九年级秋季班第1讲：一元二次方程的概念及特殊的一元二次方程的解法-教师版(1)

一元二次方程概念及解法是九年级数学上学期第一章第一节内容，主要对一元二次方程概念和直接开平方法及因式分解法对一元二次方程进行讲解，重点是一元二次方程概念的理解，难点是开平方法及因式分解法解特殊一元二次方程．通过本节课的学习对一元二次方程有个整体的认识，为后面的解方程打下基础.1一元二次方程的概念1.1 整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式的方程叫做整式方程．1.2 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的的整式方程称作一元二次方程．2一元二次方程一般式的概念任何一个关于x的一元二次方程都可以化成()200ax bx c a++=≠的形式，这种形式简称为一元二次方程的一般式．其中2ax叫做二次项，a是二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．3一元二次方程的解能够使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解．只含有一个未知数的方程，它的解又叫做方程的根．一元二次方程概念及解法知识结构模块一：一元二次方程的概念知识精讲内容分析【例1】 下列方程中，哪些是一元二次方程？哪些不是一元二次方程．（1）20x =；（2）()()33140x x -++=；（3）()()3210x y --=；（4）42=0x x-；（5）21323x x -=；（6）20ax bx c ++=，（a b ，为已知数）； （7）2(3)(2)5x x x +-=+；（8）2(3)8(3)a x a -=≠．【难度】★【答案】（1）、（2）、（5）、（8）是一元二次方程，其余不是一元二次方程．【解析】（1）、（2）、（5）、（8）化为一般式后满足一元二次方程定义，是一元二次方程；（3）含有两个未知数，（4）是分式方程，（6）没有强调二次项系数不为0，（7） 化成一般式后，二次项抵消，是一元一次方程．故（3）、（4）、（6）、（7）不是一 元二次方程．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例2】 当k ________时，方程2(3)60k x kx --+=一元二次方程． 【难度】★ 【答案】3k ≠．【解析】令二次项系数不为0，即30k -≠，解得：3k ≠． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例3】 方程(1)(2)2x x ++=的一般形式是_______，二次项系数是________，常数项是________． 【难度】★【答案】230x x +=， 1， 0． 【解析】去括号，得：2322x x ++=，移项得：230x x +=，所以二次项系数是1，常数项是0． 【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式和各项系数的相关概念．例题解析【例4】 写出一个满足条件一次项系数是3-，且有一个根是1-的一元二次方程． 【难度】★【答案】2340x x --=等．【解析】一次项为3x -，二次项系数任意定，再把1x =-代入用常数项配凑． 【总结】本题考查了一元二次方程项与系数的相关概念以及方程的根的概念．【例5】 关于x 方程2(21)350m x mx -++=有一个根是1x =-，求m 的值． 【难度】★ 【答案】4m =．【解析】将1x =-代入的：(21)350m m --+=， 解得：4m =．【总结】本题考查了方程的解得概念．【例6】 当m 取何值时，关于x 的方程21232m mx x x mx +-=-+是一元二次方程．【难度】★★ 【答案】0或－1． 【解析】 整理得：212(3)20mmx x m x +-+--=① 212m +=时，此时原方程为：2(1)(3)20m x m x -+--=， 由21210m m ⎧+=⎨-≠⎩， 解得：1m =-；② 当211m +=时，此时原方程为：2(23)20x m x -+--=， 由211m +=，解得：0m =． 综上：10m =-或．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例7】 若关于x 的方程21(1)54aa x x +-+=．（1）方程为一元二次方程，a 的取值是？ （2）方程为一元一次方程，a 的取值是？ 【难度】★★【答案】（1）1a =-； （2）0a =． 【解析】（1）令21210a a ⎧+=⎨-≠⎩， 解得：1a =-；（2）令211150a a ⎧+=⎨-+≠⎩，解得：0a =．【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【例8】 如果关于x 方程20(0)ax b a +=≠有实数根，试确定a 、b 应满足的关系． 【难度】★★【答案】a b 、异号或0a =且0b =．【解析】（1）当0a ≠时，原方程为一元二次方程， 当a b 、异号时，原方程有实数根；（2）当0a =时，原方程为等式，当0b =时，原方程有无数解； 综上：当a b 、异号时或0a =且0b =时，原方程有实数根． 【总结】本题考查了含参数方程的分类讨论．【例9】 关于x 方程20(0)ax bx c a ++=≠满足下列两个等式成立420a b c -+=，220a b c -+=，试求方程的解．【难度】★★【答案】1222x x =-=-，【解析】由2(2)(2)0a b c -+-+=，2(2)(2)0a b c +-+=，得：原方程的解为：1222x x =-=，【总结】本题考查了方程的解得概念．