空间坐标系与空间坐标系在立体几何中的应用有答案(1)

空间直角坐标系

如图1，为了确定空间点的位置，我们建立空间直角坐

标系：以

正方体为载体，以O 为原点，分别以射线OA，OC，OD′的方

向为正方向，以线段OA，OC，OD′的长为单位长，建立三条数轴：x轴、y 轴、z轴，

这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O 叫做坐标原点，x

轴、y 轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、zOx平面、yOz平面，通常建立的坐标系为右手直角坐标系，即右手拇指指向x 轴的正方向，

食指指向y 轴的正方向，中指指向z轴的正方向．

二．空间直角坐标系中的坐标

空间一点 M 的坐标可用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y， z）叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M （x，y，z），其中 x 叫做点 M 的横坐标，y 叫做点 M 的纵坐

标，z 叫做点 M 的竖坐标

[例1] 在空间直角坐标系中，作出点M（6，－2,4）．

[例 2] 长方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB|＝a ，|BC|＝b ，|CC 1| ＝c ，将此

长方体放到空间直角坐标系中的不同位置 （如图 3），分 别写出长方体各顶点的坐标．

变式 1：棱长为 2 的正方体，将此正方体放到空间直角坐标系中 的不同位置，分别写出几何体各顶点的坐标。

2.底面为边长为 4 的菱形，高为 5 的棱柱，将此几何体放到空间直角坐标系中的不同 位置分别写出几何体各顶点的坐标。

3. 在棱长均为 2a 的正四棱锥 P －ABCD 中，建立恰当的空间直角坐标系，

（1）写出正四棱锥 P －ABCD 各顶点坐标； （2）写出棱 PB 的中点 M 的坐标．

解： 连接 AC ，BD 交于点 O ，连接 PO ，∵ P －ABCD 为正四棱锥，且棱长均为 2a.∴四边形 ABCD 为正方形，

且 PO ⊥平面 ABCD.∴OA ＝ 2＝ PA 2

－OA 2

＝ 2a 2

－ 2a 2

＝ 2a.

以O 点为坐标原点， OA ，OB ，OP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、z 轴，建立空 间直角坐标系．

（1）正四棱锥 P －ABCD 中各顶点坐标分别为 A （ 2a,0,0），B （0，

2a,0），C （－ 2 a,0,0）， D （0，－ 2a,0）， P （0,0， 2a ）． 0＋0 2a ＋ 0 0＋ 2a

（2）∵M 为棱 PB 的中点，∴由中点坐标公式，得 M （ 2 ， 2 ， 2 ），

[ 例 3] 在空间直角坐标系中，点 P （－2,1,4）．

（1）求点P 关于x 轴的对称点的坐标； （2）求点 P 关于 xOy 平面的对

称点的坐标；

（3）求点 P 关于点 M （2，－ 1，－ 4）的对称点的坐标．

[解] （1）由于点 P 关于 x 轴对称后，它在 x 轴的分量不变，在 y

轴、z 轴的 分量变为原来的相反数，所以对称点为 P 1（－2，－1，－

4）．

即 M(0

（2）由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2（－2,1，－4）．（3）设对称点为P3（x，y，z），则点M 为线段PP3 的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－（－2）＝6，y＝2×（－1）－1＝－3，z＝2×（－4）－4＝－12，所以P3（6，－3，－12）．

变式： 1.写出点P（6，－2，－7）在xOy 面，yOz面，xOz 面上的投影的坐标以及点P 关于各坐标平面对称的点的坐标．

解：设点P 在xOy平面、yOz平面、xOz平面上的投影分别为点A，B，C，点P 关于xOy 平面、yOz 平面、xOz 平面的对称点分别为点A′ ，B′，C′，由PA⊥平面xOy，PB ⊥平面yOz，PC ⊥平面xOz 及坐标平面的特征知，点A（6，－2,0），点B（0，－2，－7），点C（6,0，－7）；根据点P 关于各坐标平面对称点的特征知，点A′（6，－2,7），B′（－6，－2，－7），C′（6,2，－7）．

2.在棱长都为 2 的正三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 中，建立恰当的直角坐标系，并写出正 三棱柱 ABC －A 1B 1C 1 各顶点的坐标．

［正解］ 取 BC ， B 1C 1的中点分别为 O ， O 1，连线 OA ，OO 1， 根据正三棱柱的几何性质， OA ，OB ，OO 1 两

两互相垂直，且 |OA|＝ 23

×2＝ 3，

以 OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立直角坐标系，如图 5 所示，则正三棱柱 ABC —A 1B 1C 1 各顶点的坐标分别为 A( 3，

0,0)，B(0,1,0)，C(0， －1,0)， A 1( 3，0,2)，B 1(0,1,2)，C 1(0，－ 1,2)．

空间向量在立体几何中的应用 直 线的方向向量与平面的

法向量 直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的向量叫做直线 l 的方向向量． 如果表示非零向量 n 的有向线段所在直线 垂直于平面α，那么称向量 n 垂直于 记作 n⊥α .此时把向量 n 叫做平面 α的法向量． 1. (1) (2) α，

2. 线面关系的判定 直线 l 1 的方向向量为 面 α的法向量为 n 1＝ (x 1， 如果 l 1∥l 2，那么 如果 l 1

⊥l 2，那么 若 l 1∥α，则 e 1⊥ n 1 若 l 1⊥α，则 e 1∥ n 1 若 α∥β，则 n 1∥ n 2 若 α⊥β，则 n 1⊥ n 2 3. 利用空间向量求空间角 (1) 两条异面直线所成的角 平面 (1)

(2)

(3) (4) (5) (6) e 1＝(a 1，b 1，c 1)，直线 l 2 的方向向量为 e 2＝(a 2，b 2，c 2)，平 y 1，z 1)，平面β的法向量为 n 2＝(x 2， y 2，z 2)． e 1∥ e 2 e 2＝ λe 1 a 2＝ λ1a ，b 2＝λb 1，c 2＝λ1c ． e 1⊥ e 2 e 1·e 2＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝ 0． e 1·n 1＝ 0 a 1x 1＋b 1y 1＋c 1z 1＝0． e 1＝kn 1 a 1＝kx 1，b 1＝ky 1， c 1＝kz 1． n 1＝ kn 2 x 1＝ kx 2， y 1＝ky 2，z 1＝kz 2． n 1· n 2＝0 x 1x 2＋y 1y 2＋ z 1z 2＝0． π ①范围：两条异面直线所成的角 θ的取值范围是 0， 2 . ②向量求法：设直线 a 、b 的方向向量为 a 、b ，其夹角为 (2) 直线与平面所成的角 φ，则有 cosθ＝ |cosφ |. ①范围：直线和平面所成的角 θ的取值范围是 0，π2 . ②向量求法：设直线 l 的方向向量为 a ，平面的法

向量为 为 θ，a 与 u 的夹角为φ，则有 sinθ＝ |cosφ| (3) 二面角 ①二面角的取值范围是 ［0，π ］． ②二面角的向量求法： (ⅰ) 若 AB 、CD 分别是二面角 α-l- β的两个面内与棱 l 垂直 的异面直线，则二面角的大小就是向量 AB 与 CD 的夹角 (如图 ①)．

u ， 直线与平面所成的角