同角三角函数的基本关系式练习
同角三角函数基本关系及诱导公式练习zst
同角三角函数基本关系及诱导公式练习【基础知识梳理】1.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π+α.2.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为-α(或2π-α).3.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为π-α.4.终边与角α的终边关于--------------------对称的角可以表示为2π-α. 5.诱导公式(1)公式一 sin(α+k ·2π)=--------------------------------, cos(α+k ·2π)=--------------------------, tan(α+k ·2π)=----------------------------,其中k ∈Z.(2)公式二 sin [(21)]k πα++=----------------------------, cos [(21)]k πα++=--------------------------------, tan [(21)]k πα++=----------------------------.(3)公式三 sin(-α)=--------------------,cos(-α)=----------------,tan(-α)=----------------.(4)公式四sin(π-α)=----------------------, cos(π-α)=----------------------, tan(π-α)=----------------------.(5) 公式五 sin(2π-α)=---------------------------------,cos(2π-α)=---------------------------------. (6)公式六 sin(2π+α)=---------------------------------,cos(2π+α)=---------------------------------. 口诀：一、选择题1． 已知53cos =α，且α是第四象限角，则sin α=__________. A.54 B.43 C.54- D.43- 2．已知sin α=21,且α为第二象限角，则cos α=________. A.23 B.43 C. 23- D.43- 3．下列各式中正确的是_________.A.απαsin )sin(=+B.απαcos )2cos(-=+C.ααπtan )tan(-=+D.ααπsin )sin(=-4．若tan α=1，则ααααcos sin cos 3sin 2++的值是____________.A.21B.23 C.25 D.27 5．已知5cos 5sin 2cos 3sin -=+-αααα，则tan α=________. A.-2 B.1225 C.1128 D.922- 6．下列等式中正确的个数有__________.(1)ααπsin )sin(-=+ (2)ααπcos )2cos(-=+(3)ααπtan )3tan(-=+ (4)ααπcos )5cos(-=- A.1 B.2 C.3 D.4 7，已知sin α=54，α的终边在第一象限，则)sin(απ+和)2cos(απ-的值是_____. A.5354和 B.5354和- C.5354-和 D.5354--和 二、填空题 1．2cos 2sin 22αα+=______________.2．)4sin(π-=____________；613sin π=________. 3．45cos π=__________；32cosπ=_________. 4．)300cos(0-=_________；0495sin =____________. 5．)43tan(π-=________；67cos π=________；)49sin(π-=________. 6．1)(cos 2)tan()sin()sin(22+------x x x x π=__________. 7．已知πθπθ 2,21cos 且-=，则θtan =_________. 8．化简：)tan()cos()3sin(απααπ+--=___________. 三、解答题1．化简：)3tan()cos()tan()2sin(x x x x --+-ππππ 2． 已知41tan =x ，求xx x x sin 3cos 2sin 5cos +-的值。
1.2.2同角三角函数的基本关系式练习题
同角三角函数的基本关系式练习题1．若 sin α＝ 4，且 α是第二象限角，则 tan α的值等于 () 5A ．－ 4 3 3 43 B. C ．± D ． ±4 4 3 2．化简 1－sin 2160 °的结果是 ()A ． cos160 °B ．－ cos160 °C ． ±cos160 °D ． ±|cos160 | °2sin α－cos α3．若 tan α＝ 2，则的值为 ()sin α＋ 2cos α35 A ． 0B.4 C ． 1D. 484．若 cos α＝－ 17，则 sin α＝ ________， tan α＝ ________.5，则 sin α等于 ()5．若 α是第四象限的角， tan α＝－121 1 35A. 5B ．－ 5 C.15 D ．－ 136．若 α为第三象限角，则cos α ＋ 2sin α 的值为 ()1－ sin 2α1－ cos 2α A ． 3B ．－ 3C ． 1D ．－127、已知 A 是三角形的一个内角， sinA ＋ cosA = 3 ,则这个三角形是 （ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．不等腰直角三角形D ．等腰直角三角形18、知 sin α cos α = 8 ,则 cos α－ sin α 的值等于（ ）3333A ．± 4B ．± 2C ． 2D ．－ 2、已知 是第三象限角，且 sin 4cos45 ，则sin cos（）992 B ．2 C ． 1 D ．1A ．333310、如果角满足 sin cos2,那么 tan1的值是（）tanA ． 1B ．2C ． 1D ． 2sin cos ，则 tan（ ）11、若22 sincosA ．1B ．-1C ．3D ．443112． A 为三角形 ABC 的一个内角，若sinA＋ cosA＝12，则这个三角形的形状为 () 25A ．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形13．已知 tanθ＝ 2，则 sin2θ＋ sin θcosθ－ 2cos2θ等于 () 4534 A．－3 B. 4 C.－4 D. 5 14． ( tan x1)cos2x＝ ()tan xA ． tanx B． sinx C． cosx1 D．tan x15．使1－cosα cosα－ 1)＝sinα成立的α的范围是 (1＋cosαA ． { x|2kπ－π＜α＜ 2kπ， k∈Z }B． { x|2kπ－π≤ α≤ 2kπ， k∈Z }3πC． { x|2kπ＋π＜α＜ 2kπ＋2， k∈Z} D．只能是第三或第四象限的角16．计算17．已知1－ 2sin40 ·°cos40 °2＝ ________.sin40 －° 1－sin 40°1－ sinαcosαtanα＝－ 3，则2sinαcosα＋cos2α＝________.18、若tan3sin 3 2 cos3的值为 ________________ ．，则32 cos3sinsin cos2，则 sin cos 的值为19、已知cossinsinα20．若角α的终边落在直线x＋y＝ 0 上，则2＋1－sin α21．求证： sinθ(1＋ tanθ)＋ cosθ·(1＋1)＝1＋1.tanθ sinθ cosθ1－cos2α的值为 ________．cosα2部分答案1、解析： 选 A. ∵α为第二象限角，∴cos α＝－ 1－ sin 2α＝－1－ 4 2＝－ 3，5 54∴tan α＝ sin α 5＝－ 4.＝3cos α － 352、解析： 选 B. 1－ sin 2160 °＝ cos 2160 °＝－ cos160 °.2sin α－ cos α 2tan α－ 1.3、解析： 选 B.＝ ＝ 3sin α＋ 2cos α tan α＋ 2 48 4、解析： ∵ cos α＝－ 17<0，∴α是第二或第三象限角．若 α是第二象限角，则 sin α>0， tan α<0.∴sin α＝215 ， tan α＝ sin α 151－ cos α＝＝－ 8.17cos α若 α是第三象限角，则sin α<0， tan α>0.∴ sin α＝－215， tan α＝ sin α 15 .1－ cos α＝－17 ＝cos α 8 答案：15或－15－ 15或1517 17 8 85、解析： 选 D. ∵tan α＝ sin α 5 2 2＝－ ， sin α＋ cos α＝ 1，cos α 12∴ sin α＝±5，13又 α为第四象限角，∴sin α＝－ 135.6、解析： 选 B. ∵α为第三象限角，∴ sin α<0， cos α<0，∴cos α＋2sin α＝cos α 2sin α1－ sin 2＋＝－ 1－2＝－ 3.α1－ cos 2α |cos α||sin α|127、解析： 选 B. ∵sinA ＋ cosA ＝ ，212 2 144∴ (sinA ＋ cosA) ＝ (25) ＝ 625，即 1＋2sinAcosA ＝144，∴ 2sinAcosA ＝－481625625<0，∴ sinA>0，cosA<0，∴ A 为钝角，∴△ ABC 为钝角三角形．13、解析： 选 D.sin 2θ＋ sin θcos θ－ 2cos 2θ322θ＝ sin θ＋ sin θcos θ－ 2cossin 2θ＋cos 2θ＝ tan 2θ＋ tan θ－ 2tan 2θ＋1＝ 4＋ 2－2＝ 4.5 52sinx ＋ cosx 214、解析： 选 D.(tan x ＋ cotx) ·cos x ＝( cosx sinx ) ·cos x ＝sin 2x ＋ cos 2x2cosx＝ cotx.sinx ·cosx ·cos x ＝ sinx15、解析：选 A.1－ cos α1－ cos α2 1－ cos α cos α－ 1＝＝|sin α|＝，1＋ cos α1－ cos 2αsin α即 sin α＜ 0，故 { x|2k π－π＜ α＜ 2k π， k ∈ Z } ．2cos40 °－ sin40 °16、解析： 原式＝sin40 －°cos40 °＝＝－ 1.sin40 －° cos 240° sin40 －°cos40 °答案： －11－ sin αcos αsin 2α－ sin αcos α＋ cos 2α tan 2α－ tan α＋ 1 － 3 2－ －3 ＋117、解析：2＝2＝2tan α＋ 1 ＝ ＝2sin αcos α＋ cos α2sin αcos α＋ cos α2× －3 ＋113 － 5 .答案： －13518、答案： 5/321、证明： 左边＝ sin θ(1＋ sin θcos θ)＋ cos θ·(1＋)cos θsin θ2θ2θ＝ sin θ＋sin＋ cos θ＋coscos θsin θ2θ2θ＝ (sin θ＋ cossin＋cos θ)sin θ)＋ (cos θsin 2θ＋ cos 2θ sin 2θ＋ cos 2θ＝＋cos θsin θ＝1＋1＝右边，sin θcos θ∴原式成立．4。
高考数学专题《同角三角函数的基本关系与诱导公式》习题含答案解析
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式1．（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边与单位圆交于点34,55⎛⎫⎪⎝⎭，则tan()πθ-的值为（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C 【解析】由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.【详解】解：由题意知，43sin ,cos 55θθ==，则sin 4tan cos 3θθθ==，所以4tan()tan 3πθθ-=-=-，故选:C.2．（2021·全国高三其他模拟（理））已知1tan ,2α=则()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=（ ）A ．﹣12B ．12C ．2D ．﹣2【答案】C 【解析】先用“奇变偶不变，符号看象限”将()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为cos sin αα--，结合同角三角函数的基本关系来求解.【详解】因为1tan 2α=，所以()cos cos 2παπα-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=cos sin αα--=1tan α=2.故选：C练基础3.（2021·全国高一专题练习）已知3cos cos()2παπα⎛⎫-++= ⎪⎝⎭则1tan tan αα+=（ ）A ．2B ．-2C ．13D ．3【答案】A 【解析】用诱导公式化简，平方后求得sin cos αα，求值式切化弦后易得结论．【详解】3cos cos()sin cos 2παπααα⎛⎫-++=∴--= ⎪⎝⎭即21sin cos (sin cos )2,sin cos ,2αααααα+=∴+=∴=1sin cos 1tan 2tan cos sin sin cos αααααααα∴+=+==，故选：A ．4．（2021·河南高三其他模拟（理））若1tan 2α=，则22sin sin cos ααα+=_______________________.【答案】45【解析】利用同角三角函数的基本关系式进行化简求值.【详解】因为12tan α=，所以222222224215sin sin cos tan tan sin sin cos sin cos tan ααααααααααα+++===++.故答案为：455．（2021·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（文））若3sin 2πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭[0,2)θπ∈，则θ=___________.【答案】116π【解析】根据三角函数的诱导公式，求得cos θ=[0,2)θπ∈，进而求得θ的值.【详解】由三角函数的诱导公式，可得3sin cos 2πθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，即cos θ=，又因为[0,2)θπ∈，所以116πθ=.故答案为：116π.6．（2021·上海格致中学高三三模）已知α是第二象限角，且3sin 5α=，tan α=_________.【答案】34-【解析】根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.【详解】由α是第二象限角，知4cos 5α===-，则sin 3tan cos 4ααα==-故答案为：34-7．（2021·上海高三二模）若sin cos k θθ=，则sin cos θθ⋅的值等于___________(用k 表示).【答案】21kk +【解析】由同角三角函数的关系得tan θk =,进而根据22sin cos sin cos sin cos θθθθθθ⋅⋅=+,结合齐次式求解即可.【详解】因为sin cos k θθ=，所以tan θk =，所以2222sin cos tan sin cos sin cos tan 11kk θθθθθθθθ⋅⋅===+++，故答案为:21k k +8．（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数log (3)2(0a y x a =-+>且a ≠1)的图象过定点Q ，且角a 的终边也过点Q ，则23sin α+2sin cos αα=___________.【答案】75【解析】首先可得点Q 的坐标，然后可得tan α，然后可求出答案.【详解】由题可知点Q (4，2)，所以1tan ,2α=所以22223sin 2sin cos 3sin 2sin cos sin cos αααααααα++==+2211323tan 2tan 74211tan 514ααα⨯+⨯+==++故答案为：759．（2021·上海高三其他模拟）已知3sin 5x =，(,)2x ππ∈，则cos(π﹣x )=___________.【答案】45【解析】根据22sin cos 1x x += ，(,)2x ππ∈，求出cos x ，再用“奇变偶不变，符号看象限”求出cos(π﹣x ).【详解】解：因为3sin 5x =，(,)2x ππ∈，可得cos x =﹣=﹣45，所以cos(π﹣x )=﹣cos x =45.故答案为：45.10．（2020·全国高一课时练习）若2cos()3απ-=-，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．【答案】.