近30年数学考研真题线代第一章行列式部分
考研数学一(行列式、矩阵)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)
考研数学一（行列式、矩阵）历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2014年]行列式=( )．A．(ad-bc)2B．一(ad-bc)2C．a2d2一b2c2D．一a2d2+b2c2正确答案：B解析：令，则此为非零元素仅在主、次对角线上的行列式，即得｜A｜=一(ad-bc)(ad-bc)=一(ad-bc)2．仅B入选．知识模块：行列式2．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则( )．A．当m＞n时，必有行列式｜AB｜≠0B．当m＞n时，必有行列式｜AB｜=0C．当n＞m时，必有行列式｜AB｜≠0D．当n＞m时，必有行列式｜AB｜=0正确答案：B解析：利用矩阵秩和乘积矩阵秩的两不大于法则确定正确选项．因AB为m 阶矩阵，行列式｜AB｜是否等于零取决于其秩是否小于m．利用矩阵秩的两不大于法则得到m＞n时，有秩(A)≤min{m，n}=n＜m，秩(B)≤min{m，n}=n ＜m．再利用乘积矩阵秩的两不大于法则得到秩(AB)≤min{秩(A)，秩(B)}＜m，而AB为m阶矩阵，故｜AB｜=0．仅B入选．知识模块：行列式3．[2012年]设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且P-1AP=．若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q-1AQ=( )．A．B．C．D．正确答案：B解析：因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α2]，故因而Q-1AQ 知识模块：矩阵4．[2008年] 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A3=O，则( )．A．E—A不可逆，E+A不可逆B．E—A不可逆，E+A可逆C．E—A可逆，E+A可逆D．E—A可逆，E+A不可逆正确答案：C解析：由A3=O知A为幂零矩阵，故其特征值λ1=λ2=…=λn=0，因而E —A与E+A的n个特征值均为μ1=μ2=…=μn=1，故E一A与E+A没有零特征值．可知，它们均可逆．知识模块：矩阵填空题5．设n阶矩阵，则｜A｜=______．正确答案：(一1)n-1(n一1)解析：｜A｜是行和与列和都相等的行列式．将各列加到第1列，提取公因式n一1，去掉与第1列成比例的分列，化为下三角形行列式，得=(一1)n-1(n 一1)．知识模块：行列式6．[2015年] n阶行列式=______.正确答案：2n+1-2解析：按第1行展开得到递推关系式：=2Dn-1+2(一1)n+1(一1)n-1=2Dn-1+2．依此递推，得到Dn=2Dn-1+2=2(2Dn-2+2)+2=22Dn-2+22+2=22(2Dn-3+2)+22+2=23Dn-3+23+22+2 =…=2n-1D1+2n-1+2n-2+…+22+2=2n-1·2+2n-1+2n-2+…+22+2=2n+2n-1+2n-2+…+22+2=2(1+2+22+…+2n-1)．由等比级数求和的公式a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1=，令a1=2，q=2，得到Dn=2(1+2+22+…+2n-1)==(一1)(2—2n+1)=2n+1-2．知识模块：行列式7．[2016年]行列式=______．正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：=λ[λ·λ·(λ+1)+0·2·0+3(-1)(一1)一0·λ·3一(一1)·2·λ—(λ+1)(一1)·0]+4=λ4+λ3+2λ2+3λ+4．知识模块：行列式8．设A，B为n阶矩阵，｜A｜=2，｜B｜=一3，则｜2A*B-1｜=______．正确答案：一22n-1／3解析：由｜kA｜=kn｜A｜．A*=｜A｜A-1，｜A*｜=｜A｜n-1，｜B-1｜=1／｜B｜，有｜2A*B-1｜=｜2A*｜｜B-1｜=2n｜A*｜(1／｜B｜)=2n｜A｜n-1一／｜B｜=2n2n-1／(一3)=一22n-1／3．知识模块：行列式9．[2005年] 设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]．如｜A｜=1，那么｜B｜=______·正确答案：2解析：B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]=AC．其中为三阶范德蒙行列式，则｜C｜=(2—1)×(3—1)×(3—2)=2，故｜B｜=｜A｜｜C｜=2×1=2．知识模块：行列式10．[2006年]设矩阵，E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+2E，则｜B｜=______．正确答案：2解析：由BA=B+2E得｜B(A—E)｜=｜2E｜=22=4，故｜B｜｜A—E｜=4，｜B｜=4／｜A—E｜=4／2=2．知识模块：行列式11．[2004年]设矩阵，矩阵B满足ABA*=2BA*+E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则｜B｜=______．正确答案：1/9解析：在所给方程的两边同时右乘A，利用A*A=｜A｜E，得到ABA*A=2BA*A+A，即｜A｜AB=2｜A｜B+A，移项即得｜A｜(A一2E)B=A．两边取行列式，得到｜A｜(A-2E)B｜=｜A｜，即｜A｜3｜(A-2E)B｜=｜A｜，｜A｜2｜A一2E｜｜B｜=1，再由｜A｜=3，｜A一2E｜=1得到所求行列式｜B｜=1／｜A｜2=1／9．知识模块：行列式12．设三阶矩阵A的特征值为1，2，2，E为三阶单位矩阵，则｜4A-1一E｜=______．正确答案：3解析：所求结果应与A能否与对角矩阵相似无关，现用加强条件法求出此结果．如A与对角矩阵相似，则存在可逆矩阵P，使得P-1AP=diag(1，2，2)=Λ，即A=PΛP-1．于是A-1=PΛ-1P-1，4A-1一E=4PΛ-1P-1一PEP-1=P(4Λ-1一E)P-1．两端取行列式有｜4A-1一E｜=｜P｜｜4Λ-1一E｜｜P-1｜=｜4Λ-1一E｜=｜4diag(1，1／2，1／2)一E｜=3．知识模块：行列式13．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则｜A｜=______．正确答案：-1解析：由aij=一Aij，则(aij)T=一(Aij)T=一(Aji)，即AT=一A*，从而｜A｜=｜AT｜=｜—A*｜=(一1)3｜A｜3-1=一｜A｜2．即｜A｜2+｜A｜=｜A｜(｜A｜+1)=0，故｜A｜=0或｜A｜=一1．若｜A｜=0，则由｜A｜=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=一(ai12+ai22+ai32)=0 (i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵．这与假设矛盾，故｜A｜=一1. 知识模块：行列式14．若齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是______．正确答案：λ≠1解析：因方程个数与未知数的个数相同，又该方程组只有零解，可知，｜A｜≠0．而于是当λ≠1时，｜A ｜≠0，即该方程组只有零解．知识模块：行列式15．设α为三维列向量，αT是α的转置．若ααT=，则αTα=______．正确答案：3解析：由ααT= 知，于是αTα=3．知识模块：矩阵16．设，而n≥2为整数，则An一2An-1=______．正确答案：O解析：先求出n=2和n=3时A2，A3的表示式，然后归纳递推求出An．当n=2时，A2==2A．当n=3时，A2=A2·A=2A·A=2A2=2·2A=22A．设Ak=2k-1A，下面证Ak+1=2kA．事实上，有Ak+1=Ak·A=2k-1A·A=2k-1A2=2k-1·2A=2kA．因而对任何自然数n，有An=2n-1A，于是An一2An-1=2n-1A一2·2n-2A=O．知识模块：矩阵解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研线性代数历年真题
考研线性代数历年真题考研线性代数是研究生入学考试中的一门重要科目，通过解答历年真题可以帮助考生更好地了解考试要求和复习重点。
本文将为大家整理归纳考研线性代数历年真题，以供参考。
第一部分：矩阵与行列式1、考点：矩阵的运算【真题一】计算矩阵相乘已知矩阵A=（1 2 3；4 5 6）、B=（7 8；9 10；11 12），求A与B 的乘积AB。
【真题二】矩阵求逆已知矩阵A=（1 2 3；0 4 5；0 0 6），求A的逆矩阵。
2、考点：行列式的性质与运算【真题三】行列式展开已知行列式D=|1 0 2；1 1 1；3 1 0|，计算D的展开式。
【真题四】行列式的性质已知行列式D=|1 2 3；4 k 6；7 8 9|，若D=0，则k的取值范围是多少？第二部分：向量空间与线性变换1、考点：线性相关性【真题五】判断线性相关性已知向量组V={(1, 0, -1)，(2, 1, 1)，(3, 1, 0)}，判断向量组V的线性相关性。
【真题六】线性相关向量组的线性表示已知向量组V={(1, 3, -1)，(2, 5, -2)，(4, a, b)}，若向量(7, 18, -6)可以由向量组V线性表示，则a和b应满足的条件是什么？2、考点：矩阵的特征值和特征向量【真题七】矩阵的特征值与特征向量已知矩阵A=（3 4；1 2），求矩阵A的特征值和特征向量。
【真题八】矩阵对角化已知矩阵A=（1 2 -1；-1 0 3；2 2 -1），求可对角化矩阵和相似矩阵。
第三部分：线性方程组与矩阵的应用1、考点：线性方程组的解【真题九】线性方程组的解已知线性方程组x + 2y + 3z = 62x + y + z = 43x + 3y + z = 7求线性方程组的解。
【真题十】齐次线性方程组的解空间已知齐次线性方程组x + 2y + 3z = 02x + y + z = 0求齐次线性方程组的解空间的维数。
2、考点：矩阵的秩【真题十一】矩阵的秩已知矩阵A=（1 4 5；2 5 1；3 6 2），求矩阵A的秩。
考研《线性代数》考点与考研真题详解
考研《线性代数》考点与考研真题详解线性代数作为考研数学中的重要组成部分，对于许多考生来说是一个具有挑战性的科目。
为了帮助考生更好地掌握线性代数的考点，提高解题能力，本文将详细梳理线性代数的主要考点，并结合考研真题进行深入分析。
一、行列式行列式是线性代数中的基本概念之一，其计算方法和性质是考试的重点。
1、行列式的定义n 阶行列式是一个数，它是由 n 行 n 列的元素按照一定的规则计算得到的。
2、行列式的性质（1）行列式与它的转置行列式相等。
（2）互换行列式的两行（列），行列式变号。
（3）行列式中某行（列）的元素乘以同一数后，加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。
3、行列式的计算常见的计算方法有：上三角法、按行（列）展开法、利用行列式的性质化简等。
考研真题示例：计算行列式＼＼begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼解：将行列式按第一行展开，得到＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼1 ＆2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 1 ＆ 0 ＼＼0 ＆ 2 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 1 ＆ 2＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(2\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＼＼1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 2＼end{vmatrix}）－1\times(1\times\begin{vmatrix}2 ＆ 1 ＼＼1 ＆ 2＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix}0 ＆ 1 ＼＼0 ＆ 2＼end{vmatrix}）＼＼＝＆2\times(2\times(4 1) 1\times(2 0)） 1\times(4 1 0)＼＼＝＆2\times(6 2) 1\times 3\＼＝＆8 3\＼＝＆5＼end{align}＼二、矩阵矩阵是线性代数的核心内容之一，包括矩阵的运算、逆矩阵、矩阵的秩等。
行列式考研真题
行列式考研真题行列式是高等数学中的一个重要概念，也是考研数学中常见的考点之一。
在考研数学中，行列式的相关知识点主要包括行列式的定义、行列式的性质、行列式的计算方法以及行列式的应用等方面。
下面我们将从这几个方面来探讨行列式考研真题。
首先，我们来了解一下行列式的定义。
行列式是一个方阵所对应的一个数值，它可以表示一个方阵的某种性质或者特征。
行列式的定义是通过对方阵的元素进行排列组合和加减运算得到的。
在考研数学中，通常使用拉普拉斯展开法或者初等变换法来计算行列式的值。
