整式的乘除知识点及题型复习.
整式的乘除知识点及题型复习
整式的乘除知识点及题型复习整式是数学中一个重要的概念，它是由常数和变量通过加法、减法和乘法相连接得到的表达式。
在代数学习中，乘法和除法是我们需要掌握和熟练运用的基本运算。
在本篇文章中，我们将复习整式的乘除知识点，并通过一些典型题型来巩固对这些知识的理解和应用。
首先，我们来回顾一下整式的基本概念。
整式由常数项、一次项、二次项等组成，例如3x^2 + 2xy - 5。
其中，3x^2是二次项，2xy 是一次项，-5是常数项。
乘法是整式中最常见的运算之一，下面让我们来看一些乘法的知识点。
1. 乘法法则：a) 常数的乘法：常数与整式相乘，只需将常数与整式中的每一项相乘即可。
例如：2 * (3x^2 + 2xy - 5)= 6x^2 + 4xy - 10b) 变量的乘法：变量与整式中的每一项相乘时，注意指数相加。
例如：x * (3x^2 + 2xy - 5)= 3x^3 + 2x^2y - 5xc) 整式之间的乘法：将整式中的每一项与另一个整式中的每一项相乘，然后将结果相加。
例如：(3x^2 + 2xy) * (4x + 2y)= 12x^3 + 6x^2y + 8xy^2 + 4y2. 乘法题型复习：a) 计算乘法表达式：计算给定的乘法表达式的值。
例如：计算表达式3x^2y * 2xy的值。
解答：3x^2y * 2xy = 6x^3y^2b) 多项式乘法：将两个多项式相乘。
例如：根据乘法法则，计算(2x + 3y) * (3x - 4y)的值。
解答：(2x + 3y) * (3x - 4y) = 6x^2 - 8xy + 9xy - 12y^2= 6x^2 + xy - 12y^2现在，让我们转向整式的除法知识点。
除法是整式中另一个重要的运算，下面是一些我们需要了解的知识点。
1. 除法法则：a) 普通除法：将除数的每一项与被除数的每一项进行相除，然后整理得到商和余数。
例如：(6x^3 + 4x^2 - 2x) ÷ (2x)= 3x^2 + 2x - 1b) 二项式除法：使用二项式长除法的方法，将除数的第一项与被除数的第一项进行相除，然后再将所得商乘以除数，得到一个中间结果，接着用这个中间结果去减除数的乘积，得到一次项。
(完整word版)整式的乘除知识点及题型复习
的长方形,则需要A类卡片________张,B类卡片_______张，C类卡片_______张.
解析：因式分解的一般步骤是：若多项式的各项有公因式，就先提公因式，然后观察剩下因式的特征,如果剩下的因式是二项式，则尝试运用平方差公式；如果剩下的因式是三项式，则尝试运用完全平方公式继续分解。
1、
2、已知 ，求 的值。
3、
三、课后作业
1、 （1） （2）
（3） (4） （运用乘法公式）
2、（5分）先化简，再求值: ，其中 .
所以：
练习：
1、已知 与 的和是单项式,则 的值是______.
经典题目：
1、已知整式 ,求 的值。
考点2、整式的乘法运算
例:计算： =．
解： ＝ ＝ .
练习：
8、若 ，求 、 的值。
9、已知 ， ，则 的值为（ ）。
A． B． C． D．
10、代数式 的值（ )。
A．只与 有关 B．只与 有关
C．与 都无关 D．与 都有关
考点4、利用整式运算求代数式的值
例:先化简，再求值： ，其中 ．
分析:本题是一道综合计算题，主要在于乘法公式的应用。
解：
当 ， 时， 。
1、 ，其中 ， .
2、若 ,求 、 的值.
3、当代数式 的值为7时,求代数式 的值.
4、已知 ， ， ，求：代数式 的值.
5、已知 时，代数式 ，求当 时，代数式 的值。
练习：
1、已知一个多项式与单项式 的积为 求这个多项式。
2、已知一个多项式除以多项式 所得的商式是 ，余式是 ，求这个多项式。
方法总结:①乘法与除法互为逆运算.
第02讲 整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)
第02讲整式的乘除法1.掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。
知识点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．知识点4：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点5：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是．【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝．【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝．【变式1-3】（2023春•新城区校级期末）＝．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【变式2-3】（2022春•平桂区期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，求n m的值．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若的积中不含x项与x2项．（1）求p、q的值；（2）求代数式p2022q2023的值．【题型5多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【变式5-1】（2023春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2．（1）请通过计算比较S1与S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数．【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填写到横线上）；（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；（3）利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【题型6单项式除法运算】【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝．【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝．【变式7-4】（2023•城阳区三模）＝．【题型7多项式除法运算】【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【变式8-2】（2023春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6B．7C．8D．9 2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a 3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab 4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2 5．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x 4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6b2C．a2+5b2D．a2+6b2 5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p 6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分别是（）A．4，﹣3B．﹣7，4C．﹣5，18D．4，7 7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不含x2项，则a的值是（）A．2B．C．0D．﹣2 8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣5C．5D．1 9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：（1）x2•（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）•．10．（2022秋•河北区期末）计算：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）12．（2022春•临湘市校级月考）计算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．13．（2022秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．。
整式的乘除知识点及题型复习
举例说明：如单项 式x^2除以多项式 2x-1，结果为 (x^2)/(2x1)=x+1
除法运算顺序：按照从左到 右的顺序进行除法运算，注 意先处理括号内的内容
除法法则：类似于多项式乘 法，将除法转化为乘法，然 后利用乘法法则进行计算
除法结果的化简：将除法结 果化简到最简形式，注意约
分和合并同类项
除法运算的注意事项：注意 处理符号和运算优先级的问
添加标题
