第二章-一元非线性方程的数值解法
数值分析_第2章
证：由1。 f '( x) C[a, b],由2。 f '( x)不变号，故f ( x) 知 知 单调，再由3。 唯一的 [a, b]，使f ( ) 0. 知
由1 3 知f ( x)在[a, b]上必属于下列四种情形之一：
。 。
f ''( x) 0 f (a) 0, f (b) 0, f '( x) 0(增) f ''( x) 0
二．收敛性：
mn . n .
◆判定二分次数：
1 lim n 1 b0 a0 0 n 2
1 对 0，若要求 mn n 1 b0 a0 2
b0 a0 则2 n log 2 1与取整的 1抵消 .
定理1.(单点法收敛的充分条件) 设f ( x)在[a, b]上二阶 可导，且满足：
。 1. f ''( x)在[a, b]上不变号（凹凸不变性）；
2。 f '( x)在[a, b]上不为0（单调性）； . 3。 f (a) f (b) 0; . 4。取x0 [a, b], 使f ( x0 ) f ''( x0 ) 0.x1 [a, b], f ( x1 ) f ( x0 ) 0. . 则由(6)所得 xn 单调收敛于f ( x) 0在[a, b]上的唯一根。
列表计算：
n
0 1 2 3 4 5
xn
2 1 1.33333 1.40000 1.41176 1.40378
2
f ( xn )
2 -1 -0.22223 -0.04000 -0.00692
hn
非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法
，
非线性方程组数值解法是通过数值方法解决非线性方程组问题的一种解法。
非线性方程组不像普通的线性方程组，它们往往没有普遍的解析解，一般只有数值解。
因此，非线性方程组的数值解法非常重要。
非线性方程组数值解法的基本思想是，将非线性方程组分解为多个子问题，并采用一种迭代算法求解这些子问题。
最常见的数值方法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。
牛顿法是利用曲线上的点的二次近似，将非线性方程分解为两个子问题，转换为求解一个简单的一元方程的问题来求解非线性方程组的数值解。
拟牛顿法利用有限差分方法来求解非线性方程组的数值解，共轭梯度法利用解的搜索方向，进行有效的搜索，通过解的最优性条件收敛到解。
非线性方程组数值解法是目前应用最广泛的数值解法，它能很好地求解非线性方程组。
不仅能有效求解复杂的非线性方程组，还能求出较精确的数值解。
此外，非线性方程组数值解法运算速度快，可以对模型进行实时定位和跟踪，非常适合模拟复杂的动态系统。
总之，非线性方程组数值解法是一种求解复杂非线性方程组的有效解法，它的准确性高，运算速度快，广泛应用于现实世界中的多种工程与科学计算问题。
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。
本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。
是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。
我将从二分法、Steffensen加速收敛法、Newton迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。
关键字：非线性方程;二分法；Steffensen加速收敛法；代数Newton法；弦截法一、前言随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。
科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。
因此经常需要求非线性方程 f(x) = O的根。
方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则f(x) = O在开区间(a,b)内至少有一个实根。
这时称[a,b]为方程f(x) = O的根的存在区间。
本文主要是对在区间[1.2]的根的数值解法进行分析，介绍了非线性方程数值解法的四种方法，从而得到在实际问题中遇到非线性方程根的求解问题的解决方法。
二、非线性方程的数值解法1、二分法二分法的基本思想是将方程根的区间平分为两个小区间，把有根的小区间再平分为两个更小的区间，进一步考察根在哪个更小的区间内。
如此继续下去，直到求出满足精度要求的近似值。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<O，则[a,b]是方程f(x)=O 的根的存在区间，设其内有一实根，记为。
取区间[a,b]的中点，并计算，则必有下列三种情况之一成立：(1)= O,就是方程的根；(2)f(a)·f()<O，方程的根位于区间[a,]之中，此时令，；(3)f()·f(b)<O，方程的根位于区间[,b]之中，此时令。
数值计算方法-复习-第二章
5
27
局部收敛性
例2.3.8：对方程x3-x2-1=0在初值x0=1.5附近建立 收敛的迭代格式，并求解，要求精确到小数点 后4位
解：构造迭代公式，写出方程的等价形式
x = 3 x2 +1
迭代格式为
xk+1 = 3 xk 2 +1
ϕ'(x) = 2x
33 (x2 +1)2
例2.3.6：求方程 x3-3x+1=0 在[0, 0.5]内的根， 精确到10-5
24
局部收敛性
定义2.2： 如果存在x* 的某个邻域△: |x-x*| ≤δ，
使迭代过程 xk+1 = ϕ (xk)对于任意初值 x0 ∈△均 收敛，则称迭代过程xk+1 = ϕ (xk)在根x* 附近具
有局部收敛性。
解：设f(x)=xex-1, 则
f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0
因此f(x)=0在（0，1）内有根 又 f '(x) = ex + xex = ex (1+ x) > 0
因此方程f(x)=0在(0, ∞)内仅有一根
令ϕ(x) = e−x
在[0,1]上，ϕ
(x)
∈[1 e
,1]
⊂
[0,1]
30
牛顿迭代公式的建立
已知方程f (x) = 0的一个近似根x0，把f (x)在x0
处作泰勒展开
f (x) =
f (x0 ) +
f '(x0 )(x − x0 ) +
f
′′( x0 2!