接下来，我们来看一下行列式的性质。
行列式有很多重要的性质，其中最重要的性质是行列式的值与方阵的行列式元素有关。
具体来说，行列式的值与方阵的行列式元素的排列顺序有关，行列式的值与方阵的行列式元素的大小有关，行列式的值与方阵的行列式元素的运算有关等等。
这些性质在行列式的计算和应用中起到了重要的作用。
然后，我们来讨论一下行列式的计算方法。
行列式的计算方法有很多种，其中比较常用的有拉普拉斯展开法和初等变换法。
拉普拉斯展开法是通过对方阵的某一行或某一列进行展开，然后利用代数余子式的概念进行计算。
初等变换法是通过对方阵进行一系列的基本变换，如行交换、行倍乘、行加减等，将方阵变换成简化形式，然后计算行列式的值。
这两种方法在行列式的计算中都有其独特的优势和适用范围。
最后，我们来谈一下行列式的应用。
行列式在数学中有着广泛的应用，尤其在线性代数和微积分中。
在线性代数中，行列式可以用来求解线性方程组的解、判断方阵的可逆性、求解矩阵的逆等问题。
在微积分中，行列式可以用来计算多元函数的偏导数、判断多元函数的极值点等问题。
行列式的应用不仅局限于数学领域，还涉及到物理学、工程学、计算机科学等其他领域。
综上所述，行列式是考研数学中的一个重要知识点，它涉及到行列式的定义、性质、计算方法和应用等方面。
对于考研数学的学习者来说，掌握行列式的相关知识对于解答数学题目和应对考试具有重要意义。
历年行列式考研真题精选
关于行列式的计算方法总结行列式是线性代数中一个非常重要的内容，根据行列式形式的不同，计算的方法也多种多样。
行列式的计算灵活多样，通常是利用行列式的定义、行列式的性质、对角线法则等取计算行列式。
本文通过多方资料对历年考研题中的行列式的解决方法进行了分类归纳和以及总结。
一、 利用基本性质计算1.（1999数二（5）题）记行列式347534453542333322212223212---------------x x x xx x x x x x x x x x x x 为)(x f ，则方程0)(=x f 的根的个数为 （ ） .1)(A .2)(B .3)(C .4)(D求解：347534453542333322212223212)(---------------=x x x x x x x x x x x x x x x x x f373422133101221012----------=x xx x x x671212212673412133001220012------=--------=x x x x x x x x x x)1(5)12)(5)((5512121-=+---=----=x x x x x x x故0)1(5)(=-=x x x f 有两个根，故应选)(B .原行列式中各元素的特点，（均是x 的一次多项式，且除33a ，43a 外，其余x 的系数均有规律。
）利用行列式性质，计算出行列式是几次多项式，即可作出判别。
2.（1996数一（2）题）四阶行列式44332211000000a b a b b a b a 的值等于（ ）.)(43214321b b b b a a a a A - .)(43214321b b b b a a a a B + ).)()((43432121b b a a b b a a C -- ).)()((41413232b b a a b b a a D --求解：原式33224133224143322143322100000a b b a b b a b b a a a b a b b a b a a b b a a -=-=))((41413232b b a a b b a a --=。
考研数学(三)题库 线性代数(第一章 行列式)打印版【圣才出品】
2．设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次矩阵的初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）。 A．|A|＝|B| B．|A|≠|B| C．若|A|＝0，则一定有|B|＝0 D．若|A|＞0，则一定有|B|＞0 【答案】C 【解析】矩阵 A 经过若干次初等变换后得到矩阵 B，则存在可逆矩阵 P，Q 使得 B＝PAQ， 因此|B|＝|PAQ|＝|P|·|A|·|Q|，若|A|＝0，则必有|B|＝|P|·|A|·|Q|＝0 成立。
1
1
1 ，则|A|＝____。
0
【解析】行列式每列所含元素相同，可将其余各列均加到第一列上，提出公因子（n－
1）后，再计算。
n 1 1 1
1
2,3, ,n列加到第一列上 n 1 0 1
1
原式
n 1 1 0
1
n 1 1 1
0
11 1
1
101
1
n 1 1 1 0
1
11 1
0
11 1
1
2,3, ,n行＋1行1
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】根据题设条件可知
AB
2
2
2
22
2 2
2
1 2
1 3
2 2
2 B
1 3
A 2 B
2
2 3 2 3 2 3 3 3
3 3
二、填空题
2x 1 1
1．在函数 f x x x x 中，x2 的系数是____。
12x
【答案】－3
【解析】根据行列式的定义，能出现 x2 的只有以下两项：（－1）r（132）a11a23a32＋
0 1 0
0
考研数学线代1行列式的性质及应用
第一讲：行列式排列定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。
n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅=（n 的阶乘个）。
定义2 在一个排列中，如果一队数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。
一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。
定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列。
例1 决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性134782695解 逆序数为10，是偶排列。
行列式：定义（设为n 阶）：n 阶行列式是取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，它由n !项组成，其中带正号与带负号的项各占一半，12()n j j j τ表示排列 12n j j j 的逆序数。
n 阶行列式具有的性质1．性质（1）行列互换，行列式不变。
即111211121121222122221212n n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a a a a a a a=。
2．性质（2）一行的公因子可以提出来（或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式）即111211212n i i in n n nna aa ka ka kaa a a =k 111211212n i i in n n nna a a a a a a a a 特殊形式（如果行列式中一行为零，那么行列式为零）。
3．性质（3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外与原行列式的对应行一样。
即1212121112121222()1212(1)n n nnn j j j j j nj j j j n n nna a a a a a A a a a a a a τ==-∑11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+。
【线代期末复习题】大学线代 考研线代第一章行列式复习题答案
4. 当( )时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=λ++=+λ+=++λ000321321321x x x x x x x x x ，有非零解(A) 1或2 (B) －1或－2 (C) 1或－2 (D) －1或25. 下列行列式计算正确的是：（A ）A 、0141030430-=-- B 、161111111111111111=------------ C 、0011111111011110=------ D 、121150202473004--=-6. 若11121321222331323312a a a a a a a a a =，则111112132121222331313233424242a a a a a a a a a a a a --=-（D ） A 、0 B 、4 C 、1 D 、-27. 设2312781239325232D -=-，则=+++42322212A A A A (C )。
A 、1B 、-1C 、0D 、28. 设2100000121000000000001210000012ΛΛΛM M M M ΛΛ=n D ，则=n D ( B ) A 、1 B 、1+n C 、1-n D 、-1 9. 设(.....)τ 表示排列的逆序数, 则(431625)τ=( B ) （A ）1 （B) 7 （C)3 (D) 2三、计算题：1..求阶n 行列式D=000x x x x x x K K L L L L K0(1)(1)(1)000x x n x n x n x x xx x D xx x xx---==K L L L L L L L L L L L L L= 111100(1)(1)(1)0n n x n xn x x---=---L LL L L L L2. 计算行列式 1111111111111111x x D y y+-=+-.原式22101000101000111100111100y x yy yx x y yyx x x=-=--=3.. 问当k 取何值时，Ax b =无解、有唯一解或有无穷多解？当有无穷多解时写出Ax b =的全部解12312312321,2,455 1.x kx x kx x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩解1 作方程组的增广矩阵M （A b ），并对它施以初等变换： ()()32213135521121121111221032103455165506540021r r r r r r r k k k A A b k k k k k k k -+-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==-−−−→+-−−−→+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭再 于是， （4分） 当45k =-时，原方程组无解；当41,5k k ≠≠-时，原方程组有唯一解；当1k =时，原方程组有无穷多组解，其全部解为1231,1,x x k x k ==-+=（其中k 为任意常数），（或()()()123011110TTTx x x k =+-（k 为任意常数）. （9分） 解2()()()()()232121111101115415445455405k k k c c D k k k k k k k ---+=-=--=----=-+---，当41,5k k ≠≠-时，方程组有唯一解.当1k =时，原方程组为1231231232124551x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=-⎩；()()12213124211111121112111221110333455145510999r r r r r r A A b ↔-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-−−−→-−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭2123239111210010111011100000000r r r r r +--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→--−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再，同解方程组为12311x x k x k =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩，即()()()123011110T T Tx x x k =+-（k 为任意常数）.当45k =-时，原方程组为12312312342154254551x x x x x x x x x ⎧--=⎪⎪⎪--+=⎨⎪+-=-⎪⎪⎩，即12312312310455455104551x x x x x x x x x --=⎧⎪+-=-⎨⎪+-=-⎩，这时第二个第三个方程左边相同，而右边不等，故方程组无解.4. 计算行列式 abbb a bb b aD n ΛΛΛΛΛΛΛ=..解 abb a b b b n a a b bb a b b b aD n ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ111])1([-+==1)]()1([0001])1([---+---+=n b a b n a b a b a b b b n a ΛΛΛΛΛΛΛ5. 计算行列式 65429720199321原式65431132110012---r r 1812151224156-=++---= 6. 计算行列式11115312259141252718--解：（允许多种方法解答）该行列式为范德蒙行列式原式=11112312(35)(15)(25)(13)(23)(21)491482718-=+++----672=7.. 81278419421321111----解：（允许多种方法解答）该行列式为范德蒙行列式原式=11112313(32)(12)(32)(13)(33)(31)2404919827127-=----++-=-8．计算四阶行列式 3111131111311113的值。
