除了这3个公因子之外影响该变量的其他因素。原来设计

了8个指标来表示经济发展水平，但是经过因子分析后，只需要三个因子即可描

述影响地区经济发展状况。

F）为了使因子载荷矩阵中系数更加显著，可以对初始因子载荷矩阵进行转换，使因子和原始变量间的关系进行重新分配，相关系数向0-1分化，从而更加容易解释。图3-9是进行因子旋转的空间示意图，值得注意的是旋转前后各变量散点的相对位置保持不变，即旋转并不改变因子分析的整体结果，只是影响各因子在各变量上的载荷分布，并影响各因子的贡献率。本例中采用的是方差最大正

交旋转法进行因子旋转，输出的结果参见图3-4.，由图可知，只有前三个特征根大于1，因此SPSS只提取了前三个公因子。在旋转后三个公因子的方差累计贡献率均发生了变化，但仍然会保持从大到小的顺序，而且前三个因子的方差贡献率仍为89.55%，和旋转前完全相同，因此选前三个因子已足够描述经济发展的水平。

G）进行方差最大旋转后，旋转后的因子载荷矩阵如图3-7所示，由图可以看出，第一公因子在错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。有较大的载荷，主要从GDP、固定资产投资、货物周转量和工业总产值反映经济发展状况，可以命名为总量因子。第二公因子在错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。上有较大载荷，从居民消费水平和职工平均工资方面反映经济发展水平，因此命名为消费因子。第三公因子在错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。上有较大载荷，表现为居民消费价格指数和水平价格指数方面，因此命名为价格因子。与未旋转前相比较，旋转后各公因子的意义显然更加明确合理。

H）因子得分：前面得到了因子结构表达式，可以将各变量表示为公因子的线性形式，但是更多的时候需要将公因子表达为各变量的线性形式。公因子的得分系数函数不能通过矩阵变换的方法由因子载荷阵得到，只能采用估计的方法求得，本例采用的是回归法。因子得分系数矩阵如图3-10所示，据此可以直接写出各公因子的得分表达式：

F1=0.306ZX1+0.025ZX2+0.270ZX3-0.025ZX4+0.248ZX5+0.070ZX6+0.077Z X7+0.317ZX8

F2=0.011ZX1+0.387ZX2+0.129ZX3+0.451ZX4-0.319ZX5+0.180ZX6-0.098Z X7+0.026ZX8

F3=0.047ZX1+0.040ZX2+0.075ZX3+0.096ZX4-0.139ZX5+0.653ZX6+0.462Z X7+0.123ZX8

SPSS已经给出三个公因子的得分，保存在fac_1~fac_3中，按各因子对应的方差贡献率为权数计算如下综合统计量：

F=错误！未找到引用源。F1+错误！未找到引用源。F2+错误！

未找到引用源。F3

=0.730F1+0.141F2+0.129F3

在SPSS中用程序计算综合因子得分：

Comp score=0.73* fac1_1+0.141* fac2_1+0.129* fac3_1

2.主成分分析

A)由图3-1（各变量相关系数矩阵）可以看出，许多变量之间直接的相关性比

较强，的确存在信息上的重叠。