解析：根据速度、时间和距离的关系，速度=距离/时间，所以时间=距离/速度。将已知数值代入公式，得到时间=100千米 /80千米/小时=1.25小时。
添加标题
题目：一架飞机以每小时800千米的速度从甲地飞往乙地，飞行了3小时后，发现方向有误，于是立即改变航向，并以每小时 1000千米的速度飞行了4小时，求飞机到达乙地所需的总时间。
项式。
整式除法的结 果仍为一个多 项式，其各项 系数和次数与 被除式相同。
整式除法的一 般形式为：被 除式=除式×商
式+余式。
在整式除法中， 需要注意除数 不能为0，且各 项系数和次数 必须符合数学
规则。
定义：将一个单项式除以另一个单项式的商称为单项式除以单项式。
运算法则：与单项式乘法类似，按照系数、字母因子的指数分别相除，对于只在被除式 中出现的字母因子，连同其指数一起作为商的一个字母因子。
定义：两个多项式相乘，将一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项 相乘，再将所得积相加。 举例：$(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2$
公式：$(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$
注意事项：注意乘法分配律的应用，以及合并同类项时的符号问题。
整式的乘除(重点、难点、考点复习总结)
整式的乘除（重点、难点、考点复习总结）1．知识系统总结2．重点难点易错点归纳（1）几种幂的运算法则的推广及逆用例1：（1）已知52x=4,5y=3,求(53x)2; 54x+2y-2练习：1. 已知a x=2,a y=3, a z=4求a3x+2y-z（2）46×0.256= （-8）2013×0.1252014 =（2）同底数幂的乘除法：底数互为相反数时如何换底能使计算简便判断是否同底：判断底数是否互为相反数：看成省略加号的和，每一项都相反结果就互为相反数换底常用的两种变形：例2：（1）-x7÷（-x）5·（-x）2 (2)(2a-b)7·（-b+2a）5÷（b-2a）8（3）区分积的乘方与幂的乘方例3：计算（1）（x3）2 (2) (-x3）2 (3)（-2x3）2（4）-（2x3）2（4）比较法：逆用幂的乘方的运算性质求字母的值（或者解复杂的、字母含指数的方程）例4：（1）如果2×8n×16n=28n ,求n的值（2）如果（9n）2=316，求n的值（3）3x=,求x的值（4）（-2）x= -,求x的值（5）利用乘方比较数的大小指数比较法：833，1625, 3219底数比较法：355,444,533乘方比较法：a2=5,b3=12，a>0,b>0,比较a,b的大小比较840与6320的大小（6）分类讨论思想例6：是否存在有理数a，使（│a│-3）a =1成立，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由整式的乘法（1）计算法则明确单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式的计算法则，尤其注意符号的问题，结果一定要是最简形式。
单项式乘以多项式、多项式乘以多项式最终都是要转化为单项式乘以单项式，通过省略加号的和巧妙简化符号问题。
【例1】计算：（1）(-3x2y)(-xz4)(-2y3zt) (2)-5x n y n+2(3x n+2y-2x n y n-1+y n) （3）（-x+2）(x3-x2)练一练：先化简再求值：[xy(x2-3y)+3xy2](-2xy)+x3y2(2x-y),其中x=-0.25,y=4(2)利用整式的乘法求字母的值①指数类问题：②系数类问题：【例2】已知-2x3m+1y2n与7x m-6y-3-n的积与x4y是同【例3】在x2+ax+b与2x2-3x-1的积中，x3项项，求m与n的值的系数为—5，x2项的系数为-6，求a,b的值（3）新定义题【例4】现规定一种新运算：a*b=ab+a-b，其中a,b为有理数，则（a*b）+[(b-a)*b]=练一练：现规定一种新运算：a※b=ab+a-b，其中a,b为有理数，计算：[（m+n）※n]+[(n-m)※n] 课后提升：1.（-0.7×104）×（0.4×103）×（-10）=2.若（2x-3）（5-2x）=ax2+bx+c,则a= ,b=3.若（-2x+a）(x-1)的结果不含x的一次项，则a=4.计算：(1)（-5x-6y+z）(3x-6y) (2)-2xy(x2-3y2)- 4xy(2x2+y2)平方差公式（1）公式：（a+b）(a-b)=a2-b2注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式，只要不是单独的数字或字母，写成平方的差时都要加括号公式的验证：根据面积的不同表达方式是验证整式乘法公式常用的方法(2)平方差公式的不同变化形式【例1】计算下列各式：（1）（-5x+2y）(-2y-5x)= （2）（2a-1）(2a+1)(4a2+1)=（3）20132-2012×2014 =练一练：1、（2y-x-3z）(-x-2y-3z)=2、99×101×10001=3、 3×（22+1）×（24+1）×（28+1）×…×（232+1）+1=（3）平方差公式的逆用【例2】∣x+y-3∣+(x-y+5)2=0,求3x2-3y2的值练一练：已知实数a,b满足a+b=2，a-b=5，求（a+b）3（a-b）3的值.课后提升：1.已知下列式子：①（x-y）（-x-y）；②（-x+y）(x-y)；③（-x-y）（x+y）；④（x-y）（y-x）.其中能利用平方差公式计算的是2.(-a-3)( )=9-a23.如果a2-2k=(a-0.5)（a+0.5），那么k=4.为了美化城市，经统一规划，将一正方形的南北方向增加3米，东西方向缩短3米，将改造后的长方形草坪面积与原来的正方形草坪面积相比（）A.增加6平方米B.增加9平方米C.减少9平方米D.保持不变5.解方程：（3x+4）（3x-4）=9（x-2）26.计算：（2+1）×（22+1）×（24+1）×…×（22014+1）完全平方公式（1）公式：（a±b）2=a2±2ab +b2首平方，尾平方，2倍乘积放中央，同号加，异号减注意：公式中的a,b既可以是具体的数字，也可以是单项式或多项式【例1】计算下列各式：（2x-5y）2 = (-mn+1)2 =(-t2-2)2=（2）完全平方公式的推广应用①直接推广②间接推广【例2】计算（a-2b+3c)2【例3】已知x+y+z=10,xy+xz+yz=8,求x2+y2+z2的值（3）利用完全平方公式求字母的值【例4】两数和的平方的结果是x2+(a-1)x+25,则a的值是（）A.-9B.1C.9或-11D.-9或11（4）利用完全平方公式进行简化计算【例5】计算：（1）1992 （2）3.012（5）完全平方公式的变形应用【例6】（1）已知m+n=7,mn=10,求8m2+8n2的值（2）已知（x+y）2=16,(x-y)2=4,求xy的值课后提升：1.下列展开结果是2mn-m2-n2的式子是（）A.（m+n）2B.(-m+n)2C.-(m-n)2D.-(m+n)22.(x+2y-z)2=3.若∣x+y-7∣+(xy-6)2=0,则3x2+3y2=4.若代数式x2+3x+2可以表示为 (x-1)2+a（x-1）+b的形式，则a+b的值是5.计算：（2x-y）2（2x+y）2整式的除法（1）计算法则整式乘法的逆运算，可以互相验证。
第12章整式的乘除知识点复习总结
第 12 章整式的乘除知识点复习总结★第 12 章 整式的乘除知识点★★1.同底数幂的乘法公式为: a m a n a mn m、n均为正整数即:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. 注意:（1）本公式可以反向利用,即: a mn a m a n m、n均为正整数有关的重要结论（2）AnAn n为偶数 Ann为奇数;（3） ABnB BAn (n为偶数）. An (n为奇数）★2.幂的乘方公式为: am n amn (m、n为正整数）即,幂的乘方,底数不变,指数相乘. （1）公式可以反向利用,即: amn am n (m、n为正整数)（2）重要结论: am n an m amn (m、n为正整数)（3）公式可推广:1 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结 am n p amnp (m、n、p为正整数）★3.积的乘方公式为:abn anbn (n为正整数)即积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. （1）公式可推广:abcn anbncn (n为正整数)（2）公式可以反向使用,用于某些简便运算的题目.anbn abn anbncn abcn (n为正整数)（3）说明:在反向利用积的乘方公式时,可以把两个指数的最大公约 数给提出来.注意: a bn an bn (n为正整数),如a b2 a2 b2 .★4.同底数幂的除法公式: am an amn (m、n为正整数,且m n,a 0)即同底数幂相除,底数不变,指数相减. （1）是被除数的指数减去除数的整数. （2）公式可以改写为:am amn (m、n为正整数,且m n,a 0) an （3）当 m n时, am an a0 1. 记住:任何不等于 0 的数的 0 次方都等于 1. 0 的 0 次方没有意义. 底数既可以是数字、字母,也可以是单项式或多项式.2 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结例题 LITI● 例 1.