线性代数(经管)第一章 行列式真题
线性代数（经管类）试题1.设行列式==1111034222,1111304z y x zy x则行列式（ ） A.32B.1C.2D.38 11.行列式1376954321=_________.21．计算4阶行列式D =8765765465435432.全国2010年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题1.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=（ ）A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n ）4.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ） A.P A B.AP C.QA D.AQ11.行列式2010200820092007的值为_________________________.21.计算行列式D =333222c c b b a a c b a c b a +++的值线性代数（经管类）试题2.计算行列式32 3 20 2 0 0 0 5 10 20 2 0 3 ----=( )A.-180B.-120C.120D.18021.计算5阶行列式D =20 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 0 2全国2010年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题11.行列式2110的值为_________.12.已知A=⎪⎪⎭⎫⎝⎛3221,则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.21.求行列式D=.0120101221010210的值全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题1.设行列式333231232221131211a a a a a a a a a =4，则行列式333231232221131211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36 D.4811.行列式1221---k k =0，则k =_________________________.21.计算行列式ba c ccb c a b b a a cb a ------222222线性代数（经管类）试题1．下列等式中，正确的是（ ） A ．B ．3=C ．5D ．11．行列式__________.12．行列式22351011110403--中第4行各元素的代数余子式之和为__________.全国2011年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题21．计算4阶行列式D=1234234134124123.全国2011年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题11.设行列式304222,532D =-其第3行各元素的代数余子式之和为__________.全国2012年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题1．设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2，则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=（ ）A ．-6B ．-3C ．3D ．621．计算行列式1112114124611242-----．全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( ) A.-12B.-6C.6D.1211.行列式11124641636=____________.21.计算行列式D =3512453312012034----全国2012年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题21.计算行列式1112112112112111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦全国2012年10月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题1．设行列式1122a b a b =1，1122a c a c --=-1，则行列式111222a b c a b c --=A.-1B.0C.1D.211.行列式123111321的值为_________.21.计算行列式D=a b a ba ab ba b a b+++的值.全国2013年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题12．四阶行列式中项21321344αααα的符号为________.21．计算四阶行列式1234 1234 1234 1234------.全国2013年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题全国2013年7月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题1.设行列式111213212223313233a a aa a aa a a=1，则111211132122212331323133342342342a a a aa a a aa a a a---=A.-8B.-6C.6D.811.设行列式12513225a -=0，则a =______. 21.计算行列式123100010001xx x a a a a ---.。
2004-2015年考研线代试题整理(数三)(学生复印)
c1， c2， c3 ， c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是（
（A） 1 ， 2， 3 （C） 1 ， 3， 4 （B） 1 ， 2， 4 （D） 2， 3， 4
2010 年每小题 4 分(5) 设向量组Ⅰ： 1， 2， 下列命题正确的是 （A）若向量组Ⅰ线性无关，则 r s （C）若向量组Ⅱ线性无关，则 r s
2 1 0 (A) 1 1 0 . 0 0 2 2 0 0 (C) 0 1 0 . 0 0 2
1 1 0 (B) 1 2 0 . 0 0 2 1 0 0 (D) 0 2 0 . 0 0 2
*
O A | A | 2,| B | 3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为 B O
(A)
O 2A O 2B
* *
3B* . O 3 A* . O
2
(B)
O 3A O 3B
* *
2 B* . O 2 A* . O
(A) a , d
)
(B) a , d
(C) a , d (D) a , d
1 2 3 4 2014 年（20） （本题满分 11 分）设 A 0 1 1 1 ， E 为 3 阶单位矩阵。 1 2 0 3
4.3 向量组的秩 4.4 线性方程组的解的结构
1 1 1 1 2015 年每小题 4 分(5)设矩阵 A 1 2 a , b d .若集合 1, 2 ，则线性方程组 1 4 a 2 d2
Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 (
1 （A） 2 1 2 （C） 1 2
(完整版)第一章行列式试题及答案
第一章 行列式试题及答案一 选择题 (每小题3分，共30分)⑴ n 元排列 i 1 i 2… i n 经过相邻对换，变为i n … i 2 i 1，则相邻对换的次数为( )(A) n (B) n /2 (C) 2n(D) n (n -1)/2⑵ 在函数()xx x x x x f 2142112---=中，x 3的系数是( )(A) -2 (B) 2 (C) -4 (D) 4⑶ 若D n =det(a ij )=1，则det(－a ij ) = ( )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D) (-1)n(n -1)/2⑷ 设nn λλλλλλNO2121=，则n 不可取下面的值是( )(A)7 (B) 2k +1(k ≥2) (C) 2k (k ≥2) (D) 17⑸ 下列行列式等于零的是( )(A)100123123- (B) 031010300- (C) 100003010- (D) 261422613-⑹ 行列式D 非零的充分条件是( ) (A) D 的所有元素非零 (B) D 至少有n 个元素非零 (C) D 的任何两行元素不成比例(D)以D 为系数矩阵的非齐次线性方程组有唯一解 ⑺ =+++111222c bcacbc b ab ac ab a ( )(A) 100010001222+c bc ac bc b ab ac ab a (B) 1111122222+++++c bc ac bc b ab ac ab c bc ac bc b ab ac ab a(C) 101011122222+++++c bc bc b ac abc bc ac bc b ab ac aba(D) 111222bc ac bc ab acab c bc ac bc b ab acab a+⑻ 设a ,b ,c 两两不同，则0222=+++c b a c b a ba a c cb 的充要条件是( )(A) abc =0 (B) a+b+c =0 (C) a =1, b =-1, c =0 (D) a 2=b 2, c =0⑼ 四阶行列式=44332211a b a b b a b a ( )(A) (a 1a 2- b 1b 2) (a 3a 4- b 3b 4) (B) (a 1a 4- b 1b 4) (a 2a 3- b 2b 3) (C) (a 1b 2- a 2b 1) (a 3b 4- a 4b 3) (D) (a 1b 4- a 4b 1) (a 2b 3- a 3b 2)⑽ 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ只有零解，则λ应满足的条件是( )(A) λ=0 (B) λ=2 (C) λ=1 (D) λ≠1二 填空 (每小题3分，共15分)⑴ 在五阶行列式中，3524415312a a a a a 的符号是_________。
厦门理工学院 线性代数第一章 行列式参考答案
第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n 阶行列式的定义一．选择题1．若行列式x52231521 = 0，则=x [ C ] （A ）2 （B ）2- （C ）3 （D ）3-2．线性方程组⎜⎛⎜⎰〉=+=+473322121x x x x ，则方程组的解),(21x x = [ C ]（A ）（13，5） （B ）（13-，5） （C ）（13，5-） （D ）（5,13--）3．方程093142112=x x根的个数是 [ C ] （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）34．下列构成六阶行列式展开式的各项中，取“+”的有 [ AD ] （A ）665144322315a a a a a a （B ）655344322611a a a a a a （C ）346542165321a a a a a a （D ）266544133251a a a a a a5．若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项，则l k ,的值及该项的符号为[ B ] （A ）3,2==l k ，符号为正； （B ）3,2==l k ，符号为负； （C ）2,3==l k ，符号为正； （D ）2,3==l k ，符号为负6．下列n （n >2）阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1．行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2．排列36715284的逆序数是 133．已知排列397461t s r 为奇排列，则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ，t = 8,5,2 4．在六阶行列式ij a 中，623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
线性代数第一章行列式试题及答案
