17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式(1)
棣莫弗—拉普拉斯定理证明
棣莫弗—拉普拉斯定理证明棣莫弗—拉普拉斯定理是数学中的一个重要定理，它与泰勒级数展开密切相关，被广泛应用于数学和物理之中。
棣莫弗—拉普拉斯定理提供了一种求解函数的近似值的方法，特别适用于当自变量趋向于无穷大时。
下面我将详细阐述并证明这一定理。
假设我们有一个函数f(x)，它在实数轴上连续，并且在某个区间上存在高阶导数。
设a是实数，考虑函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n! + ...(1)其中f^(n)(a)表示f(x)的n次导数在x=a处的值。
棣莫弗—拉普拉斯定理是指，当自变量x趋向于无穷大时，函数f(x)可以用它的泰勒级数展开的前几项来近似表示。
具体来说，如果我们只保留泰勒级数展开的前n项，并且在其中每一项的指数幂都是x的二次项及以上时，那么我们可以得到以下近似表达式：f(x) ≈f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n!(2)其中≈表示“近似等于”。
棣莫弗—拉普拉斯定理的基本思想是，当x趋向于无穷大时，泰勒级数展开中的高次项在整体上变得可以忽略不计，而低次项的贡献逐渐占主导地位，从而可以用前n项来近似表示函数f(x)。
这一近似成立的条件是，函数f(x)在x=a处的泰勒级数展开存在，且高次项在x趋向于无穷大时趋向于0。
要证明棣莫弗—拉普拉斯定理，我们可以考虑泰勒级数展开式中的误差项，即余项。
根据泰勒中值定理，对于x=a+h（其中h>0），函数f(x)在[a,a+h]上至少有一个点ξ，使得余项等于f^(n+1)(ξ)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!。
当x趋向于无穷大时，假设ξ趋向于无穷大，我们可以猜测余项的渐近表达式为O(xⁿ⁺¹)，其中O表示“同阶无穷小”。
棣美弗定理与Euler公式
y θn θn · n tan θn = lim · n→∞ tan θ tan θn n 1+
x n
=y
(2.7)
定理 2.1. 已知 z = x + iy 則 ez = ex+iy = ex (cos y + i sin y ) 如果 z = iy 就回到 Euler 公式。 由這個定理可容易證明函數方程。 系 2.2. 指數函數 ez 滿足函數方程 ez1 +z2 = ez1 ez2 z1 , z2 ∈ C (2.9) (2.8)
與 (1.5) 不謀而合, 現在決定 K 是甚麼? f 對 x 微分 df = KeKx = − sin x + i cos x = i(cos x + i sin x) dx 因此 K = i, 換言之 f (x) = cos x + i sin x = eix 這正是 Euler 公式。 同理對於函數 g (x) 也有類似的公式: g (x)g (y ) = g (x + y ), [g (x)]n = g (nx) (1.7) (1.8) (1.6)
這個函數方程 (functional equation) 是指數函數的基本性質但是直接由定義是不容易證明的, 不信你可以試看看。 (B) 從分析的角度而言, 利用冪級數來定義指數函數是最自然不過的了 ez = zn , n=0 n!
∞
z = x + iy
(2.10)
在複變函數理論我們將這類可以表為冪級數的函數稱為解析函數 (analytic function), 因為是 無窮級數所以必需先討論收斂性問題。 對於複數要比較大小最自然的就是選取其模 (modulus) 或範數 (norm) |z | = |x + iy | = x2 + y 2
棣莫弗公式
棣莫弗公式棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），则:Z1Z2=r1r2[co（θ1+θ2）+iin（θ1+θ2）]。
2解析证：先讲一下复数的三角形式的概念。
在复平面C上，用向量Z(a,b）来表示Z=a+bi。
于是，该向量可以分成两个在实轴，虚轴上的分向量。
如果向量Z与实轴的夹角为θ，这两个分向量的模分别等于rcoθ,rinθ（r=√a^2+b^2）。
所以，复数Z可以表示为Z=r(coθ+iinθ）。
这里θ称为复数Z的辐角。
因为Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），所以Z1Z2=r1r2(coθ1+iinθ1）（coθ2+iinθ2）=r1r2(coθ1coθ2+icoθ1inθ2+iinθ1coθ2-inθ1inθ2）=r1r2[(coθ1coθ2-inθ1inθ2）+i(coθ1inθ2+inθ1coθ2）]=r1r2[co（θ1+θ2）+iin（θ1+θ2）]。
其实该定理可以推广为一般形式：3推广设n个复数Z1=r1(coθ1+iinθ1），Z2=r2(coθ2+iinθ2），。
Zn=rn(coθn+iinθn），则：Z1Z2。
Zn=r1r2。
rn[co（θ1+θ2+。
+θn)+iin（θ1+θ2+。
+θn)]。
4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（Euler）公式“e^iθ=coθ+iinθ”（参见《泰勒公式》，严格的证明需要复分析）放在一起看，则可以用来理解欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理有：Z1Z2。
Zn=r1r2。
rn[co（θ1+θ2+。
+θn)+iin（θ1+θ2+。
+θn)]如果可以把所有的复数改写成指数的形式，即：Z1=r1e^iθ1,Z2=r2e^iθ2，。
Zn=rne^iθn,Z1Z2。
Zn=r1r2。
rne^i（θ1+θ2+。
中职数学教案：棣莫弗定理与欧拉公式
备课组别
数学
上课
日期
主备
教师
授课
教师
课题：
17.4-1棣莫弗定理与欧拉公式
教学
目标
1. 理解复数三角形式乘除法公式.