计算: 22011 . 22012 分析 给出最详细的过程.●例 2.计算 a 3 2a 3 分析 a 3与2a 3 是同类项解:原式 22011 220111 1 22011 2 22011 22011 1 2 22011●例 3.计算: a6 a4解:原式 3a3分析 本题为易错题,没有得到最终的结果.解:原式 a2 （有些学生的结果到此为止） a2 （这才是最终的结果）.●例 4.已知 22n1 4n 48,求 n的值.分析 本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解: 22n1 4n 48 2 22n 22 n 482 22n 22n 4822n 2 1 4822n 3 48 22n 16 22n 24∴ 2n 4,n 2. ● 例 5.已知 4 8t 16t 24 4 , 求 t 的值.3 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结例题 LITI● 例 1.计算: 22011 . 22012 分析 给出最详细的过程.●例 2.计算 a 3 2a 3 分析 a 3与2a 3 是同类项解:原式 22011 220111 1 22011 2 22011 22011 1 2 22011●例 3.计算: a6 a4解:原式 3a3分析 本题为易错题,没有得到最终的结果.解:原式 a2 （有些学生的结果到此为止） a2 （这才是最终的结果）.●例 4.已知 22n1 4n 48,求 n的值.分析 本题具有一定的难度,要求学生对所学的公式结论深刻掌握.解: 22n1 4n 48 2 22n 22 n 482 22n 22n 4822n 2 1 4822n 3 48 22n 16 22n 24∴ 2n 4,n 2. ●例 5.已知 4 8t 16t 24 4 , 求 t 的值.4 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结★5.整式的乘法 整式的乘法运算有三种:（1）单项式·单项式;（2）单项式·多项式;（3）多项式·多项式. 单项式·单项式 系数与系数相乘,同底数幂相乘,单独的幂保留. （1）注意两个用科学记数法表示的数相乘 （2）在计算时要用到同底数幂的乘法公式. 其他两种运算的进行都需要将运算转化为单项式·单项式,然后再把所 得的积相加,还要用到乘法分配律,注意符号的改变.在进行多项式·多 项式时,还要注意合并同类项. 单项式与多项式相乘,将单项式分别乘以多项式的每一项,再将所得的 积相加. 运算的结果可以按某个字母的降幂顺序排列.●6.计算: 3 108 5 102 . 解: 3 108 5 102 3 5 108 102 15 1010 1.5 1011 两个重要的结论: （1）多项式相等的问题 如果两个多项式相等,则它们对应的系数相等.5 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结A D如若Ax2BxCDx2ExF,则有 BE.C F（2）多项式中不不含某一项的问题如果一个多项式中不不含某项,则该项系数等于 0（合并同类项之后的系数）.★6.平方差公式 即两数和乘以这两数的差a ba b a 2 b2这就是说,两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.说明: （1）该公式可以简化某些多项式乘以多项式的运算,也可以实现某些有理数运算的简便运算.（2）该公式可以反向利用,即逆用.（3）反向利用平方差公式可以用于分解因式.●例 7.计算 2x 3 y2 2x 3 y2 . 解:原式 2x 3 y 2x 3 y2x 3 y2x 3 y 2x 3 y 2x 3 y2x 3 y 2x 3 y 4x 6y 24xy ●例 8 平方差公式用于分解因式分解因式: 1 m 2 1 n2 . 49解:原式 1 m2 1 n2 4 9 6 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结 1 22m 1 3n2 1 m 1 n 1 m 1 n 2 3 2 3 ●例 9 某些题目无法直接使用平方差公式,需要对所给的式子变形处理之后才可以使用（即创造条件使用平方差公式）.计算:a b ca b c.解:原式 a b ca b c a 2 b c2 a 2 b2 2bc c2 a 2 b2 c 2 2bc●例 10 多项式相等的问题已知 x 3 6x 2 11x 6 x 1x 2 mx n,求 m、n的值. 解: x 3 6x 2 11x 6 x 1x 2 mx nx 3 6x 2 11x 6 x 3 mx 2 nx x 2 mx n x3 6x2 11x 6 x3 m 1x2 n mx nm 1 6 ∴ n m 11 n 67 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结解之得:m 5 n 6.●11.多项式中不不含某一项的问题已知 x2 ax 8x2 3x b 的乘积中不含 x 2 项和 x 3 项,求 a、b 的值.解: x2 ax 8x2 3x b x4 3x 3 bx2 ax3 3ax2 abx 8x 2 24x 8b x4 3 ax3 b 3a 8x2 24x 8b∵该乘积中不含 x 2 项和 x 3 项∴ b3 a 0 3a 8 0解之得:a b 3 1.●例 12 反向利用平方差公式的问题计算:x 12 x 12 .分析 反向利用积的乘方公式和平方差公式可方便地解决问题.解: x 12 x 12 x 1x 12 x 2 12 x4 2x2 1●例 13 一道综合题探索下面的问题:8 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结（1）x 1x 1 __________;x 1x2 x 1 __________; x 1x3 x2 x 1 __________; x 1 x 2012 x 2011 x 2010 x 1 __________.（2）请你用上面的结论计算: 22012 22011 22010 2 1. 解:（1） x 2 1; x 3 1; x 4 1; x 2013 1. （2） 22012 22011 22010 2 1 2 1 22012 22011 22010 2 1 22013 1 ★7.平方差公式的图形证明:★8.完全平方和公式的图形证明:★9.完全平方公式 完全平方公式有两个:完全平方和公式与完全平方差公式. 完全平方和公式:9 / 14第 12 章整式的乘除知识点复习总结a b2 a2 2ab b2完全平方差公式:a b2 a2 2ab b2两个公式可以合记为:a b2 a2 2ab b2说明: （1）公式里面的 a2、b2 叫做完全平方项,习惯上将它们放在公式的两 边,将乘积的 2 倍放中间. （2）两个公式的惟一区别在于一个是加上乘积的 2 倍,另一个是减去 乘积的 2 倍. （3）两个公式可以相互转化. （4）反向利用完全平方公式可以用于分解因式,是公式法里面的两个 非常重要且常用的公式. （5）有关的重要结论:a2 b2 a b2 2aba2 b2 a b2 2aba b2 a b2ab 4（6）完全平方式的判断 判断所给的多项式是不是完全平方式只需 要判断两个完全平方项所对应的数或式子的 2 倍是否等于多项式的10 / 14第三项（或第三项的相反数）即可,若等于,则是;若不等于,则不是.（7）配方法 配方法是一种很重要的解决问题的方法,可以用来分解因式、解方程（如在九年级要学习的解一元二次方程）等.把题目所给的多项式进行变形、拆项等处理,使多项式中出现完全平方式的过程,叫做配方,利用配方来解决问题的方法就叫做配方法.●例14.若()25422+++x a x 是完全平方式,则=a ________.分析: 根据完全平方式的判断方法,两个完全平方项2x 与25所对应的5与x 的乘积的2倍,应等于()x a 42+±.所以()x a x 4210+±=,解得 1=a 或9-=a .注意本题有两种情况,两种结果.●例15 体验配方法的一种应用当a 为何有理数时,二次三项式5422+-a a 有最小值?最小值是多少? 解:5422+-a a()()31231223242222+-=++-=++-=a a a a a∵()012≥-a ∴()33122≥+-a ,此时1=a .（小说明:即当1=a 时取等号） ∴该多项式的最小值为3.●例16 .配方法的应用求证:多项式64222++-+b a b a 的值总是正数.说明 这是我们做过的一道选择题改编而来.证明: 64222++-+b a b a()()()()121144122222+++-=+++++-=b a b b a a （○小○说○明:这里完成了配方）∵()()02,0122≥+≥-b a ∴()()112122≥+++-b a ∴多项式64222++-+b a b a 的值总是正数.●例17.若()222963n mn m n km +-=+,则k 的值为________. 分析 利用完全平方和公式把等式的左边展开,再根据两个多项式相等的结论即可解决本问题.本题属于易错题.解: ()222963n mn m n km +-=+ 222229696n mn m n kmn m k +-=++∴1,12±==k k ,但1=k 不符合题意,舍去,所以1-=k .●例18 完全平方公式的结论的应用已知0142=+-m m ,求221m m +的值. 分析 利用结论:()ab b a b a 2222-+=+解: 0142=+-m m41414122=+=+=+mm mm m m m mm ∴221mm +14242122=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=m m●例19 完全平方公式用于分解因式分解因式:1242--x x .解:原式16442-+-=x x()()()()()()624242424442222-+=--+-=--=-+-=x x x x x x x 说明:当然,这里还用到了配方法和其它的公式.●例20.已知ab b a b a 412222=+++,求22b a +的值. 解: ab b a b a 412222=+++()()()()01021204122222222=-+-=+-++-=-+++b a ab bab a ab ab ab b a ab∴⎩⎨⎧=-=-001b a ab ,得到122==b a ∴222=+b a .例21.将代数式262++x x 化为()q p x ++2的形式. 解: 262++x x()()737962996222-+=-++=+-++=x x x x x这里,7,3-==q p .。