)
(x
−
x0
计算方法课程知识点.
计算方法课程知识点、技能点和能力点第一章误差1.理解数值计算的概念，了解误差来源以及舍入误差、截断误差的定义。
2.掌握绝对误差、相对误差、有效数字的定义和相互关系。
理解误差分析的一些基本原则和算法的稳定性概念。
第二章一元非线性方程的解法1.了解确定方程的有根区间的方法，会用二分法求方程的近似根。
2. 熟练掌握迭代法求方程根的算法，理解其收敛性定理，会判断迭代序列的收敛性。
3. 熟练掌握牛顿法求根的算法及其局部收敛性定理。
4. 了解加速迭代法求方程根的算法。
第三章线性代数计算方法1.理解高斯消去法原理，掌握用高斯消去法和列主元消去法求解方程组的算法，并会计算行列式的值。
2.会用直接三角分解法解AX=b。
(1)用Doolittle分解法求方程组的解。
(2)用矩阵乘法进行A的LU分解。
(3) A为三对角阵时掌握追赶法计算公式。
(4) A为对称正定时掌握分解法解方程组。
3.熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质。
4.掌握解线性方程组的迭代法的构造和迭代法收敛的充要条件，会判断具体迭代法是否收敛，掌握迭代矩阵范数判别迭代法收敛的充分条件。
5.掌握Jacobi迭代、Gauss-seidel迭代和SOR迭代法解线性方程组的计算公式、迭代矩阵表达式、收敛的充要条件。
第四章插值法1.掌握插值多项式存在唯一性条件，并由此条件求插值多项式，计算函数近似值及误差估计。
2.熟练掌握Lagrange和Newton均差插值公式及其余项表达式，掌握分段线性插值和二次插值。
3.掌握等距节点的Newton前插及后插差分公式，利用插分定义及插分构造Newton 插分多项式。
4. 会求三次样条插值函数，理解曲线拟合法思想。
第五章数值积分1.掌握求积公式代数精度的定义，会用定义确定求积公式的系数和节点，会判断求积公式的代数精度。
2.理解Newton-Cotes公式解决数值积分思想，熟练掌握梯形公式和Simpson公式及其余项，复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，并会进行误差估计。
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程的数值解法
记笔记
数值计算方法
数值计算方法
非线性方程的数值解法
在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一大类 问题是非线性方程
f(x)=0
(2.1)
的求根问题，其中f(x)为非线性函数。
方程f(x)=0的根, 亦称为函数f(x)的零点
如果f(x)可以分解成
Hale Waihona Puke ,其中m为正整数且
,则称f (xx*)是 (fx(xx)*的)m mg(重x) 零点,或称
方程f(x)g=(x0* )的m0 重根。当m=1时称x*为单根。若f(x)
存在m阶导数,则是方程f(x)的m重根(m>1) 当且仅当
f (x* ) f (x* ) f (m1) (x* ) 0, f (m) (x* ) 0
非线性方程的数值解法
当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数方程 为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则称为代数 方程，否则称为超越方程（三角方程，指数、对数方 程等）。一般称n次多项式构成的方程
an x n an1 x n1 a1 x a0 0 (an 0)
为n次代数方程,当n＞1时,方程显然是非线性的 一般稍微复杂的3次以上的代数方程或超越方程,
很难甚至无法求得精确解。本章将介绍常用的求解 非线性方程的近似根的几种数值解法
记笔记
非线性方程的数值解法
通常方程根的数值解法大致分为三个步骤进行 ① 判定根的存在性。即方程有没有根？如果有
根，有几个根？ ② 确定根的分布范围。即将每一个根用区间隔
离开来，这个过程实际上是获得方程各根的 初始近似值。 ③ 根的精确化。将根的初始近似值按某种方法 逐步精确化，直到满足预先要求的精度为止
非线性方程数值解法
对分区间法
对分法的基本思想
对分法的基本思想是在平分有根区间的 过程中，逐步缩小有根区间. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a) f(b)<0 ，则方程f(x)=0在(a, b)内至少有一 个根.为简便起见，假定方程f(x)=0在(a, b) 内仅有一个根.这样(a, b)为有根区间.这 时可用下面的对分法求方程f(x)=0的近似 根.