2..能根据复数三角形式乘除法公式进行计算。
重点
复数三角形式乘除法；
难点
利用复数三角形式乘除法公式进行计算
教法
讲练结合数形结合
教学设备
由此可见，复数的积的模等于模的积，积的辐角等于辐角的和.
二 巩固数学
例1
解
由此可见，复数的商的模等于模的商，商的辐角等于辐角的差.
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
例2计算：
解：
例3若 那么 与 的值分别为多少？
解:
三 理解数学
计算：
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内
容
【思考提升】
1.深入理解复数三角形式的乘除法运算法则.
2.体会在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简便.
三、 小结
通过本节课的学习，我们进一步学习了复数三角形式
的乘除法运算，在计算乘除法时，三角形式比代数形式要简
便.
四 、作业
P77练习
板
书
设
计
教后札记
多媒体一体机
教学
环节
教学活动内容及组织过程
个案补充
教
学
内ห้องสมุดไป่ตู้
容
【课堂导学】
复数的代数形式 可以进行加、减、乘、除等运算.
棣莫弗—拉普拉斯定理证明 -回复
棣莫弗—拉普拉斯定理证明-回复什么是棣莫弗—拉普拉斯定理？棣莫弗—拉普拉斯定理是微积分中的一个重要定理，通过它可以将一个函数的复杂积分转化为由函数的导数组成的级数进行计算。
这个定理在数学分析和物理学的许多领域都有广泛的应用。
定理的表述如下：设函数f(x)在区间[a, b]上连续，其导数在开区间(a, b)上也连续，则对于区间[a, b]上的任意点x0，函数f(x)在点x0的傅里叶级数的和可以通过棣莫弗—拉普拉斯公式来表示，即：f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos(\frac{n\pi x}{L}) + b_n \sin(\frac{n \pi x}{L})]其中，a_0 为常数项，a_n 和b_n 分别为该傅里叶级数的余弦系数和正弦系数，L为[a, b]区间的长度。
那么，我们接下来将一步一步来证明这个定理。
首先，我们需要证明傅里叶级数的和公式（如上所述）可以收敛于f(x)，即该级数在[a, b]区间上逐点收敛于f(x)。
为了证明这一点，我们将使用微积分中的连续函数逼近定理。
根据连续函数逼近定理，对于任意一个连续函数f(x)，我们可以选择一个多项式函数P(x)来逼近它。
也就是说，对于任意的ε> 0，存在一个多项式函数P(x)，使得在[a, b]区间上有f(x) - P(x) < ε成立。
我们现在来构造一个多项式函数P(x)使得它逼近f(x)。
首先，我们选择多项式的常数项为a_0 / 2。
然后，我们选择一个一次多项式为P_1(x) = a_1 cos(\frac{\pi x}{L}) + b_1 sin(\frac{\pi x}{L})，其中a_1和b_1是待定系数。
在第一次选择之后，我们可以设置多项式P_1(x)与f(x)的误差小于ε/2。
接下来，我们选择一个二次多项式P_2(x) = P_1(x) + a_2 cos(\frac{2\pi x}{L}) + b_2 sin(\frac{2\pi x}{L})，同样地，我们要求多项式P_2(x)与f(x)的误差小于ε/4。
§17.4.1棣莫弗定理与欧拉公式
3 1 4 计算： (1)(cos 5 i sin 5 ) ; (2)( i) . 2 2
6
问题解决
当n取什么正整数时，z= 1 3i 是一个实数？
n
n 3k , k Z .
本节课 学到了哪些知识？
掌握了哪些方法？
何处还需要注意？
归纳
乘法：
复数的积的模等于模的积，
由此推测， 复数的n次幂的模等于模的n次幂， 复数的n次幂的辐角等于辐角的n倍．
n n
[r (cos isin )] r (cos n isin n ). 棣莫弗定理：
计算： (1)(cos 40 i sin 40 )9 ; (2)(1 3i) 2012 . 1 cos360 i sin 360 (1)原式 解： 2012 (2)原式 [2(cos i sin )] 3 3 2012 2012 2012 2 (cos i sin ) 3 3 2 2 2012 2 (cos i sin ) 3 3 1 3 2012 2 ( i) 22011 22011 3i 2 2
由此可见， 复数的商的模等于模的商， 复数的商的辐角等于辐角的 差 ．
计算：[6(cos 70 isin 70 )] [3(cos 40 isin 40 )].