【例10】 已知方程2510mx nx -+=和2340mx nx +-=有共同的根2，试求n 的值． 【难度】★★【答案】2132n =．【解析】把2x =代入得： 202104640m n m n -+=⎧⎨+-=⎩，②×5－①得：32210n -=解得：2132n =．【总结】本题考查了方程的解得概念．【例11】 若两个方程20x ax b ++=和20x bx a ++=只有一个公共根，写出a 与b 之间的关系． 【难度】★★ 【答案】1a b +=-．【解析】设这个公共根是m ，则2200m am b m bm a ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，将两个方程相减得：()()0a b m b a -+-=， 解得：1m =，将1m =代入原方程得：1a b +=-． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【例12】 若a 是方程220x x --=的一个根，则代数式2a a -的值是_______． 【难度】★★ 【答案】2．【解析】由已知，得：220a a --=， 移项，得：22a a -=．【总结】本题考查了方程的解得概念以及整体代入思想的运用．【例13】 已知关于x 的方程32310a b a b x x +-+-=是一元二次方程，求a 、b 的值． 【难度】★★★【答案】6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【解析】由已知得：2322a b a b +=⎧⎨-=⎩；2321a b a b +=⎧⎨-=⎩；2320a b a b +=⎧⎨-=⎩；1322a b a b +=⎧⎨-=⎩；0322a b a b +=⎧⎨-=⎩；解得：6545a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；11a b =⎧⎨=⎩；4565a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；4515a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；2525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【例14】 已知a 是方程220000x x --=的一个根，求代数式200032000120001a+++的值，用含a的式子表示． 【难度】★★★ 【答案】2a +．【解析】由已知，得：220000a a --=，两边同时除以a ，得：200010a a --=，20001a a∴=+． 2000320001a∴=++原式20003a =+200021a =++2a =+． 【总结】本题考查了方程的根的概念．1、特殊的一元二次方程的解法1.1、特殊的一元二次方程的解法主要有两种即直接开平方和因式分解． 1.2、因式分解法的一般步骤： ①将方程右边化为零；②将方程左边的二次三项式分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．【例15】 填空：（1） 方程2(1)4x -=的根是____________； （2） 方程280x x -=的根是____________；（3） 如果方程2()x a k -=有解，那么k _________；其解1x =________；2x =________． 【难度】★【答案】（1）1231x x ==-，； （2）1208x x ==，； （3）0≥，12x k a x k a =+=-+，． 【解析】（1）直接开平方 （2）因式分解 12x -=± (8)0x x -=① 12x -= ②12x -=- ①0x = ②80x -=∴1231x x ==-，； ∴1208x x ==，； （3）由原方程有解得：0k ≥． 直接开平方：x a k -=±① x a k -= ②x a k -=-∴12x k a x k a =+=-+，．【总结】本题考查了直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．例题解析知识精讲模块二：特殊的一元二次方程的解法【例16】 如果n 是方程20x mx n ++=的根，且0n m n ≠+，则的值是（）A ．12B ．12-C ．1D ．1-【难度】★ 【答案】D【解析】将x n =代入方程得：20n mn n ++=，即：(1)0n m n ++= ∵0n ≠， ∴10m n ++=， ∴1m n +=-， 故选择D ．【总结】本题考查了方程的解的概念．【例17】 方程：2331()()()0442x x x -+--=的较小的根是（）A ．34B ．34-C ．12D ．58【难度】★ 【答案】A【解析】提公因式，得：331()()0442x x x --+-=，整理得：35()(2)044x x --=，∴123548x x ==，，∵3548> ，故选择D ． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例18】 解关于x 的方程（用直接开平方方法）：（1）23205x -=；（2）(3)(3)9x x +-=． 【难度】★【答案】（1）123030x x =2）123232x x ==-． 【解析】（1）2325x = （2）299x -=2310x =218x = 30x = 32x =± ∴123030x x = ∴123232x x ==-． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例19】 解关于x 的方程（因式分解方法）：（1）2350x x =； （2）7(3)39x x x -=-． 【难度】★【答案】（1）1250x x =，； （2）12337x x ==，． 【解析】（1）(35)0x x -= （2）7(3)3(3)x x x -=- ①0x = ②350x = 7(3)3(3)0x x x ---= ∴1250x x ==，； (3)(73)0x x --= ① 30x -= ②730x -=∴12337x x ==，． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程．【例20】 解关于x 的方程（合适的方法 ）：（1）2110464x x -+=；（2）22(2)(12)x +=． 【难度】★★ 【答案】（1）1218x x ==；（2）121122x x ==--， 【解析】（1）因式分解法 （2）直接开方法21()08x -= 2(12)x +=±108x -= ①212x ②2(12)x -∴1218x x ==； ∴12112x x ==--， 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，注意重根的写法！【例21】 解关于x 的方程（合适的方法）：（1）236350x x +-=；（2）2(41)10(14)240x x -+--=． 【难度】★★ 【答案】（1）1235136x x ==-，； （2）1213144x x ==-，． 【解析】（1）因式分解法 （2）把41x -看作一个整体，因式分解 (3635)(1)0x x -+= 2(41)10(14)240x x ----= ①36350x -= ②10x += (4112)(412)0x x ---+= ∴1235136x x ==-，； (413)(41)0x x -+= ① 4130x -= ②410x +=∴1213144x x ==-，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意整体意识的建立．【例22】 解关于x 的方程：224329x =．【难度】★★ 【答案】13(32)x -=，23(32)x -=． 【解析】直接开平方：2(32)3x =±① 2(32)3x = ②2(32)3x =-解得：13(32)x -=，23(32)x -= ． 【总结】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．【例23】 解关于x 的方程：（1）22220x ax a b -+-=； （2）22222()4()0a b x abx a b ----= （3）222210m x mx x mx -+-+=． 【难度】★★★【答案】 （1）1x a b =+，2x a b =-； （2）当a b ≠时，1a b x a b +=-，2a bx a b-=-+； 当0a b =±≠时， 0x =；当0a b ==，原方程有无数解；（3）当01m m ≠≠且时，11x m =，211x m =-；当0m =时，1x =-； 当1m =时，1x =． 【解析】（1）22220x ax a b -+-=， [()][()]0x a b x a b -+--=， ∴1x a b =+，2x a b =-；（2）①当220a b -≠即a b ≠时，原方程是一元二次方程 22222()4()0a b x abx a b ----= [()()][()()]0a b x a b a b x a b --+++-= ∴1a b x a b +=-，2a bx a b-=-+； ②当220a b -=且0ab ≠时，即0a b =±≠时，原方程是一元一次方程0x =；③当0a b ==，等式恒成立，原方程有无数解； 综上：当a b ≠时，1a b x a b +=-，2a bx a b-=-+； 当0a b =±≠时， 0x =； 当0a b ==，原方程有无数解； （3）整理得：22()(12)10m m x m x -+-+=① 当20m m -≠即01m m ≠≠且时，原方程是一元二次方程1(1)1mx m x---[1][(1)1]0mx m x ---= ∴11x m=，211x m =-；②当0m =时，原方程为：10x +=，解得：1x =-； ③当1m =时，原方程为：10x -+=，解得：1x =； 综上：当01m m ≠≠且时，11x m=，211x m =-；当0m =时，1x =-； 当1m =时，1x =；【总结】本题考查了含参数一元二次方程的解法，一定要分类讨论！是一元二次方程时，一般利用因式分解法．【例24】 已知关于x 的一元二次方程22(2)320m x x m ++-=的一个根为0，求m 的值． 【难度】★★ 【答案】2m =-【解析】由已知得：20m ，即2m ； 将0x =代入，得：220m -= 解得：2m =±． 又2m ≠ ∴2m =-【总结】本题考查了方程解得概念及一元二次方程的概念，对于二次项系数是参数的一元二次方程首要考虑的是二次项系数不为0，再根据题意进行计算．【例25】 解关于x 的方程：（1）20(0)ax c a -=≠；（2）25||60x x --=．【难度】★★★【答案】（1）当a c 、同号时，12ac acx x == 当a c 、异号时，原方程无解； （2）1266x x ==-，．【解析】（1）移项得：2ax c = （2）把x 看成一个整体，则： ∵0a ≠ 2560x x --= ∴2cx a=(6)(1)0x x -+= 当a c 、同号时，12ac acx x = ∵10x +> ∴60x -= 当a c 、异号时，原方程无解； ∴1266x x ==-，． 