整式的乘法(6大知识点15类题型)(知识梳理与题型分类讲解)(人教版)(学生版25学年八年级数学上册
专题14.3整式的乘法（6大知识点15类题型）（知识梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】【知识点1】同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即mnm na a a -÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）【要点提示】（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.【知识点2】单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.【要点提示】（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.【知识点3】单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.【要点提示】（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质利用乘法分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.【知识点4】多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.【要点提示】多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.知识点与题型目录【知识点一】同底数幂的除法【题型1】同底数幂的除法运算及逆运算.........................................3;【知识点二】单项式相乘【题型2】单项式相乘.........................................................3;【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值...................................3;【知识点三】单项式乘以多项式【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值.......................................4;【题型5】单项式乘以多项式的应用.............................................4;【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值.....................................4;【知识点四】多项式相乘【题型7】计算多项式乘以多项式...............................................5;【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值.......................................5;【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘..........................................5;【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题......................................5;【题型11】多项式相乘中的几何问题............................................6;【知识点五】多项式除以单项式【题型12】多项式除以单项式..................................................6;【知识点六】多项式除以单项式【题型13】整式乘法混合运算..................................................7;【直通中考与拓展延伸】【题型14】直通中考..........................................................7;【题型15】拓展延伸..........................................................8.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】同底数的除法运算及逆运算【例1】（23-24八年级上·天津滨海新·期末）计算：()()23432253339xy x x y xy x y ⎡⎤-÷⎢⎥⎦⋅-⋅⎣．【变式1】（22-23七年级下·广东深圳·阶段练习）若4m a =，8n a =，则32m n a -的值为（）A ．12B ．1C ．2D ．4【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知2320x y --=，则()()231010x y ÷=．【题型2】单项式相乘【例2】（22-23八年级上·福建厦门·期中）计算：(1)()2243623a a a a ⋅+-；(2)()()23225x x y -⋅-【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算()222133x y xy ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果为（）A ．45x y -B ．4513x y C ．3213x y -D ．4513x y -【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）计算：()()3222324623418ab a b a b a b -⋅+⋅=．【题型3】利用单项式相乘求字母或代数式的值【例3】（22-23七年级下·广东梅州·期中）先化简，后求值：2332223141644x y x y x y xy ⎛⎫⎛⎫⋅-+-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0.4x =，2.5y =-．【变式1】（2024·陕西榆林·三模）已知单项式24xy 与313x y -的积为3n mx y ，则m ，n 的值为（）A ．43m =-，4n =B ．12=-m ，2n =-C ．43m =-，3n =D ．12=-m ，3n =【变式2】（23-24七年级下·全国·假期作业）若()()1221253m n n n a b a b a b ++-⋅=，则m n +的值为．【题型4】单项式乘以多项式的运算与求值【例4】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）先化简，再求值：()()223243234a a a a a -+-+，其中1a =-．【变式1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）计算132xy x y ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的结果是（）A ．223x y xy +B ．22332x y xy --C ．22332x y xy -+D ．22132x y xy -+【变式2】（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）若220240a a +-=，代数式()()220241a a -+的值是．【题型5】单项式乘以多项式的应用【例5】（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）小红的爸爸将一块长为322455a b ⎛⎫+⎪⎝⎭分米、宽55a 分米的长方形铁皮的四个角都剪去一个边长为412a 分米的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的盒子．