迭代法的整体收敛性
定理1 （迭代收敛定理）设(x)在[a, b]上具有一阶 导数，且 1°x[a, b] ，总有(x)[a, b] ； 2°存在0m<1，使x(a, b) ，有'(x)m 则 1°方程x=(x)在[a, b]内有且仅有一根α ，其中α 为对任意初值x0 [a, b]由迭代过程xk+1=(xk)所产生 序列的极限. m xk xk xk 1 2°有估计式
求根步骤
（1）确定所给方程存在多少个根. （2）进行根的隔离，找出每个有根区间， 有根区间内的任一点都可看成是该根的 一个近似值. （3）逐步把近似根精确化，直到足够精 确为止.
根的隔离
根的隔离
确定出若干个小区间，使每个小区间有 且仅有方程f(x)=0的一个根，这个步骤称 为根的隔离.其中每个有根小区间都称为 隔根区间.
第三章
非线性方程的数值解法
根的概念
给定方程f(x)=0，如果有α使得f(α)=0， 则称α为f(x)=0的根或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x) 且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的 m重根；当m=1时，称为f(x)=0的单根. 本章只讨论实根的求法.
数值计算(第二版)第二章
2.1.2 根的隔离方法
例：考察方程
f ( x) x x 1 0
3
利用逐步搜索法确定一个有根区间
解：注意到f (0) < 0, f (+) >0，知f (x)至少有一 个正的实根 设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行根的 扫描 x
0 0.5 1.0 1.5
f (x) 的符号 －
有根区间
根的隔离
计算机科学与工程系
8
2.1.1 方程的根
定理1：设函数f (x)在区间[a, b]上连续，如果f (a) f (b) < 0，则方程f (x) = 0在[a, b]内至少 有一实根x* 定理2：设函数f (x)在区间[a, b]上是单调连续 函数，并且f (a) f (b) < 0，则方程f (x) = 0在 [a, b]上有且仅有一实根x*
-
0.0157
0.0078
计算机科学与工程系 21
2.3 迭代法
简单迭代法的原理 迭代法的收敛性 迭代加速法
计算机科学与工程系 22
2.3.1 简单迭代法原理
基本思想
将方程f (x) = 0化为一个等价的方程 x (x ) 从而构成序列
xk 1 ( xk ) k 0, 1, 2,
在区间[1, 1.5]内的实根，要求准确到小数点 后第2位。
解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式
1 1 x xk bk 1 ak 1 k 1 (b a) 10 2 2 2 k 6
*
计算机科学与工程系 20
2. 2 二分法
一元非线性方程的解法
2.1 二分法
基本假设 : 在闭区间 [a,b] 上, f (x) 连续且 f (a) f (b) 0
2.1.1 二分法的计算步骤
常用终止原则为:
当计算到bk
ak
2
时终止计算, 取
~x
1 2
ak
bk
2.1.2 二分法的收敛性与事前误差估计
因为 bk
ak
1
2 bk1
f (x)=0 在 内的唯一根。
证 反设存在 ~x , ~x x且 f (~x ) 0,即 ~x g(~x )
则 0 | ~x x || g(~x ) g(x ) |
L| ~x x || ~x x |
矛盾。所以结论成立。 2) 迭代函数在 x* 附近李普希兹连续从而收敛的
(2 4)
| xks xks1 | L| xks1 xks2 | Ls | xk xk1 |
注 虽然定理2.1的条件是充分条件，但其条件 并不很强，实际上，我们易证如下命题。
命题2.2 若在区间 [a,b] 内 g[x] 1 ，则对任
何 x0 [a,b]，迭代格式 xk1 g(xk ) 不收敛。
2.2.3 迭代法的误差估计
| xk1 xk | L| xk xk1 | (k 1,2,)
2.2 一般迭代法
2.2.1 迭代法的算法思想
对 f (x) 0
(2 2)
迭代法的算法思想为：
(1) 把（2-2）等价变换为如下形式
x g(x)
(2 2)
从而 x g (x ) , x* 称为 g(x) 的不动点
(2) 建立迭代格式
xk 1 g ( xk )
一元非线性方程的解法