线性代数第一章行列式试题及答案如何复习线形代数线性代数这门课的特点主要有两个:一就是试题的计算量偏大,无论就是行列式、矩阵、线性方程组的求解,还就是特征值、特征向量与二次型的讨论都涉及到大量的数值运算,稍有不慎,即会出错;二就是前后内容紧密相连,纵横交织,既相对独立又密不可分,形成了一个完整、独特的知识体系、在掌握好基本概念、基本原理与基本方法的前提下,下面谈谈在复习过程中应注意的一些问题、一、加强计算能力训练,切实提高计算的准确性二、扩展公式结论蕴涵,努力探索灵活解题途径三、注重前后知识联系,努力培养综合思维能力线性代数不仅概念多,公式结论多,而且前后知识联系紧密,环环相扣,几乎从任何一个知识点都可切入将前后知识联系起来考查四、加强综合题型训练,全面系统地掌握好知识计算能力的提高不就是一朝一夕的事,除了要不断归纳总结一些重要公式与结论并加以巧妙、适当的应用外,还要靠平时的积累,要养成踏踏实实、有始有终将最后结果计算出来的习惯,只要持之以恒、坚持练习,计算准确性的提高并不就是一件困难的事、而对整个知识的融会贯通、综合应用也有赖于适当地多做这方面的练习,第一章行列式一、概念复习1、形式与意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12 (1)a21 a22 (2)………、a n1 a n2… a nn如果行列式的列向量组为α1, α2, …,αn,则此行列式可表示为|α1, α2, … ,αn|、意义:就是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值、请注意行列式与矩阵在形式上与意义上的区别、当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同、)每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|、行列式这一讲的的核心问题就是值的计算,以及判断一个行列式的值就是否为0、2、定义(完全展开式)一般地,一个n阶行列式a11 a12 (1)a21 a22 (2)………a n1 a n2… a nn的值就是许多项的代数与,每一项都就是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:nnjjjaaaΛ2121,这里把相乘的n个元素的行标按自然顺序排列,它们的列标j1j2…jn构成1,2, …,n的一个全排列(称为一个n元排列), 一个n元排列的总项数共有n!个,因此n阶行列式的值就是n!项的代数与。
考研数学——线性代数——习题及解答
第一部分 矩阵本部分是全课程的基础,特别是计算的基础. 本部分概念多,因此考点也多.关键性概念:矩阵的初等变换,矩阵的乘法,可逆矩阵.一. n 阶行列式的计算计算n 阶行列式不一定用递推法或数学归纳法，一些简单的n 阶行列式可对某行(列)展开直接求得值;有些可化为三角行列式;还有的可用特征值计算.例1 1 0 0 … … tt 1 0 … … 0 0 t 1 … … 0 . … … … … 0 0 0 … t 1例2 证明 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑ .… … … …0 0 0 … b n-1 c n(就是要证明M 1i=b 1…b i-1 c i+1…c n .)例3 证明 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0b 2 0c 2 … 0 0 =011111n nii i i i n i i a c c ca b c c -+==-∑∏ .… … … … b n … 0 c n例4 ① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1 a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2这些行列式都可以先求出相应矩阵的特征值来求值.例5 计算444342414433332313423222212413121111x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a ++++ ，其中12340x x x x ≠.解444342414433332313423222212413121111x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a b a b a b a b a x b a ++++13111214123423212224123412343132333412344341424412341111a b a b a b a b x x x x a b a b a b a b x x x x x x x x a b a b a b a b x x x x a b a b a b a b x x x x ++=++矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++1111444334224114443333223113442332222112441331221111x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a x b a E x b x b x b x b a a a a +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=),,,(443322114321 特征值为4443332221111,1,1,1x b a x b a x b a x b a ++++相应行列式为4443332221111x b a x b a x b a x b a ++++原行列式的值43122432114321x x x b a x x x b a x x x x ++=3214442133x x x b a x x x b a ++例6 证明2222121212a a a a a a a()1n n a =+证明 222222121321012221122aa a a aa a a a A aaa a==2130124034(1)2(1)3231(1)0n a a aa a n a a n a nn a n+ ==⋅⋅⋅=++二. 矩阵的初等变换和初等变换法问题：①什么时候可用列变换？②如果两类变换都可以用，能否交替使用？1.初等变换的作用除了计算行列式，矩阵的初等变换应用在两个方面: (1) 用在线性方程组类问题上对线性方程组的增广矩阵作初等行变换反映了方程组的同解变换. 这方面的应用只可用行变换,决不可用列变换. (2) 计算矩阵和向量组的秩初等行变换和初等列变换都保持矩阵的秩.因此两类变换都可以用,并且可交替使用. （但是如果要求极大无关组，则只可用行变换） 每一种应用都要用到下面的基本运算:用初等(行)变换把一个矩阵化为阶梯形矩阵或简单阶梯形矩阵. 用初等行变换把可逆矩阵化为单位矩阵.2. 初等变换法(1)求方程组的唯一解当A 是可逆矩阵时, AX =β唯一解,求解的初等变换法:对增广矩阵(A |β)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |β)→(E |η), 则η 就是解.(2) 解矩阵方程有两种基本矩阵方程:(I) AX =B . (II) XA =B .在A 是可逆矩阵这两个方程都是且唯一解.(I) AX =B 是线性方程组的推广,求解方法:将A 和B 并列作矩阵(A |B ),对它作初等行变换,使得A 变为单位矩阵,此时B 变为解X :(A |B )→(E |X )(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T =B T .再用解(I)的方法求出X T.. (A T |B T )→(E |X T )(3) 当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)近几年考题中常见的一类求矩阵的题, 可利用矩阵方程求解:给定了3阶矩阵A 的3个线性无关的特征向量α1,α2,α3,和它们的特征值，求A ,(给定6个3维列向量α1,α2,α3,β1,β2,β3,求一个3阶矩阵A ,使得A α1=β1, A α2=β2, A α3=β3.)例7 A 是3阶矩阵的向量α1=(-1,2,-1)T ,α2=(0,-1,1)T 都是齐次线性方程组AX =0的解, (1) A 的各行元素之和都为3, 求A .(06) (2) A 是3阶实对称矩阵,求A .解 根据题意有100020101010A A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，.(1)A 的各行元素之和都为3，则 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333111A .建立矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000000333110121111A再用初等变换法求出111111111A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.(2)0=Ax 有两个线性无关的解,,21αα则 32r A -()≥. ()1r A ≤. 再由()3()1tr A r A =⇒=. 所以A 的特征值为0，0，3.由于A 是实对称矩阵，属于3的特征向量与21,αα都相交，即满足⎩⎨⎧=+-=-+-00232321x x x x x 求得一个非零解,1113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=α即333αα=A建立矩阵方程 )0,0,3(),,(3213αααα=A .例8二次型f(x 1,x 2,x 3)= X T AX 在正交变换X =QY 下化为y 12+y 22, Q 的第3列为(22,0,22)T.求A . 解 有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001AQ Q T . 即⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000100011AQ Q .则A 的特征值为0,1,1.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22022是A 的特征向量，特征值为0，从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101也是A 的特征向量，特征值为0.求A 的属于1的两个无关特征向量，即()0A E x -=的非零解它们都与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101相交，即满足方程组 031=+x x .(实际上它和()0A E x -=同解)，求出两个无关解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101,010.建立矩阵方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000101010101101010A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-010001010110001110A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010100201010001010001010110001110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→2102101021021100010001 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10102010121A*设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,1,-1,(0,1,1)T是属于-1的特征向量,求A .(1995).*设3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,3,(1,1,-1)T 和(-1,2,1)T分别是属于1和2的特征向量,求A .(1997)*设3阶实对称矩阵A 的秩为2,又6是它的二重特征值,向量(1,1,0)T 和(2,1,1)T和(-1,2,-3)T都是属于6的特征向量.求A .(2004).*3阶实对称矩阵A 的特征值为1,2,-2, (1,-1,1)T是A 的属于1的特征向量.记 B =A 5-4A 3+E .(1) 求B 的特征值和特征向量. (2) 求B .(07)三．矩阵乘法的两个规律,矩阵分解① A (α1, α2,…, αs )= (Aα1,Aα2,…,Aαs ).② 若A =(α1, α2,…, αn ), B =(β1, β2,…, βn )T ,则A B =α1β1 +α2β2 +…+αn βn .乘积矩阵AB 的第i 个列向量是A 的列向量组的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量的各分量.(从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示.)乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量. (AB 的行向量组可以用B 的行向量组线性表示.)近几年考题中常见的又一类求矩阵的题是利用矩阵分解求解.设A 为3阶矩阵, α1, α2, α3是3维列向量组,知道了A α1,A α2,A α3对α1, α2, α3的分解,求矩阵B ,使得A P =P B . P =(α1, α2, α3).