17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式(1)

作业：
课本82页习题1（1）（2）（3）（5）
课外作业：学习指导书做到57-58页
拓展习题：见下页
例 4．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方 向依次为 Z1，Z2，Z3，O（其中 O 为原点）.已知 Z2 对应 复数 Z2=1+ 3i ，求 Z1 和 Z3 所对应的复数.
分析与解答： 根据题意我们不妨画出草图，以便分析. 根据平面几何的知识，我们知道正方形的一条对角线 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，而且斜边是直 角边的 2 倍.
(cos i si n ) r Z r (cos i si n ) (cos i si n ) r [cos( ) i si n ( r r (cos i si n ) r [cos( ) i si n ( r [cos( ) i si n ( )] r
17.4棣莫弗定理与欧拉公式
铜山中等专业学校幼教部对口单招二年级
课件制作人 李巧玲
温故知新
设 r | OZ | ， 是 以 x 轴 的 非 负 半 轴 为 始 边 ， 以 OZ 所 在 射 线 为 终 边 的 角 则 ，a , b 与 r , 有什么关系？
y
b
0
我们有： a r cos , b r sin
2 n
若 r1 r2 rn r , 1 2 n
[r (cos i sin )]n r n (cosn i sinn )
例1 计算：
（ 1 ）3 （ cos

i sin ) 4(cos i sin ) 6 6 12 12
二、复数三角形式的乘 法与除法关系
z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 z2 r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
思考：若z r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 (cos1 i sin1 ) 求复数 z
0 0 0 0



( 2) 2 (cos50 i sin50 ) 3(cos40 i sin40 )
解（ 1 ）原式 4 3[cos( ) i sin ( )] 6 12 6 12 4 3 (cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i 0 0 0 0 （ 2 ）原式 3 2[cos(50 40 ) i sin ( 50 40 )
r
Z (a,b)

a
z a bi r (cos i sin )
x
r (cos i sin ) 叫做复数 a bi 的三角形式
r － 复数的模， － 复数的辐角
新课讲授
一、复数三角形式的乘 法与乘方 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
，符合复数除法的几何意义，也可以直接写成
→ 逆时针旋转 90得到，因此用 而在求 z3 时，也可将OZ 1 z3=z1·i 算更方便.
z3 1 z 2 (cos i sin ) 4 4 2
2 2 2 (1 3 )( i) 2 2 2 1 3 1 3 i 2 2
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2
2
)] )]
2
新课讲授
二、复数三角形式的除 法与开方 1、除法法则 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z2 0 z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] r2
2、 已 知 复 数 z
(1 i ) (a i ) 2 ( a 3i )
2
(a 0, a R )
2 的 模 为 ， 则z 的 三 角 形 式 为 3
课题小结：
1、复数的乘法：
z1 z2 r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
2、复数的乘方：棣莫弗定理
z 1 z 2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) 复数乘积的模＝模的积 r1 r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 )
1 2 1 2
复数乘积的辐角 = 各辐角的和 i (cos sin sin cos )]
[r (cos i sin )] r (cosn i sinn )
n n
3、复数的除法
z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] r2
0 0
0
0
0
0
巩固练习：课本77页练习
巩固练习
4 4 5 5 1、 计 算 ： 4(cos i sin ) 2(cos i sin ) 3 3 6 6
练习： (1) 2 (cos ( 2)

i sin ) 3 3
3 2

3 (sin30 i cos 30 ) (1 i )
r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
两个复数相乘，积的等 模于各复数的 模的积，积的辐角等各 于复数的辐角的和
新课讲授
一、复数三角形式的乘 法与乘方 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
两复数相除，商的模于 等被除数的模除以 除数的模所得的商，的 商辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所的 得差
例2计算 [6(cos70 i sin70 ) [ 3(cos40 i sin40 )]
0 0 0 0
解：原式 2[cos(70 40 ) i sin( 70 40 )] 2(cos30 i sin30 ) 3i
由复数运算的几何意义知：
z1 1 z 2 [cos( ) i sin( )] 4 4 2
2 2 2 (1 3i )( i) 2 2 2 3 1 3 1 i
→ 向顺时针方向旋转 45，且模缩短到原 求 z1 时是将OZ 2 来长度的
1 2 1 1 3i . 2 cos i si n 4 4
z 1 z 2 z n r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) rn (cos n i sin n ) r1 r2 rn [cos( 1 2 n )
1
棣莫弗定理 i sin ( )]
3 2 (cos90 i sin90 ) 3 2i
0 0






巩固练习
1、 计 算 ：2 (cos
i sin ) 3 (cos i sin ) 12 12 6 6
6 6




ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2、计算： [3(sin80 i cos80 )] ，( 3 i )
3、 向 量 OZ 与 复 数 1 i 对应，把 OZ 按 逆时针方向旋转 90 ， 得 到 OZ ， 求 与 向 量OZ 对 应 的 复 数 (用 代 数 形 式 表 示 )