【解析】利用诱导公式化简已知和结论，转化为给值求值的三角函数问题解决.【详解】原式=sin(2)sin(3)cos(3)cos (cos )cos παπαπαααα---+----=2sin sin cos cos cos ααααα--+=sin (1cos )cos (1cos )αααα---=-tan α，因为2cos()cos 3απα-=-=-，所以2cos 3α=，所以α为第一象限角或第四象限角．(1)当α为第一象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.(2)当α为第四象限角时，sin α=所以sin tan cos ααα=，所以原式.综上，原式=.1．（2021·全国高三其他模拟（理）(0)a a =>，则1tan 2=________（用含a 的式子表示）．【解析】根据同角三角函数的相关公式，把根号下的式子变形为完全平方式，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2111112sin cos sin cos 2222⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由11cos sin 022>>，开方即得1cos 22a =，再由22111tan 12cos 2+=即可得解.【详解】练提升=+=1111cos sin sin cos2222=-++12cos 2a ==，则1cos 22a =而22111tan 12cos 2+=，2214tan 12a∴=-又1tan 02>，1tan 2∴==.2.（2021·河北邯郸市·高三二模）当04x π<<时，函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】化简函数得21()tan tan f x x x=-，再换元tan ,(0,1)t x t =∈，利用二次函数和复合函数求函数的最值.【详解】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos x x f x x x xx x =-所以21()tan tan f x x x =-，当04x π<<时，0tan 1x <<，设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---，所以当12t =时，函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．故答案为：4-3．（2021·浙江高三其他模拟）已知πtan 34α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则3πtan 4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______，sin cos αα=______.【答案】3 25【解析】由3ππtan tan 44αα⎛⎫⎛⎫-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求，由和的正切公式求出tan α，再建立齐次式即可求出.【详解】3πππtan tan πtan 3444ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.由πtan 1tan 341tan ααα+⎛⎫+==- ⎪-⎝⎭，得tan 2α=，故222sin cos tan 2sin cos sin cos tan 15αααααααα===++.故答案为：3；254．（2021·全国高一专题练习）如图，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，M ，N 在单位圆上且分别在第一､第二象限内，OM ON ⊥.若四边形OAMN 的面积为34，则AOM ∠=___________；若三角形AMN 的面积为25，则sin AOM ∠=___________.【答案】6π 35【解析】根据四边形OAMN 的面积，列出关于M 点纵坐标M y 的方程，求出M y ；即可根据三角函数的定义求出sin AOM ∠，进而可得AOM ∠；根据三角形AMN 的面积为25，得到M y 与N y 之间关系，再结合三角函数的定义，得到1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，利用同角三角函数基本关系，即可求出结果.【详解】若四边形OAMN 的面积为34，则3111142222MON MOA M M S S OM ON OA y y =+=⨯⨯+⨯⨯=+V V ，解得12M y =，由三角函数的定义可得1sin 2M AOM y ∠==，因为M 为第一象限内的点，所以AOM ∠为锐角，因此6AOM π∠=；若三角形AMN 的面积为25，则21115222MON MOA AMN OAMN AON AON M N S S S S S S y y ==-=-=+-+V V V V V ，即51N M y y -=，由三角函数的定义可得，sin M AOM y ∠=，sin N AON y ∠=，又sin sin cos 2N y AON AOM AOM π⎛⎫=∠=∠+=∠ ⎪⎝⎭，所以1cos sin 5AOM AOM ∠-∠=，由221cos sin 5sin cos 1AOM AOM AOM AOM ⎧∠-∠=⎪⎨⎪∠+∠=⎩解得3in 5s AOM ∠=或4in 5s AOM ∠=-，又AOM ∠为锐角，所以3in 5s AOM ∠=.故答案为：6π；35.5．（2021·河南高一期中（文））（1）已知角α的终边经过点()43P ,-，化简并求值：221cos sin cos sin cos tan 1a ααααα-+---；（2的值．【答案】（1）15-（2）1．【解析】（1）利用三角函数定义得到3sin 5α=，4cos 5α=-，化简三角函数表达式代入即可得到结果；（2）利用同角基本关系式化简即可.【详解】（1）由题意知，3sin 5α=，4cos 5α=-．原式222sin sin cos sin sin cos 1cos ααααααα+=---2222sin sin cos sin cos sin cos cos αααααααα+=---()2222cos sin cos sin sin cos sin cos αααααααα+=---22sin cos sin cos sin cos αααααα=---22sin cos sin cos αααα-=-341sin cos 555αα=+=-=-；（2）原式=sin 40cos 40cos 40cos50︒-︒=︒-︒cos 40sin 401cos 40sin 40-==-︒︒︒︒．6．（2021·河南高一期中（文））已知sin 2cos 0αα+=．（1）求sin 2cos cos 5sin αααα--的值；（2）求33sin cos cos sin aααα+的值．【答案】（1）411-；（2）858-．【解析】（1）本题可根据sin 2cos 0αα+=得出tan 2α=-，然后根据同角三角函数关系即可得出结果；（2）本题可通过22sin cos 1αα+=求出2sin α、2cos α的值，然后通过同角三角函数关系即可得出结果.【详解】（1）因为sin 2cos 0αα+=，所以tan 2α=-，则sin 2cos tan 24cos 5sin 15tan 11αααααα--==---.（2）联立22sin 2cos 0sin cos 1αααα+=⎧⎨+=⎩，解得224sin 51cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则3322sin cos tan 185cos sin cos sin tan 8a ααααααα+=+=-.7．（2020·武汉市新洲区第一中学高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴非负半轴为始边作角0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知点A ，B，．（1）求23sin sin cos 1ααα-+的值；（2）化简并求cos 的值．【答案】（1）195；（2）1-+【解析】（1）由已知条件可知求得sin α，tan α，已知式变形为2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos 111sin cos tan 1ααααααααααα---+=+=+++，代入可得答案；（2）由已知得cos β，sin β=.【详解】解：（1）由已知条件可知：cos α=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0α>，sin α==，tan 7α=，2222223sin sin cos 3tan tan 3497193sin sin cos 1111sin cos tan 1505ααααααααααα--⨯--+=+=+=+=++，（2）cos β=,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0β>，从而sin β==；1sin cos cos cos (1sin )1|cos |ββββ-===--=-+.8．（2021·全国高三专题练习（理））求函数sin cos sin cos y x x x x =+-(x ∈R )的值域．【答案】112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，根据二次函数的性质可求得值域．【详解】令sin cos t x x =-=4x π⎛⎫⎡-∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()2221111+++122221t y t t t t -=--=+=-，所以当t =24=-+x k ππ (k Z ∈)时，min y =12-；当1t =，即()114k x k ππ⎡⎤=++-⎣⎦(k Z ∈)时，max 1y =，因此函数y =sin cos sin cos y x x x x =+-的值域应为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．9．（2021·江苏高一月考）如图，锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点()11,A x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转3π后与单位圆交于点()()2212,,B x y f x x α=+.（1）求()fα的取值范围；（2）若()fα=，求tan α的值.【答案】（1）32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；（2【解析】（1）由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，化简()f α6)πα+．根据2663πππα<+<，利用余弦函数的定义域和值域求得()f α的范围．（2）根据()f α=，求得3cos(654sin(65παπα⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，再利用两角差的正弦余弦公式求出sin ,cos αα的值，从而得出结论．【详解】（1）由图知，3AOB π∠=，由三角函数的定义可得1cos x α=，2cos(3x πα=+，123()cos cos()cos cos cossin sincos 3332f x x πππαααααααα==+++-+=-=6)πα=+．角α为锐角，∴2663πππα<+<，∴1co 26s()πα-<+<∴623πα<+<，即()f α的范围是32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．（2）因为()fα=，2663πππα<+<，6πα+=，3cos()65)46sin()65παπαπα⎧+=⎪⎪+=⇒⎨⎪+=⎪⎩，431sin sin66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦341cos cos66552ππαα⎡⎤⎛⎫=+-=+⨯=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sintancosααα∴===10．（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知sin()cos()tan(3)()3cos2fπθπθπθθπθ-+-=⎛⎫-⎪⎝⎭，求73fπ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值（2）已知1sin cos5αα+=-，2παπ<<，求sin(3)cos(2)sin()sin2παπαπαα--++⎛⎫-++⎪⎝⎭的值．【答案】（1（2）17.【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简()fθ，然后再代值计算即可.（2）利用同角三角函数间的关系，将1sin cos5αα+=-平方求出sin cosαα的值，从而求出cos sinαα-的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.【详解】(1)()()sin cos tansin()cos()tan(3)()sin3sincos2fθθθπθπθπθθθπθθ⋅-⋅--+-===--⎛⎫-⎪⎝⎭所以77sin sin2sin3333fπππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由1sin cos 5αα+=-，则112sin cos 25αα+=，所以242sin cos 25αα=-由2παπ<<，则sin 0,cos 0αα><设cos sin 0t αα=-<，则2244912cos sin 12525t αα=-=+=由cos sin 0t αα=-<，所以7cos sin 5αα-=-1sin(3)cos(2)sin cos 157sin cos 7sin()sin 52παπαααπαααα---+++===-+⎛⎫--++ ⎪⎝⎭1．（2021·全国高考真题）若tan 2θ=-，则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（ ）A ．65-B ．25-C ．25D ．65【答案】C 【解析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(221sin cos θθ=+)，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入tan 2θ=-即可得到结果．【详解】将式子进行齐次化处理得：()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选：C ．2.（2020·全国高考真题（理））已知π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（ ）AB ．23C ．13D练真题【答案】A 【解析】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又(0,),sin απα∈∴== 故选：A.3.（2019·北京高考真题（文））如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为（ ）A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B 【解析】观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时，阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π-β, 面积S 的最大值为+S △POB + S △POA =4β+.故选：B .APB ∠2222βππ⨯⨯1||sin()2OPOB πβ-‖1||sin()2OP OA πβ+-‖42sin 2sin 44sin βββββ=++=+⋅4．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中,角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若,则_____.【答案】【解析】因为角与角的终边关于轴对称，所以，所以.5．（2018·北京高考真题（理））设函数f （x ）=cos(ωx ―π6)(ω>0)，若f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立，所以f (π4)取最大值，所以π4ω―π6=2k π(k ∈Z )，∴ω=8k +23(k∈Z )，因为ω>0，所以当k =0时，ω取最小值为23.6．（2017·全国高考真题（理））函数f (x )=s in 2x +3cosx ―34（x ∈0,__________．【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则f (x )=1―cos 2x +3cos x ―34=―cos 2x +3cos x +14= ―(cos x ―32)2+1，由x ∈[0,π2]可得cos x ∈[0,1]，当cos x =32时，函数f (x )取得最大值1．xOy αβOx y 1sin 3α=sin β=13αβy 2,k k Z αβππ+=+∈()1sin sin 2sin 3k βππαα=+-==。