原式 2[ cos(70 40 ) isin(70 40 )] 解：
2(cos30 isin 30 ) 3 i.
2 3
;
21 2
i i 2 6i
.
关键点拨：如果我们要求几个复数积或商或幂的模，那么可以利用 z1 z1 n n z1 z2 = z1 z2 、 = 和 z z 进行计算，而不需要 z2 z2 先算出积、商、幂之后再求模.
隶莫弗公式
隶莫弗公式
莫弗公式（Moffatt equation）是一种描述在流体力学中涡旋运动的方程。
该公式由英国物理学家H. K. Moffatt于1969年提出。
涡旋运动是指流体中的旋涡形成和演化的过程。
莫弗公式的数学表达式为：
∇ × V = αV + β(∇ × V) × V + γ(∇ × V) × (∇ × V)
其中，∇ × V表示速度场V的旋度，也即涡量；α、β和γ
是与流体流动性质有关的常数。
该公式描述了流体中旋涡的生成、传播和衰减过程。
莫弗公式在流体力学研究中起到了重要的作用，特别是在涡旋运动的数值模拟和理论研究方面。
这个公式提供了一种描述涡旋运动的数学工具，帮助研究人员深入理解流体中的涡旋行为。
然而，莫弗公式的具体应用还需要结合具体问题和实际情况。
因为该公式描述的是流体中的整体涡旋运动，所以在实际应用中需要考虑流体的边界条件、流动速度、流场的结构等因素。
只有综合考虑这些因素，才能更准确地描述流体中的涡旋运动。
总之，莫弗公式是描述流体力学中涡旋运动的数学方程，对于理解和研究涡旋行为具有重要意义。
通过研究和应用莫弗公式，可以进一步探索流体中的涡旋运动规律，为流体力学领域的发展提供有力支持。
隶模弗定理
隶模弗定理隶模弗定理是一项重要的数学定理，在数学和计算机科学等领域中有广泛的应用。
这个定理最初由克卢斯·夏尔得提出，其思想是将一个大的问题分解成许多小问题，并逐一解决。
这篇文章将介绍隶模弗定理的定义、重要性以及一些应用。
隶模弗定理的定义首先，我们需要了解一些基本概念。
在模论中，模是一种数学结构，包括一个集合和一个关于这个集合的运算。
设 $R$ 为一个环，$M$ 为一个左 $R$-模，$N$ 为$M$ 的一个子模，$P$ 为 $R$ 的一个左理想，那么隶模弗定理的一般形式表述如下：\[(M/N)/(P/NM) \cong M/ (P + N)\]其中 $\cong$ 表示同构，即两个结构之间存在一个一一映射，保持所有的结构关系。
简单来说，这个定理的意思是：在一个模 $M$ 中，假设有一个子模 $N$，以及一个左理想 $P$，那么 $M$ 中所有包含 $N$ 的子模都形如 $P + N$。
换句话说，模$M$ 中所有包含 $N$ 的子模都可以表示为 $N$ 和 $P$ 的和，其中 $N$ 是 $P + N$ 的子模。
隶模弗定理的意义隶模弗定理在数学和计算机科学中具有重要意义。
首先，它为模论提供了一个基本工具，使得我们可以更方便地研究模的结构和性质。
其次，隶模弗定理允许我们将大的问题分解成小的、易于解决的问题，这在实际应用中非常有用。
例如，我们可以将一个大的模分解为更小的子模，然后逐一考虑这些子模的性质。
此外，隶模弗定理也有一些重要的推论。
其中一个推论是，如果 $P$ 和 $N$ 都是 $M$ 的子模，那么\[M/N \cong (M/P)/(N/P)\]这个推论告诉我们，如果我们将 $M$ 按照一个左理想分解，则可以将 $M/N$ 分解为 $M/P$ 中的 $N/P$。
隶模弗定理的应用隶模弗定理在代数学和计算机科学中有广泛的应用。
以下是一些例子：1. 隶模弗定理可以用于求解线性代数中的矩阵秩问题。
以欧拉命名的公式和定理
以欧拉命名的公式和定理在数学的广袤世界里，有很多以伟大数学家命名的公式和定理，其中就包括以欧拉命名的那些神奇的存在。
欧拉，这位数学界的巨匠，他的智慧结晶就如同璀璨星辰，照亮了数学发展的道路。
咱们先来聊聊欧拉公式，这可是个相当了不起的家伙！欧拉公式：$e^{ix}=\cos x + i\sin x$ 这个公式把数学中几个看似毫不相干的元素——自然常数$e$、虚数单位$i$、三角函数$\cos$和$\sin$巧妙地联系在了一起。
记得我曾经给一群对数学充满好奇的孩子们讲解这个公式的时候，那场面可有趣啦。
有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，这几个东西怎么就能凑到一块儿去呢？”我笑着回答：“这就像是一场神奇的聚会，它们在欧拉的智慧引领下，找到了彼此，然后一起创造出了美妙的数学旋律。
” 为了让孩子们更好地理解，我拿来了一个圆盘，把它比作一个单位圆，在上面标出了不同角度对应的点的坐标。
当我一点点给他们演示如何通过这个公式计算出坐标的时候，孩子们的眼睛里闪烁着惊喜的光芒，仿佛发现了新大陆。
再来说说欧拉定理。
在图论中，对于一个连通图，它的顶点数$V$、边数$E$和面数$F$之间满足$V - E + F = 2$ 。
这个定理在解决很多实际问题中都大有用处。
有一次，我带着学生们去参观一个古老的城堡。
城堡的结构错综复杂，孩子们都很好奇。
我就引导他们用欧拉定理来分析城堡的通道和房间。
他们一边数着顶点和边，一边兴奋地讨论着，完全沉浸在了数学的探索之中。
