机械系统动力学第三章机械系统运动微分方程的求解1
机械系统动力学
机械系统动力学内容简介课程编号：B0200013C 课程名称：机械系统动力学英文译名：Dynamic Analysis of Mechanical System适用学科：机械设计及理论机械制造及其自动化机械电子工程先修课程：机械振动开课院（系）：机电工程学院机械设计系任课教师：陆念力（教授）、陈照波（教授）、焦映厚（教授）、兰朋（副教授）内容简介：机械动力学是一门研究机械在力作用下的运动和机械在运动中产生的力的科学。
在机械动力学发展过程中先后产生了并存在着四种不同水平的分析方法，即静力分析、动态静力分析、动力分析和弹性动力分析方法。
前三种分析方法中，构件均被假定为刚性，第四种分析方法计入了构件的弹性，以提高设计分析的精度。
本教程中，机械动力学划分为机械刚体动力学和机构弹性动力学两大部分。
在机械刚体动力学部分将介绍机构的动态静力分析、连杆机构的平衡、机械系统动力学分析。
在机械弹性动力学部分将介绍回转机械的振动问题，连杆机构弹性动力学和机械系统弹性动力学。
本课程还将介绍一些有关的多柔体系统动力学分析理论与方法。
主要教材：1.《机械动力学》张策编著高等教育出版社2000年4月2.《柔性多体系统动力学》陆佑方高等教育出版社1996年7月3.《高等动力学》毕学涛高等教育出版社1994年12月参考文献：1.《弹性连杆机构的分析与设计》张策机械工业出版社1997年8月2.《计算多体系统动力学》洪嘉振高等教育出版社1999年7月机械系统动力学教学大纲课程编号：B0200013C课程名称：机械系统动力学开课院系：机电工程学院机械设计系任课教师：陆念力、陈照波、焦映厚、兰朋先修课程：机械振动适用学科范围：机械设计及理论、机械制造及其自动化、机械电子工程学时：36 学分：2开课学期：春开课形式：讲授＋辅导课程目的和基本要求：随着机械系统的复杂化、高速化、精密化、柔性化，对机械系统动力学分析精度提出了更高的要求，本课程着重培养学生对复杂机械系统动力学建模及分析的能力。
复习小结-机械系统动力学讲解
《机械系统动力学》复习小结第一章 绪论★1.《机械系统动力学》课程的脉络（主要内容、研究对象、研究方法） 主要分为两部分：刚体动力学和机械振动学单自由度刚体动力学：等效力学模型； 刚体动力学二自由度刚体动力学：拉格朗日方程、龙格库塔法；单自由度系统振动：单自由度无阻尼（有阻尼）自由振动（强迫振动）、固有频率计算、Duhamel 积分；两自由度系统振动：固有频率及主振型求解、动力减振器； 机械振动学 多自由度系统振动：影响系数法、模态分析法、矩阵迭代法； 弹性体振动：杆的纵向振动、轴的扭转振动、梁的横向自由振动（受迫振动）、几种边界条件下的频率方程； 2. 机械系统的一些基本概念系统、机械系统、离散系统、连续系统以及激励的确定性、随机性、模糊性。
3. 机械振动的概念及其分类简谐振动：()ϕω+=t A x sin 复数形式 ti Ae x ω=★4. 谐波分析法：把一个周期函数展开成一个傅立叶级数形式。
Fourier 级数：()()∑∞=++=10sin cos 2n n n n n t b t a a t F ωω★5.机械系统动力学的研究意义、研究任务、发展趋势第二章 单自由度刚体系统动力学1． 驱动力＆工作阻力的分类 机械特性的概念三相异步电动机的机械特性分析；输出力矩与角速度之间的关系：2ωωc b a M ++=。
★2．等效力学模型原则：转化前后，等效构件与原系统的动能相等，等效力与外力所作的功相等。
通常取做定轴转动或直线平动的构件为等效构件。
∑∑==+=nj j j mk kk ke M v FM 11cos ωωωα ∑∑==+=n j j j m k kk k e v M v v F F 11cos ωα∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nj jj sjj e J v m J 122ωωω∑=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n j jj sjj e vJ v v m m 122ω 与传动速比有关，与机构的运动速度无关。
第2章 两自由度机械系统动力学
代入虚功 方程
W Fk rk 0（3-3）
k
22
得：
n rk W Fk rk Fk q qi k k i 1 i n rk Fk q qi i 1 k i