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习
高中数学-同角三角函数的基本关系式练习34，选D. 答案：D5．已知θ∈(0,2π)，且sin θ，cos θ是方程x 2－kx ＋k ＋1＝0的两个实根，求k ，θ的值．解析：依题意有sin θ＋cos θ＝k ，① sin θcos θ＝k ＋1，②又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 所以k 2－2k －3＝0，解得k ＝3或k ＝－1， 显然|sin θcos θ|＝|k ＋1|≤1，因此k ＝－1，代入①②得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝－1，sin θcos θ＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝0，cos θ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－1，cos θ＝0.又θ∈(0,2π)，所以θ＝π或3π2.(限时：30分钟)1．已知α是第四象限角，cos α＝1213，则sin α等于( )A.513 B ．－513 C.512 D ．－512解析：∵α是第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝－513.答案：B2．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( ) A.43 B ．3 C ．－43D ．－3解析：2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2tan αtan 2α－1，将tan α＝－12代入得： 2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1214－1＝43，故选A. 答案：A 3．化简⎝⎛⎭⎪⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)的结果是( )A ．sin αB ．cos αC ．1＋sin αD ．1＋cos α解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos α1－cos αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 答案：A4．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32 B ．－32C.34 D ．－34解析：∵(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，且π＜α＜5π4，∴cos α＜sin α，∴cos α－sin α＜0，∴cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B5．已知sin α－cos α＝－52，则tan α＋1tan α的值为( ) A ．－4 B ．4 C ．－8 D ．8解析：tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝1sin αcos α.∵sin α－cos α＝－52，∴1－2sin αcos α＝54， ∴sin αcos α＝－18，∴1sin αcos α＝－8.答案：C6．已知1＋sin x cos x ＝－13，则cos xsin x －1的值等于( )。
完整版)同角三角函数的关系练习题
完整版)同角三角函数的关系练习题同角三角函数的关系已知cosα=3/5，且α在第三象限，求cosα和tanα的值。
已知cosα=3/5，由于α在第三象限，所以sinα<0，根据勾股定理可得sinα=-4/5.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-4/3.已知cosα=1/5，且tanα<0，求sinα和tanα的值。
由于cos²α+sin²α=1，所以sinα=-√(1-cos²α)=-√(24/25)=-4/5.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-4.已知sinα=-5/13，且α是第四象限角，求sinα和cosα的值。
由于sin²α+cos²α=1，所以cosα=√(1-sin²α)=12/13.再由于tanα=sinα/cosα，所以tanα=-5/12.已知tanθ=2，求2sinθ-3cosθ，4sinθ-9cosθ，2sinθ-3sinθcosθ-4cosθ的值。
由于tanθ=sinθ/cosθ，所以sinθ=2cosθ。
将sinθ代入2sinθ-3cosθ和4sinθ-9cosθ中，可得它们的值分别为1和-2.再将sinθ代入2sinθ-3sinθcosθ-4cosθ中，可得其值为-4cosθ。
已知tanθ=2，求cosθ+sinθ，cosθ-sinθ，sinθ-sinθcosθ+2cos²θ的值。
由于tan²θ+1=sec²θ，所以cosθ=1/√5，sinθ=2/√5.将cosθ和sinθ代入cosθ+sinθ和cosθ-sinθ中，可得它们的值分别为√5/5和-√5/5.将cosθ和sinθ代入sinθ-sinθcosθ+2cos²θ中，可得其值为1/5.已知sinα=2cosα，求sinα-4cosα/(5sinα+2cosα)，sinα+2sinαcosα和2sinαcosα。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题答案及解析1.已知，则.【答案】3【解析】===3.【考点】同角三角函数基本关系式2.若tan α＝3，则 sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝______.【答案】【解析】sin2α－2 sin αcos α＋3 cos2α＝＝＝＝.3.已知f(α)＝，则f的值为________．【答案】－【解析】∵f(α)＝＝－cos α，∴f＝－cos＝－cos＝－cos＝－.4.化简＋＝________.【解析】原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.5.已知α∈(，π)，tanα＝－，则sin(α＋π)＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】由题意可知，由此解得sin2α＝，又α∈(，π)，因此有sinα＝，sin(α＋π)＝－sinα＝－，故选B．6.记cos(－80°)＝k，那么tan100°＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】解法一：因为cos(－80°)＝cos80°＝k，sin80°＝＝，所以tan100°＝－tan80°＝－＝－．解法二：因为cos(－80°)＝k，所以cos80°＝k，所以tan100°＝－tan80°＝＝－．7.已知sinαcosα＝，且π<α<，则cosα－sinα的值为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】∵π<α<，∴cosα>sinα，∴cosα－sinα>0，又∵(cosα－sinα)2＝1－2cosαsinα＝，∴cosα－sinα＝．8.若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．【答案】【解析】∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝．∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝．9.（5分）（2011•福建）若α∈（0，），且sin2α+cos2α=，则tanα的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简后，得到关于sinα的方程，根据α的度数，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函数值，由α的范围即可得到α的度数，利用α的度数求出tanα即可．解：由cos2α=1﹣2sin2α，得到sin2α+cos2α=1﹣sin2α=，则sin2α=，又α∈（0，），所以sinα=，则α=，所以tanα=tan=．故选D点评：此题考查学生灵活运用二倍角的余弦函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意角度的范围．10.已知sin α＝＋cos α，且α∈，则的值为________．【答案】－【解析】将sin α－cos α＝两边平方，得2sin α·cos α＝，(sin α＋cos α)2＝，sin α＋cos α＝，＝＝－(sin α＋cos α)＝－．11.在△ABC中,若sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根,则△ABC是 ( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定【答案】A【解析】∵sinA,cosA是关于x的方程3x2-2x+m=0的两个根∴sinA+cosA=∴(sinA+cosA)2=1+2sinAcosA=即sinAcosA=-∵0o<A<180o,∴sinA>0,所以cosA<0,即90o<A<180o故知△ABC是钝角三角形12.已知，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【考点】三角函数求值.13.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.14.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．15.若则【答案】【解析】，得，∴.【考点】求三角函数值.16.α是第二象限角，tanα＝－，则sinα＝________．【答案】【解析】由解得sinα＝±.∵α为第二象限角，∴sinα>0，∴sinα＝.17. cos＝________．【答案】－【解析】cos＝cos＝cos(17π＋)＝－cos＝－.18.已知其中若．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）先由已知条件求得的值，再由平方关系可得的值，把拆为，最后利用两角和的余弦公式即可求得的值；（2）考查了三角函数中知一求三的思想，即这几个量“知一求三”．可先利用差角余弦公式将展开，求得的值，两边平方即可求得的值，再由平方关系即可求得的值，最后由商关系即可求得的值．试题解析：（1）由已知得：，（2）由，得，两边平方得：，即，∵，且，从而． 12分【考点】1．平面向量的数量积运算；2．应用三角恒等变换求三角函数的值．19.已知x∈(0,),则函数f(x)=的最大值为()A．0B．C．D．1【答案】C【解析】由已知得,f(x)==tanx-tan2x=-(tanx-)2+,∵x∈(0,),∴tanx∈(0,1),=.故当tanx=时,f(x)max20.已知sinθ,cosθ是关于x的方程x2-ax+a=0(a∈R)的两个根.(1)求cos3(-θ)+sin3(-θ)的值.(2)求tan(π-θ)-的值.【答案】(1) -2 (2) 1+【解析】【思路点拨】先由方程根的判别式Δ≥0,求a的取值范围,而后应用根与系数的关系及诱导公式求解.解：由已知,原方程的判别式Δ≥0,即(-a)2-4a≥0,∴a≥4或a≤0.又(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ,则a2-2a-1=0,从而a=1-或a=1+(舍去),因此sinθ+cosθ=sinθcosθ=1-.(1)cos3(-θ)+sin3(-θ)=sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθ·cosθ+cos2θ)=(1-)[1-(1-)]=-2.(2)tan(π-θ)-=-tanθ-=-(+)=-=-=1+.21.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.22.＝()A．－B．－C．D．【解析】＝＝＝＝sin 30°＝.23.设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________.【答案】－【解析】f(x)＝sin x－2cos x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－.24. 4cos 50°－tan 40°＝________.【答案】【解析】4cos 50°－tan 40°＝＝＝＝＝＝.25.已知α∈，且cos α＝－，则tan α＝________.【答案】2【解析】利用同角三角函数的基本关系求解．由条件可得sin α＝－，所以tan α＝＝＝2.26.若α，β∈，cos ＝，sin ＝－，则cos (α＋β)＝________.【答案】【解析】∵α，β∈，∴－<α－<，－<－β<，由cos ＝和sin ＝－得α－＝±，－β＝－，当α－＝－，－β＝－时，α＋β＝0，与α，β∈矛盾；当α－＝，－β＝－时，α＝β＝，此时cos (α＋β)＝－.27.若cos ＝，则cos ＝()．A．－B．－C．D．【答案】D【解析】∵cos ＝，∴cos ＝2cos 2－1＝－，即sin 2x＝，∴cos ＝sin 2x＝.28.已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ的值为________．【答案】－【解析】∵sin θ＋cos θ＝，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2cos θsin θ＝，∴2cos θsin θ＝，∴(sin θ－cos θ)2＝1－＝，又θ∈，∴sin θ＜cos θ，∴sin θ－cos θ＝－.29.已知，则=____________.【答案】【解析】，根据，可知：，故答案为.【考点】同角三角函数的基本关系式的运算30.已知，且，则．【答案】【解析】因为，所以。
同角三角函数基本关系式及诱导公式