欧拉的这些公式和定理，不仅仅是数学知识，更是打开思维之门的钥匙。
它们让我们看到了数学的简洁之美、和谐之美。
在学习数学的道路上，我们会遇到各种各样的公式和定理，有时候可能会觉得头疼，觉得枯燥。
但当我们真正理解了它们背后的意义，就会发现，每一个公式和定理都像是一个有趣的谜题，等待着我们去解开。
就像欧拉的公式和定理，它们或许一开始让你觉得摸不着头脑，但只要你耐心去琢磨，去探索，你就会发现其中的乐趣和奇妙。
17.4棣莫弗定理及欧拉公式复习过程
(3)
2(cos40°+i sin 400)
(3)(3)0
V2 (cos10+isin 10)
Z2
因此，复数的商的模等于，商的辐角等于
证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：
注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形
式。
二、例题讲解
例1、
例2、利用复数的三角形式计算下列各式：
（1）2cos300isin30°3
(2)^/6lost +i sin=icoS一竺】+i sin〔-—
2、 例题讲解4、例题讲解6、例题讲解
课堂教学安排
第一课时
一、知识链接：
1、若zy=r-\cos3i sin y,z2二r2cos v2i sin v2，贝Uz1* z2=、
因此，复数的积的模等于，积的辐角等于
证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：
2、若z^i=ri（cosd +i si nd）,z2= r2（cos日2+i si n日2），则—1=
3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。
教学重点
棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幕运算。
复数的代数形式、三角形式和指数形式间。
复数在电工学中的应用。
更新、补
充、删节
内容
无
板书设计
17.4棣莫弗定理及欧拉公式
1、复数二角形式的乘除法3、棣莫弗定理5、欧拉公式
课题序号
授课班级
养殖班/艺术班
授课课时
2
授课形式
讲授式
授课章节
名称
17.4棣莫弗定理及欧拉公式
棣莫弗定理与欧拉公式
棣莫弗定理与欧拉公式编写人：刁国龙 审核人：叶新红学习目标：1、掌握复数三角形式的乘除法运算和棣莫弗定理、欧拉公式，知道在进行复数的幂运算时采用三角形式和指数形式会使计算变得简便。
2、会进行复数的代数形式、三角形式和指数形式之间的互化。
3、了解复数的指数形式和极坐标形式在电工学中的应用。
学习重点：棣莫弗定理和欧拉公式，复数指数形式和复数的幂运算。
复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。
学习难点：复数的代数形式、三角形式和指数形式间的互化。
复数在电工学中的应用。
学习过程：一、 知识链接：1、 若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=∙21z z 因此，复数的积的模等于 ，积的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：2、 若()1111sin cos θθi r z +=，()2222sin cos θθi r z +=，则=21z z 因此，复数的商的模等于 ，商的辐角等于 证明：先乘，再用两角和的正弦、余弦公式整理：注意：运用复数的三角形式的乘除法运算时，首先要使每个复数是三角形式。
3、棣莫弗定理若()θθsin cos i r z +=，则=nz ()+∈N n证明：因此，复数的n 次幂的模等于 ，辐角等于欧拉公式表示复数：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+= （复数的指数形式） 5、复数指数形式乘除法则： 若1212,i i z re z reθθ==，则12z z ∙= ；12z z = 。
证明：6、复数指数形式乘方法则： 若,i z re θ=则nz =证明：7、复数的极坐标形式：r θ∠表示模为 ，辐角为 的复数。
即r θ∠= 复数的极坐标形式的运算法则：（1）1122r r θθ∠∙∠= （2）1122r r θθ∠=∠ （其中220r θ∠≠）（3）()nr θ∠=二、 例题讲解：例1、 利用复数的三角形式计算下列各式： （1）()()00032cos30sin 30cos60sin 602i i ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（233cos sincos sin 4477i i ππππ⎤⎫⎛⎫⎛⎫+-+-⎪ ⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎝⎭⎦（3002cos 40sin 40i +（4）5512cossin 662i