125
欲实施有效控制，特征 根不能为正值，所以 b0 a g (1 )
126
3.6 二自由度机械手动力学问题
127
128
129
130
131
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133
134
135
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140
141
142
本章总结
了解牛顿力学的不足；
掌握广义坐标和广义力的计算方法； 掌握拉格郎日方程的建立方法； 简单的力学应用。
2 1 2 2 2 1
51
52
53
54
例：用拉格朗日方程建立单摆运动方程。
55
(1)确定广义坐标 q (2)计算动能与势能 1 2 1 2 2 mv ml 2 2 V m gl(1 cos ) E (3)计算广义力 V Q m glsin
5
6
7
8
本章采用的方法：拉格郎日方程（重点） 二自由度机械系统动力学不采用等效 力学模型法，一般采用拉格郎日方程来建 模。 在学习拉格郎日方程之前，必须掌握 一些重要的概念，如广义坐标、广义力、 虚位移等。首先了解一些科学史观，培养 科学精神。
9
3.2 自由度与广义坐标
广义坐标：
能够完全确定系统状态的一组坐标叫做广义 坐标。 自由度（DOF)： 能够完全确定系统状态的一组坐标的数量叫 自由度。 一般情况下广义坐标数量等于自由度数。
机械系统动力学 第三章 机械系统运动微分方程的求解1
• 3-1机械系统运动方程求解方法-解析法 • 3-2机械系统的运动方程求解方法-数值法 • 3-3机械系统的运动方程求解方法-半解析数
值法
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
1.问题的提法 工程中大量的动力学问题都可以 归结于图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型,其动力学问题的数 学模型表示为常微分方程的初值 问题 控制方程:
n
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
在初始条件为 x(0) x0, x(0) x0 欠阻尼条件下，方程的定解
x(t)
ent ( x0
cos d t
x0
x0 d
sin dt)
[1
(
X st
)2 ]2 [2 (
)]2
sin(d t
)
n
n
上中的第一项为单自由度系统自由振动响应，当t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
mx cx kx F(t)
满足初始条件:
x(0) x0, x(0) x0
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动
2. 单自由度振动系统简谐激励作 用下的响应
运动微分方程:
mx cx kx F0 sin t
图3-1-1 单自由度振动系 统的力学模型
3-1机械系统运动方程求解方法-解析法
3-1-1 单自由度系统的振动 2）特解
特解的求法很多，有比较系数法、旋转矢量法、拉 氏变换法等，较简单快捷的方法是旋转矢量法
设特解： x2(t) X sin(t )
代入方程 mx cx kx F0 sin t
机械系统动力学知识点总结
机械系统动力学知识点总结机械系统动力学是研究对象在外力作用下的运动规律和相互作用关系，是机械领域的基础知识之一。
了解机械系统动力学不仅可以帮助我们理解机械系统的工作原理，还能指导我们设计和优化机械系统，提高机械系统的性能。
本文将就机械系统动力学的相关知识进行总结，包括运动描述、牛顿定律、动量与冲量、角动量、能量和动力学方程等内容。
一、运动描述机械系统动力学研究的对象是物体在外力作用下的运动规律，因此对于机械系统中的物体运动进行描述是非常重要的。
在机械系统动力学中，常用的运动描述方法包括位移、速度和加速度。
位移描述了物体的位置变化，速度描述了物体的位置变化速率，而加速度描述了物体的速度变化速率。
1. 位移在机械系统动力学中，位移是描述物体位置变化的重要参数。
位移通常用矢量来表示，其方向表示位移的方向，大小表示位移的大小。
位移可以分为线性位移和角位移两种，线性位移是描述物体沿直线方向的位置变化，而角位移是描述物体绕固定轴旋转的位置变化。
2. 速度速度是描述物体位置变化速率的参数，通常用矢量来表示。