例9（2005） 设A 为3阶矩阵, α1, α2, α3是线性无关的3维列向量组,满足A α1=α1+ α2+ α3, A α2=2α2+α3, A α3=2α2+3α3.求作矩阵B ,使得A (α1, α2, α3)=( α1, α2, α3)B .解：三种方法对照方法一：设,332313322212312111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=b b b b b b bb b B 则 B A ),,(),,(321321αααααα=可化为)32,2,(3232321ααααααα++++),,,(333223113332222112331221111αααααααααb b b b b b b b b +++++=得,331221111321ααααααb b b ++=++ 由于321,,ααα无关，得1,1,1312111===b b b .用同样方法求得1222320,2,1b b b ===, 3,2,0332313===b b b .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320120111B方法二：AP P B 1-=.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==----100010001),,(,3121111αααP P P E P P 有得1111231000,1,0001P P P ααα---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭于是，)32,2,(32323211ααααααα++++=-P B)32,2,31213121312111ααααααα-------++++=P P P P P P P ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111.方法三(矩阵分解法)B A ),,(),,(321321αααααα=.)32,2,(3232321ααααααα++++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111),,(321ααα.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320120111B .方法三是直接求出了B ，并且不必要求321ααα线性无关！例10(2008)已知α1,α2,都是3阶矩阵A 的特征向量,特征值分别为-1和1,又3维向量 α3满足A α3=α2+α3.(1) 证明α1, α2, α3线性无关.(2) 记P =(α1, α2, α3),求P -1A P . (3) 证明A 不相似于对角矩阵. (4) 求A 的所有特征向量.例11（2001）设A 是3阶矩阵, α是3维列向量,使得P =(α,A α,A 2α)可逆,并且A 3α=3A α-2A 2α. (1)求3阶矩阵B 使得A =P B P -1.(2)计算|A +E |.(3)求A 的特征值.用矩阵分解求行列式用矩阵分解估计秩和判断向量组的相关性(C 矩阵法)四. 可逆矩阵的充分必要条件n 阶矩阵A 可逆⇔ A 的行列式|A |≠0⇔ r(A )=n⇔ A 的列(行)向量组线性无关. ⇔ AX =0只有零解(AX =β有唯一解) ⇔ 0不是A 的特征值.(A -c E 可逆⇔c 不是A 的特征值.)例12 设n 阶矩阵A 满足A 2+3A -2E =0.对任何有理数c, 证明A -c E 可逆. 解：方法一：令cE A B -=,即cE B A +=，则02)(3)(2=-+++E cE B cE B 0)23()32(22=-++++E c c B c B . E c c E c B B )23(])32([2-+-=++.0232=-+x x 的两根为21732893±-=+±-， 因此当c 是有理数时，0232≠-+c c . 则E c c )23(2-+-可逆，从而B 可逆. 方法二：只用说明有理数c 不是A 的特征值.由0232=-+E A A ，A 的特征值满足 0232=-+λλ.而有理数c 不满足此式，因此不是A 的特征值.例13 设n 阶矩阵A ,B 满足AB =a A +b B +c E ,其中0ab c +≠,证明A -b E 和B -a E 都可逆.解 方法一：只用证))((aE B bE A --可逆.abE bB aA AB aE B bE A +--=--))((＝E c ab )(+∵0ab c +≠，E c ab )(+∴可逆，得)(),(aE B bE A --都可逆. 方法二：先证a 不是B 的特征值，从而aE B -可逆. 用反证法，若有向量0≠η，值得,ηηa B =则ηηηηc bB aA AB ++=， ηηηηc ab aA aA ++=得0)(=+ηc ab ，与条件0≠+c ab 矛盾要证b 不是A 的特征值，只用证b 不是TA 的特征值. 对cE bB aA AB ++=两侧转置，得cE bB aA A B T T T T ++=，用上法可证b 不是TA 的特征值，从而不是A 的特征值.例14 设α是n 维非零列向量,记A =E -Tαα.证明1Tαα=⇔ A 不可逆. (96) 证明 Tαα的特征值为0,,0,T αα .A 不可逆⇔1是T αα的特征值⇔1T αα=.例15 已知n 阶矩阵A ,B 满足E -AB 可逆,证明E -BA 也可逆,并且(E -BA )-1=E +B (E -AB )-1A . 证明 1()[()]E BA E B E AB A --+-1()()E BA E BA B E AB A -=-+--1()()E BA B BAB E AB A -=-+-- 1()()E BA B E AB E AB A -=-+--.E BA BA E =-+=例16 设A ,B 都是n 阶矩阵,证明c E -AB 可逆⇔ c E -BA 可逆. 证明 当0=c 时，即AB -可逆BA -⇔可逆. 而||||||)1(||BA B A AB n-=-=-.结论显然下设0≠c .方法一：左⇒右，即设AB cE -可逆，证BA cE -可逆.构选BA cE -的逆矩阵11[()]E B cE AB A c-+-11[][()]cE BA E B cE AB A c--+-])()([11A AB cE B BA cE BA cE c ---+-= 11[()()]cE BA B cE AB cE AB A c-=-+--E =. 方法二：用特征值，要证的是c 不是AB 的特征值⇔c 不是BA 的特征值逆否为c 是AB 的特征值c ⇔是BA 的特征值. “⇒”设ηηηc AB =≠,0. 则ηηcB BAB =.0,0,0≠⇒≠≠ηηB c .于是ηB 是BA 的特征向量，特征值为c .第二部分 向量组和线性方程组本部分全课程的理论基础,理论制高点, 特点是概念性强,抽象,因此是最难的部分,也是考试的重点和难点.关键性概念:线性表示,线性相关性,向量组和矩阵的的秩.齐次线性方程组的基础解系. 对这些概念要准确理解,并熟悉有关的性质,并且注意它们的联系,以及和其他章节的概念的联系.应该特别充分注意秩的作用.一．线性表示1. 线性表示的意义(1)一个向量β可用α1,α2,…,αs 线性表示,即n 维向量β是α1,α2,…,αs 的一个线性组合. 也就是：线性方程组AX =β有解，其中A =(α1, α2,…,αs ).一个向量是齐次方程组AX =0的解⇔它可以用AX =0的基础解系线性表示.(2) β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,即每个βi 都可以用α1,α2,…,αs 线性表示. 这个概念和矩阵乘积有联系: 当AB =C 时 , C 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示, C 的行向量组可以用B 的行向量组线性表示.反之,当 β1,β2,…,βt 可用α1,α2,…,αs 线性表示时,存在矩阵C （称为表示矩阵）使得：( β1,β2,…,βt )=(α1,α2,…,αs )C .(3) 向量组α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 等价,即它们互相都可以表示,记作{α1,α2,…,αs }≅{β1,β2,…,βt }.如果A 用初等行变换化为B ,则A 和B 的行向量组等价; 如果A 用初等列变换化为B ,则A 和B 的列向量组等价.向量组和它的每个极大无关组都等价;因此它的任何两个极大无关组等价. 一个齐次方程组AX =0的任何两个基础解系等价.2.用秩判断线性表示(1) β可用α1,α2,…,αs 线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs ).(2) β可用α1,α2,…,αs 唯一线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs )= s. (3) β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示⇔r(α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt )=r(α1,α2,…,αs ). (4) α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 等价⇔r(α1,α2,…,αs )= r(α1,α2,…,αs , β1,β2,…,βt )= r(β1,β2,…,βt ).例1设α1=(1,2,0,1) , α2 =(1,1,-1,0), α3=(0,1,a,1),γ1=(1,0,1,0),γ2=(0,1,0,2).a 和k 取什么值时, γ1+k γ2可用α1,α2,α3线性表示?解),,(),,,(32121321αααγγγαααγ=+k)|,,(21321γγαααk +⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=k k a 21111001111021行⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1212111011110001k k a 行⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+----1321011000110001k kk a 1,1≠-=a k例2 已知r(α1,…,αs )=r(α1,…,αs , β)=k,r(α1,…,αs , β,γ)=k+1，求r(α1,…,αs , β-γ )． 解 看γβ-是否可用s αα,,1 线性表示.β可以用s αα,,1 线性表示，γ不可用βαα,,,1s 表示，因此也不可用s αα,,1 表示.于是γβ-不可用s αα,,1 线性表示.11(,,,)(,,)11s s k γααβγγαα-=+=+例3设(1,2,3)T ,(2,3,5)T 和(1,a,b-1)T ,(2,a 2,b)T都是AX =0的基础解系,求a,b.解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b a b a 22,11532,321与等价，即221121153232122=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a b a b a b a γγ. 222121212122301243510022a a a a b b b a b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭ 得⎩⎨⎧=--=--02022a b a b 即⎩⎨⎧+==22a b a a ⎩⎨⎧==3210或或b a .当2,0==b a 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2022,101112b a b a 秩为1，不合要求当3,1==b a 时⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3122,211112b a b a ，秩为2，此时这两个向量组等价，符合题目要求.例4设AX=β的通解为 (1,-1,1,-1)T +c 1(1,-3,1,,0)T +c 2(-2,1,-1,2)T, c 1,c 2任意.(a,1,b,3)T是AX=β的解, 求a,b.解 的解是的解是011113131=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ax b a Ax b a β线性表示可用⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⇔2112,01314121b a 221120131412121120131=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----⇔γγb a . ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----2932100120001213111520001412121120131a b a a a b a a b a 则1,302093-=-=⎩⎨⎧=--=+b a a b a .例5 α1=(1,1,0,-1)T , α2=(0,2,1,1)T . 求β=(c 1, c 2, c 3, c 4)T可用α1,α2线性表示的条件. 