ππ⎛⎫⎛⎫+∙- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5）32cos sin 66i ππ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（6）(51+ （7）7cos sin 77i ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭小结：例2、 将下列复数化为指数形式： （1）cos sin44i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（255cossin 33i ππ⎫+⎪⎭（3）cos sin 55i ππ-- （4）cossin36i ππ- （5）1i -+（6i （7）4i - （8）0例3、 将下列复数的指数形式化为三角形式和代数形式： （1）32ie π（223iπ- （3）28ieπ例4、 计算： （1）625.610iieeππ-∙ （2）445i ieeππ⎛⎫- ⎪⎝⎭÷ （3）424i π⎫⎪⎭例5、 将下列复数化为复数的极坐标形式： （1）1cos sin66z i ππ=- （2）23z =-- （33iπ例6、已知复数66123,i iz ez ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==，用复数的极坐标形式分别求出：（1）12z z ∙ （2）12z z （3）31z例7、在并联电路中，已知两个正弦交流电流为()()0012120,30i t A i t A ωω=+=+，求总电流i。
棣莫弗拉普拉斯定理
棣莫弗拉普拉斯定理概述棣莫弗拉普拉斯定理（D’Alembert-Laplace theorem），又称极限振幅定理，是数学中关于波动现象的基本定理之一。
它可以用于求解波动方程的初边值问题，特别是一维波动方程。
该定理由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）和法国物理学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在18世纪后期独立发现。
棣莫弗拉普拉斯定理的核心思想是利用特定的初边值条件将波动方程的一般解转化为一个特定的积分形式。
通过定义一个新的变量和引入一个新的等式，可以简化波动方程的求解过程。
这个定理在物理学、工程学和其他领域的波动问题中具有广泛的应用。
定理的内容棣莫弗拉普拉斯定理是针对一维波动方程的初边值问题给出的一个定理。
一维波动方程可以用如下形式表示：∂2u ∂t2−c2∂2u∂x2=0其中，u(x,t)表示波动的位移，c表示波速，x表示空间坐标，t表示时间。
这个方程描述了波动在时间和空间中传播的规律，通过该方程可以求解波动的传播速度、波长、频率等信息。
对于给定的初始条件和边界条件，例如，初始时刻波动的初始位置和初始速度，以及在空间中的固定边界条件，棣莫弗拉普拉斯定理给出了波动方程的解。
定理的具体表述如下：对于一维波动方程，假设存在初始时刻的位移分布u(x,0)和速度分布∂u∂t(x,0)，以及在空间两端的固定边界条件u(0,t)=u(L,t)=0，其中L表示空间的长度。
则对于任意时刻t>0，波动在空间中任意位置x处的位移u(x,t)可以通过如下公式计算：u(x,t)=12c∫[u(ξ,0)+∂u∂t(ξ,0)] x+ctx−ctdξ这个公式将通过积分将波动方程的解表示为初始条件的积分平均值。
它的物理含义是，波动在任意时刻t、任意位置x处的位移，等于初始时刻初始位置及初始速度的加权平均。
棣莫弗拉普拉斯定理的应用棣莫弗拉普拉斯定理在波动现象的研究中有广泛的应用，下面介绍其中几个重要的应用领域。
棣莫弗公式
棣莫弗公式棣莫弗定理1科学原理设两个复数（用三角形式表示）z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），则:z1z2=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].证：先谈一下复数的三角形式的概念。
在为丛藓科扭口藓平面c上，用向量z(a,b）去则表示z=a+bi.于是，该向量可以分为两个在实轴，虚轴上的分向量.如果向量z与实轴的夹角为θ，这两个分后向量的模分别等同于rcosθ,rsinθ（r=√a^2+b^2）.所以，复数z可以则表示为z=r(cosθ+isinθ）.这里θ称作复数z的辐角.因为z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），所以z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1）（cosθ2+isinθ2）=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2）+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2）]=r1r2[cos（θ1+θ2）+isin（θ1+θ2）].其实该定理可以推展为通常形式：设n个复数z1=r1(cosθ1+isinθ1），z2=r2(cosθ2+isinθ2），……，zn=rn(cosθn+isinθn），则：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)].4解析证：用数学归纳法即可，归纳基础就是两个复数相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和欧拉（euler）公式“e^iθ=cosθ+isinθ”（参看《泰勒公式》，严苛的证明须要复分析）放到一起看看，则可以用以认知欧拉公式的意义。