【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法．【例26】 解关于x 的方程：222()(1)()0()a b x a b x a b a b ---+++=≠． 【难度】★★★【答案】121x x a b a b==+-，．【解析】∵a b ≠，原方程是一元二次方程；222()(1)()0()a b x a b x a b a b ---+++=≠ [()1][()]0a b x x a b ---+=∴121x x a b a b==+-，． 【总结】本题考查了含参的一元二次方程的解法，多利用因式分解法，个别不能用因式分解法进行求解的题目可以尝试我们下节课学习的求根公式法．【例27】 方程2(2016)2015201710x x -⋅-=的较大的根是a ，方程2201620170x x --=的较小的根为b ，求代数式2017()a b +的值． 【难度】★★★ 【答案】0．【解析】2(2016)2015201710x x -⋅-= 2201620170x x --= 222016(20161)(20161)10x x --+-= 20171x x-2222016(20161)10x x ---= (2017)(1)0x x -+= 2(20161)(1)0x x +-=∴1220171x x b ==-=，；∴122112016x x a =-==，； ∴2017()0a b +=．【总结】本题考查了特殊一元二次方程的解法，要从系数中找寻规律进行求解．【习题1】 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）．A ．10x x -= B ．210x x ++= C ．211x x ++=D ．221x x x +=-【难度】★ 【答案】B【解析】A 选项是分式方程；C 选项等号左边不是整式，不是一元二次方程，是下学期将会 学到的无理方程；D 选项化简后为10x +=是一元一次方程；故选择B 选项． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题2】 关于x 的方程2(3)10m x mx +-+=是不是一元二次方程？ 【难度】★ 【答案】不一定．【解析】当30m +≠即3m ≠-时，原方程是一元二次方程； 当30m +=即3m =-时，原方程是一元一次方程． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【习题3】 已知关于x 的方程2(21)4(1)0k x kx k +-+-=，当k ________时，此方程为一元二次方程，它的二次项系数是______，一次项是____________，常数项是___________． 【难度】★【答案】121412k kx k ≠-+--；；；．【解析】略．【总结】本题考查了一元二次方程的概念，注意写项和系数时要带着前面的符号．随堂检测【习题4】 若方程2()0x a b -+=有解，则b 的范围是_______． 【难度】★ 【答案】0b ≤．【解析】移项，得：2()x a b -=-， 由方程有解，得：0b -≥，∴0b ≤． 【总结】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程有实数解的条件．【习题5】 关于x 的方程20x nx m ++=两根中只有一个根为0，则下列条件正确的是（）．A ．00m n ==，B ．00m n =≠，C ．00m n ≠≠，D ．00m n ≠=，【难度】★★ 【答案】B【解析】将0x =代入，得：0m =当00m n ==，时，120x x ==，与题意矛盾， 故00m n =≠，，选择B ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题6】 方程2243x x a ==与的解相同，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】12．【解析】由已知得两个方程是同一个方程，将24x =左右两边同时乘以3，得：2312x =， ∴12a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题7】 用指定的方法解下列方程：（1）22936364(1)x x x -+=+（直接开平方）； （2）20ax abx bc cx --+=（0a ≠）（因式分解）． 【难度】★★【答案】（1）12485x x ==， ；（2）12cx x b a=-=， ． 【解析】（1）29(44)4(1)x x x -+=+ （2）∵0a ≠,原方程为一元二次方程 229(2)4(1)x x -=+ 整理得：2()0ax ab c x bc ---= 3(2)2(1)x x -=±+ax c xb-① 3(2)2(1)x x -=+ ②3(2)2(1)x x -=-+ ()()0ax c x b +-= 解得：12485x x ==，； 解得：12cx x b a=-=，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【习题8】 用适当的方法解下列方程：（1）22(2)(12)x +=； （2）2x x =； （3）(3)(1)5x x +-=；（4）2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠． 