2 63'同角三角函数基本关系式及诱导公式必修四：（新课标）同角三角函数基本关系式及诱导公式（典型例题+习题+答案）1.同角三角函数的基本关系（1）平方关系： 2 2 才 sin a sin a +cos a = 1.(2)商数关系：cos a =tan a2.诱导公式答案…cosna =— cos —6解析 sin2nV =sin7t 7t1. (2011 -大纲全国）已知 3na € n, ~, tan a = 2，贝y cos 解析 T tan a = 2,. sin aCOST =2，. sina = 2C0S a .2. 3. 又sin2 2a + cos a = 1 ,2 2.(2cos a ) + cos 2a = 1，…cos a1 5.又••• a 若tan答案 解析已知 答案 解析 3nn, 2 ，…cos a2sin a — cos a=2,则 sin a +2cos a 的值为2tan a — 13原式=tan a + 2 = 4.a 是第二象限的角，tan1 小 2，贝U cos a又sin2..5 5a 是第二象限的角，.cos a <0. 2“，+ cos a =1, tan asin a cos a1 2,4. 4sin 3n3-cos 56n -tan 的值是答案3,3 4解析原式=sin-cos nn冗―7•tan —n — §5. —sin已知 7tn—cos -7t—tan-2x ( — 3)=—3 ,34 .7tcos22,则 sinn=—sin —+7t2题型分析深度剖析题型一同角三角函数基本关系式的应用 1 例 1 已知在△ ABC 中, sin A + cos A=-.5⑴求sin A cos A 的值；⑵ 判断△ ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值.12 2思维启迪：由 sin A + cos A = 及 sin A + cos A= 1，可求 sin51解(1) I sin A + cos A =①512••• sinA cosA — 方.12⑵由 sin A cos A =—<0,且 0<A < n, 25可知cosA 为钝角，•••△ ABC 是钝角三角形.2(3) v (sin A — cos A ) = 1— 2sin A cos A 24 49 =1 + =—25 25，又 sin A >0, cos A <0,「・ sin A — cos A>0,4 3由①，②可得 sin A = , cos A =—-,5 5题型二三角函数的诱导公式的应用例2n\[35 n ，亠(1)已知 cos — + a = -3，求 cos ~6 — a 的值;2• cos a = 3，即 cos8代cos A 的值.两边平方得 1+ 2sin A cos 1A = 25, • sin 7A — cosA = 5.• tansin A cos A4 3.探究提高 (1)对于 sin a + cos a , sin a cos a , sin a 知其中一个式子的值，其余二式的值可求.转化的公式为(sina cos a ; (2)关于sin a , COS a 的齐次式，往往化为关于cos a 这三个式子，已 a ± cos a ) = 1 ± 2sintan a 的式子._ 2(1)已知 tan a = 2，求 sin a + sin a cos2a — 2cos ⑵ 已知 sin a = 2sin 3 , tan a = 3tan22解 (1)sin a + sin a cos a — 2cos a 3，求 cos a .2 2sin a + sin a cos a — 2cos asin a +cos 2 ax ,题型三三角函数式的化简与求值 1例3 (1)已知tan a = 3，求的值.思维启迪： (1)将n + a 看作一个整体，观察 n + a 与5n a 的关系.6 6 6a =n,5 nna = n — -g + a .5 n•I COS — a = COS n —6n 6 +an一 cos y + a5 n 即 COS —6=」3(2) T COS ( a — 7 n ) = COS(7 n — a ) = COS( n — a ) =— COS35,…COS 3 ••• sin(3 n+ a ) • tan a5=Sin(7a ) • — tan n —=Sina • tan=Sinn sin — — a=sinnCOS — —aCOS sin a a—=COS3 5.探究提咼键•另外, 熟练运用诱导公式和基本关系式,切化弦是常用的规律技巧.并确定相应三角函数值的符号是解题的关(1)化简:3n 2COS( — a — 3 n )sin( — 3 n — a )tan( n+ a )COS( 2 n+ a )sin八sin( n — x )COS( 2 n — x )tan( — x +n ) 亠 ⑵已知f (x )=，求nCOS — — +xf —晋的值.n tan a COS a sin — 2 n+ a + ~ tan 解(1)原式=■=COS( 3 n+ a )[ — sin( 3 n+ a )]tan a COS a cos a tan a cos a sin a =(—COS a )sin a = Sin a = COS asin x • cos x • ( — tan x )⑵. na COS a Sin ~ + a(—COS a )sin a COS a T =— 1. sin asin x=—COS x • tan x =— sin 31 n• f —~^ = — sinn31 n 丁 =sin卫=逅 3 = 2 .31 n 3(2)已知 n< a <2 n, COS ( a — 7n =—求 sin(3 n+ a ) • tan⑵先化简已知，求出COS a 的值，然后化简结论并代入求值.片n解⑴T 石+a +分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(12分)审题视角 (1)角中含有变量n ,因而需对n 的奇偶分类讨论.3n tan( n — a )COS ( 2 n — a )sin — a +⑵化简：COS ( — a — n )sin( 思维启迪：三角函数式的化简与求值， 式子的规律，使用恰当的公式.1解⑴因为tan a =2，所以L32sin a COS a + COS a Sin a + COS atan a +12 2sin a COS a + COS a 2tan a + 13'—n — a )都是按照从繁到简的形式进行转化, 要认真观察n—tan a • COS ( — a ) • si n — a ⑵原式=COS ( n — a ) • sin ( n — a )nsinatan a • COS a • si n a +• COS a2COS a—COS a • Sin a—sin a=-1.探究提高 在三角变换中，要注意寻找式子中的角, 弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简. 5，函数式子的特点和联系，可以切化已矢口 sin a + —=a € (0 ,n ),2n a 2n aCOS7 + 7 — COS 4—"2 求一 一^的值.Sin( n — a ) + COS ( 3 n+ a ).nQ 5解 ■/ sin a + —=—牙，.•. COS aa € (0 ,n ),/• sin 2n a 2n a_^5 COS A + — -COS N -兀a = 5 . Sin( n —a ) + COS( 3 n+ a )2CO Ssin a — COS a—sin asin — COs Sin — COs 2 3.化简: 4n — 1 sin " n — a 4 4n + 1+ COS ■ n — a4(n € Z).(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为 一个整体来看. 规范解答解当n 为偶数时，设n = 2k ( k € Z)，则［1分］8k —8k + 1原式=sin4 n —a+ cosn 4—ann=sin 2k n + — 4—a + cos 2k n + 4 — =sin —nn4a + COS -—a4nnn=—sin4 ■+a +COS -—-4 + ann分］=—sin4 ■+ a + sin~ + a 4=0.[5 当n 为奇数时，设n = 2k + 1 ( k € Z)，则温馨提醒 (1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论 的思想将n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想. (2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因 方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式. 1 •同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响， 尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍.2.三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：sin x主要利用公式tan x = 化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin 0 ± coscos x0 )2 = 1±2sin 0 cos 0的关系进行变形、转化；(3)巧用“ 1 ”的变换：1 = sin 2 0 + 2 22 2“1ncos 0 = cos 0 (1 + tan 0 ) = sin 0 1 + 订 =tan =•••tan 0 4失误与防范1. 利用诱导公式进行化简求值时， 先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负一脱周一化锐.原式= sin 8k + 3Tt — a+ cos8k + 5Tt — a=sin 2k n + + cos 2k n + =sin 3n5 n + cos -4=sin7t7t故sinTt —+ cos4十 a —cos 4 an 4十a—cosnn _L 宀 2 1 a4n4十a —sin n a = 04十4n — 14n + 1Tt — a n — a = 0.7t7t=sin=sin =sin + cos44特别注意函数名称和符号的确定.2. 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.3. 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.1. 2. 3. 4. A 组专项基础训练 、选择题（每小题5分，共20分）已知 A. 答案 解析 cos( ( 答案解析 已知 答案 解析 n a 和3的终边关于直线 y = x 对称，且3 =—3，贝U sin a3等于1C.— 2 因为a 和3的终边关于直线y = x 对称，所以a + n 5 n ，所以 a = 2k n + k (k € Z)，即得 sin a 3 6—2 013 n )的值为 )B.— 1 C 』 cos( — 2 013 n ) = cos( — 2 014 n + n ) = cosSin( n — a ) • cos (2 n — a ) 小 ---------------------------- 贝H f cos( — n — a ) • tan ( n — a ) ?f( a ) B.••• f(25n =cos 8 n + Sin a cos a —cos a • ( — tan=cos25n=cosn3 = cosn当 0<x 書时，函数 f(x) = cos x sin2cos xx — sinC. 2答案 解析f (x )n当 0<x <4时，0<tan x <1,2cos x2= 2cos x sin x — sin x tan x — tan x'n3 = 2k n + "2(k € Z).又卩D. 071=— 25 n"V｛的最小值是D. 41.的值为 D,1 设 t = tan x ，贝U 0<t <1, y = 72 =t — t t （1 — t ）1当且仅当t = 1 — t ，即t = 时等号成立. 二、填空题（每小题5分，共15分） 1 sin a =?且a 为第二象限角，则 sin5 2 .6 55. 如果 答案 1 解析 T Sin a =；,且a 为第二象限角， 53n+ a答案8. (10 分)已知 sin B + cos B =#(0< B <n )，求 tan B 的值.解 将已知等式两边平方，得sin B cos B =—丄,18n• —<B <n,B )2= 1 — 2sin B cos B = 3.3sin ••• ta n B =cos=纽6=5 .3n • sin ~2~ + a cos a 6.已知n 1 sin a +12 = 3,则 cos7n+ 72 的值为(12 分) 已知 sin(3 n COS ( n+ B )cos B [cos( n — B ) — 1] +cos( B 3 n 3 n sin B — ~^ cos( B —n ) — sin + B —2n ) 的值. 1 解 ■/ sin(3 n+ B ) = — sin B = 3,^ sin 1 3,—cos B••原式=cos B ( — cos B — 1)cos( 2 n — B )+ ------ 3~3 n—sin — B cos( n — B ) + cos Bcos B1+ 2 +1 + cos B — cos B + cos B 1 + cos B 1 — cos B解析 cos7n+ 12 = cos =—sin an 1 +12 =— 3.3 nsin a + —^ • tan ( a + n ) 7.sin( n — a )答案解析cos a • tan a原式=—一sin asin a =—1.sin a三、解答题 （共22分）二 sin B — cos=(sin B — cos sin解方程组+ cos B = -3, sin B =¥， sin4―cos B= 3，cos B =¥1解析 ■/ sin( n+ a ) —- sin a , • sin a —2 21 — cos2 0 sin 2 01 2，8.-3B 组专项能力提升一、选择题（每小题5分，共15分） n1 2 n1.右 sin - a —厅，贝y cos + 2a 等于6 3 3A. 答案 A 解析( )B.—12c. 2D.— 2答案 A2 2cos a 工 0 且 1 —sin解析 由同角二角函数关系式1 — sin a =cos a及题意可得 丰0,1 + sin acos acos a 1cos a 1 — sin a ，• 1 — sin a二-2，a —,cos a—cosn3+1—3'则cos 2n + 2 a — 2cos n一 d 3 3 1a 1 7t/•sin 6a = sin7t3+7 一9平方得(1 + 2tan, 2 ••• ta n 二、填空题 2 _____________a ) —2— 5(1 + tan' cos a ' a + 4 — 0,解得4. 若 sin( a — 4ta n （每小题5分，共15分） 1 2， n+ a )= 答案_3 ~2tan a = 2. n ，贝U cos B.I 1+ sin a2.已知 COS a COS sin a的值是即-a sin 1 a - 12.右 cos(a + 2sin5, 则 tan a等于B. 21 C - 2D.答案I 解析 由cos+ 2sin-■. 5可知, cos a 0,两边同时除以cos a 得 1+ 2tan=—3,2 2 sin e + sin e cos e — 2cos ee + sin 晋-e = 0.三、解答题求角A 」+ 2sin B cos B右 cos 2B —sin 2B =— 3 4 5 求 tan B -解 2 2又 sin A + cos A = 1,• sin 2A + ( 3sin A- 1)2= 1,即 4sin 2A — 2 3sin A = 0,得sin A = 0(舍去)或sin A = f • A =~3或或兀, n , 2 n , 2 , ,n将A ="3或丁代入①知 A= 3 n 时不成立，A =§.1 + 2sin B cos B2 2sin e + cos e2 tan e + tan e — 22tan e + 14+ 2 — 2 45. 5.已知 答案 n ------- € —, n , • cos a =— 1 — sin tan e = 2,贝U sin 2 e + sin e cos 4 a = --- . 2 e — 2cos e = 解析 sin5 2 2 sin e + sin e cos e — 2cos e 2 2 e + sin e cos e — 2cos e 1 6.已知cos n — e = a (| a | w 1) 则cos+ sin ¥—°的值是 答案解析 5 n cos + e = cos n — 6 n =—cos "6 9 =— a .2n sin —— e=cos =a , 7. (13 根.分）已知A 、BC 是三角形的内角， 3sin 2 A ,— cos A 是方程x - x + 2a = 0的两 (1)由已知可得，■ 3sin A — cos A = 1①2cos 2B—sin 2B2 2得sin B—sin B cos B—2cos B= 0, ■/ cos B M 0,二tan ?B—tan B— 2 = 0, • tan B= 2 或tan B=—1.2 2■/ tan B=—1 使cos B—sin B= 0,舍去, 故tan B= 2.=—3,。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.已知，，则_____________.【答案】【解析】因为α是锐角所以sin(π－α)＝sinα＝【考点】同角三角函数关系，诱导公式.2.若，则A．B．C．D．【答案】C【解析】由，可得：同正或同负，即可排除A和B，又由，故.【考点】同角三角函数的关系，且α∈，则tan(2π－α)的值为________．3.已知sin(π－α)＝log8【答案】＝－，【解析】sin(π－α)＝sin α＝log8又α ∈，得cos α＝＝，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.4.已知2sinαtanα＝3，则cosα的值是()A．－7B．－C．D．【答案】D【解析】由已知得2sin2α＝3cosα，∴2cos2α＋3cosα－2＝0，(cosα＋2)(2cosα－1)＝0∴cosα＝，选D．5.已知sin(－x)＝，则cos(π－x)＝()A．B．C．－D．－【答案】C【解析】cos(π－x)＝cos[＋(－x)]＝－sin(－x)＝－，故选C．6.方程两根，且，则；【答案】【解析】由已知可得，，因为，所以，所以或.但由于，所以，。
由，则同号；由，则都小于0。