线性速度描述物体在直线方向上的位置变化速率，角速度描述物体绕固定轴旋转的位置变化速率。
线性速度的大小表示速度的大小，方向表示速度的方向，而角速度的大小表示角速度的大小，方向表示角速度的方向。
3. 加速度加速度是描述速度变化速率的参数，通常用矢量来表示。
线性加速度描述物体在直线方向上的速度变化速率，角加速度描述物体绕固定轴旋转的速度变化速率。
线性加速度的大小表示加速度的大小，方向表示加速度的方向，而角加速度的大小表示角加速度的大小，方向表示角加速度的方向。
以上就是机械系统动力学中常用的运动描述方法，通过对位移、速度和加速度进行描述，可以帮助我们理解物体在外力作用下的运动规律。
二、牛顿定律牛顿定律是机械系统动力学的基础法则，它描述了物体在外力作用下的运动规律。
牛顿定律一共包括三条，分别是惯性定律、动量定律和作用-反作用定律。
机械系统动力学-PPT课件
2
，可求解等效转动惯量：
n v i 2 si2 J J （ ) m ( ) e si i i i 1 1
HIGH EDUCATION PRESS
第十四章 机械系统动力学
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
等效力矩的计算：
等效构件的瞬时功率：P M e
系统中各类构件的瞬时功率： P P F v cos i 'M i i i'' i si i
0 Md tan 0 n tan Mn
M M n 0 n M d 0 n 0 n ab
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第十四章 机械系统动力学
二、机械的运转过程
1.启动阶段 2. 机械的稳定运转阶段
3. 机械的停车阶段
第十四章 机械系统动力学
P P ' P ' ' M F v cos i i i i i i si i
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
1.作定轴转动的等效构件的等效参量的计算
整个机械系统的瞬时功率为：
P M F v cos i i i si i
i 1 i 1 n n
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3.机械的停车阶段
停车阶段是指机械由稳定运转的工作转数下降到零转
数的过程。
第十四章 机械系统动力学
HIGH EDUCATION PRESS
第二节 机械系统的等效动力学模型
一、等效动力学模型的建立 二、等效构件 三、等效参量的计算 四、实例与分析
第十四章 机械系统动力学
作往复移动的等 效构件的微分方 程
机械动力学第3章两自由度系统
b.微分方程
m1&&1 + (k1 + kc ) x1 − kc x2 = F1 (t ) x （3.1-1） ） m2 &&2 + (k 2 + kc ) x2 − kc x1 = F2 (t ) x
5
写成矩阵形式： 写成矩阵形式：
m1 0
0 &&1 k1 + kc x && + −k m2 x2 c
（3.1-12） ）
讨论（ 讨论（3.1-11）的解，假定 ）的解，
f (t ) = Be
st
代入（ 代入（3.1-11）得 ）
10
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
QQ1094860954
s +λ =0
2
（3.1-13） ）
− −λt
（3.1-11）的通解 ）
f (t ) = B1e
（3.1-22） ）
17
3.1无阻尼自由振动 3.1无阻尼自由振动
3.1.1 固有模态振动
叫做特征向量, 叫做特征向量 振型向量或模态向量 r 1 r 2 叫做振型比 固有频率和振型向量构成系统的固有模态的基 或简称模态参数),它们表明了系统自由振动 本参数(或简称模态参数 本参数 或简称模态参数 它们表明了系统自由振动 的特性。 的特性。 两自由度系数有两个固有模态,即 两自由度系数有两个固有模态 即系统的固有 模态等于系统的自由度数。 模态等于系统的自由度数。 对于给定的系统, 对于给定的系统 特征向量或振型向量的相对比值 是确定的唯一的,和固有频率一样取决于系统的物 是确定的唯一的 和固有频率一样取决于系统的物 理参数,是系统固有的 而振幅则不同。 是系统固有的,而振幅则不同 理参数 是系统固有的 而振幅则不同。
自由度机械系统动力学
1. 解析法
d