第2章 一元非线性方程的解法2.1初始近似根的确定在工程和科学技术领域中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域，经常会遇到求解高次代数方程或求解含有指数和正弦函数的超越方程的问题。
高次代数方程和超越方程统称为非线性方程。
对于二次代数方程，可以用熟悉的求根公式。
对于三次、四次代数方程，虽然有求根公式，但并不实用。
而高于四次的代数方程没有求根公式，至于一般的超越方程，更没有求根公式可套。
例如高次代数方程02736=-+-x x x或超越方程 06sin =--xe x π这些方程看似简单，却不易求其准确根。
而在实际问题中，只要能获得满足一定精确度的近似根就可以了，所以研究适用于实际计算的求方程近似根的数值方法，具有重要的现实意义。
本章主要讨论一元非线性方程的数值解法。
设一元非线性方程为0)(=x f )1.2(若有数*x 使0)(=*x f 成立，则称*x 为方程0)(=x f 的根，或称*x 为函数)(x f 的零点。
如果)(x f 能写成)()()(x g x x x f m *-=其中m 是正整数，0)(*≠x g ，则称x *为f x ()=0的m 重根，或称x *为)(x f 的m 重零点；1=m 时，称x *为方程的单根。
求方程的根往往分为两个步骤：()1确定根的初始近似值(称之为初始近似根)；()2根的精确化。
已知根的初始近似值，利用某种方法将此近似值逐步精确化，直至满足预先要求的精度为止。
如何求根的初始近似值？由连续函数的性质知： 如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，严格单调，且0)()(<b f a f ，则在],[b a 内方程0)(=x f 有且仅有一个实根（如图1.2）。
根据这一结论，可以采用下面介绍的逐步扫描法来求根的初始近似值。
方程)1.2(的根的分布可能很复杂，一般可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数)(x f 的定义域分成若干个只含一个实根的区间。
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
计算方法-刘师少版第二章课后习题完整答案
0 < λf ′(x) < 2
− 2 < −λf ′(x) < 0
−1 < 1 − λf ′(x) < 1
1 − λf ′(x) < 1
即 ϕ ′(x) < 1 ，所以 xk+1 = ϕ (xk ) = xk − λf (xk ) 收敛于 f (x) =0 的根。
2.7 试用牛顿迭代法导出下列各式的迭代格式：
应的迭代公式：
（1）x
=1+
1 x2
，迭代公式
xk
+1
=1+
1
x
2 k
（2）x3 = 1 + x 2 ，迭代公式 xk+1 = 3 1 + xk2
（3） x 2
=
x
1 −
1
，迭代公式
xk
+1
=
1 xk −1
（4） x = x3 − 1 ，迭代公式
xk+1 = xk3 − 1
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛迭代公式求出具有四位有效数字的近似
x8 = 1.4656344
x9 = 1.4656000
x9
− x8
≤ 1 ×10−4 , 2
x9 = 1.4656000
2.5 对于迭代函数ϕ (x) = x + C(x 2 − 2) ，试讨论：
（1） 当 C 取何值时， xk+1 = ϕ (xk ), (k = 0,1,2,L) 产生的序列 {xk }收敛于 2 ；
6 6x2
63
ϕ ′(3 a ) == 5 − a (3 a )−3 = 5 − 1 = 1 ≠ 0
63
非线性方程的数值解法
迭代法求解的问题
1、迭代的收敛性 2、迭代的收敛速度 以上问题与迭代形式 x=ϕ(x)有关 例：方程 x2 + x – 6 =0 ,初值x0=1 迭代形式： x =6-x2 结果发散 迭代形式： x =(6+3x-x2)/4
结果收敛
简单迭代法的几何解释
迭代法的收敛条件
设方程 f (x)=0的根为x=a, 即f (a)=0 迭代形式 x=ϕ(x)，则 a = ϕ (a)，xn+1 = ϕ (xn) xn+1-a = ϕ (xn)- ϕ (a)
f ′(x) 与 f ′ (x) 均存在,
x0, x∈[ a,b] ；
插 值 法 的 几 何 解 释
弦割法
Newton’s Method 一步要计算 f 和 f ’，相当于 个函数值， 个函数值， ，相当于2个函数值 比较费时。 比较费时。现用 f 的值近似 f ’，可少算一个函数值。 ，可少算一个函数值。