所以，所以【考点】两角和差公式以及正切函数的性质.7.在中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且，则 .【答案】【解析】∵成等差数列，∴，∴，∵，∴，∴，∴，（1）∵且，∴代入（1）式中，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.等差中项；2.倍角公式；3.诱导公式.8.若，则 .【答案】【解析】．【考点】诱导公式．9.已知tan ＝，tan ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】tan(α＋β)＝tan[(α－)＋(＋β)]＝＝110.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－11.函数y＝cos的单调递增区间是________．【答案】(k∈Z)【解析】－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所求单调递增区间是(k∈Z)．12.设f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导数,若f(x)=2f′(x),则=_________.【答案】【解析】由f'(x)=cosx-sinx,∴sinx+cosx=2(cosx-sinx),∴3sinx=cosx,∴tanx=,所求式子化简得,=tan2x+tanx=+=.13.若sinθcosθ>0,则θ在()A．第一、二象限B．第一、三象限C．第一、四象限D．第二、四象限【答案】B【解析】∵sinθcosθ>0,∴sinθ,cosθ同号.当sinθ>0,cosθ>0时,θ在第一象限,当sinθ<0,cosθ<0时,θ在第三象限,因此,选B.14.已知sin ＝，则sin＝________.【答案】±【解析】由sin ＝，得cos ＝±，所以sin＝cos＝±.15.若tan θ＋＝4，则sin 2θ的值 ()．A．B．C．D．【答案】D【解析】由tan θ＋＝4，得＝4，∴4sin θcos θ＝1，则sin 2θ＝.16.已知f(x)＝sin2，若a＝f(lg 5)，b＝f()．A．a＋b＝0B．a－b＝0C．a＋b＝1D．a－b＝1【答案】C【解析】f(x)＝，∴a＝＋，b＝＋＝－，因此a＋b＝1.17.已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】【解析】.又因为，所以为三象限的角，.选B.【考点】三角函数的基本计算.18.已知0<α<，β为f(x)＝cos的最小正周期，a＝，b＝(cos α，2)，且a·b＝m，求的值．2cos2α＋sin 2α＋βcosα－sin α【答案】4＋2m【解析】因为β为f(x)＝cos的最小正周期，故β＝π.因为a·b＝m，又a·b＝cos α·－2，故cos α·＝2＋m.由于0＜α＜，所以＝＝＝2cos α·＝2cos α·tan＝2(2＋m)＝4＋2m.19.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.20.在中，角A，B，C所对的边分别为（Ⅰ）叙述并证明正弦定理；（Ⅱ）设，，求的值．【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .【解析】(Ⅰ)正弦定理：，利用三角形的外接圆证明正弦定理. 设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，则，直径所对的圆周角，在直角三角形中，，从而得到，同理可证，，则正弦定理得证；(Ⅱ)先由正弦定理将化为①，再依据和差化积公式，同角三角函数间的关系，特殊角的三角函数值将①式化简，得到，则，再由二倍角公式求解.试题解析：(Ⅰ) 正弦定理：.证明：设的外接圆的半径为，连接并延长交圆于点，如图所示：则，，在中，，即，则有，同理可得，，所以.(Ⅱ)∵，由正弦定理得，，，，，，解得，，∴.【考点】1.正弦定理；2.解三角形；3.同角三角函数间的关系；4.和差化积公式；5.二倍角公式21.已知函数，.（1）求的值；（2）设、，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接计算的值；（2）先由已知条件计算、的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出、的值，最后利用两角和的余弦公式计算出的值.试题解析：（1），所以；（2），，、，所以，，所以.【考点】1.同角三角函数的基本关系；2.两角和的余弦公式22.已知5cos（45°+x）=3，则sin2x=．【答案】【解析】由已知可得（cosx－sinx）=，即cosx－sinx=，两边平方得1-2cosxsinx=，sin2x=.【考点】1.两角和差公式；2.同角的基本关系式；23.已知函数的最大值是1，其图像经过点。
同角三角函数的基本关系式与诱导公式 练习
学思堂教育个性化教程教案数学科教学设计教学过程【训练3】(1)已知sin⎝⎛⎭⎪⎫7π12＋α＝23，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－11π12＝________；(2)若tan(π＋α)＝－12，则tan(3π－α)＝________.1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan x＝sin xcos x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tanπ4.课堂巩固一、填空题1．已知α和β的终边关于直线y＝x对称，且β＝－π3，则sin α＝________.2．(2014·合肥模拟)sin 585°的值为________．3．(2014·郑州模拟)1－2sin(π＋2)cos(π－2)＝________.4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos2α＋sin 2α的值为________．5．若sin α是5x2－7x－6＝0的根，则sin⎝⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin⎝⎛⎭⎪⎫3π2－αtan2(2π－α)cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－αcos⎝⎛⎭⎪⎫π2＋αsin(π＋α)＝________.6．(2014·杭州模拟)如果sin(π＋A)＝12，那么cos⎝⎛⎭⎪⎫32π－A的值是________．教学效果分析。
三角函数计算练习题及答案详解
三角函数计算练习题及答案详解1．同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α=1sinα=tanα cosαtanαcotα=12．诱导公式sin＝___________ sin＝ ___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________sin＝___________ sin＝___________cos＝___________ cos＝___________tan＝___________ tan＝___________ππ sin＝____________sin＝____________2ππcos＝____________ +α)＝_____________2ππtan＝____________ +α)＝_____________2 3π3πsin＝____________ sin＝____________2 3π3πcos＝____________ +α)＝____________2 3π3πtan＝____________ +α)＝____________ 2 sin＝－sinα cos=cosα tan=－tanα公式的配套练习5π sin＝___________cos＝___________9πcos＝__________ sin＝____________3．两角和与差的三角函数cos=cosαcosβ－sinαsinβcos=cosαcosβ＋sinαsinβsin =sinαcosβ＋cosαsinβsin =sinαcosβ－cosαsinβtan= tanα+tanβ 1－tanαtanβtanα－tanβ 1＋tanαtanβtan=4．二倍角公式sin2α=2sinαcosαcos2α=cos2α－sin2α＝cos2α－1＝1－sin2α2tanαtan2α= 1－tanα5．公式的变形升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α降幂公式：cos2α＝1＋cos2α1－cos2α sin2α＝2正切公式变形：tanα+tanβ＝tantanα－tanβ＝tan 万能公式2tanα1－tan2α2tanαsin2α＝ tan2α＝ cos2α＝1+tanα1+tanα1－tanα6．插入辅助角公式basinx＋a+b sin a特殊地：sinx±cosx＝sin7．熟悉形式的变形1±sinx±cosx1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 1－tanα1＋tanα1＋tanα1－tanα若A、B是锐角，A+B＝2π，则=2nsinn+1αcosαcos2αcos2α?cosα=2sinα8．在三角形中的结论若：A＋B＋C=π A+B+Cπ=2tanA＋tanB＋tanC=tanAtanBtanCABBCCAtantan ＋tan tan ＋ tan＝122222三角函数计算练习1.已知x∈，cosx=，则tan2x= B． C． D．2.cos240°=A． B． C． D．3.已知cosα=k，k∈R，α∈，则sin= C．± D．﹣k4.已知角α的终边经过点，则cosα=5.cos480°的值为6.已知7.已知sin=，则cos2α等于）为其终边上一点，且cosα=x，则x=.已知α是第二象限角，P=）=．．）=，则cos，且sin，则tan2x===﹣．故选D点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正切函数公式．学生求sinx和tanx时注意利用x 的范围判定其符合．2.B考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：运用诱导公式及特殊角的三角函数值即可化简求值．解答：解：cos240°=cos=﹣cos60°=﹣，故选：B．点评：本题主要考查了诱导公式及特殊角的三角函数值在化简求值中的应用，属于基本知识的考查．3.A考点：同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知及同角三角函数基本关系的运用可求sinα，从而由诱导公式即可得解．解答：解：∵cosα=k，k∈R，α∈，∴sinα==，．∴sin=﹣sinα=﹣故选：A．点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，运用诱导公式化简求值，属于基本知识的考查．4.D考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点，∴x=﹣4，y=3，r=∴cosα==故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．5.D考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．6.C考点：诱导公式的作用．专题：三角函数的求值．分析：已知等式中的角变形后，利用诱导公式化简，即可求出cosα的值．解答：解：sin=sin=sin=cosα=． =﹣， =5．考点：二倍角的余弦．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由sin=及诱导公式可得cosα=，由二倍角的余弦公式可得cos2α的+α）=， =﹣，借助于角的终边上的点，解关于x的方程，便可求得所求的横坐标．解答：解：∵cosα===x，或x=﹣．∴x=0或x=故选：D．点评：本题巧妙运用三角函数的定义，联立方程求出未知量，不失为一种好方法．.考点：二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦公式化简所求后代入已知即可求值．解答：解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sinα=1﹣2×=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查． 10.考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos=2cos﹣1=2×﹣1=．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．11.﹣考点：二倍角的正切；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：依题意，可得sinθ﹣cosθ=①，sinθ+cosθ=②，联立①②得：sinθ=，cosθ=，于是可得cos2θ、sin2θ的值，从而可得答案．解答：解：∵sin==，，2sinθcosθ=），，＞0，又=1+sin2θ=∴sinθ+cosθ=，②联立①②得：sinθ=，cosθ=，∴cos2θ=2cosθ﹣1=﹣2，三角函数公式练习题1．1．sin29??A．11．?C． D22C试题分析：由题可知，sin考点：任意角的三角函数．已知sin?sin??；662?4)?772，cos2??，sin??25104343B．? C．?D．555D 试题分析由?7sin??sin??cos??45①，77?cos2??sin2?? 52571所以?cos??sin???cos??sin???②，由①②可得cos??sin??? ③，2553由①③得，sin?? ，故选D5cos2??考点：本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式点评：解决本题的关键是熟练掌握两角和与差的三角函数，二倍角公式．cos690?A．1133B．?C． D．?222C试题分析：由cos690?cos2?360?30?cos??30??cos30?，故选C考点：本题考查三角函数的诱导公式点评：解决本题的关键是熟练掌握三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值．tan16?的值为A.?B. C. D.?3C试题分析tanπ=tan=﹣tan=．考点：三角函数的求值，诱导公式．点评：本题考查诱导公式的应用，三角函数的化简求值．．若??????1?cos? ???0???，cos?，cos?4243222A．33536B．? C． D．?399C．试题分析：因为????1??3?，且???0???，cos?，所以????2243444?22???；又因为cos?，且????0，所以??)?43422??????6??????，所以．又因为?????，且sin?24424234422cos?cos[?]?coscos?sinsin1322653．故应选C． ?????33339考点：1、同角三角函数的基本关系；2、两角差的余弦公式．．若角?的终边在第二象限且经过点P?，那么sin2x＝518247?? 252525258．已知cos?1??52524考点：二倍角公式，三角函数恒等变形5?1??)?,那么cos?? 52112A．?B．?C．D．55559．已知sin?=sin?cosa,所以选C．52考点：三角函数诱导公式的应用1，则cos2a的值为231177A． B．? C． D．?339910．已知sin?D试题分析：由已知得cos??1272,从而cos2??2cos??1??1??,故选D.99考点：诱导公式及余弦倍角公式.11．已知点P在第三象限，则角?在 A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B试题分析：由已知得，?考点：三角函数的符号.?tan??0,，故角?在第二象限．cos??0?5，则sin?? 121155A． B．? C． D．?55131312．已知?是第四象限角，tan???D22试题分析：利用切化弦以及sin??cos??1求解即可． tan??sin?5??cos?12，?sin2??cos2??1，?sin2??525sin??0,sin???，13,169又?是第四象限角，2?故选：D.考点：任意角的三角函数的定义 y?sin?xT?213．化简cos?sin2得到A．sin2?B．?sin2?C．cos2?D．?cos2? A 试题分析：cos2?sin2?cos2?sin2?cos2?cos?sin2?考点：三角函数的诱导公式和倍角公式. 14．已知cos?? 3???,0????，则tan?????4??A.11B.C.?1D.?57D3?44?0可知0???，因此sin??，tan??，25354??1tan??tan?由和角公式可知tan????7，故答案为D。
高考理科第一轮复习练习(3.5同角三角函数的基本关系式)