t t0 Je 0 Me()
（3.4.6）
若
Me()ab
则
再求出其 反函数
t
t0
Je b
ln ab ab0
f (t)
（3.4.7）
若
d
tt0Je 0abc2
演讲完毕，感谢观 看
（3.4.8）
一、等效力和等效力矩 二、等效质量和等效转动惯量
等效力学模型
等效原则： 等效构件具有的动能＝各构件动能之和
M e
n j 1
m
j
vSj v
2
J
j
j
v
2
J e
n j 1
m
j
vSj
2
J
j
j
2
（3.3.3）
等效质量和等效转动惯量与传动比有关， 而与机械驱动构件的真实速度无关
2W()
Je()
（3.4.3）
若
是以表达式
给出，且为可积函数时，
（3.4.3）可得到解析解。
但是
常常是以线
图或表格形式给出，则只
能用数值积分法来求解。
常用的数值积分法有梯形
法和辛普生法。
运动方程式的求解方法
一、等效力矩是位置的函数时运动方程的求解
二、等效转动惯量是常数、等效力矩是角速度的函数时运动方程
单自由度机械系统可以采用等效力学模型来进行研究，即系统的动力学问题转化为一个等效构件的动力学问题来研究，可以 使问题得到简化。
当取作定轴转动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力矩，系统的全部 质量和转动惯量折算到该构件上得到等效转动惯量。
当取作直线运动的构件作为等效构件时，作用于系统上 的全部外力折算到该构件上得到等效力，系统的全部质 量和转动惯量折算到该构件上得到等效质量。
第一节 系统微分方程
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
1、什么是控制系统的数学模型 描述系统输入、输出物理量，以及内部物理 量之间关系的数学表达式。 2、线性系统与非线性系统： 系统的数学模型能用线性微分方程描述的系统 称为线性系统。否则为非线性系统
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
消去中间i变量,则得
d uC duC LC RC uC ur 2 dt 或写作 dt
d 2uc duc TLTC TC uc u r 2 dt dt
（3—1）
2
L 式中， TL , TC RC . R 式（3-1）就是图3-1所示电路的数学模型，它描 述了该电路在 ur 作用下电容两端电压 uc 的变化规律。
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
例3-2 已知一R-C网络如图所示，试写出该网 络输入与输出之间的微分方程。
图3-2 两级R-C电路
解 当后级的输入阻抗很大，即对前级网络的影响可以 忽略不计时，由基尔霍夫电流定律写出下列的方程组
机械工程控制基础
1 C1 1 C2 1 C2
第三章 系统数学模型
机械工程控制基础
第三章 系统数学模型
二、 列写系统微分方程式的一般方法 • 系统微分方程(differential equation)是描述控制系 统动态性能的一种数学模型。
• 为使所建立的数学模型即简单又具有足够的精度， 在推演系统的数学模型时，必须对系统作全面深 入考察，以求能把那些对系统性能影响较小的一 些次要因数略去。 • 用解析法推演系统的数学模型的前提是对系统的 作用原理和系统中个元件的物理属性有着深入的 了解。
09-03机械系统运动方程及其求解
J dω M dt
上式可改写为:
（9.3-7）
9.3 机械系统运动方程及其求解
dddωωt MMJ
α
α
ωdt ω0J αt
ω
ω000ωαωt0t0t1212αtα2t
2
（9.3-8）
式中，0、ω0为等效构件起始位置的角位移和角速度; 为等效构
件角加速度。
这类问题常见于恒定载荷的齿轮传动或机械制动过程中。
9.3 机械系统运动方程及其求解
4. 等效力矩是位置和速度的函数，等效转动惯量是位置的 函数
这类问题采用式(9.3-1)列出其运动方程式
d
1 2
J
ω2
M
,
ωd
这是一个非线性微分方程，通常难以求出其解析解。一般
情况下只能用数值方法求解。
首先，构造一个适宜于数值解的迭代计算公式。为此，将
上式展开
1 ω2dJ J dω M ,ωd
图9-4 简单机械系统
9.3 机械系统运动方程及其求解
内使该传动系统停止运转，问所需的制 动力矩Mr为多大？ 解：选取制动器B所在轴系为等效构件， 其角速度ω３为
ω3
1