(1)用含a ，b 的整式表示盒子的外表面积；(2)若1a =，0.2b =，现往盒子的外表面上喷漆，每平方分米喷漆价格为15元，求喷漆共需要多少元？【变式1】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）某同学在计算一个多项式乘24x 时，因抄错运算符号，算成了加上24x ，得到的结果是2321x x +-，那么正确的计算结果是（）A ．432484x x x -+-B ．432484x x x +-C ．43244x x x -+-D ．432484x x x --【变式2】（22-23八年级上·福建泉州·阶段练习）已知：2210x x --=，则352020x x -+=．【题型6】利用单项式乘以多项式求字母的值【例6】（21-22七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知x （x ﹣m ）+n （x +m ）＝2x +5x ﹣6对任意数都成立，求m （n ﹣1）+n （m +1）的值．【变式1】（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）若()24x ax x x +=+，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．8【变式2】（23-24七年级下·山东济南·阶段练习）要使()32412x x ax x -+++中不含有x 的四次项，则a =．【题型7】计算多项式乘以多项式【例7】（24-25八年级上·全国·单元测试）计算：(1)()()()222323x x x x +---+；(2)22(1)(1)x x x x ++-+；(3)2(1)(2)(2)x x x x +-++【变式1】（22-23七年级下·甘肃张掖·期中）下列计算正确的是（）A ．()()324242ab ab a b ⋅-=B ．()()22356m m m m +-=--C ．()()245920y y y y +-=+-D ．()()21454x x x x ++=++【变式2】（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如果()()()()32912x x x x ---+-=，那么x 的值是．【题型8】计算多项式乘以多项式化简求值【例8】（24-25八年级上·河南南阳·阶段练习）先化简，再求值：()()()222112a a a a a a +--+-，其中3a =-．【变式1】（23-24七年级下·安徽合肥·期中）我们规定a b ad bc cd=-，例如121423234=⨯-⨯=-，已知2523m n nm n m n+=-+-，则代数式2261m n --的值是（）A ．4B ．5C ．8D ．9【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知235a ab +=，则2()(2)2a b a b b ++-的值为．【题型9】（x+p）（x+q)型多项式相乘【例9】（22-23七年级下·辽宁沈阳·期中）先化简，再求值：()()()()()23333442x x x x x +-++---，其中2x =．【变式1】（23-24七年级下·辽宁锦州·阶段练习）若()()2315x x n x mx ++=+-，则mn 的值为（）A ．5-B ．5C ．10D ．10-【变式2】（22-23七年级下·江苏盐城·阶段练习）若()()228x m x x nx +-=+-，则2m n +=．【题型10】整式乘法中的不含某个字母问题【例10】（22-23七年级下·四川达州·期中）已知代数式()22mx x +与()232x nx ++积是一个关于x 的三次多项式，且化简后含2x 项的系数为1，求m 和n 的值．【变式1】（23-24七年级下·全国·期中）已知多项式x a -与221x x +-的乘积中2x 的项系数与x 的项系数之和为4，则常数a 的值为（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）若()()23x m x x n +-+的积中不含2x x 、项，则m =，n =．【题型11】多项式相乘中的几何问题【例11】（22-23八年级上·四川绵阳·期末）学校需要设计一处长方形文化景观，分为中央雕塑区和四周绿化区．中央雕塑区的长边为（33m -）米，短边为2m 米，绿化区外边沿的长边为（42m -）米，短边为（31m -）米．试比较雕塑区和绿化区的面积大小．（m 为正数）【变式1】（23-24七年级上·湖南长沙·期末）下面四个整式中，不能．．表示图中阴影部分面积的是（）A ．(4)(3)3x x x ++-B ．24(3)x x ++C ．24x x+D ．(4)12x x ++【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）有若干张如图所示的正方形A 类、B 类卡片和长方形C 类卡片．如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()32a b +的大长方形，那么需要C 类卡片张．【题型12】多项式除以单项式【例12】（22-23七年级下·宁夏银川·期末）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，2211322xy x y xy xy ⨯=-+(1)求所捂的多项式；(2)若2132x y ==，，求所捂多项式的值．【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）若22233241216m x y x y x y ⨯=-，则m =（）A ．43x y-B ．43x y-+C ．43x y+D ．43x y--【变式2】（22-23七年级下·浙江温州·期末）若223615xy A x y xy =- ，则A 代表的整式是．【题型13】整式乘法混合运算【例13】（23-24七年级下·贵州毕节·期末）先化简，再求值：(1)()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--，其中1x =-，2y =．(2)已知2210x x +-=，求代数式()()()()21433x x x x x ++++-+的值．【变式1】（21-22六年级下·全国·单元测试）等式()()324322xyz x y z y ⎡⎤÷-⋅=⎣⎦中的括号内应填入（）A ．6538x y z B ．228x y zC ．222x y zD ．222x y z±【变式2】（2024·福建厦门·二模）已知11x x-=-，则()()22131x x x +-+的值为．第三部分【中考链接与拓展延伸】【题型14】直通中考【例1】（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（）A ．223a a a +=B ．523a a a ÷=C ．235()a a a -⋅=-D ．()23622a a =【例2】（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，7()a b +展开的多项式中各项系数之和为．【题型15】拓展延伸【例1】（23-24八年级上·四川眉山·期中）观察下列各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-；…根据规律计算：202220212020201943222222222-+-+⋯⋯+-+-的值是（）A ．2023223-B ．202321-C ．20232-【例2】（2024七年级上·全国·专题练习）按如图所示的程序进行计算，如果第一次输入x 的值是3-，则第2024次计算后输出的结果为．。
七年级下册整式的乘除
【练习1】计算：
① （a+b-c）4·（a+b-c）5 ② (a-b)2·(b-a)3
【练习2】判断（正确的 错误的打“×”）
打“√”，
(1) x3·x5=x15 (×) (2) x·x3=x3 (×)
(3) x3+x5=x8 (×) (3)x2·x2=2x4 (×)
1.计算：
(1)s7 s3
(3)(t)11 (t)2
(5)(3)6 (3)2
(2)x10 x8
(4)(ab)5 (ab)
(6)a100 a100
2.填空：
x x （1） 7 （ ）= 8
a a （2）（
）
3
=
8
c c b （3）b4 b3 （ ） = 21 （4） 8 （ ）= 5
3. 与整式加法之间的关系。如2a与a2的区别。
【法则推导】 ３３·３２＝？（－３）３·（－３）２=?
am ·an等于什么（m,n都是正整数)? 为什么？
am ·an =(a·a·… ·a)(a·a·… ·a)
m个a
=a·a·… ·a
m+n个a
=am+n
n个a
同底数幂相乘 底数 不变 ， 指数 相加 .
(3) (an)3 = an×3 =a3n ;
(4) -(x2)m = -x2×m = -x2m ;
(5) (y2)3 ·y= y2×3 ·y = y6 ·y = y7;
(6) 2(a2)6 – (a3)4 =2a2×6 - a3×4 =2a12-a12 =a12.
