第二章-一元非线性方程的数值解法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由以上步骤可以看出，求非线性方程数值近似根的方法一般为迭代法．
第一节初始近似根的确定
一、有根区间的确定
设 为区间 上的连续函数，若 ，由闭区间上连续函数的性质（根的存在定理）可知，方程 在 内至少存在一个实根，此时则称 为方程 的有根区间(Rooted Inter-val)．
此外我们也可以借助某些数学软件(如MathCAD, Mathematics, Matlab等)描绘出 的图像，直观地了解方程 根的分布情况．因此，我们可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数 的定义域分成若干个只含一个实根的区间．
(5.3.1)
若要求 满足 ，则只需求出 即可；反之也是如此，则称 为函数 的一个不动点，求函数 的零点就等价于求函数 的不动点．在有根区间内选一个初始近似值 ，然后按(5.3.1)构造公式
(5.3.2)
可得到一个数列
称 为迭代序列，而称(5.3.1)式中的 为迭代函数．如果迭代序列 是收敛的，且收敛于 ，则当 连续时，在式两边取极限即得 ，即
= ，
其中 为正整数，且 ．当 =1时，称 为方程 的单根，而当 时，则称 为方程 的 重根，或称 为 的 重零点．设 为 的 重零点，且 充分光滑，则
， .
根的求解：对于 次多项式方程，当次数 时，多项式方程的根可用求根公式表示： 时方程的根是我们已经熟知的， 时虽然有求根公式，但已不适合用于数值计算；而次数 时，就不能用公式表示多项式方程的根了．因此，对于次数 的多项式方程和一般连续函数方程(5.0.1)，在实际应用时，通常并不需要得到方程根的解析表达式，只要得到满足一定精度的数值近似根就可以了．
例试确定方程 的有根区间.
解由于 ，当 时 ，则 为严格单调增函数；而当 时 ，则 为严格单调减函数．又由于 ， ，所以方程 只有两个实根．
经进一步分析可知， ，则方程在[1，2]内有一个实根； ，则方程的另一个实根在[-1，0]内.
下面介绍的几种求方程的根的常用数值解法，即二分法，牛顿迭代法，都是将方程的初始近似根逐步精确化的方法．
二、不动点迭代法的构造
我们使用迭代法求解非线性方程(5.0.1)时需要解决如下四个问题：(1) 迭代函数的构造；(2) 初始近似根的选取；(3) 迭代序列收敛性分析；(4) 收敛速度和误差分析．
三、牛顿迭代法及其收敛性
设 是一元非线性方程 的根，函数 在 的某邻域内连续可微， 是某个迭代近似根，且 ．把 在点 处进行一阶泰勒展开，可得
第二章 一元非线性方程的数值解法
在科学和工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域中，经常会遇到求解非线性方程的问题．非线性科学是当今科学发展的一个重要的研究方向，而非线性方程的数值解法又是其中不可缺少的内容．
本章主要讨论一元非线性方程
(5.0.1)
的数值解法，其中 ， 为 的非线性函数．
(3) 计算 得有根区间 ；
如此继续，直到 时停止，计算结果见表：
表
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
由表知
所以原方程在 内的根 ．
第三节 牛顿迭代法及其收敛性
迭代法在数学的各个分支都有着重要的应用．本节主要讨论迭代法在非线性方程求根的应用．
一、迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是：将方程(5.0.1)中 化为下列等价形式
如此反复，便得到一系列有根区间
显然，区间 的长度为
(5.2.1)
当 时，上式的极限为 ，区间 最终必收敛于一点, 该点就是所求方程(5.0.1)的根 ．
我们取二分后的最后的有根区间 的中点 作为方程(5.0.1)的根 的近似根
， ，
其误差估计式为
(5.2.2)
当 时，取 ，即 ．
对预先给定的精度 (即指定的绝对误差限 )，可以用以下方式结束二分法：
输出满足精度的根 ，结束．
例用牛顿迭代法求方程 在 附近的根，精度为 ．
解这里 , ，相应的牛顿迭代公式为
表
0
1
0.