i12i23
2π 1420 60
1 2.5 4.5
13.218 rad s 由式（9.2-6），求得其等效转动惯量J
图9-4 简单机械系统
9.3 机械系统运动方程及其求解
9.3.1 机械系统方程式
求解机械的真实运动规律,首先列出机械系统运动方程式。
由于平面单自由度机械系统的动力特性等价于其等效动力学模型,
为此,研究机械系统的运动规律问题就简化为研究等效构件的运
动规律问题。
若以曲柄为等效构件,根据动能定理,其微分形式的动能方程
机械动力学
vSjy aSjy ) J j j j ]
例题P72
§3.4 动力学方程式的求解 注意：关键是确定等效转动惯量和等效力矩的关系式（解析式、图表形式等）
一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数
（Md=Md()，Mr=Mr()， Me=Me()，Je=Je()）
1. 等效构件的角速度
❖
1 2
式中第二项符号的确定方法为：当Mj与ωj同向时取正号，反向时取负号。
广义力就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中 全部力和力矩在同一时间内所作的功。
广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩Me，它可按下式计算：
F
Me
m ( Fkvk
k 1
cosk
q
)
m
(M j
j 1
j )
q
Me表示式中的广义传动比 j / q、vk / q是由机构的尺度和位置决定的， Me仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度 q 的变化无关。
单自由度机械系统的动力学方程：
J e q
1 2
J e q
q2
Me
三、等效力学模型
机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂 的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。
2、等效条件 (1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能； (2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。
3、等效参数 (1) 等效质量me，等效转动惯量Je； (2) 等效力Fe，等效力矩Me。
等效动力学模型的建立
对于单自由度的机械系统，只要知道其中一个构件的运 动规律其余所有构件的运动规律就可随之求得。因此可把复杂 的机械系统简化成一个构件（称为等效构件),建立最简单的等 效动力学模型，将使研究机械真实运动的问题大为简化。当等 效构件为一个绕机架转动的构件时，模型为图a。当等效构件 为一个移动滑块时，模型为图b 。
微分方程与动力系统的数值解法
优点：精度高，稳 定性好，计算速度 快
线性多步法
定义：线性多步法是一类数值求解微分方程的方法，通过多次迭代逐步逼近微分方程的解。
特点：线性多步法具有较高的计算精度和稳定性，适用于求解初值问题和边值问题。
常见方法：常见的线性多步法包括Adams-Bashforth方法、Adams-Moulton方法和预测-校 正方法等。
微分方程数值解 法的基本原理
数值逼近的基本概念
定义：用离散 的数值近似表 示连续的数学
函数
目的：解决微 分方程等连续
问题
方法：有限差 分法、有限元
法等
误差控制：保 证数值解的精
度和稳定性
欧拉方法
定义：欧拉方法是一种 常用的数值求解微分方 程的方法
原理：通过离散化微分方 程，将连续的时间变量离 散为离散的时间点，从而 将微分方程转化为差分方 程进行求解
导数或偏导数
分类：根据微分 方程的形式和性 质，可以分为线 性微分方程和非
线性微分方程
动力系统的基本概念
定义：动力系统是由微分方程描述的一组动态变化的数学模型
分类：根据微分方程的性质，动力系统可以分为线性与非线性、常微分方程与偏微分 方程等类型
状态空间：动力系统的状态由状态空间中的点表示，状态随时间的变化规律由微分方 程描述
添加项标题
数值解法：采用数值方法求解高阶常微分方程初值问题，常用的 方法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
添加项标题
稳定性分析：在数值求解过程中，需要分析数值解的稳定性，以 确保计算结果的精度和可靠性。