利用棣莫弗定理存有：z1z2……zn=r1r2……rn[cos（θ1+θ2+……+θn)+isin（θ1+θ2+……+θn)]如果可以把所有的复数重写成指数的形式，即为：z1=r1e^iθ1,z2=r2e^iθ2，……，zn=rne^iθn,z1z2……zn=r1r2……rne^i（θ1+θ2+……+θn)这和指数的直和性一致.在一般形式中如果令z1=z2=……=zn=z，则能导出复数开方的公式.有兴趣可自己推推看.棣莫弗，a．（demoivre，abraham)1667年5月26日出生法国维特里的弗朗索瓦；1754年11月27日卒于英国伦敦．数学．棣莫弗出生于法国的一个乡村医生之家，其父一生勤政，以行医税金勉力保持家人温饱．棣莫弗自幼拒绝接受父亲的教育，稍大后步入当地一所天主教学校念书，这所学校宗教气氛不淡，学生们以求在一种随心所欲、民主自由的环境中自学，这对他的性格产生了关键性影响．随后，他返回农村，步入色拉的一所清教徒学院稳步念书，这里却戒律森严，令人窒息，学校建议学生誓词效忠教会，棣莫弗婉拒顺从，于是受了严苛制裁，被罚诵读各种宗教教义．那时，学校不注重数学教育，但棣莫弗常常偷偷地自学数学．在早期所学的数学著作中，他最感兴趣的就是c．惠更斯（huygens）关于赌徒的著作，特别就是惠更斯于1657年出版发行的《论赌徒中的机会》（deratiociniisinludoaleae）一书，鼓舞了他的启发．1684年，棣莫弗来到巴黎，幸运地遇见了法国杰出的数学教育家、热心传播数学知识的j．奥扎拉姆（ozanam）．在奥扎拉姆的鼓励下，棣莫弗学习了欧几里得（euclid）的《几何原本》（ele-ments）及其他数学家的一些重要数学著作．1685年，棣莫弗与许多信仰新教的教友一道，出席了愤慨欧洲的宗教暴乱，在这场暴乱中，他与许多人一起被监禁出来．正是在这一年，维护加尔文教徒的南兹敕令被撤消．随后，包含棣莫弗在内的许多存有才华的学者由法国移住英国．据教会的材料记述，棣莫弗一直被监禁至1688年才出狱，并于当年迁居伦敦．但据20世纪60年代辨认出的一份当时的材料，1686年时棣莫弗已经至了英国．随后，棣莫弗一直生活在英国，他对数学的所有贡献全系列就是在英国作出的．抵达伦敦后，棣莫弗立刻发现了许多优秀的科学著作，于是如饥似渴地学习．一个偶然的机会，他读到i．牛顿（newton）刚刚出版的《自然哲学的数学原理》（mathematicalprinciplesofnaturalphilosophy），深深地被这部著作吸引了．后来，他曾回忆起自己是如何自学牛顿的这部重要著作的：他依靠搞家庭教师糊口，必须给许多家庭的孩子听课，因此时间很很紧，于是就将这部重要著作拆下，当他本学期一家的孩子后回去另一家的路上，赶紧写作几页，没多久便把这部书学完了．这样，棣莫弗很快就存有了扩充的学术基础，并已经开始展开学术研究．1692年1692年，棣莫弗拜会了英国皇家学会秘书e．哈雷（halley），哈雷将棣莫弗的第一篇数学论文“论牛顿的流数原理”（onnew-ton’sdoctrineofflux ions）在英国皇家学会上宣读，引起了学术界的注意．1697年，由于哈雷的努力，棣莫弗当选为英国皇家学会会员．棣莫弗的天才及成就逐新受了人们广为的高度关注和认同．哈雷将棣莫弗的重要著作《机会的学说》（thedoctrineofchances）呈交牛顿，牛顿对棣莫弗十分观赏．据传，后来碰到学生向牛顿求教概率方面的问题时，他就说道：“这样的问题必须去找棣莫弗，他对这些问题的研究比我深入细致得多”．1710年，棣莫弗被委派参予英国皇家学会调查牛顿-莱布尼茨关于微积分优先权的委员会，可知他很受到学术界的认同．1735年，棣莫弗被选为柏林科学院院士．1754年，又被法国的巴黎科学院采纳为会员．棣莫弗终生未婚．尽管他在学术研究方面颇有成就，但却贫困潦倒．自到英国伦敦直至晚年，他一直做数学方面的家庭教师．他不时撰写文章，还参与研究确定保险年金的实际问题，但获得的收入却极其微薄，只能勉强糊口．他经常抱怨说，周而复始从一家到另一家给孩子们讲课，单调乏味地奔波于雇主之间，纯粹是浪费时间．为此，他曾做了许多努力，试图改变自己的处境，但无济于事．。
§16.4.2棣莫弗定理与欧拉公式
i
10 (2)10e 5e = e 5
i 2 i 4 i
i( ) 2 4
2e 4
i
i
(3)( 2e 8 )4 = ( 2)4 e
i4
8
4e 2
计算并将结果化成代数形式：
i
(1)e 3e ；(2) 6e 3e ；(3)(2e ) .