2
3
4
,
取 ，迭代结果见表，易见
故
迭代了4次就得到了较满意的结果．
例用牛顿法计算 ．
解令 ，则 ，即求 等价于求方程
的正实根．因为 ，由牛顿迭代公式得
， (5.3.5)
取初值 ，得
，
，
当 时，必有 ，结束二分法计算，ห้องสมุดไป่ตู้ ；
二分法的计算步骤如下：
(1) 输入有根区间的端点 及预先给定的精度 ；
(2) ；
(3) 若 ，则 ，转向(4)；否则 ，转向(4)；
(4) 若 ，则输出方程满足精度的根 ，结束；否则转向(2)．
二分法的优点：
1、是算法简单；
2、对函数的性质要求较低(只要连续即可)；
在方程(5.0.1)中，若函数 是 的 次多项式，则称方程为多项式方程或代数方程： ；若函数 是超越函数（自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等都是超越函数），则称方程为超越方程：例
使 的 称为方程 的根，又称为函数 的零点．若 可分解为
这个迭代公式的意义在于通过加法和乘除法实现开方运算，这是在计算机上作开方运算的一个方法．
从而 便是方程(5.0.1)的根．但实际计算当然不可能做无穷多步，实用上，当 充分大时，若
就取 作为原方程的近似根．这种求根法称为不动点迭代法，或称逐次逼近法(Picard迭代法)．(5.3.2)就是一个不动点迭代公式．当迭代公式产生的迭代序列 收敛时，就称迭代法或迭代公式是收敛的，否则就称为是发散的．
第二节 二分法
二分法也称为区间对分法，是解非线性方程最直观、最简单的方法．
为讨论方便，不妨设函数 在 上连续，严格单调，且 ，则方程 在区间 内有且仅有一个实根 ．
二分法的基本思想：将方程的有根区间平分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根小区间，而后再把有根的小区间一分为二，判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根．
则方程 可近似表示为
(5.3.3)
这是一个线性方程，求解得
将其右端项作为新的迭代值 ，则可得迭代公式
(5.3.4)
图 切线法示意图
这就是牛顿迭代法(Newton’s Method)，(5.3.4)称为牛顿迭代公式.
如图所示，曲线 与 轴的交点 就是方程 的根．设 是方程 的一个近似根，过曲线 上的点 作切线，切线与 轴的交点为 ,切线的方程为
对于非线性方程 ，求其近似数值根一般分为四步：
(1) 判断根的存在性：判断方程 是否有根若有，有几个
(2) 确定根的分布范围：分析并估计方程根的分布情况，并将每一个根用相应区间分隔开，即确定方程根的有根区间；
(3) 根的初始化：确定根的初始近似值(称之为初始近似根)；
(4) 根的精确化：对根的某个初始近似值设法逐步精确化，使其满足一定的精度要求．
二分法的具体计算过程如下：
1. 取区间 的中点 ，计算区间中点函数值 ，并判断：
若 ，则根 ，令 ，则新的有根区间为 ；
若 ，则 即为所求根 ；
若 ，则根 ，令 ，则新的有根区间为 ．
2. 对有根区间 施行同样的操作，即取中点 ，再将 分为两个子区间 和 ，计算 和 ，若
则 ，令 ；否则 ，令 ．这样又确定了一个有根区间 ，其长度是区间 长度的一半．
设切线点与 轴的交点为 ，若 ，则可得
牛顿迭代公式(5.3.4)
,
因此，牛顿迭代法又称为切线法(Tangent Method)．
牛顿迭代法的几何意义：用曲线 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标 来代替曲线 与 轴交点的横坐标 ．
牛顿迭代法的计算步骤为：
给出初始近似根 及精度 ；
计算 ；
对于给定的允许误差 ，若 , 转向 ；否则 ,转向 ；
3、收敛性可保证．
二分法的缺点：
1、收敛速度很慢；
2、不能求偶数重根，原因在于当方程(5.0.1)有偶数重根时所分区间端点处函数值同号，而将该区间舍去造成失根现象．
因此．在实际应用时，可用它求方程根的初始近似值．
例用二分法求方程 在 上的根(取 )．
解(1) 这里 ， ，得有根区间 ；
(2) 计算 ，得有根区间 ；
第一节初始近似根的确定
一、有根区间的确定
设 为区间 上的连续函数，若 ，由闭区间上连续函数的性质（根的存在定理）可知，方程 在 内至少存在一个实根，此时则称 为方程 的有根区间(Rooted Inter-val)．
此外我们也可以借助某些数学软件(如MathCAD, Mathematics, Matlab等)描绘出 的图像，直观地了解方程 根的分布情况．因此，我们可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数 的定义域分成若干个只含一个实根的区间．
(5.3.1)
若要求 满足 ，则只需求出 即可；反之也是如此，则称 为函数 的一个不动点，求函数 的零点就等价于求函数 的不动点．在有根区间内选一个初始近似值 ，然后按(5.3.1)构造公式
(5.3.2)
可得到一个数列
称 为迭代序列，而称(5.3.1)式中的 为迭代函数．如果迭代序列 是收敛的，且收敛于 ，则当 连续时，在式两边取极限即得 ，即
= ，
其中 为正整数，且 ．当 =1时，称 为方程 的单根，而当 时，则称 为方程 的 重根，或称 为 的 重零点．设 为 的 重零点，且 充分光滑，则
， .