解 2),(,,2121==)(ααγβααγ.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=3143123143212120010000111201011),,(c c c c c c c c c c c c βαα得：β可用⎩⎨⎧=-+=--⇔02,31431221c c c c c c 线性表示αα⎩⎨⎧=-+=--⇔002314312x x x x x x 是β的解. (即⎩⎨⎧=+-=+-002431321x x x x x x 是β的解).说明⎩⎨⎧=+-=+-002431321x x x x x x 以21,αα为基础解系.例6设α1,α2 ,…,αs 是n 维向量组.证明r(α1,α2 ,…,αs )= n 的充分必要条件为:任何n 维向量都可用α1,α2,…,αs 线性表示.解 必要性：对任何n 维向量β，,),,,()(11n n s s ≤≤=βααγααγ得),,,(),,,(11s s ααγβααγ =从而β可用s αα 1表示充分性：当任何n 维向量都可用s αα 1表示时，任何n 维向量组都可用s ααα,,,21 表示.取n ηηη,,,21 是一个线性无关的n 维向量组(如一个n 阶可逆矩阵的列向量组)，则n n s n ≤≤=)()(11ααγηηγ .得n s =)(1ααγ .例7 设A 是m ⨯n 矩阵, C 是m ⨯s 矩阵.证明矩阵方程AX =C 有解⇔r(A |C )=r(A ). 证明 记),(),,,(11s n C A γγαα ==则AX C =有解⇔存在s n ⨯矩阵H 使得 C AH =⇔n s ααγγ 11可用线性表示⇔)(),(111n s n ααγγγααγ =即)()|(A C A γγ=.例8 设(Ⅰ)和(Ⅱ)都是3元非齐次线性方程组,(Ⅰ)有通解ξ1+c 1η1+c 2η2,其中ξ1= (1,0,1)T ,η1=(1,1,0)T ,η2=(1,2,1)T ；(Ⅱ)有通解ξ2+c η, ξ2=(0,1,2)T ,η=(1,1,2)T.求(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解.解 公共解都可写成ηξc +2，我们来求当c 取什么值时它又是(I )的解？ηξc +2是(I )的解⇔是12ξηξ-+c (I )的导出组的解 ⇔12ξηξ-+c ，可用21,ηη线性表示.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=-+1211121011),,(1221c c c c ξηξηη⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→1221011001c c得21=c ，公共解为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+32321212ηξ二. 向量组的线性相关性1．定义和意义意义 线性无关就是每个 αI 都不能用其它向量线性表示; 线性相关就是有向量(不必每个)可以用其它向量线性表示.定义 设α1,α2,…,αs 是n 维向量组,如果存在不全为0的一组数c 1,c 2,…,c s 使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,则说α1,α2,…,αs 线性相关,否则(即要使得c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0,必须c 1,c 2,…,c s 全为0)就说它们线性无关.和齐次线性方程组的关系 记A =(α1,α2,…,αs ),则:α1,α2,…,αs 线性相关(无关) ⇔齐次线性方程组AX =0有(没有)非零解.2．线性相关性的判别在考试真题中,相关性的判别是常见的，许多情形可用一些简单性质完成,甚至直接可用定义判别.因此熟记有关的性质是重要的.例如α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关,(2,1,a+4),(2,1,a+6)无关. 对考场上也出现过一些证明题,常用的思路有3个:① 定义法:用定义证明一个向量组α1,α2,…,αs 线性无关,就是由c 1α1+c 2α2+…+c s αs =0推出c i 都为0.② 扩大法:利用性质:如果α1,α2,…,αs 线性无关, 则α1,α2,…,αs ,β线性无关⇔β不能用α1,α2,…,αs 线性表示.推论 如果αi ≠0，并且每个αi 都不能用前面的i-1个向量线性表示，则α1,α2,…,αs 线性无关.③ 秩法:α1,α2,…,αs 线性无关⇔ r(α1,α2,…,αs )=s.例9 设A 为n 阶矩阵, α为n 维列向量，正整数k 使得A k α=0,但是A k-1α≠0,证明α, A α,…, A k-1α线性无关.证明 方法一：用定义证设0121=+++-αααk k A c A c c (1) 用1-k A乘(1)式得00111=⇒=-c A c k α 再用2-k A乘(1)式，得0,0212=⇒=-c A c k α这样逐个得出i c 都为0.方法二：用扩大法的推论，这个向量组是： 最后一个01≠-αk A .每一个都不能用后边的线性表示，如α1-i A 不可用αα1,,-k i A A 表示，因为αα1,,-k i A A 用i k A -乘都为0，即它们都是0=-αi k A 的解，而αi k A -不是：0)(1≠=---ααk i i i k A A A .由推论，得ααα1,,,-k A A 无关.例10设α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt 线性无关,其中α1,α2,…,αs 是齐次方程组AX =0的基础解系.证明A β1,A β2,…,A βt 线性无关.证明 用定义法设,02211=+++t t A c A c A c βββ 而,0)(2211=+++t t c c c A βββ于是t t c c ββ++ 11是0=Ax 的解，从而可用0=Ax 的基础解系s αα,,1 线性表示，即有 s s t t k k c c c ααβββ++=+++ 112211但是11,,,,,s t ααββ 线性无关，得)(11s t k k c c 和都为0.例11 设α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 是两个线性无关的n 维实向量组,并且每个αi 和βj 都正交,证明α1,α2,…,αs ,β1,β2,…,βt 线性无关.证明 用定义法，设,01111=+++++t t s s k k c c ββαα记)(1111t t s s k k c c ββααγ++-=++= 则0))(,(),(1111=++-++=t t s s k k c c ββααγγ 即0=γ，于是s s k k c c 11和全都为0.例12 设α1,α2,…,αs 和β1,β2,…,βt 都是线性无关的n 维向量组,证明α1,α2,…,αs ,β1, β2,…,βt 线性相关⇔存在非零向量η,它既可用α1,α2,…,αs 线性表示,又可用β1,β2,…,βt 线性表示.证明 “⇒”存在t s k k c c 11,不全为0使得01111=+++++t t s s k k c c ββαα .令t t s s k k c c ββααη---=++= 1111， 则0≠η(∵t s k k c c 11和不能全为0！) 且η既可用s αα 1表示，又可用t ββ 1表示.“⇐”设0≠η，既可用s αα 1表示，又可用t ββ 1表示， 证s s s c c c c 111,ααη++=不全为0，t t t p p p p ,,,111 ββη++=-也不全为0，则,01111=++++t t s s p p c c ββαα ∴t s ββαα 11,相关.例13 已知n 元非齐次方程组AX =β有解, n-r(A )=3. (1)证明AX =β有4个线性无关的解. (2)证明AX =β的任何5个解都线性相关.(n 元非齐次方程组AX =β有解时,解集合的秩= n-r(A )+1.) 证明 (1)设0ξ是β=Ax 的一个解321,,ηηη是0=Ax 的基础的解系，321,,ηηη线性无关，而0ξ不可用321,,ηηη线性表示，从而这个向量线性无关.易见,,,,,,32103020100ηηηξηξηξηξξ≅+++，它们的秩相等，为4，从而3020100,,ηξηξηξξ+++，也无关，它们都是β=Ax 的解.(2)设54321,,,,ξξξξξ都是β=Ax 的解，则它们都可用(1)中的4210,,,ηηηξ这4个向量表示，所以必相关.三. 秩的有关等式与不等式秩是讨论向量组线性相关性的深入,它把抽象的概念数量化了, 从而可用数量的形式来处理线性表示和线性相关性问题,显得简单化了.譬如, 有一个性质:如果β1,β2,…,βt 可用α1,α2,…,αs 线性表示，并且t>s,则β1,β2,…,βt线性相关.从秩看,r(β1,β2,…,βt )≤ r(α1,α2,…,αs )≤s<t,从而β1,β2,…,βt 线性相关.例14 n 维向量组(I) α1,α2,…,αr 可以用n 维向量组(II) β1, β2,⋯, βs 线性表示. (A) 如果(I)线性无关,则r ≤s. (B) 如果(I)线性相关,则r>s. (C) 如果(II)线性无关,则r ≤s. (D) 如果(II)线性相关,则r>s. 这题可以用上面那个性质解决: (A)是它的逆否命题, (B)是否命题. 如果用秩做: r=r(α1,α2,…,αr )≤r(β1, β2,⋯, βs )≤s.例15 已知β可用α1,α2,…,αs 线性表示，但不可用α1,α2,…,αs-1线性表示．证明 ⑪ αs 不可用α1,α2,…,αs-1线性表示； ⑫ αs 可用α1,α2,…,αs-1, β线性表示．这题可以用定义做,叙述起来有点罗嗦. 下面用秩做:r(α1,α2,…,αr-1)+1=r(α1,α2,…,αr-1,β)≤r(α1,α2,…,αr ,β)=r(α1,α2,…,αr ) ≤ r(α1,α2,…,αr-1)+1于是r(α1,α2,…,αr-1,β)=r(α1,α2,…,αr ,β), r(α1,α2,…,αr )=r(α1,α2,…,αr-1)+1.例16 已知α1,α2,α3线性相关,而α2,α3,α4线性无关,则α1,α2,α3,α4中, 能用另外3个向量线性表示,而 不能用另外3个向量线性表示.r(α1,α2,α3)<3, r(α2,α3,α4)=3, r(α1,α2,α3,α4)=3.① 如果α1,α2,…,αs 是n 维向量组, 0≤r(α1,α2,…,αs )≤ Min{s,n}. 如果A 是m ⨯n 矩阵,则0≤r(A )≤Min{m,n}.② r(α1,α2,…,αs )+1.若β不可用α1,α2,…,αs 线性表示. r(α1,α2,…,αs ,β)=r(α1,α2,…,αs ).若β可用α1,α2,…,αs 线性表示. ③ 如果 β1,β2,…,βt 可以用α1,α2,…,αs 线性表示,则 r(β1,β2,…,βt )≤r(α1, α2,⋯ ,αs ). ④ r(A ±B )≤r(A )+r(B ).⑤ r(AB )≤Min{r(A ),r(B )}.⑥ 当A (或B )可逆时,r(AB )=r(B )(或r(A )).⑦ 如果A 列满秩(r(A )等于列数),则r(AB )=r(B ).⑧ 如果AB =0,n 为A 的列数(B 的行数),则r(A )+r(B )≤n. ⑨ 设A *为n 阶矩阵A 的伴随矩阵,则 n, 若r(A )=n,r(A *)= 1, 若r(A )=n-1,0, 若r(A )<n-1.⑩ r(A |B )≤r(A )+r(B ).例17设A 是n 阶矩阵, α1,α2,⋯,αs 是一组n 维向量,βi =A αi , i=1,2，⋯,s.证明: (1) r(β1, β2,⋯, βs )≤r(α1,α2,⋯,αs ).(2) 如果A 可逆,则r(α1,α2,⋯,αs )=r(β1, β2,⋯, βs ).证明 (1)矩阵),,(),,(11s s A ααββ =∴11(,,)min{(),()}s s r r A r ββαα≤ (2)若A 可逆，则11()()s s r r ββαα=例18设α1,α2,α3,α4都是n 维向量.判断下列命题成立的为① 如果α1,α2,α3线性无关,α4不能用α1,α2,α3线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ② 如果α1,α2线性无关,α3,α4都不能用α1,α2线性表示,则α1,α2,α3,α4线性无关. ③ 如果存在n 阶矩阵A ,使得A α1,A α2,A α3,A α4线性无关,则α1,α2,α3,α4线性无关. ④ 如果α1=A β1,α2=A β2,α3=A β3,α4=A β4,其中A 可逆,β1,β2,β3,β4线性无关,则α1,α2,α3,α4线性无关.解 ①√.② 不对，例如43αα=.③ 123412344(,,,)(,,,)4r A A A A r αααααααα=≤≤. ④ √. 4),,,(),,,(43214321==ββββααααA .例19，例20 都可用C 矩阵法解.C 矩阵法：若s αα 1无关，t ββ 1可用s αα 1线性表示，表示矩阵为C ，则1()()t r r C ββ= .如果s t =，则t ββ 1无关0||≠⇔C .例19 设 α1,α2,…,αs 是齐次方程组AX =0的基础解系, β1=α1+t α2,β2=α2+t α3,…, βs-1=αs-1+t αs ,βs =αs +t α1.t 取什么值时β1,β2,…,βs 也是AX =0的基础解系?