课时提升作业(二十一)一、选择题1.(2013·安庆模拟)已知=-,那么的值是( )(A)(B)-(C)2 (D)-22.(2013·九江模拟)已知cos(π+x)=,x∈(π,2π),则tanx等于( )(A)-(B)-(C)(D)3.函数f(x)=cos(3x-θ)-sin(3x-θ)是奇函数,则θ为( )(A)kπ(k∈Z) (B)kπ+(k∈Z)(C)kπ+(k∈Z) (D)-kπ-(k∈Z)4.(2013·渭南模拟)若x=是f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)图像的一条对称轴,当ω取最小值时( )(A)f(x)在(0,)上是增加的(B)f(x)在(-,)上是减少的(C)f(x)在(0,)上是减少的(D)f(x)在(-,)上是增加的5.(2013·延安模拟)若函数f(x)=(1+tanx)cosx,0≤x<,则f(x)的最大值为( )(A)1 (B)2 (C)+1 (D)+26.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=( )(A)(B)-(C)(D)-二、填空题7.(2013·阜阳模拟)已知cos(-100°)=m,则tan80°= .8.已知函数f(x)=sinx-cosx,x∈R,若f(x)≥1,则x的取值范围是.9.已知:0°<α<90°,0°<α+β<90°,3sinβ=sin(2α+β),则tanβ的最大值是.三、解答题10.已知函数f(x)=sin(x+)+cos(x-),x∈R.(1)求f(x)最小正周期和最小值.(2)已知cos(β-α)=,cos(β+α)=-,0<α<β≤,求证:[f(β)]2-2=0.11.(能力挑战题)已知幂函数g(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是增加的,又f(x)=sinx+mcosx,F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1,f′(x)是f(x)的导函数.(1)若tanx=,求F(x)的值.(2)把F(x)图像的横坐标缩短为原来的一半后得到H(x),求H(x)的递减区间.12.(1)①证明两角和的余弦公式Cα+β:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ;②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(2)已知cosα=-,α∈(π,π),tanβ=-,β∈(,π),求cos(α+β).答案解析1.【解析】选A.设=t,则=,≨·=-,≨-===-1,≨t=,即=.2.【解析】选D.≧cos(π+x)=-cosx=,≨cosx=-,又π<x<2π,≨sinx=-=-,≨tanx==.3.【解析】选D.由已知得,f(x)=2[cos(3x-θ)-sin(3x-θ)]=2sin(-3x+θ)=-2sin(3x--θ).≧f(x)是奇函数,≨--θ=kπ(k∈Z).故θ=-kπ-(k∈Z).4.【解析】选D.f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+),由x=是y=f(x)的一条对称轴知ω+=kπ+(k ∈Z),所以ω=6k+2(k∈Z),又ω>0,故ω的最小值为2,此时f(x)=2sin(2x+).当x∈(0,)时,2x+∈(,π),故f(x)不单调,故A,C错误;当x∈(-,)时,2x+∈(-,),故f(x)是增加的,故D正确,B错误.5.【解析】选B.y=(1+tanx)cosx=cosx+sinx=2sin(x+),由0≤x<,得≤x+<,故当x=时,有最大值2.6.【解析】选C.对于cos(α+)=cos[(+α)-(-)]=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-), 而+α∈(,),-∈(,),因此sin(+α)=,sin(-)=,则cos(α+)=×+×=.7.【解析】cos(-100°)=cos100°=cos(180°-80°)=-cos80°=m,≨cos 80°=-m,≨m<0,≨sin80°==,≨tan80°==-.答案:-8.【解析】f(x)=sinx-cosx=2sin(x-),由f(x)≥1,得sin(x-)≥,≨2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z),≨2kπ+≤x≤2kπ+π(k∈Z).答案:[2kπ+,2kπ+π](k∈Z)9.【解析】由3sinβ=sin(2α+β)得3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),化简得sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα,≨tan(α+β)=2tanα,≨tanβ=tan(α+β-α)===.由题意知,tanα>0,≨+2tanα≥2(当且仅当=2tanα,即tanα=时等号成立),≨tanβ的最大值为=.答案:【方法技巧】三角函数和差公式的灵活应用(1)三角函数和差公式在三角函数式的化简和求值中经常用到,因此公式的灵活应用非常关键,公式可以正用、逆用、变形应用.(2)逆用关键在于构造公式的形式,方法是通过三角恒等变换,出现和或差的形式,即出现能逆用公式的条件;有时通过两式平方相加减,分子分母同除,切函数化成弦函数等技巧.10.【思路点拨】(1)将f(x)利用辅助角公式化为f(x)=Asin(ωx+φ)的形式求解.(2)由条件求得β的值后再证明.【解析】(1)f(x)=sinxcos+cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx-cosx=2sin(x-),≨f(x)的最小正周期T=2π,最小值f(x)min=-2.(2)由已知得cosαcosβ+sinαsinβ=,cosαcosβ-sinαsinβ=-,两式相加得2cosαcosβ=0,≧0<α<β≤,≨cosβ=0,则β=,≨[f(β)]2-2=4sin2-2=0.【变式备选】函数f(x)=sin2x--.(1)若x∈[,],求函数f(x)的最值及对应的x的值.(2)若不等式[f(x)-m]2<1在x∈[,]上恒成立,求实数m的取值范围.【解析】(1)f(x)=sin 2x--=sin 2x-cos 2x-1=sin(2x-)-1,≧x∈[,],≨≤2x-≤,当2x-=,即x=时,f(x)max=0,当2x-=,即x=时,f(x)min=-.(2)方法一:≧[f(x)-m]2<1(x∈[,])⇔f(x)-1<m<f(x)+1(x∈[,]),≨m>f(x)max-1且m<f(x)min+1,故m的取值范围为(-1,).方法二:≧[f(x)-m]2<1⇔m-1<f(x)<m+1,≨m-1<-且m+1>0,故-1<m<,故m的取值范围是(-1,).11.【思路点拨】由函数为偶函数求得m,进而得f(x)及f′(x),然后根据条件求解.【解析】(1)幂函数g(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+≦)上是增加的,-m2+2m+3>0⇒-1<m<3,又m∈Z,函数g(x)为偶函数,故m=1.≨f(x)=sinx+cosx,f′(x)=cosx-sinx,≨F(x)=f′(x)[f(x)+f′(x)]-1=2(cosx-sinx)cosx-1=cos 2x-sin 2x=-=-=.(2)由(1)知:F(x)=cos 2x-sin 2x=cos(2x+),≨H(x)=cos(4x+).令2kπ≤4x+≤2kπ+π,k∈Z得:-≤x≤+,k∈Z,≨H(x)的递减区间为[-,+](k∈Z).12.【思路点拨】(1)①建立坐标系,利用两点间的距离公式证明;②利用诱导公式及两角和的余弦公式证明.(2)直接利用公式求解.【解析】(1)①如图,在直角坐标系xOy内作单位圆O,并作出角α,β与-β,使角α的始边为Ox轴非负半轴,交☉O于点P1,终边交☉O于点P2;角β的始边为OP2,终边交☉O于点P3,角-β的始边为OP1,终边交☉O于点P4.则P1(1,0),P2(cosα,sinα),P3(cos(α+β),sin(α+β)),P4(cos(-β),sin(-β)).由P1P3=P2P4及两点间的距离公式,得[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2,展开并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ).≨cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.②由①易得,cos(-α)=sinα,sin(-α)=cosα.sin(α+β)=cos[-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)]=cos(-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β) =sinαcosβ+cosαsinβ.≨sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (2)≧α∈(π,π),cosα=-,≨sinα=-. ≧β∈(,π),tanβ=-,≨cosβ=-,sinβ=.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=(-)×(-)-(-)×=.。
习题课 同角三角函数的基本关系
习题课 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.掌握利用同角三角函数的基本关系求值的几种类型.2.灵活运用同角三角函数的基本关系的几种变形证明恒等式．一、弦切互化求值例1 已知tan α＝－4，求下列各式的值．(1)sin 2α；(2)cos 2α－sin 2α；(3)3sin αcos α； (4)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α. 解 (1)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝(－4)2(－4)2＋1＝1617. (2)cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－(－4)21＋(－4)2＝－1517. (3)3sin αcos α＝3sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝3tan αtan 2α＋1＝3×(－4)(－4)2＋1＝－1217. (4)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4×(－4)－25＋3×(－4)＝187. 反思感悟 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法(1)对于形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母同时除以cos α，cos 2α，将正弦、余弦转化为正切，从而求值．(2)对于形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子求值． 跟踪训练1 已知sin α－3cos αsin α＋cos α＝－1，求下列各式的值． (1)tan α；(2)sin 2α＋sin αcos α＋1.解 (1)因为sin α－3cos αsin α＋cos α＝－1，所以tan α－3tan α＋1＝－1， 解得tan α＝1.(2)sin 2α＋sin α·cos α＋1＝sin 2α＋sin α·cos α＋11＝sin 2α＋sin α·cos α＋sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α＋sin α·cos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α＋1tan 2α＋1＝2. 二、sin θ±cos θ型求值问题例2 已知sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)，求sin θcos θ和sin θ－cos θ的值． 解 因为sin θ＋cos θ＝12(0<θ<π)， 所以(sin θ＋cos θ)2＝14， 即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝14， 所以sin θcos θ＝－38， 所以sin θ>0，cos θ<0，所以sin θ－cos θ>0，所以sin θ－cos θ ＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ ＝⎝⎛⎭⎫122－4×⎝⎛⎭⎫－38＝72. 反思感悟 已知sin α±cos α，sin αcos α求值问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解，涉及的三角恒等式有：(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.上述三角恒等式告诉我们，若已知sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中的任何一个，则另两个式子的值均可求出．跟踪训练2 若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝________. 答案 －2 解析 由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，∴sin θcos θ＝－12， ∴tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2. 三、条件恒等式的证明例3 已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1.证明 因为tan 2α＝2tan 2β＋1，所以tan 2α＋1＝2tan 2β＋2.所以sin 2αcos 2α＋1＝2⎝⎛⎭⎫sin 2βcos 2β＋1， 整理得1cos 2α＝2cos 2β， 即cos 2β＝2cos 2α，所以1－sin 2β＝2(1－sin 2α)，即sin 2β＝2sin 2α－1.反思感悟 含有条件的三角恒等式证明的常用方法(1)直推法：从条件直推到结论．(2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明．(3)换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．跟踪训练3 已知cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，求证：cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A＝1. 证明 设sin 2A ＝m (0<m <1)，sin 2B ＝n (0<n <1)，则cos 2A ＝1－m ，cos 2B ＝1－n .由cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，得(1－m )21－n＋m 2n ＝1， 即(m －n )2＝0，∴m ＝n ，∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝(1－n )21－m ＋n 2m＝1－n ＋n ＝1.1．知识清单：(1)弦切互化求值．(2)sin α±cos α型求值问题．(3)条件恒等式的证明．2．方法归纳：整体代换法．3．常见误区：齐次式的化简求值容易忽略添加分母“1”．1．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α的值为( )A ．0 B.34 C ．1 D.54答案 B解析 2sin α－cos αsin α＋2cos α＝2tan α－1tan α＋2＝34.2．已知sin α－cos α＝－54，则sin αcos α等于() A.74 B ．－916 C ．－932 D.932答案 C解析 由题意得(sin α－cos α)2＝2516，即sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝2516，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴1－2sin αcos α＝2516，∴sin αcos α＝－932.3．已知cos xsin x －1＝12，则1＋sin xcos x 等于( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2答案 B解析 因为cos x sin x －1＝12， 所以1＋sin x cos x ＝(1＋sin x )(1－sin x )cos x (1－sin x )＝1－sin 2x cos x (1－sin x ) ＝cos x 1－sin x ＝－12. 4．若2sin α＋cos α＝0，则sin α1＋sin α－sin α1－sin α＝________. 答案 －12解析 ∵2sin α＋cos α＝0，∴tan α＝－12， 原式＝sin α(1－sin α)－sin α(1＋sin α)(1＋sin α)(1－sin α)＝sin α·(－2sin α)1－sin 2α＝－2sin 2αcos 2α＝－2tan 2α＝－12. 课时对点练1．已知sin φ＝－35，且|φ|<π2，则tan φ等于( ) A ．－43 B.43 C ．－34 D.34答案 C解析 ∵sin φ＝－35， ∴cos 2φ＝1－sin 2φ＝1－⎝⎛⎭⎫－352＝1625， 又|φ|<π2，即－π2<φ<π2，∴cos φ>0，∴cos φ＝45，∴tan φ＝sin φcos φ＝－3545＝－34.2．