直接法：fslove函数 直接法：fslove函数
fsolve函数有多种调用格式可供选用，现 以最常见的格式为例说明。 b=fsolve (′F′,x0,options) 例：fsolve(‘sin(x)’,1.2) 其中F为函数名，x0为初值矩阵,options为 以向量表示的可选参数值
迭代法求解
第二节 初值估计
1. 物理法 根据数学方程 f(x)=0 的物理概念确定初值。 例：计算实际气体的压缩因子 Z = PV / R T 可将理想气体的压缩因子作为初值 优缺点：物理法估计初值简便而确切, 并 具有明确的物理概念。但在实际应用上有 一定的局限性, 并不能解决所有初值的估 计问题。
Z0 =1
ϕ′(x) ≤ q <1
非线性方程的数值解法课件
弦截法
弦截法是一种改进的迭代方法 ，通过将非线性方程转化为线 性方程来求解根。
弦截法的迭代公式为 $x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$ ，其中$f(x)$为非线性方程。
弦截法的优点是无需计算函数 的导数，但收敛速度较慢，且 需要选择合适的迭代初值。
04
迭代法的优点是简单易 行，但收敛速度较慢， 且需要选择合适的迭代 初值。
牛顿法
牛顿法是一种基于泰勒级数的迭代方 法，通过线性化非线性方程来求解根 。
牛顿法的收敛速度较快，但需要计算 函数的导数，且在接近根时可能会产 生震荡。
牛顿法的迭代公式为$x_{n+1}=x_nfrac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，其中$f(x)$为 非线性方程。
步长与收敛性的关系
深入研究步长与算法收敛性的关系，以找到最佳的步长调整策略。
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这类方程在某些区间上具 有不同的非线性性质，例 如 $|x| = y$。
非线性方程的特性
不存在通用解法
与线性方程不同，非线性 方程没有统一的解法，需 要根据具体方程的特点选 择合适的解法。
解的复杂性
非线性方程的解通常比线 性方程复杂，可能存在多 个解或不存在解，也可能 存在混沌解。
对初值和参数敏感
线性方程
如果一个方程中未知数的最高次 幂为一次，并且没有未知数的幂 ，那么这个方程就是线性方程。
非线性方程的分类
01
02
03
代数非线性方程
这类方程中包含未知数的 幂，例如 $x^2 + y^3 = 1$。
超越非线性方程
计算方法 第2章 非线性方程数值解法
第二章非线性方程数值解法本章将讨论非线性方程0)(=x f (2.1)的数值解法，我们最为熟悉的非线性方程是一元二次方程02=++c bx ax也是最简单的非线性方程，其解为：aac b b x 2422,1-±-=但是对于(2.1)式中一般形式的非线性函数)(x f ，很难甚至不可能找到解析形式的解，通常只能用数值的方法求其近似数值解。
2.1 基本概念定义2.1如果*x 满足0)(*=x f ，则称*x 为方程(2.1)的解或根，也称*x 为函数)(x f 的零点或根。
用数值方法求解非线性方程的解，通常需要我们对其解有一个初步的估计，或知道其解的一个限定区间，因此确定包含解的区间将是我们首先需要解决的问题。
定义2.2若连续函数)(x f 在],[b a 内至少有一个根，则称],[b a 为有根区间，若在],[b a 内恰有一个根，则称],[b a 为隔根区间。
定理2.1 如果函数)(x f 在],[b a 上连续且0)()(<b f a f ，则)(x f 在),(b a 内至少有一个根，如果函数)(x f 另外满足在],[b a 上单调连续，则)(x f 在),(b a 内恰有一个根。
寻找隔根区间的通常方法有：图形法, 试探法。
例2.1 求033)(3=+-=x x x f 的有根区间。
解：作出函数)(x f y =的曲线图形图2.1 例2.1曲线示意图观察图中的曲线与X 轴的交点，可判断在区间)2,3(--之间方程有一个根。
例2.2 求033)(23=--+=x x x x f 的有根区间。
解：计算出)(x f 在一些点的值。
从表中可以看出1-=x 是一个根，区间)2,1(是一个有根区间。
如果在[-2,-1]之间把间隔再缩小到0.25我们可以得到下列表格在这个表格里我们又发现一个有根区间)5.1,75.1(--。
从此例中我们可以体会到试探法有可能漏掉某些有根区间，具有一定的局限性。