解s ββ,,1 确定都是0=Ax 的解，个数也合要求，看1s ββ 是否无关，由于s αα 1无关，可用C 矩阵法，s βββ 21,对s αα 1的表示矩阵C 为100100000000001t t C t ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭s s t C 1)1(1||+-+= s s t C )1(0||-≠⇔≠当sst )1(-≠时s ββ,,1 线性无关，从而构成基础解系.例20 设α1,α2,α3是齐次方程组AX =0的基础解系,则( )也是AX =0的基础解系. (A) α1,α2-α3 . (B) α1+α2, α2+α3,α3-α1.(C) α1+α2+α3,α1-α2-2α3,α1+3α2+4α3. (D) α1+2α2-α3,2α1+α2+α3, α2+α3. 解 (A )个数2个，不对.×(B )0)()()(133221=-++-+αααααα相关.×(C )表示矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=431211111C111111||1130220124033C =-=-=--，32132132143,2,ααααααααα++--++相关.×(D )√ 此时⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=110112121C ,120120||2113006111111C ===---.四. 线性方程组线性方程组是课程的最主要部分,是考试的最大重点,但是考点很集中(解的情况的判别和通解的计算),有关的结论又十分明确，因此从方法上看不困难，大家也比较熟悉.但是近年来考题的发展趋势应该重视:考试重点转向概念化,考题渐渐脱离传统题型,出现许多有新意的题.1. 线性方程组解的情况的判别(1)对于方程组AX =β,判别其解的情况用三个数:未知数的个数n,r(A ),r(A |β).① 无解⇔r(A)<r(A |β).② 有唯一解⇔r(A)=r(A |β)=n.(当A 是方阵时,就推出克莱姆法则.)③ 有无穷多解⇔r(A)=r(A |β)<n.方程的个数m 虽然在判别公式中没有出现,但它是r(A )和r(A |β)的上界,因此当r(A )=m 时, AX =β一定有解. 当m<n 时,一定不是唯一解.(2)对于齐次方程组AX =0,判别解的情况用两个数: n,r(A ).有非零解⇔ r(A )<n(即:只有零解⇔r(A)=n). 2. 基础解系和通解(1) 齐次方程组的基础解系如果齐次方程组AX =0有非零解,则它的解集(全部解的集合)是无穷集,称解集的每个极大无关组为AX =0的基础解系.η1, η2,…,ηs 是AX =0的基础解系的条件为：① η1, η2,…,ηs 是AX =0的一组解. ② η1, η2,…,ηs 线性无关.③ s=n-r(A). (2) 通解当η1, η2,…,ηl 是AX =0的基础解系时, AX =0的通解为: c 1η1+c 2η2+…+c s ηs , c 1,c 2,…,c s 任意.如果ξ0是非齐次方程组AX =β的一个解, η1, η2,…,η s 是AX =0的基础解系时, AX =β的通解为:ξ0+c 1η1+c 2η2+…+c l ηs , c 1,c 2,…,c s 任意.例21 已知 ξ1=(1,-1,0,1)T ,ξ2=(2,0,1,1)T ,ξ3=(3,0,1,2)T都是线性方程组AX=β (β≠0)的解,并且r(A)=2,求通解.解 4,()2,()2n r A n r A ==-=.0=Ax 的基础解系由2个解构成0111201111312=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-Ax 是和ξξξξ两个无关的解，构成基础解系.通解：2121,,111201111011c c c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-任意.例22 已知 ξ1,ξ2,ξ3都是线性方程组AX=β (β≠0)的解, ξ1=(1,2,3,4)T , ξ2+ξ3=(0,1,2,3)T,并且r(A)=3,求通解.解 4,()3,()1n r A n r A ==-=.123232()45ξξξ⎛⎫⎪⎪-+= ⎪ ⎪⎝⎭是0=Ax 的一个非零解，通解为c c ,54324321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛任意例23 已知ξ=(0,1,0)T是方程组123123123322213x x x x bx x ax x cx d+-=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的解,求通解.解 以ξ代入第2，3两个方程，得⎩⎨⎧==,31d b 不能确定c a 与.系数矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=c a A 2131213 ()2r A ≥若()3r A =，此时方程组有唯一解，它就是ξ.若()2r A =，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−011010001052051001021012013行A0=Ax 的同解方程组为⎩⎨⎧-==3231x x x x ,得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-111，通解为c c ,111010⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛任意例24有两个3元方程组x 1+x 2+x 3=1, 2x 1+3x 2+ax 3=4,(I) 3x 1+5x 2+x 3=7, (II) 2x 1+4x 2+(a-1)x 3=b+4 (1) 已知它们同解，求a,b.(2) 已知它们有公共解，求a,b ，并求所有公共解. 解 (1)思路：解出(I )的通解，代入(II )求出b a ,.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211210014121210171115131 ⎩⎨⎧+=--=2123231x x x x ，通解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-112021c . 用⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-021代入(II )的第2个方程得2,482=⇒+=+-b b . 取,1=c 得(I )的另一个解⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-133，代入(II )的第1个方程1496=⇒=++-a a .(2)即联立方程组有解：1111111111113517022401122340122001024140110002a a a a b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-+--⎝⎭⎝⎭⎝⎭得a b ,2=任意.i )当2,1==b a 时⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00210012001000010021001100110001公共解为c c ,112021⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-任意.ii )当2,1=≠b a 时 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→0021010000100010021011100110001，得唯一解⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-021.例25 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个齐次线性方程组,(Ⅰ)的一个基础解系(1,-1,0,2)T,(0,1,1,a)T ,(Ⅱ)的一个基础解系为(-2,0,a,-2)T ,(1,1,1,0)T.已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求a,并求出它们的全部公共解.解 (用例12结果)(1)(I )与(II )有公共非零解⇔这4个向量线性相关.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a a a a a a a 2222001200221012012201102210120102211010111201 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--→2)1(000100221012012200120022101201a a a a 得：1-=a 时，有非零解.(2)此时(I )的基础解系为,1110201121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ηη(II )的基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=0111,210221γγ. (II )的解为21121221212211,,2201112102c c c c c c c c c c c c ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+γγ任意 它要成为公共解⇔它可用21,ηη表示.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+---212121211212212001012211102011c c c c c c c c c c c c c c 当21c c =时2211γγc c +是公共解，得公共解为1211()02c c γγ-⎛⎫⎪ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭，c 任意例26 设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个齐次线性方程组,(Ⅰ)的一个基础解系为(2,-1,-1,0)T,(t,1-t,0,1)T,(Ⅱ)为123412341242023300x x x x x x x x x px x -++=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩已知(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解,求p 和t,并求出它们的全部公共解.解 (1)记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=132********,101,011221p A t t ηη (I )和(II )有公共非零解⇔存在21,c c 不全为0，使得2211ηηc c +也是(II )的解 ⇔存在21,c c 不全为0，使得0)(2211=+ηηc c A ⇔存在21,c c 不全为0，使得02211=+ηηA c A c ⇔21,ηηA A 相关122216,521t A A t p t p pt ηη+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭21ηηA A 与相关，得3,36)12(35-=+=+=t t t t⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=241552p A η， 22542p p -=-- 84510,36,2p p p p -=-=-=-(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10155,46221ηηA A . 2211ηηc c +也是(II )的解⇔0)(2211=+ηηc c A,520101554622121c c c c =⇔=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 即当25∶21∶=c c 时，2211ηηc c +是公共解. 整理后：公共解为c c ),25(321ηη+任意.注:关于两个齐次方程组有公共非零解的判断.(1)如果都给出了方程组的具体形式, 有公共非零解就是联立方程组有非零解.(2)如果一个给了系数矩阵A ,另一个给出了基础解系η1, η2,…,ηs ,则有公共非零解⇔ A η1,A η2,…,A ηs 线性相关.(3)两个都给出了基础解系η1, η2,…,ηs 和γ1, γ2,…,γt , 则有公共非零解⇔η1, η2,…, ηs ,γ1, γ2,…,γt 线性相关.第三部分 特征向量与特征值 相似和对角化 二次型本部分包含了线性代数的应用方面的两部分. 特点是：概念多,考点多,但是题型确定,变化小.特征值是本部分的关键, 本部分的各类问题几乎都和特征值有关. 因此特征值的计算是应该关注的重点，还应该总结这部分的各个题型和解法的思路.一. 特征值的计算特征值不仅在这两章中被广泛应用,还可以用来计算行列式和判断n阶矩阵的可逆性: λ1λ2…λn=|A|;λ不是A的特征值⇔|A-λE|≠0⇔A-λE可逆.0不是A的特征值⇔A可逆.