【练习1】计算
⑴（ [ a）3 ]2 ⑵（ [ x 2 y）3 ]2n
整式的乘除知识点及题型复习
整式的乘除知识点及题型复习整式的乘除是初中数学中的重要内容，它不仅是后续学习分式、二次根式等知识的基础，还在实际生活中有着广泛的应用。
接下来，我们就对整式的乘除的知识点及常见题型进行一次全面的复习。
一、整式乘法的知识点1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即：＄a^m×a^n ＝a^｛m+n}＄（＄m$、＄n$都是正整数）例如：＄2^3×2^4 ＝ 2^｛3+4} ＝ 2^7$2、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即：＄（a^m)＾n ＝ a^｛mn}＄（＄m$、＄n$都是正整数）比如：＄（3^2)＾3 ＝ 3^｛2×3} ＝ 3^6$3、积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
即：＄（ab)＾n ＝ a^n b^n$（＄n$为正整数）例如：＄（2×3)＾2 ＝ 2^2×3^2 ＝ 36$4、单项式乘以单项式系数与系数相乘，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
比如：＄3x^2y × 5xy^2 ＝（3×5)×（x^2×x)×（y×y^2) ＝ 15x^3y^3$5、单项式乘以多项式用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：＄m(a ＋b ＋ c) ＝ ma ＋ mb ＋ mc$例如：＄2x(x ＋ 2y 3z) ＝ 2x^2 ＋ 4xy 6xz$6、多项式乘以多项式先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
即：＄（a ＋ b)（m ＋ n) ＝ am ＋ an ＋ bm ＋ bn$比如：＄（x ＋ 2)（x 3) ＝ x^2 3x ＋ 2x 6 ＝ x^2 x 6$二、整式除法的知识点1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即：＄a^m÷a^n ＝ a^｛m n}＄（＄a≠0$，＄m$、＄n$都是正整数，且$m ＞ n$）例如：＄6^5÷6^3 ＝ 6^｛5 3} ＝ 6^2$2、单项式除以单项式系数与系数相除，同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
专题04 整式的乘除【知识点清单】-2022年中考数学一轮复习精讲+热考题型(全国通用)
专题04 整式的乘除【知识要点】知识点一 幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
n m n m aa a +=·（其中m 、n 为正整数） 【注意事项】1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
例：a ·a 2＝a 1＋2＝a 33）乘数a 可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：n m n m a a a ·=+（m,n 都是正整数） 【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即p n m p n m a a a a ++=··（m ，n ，p 都是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.mn n m aa =)((其中m ，n 都是正整数).【注意事项】 1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
2）逆用公式：m n n m mn a a a )()(==【扩展】mnp p n m a a =))(( (m ，n ，p 均为正整数)积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
n n n b a ab ·)(=(其中n 是正整数)。
【注意事项】逆用公式：nn n ab b a )(·= 【扩展】 n n n n c b a abc ·)(= (n 为正整数) 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数减。
n m n m a a a -=÷（a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）【注意事项】1）0不能做除数的底数。
2）运用同底数幂除法法则关键：看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3）注意指数为1的情况，如x 8÷x=x 7 ，计算时候容易遗漏将除数x 的指数忽略。
整式的乘除与因式分解知识点全面
整式的乘除与因式分解知识点全面一、整式的乘法与除法知识点：1.整式的乘法：整式的乘法是指两个或多个整式相乘的运算。
乘法的结果称为“积”。
-乘法的交换律：a×b=b×a-乘法的结合律：(a×b)×c=a×(b×c)-乘法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c2.整式的除法：整式的除法是指一个整式被另一个整式除的运算。
除法的结果称为“商”和“余数”。
-除法的除数不能为0，即被除式不能为0。
-除法的商和余数满足等式：被除式=除数×商+余数3.次数与次项：整式中的变量的幂次称为整式的次数。
次数为0的项称为常数项，次数最高的项称为最高次项。
4.整式的乘除法规则：-乘法规则：乘法运算时，将整式中的每一项依次相乘，然后将结果相加即可。
-除法规则：除法运算时，可以通过因式分解的方法进行计算。
5.乘法口诀：乘法口诀是指两个整数相乘时的计算规则。
-两个正整数相乘，结果为正数。
-两个负整数相乘，结果为正数。
-一个正整数与一个负整数相乘，结果为负数。
二、因式分解知识点：1.因式分解：因式分解是将一个整式表示为几个乘积的形式的运算。
可以通过提取公因式、配方法等方式进行因式分解。
2.提取公因式：提取公因式是指将整式中公共的因子提取出来，分解成公因式和余因式的乘积的过程。
3.配方法：配方法是指将整式中的一些项配对相加或相乘，通过变换形式，使得整个式子能够因式分解的过程。
4.差的平方公式：差的平方公式是指一个完全平方的差能够分解成两个因子相加的形式。
例如：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。
5. 完全平方公式：完全平方公式是指一个完全平方的和可以分解成一个因子的平方的和的形式。
例如：a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^26.公式法：根据特定的公式，将整式进行因式分解。
7.分组法：将整式中的项分为两组，分别提取公因式，然后进行配方法或其他操作，将整式进行因式分解。
整式的乘除专题复习
公式表示为：（ a b)2 a2 2ab b2
3、完全平方和：两数和的平方，等于它们的平方和加上这 两个数的积的2倍。
公式表示为：（ a b)2 a2 2ab b2
整式的乘除专题复习
例1：计算(2x 1)(2x 1)
例2：计算（ 2x2 )( xy 3xy2 1)
解：原式 2x2 xy 2x2 3xy2 2x2 2x3 y 6x3 y2 2x2
训练：计算（ 2x)(xy 1) 训练：计算（ 2x2 )2 (3xy 5) 训练：若 A 2xy, B x2 y 3x，求2AB
整式的乘除专题复习
解：原式 10 x2 5x (10 x2 13x 3)
8x 3
当x 2时，原式 8（ 2） 3 19
训练：5x2 (2x 3)(2x 3)其中x 1
3、整式的乘除专题复习
三、乘法公式 1、平方差：两数和与这两数差的积，等于这两数的 平方差 。
公式表示为：（ a b)(a b) a2 b2
训练：(1)a2 a a5 ______
(5)x3m xm _____
(2)(m n)2 (m n)5 _______
(6)(a2 )3 (2a3 )2 ___
整式的乘除专题复习
例2：计算82006 （ 0.125）2007
解：原式 82006 （ 0.125）2006 （ 0.125）
整式的乘除专题复习
4、同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 。
用公式表示为：am an amn
(m, n是正整数，a 0）
典型例题：
例1：下列运算中计算结果准确的是（ D ）
（A）a4 a3 a12, (B)a6 a3 a2（3）(a2 )3 a4 _______
第12章整式的乘除复习2
专题三：利用整式乘法进行说理
试说明：代数式 (2x 3)(6x 2) 6x(2x 13) 8(7x 2)
的值与x的取值无关。
分析：代数式的值与x的取值无关，即不论x取何值， 代数式的取值是不变的，因此，原代数式化简后的 结果不含x。
变式：若代数式 (2x 3)(6x 2) 6x(2x 13) 8(kx 2)
3 (3)(a2 3)(a 2) a(a2 2a 2)
(4)(3 x6 y2 6 x3 y5 0.9x2 y3) (0.6xy)
4
5
专题二：利用整式乘积中项的特征求参数的值
若 (x 1)(x2 mx n) x3 6x2 11x 6 ，
求m和n的值。
解 : (x 1)(x2 mx n) x3 6x2 11x 6 x3 mx2 nx x2 mx n x3 6x2 11x 6 x3 (m 1)x2 (n m)x n x3 6x2 11x 6 m 1 6,n m 11,n 6 m 5, n 6
的值与x的取值无关，求k的值。
分析：若代数式的值与x的取值无关，则原代数式化 简后不含x的项，也就是说含x的项系数为0。
专题四：整式运算的实际应用
刘明家的住房结构如图，刘明的爸爸打算把卧室以外
的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如
果每1m2的地砖的价格是a元，则购买地砖至少需要
多少钱？
y 2y
右边是三项，第一项是首的平方，第二项是首尾乘 积的2倍，第三项是尾的平方. 口诀：首平方，尾平方,首尾积的2倍放中间.