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就取 作为原方程的近似根．这种求根法称为不动点迭代法，或称逐次逼近法(Picard迭代法)．(5.3.2)就是一个不动点迭代公式．当迭代公式产生的迭代序列 收敛时，就称迭代法或迭代公式是收敛的，否则就称为是发散的．
二、不动点迭代法的构造
我们使用迭代法求解非线性方程(5.0.1)时需要解决如下四个问题：(1) 迭代函数的构造；(2) 初始近似根的选取；(3) 迭代序列收敛性分析；(4) 收敛速度和误差分析．
三、牛顿迭代法及其收敛性
设 是一元非线性方程 的根，函数 在 的某邻域内连续可微， 是某个迭代近似根，且 ．把 在点 处进行一阶泰勒展开，可得
由以上步骤可以看出，求非线性方程数值近似根的方法一般为迭代法．
第一节初始近似根的确定
一、有根区间的确定
设 为区间 上的连续函数，若 ，由闭区间上连续函数的性质（根的存在定理）可知，方程 在 内至少存在一个实根，此时则称 为方程 的有根区间(Rooted Inter-val)．
此外我们也可以借助某些数学软件(如MathCAD, Mathematics, Matlab等)描绘出 的图像，直观地了解方程 根的分布情况．因此，我们可用试探的办法或根据函数的图象，确定出根的分布范围，即将函数 的定义域分成若干个只含一个实根的区间．
输出满足精度的根 ，结束．
例用牛顿迭代法求方程 在 附近的根，精度为 ．
解这里 , ，相应的牛顿迭代公式为
表
0
1
0.
2
3
4
,
取 ，迭代结果见表，易见
故
迭代了4次就得到了较满意的结果．
例用牛顿法计算 ．
解令 ，则 ，即求 等价于求方程
的正实根．因为 ，由牛顿迭代公式得
， (5.3.5)
取初值 ，得
，
，
第二节 二分法
二分法也称为区间对分法，是解非线性方程最直观、最简单的方法．
为讨论方便，不妨设函数 在 上连续，严格单调，且 ，则方程 在区间 内有且仅有一个实根 ．
二分法的基本思想：将方程的有根区间平分为两个小区间，然后判断根在哪个小区间，舍去无根小区间，而后再把有根的小区间一分为二，判断根属于哪个更小的区间，如此反复，直到求出满足精度要求的近似根．
设切线点与 轴的交点为 ，若 ，则可得
牛顿迭代公式(5.3.4)
,
因此，牛顿迭代法又称为切线法(Tangent Method)．
牛顿迭代法的几何意义：用曲线 在点 处的切线与 轴的交点的横坐标 来代替曲线 与 轴交点的横坐标 ．
牛顿迭代法的计算步骤为：
给出初始近似根 及精度 ；
计算 ；
对于给定的允许误差 ，若 , 转向 ；否则 ,转向 ；
如此反复，便得到一系列有根区间
显然，区间 的长度为
(5.2.1)
当 时，上式的极限为 ，区间 最终必收敛于一点, 该点就是所求方程(5.0.1)的根 ．
我们取二分后的最后的有根区间 的中点 作为方程(5.0.1)的根 的近似根
， ，
其误差估计式为
(5.2.2)
当 时，取 ，即 ．
对预先给定的精度 (即指定的绝对误差限 )，可以用以下方式结束二分法：
3、收敛性可保证．
二分法的缺点：
1、收敛速度很慢；
2、不能求偶数重根，原因在于当方程(5.0.1)有偶数重根时所分区间端点处函数值同号，而将该区间舍去造成失根现象．
因此．在实际应用时，可用它求方程根的初始近似值．
例用二分法求方程 在 上的根(取 )．
解(1) 这里 ， ，得有根区间 ；
(2) 计算 ，得有根区间 ；
(5.3.1)
若要求 满足 ，则只需求出 即可；反之也是如此，则称 为函数 的一个不动点，求函数 的零点就等价于求函数 的不动点．在有根区间内选一个初始近似值 ，然后按(5.3.1)构造公式
(5.3.2)
可得到一个数列
称 为迭代序列，而称(5.3.1)式中的 为迭代函数．如果迭代序列 是收敛的，且收敛于 ，则当 连续时，在式两边取极限即得 ，即
(3) 计算 得有根区间 ；
如此继续，直到 时停止，计算结果见表：
表
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
由表知
所以原方程在 内的根 ．
第三节 牛顿迭代法及其收敛性
迭代法在数学的各个分支都有着重要的应用．本节主要讨论迭代法在非线性方程求根的应用．
一、迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是：将方程(5.0.1)中 化为下列等价形式
= ，
其中 为正整数，且 ．当 =1时，称 为方程 的单根，而当 时，则称 为方程 的 重根，或称 为 的 重零点．设 为 的 重零点，且 充分光滑，则
， .