4 2 3 6 6 3
将下列复数化成三角形式和代数形式： (1) 2e ；(2)3e 6；(3)10e 2 .
i i
i
解： 2ei = 2(cos isin ) 2(1 i 0) 2 (1) i 3 1 3 3 3 6 3(cos isin ) 3( i ) i (2)3e = 6 6 2 2 2 2 i 2 10(cos isin ) 10(0 i 1) 10i (3)10e = 2 2
i
i
i
i
电学中，常用r 来表示模为r、辐角为的复数． 我们将复数的这种形式叫做复数的极坐标形式， 即： r r (cos i sin ) rei 显然，我们有： r11 r22 r1r2(1 2 ) r1 r11 r22 (1 2 ) (r22 0) r2 (r )n r n n
将下列复数化成三角形式和代数形式： (1)e 4；(2)3e 3；(3) 5e
i
i
i
3 4
.
设 z rei， 则 z1 z2 r1e r2e r1r2ei(1 2 ) . i1 z1 r1e r1 i(1 2 ) i 2 e . z2 r2 e r2 z n (rei )n r n ei n .
什么是棣莫弗定理
棣 莫 弗 定 理 由 法 国 数 学 家 棣 莫 弗 (1667-1754年 )创 立 。 指 的 是 设 两 个 复 数 （ 用 三 角 函 数 形 式 表 示 ） Z1=r1(cosθ1+isinθ1） ， Z2=r2(cosθ2+isinθ2） ， 则 ： Z1Z2=r1r2[cos（ θ1+θ2） +isin（ θ1+θ2） ]。
请您及时更换请请请您正在使用的模版将于2周后被下线请您moivre, 1667~1754)于 1667年 出 生 于 法 国 香 槟 ， 长 大 后 在 巴 黎 从 师 学 习 数 学 。 由 于宗教信仰的缘故，十八岁那年他被迫离开自己的祖国，去了英国伦敦。在那里，他靠做家庭 教师以及为有钱人解决赌博中的概率问题为生，直到去世。他很想在剑桥或其它大学谋一个数 学教授之职，却未能如愿。他的数学工作主要在概率论和三角学方面，著有《人生保险》 (1725)、 《 机 会 学 说 》 (1718)和 《 分 析 杂 记 》 (1730)等 ， 并 发 表 了 许 多 重 要 论 文 。
棣莫弗定理解n次方程的n个根
棣莫弗定理解n次方程的n个根1. 引言大家好，今天我们聊聊一个听上去很高级的数学话题——棣莫弗定理。
这可是数学中的一颗明星呢。
别担心，我会用最简单的语言来解说，让你听了之后能恍若身处一个轻松的聊天场景中。
2. 棣莫弗定理概述2.1 什么是棣莫弗定理？棣莫弗定理是由法国数学家阿布拉罕·棣莫弗提出的。
简单来说，这个定理帮助我们解决n次方程的n个根。
想象一下，你手里有个复杂的方程，棣莫弗定理就像是给你一把万能钥匙，让你能轻松找到所有的解。
2.2 棣莫弗定理的基本内容棣莫弗定理讲的是：如果一个复数可以写成极坐标形式，那么它的n次方根也可以用类似的方法找到。
这就像是你有一个大蛋糕，要分成很多块，棣莫弗定理就是那把切蛋糕的刀，帮你一块一块地把蛋糕分好。
3. 如何使用棣莫弗定理3.1 复数的极坐标形式首先，我们得知道复数的极坐标形式。
一个复数可以表示为 ( z = r (cos theta + i sin theta) )，其中 ( r ) 是复数的模长，( theta ) 是角度。
想象一下，你把复数看成一个点，这个点的距离和角度决定了它在平面上的位置。
3.2 寻找n次方根现在，假如我们有一个复数 ( z )，想找到它的n次方根。
根据棣莫弗定理，我们可以这么做：把这个复数的模长开n次方，角度除以n。
然后，为了找到所有的n次方根，还得加上一个额外的角度，每次增加 ( frac{2pi}{n} )。
这些额外的角度就像是在舞池中转圈圈，让你找到所有的根。
4. 实际应用4.1 例子假设我们有复数 ( z = 8 (cos frac{pi}{4} + i sin frac{pi}{4}) )。
我们想找这个复数的3次方根。
按照棣莫弗定理，我们先计算模长的3次方根，也就是 ( sqrt[3]{8} = 2 )。
然后角度 ( frac{pi}{4} ) 除以3，再加上 ( frac{2pi}{3} ) 的倍数，得到三个不同的角度。
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z 1 z 2 r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) 复数乘积的模＝模的积 r1 r2 [(cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 )
1 2 1 2
复数乘积的辐角 = 各辐角的和 i (cos sin sin cos )]
[r (cos i sin )] r (cosn i sinn )
n n
3、复数的除法
z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] r2
0 0 0 0
( 2) 2 (cos50 i sin50 ) 3(cos40 i sin40 )
解（ 1 ）原式 4 3[cos( ) i sin ( )] 6 12 6 12 4 3 (cos i sin ) 4 4 2 6 2 6i 0 0 0 0 （ 2 ）原式 3 2[cos(50 40 ) i sin ( 50 40 )
3 2 (cos90 i sin90 ) 3 2i
0 0
来自巩固练习1、 计 算 ：2 (cos
i sin ) 3 (cos i sin ) 12 12 6 6
6 6
2、计算： [3(sin80 i cos80 )] ，( 3 i )
3、 向 量 OZ 与 复 数 1 i 对应，把 OZ 按 逆时针方向旋转 90 ， 得 到 OZ ， 求 与 向 量OZ 对 应 的 复 数 (用 代 数 形 式 表 示 )
2 n
若 r1 r2 rn r , 1 2 n
[r (cos i sin )]n r n (cosn i sinn )
例1 计算：
（ 1 ）3 （ cos
i sin ) 4(cos i sin ) 6 6 12 12
，符合复数除法的几何意义，也可以直接写成
→ 逆时针旋转 90得到，因此用 而在求 z3 时，也可将OZ 1 z3=z1·i 算更方便.