添加项标题
应用领域：高阶常微分方程初值问题在物理学、化学、生物学等 领域有广泛应用，如振荡器设计、化学反应动力学等。
偏微分方程定义： 描述物理现象中变 量之间依赖关系的 数学方程
3.天津大学机械振动课件-振动系统的运动微分方程
22 表示在m
l ( )3 l3 2 3EI 24 EI
2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有
22
Mechanical and Structural Vibration
l3 3EI
3.4 柔度影响系数 位移方程
12 21 表示在m2 处施加单位力在
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
写成矩阵形式
x1 11 12 x 2 21 22 x 3 31 32
13 m1 0 23 0 m2 33 0 0
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
F1
首先施加单位力 F1 1 F2 F3 0 ， 这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 k ，第二和第三个 1
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
例 试写出图所示刚体AB的 刚度矩阵并建立系统的运动 微分方程。
解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水 平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C转角 确定。
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是k，则
1 k
就是物
块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。 n自由度系统的柔度矩阵 Δ 为n阶方阵，其元素 ij 称为柔度影 响系数，表示单位力产生的位移。 具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相 应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 ij 。
机械系统动力学培训教程
机械系统动力学培训教程1. 引言机械系统动力学是研究机械系统中各组件之间的运动关系和力学性能的学科。
掌握机械系统动力学理论和方法对于机械工程师来说至关重要。
本教程旨在为初学者提供机械系统动力学的基础知识和实践技巧，帮助他们快速入门并掌握机械系统动力学。
2. 机械系统动力学基础2.1 动力学概述动力学研究物体的运动以及引起物体运动的力和能量。
机械系统动力学是动力学的一门分支，专门研究机械系统中各部件之间的运动关系和力学性能。
2.2 牛顿运动定律牛顿运动定律是描述物体运动的基本定律。
它包括三个定律：•第一定律（惯性定律）：物体在没有外力作用下保持静止或匀速直线运动。
•第二定律（运动定律）：物体的加速度与作用在物体上的合外力成正比，与物体的质量成反比。
•第三定律（作用反作用定律）：作用在物体A上的力与物体B对物体A的作用力大小相等，方向相反。
掌握牛顿运动定律对于理解机械系统中力的作用和物体运动的规律至关重要。
2.3 质点与刚体在机械系统动力学中，我们将物体分为质点和刚体。
质点是一个物体的研究假设，认为物体可以看作一个质点，忽略物体的大小和形状。
刚体是指保持形状不变且各点之间的距离不变的物体。
2.4 平衡与非平衡平衡是指系统各部分之间的力或力矩相互抵消，系统处于稳定状态。
非平衡是指系统存在力或力矩不平衡，系统会发生运动。
3. 机械系统动力学分析方法3.1 力的分析在机械系统动力学分析中，力是一个基本概念。
力的分析可以帮助我们理解机械系统中各部件之间的相互作用和影响。
3.2 动力学模型建立建立动力学模型是机械系统动力学分析的关键步骤。
可以通过物体的几何特征、质量、惯性矩等参数来建立动力学模型。
3.3 运动方程求解建立了动力学模型后，可以通过求解运动方程来获得机械系统的运动规律。
常见的运动方程有牛顿第二定律等。
4. 机械系统动力学应用案例4.1 悬挂系统分析悬挂系统是汽车、火车、电梯等机械系统中常见的一个部件。