根的求解：对于 次多项式方程，当次数 时，多项式方程的根可用求根公式表示： 时方程的根是我们已经熟知的， 时虽然有求根公式，但已不适合用于数值计算；而次数 时，就不能用公式表示多项式方程的根了．因此，对于次数 的多项式方程和一般连续函数方程(5.0.1)，在实际应用时，通常并不需要得到方程根的解析表达式，只要得到满足一定精度的数值近似根就可以了．
当 时，必有 ，结束二分法计算，取 ；
二分法的计算步骤如下：
(1) 输入有根区间的端点 及预先给定的精度 ；
(2) ；
(3) 若 ，则 ，转向(4)；否则 ，转向(4)；
(4) 若 ，则输出方程满足精度的根 ，结束；否则转向(2)．
二分法的优点：
1、是算法简单；
2、对函数的性质要求较低(只要连续即可)；
例试确定方程 的有根区间.
解由于 ，当 时 ，则 为严格单调增函数；而当 时 ，则 为严格单调减函数．又由于 ， ，所以方程 只有两个实根．
经进一步分析可知， ，则方程在[1，2]内有一个实根； ，则方程的另一个实根在[-1，0]内.
下面介绍的几种求方程的根的常用数值解法，即二分法，牛顿迭代法，都是将方程的初始近似根逐步精确化的方法．
第二章 一元非线性方程的数值解法
在科学和工程计算中，如电路和电力系统计算、非线性微分和积分方程、非线性规划、非线性力学等众多领域中，经常会遇到求解非线性方程的问题．非线性科学是当今科学发展的一个重要的研究方向，而非线性方程的数值解法又是其中不可缺少的内容．
本章主要讨论一元非线性方程
(5.0.1)
的数值解法，其中 ， 为 的非线性函数．
对于非线性方程 ，求其近似数值根一般分为四步：
(1) 判断根的存在性：判断方程 是否有根若有，有几个
(2) 确定根的分布范围：分析并估计方程根的分布情况，并将每一个根用相应区间分隔开，即确定方程根的有根区间；
(3) 根的初始化：确定根的初始近似值(称之为初始近似根)；
(4) 根的精确化：对根的某个初始近似值设法逐步精确化，使其满足一定的精度要求．
则方程 可近似表示为
(5.3.3)
这是一个线性方程，求解得
将其右端项作为新的迭代值 ，则可得迭代公式
(5.3.4)
图 切线法示意图
这就是牛顿迭代法(Newton’s Method)，(5.3.4)称为牛顿迭代公式.
如图所示，曲线 与 轴的交点 就是方程 的根．设 是方程 的一个近似根，过曲线 上的点 作切线，切线与 轴的交点为 ,切线的方程为
这个迭代公式的意义在于通过加法和乘除法实现开方运算，这是在计算机上作开方运算的一个方法．
二分法的具体计算过程如下：
1. 取区间 的中点 ，计算区间中点函数值 ，并判断求根 ；
若 ，则根 ，令 ，则新的有根区间为 ．
2. 对有根区间 施行同样的操作，即取中点 ，再将 分为两个子区间 和 ，计算 和 ，若
则 ，令 ；否则 ，令 ．这样又确定了一个有根区间 ，其长度是区间 长度的一半．
在方程(5.0.1)中，若函数 是 的 次多项式，则称方程为多项式方程或代数方程： ；若函数 是超越函数（自变量之间的关系不能用有限次加、减、乘、除、乘方、开方 运算表示的函数。如指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等都是超越函数），则称方程为超越方程：例
使 的 称为方程 的根，又称为函数 的零点．若 可分解为