基础练兵
先化简，在求值：
(1)[(x-y）2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3,y= -1.5
整式的乘除知识点及题型复习
整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数）②=n m a )( （m 、n 都是正整数）③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ） ⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a - B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；1、 已知2a x =，3bx =，求23a bx-的值。
整式的乘除专题复习
限时训练
1.A
2.D 3.A 4.D 5.C
2008 年部分省市中考题（幂的运算部分）
1. (2008 年湖州市)计算 x x 所得的结果是（
2 3
）
6
A． x
5
B． x
5
C． x
6
D． x
2.（2008 年•南宁市）下列运算中，结果正确的是： A. a a a
3 3
B. a a a
2007
2006 解：原式 82006 （ 0.125 ） （ 0.125 ）
[8 （ 0.125 ） ]2006 （ 0.125 ） 1 （ 0.125 ） 0.125
训练：求 2
2007
1 2008 （ ） 的值 2
训练：求5
2008
（ 0.2） 的值
（ 1） ( x 1)(x 1) _______
2 3 2
1、（2012扬州）已知a+b=3,ab=-4,求（a-2)(b-2)的值 2、（2012威海）探究规律题:
直击中考
(2)(x 1)(x x 1) _______ (3)(x 1)(x x x 1) ______ (4)(x 1)(x 4 x 3 x 2 x 1) _____ 猜想 : ( x 1)(x n x n 1 x 2 x 1) _____ 试利用猜想解答下列问 题： 1、计算：（a 1)(a10 a 9 a 2 a 1) 2、计算： 2 2 2 2 4 2 1
2、整式的乘除专题复习
多项式与多项式相乘训练：
例3：计算（a 3)(a 2) a(a 2a 2)
整式的乘除期末复习总结
整式的乘除期末复习总结一、整式的基本概念和性质1. 整式的定义：整式是由常数、未知数和运算符号经过有限次数的加、减、乘、乘方组成的代数式。
例如，3x²+2xy-5y²是一个整式。
2. 整式的项和项数：整式中的每一部分被称为一个项。
例如，3x²、2xy和-5y²是上述整式的三个项。
整式中的项的个数被称为整式的项数。
3. 整式的次数：整式中所有项的最高次数被称为整式的次数。
例如，上述整式的次数为2，因为它的最高次项是3x²。
4. 加法和减法运算：整式的加法和减法运算与数的加法和减法运算类似。
对于整式a+b和a-b，只需将对应的项相加或相减即可。
二、整式的乘法运算1. 单项式的乘法：单项式的乘法结果仍然是一个单项式。
乘法的规则是，将各个项乘起来，然后对指数进行相加。
例如，(3x²)(4x³)=12x⁵。
2. 多项式的乘法：多项式的乘法结果仍然是一个多项式。
乘法的规则是，将每个项分别与另一个多项式的每个项相乘，然后将结果进行合并。
例如，(2x+3)(4x-5)=8x²-10x+12x-15=8x²+2x-15。
3. 多项式乘以常数：将多项式的每个项与常数相乘即可。
例如，2x(3x²-4x+5)=6x³-8x²+10x。
三、整式的除法运算1. 除法的定义：整式a除以整式b（b≠0）表示为a÷b，意味着a与b的乘积等于另一个整式q，并且剩余项r满足a=bq+r。
2. 长除法法则：长除法是一种用于计算整式除法的方法。
首先将被除式的最高次项除以除式的最高次项，然后将商从被除式中减去，得到一个新的被除式。
继续将新的被除式最高次项除以除式的最高次项，以此类推，直到无法再进行除法运算为止。
四、整式的乘除运算练习以下是一些乘除运算的练习题，供读者练习和巩固所学知识。
1. 计算(3x+2)(2x-4)的结果。
整式的乘除知识点总结及针对练习题
整式的乘除知识点总结及针对练习题思维辅导：整式的乘除知识点及练基础知识：1.单项式：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
数字因数叫做系数，所有字母指数和叫次数。
例如，-2abc的系数为-2，次数为4，单独的一个非零数的次数是0.2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
例如，a-2ab+x+1，项有a、-2ab、x、1，二次项为a、-2ab，一次项为x，常数项为1，各项次数分别为2、2、1、0，系数分别为1、-2、1、1，叫二次四项式。
3.整式：单项式和多项式统称整式。
凡分母含有字母代数式都不是整式。
4.多项式按字母的升（降）幂排列：例如，x-2xy+xy-2y-1，按x的升幂排列为-1-2y+xy-2xy+x，按x的降幂排列为x-2xy+xy-2y-1.知识点归纳：一、同底数幂的乘法法则：a^m * a^n = a^(m+n)（m、n都是正整数）。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
基础过关】1.下列计算正确的是（）A。
y^3 * y^5 = y^8B。
y^2 + y^3 = y^5C。
y^2 + y^2 = 2y^4D。
y^3 * y^5 = y^82.下列各式中，结果为(a+b)^3的是（）A。
a^3 + b^3B。
(a+b)(a^2+b^2)C。
(a+b)(a+b)^2D。
a+b(a+b)^23.下列各式中，不能用同底数幂的乘法法则化简的是（）A。
(a+b)(a+b)^2B。
(a+b)(a-b)^2C。
-(a-b)(b-a)^2D。
(a+b)(a+b)^3(a+b)^24.下列计算中，错误的是（）A。
2y^4 + y^4 = 2y^8B。
(-7)^5 * (-7)^3 * 74 = 712C。
(-a)^2 * a^5 * a^3 = a^10D。
(a-b)^3(b-a)^2 = (a-b)^5应用拓展】5.计算：1) 64*(-6)^52) -a^4(-a)^43) -x^5 * x^3 * (-x)^44) (x-y)^5 * (x-y)^6 * (x-y)^76.已知ax=2，ay=3，求ax+y的值。
第五章 整式的乘除复习
4.（2006年铜仁）先化简，再求值： （ 年铜仁） 年铜仁 先化简，再求值：
x(x+y)-(x-y)(x+y)-y2
其中
x=0.25Leabharlann 006 ，y=420065.（2006年衡阳）先化简，再求值： （ 年衡阳） 年衡阳 先化简，再求值：
(a-b)2+b(a-b)
1 其中 a=2,b=2
6.（2004年赣州）先化简，再求值： （ 年赣州） 年赣州 先化简，再求值：
7.（2004年赤峰）计算：a2(2a)3-a(3a+8a4) （ 年赤峰） 年赤峰 计算： 的结果是（ 的结果是（ C ） A. 3a2 B. -3a C. -3a2 D. 16a5
2 8.（2003年天津）若 x +mx-15=(x+3)(x+n) ， （ 年天津） 年天津
的值为（ 则m的值为（ C ） 的值为 A. -5 B.5 C. -2 D.2
a a a 甲 b b a 乙 a b a a b a a 丙 b a b
你能否画个图形 解释(2a+b) ²=4a ² 解释 +4ab+b ²
9.(x-1)(x+1)= (x-1)(x+1)(x²+1)= (x-1)(x+1)(x²+1)(x4+1)= (x-1)(x+1)(x²+1)(x4+1)….(x16+1)= 你能利用上述规律计算 (2+1)(22+1)(24+1)…(232+1)+1
解答题: 三.解答题 解答题 1.计算：（2006年江西） (x-y)2-(x+y)(x-y) 计算：（ 年江西） 计算：（ 年江西
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VIP 个性化辅导教案（华宇名都18-1-3）学生 学科 数学 教材版本 北师大版教师 胡清清年级七年级课时统计第（ ）课时，共（ 2 ）课时课 题 整式的运算授课时间2013年 7 月 6 日 授课时段教学目标1、 巩固幂的运算法则与整式的乘除；2、 综合运用。
重点、难点1、 幂的运算；2、 整式的乘除。
考点及考试要求详见教学内容教学内容整式运算考点1、幂的有关运算①=⋅nm a a （m 、n 都是正整数） ②=n m a )( （m 、n 都是正整数） ③=n ab )( （n 是正整数） ④=÷nm a a （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m>n ）⑤=0a （a ≠0）⑥=-p a （a ≠0，p 是正整数） 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
同底数幂相除，底数不变，指数相减。
例：在下列运算中，计算正确的是（ ）（A ）326a a a ⋅= （B ）235()a a =（C ）824a a a ÷=（D ）2224()ab a b =练习：1、()()103x x -⨯-=________.2、()()()32101036a a a a -÷-÷-÷ = 。