根的求解：对于 次多项式方程，当次数 时，多项式方程的根可用求根公式表示： 时方程的根是我们已经熟知的， 时虽然有求根公式，但已不适合用于数值计算；而次数 时，就不能用公式表示多项式方程的根了．因此，对于次数 的多项式方程和一般连续函数方程(5.0.1)，在实际应用时，通常并不需要得到方程根的解析表达式，只要得到满足一定精度的数值近似根就可以了．
例试确定方程 的有根区间.
解由于 ，当 时 ，则 为严格单调增函数；而当 时 ，则 为严格单调减函数．又由于 ， ，所以方程 只有两个实根．
经进一步分析可知， ，则方程在[1，2]内有一个实根； ，则方程的另一个实根在[-1，0]内.
下面介绍的几种求方程的根的常用数值解法，即二分法，牛顿迭代法，都是将方程的初始近似根逐步精确化的方法．
二、不动点迭代法的构造
我们使用迭代法求解非线性方程(5.0.1)时需要解决如下四个问题：(1) 迭代函数的构造；(2) 初始近似根的选取；(3) 迭代序列收敛性分析；(4) 收敛速度和误差分析．
三、牛顿迭代法及其收敛性
设 是一元非线性方程 的根，函数 在 的某邻域内连续可微， 是某个迭代近似根，且 ．把 在点 处进行一阶泰勒展开，可得
第二章 一元非线性方程的数值解法
在科学和工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域中，经常会遇到求解非线性方程的问题．非线性科学是当今科学发展的一个重要的研究方向，而非线性方程的数值解法又是其中不可缺少的内容．
本章主要讨论一元非线性方程
(5.0.1)
的数值解法，其中 ， 为 的非线性函数．
(3) 计算 得有根区间 ；
如此继续，直到 时停止，计算结果见表：
表
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
由表知
所以原方程在 内的根 ．
第三节 牛顿迭代法及其收敛性
迭代法在数学的各个分支都有着重要的应用．本节主要讨论迭代法在非线性方程求根的应用．
一、迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是：将方程(5.0.1)中 化为下列等价形式
如此反复，便得到一系列有根区间
显然，区间 的长度为
(5.2.1)
当 时，上式的极限为 ，区间 最终必收敛于一点, 该点就是所求方程(5.0.1)的根 ．
我们取二分后的最后的有根区间 的中点 作为方程(5.0.1)的根 的近似根
， ，
其误差估计式为
(5.2.2)
当 时，取 ，即 ．
对预先给定的精度 (即指定的绝对误差限 )，可以用以下方式结束二分法：
输出满足精度的根 ，结束．
例用牛顿迭代法求方程 在 附近的根，精度为 ．
解这里 , ，相应的牛顿迭代公式为
表
0
1
0.