【难度】★★【答案】（1）121221x x =-=-； （2）1201x x ==，； （3）1242x x =-=，； （4）121c bx x b a-==-，． 【解析】（1）2(12)x ±- （2）20x x -=① 212x ②2(12)x - ， (1)0x x -=，解得：121221x x =-=-； 解得：1201x x ==，；（3）整理得：2235x x +-= （4）∵a b ≠原方程是一元二次方程， 2280x x +-=， 2()()0()b a x a c x c b a b -+-+-=≠， (4)(2)0x x +-=，()()1b a xc b x----解得：1242x x =-=，； [()()](1)0b a x c b x ----=， 解得：121c bx x b a-==-，． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，注意方法的恰当选择．【习题9】 已知方程22310250ax bx ax bx --=+-=和有共同的根是1-，求a 的值． 【难度】★★ 【答案】1a =．【解析】将1x =-代入，得：310250a b a b +-=⎧⎨--=⎩，① ×2+②，得：770a -=， 解得：1a =．【总结】本题考查了方程的解的概念．【习题10】 解关于x 的一元二次方程：22(2016)(2015)1x x -+-=． 【难度】★★★【答案】1220162015x x ==，．【解析】移项，得：22(2016)1(2015)x x -=--，2(2016)[1(2015)][1(2015)]x x x -=+---， 2(2016)(2014)(2016)x x x -=--， 2(2016)(2014)(2016)0x x x ----=， (2016)(40302)0x x --=， 解得：1220162015x x ==，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解．【习题11】 已知：若2242350a a b b c -+-+-=成立，求方程20ax bx c +=的解． 【难度】★★★【答案】12312x x =-=，．【解析】由已知，得：22(2)(1)30a b c -+-+-=，∴213a b c ===，，． 则原方程为：2230x x +-=，分解因式，得： (23)(1)0x x +-=．解得原方程的解为：12312x x =-=，．【总结】本题考查了几个非负数的和为零的应用和一元二次方程的解法．【习题12】 已知关于x 的方程20ax bx c ++=,20bx cx a ++=和20cx ax b ++=有一个公共根，求证：这个公共根只能是1． 【难度】★★★ 【答案】略．【解析】设这个公共根是m ，则222000am bm c bm cm a cm am b ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩将三个方程相加得：2()()()0a b c m a b c m a b c ++++++++=， 则2()(1)0a b c m m ++++=．∵22131()024m m m ++=++>，∴0a b c ++=， 即2110a b c ++=， ∴这个公共根只能是1．【总结】本题综合性较强，主要考查了几个方程的公共根的概念及应用．【作业1】 下列方程中不一定是一元二次方程的是（）．A ．2(3)8(3)a x a -=≠B ．20ax bx c ++=C ．(3)(2)5x x x +-=+D ．2332057x x +-= 【难度】★ 【答案】B【解析】A 、C 、D 选项均符合定义，B 选项中未强调二次项系数不等于0，故选择B ． 【总结】本题考查了一元二次方程的概念．【作业2】 （1）三个连续自然数，前两个数的平方和等于第三个数的平方，设中间一个为x ，根据题意可列方程，化成一般形式为_______________；（2）关于x 的方程2(3)(4)ax bx c x x ++=-+是恒等式，则a b c ++=____________． 【难度】★【答案】（1）222(1)(1)x x x -+=+； 240x x -=； （2）－10．【解析】（1）根据题意得：222(1)(1)x x x -+=+ 化简，得：240x x -=；（2）化简得：2(1)(1)(12)0a x b x c -+-++= 由题意，得：1112a b c ===-，，， ∴10a b c ++=-．【总结】本题考查了一元二次方程的一般形式及应用．课后作业【作业3】 方程22(2)0p x px q -++=是一元二次方程成立的条件是（）．A ．2p ≠B ．2p ≠C ．2p ≠±D ．0p =【难度】★ 【答案】C【解析】令220p -≠，解得：2p ≠． 【总结】本题考查了一元二次方程成立的条件．【作业4】 如果方程2(1)0x m x m -++=的两个根互为相反数，那么有（）．A ．0m =B ．1m =-C ．1m =D ．以上结论都不对【难度】★★ 【答案】B【解析】①当120x x ==时，代入得：0m =，此时方程为：20x x -=， 方程的解为1210x x ==，，前后矛盾；② 设方程的根为12x a x a ==-，，（0a ≠）代入得：22(1)0(1)0a a m m a a m m ⎧-++=⎪⎨+++=⎪⎩将两个方程相减得：2(1)0a m +=，∵0a ≠， ∴10m +=． 解得：1m =-．【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业5】 若方程20(0)ax bx c a ++=≠中，a b c 、、满足00a b c a b c ++=-+=和，则方程的根是（ ）． A ．