z3 1 z 2 (cos i sin ) 4 4 2
2 2 2 (1 3 )( i) 2 2 2 1 3 1 3 i 2 2
2、 已 知 复 数 z
(1 i ) (a i ) 2 ( a 3i )
2
(a 0, a R )
2 的 模 为 ， 则z 的 三 角 形 式 为 3
课题小结：
1、复数的乘法：
z1 z2 r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
2、复数的乘方：棣莫弗定理
两复数相除，商的模于 等被除数的模除以 除数的模所得的商，的 商辐角等于被除数的辐 角减去除数的辐角所的 得差
例2计算 [6(cos70 i sin70 ) [ 3(cos40 i sin40 )]
0 0 0 0
解：原式 2[cos(70 40 ) i sin( 70 40 )] 2(cos30 i sin30 ) 3i
二、复数三角形式的乘 法与除法关系
z1 r1 (cos 1 i sin 1 )
z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 z2 r1r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
思考：若z r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 (cos1 i sin1 ) 求复数 z
由复数运算的几何意义知：
z1 1 z 2 [cos( ) i sin( )] 4 4 2
2 2 2 (1 3i )( i) 2 2 2 3 1 3 1 i
→ 向顺时针方向旋转 45，且模缩短到原 求 z1 时是将OZ 2 来长度的
1 2 1 1 3i . 2 cos i si n 4 4
作业：
课本82页习题1（1）（2）（3）（5）
课外作业：学习指导书做到57-58页
拓展习题：见下页
例 4．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方 向依次为 Z1，Z2，Z3，O（其中 O 为原点）.已知 Z2 对应 复数 Z2=1+ 3i ，求 Z1 和 Z3 所对应的复数.
分析与解答： 根据题意我们不妨画出草图，以便分析. 根据平面几何的知识，我们知道正方形的一条对角线 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，而且斜边是直 角边的 2 倍.
0 0
0
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0
巩固练习：课本77页练习
巩固练习
4 4 5 5 1、 计 算 ： 4(cos i sin ) 2(cos i sin ) 3 3 6 6
练习： (1) 2 (cos ( 2)
i sin ) 3 3
3 2
3 (sin30 i cos 30 ) (1 i )
17.4棣莫弗定理与欧拉公式
铜山中等专业学校幼教部对口单招二年级
课件制作人 李巧玲
温故知新
设 r | OZ | ， 是 以 x 轴 的 非 负 半 轴 为 始 边 ， 以 OZ 所 在 射 线 为 终 边 的 角 则 ，a , b 与 r , 有什么关系？
y
b
0
我们有： a r cos , b r sin
(cos i si n ) r Z r (cos i si n ) (cos i si n ) r [cos( ) i si n ( r r (cos i si n ) r [cos( ) i si n ( r [cos( ) i si n ( )] r
z 1 z 2 z n r1 (cos 1 i sin 1 ) r2 (cos 2 i sin 2 ) rn (cos n i sin n ) r1 r2 rn [cos( 1 2 n )
1
棣莫弗定理 i sin ( )]
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2
2
)] )]
2
新课讲授
二、复数三角形式的除 法与开方 1、除法法则 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z2 0 z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
z1 r1 (cos1 i sin1 ) z2 r2 (cos 2 i sin 2 ) r1 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )] r2
r
Z (a,b)
a
z a bi r (cos i sin )
x
r (cos i sin ) 叫做复数 a bi 的三角形式
r － 复数的模， － 复数的辐角
新课讲授
一、复数三角形式的乘 法与乘方 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )
r1 r2 [cos( 1 2 ) i sin( 1 2 )]
两个复数相乘，积的等 模于各复数的 模的积，积的辐角等各 于复数的辐角的和
新课讲授
一、复数三角形式的乘 法与乘方 z1 r1 (cos 1 i sin 1 ) z 2 r2 (cos 2 i sin 2 )