3、23132--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭= 。
4、322(3)---⨯- = 。
5、下列运算中正确的是（ ）A ．336x y x =；B ．235()m m =；C ．22122x x-=； D ．633()()a a a -÷-=- 6、计算()8pm n a aa ⋅÷的结果是（ ）A 、8mnp a- B 、()8m n p a ++ C 、8mp np a+- D 、8mn p a+-7、下列计算中，正确的有（ ）①325a a a ⋅= ②()()()4222ab ab ab ab ÷= ③()322a a a a ÷÷= ④()752a a a -÷=。
A 、①②B 、①③C 、②③D 、②④ 8、在①5x x ⋅ ②7x y xy ÷ ③()32x - ④()233x y y ÷中结果为6x 的有（ ）A 、①B 、①②C 、①②③④D 、①②④ 提高点1：巧妙变化幂的底数、指数 例：已知：23a =，326b =，求3102a b+的值；点评： 2a 、532(2)b b =中的5(2)b 分别看作一个整体，通过整体变换进行求值，则有：3102a b +31022a b =⨯352(2)(2)a b =235(2)(2)a b ⎡⎤=⎣⎦23(2)(32)a b⎡⎤=⎣⎦3236972=⨯=； 1、 已知2ax=，3b x =，求23a bx-的值。
2、 已知36m=，92n=，求2413m n --的值。
3、 若4ma=，8n a =，则32m n a -=__________。
4、 若5320x y --=，则531010xy ÷=_________。
5、 若3129327m m +÷=，则m =__________。
6、 已知8mx =，5nx =，求m nx -的值。
7、 已知102m=，103n=，则3210m n +=____________．提高点2：同类项的概念例： 若单项式2a m+2n b n-2m+2与a 5b 7是同类项，求n m 的值．【点评】考查同类项的概念，由同类项定义可得25,227m n n m +=⎧⎨-+=⎩ 解出即可；求出：3,1;n m ==-所以：113;3m n -==练习：1、已知31323m x y -与52114n x y +-的和是单项式，则53m n +的值是______. 经典题目：1、已知整式210x x +-=，求322014x x -+的值。
考点2、整式的乘法运算例：计算：31(2)(1)4a a -⋅- = ．解：)141()2(3-⋅-a a ＝1)2(41)2(3⋅--⋅-a a a ＝a a 2214+-.练习：8、 若()()32261161x x x x x mx n -+-=-++，求m 、n 的值。
9、 已知5a b -=，3ab =，则(1)(1)a b +-的值为（ ）.A ．1-B ．3-C ．1D ．310、代数式()()222235yz xz y xz z x xyz +-+++的值（ ）.A ．只与,x y 有关B ．只与,y z 有关C ．与,,x y z 都无关D ．与,,x y z 都有关11、计算：()()200820083.140.1258π-︒+-⨯的结果是（ ）.考点3、乘法公式平方差公式：()()=-+b a b a完全平方公式：()=+2b a ，()=-2b a例：计算：()()()2312x x x +---分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项. 解： ()()()2312x x x +---=2269(22)x x x x x ++---+ =226922x x x x x ++-++-=97x +.例：已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ．分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（a b +）与ab ，以便求值.解：(2)(2)a b --=422+--b a ab =4)(2++-b a ab =242321=+⨯-. 练习：1、（a+b －1）（a －b+1）= 。
2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（ ）A ．（a+b ）（b+a ）B ．（－a+b ）（a －b ）C ．（13a+b ）（b －13a ） D ．（a 2－b ）（b 2+a ）3．下列计算中，错误的有（ ）①（3a+4）（3a －4）=9a 2－4； ②（2a 2－b ）（2a 2+b ）=4a 2－b 2；③（3－x ）（x+3）=x 2－9； ④（－x+y ）·（x+y ）=－（x －y ）（x+y ）=－x 2－y 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．若x 2－y 2=30，且x －y=－5，则x+y 的值是（ ）A ．5B ．6C ．－6D ．－55、已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值.6、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
7、若2(9)(3)(x x ++4)81x =-，则括号内应填入的代数式为（ ）. A ．3x - B ．3x - C ．3x + D ．9x - 8、(a －2b +3c )2－(a +2b －3c )2= 。
9、若M 的值使得()22421x x M x ++=+-成立，则M 的值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．210、 已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
经典题目：11、 已知22))((nb mab a b a b a +-=+-，求 m,n 的值。
12、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +13、一个整式的完全平方等于291x Q ++（Q 为单项式），请你至少写出四个Q 所代表的单项式。
考点4、利用整式运算求代数式的值例：先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用. 解：22()()()2a b a b a b a +-++- 2222222a b a ab b a =-+++- 2ab =当3a =，13b =-时，12233ab ⎛⎫=⨯⨯- ⎪⎝⎭2=-.1、()()()()5232224x y x y x y x y x +++-+÷⎡⎤⎣⎦，其中2x =，3y =-。
2、若()()32261161x x x x x mx n -+-=-++，求m 、n 的值。
3、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.4、已知2083-=x a ，1883-=x b ，1683-=x c ，求：代数式bc ac ab c b a ---++222的值。
5、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式835-++cx bx ax 的值。
6、先化简再求值2(2)(2)(3)(39)x x x x x x +---++,当41-=x 时，求此代数式的值。
7、化简求值：（1）（2x-y ）13÷[（2x-y ）3]2÷[（y-2x ）2]3，其中（x-2）2+|y+1|=0.考点5、整式的除法运算例：已知多项式432237x x ax x b -+++含有同式22x x +-，求ab的值。
解：22x x +-是432237x x ax x b -+++的因式，可设()()4322223722x x ax x b x x x mx n -+++=+-++，化简整理得：()()()43243223722422x x ax x b x m x m n x n m x n -+++=++++-+--。
根据相应系数相等，即 23m +=- 5m =-4m n a +-= 解得： 1226a b -∴==-。
27n m -= 3n =- 12a =- 2n b -= 6b =方法总结： 运用待定系数法解题的一般步骤：a 、根据多项式之间的次数关系，设出一个恒等式，其中含有几个待定系数。
b 、比例对应项的系数，列出方程组。
c 、解方程组，求出其待定函数的值。
练习：1、已知一个多项式与单项式547x y -的积为()2577432212872x y x y y x y -+求这个多项式。
2、已知一个多项式除以多项式243a a +-所得的商式是21a +，余式是28a +，求这个多项式。
方法总结：①乘法与除法互为逆运算。
②被除式=除式×商式+余式3、已知多项式22331x ax x +++能被21x +整除，且商式是31x +，则a 的值为（ ）A 、3a =B 、2a =C 、1a =D 、不能确定4、31121233n n n a a a +--⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭练习：()()()()32322524x y x y x y x y x +--+-÷⎡⎤⎣⎦12、已知一个多项式与单项式314xy -的积为63345313428x y x y xy -+-，求这个多项式。