1，0 B ．-1，0 C ．1，-1 D ．无法确定【难度】★★ 【答案】C【解析】由已知得：22110(1)(1)0a b c a b c ⎧++=⎪⎨-+-+=⎪⎩，1211x x ∴==-，，故选择C ． 【总结】本题考查了方程的解的概念．【作业6】 用合适的方法解下列关于x 的方程：（1）2(12)(32)20x x +-+=； （2）(7)(3)(1)(5)38x x x x -++-+=； （3）2(35)5(35)40x x +-++=； （4）2220()x ax a a +-=为已知常数． 【难度】★★【答案】（1）12212x x ==， （2）124242x x ==-；（3）124133x x =-=-，； （4）122x a x a =-=，． 【解析】（1）2(12)(32)20x x -++=， （2）整理得：22640x -=， [(12)1](2)0x x +--=， 232x =，解得：12212x x ==， 解得：12422x x ==-；（3）2(35)5(35)40x x +-++= （4） 2220()x ax a a +-=为已知常数351354x x +-+-2x a xa-(351)(354)0x x +-+-=， (2)()0x a x a +-=解得：124133x x =-=-，； 解得：122x a x a =-=，．【总结】本题考查了一元二次方程的解法．【作业7】 若1x =是方程22250x x n ++-=的一个根，求n 的值． 【难度】★★ 【答案】2n =【解析】将1x =代入得：21250n ++-=， 解得：2n = 【总结】本题考查了方程的根的概念．【作业8】 解关于x 的方程：22222(232)(1)(1)x x a x b ab x --+-=+． 【难度】★★★【答案】 ①当2b a b a ≠-≠且时，122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ②当20b a =-≠时，43x =； ③ 当0b a =≠时，23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解．【解析】整理得：222222(2)3(2)0a ab b x a x a ab b ----+-=2a b ab-2a b ab-22(2)()3(2)()0a b a b x a x a b a b +----+=；①当(2)()0a b a b +-≠时，即2b a b a ≠-≠且时，原方程为一二次方程，(2)()()(2)a b x a b a b x a b ++---[(2)()][()(2)]0a b x a b a b x a b +++---= 解得：122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ②当20b a =-≠时，原方程为22340a x a -+=，解得：43x =； ③当0b a =≠时，原方程为22320a x a --=，解得：23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解；综上：①当2b a b a ≠-≠且时，122,2a b a bx x a b a b+-=-=-+-； ② 20b a =-≠时，43x =； ③当0b a =≠时，23x =-；④当0b a ==时，原方程有无数解． 【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．【作业9】 设()21200x x ax bx c a ++=≠、是方程的两根，求3322121212()()()a x x b x x c x x +++++的值．【难度】★★★ 【答案】0．【解析】由已知得：2112220ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，原式=3232111222()()ax bx cx ax bx cx +++++ =22111222()()x ax bx c x ax bx c +++++ =0．【总结】本题考查了方程的解得概念．【作业10】 已知实数221428x y x xy y y xy x ++=++=、满足：，，求代数式x y +的值． 【难度】★★★【答案】67x y +=-或．【解析】将两个方程相加得：22242x xy y x y ++++= 整理得：2()()420x y x y +++-=67x y x y+-+(6)(7)0x y x y +-++= 解得：67x y +=-或． 【总结】本题考查了特殊方程的解法．【作业11】 当m 、n 为何值时，关于x 的方程212(1)230m n m x x +--++=是一元二次方程．【难度】★★★【答案】14m n =⎧⎨=⎩；13m n =-⎧⎨=⎩；12m n =-⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩．【解析】由已知得：2122210m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪+≠⎩；2122110m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪-≠⎩；2122010m n m ⎧+=⎪-=⎨⎪-≠⎩；21122m n ⎧+=⎨-=⎩；21022m n ⎧+=⎨-=⎩；解得：14m n =⎧⎨=⎩；13m n =-⎧⎨=⎩；12m n =-⎧⎨=⎩；04m n =⎧⎨=⎩；（第五个方程组无解）【总结】本题考查了含参方程的分类讨论．。