已知tan α＝12，则cos α＋sin αcos α－sin α等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3答案 C解析 cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α＝1＋121－12＝3.3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos θ的值是( )A.34 B ．±310 C.310 D ．－310答案 C解析 由 sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，得tan θ＋1tan θ－1＝2，解得tan θ＝3.则sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θtan 2θ＋1＝310.4．已知sin θ＋sin 2θ＝1，则cos 2θ＋cos 4θ等于( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3答案 A解析 因为sin θ＋sin 2θ＝1，所以sin θ＝1－sin 2θ＝cos 2θ，所以cos 2θ＋cos 4θ＝sin θ＋sin 2θ＝1.5．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为() A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1答案 B解析 由角α的终边落在第三象限，得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2 ＝－3.6．(多选)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝15，则下列结论正确的是( ) A ．θ∈⎝⎛⎭⎫π2，πB ．cos θ＝－35C ．tan θ＝－34D ．sin θ－cos θ＝75答案 ABD解析 ∵sin θ＋cos θ＝15，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝⎝⎛⎭⎫152，即sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝125， ∴2sin θcos θ＝－2425， ∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，∴θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925， ∴sin θ－cos θ＝75，② ①＋②得sin θ＝45， ①－②得cos θ＝－35， ∴tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43， 综上可得，正确的有A ，B ，D.7．已知a sin α＋b cos α＝c ，a cos α－b sin α＝d ，则a 2＋b 2________c 2＋d 2(用>或＝或<填空)． 答案 ＝解析 右边＝c 2＋d 2＝(a sin α＋b cos α)2＋(a cos α－b sin α)2＝a 2(sin 2α＋cos 2α)＋b 2(cos 2α＋sin 2α)＝a 2＋b 2＝左边．8．已知3π2<α<5π2，cos α－sin α＝12，则cos α＋sin α＝________. 答案 72解析 因为cos α－sin α＝12， 所以1－2sin αcos α＝14， 所以sin αcos α＝38>0，所以sin α，cos α同号， 因为3π2<α<5π2，所以2π<α<5π2， 所以cos α＋sin α>0，所以cos α＋sin α＝(cos α－sin α)2＋4sin αcos α＝72. 9．已知sin x －2cos x ＝0.(1)求2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x 的值；(2)求2sin 3x －cos x sin x ＋2cos 3x的值． 解 (1)由sin x －2cos x ＝0，可得tan x ＝2，∴2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x＝2sin 2x －sin x cos x ＋cos 2x sin 2x ＋cos 2x＝2tan 2x －tan x ＋1tan 2x ＋1＝2×22－2＋122＋1＝75. (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧sin x －2cos x ＝0，sin 2x ＋cos 2x ＝1，可得sin 2x ＝45，cos 2x ＝15， 又由(1)知tan x ＝2，∴2sin 3x －cos x sin x ＋2cos 3x ＝2sin 2x tan x －1tan x ＋2cos 2x ＝2×45×2－12＋2×15＝1112. 10．已知sin θ＋cos θ＝15，其中θ是△ABC 的一个内角． (1)求sin θcos θ的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形，并说明理由．解 (1)由sin θ＋cos θ＝15，可得(sin θ＋cos θ)2＝125， 即1＋2sin θcos θ＝125，∴sin θcos θ＝－1225. (2)由(1)可知sin θcos θ＝－1225<0. 又θ是△ABC 的一个内角，∴0<θ<π，∴sin θ>0，∴cos θ<0，∴π2<θ<π， ∴△ABC 是钝角三角形．11．若1＋cos 2θ＝3sin θ·cos θ，则tan θ的值等于( )A.3＋52B.3－52C.3±52D ．1或2 答案 D解析 由1＋cos 2θ＝3sin θ·cos θ，得sin 2θ＋2cos 2θ＝3sin θ·cos θ，显然cos θ≠0，sin θ≠0， 所以tan 2θ＋2＝3tan θ，解得tan θ＝1或2.12．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( ) A.25 B ．－25C ．2D ．－2 答案 A解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得sin α＋3cos α＝5(3cos α－sin α)，所以tan α＝2. 所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.13．若△ABC 的内角A 满足sin A cos A ＝13，则sin A ＋cos A 等于( )A.153 B ．－153 C.53 D ．－53答案 A解析 ∵sin A cos A ＝13>0，又A 为△ABC 的内角，∴sin A >0，cos A >0，∴(sin A ＋cos A )2＝1＋2sin A cos A ＝53，∴sin A ＋cos A ＝153.14．若3π4<α<π，sin αcos α＝－25，则tan α＝________.答案 －12解析 sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25，整理得(2tan α＋1)(tan α＋2)＝0，解得tan α＝－12或tan α＝－2，因为3π4<α<π，所以tan α∈(－1,0)，故tan α＝－12.15．已知sin α，cos α是关于x 的方程3x 2＋ax －1＝0的两根，则实数a 等于() A ．3 B. 3 C ．－ 3 D ．±3答案 D解析 ∵sin α，cos α是关于x 的方程3x 2＋ax －1＝0的两根，∴sin α＋cos α＝－a 3，sin αcos α＝－13， ∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝a 29. 又sin αcos α＝－13，∴a 2＝3， 即a ＝±3.16．已知方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ.(1)求k 的值；(2)求sin θ－cos θ的值．解 (1)由方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两个实根是sin θ和cos θ，得sin θ＋cos θ＝－3k 4， sin θ·cos θ＝2k ＋18. 由sin 2θ＋cos 2θ＝1及(sin θ＋cos θ)2＝9k 216， 得1＋2sin θ·cos θ＝9k 216， 所以1＋2×2k ＋18＝9k 216，即9k 2－8k －20＝0， 解得k ＝2或k ＝－109. 当k ＝2时，Δ<0，故舍去；当k ＝－109时，满足条件． 所以k ＝－109. (2)由(1)得sin θ＋cos θ＝56，sin θ·cos θ＝－1172. 设t ＝sin θ－cos θ，则t 2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1＋2×1172＝4736， 所以sin θ－cos θ＝±476.。
高中数学：三角函数练习题--同角三角函数的基本关系式
数学：三角函数练习题--同角三角函数的基本关系式一、选择题：1．),0(,54cos παα∈=，则αcot 的值等于（ ）A ．34B ．43C ．34±D ． 43±2．若1cot 1sin tan 1cos 22-=+++θθθθ，则θ角在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．若21cos sin =⋅θθ，则下列结论中一定成立的是 （）A ．22sin =θ B ．22sin -=θC ．1cos sin =+θθD ．0cos sin =-θθ4．若2cos sin 2cos sin =-+αααα，则=αtan（ ）A ．1B ． - 1C ．43D ．34-5．化简1cos 1tan 2tan 1cos 12-++αααα后可能取值的集合中元素的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题： 6．若2tan =α，则ααααcos sin cos sin -+的值为________________．7．已知524cos ,53sin +-=+-=m mm m θθ，则m=________________． 8．若α是第四象限角，化简ααtan 2sec 2-=________________．9．______.__________89cot 2cot 1cot 89cot 2cot 1cot =+⋯⋯++⋯⋯⋅oooo o o10．已知θ为锐角，则=|sin log |sec )(sec θθθ________________．三、解答题：11．已知51cos sin =+x x ，且π<<x 0． a) 求sinx 、cosx 、tanx 的值． b) 求sin 3x – cos 3x 的值．12．已知sin α=m ，（|m|≤1），求tan α的值．参考答案同角三角函数的基本关系式一、选择题：1.B2.C3.D4.A5.D 二、填空题： 6． 37．0或88．1-tan α9．892 10．csc θ三、解答题：11．解：由51cos sin =+x x ，得x x cos 51sin -= 代入sin 2x+cos 2x=1得：（5cosx-4）（5cosx+3）=0∴54cos =x 或53cos -=x 当54cos =x 时，得53sin -=x又∵π<<x 0，∴sinx>0，故这组解舍去当53cos -=x 时，54sin =x ，34tan -=x （2）∵51cos sin =+x x∴（sinx+cosx ）2= sin 2x+cos 2x+2sinxcosx =251 ∴2512cos sin -=x x 又π<<x 0，sinx>0，∴cosx<0(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=254925241=+又∵sinx – cosx>0∴sinx – cosx =57sin 3x – cos 3x = (sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x)=12591)25121(57=-⨯ 12．解：当m=0时，0cos sin tan ==ααα;当m=±1时，α的终边在y 轴上，tan α无意义。
高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式一、基本知识：（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，1tan sec 22=-αα，1cot csc 22=-αα，商式关系：sin α cos α=tan α， αααcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1，ααcos 1sec = ααsin 1csc =（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。
二、例题分析：例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)． 解 原式=（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α=1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2)，求cos θ－sin θ的值．解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34． ∵θ∈(π4 ，π2)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．变式2 已知cos θ－sin θ= －32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．例3 已知tan θ=3．求（1）ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21αααα++-，⎪⎭⎫ ⎝⎛<<20πα （2）已知α是第三象限角，求ααααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题
高三数学同角三角函数的基本关系式和诱导公式试题1.△ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sinA－cosB，cosA－sinC)，则＋＋的值是()A．1 B．－1 C．3 D．4【答案】B【解析】因为△ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A>90°－B，则sinA>sin(90°－B)＝cosB，sinA－cosB>0，同理cosA－sinC<0，所以点P在第四象限，＋＋＝－1＋1－1＝－1，故选B．2.已知，，则．【答案】【解析】由题意，，．【考点】同角间的三角函数关系．3.已知，则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数同角公式，二倍角的正弦公式.4.若sinα＝，α∈，则cos＝__________．【答案】－【解析】由α∈，sinα＝，得cosα＝，由两角和与差的余弦公式得cos＝cosαcos－sinαsin＝－(cosα－sinα)＝－5.已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根为sinθ和cosθ，且θ∈(0，2π)．(1)求的值；(2)求m的值；(3)求方程的两根及此时θ的值．【答案】（1）（2）（3）θ＝或【解析】(1)由韦达定理可知而＝＝sinθ＋cosθ＝.(2)由①两边平方得1＋2sinθcosθ＝，将②代入得m＝.(3)当m＝时，原方程变为2x2－(1＋)x＋＝0，解得x1＝，x2＝，∴或∵θ∈(0，2π)，∴θ＝或6.已知α为锐角，cos α＝，则tan＝()A．－3B．－C．－D．－7【答案】B【解析】依题意得，sin α＝，故tan α＝2，tan 2α＝，所以tan＝＝－.7.在△ABC中,sin(-A)=3sin(π-A),且cosA=-cos(π-B),则C等于()(A) (B) (C) (D)【答案】C【解析】【思路点拨】将已知条件利用诱导公式化简后可得角A,角B,进而得角C.解:由已知化简得cosA=3sinA.①cosA=cosB.②由①得tanA=,又∵0<A<π,∴A=,由②得cosB=·cos=,又∵0<B<π,∴B=,∴C=π-A-B=.8.已知α是第三象限角,且cos(85°+α)=,则sin(α-95°)=.【答案】【解析】∵α是第三象限角,cos(85°+α)=>0,∴85°+α是第四象限角,∴sin(85°+α)=-,sin(α-95°)=sin[(85°+α)-180°]=-sin(85°+α)=.9.已知,,则的值等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,, ，【考点】正弦和差角公式诱导公式10.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α等于________．【答案】【解析】∵sin α＋2cos α＝，∴sin2α＋4sin α·cos α＋4cos2α＝.