2
3
4
,
取 ，迭代结果见表，易见
故
迭代了4次就得到了较满意的结果．
例用牛顿法计算 ．
解令 ，则 ，即求 等价于求方程
的正实根．因为 ，由牛顿迭代公式得
， (5.3.5)
取初值 ，得
，
，
当 时，必有 ，结束二分法计算，ห้องสมุดไป่ตู้ ；
二分法的计算步骤如下：
(1) 输入有根区间的端点 及预先给定的精度 ；
(2) ；
(3) 若 ，则 ，转向(4)；否则 ，转向(4)；
(4) 若 ，则输出方程满足精度的根 ，结束；否则转向(2)．
二分法的优点：
1、是算法简单；
2、对函数的性质要求较低(只要连续即可)；
在方程(5.0.1)中，若函数 是 的 次多项式，则称方程为多项式方程或代数方程： ；若函数 是超越函数（自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等都是超越函数），则称方程为超越方程：例
使 的 称为方程 的根，又称为函数 的零点．若 可分解为
这个迭代公式的意义在于通过加法和乘除法实现开方运算，这是在计算机上作开方运算的一个方法．
从而 便是方程(5.0.1)的根．但实际计算当然不可能做无穷多步，实用上，当 充分大时，若
就取 作为原方程的近似根．这种求根法称为不动点迭代法，或称逐次逼近法(Picard迭代法)．(5.3.2)就是一个不动点迭代公式．当迭代公式产生的迭代序列 收敛时，就称迭代法或迭代公式是收敛的，否则就称为是发散的．
第二节 二分法
二分法也称为区间对分法，是解非线性方程最直观、最简单的方法．
为讨论方便，不妨设函数 在 上连续，严格单调，且 ，则方程 在区间 内有且仅有一个实根 ．
二分法的基本思想：将方程的有根区间平分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根小区间，而后再把有根的小区间一分为二，判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根．
则方程 可近似表示为
(5.3.3)
这是一个线性方程，求解得
将其右端项作为新的迭代值 ，则可得迭代公式
(5.3.4)
图 切线法示意图
这就是牛顿迭代法(Newton’s Method)，(5.3.4)称为牛顿迭代公式.
如图所示，曲线 与 轴的交点 就是方程 的根．设 是方程 的一个近似根，过曲线 上的点 作切线，切线与 轴的交点为 ,切线的方程为
对于非线性方程 ，求其近似数值根一般分为四步：
(1) 判断根的存在性：判断方程 是否有根若有，有几个
(2) 确定根的分布范围：分析并估计方程根的分布情况，并将每一个根用相应区间分隔开，即确定方程根的有根区间；
(3) 根的初始化：确定根的初始近似值(称之为初始近似根)；
(4) 根的精确化：对根的某个初始近似值设法逐步精确化，使其满足一定的精度要求．
二分法的具体计算过程如下：
1. 取区间 的中点 ，计算区间中点函数值 ，并判断：
若 ，则根 ，令 ，则新的有根区间为 ；
若 ，则 即为所求根 ；
若 ，则根 ，令 ，则新的有根区间为 ．
2. 对有根区间 施行同样的操作，即取中点 ，再将 分为两个子区间 和 ，计算 和 ，若
则 ，令 ；否则 ，令 ．这样又确定了一个有根区间 ，其长度是区间 长度的一半．
设切线点与 轴的交点为 ，若 ，则可得
牛顿迭代公式(5.3.4)
,
因此，牛顿迭代法又称为切线法(Tangent Method)．
牛顿迭代法的几何意义：用曲线 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标 来代替曲线 与 轴交点的横坐标 ．
牛顿迭代法的计算步骤为：
给出初始近似根 及精度 ；
计算 ；
对于给定的允许误差 ，若 , 转向 ；否则 ,转向 ；
3、收敛性可保证．
二分法的缺点：
1、收敛速度很慢；
2、不能求偶数重根，原因在于当方程(5.0.1)有偶数重根时所分区间端点处函数值同号，而将该区间舍去造成失根现象．
因此．在实际应用时，可用它求方程根的初始近似值．
例用二分法求方程 在 上的根(取 )．
解(1) 这里 ， ，得有根区间 ；
(2) 计算 ，得有根区间 ；