化简，得4sin 2α＝－3cos 2α，∴tan 2α＝.11.若sin＝，则sin＝______.【答案】-【解析】sin＝－cos＝－cos＝2sin2－1＝－. 12.已知sin α＝，则cos (π－2α)＝()．A．B．－C．D．【答案】B【解析】cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×2－1＝－.13.化简：=________．【答案】－tana【解析】.【考点】三角函数同角关系式及诱导公式.14.在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为 .【答案】或【解析】由已知，∴，故，在中，当，当时，4，当时.【考点】1、三角形的面积；2、同角三角函数基本关系式；3、余弦定理.15.若α∈，且，则的值等于()A．B．C．D．【解析】因为，α∈，且，所以，，=，选D.【考点】三角函数倍角公式、同角公式16.设为锐角，若，则的值为___________.【答案】【解析】，所以=，因为，且，所以=，∴=，=，所以=.【考点】1、两角差的正弦公式；2、正弦和余弦的二倍角公式.17.已知函数，函数与函数图像关于轴对称.（1）当时，求的值域及单调递减区间；（2）若，求值.【答案】（1）当时，的值域为，单调递减区间为；（2）.【解析】（1）先将函数的解析式进行化简，化简为，利用计算出的取值范围，再结合正弦曲线确定函数的值域，对于函数在区间上的单调区间的求解，先求出函数在上的单调递减区间，然后和定义域取交集即得到函数在区间上的单调递减区间；（2）利用等式计算得出的值，然后利用差角公式将角凑成的形式，结合两角差的正弦公式进行计算，但是在求解的时候计算时，利用同角三角函数的基本关系时需要考虑角的取值范围.试题解析：（1）2分又与图像关于轴对称，得当时，得，得即 4分单调递减区间满足，得取，得，又，单调递减区间为 7分（2）由（1）知得，由于 8分而10分13分【考点】1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系；3.两角差的正弦公式18.已知且（1）求的值；（2）求的值；【答案】（1）；（2）【解析】⑴根据已知条件先判断角所在的象限，然后求出角的余弦值，那么正弦值就很容易得到了；⑵先化简所给的式子，然后分子分母同时除以，然后将代入即可.试题解析：⑴∵，∴在第四象限 2分∴， 4分∴； 6分（2）. ..12分【考点】同角三角函数间的关系，三角函数的诱导公式及应用.19.设θ为第二象限角，若tan(θ＋)＝，则sinθ＋cosθ＝．【答案】－【解析】由θ为第二象限角且tan(θ＋)＝，则为第三象限角，于是，所以.【考点】三角函数计算20.已知，，则．【答案】【解析】由，得，，.【考点】同角三角函数的关系、两角和的正切公式.21.已知，且，，则______．【答案】【解析】由，，得，所以，又由，知.【考点】同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数.22.已知，且，则的值等于（）A．B．C．D．7【答案】C【解析】由倍角公式得又由平方关系得最后由两角和正切公式得【考点】考查三角恒等变换，知值求值类问题．23.已知是第二象限角，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵是第二象限角，∴.故选A.【考点】三角求值24.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，且，所以，故选D。
(word完整版)高一数学同角三角函数的基本关系式同步练习
1. C . 1.2.3同角三角函数的基本关系式 ♦ *同步测控* ♦sin a= 4，且a 是第二象限角，则tan a 的值等于（） 54 3 ±3 ±4 B.34D ±4D . ±3解析：选A. /a 为第二象限角，• 'cos a= — '' 1 — sin 2 a=— 4sin a 5 4•a n a= ----- =—=—：.cos a 3 3—5 4 25 35,同步练习 2 .化简.-'1 — sin 2160。
的结果是（ COS160 ° ±cos160 A . C . —cos160±cos160 |解析: 3. 选 B< 1 — sin 2160 °= , cos 2160 °=— cos160 °2sin a — cos a的值为（ ）tan a = 2，则 sin a+ 2cos a C . B .3D-!解析: 2sin a — cos a 2tan a —1 B.= sin a+ 2cos a tan a+ 24.右 解析: 8cos a=— 17，贝y sin a= 8 •/cos a=— 17<0 ,tan a=「•a 是第二或第三象限角.若a 是第二象限角，则 sin o>0, tan a <0./ 2 15 sin a•'sin a= - ： 1 — cos a= ~, tan a= =- c . ¥ 17' cos a 8若a 是第三象限角，则 sin a <0, tan a >0.sin a 15 tan a= = c .cos a 8 15〜 厂 15-sin a= — ; 1 — cos a= —〔7， 15 十 15 或— 8 815 答案：需或—右 •★谍时训缘♦、选择题1.若a 是第四象限的角，tan a=— 12，则sin %等于（）1 A -1 3 C 后 1B . — 15D .—石5 •'sin a= ±3, - 12 3. （2011年济南高一检测）A 为三角形ABC 的一个内角，解析：选D. -.tan a=如：COs a 5 2 2 12， sin 2 a+ COS 2 a= 1 ,2.a 为第四象限角，••• sina 为第三象限角，则 A .C . 解析: 5 a=— 77? 13' COs a + --.J 1 — si n 2 a 1 — B .D . 2s 空尹的值为（） COs a —3 —1COSa <0, 选B. ta 为第三象限角，•sin则这个三B .钝角三角形 D •等腰三角形144即 1 +2sinAc 481 •2si nAcosA =— 625<。
同角三角函数的基本关系练习题及答案详解
同角三角函数的基本关系【课前复习】．叙述任意角三角函数的定义．1 ．计算下列各式的值：22222420°＋sin；_______________30°＝cos30°＋sin ；________________420°＝．_______________＝²cottan；_______________＝【学习目标】．1＝αcotαtan，αtan＝，11＝αcos＋αsin．掌握同角三角函数的基本关系式：．运用同角三角函数的基本关系式解决求值问题．2 【基础知识精讲】本课时的重点是同角三角函数关系式及其变式的应用，难点是三角函数值符号在不同象限时的确定．1．同角三角函数的基本关系式，反映三角函数之间的内在联系．它们都是根据三角函数的定义推导出来的．亦可以利用单位圆用几何方法推出．．对同角三角函数基本关系式的应用应注意：222 就不恒成立．1＝βcos＋αsin）关系式中要注意同角．例如1（2kα²cotαtan）时，Z∈（＝α的值使等式两边都有意义时才成立．如，当α）关系式仅当2（就不成立．1＝2221＝αcos＋αsin）对公式除了顺用，还应用逆用、变用、活用．例如，由3（1＝αcos，可变形为22，＝α²cosαsinαcos＋αsin＝1，等．＝±αcos，αsin－22，αcos＋αsin）注意“1”的代换，可用4（．1等去代换α²cotαtan2α2sin如：至于角的表达形式是无关重要的，用同角三角函数的基本关系式时一定要注意“同角”，．2222tan，1＝α2cos＋等．1＝α²cot4αtan4，＝222αsin．4的正弦值的α，前者是αsin的平方”，而不能写成α的简写，读作“sin）αsin是（的平方的正弦，两者是不同的．α平方，后者是．同角三角函数的基本关系式有哪些应用？5 ）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求出其余两个；1（）化简三角函数式；2（）证明简单的三角恒等式．3（终边所在象限求出其三角函数值，是本课时的一个难点，它的结果不唯一，需要讨α其中，根据角论，正确运用平方根及象限角的概念，是解决这一难点的关键．．根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求其余两个值（简称“知一求二”）时，如何判6 断是一组结果还是两组结果？如果角所在象限已指定，那么只有一组解；如果角所在象限没有指定，一般应有两组解．．基本关系式的重要等价变形有哪几个？72222；＝αcos；αcos－1＝αsin常用的有以下几个：αcos；α²tanαcos＝αsin；αsin－1＝2s2．|α|cos＝αsin（；αcosα＝1±2sin）α±cos 【学习方法指导】αtan是第三象限角且α］已知1［例的值．αcos，求2＝年高考题，虽然简单，但有很高的训练价值，下面给出两种解法．1992分析：本题是2222αcos＋αsin，而＝αtan（公式法）由解法一：α4cos＝αsin，α2cos＝αsin，2＝知215222，1＝αcos＋α，∴4cos1＝．＝αcos55＝－αcos在第三象限知α由解法二：（锐角示意图法） 1 －4－4图55ABC1－4－4为锐角，作锐角示意图，如图α先视＝cos，则55．＝－α是第三象限角，∴cosα∵当已知角的一个三角函数值是字母时，如何求其他三角函数值？mm．αcos，αtan），求|<1|（＝αsin］已知2［例22所在象限来α取正或取负应根据αcos，但1＝αcos＋αsin，需用公式αcos求αsin分析：由分类讨论．α确定，所以需对mm时，≠0，且<11<）当－1解：（22αcos在第一、四象限，则α若，＝2αtan＝＝＝；2 1 ，＝－αcos在第二、三象限，则α若21sin2cos1．＝αtankkm＝α，则0＝）若2（），Z∈（π ＝±1．αcos，0＝α∴tan 分类讨论．α的一个三角函数值为字母时，应对α点评：当已知角43［例，求下列各式的值：＝－αtan］已知sin3cos2sin cos322α3cos－αcosαsin＋α2sin）2；（）1（．tan分析：根据题目的条件，可将欲求值的式用来表达．α4)(3234tan326)(33tan35＝）原式＝1解：（．＝222sin23tan tan2cos3cossin222sin1tancos ＝）原式＝2（4423)()(273342521)(3．＝点评：本例的解法，体现了一种转化与化归的数学思想方法，把含有正弦、余弦的分式和齐次式转化为只含有正切的式子是常用的三角变换技巧．【知识拓展】．根据同角三角函数的基本关系式及三角函数的定义，可得出八个式子．sin221cos sin1cot tan tancos221csc sinsec tan1cos cot1sec cos22csc cot1sin即．同角三角函数的基本关系式是整个三角函数一章的重点内容之一，应牢记三个基本公式，并能正2 确地运用它们进行三角函数求值、化简、证明．在应用中逐渐掌握解题技巧：如“1”的变形，切化弦思想，等价转化的思想．【同步达纲训练】一、选择题451 ）的值等于（αtan是第二象限角，则α，且＝αsin．若43343443D ．±C ．B ．－A ．±15 ）等于（αtan，那么π<α0≤，且＝αcos＋αsin．已知243343443A ．D ．C ．－B ．－44 ）等于（αcos＋αsin，则1＝αcos＋αsin．若3 2．B ．±A ．±1D 1 ．－C 1 二、填空题＝α3cos＋αsin．若 4 ．____________的值为，则1．____________＝，则2＝αtan．已知5 三、解答题t，2＝θcos＋θtan．已知633的值；（θcos＋θsin）2的值；（θ²cosθsin）1求：（的值．θcos＋θsin）3 ] 参考答案【课前复习】 1 1 1 1 ．2．（略）1 【同步达纲训练】，从而＝－αcos是第二象限角，由平方关系可得α根据A ．1一、．＝－＝得解方程组A ．2 或434355 ．＝－αtan，求得α＝－αcos，这时＝sin，故取π<α0≤又因为22222222244，αsin．D ∵（3＝αcos＋αsinαcosα2sin＋1＝αcosα2sin＋αcos＋αsin＝）αcos＋ 1 22∴sin0 ＝αcosα0sin ＝αcosα ＝±1 αcos时，0＝αsin当＝±1．αsin时，0＝αcos当∴所以＝±1．αcos＋，于是原式＝3＝－．α＝－tan由已知可得．－4二、．5 ．＝＋2＝＋αtan＝＝＝＋，∴2＝θcot＋θ）∵tan1．解：（6三、2 ＝，21 2 ；＝θ²cosθ∴sin12222θcos＋θsin）∵（2（2 ＝＋2³1＝θcos＋θ²cosθ2sin＋θsin＝）12θsin，故>0＝θcos²θθsin，可得2>0＝θcot＋θtan又cos＝＋θsin同号，从而θcos与为第一象限角当为第三象限角当；1 22233θsin－θsin（）θcos＋θsin（＝θcos＋θ∵sin）3（）θcos＋θsin（＝）θcos＋θ²cos2为第一象限角当为第三象限角当33 ＝θcos＋θ∴sin。
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同角三角函数的基本关系式练习
一、选择题
1、),0(,5
4
cos παα∈=，则αcot 的值等于 （ ）
A ．
3
4 B ．43 C ．3
4
±
D ． 4
3
±
2、已知A 是三角形的一个内角，sin A ＋cos A = 2
3 ,则这个三角形是 （ ）
A ．锐角三角形
B ．钝角三角形
C ．不等腰直角三角形
D ．等腰直角三角形 3、已知sin αcos α = 1
8 ,则cos α－sin α的值等于 （ ）
A ．±34
B ．±23
C ．23
D ．－23
4、已知θ是第三象限角，且9
5
cos sin
44
=+θθ，则=θθcos sin （ ）
A ．
32 B ． 32- C ． 3
1 D ． 31- 5、如果角θ满足2cos sin =+θθ,那么θθcot tan +的值是 （ ）
A ．1-
B ．2-
C ．1
D ．2
6、若
2cos sin 2cos sin =-+α
αα
α，则=αtan
（ ）
A ．1
B ． - 1
C ．
4
3
D ．3
4-
7、已知
21cos sin 1-=+x x ，则
1sin cos -x x
的值是 A ． 21 B ． 2
1
- C ．2 D ．－2
8、若θθcos ,sin 是方程0242=++m mx x 的两根，则m 的值为 A ．51+
B ．51-
C ．51±
D ．51--
二、填空题
1、若15tan =α，则=αcos
；=αsin
．
2、若3tan =α，则α
αα
α3
333cos 2sin cos 2sin -+的值为________________． 3、已知
2cos sin cos sin =-+α
αα
α，则ααcos sin 的值为 ．
4、已知5
24cos ,53sin +-=
+-=m m
m m θθ，则m=_________；=αtan ． 三、解答题
1、：已知5
1
sin =α，求ααtan ,cos 的值．
2、已知22cos sin =+αα，求α
α22cos 1sin 1+的值．
3、已知5
1
cos sin =
+ββ，且πβ<<0． （1）求ββcos sin 、ββcos sin -的值；
（2）求βsin 、βcos 、βtan 的值．
*4、已知：m =αcot ，()0≠m ，求αsin ，αcos 的值．
参考答案
一、选择题
ABBA DAAB 二、填空题
1、4
1±；415±(α在一象限时取正号，在三象限时取负号)．
2、2529．
3、103．
4、0=m 或8=m ；43tan -=α或12
5tan -=α．
三、解答题
1、562cos ±
=α；12
6
tan ±=α(α在一象限时取正号，在二象限时取负号)． 2、由22cos sin =
+αα可得：2
1cos sin 21cos cos sin 2sin 2
2=+=++αααααα； 于是：4
1
cos sin -=αα，∴
16cos sin cos sin cos 1sin 1222222=+=+αααααα． 3、
（1）由5
1
cos sin =+ββ可得： 25
1cos sin 21cos cos sin 2sin
22
=
+=++ββββββ； 于是：2512cos sin -
=ββ，()25
49cos sin 21cos sin 2
=-=-ββββ； ∵0cos sin <ββ且πβ<<0，∴0sin >β，0cos <β． 于是：5
7cos sin =-ββ． （2）54sin =β；53cos -=β；3
4tan -=β． 4、 ∵ m ==
α
α
αsin cos cot ，∴ ααsin cos m =，
代入：1cos sin
22
=+αα可得： ()1sin 122=+αm ∴ 2
211
sin m +=
α；
当α在第一、第二象限时，2
11sin m
+=
α， 2
1cot sin cos m
m +=
=ααα；
当α在第三、第四象限时，211sin m
+-
=α，2
1cot sin cos m
m +-
==ααα．
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