因此应该关注特征值的计算方法.除了用定义,一般都会想到用特征多项式|λE-A|来计算特征值,但是这样做不仅计算量大,并且因为一般的多项式求根并不总是可行的,所以不是任何矩阵都可求特征值的.事实上,考试题里都是给出都是特殊的矩阵,或者给了特殊的条件让求特征值.因此应该总结这些特殊方法.1.两类特殊矩阵的特征值①对角矩阵和上下三角矩阵的特征值就是对角线上的元素.②当r(A)=1时,特征值为 0,0,…,0,tr(A).(例如:αβT的特征值为0,0,…,0,βTα.)2.利用相关矩阵的特征值的关系:如果A的特征值为λ1,λ2,…,λn,则①A的多项式f(A)的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn).特别地, A+c E的特征值是λ1+c,λ2+c,…,λn+c.②如果A可逆，则A-1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn;A*的特征值是|A|/λ1,|A|/λ2,…,|A|/λn.③A T的特征值也是λ1,λ2,…,λn.④相似于A的特征值也是λ1,λ2,…,λn.3.利用特征值的性质:①λ1+λ2+…+λ n=tr(A).②A的特征值λ的重数≥n-r(A-λE).A是实对称矩阵时, A的特征值λ的重数=n-r(A-λE).③如果f(A)=0,则A的每个特征值λ满足f(λ)=0.例 1 设A=(α1,α2,α3)是3阶矩阵,满足|A|=0,它的各列元素之和都为3, α1-α2=(2,-2,0)T.求A的特征值.解A有3个特征值，||A=0，则0是特征值各列元素之和为3，则1311331131TA⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，从而3是T A的特征值，也是A的一个特征值又122 2 0αα⎛⎫ ⎪-=- ⎪⎪⎝⎭，而1211Aαα⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11是A的特征向量，特征值为2.因此A的特征值为0，3，2。
考研线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26．在函数10323211112)(x x x xx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2．在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3．四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4．若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6．行列式=-0100002000010 n n .7．行列式=--001)1(2211)1(111 n n n n a a a a a a .8．如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211 ，则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9．已知某5阶行列式的值为5，将其第一行与第5行交换并转置，再用2乘所有元素，则所得的新行列式的值为.10．行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11．n 阶行列式=+++λλλ111111111.12．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.13．设行列式5678123487654321=D ，j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式，则=+++44434241234A A A A .14．已知db c a cc a b b a b c a cb a D =， D 中第四列元的代数余子式的和为.15．设行列式62211765144334321-==D ，j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式，则=+4241A A ，=+4443A A .16．已知行列式nn D001031002112531-=，D 中第一行元的代数余子式的和为.17．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解，则k =.三、计算题1.cb a d b a dc ad c b dcbad c b a d c b a++++++++33332222; 2．yxyx x y x y y x y x +++；3．解方程0011011101110=x x xx ； 4．111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x；5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠)； 6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111； 8．xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 210001200000210001210001211．aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1．设1=abcd ，证明：011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2．3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3．))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4．∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5．设c b a ,,两两不等，证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一．单项选择题A D A C C D ABCD B B 二．填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三．计算题1．))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-； 2. )(233y x +-； 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( )。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
a1 ...
∏ a2
...
... ...
an ...
=
(a j − ai ) .
1≤i< j≤n
a1n−1
a
n−1 2
... ann−1
1.2.6 计算行列式的常用方法
1．利用对角线法则计算行列式，它只适用于 2、3 阶行列式；
2．利用 n 阶行列式定义计算行列式；
3．利用行列式的性质化三角形法计算行列式；
(C) 10 (D) 9
解 在排列 14536287 中，1 排在首位，逆序数为 0；4、5、6、8 各数的前面没有比它们
自身大的数，故这四个数的逆序数为 0；3 的前面比它大的数有 2 个（4、5），故逆序数为 2；
2 的前面比它大的数有 4 个（4、5、3、6），故逆序数为 4；7 的前面比它大的数有 1 个（8），
MM MM
M
11 1 1L2
1 −1 −1 −1 L −1
n +1 0 0 0 L 0
11 0 0L0
求和，故共有 n！项． 1.2.2 行列式的性质
1．行列式和它的转置行列式相等； 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号； 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于 用该数乘此行列式的任意一行（列）；
4．行列式中若有两行（列）成比例，则该行列式为零； 5．若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和， 即
即 ( A31 + A32 + A33 ) + 2( A34 + A35 ) =0． 同理 2( A31 + A32 + A33 ) + ( A34 + A35 ) =0
线性代数解析及例题
由此可见
.
例4设
，
， ，
证明D=D1D2.
证记 ，
其中
dij=aij(i,j=1,2,…，k)；
dk+i,k+j=bij(i,j=1,2,…，n)；
di,k+j=0 (i=1,2,…，k;j=1,2,…，n).
考察D的一般项 ，R是排列 的逆序数，由于 (i=1,2,…，k;j=1，2，…，n)，因此 均不可大于k值，否则该项为0，故 只能在1，2，…，k中选取，从而 只能在k+1,k+2,…,k+n中选取，于是D中不为0的项可以记作
我们观察到(1.2)式的右端是一些项的代数和，其中，每一项是位于不同行不同列的三个数相乘，这三个数的第一个下标是按自然顺序排列的，第二个下标则不按自然顺序排列.我们不禁要问：这个代数和的项数、每一项前的符号与第二个下标的排列顺序有无关系?有什么关系？为此我们引入全排列与逆序数等概念.
定义1由1，2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称排列).
,
所以
.
推论行列式D中任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数
余子式乘积之和等于零，即
(i≠j)
或
(i≠j).
证
.
当i≠j，因为 与行列式中第j行的元素无关，将上式中的 换成 （k=1，2，…，n)，有
.
同理可证
(i≠j).
综上所述，即得代数余子式的重要性质（行列式按行(列)展开公式）：
或
例11计算n阶行列式(递推公式法)
例如，以数k乘以第i行（列）上的元素加到第j行(列)对应元素上,记作 ，有
性质3—性质6的证明请读者自证.
例5计算四阶行列式
考研数学历年真题线性代数的考点总结
考研数学历年真题线性代数的考点总结线代部分对很多备考的学子来说，最深刻感觉就是，抽象、概念多、定理多、性质多、关系多。
为大家精心准备了考研数学历年真题线性代数的要点，欢迎大家前来阅读。
?线性代数章节总结第一章行列式本章的考试重点是行列式的计算，考查形式有两种：一是数值型行列式的计算，二是抽象型行列式的计算.另外数值型行列式的计算不会单独的考大题，考选择填空题较多，有时出现在大题当中的一问或者是在大题的处理问题需要计算行列式，题目难度不是很大。
主要方法是利用行列式的性质或者展开定理即可。
而抽象型行列式的计算主要：利用行列式的性质、利用矩阵乘法、利用特征值、直接利用公式、利用单位阵进展变形、利用相似关系。
06、08、10、12年、13年的填空题均是抽象型的行列式计算问题，14年选择考了一个数值型的矩阵行列式，15、16年的数一、三的填空题考查的是一个n行列式的计算，今年数一、数二、数三这块都没有涉及。
第二章矩阵本章的概念和运算较多，而且结论比较多，但是主要以填空题、选择题为主，另外也会结合其他章节的知识点考大题。
本章的重点较多，有矩阵的乘法、矩阵的秩、逆矩阵、伴随矩阵、初等变换以及初等矩阵等。
其中06、09、11、12年均考查的是初等变换与矩阵乘法之间的相互转化，10年考查的是矩阵的秩，08年考的那么是抽象矩阵求逆的问题，这几年考查的形式为小题，而13年的两道大题均考查到了本章的知识点，第一道题目涉及到矩阵的运算，第二道大题那么用到了矩阵的秩的相关性质。
14的第一道大题的第二问延续了13年第一道大题的思路，考查的仍然是矩阵乘法与线性方程组结合的知识，但是除了这些还涉及到了矩阵的分块。
16年只有数二了矩阵等价的判断确定参数。
第三章向量本章是线代里面的重点也是难点，抽象、概念与性质结论比较多。
重要的概念有向量的线性表出、向量组等价、线性相关与线性无关、极大线性无关组等。
复习的时候要注意构造和从不同角度理解。
行列式相关考研题库
行列式相关考研题库行列式是线性代数中的重要概念，也是考研数学中常见的题型。
在考研数学中，行列式相关的题目占据了相当大的比重，掌握好行列式的性质和计算方法对于考研数学的高分是至关重要的。
首先，我们来了解一下什么是行列式。
行列式是一个方阵所对应的一个数，它是由方阵中各个元素按照一定的规律组合而成的。
行列式的计算方法有多种，其中最常见的是按照拉普拉斯展开定理进行计算。
拉普拉斯展开定理是指，将一个方阵的行或列展开成一系列代数余子式的乘积，再进行求和，最终得到行列式的值。
在考研数学中，行列式相关的题目主要包括行列式的计算、性质和应用等方面。
在行列式的计算中，我们需要掌握行列式的基本性质和计算方法。
例如，行列式的转置与原行列式相等，行列式的行（列）互换改变行列式的符号，行列式中某一行（列）乘以一个常数等于行列式乘以这个常数等等。
此外，我们还需要熟练掌握行列式的按行（列）展开法、三角形法则和行列式的性质等计算方法。
除了行列式的计算，行列式的性质也是考研数学中的重点。
行列式的性质包括可交换性、可加性、可乘性等。
可交换性指的是行列式中的行（列）可以互相交换位置而不改变行列式的值。
可加性指的是行列式中的某一行（列）可以表示为其他行（列）的线性组合。
可乘性指的是行列式中的某一行（列）可以表示为其他行（列）的乘积。
掌握了这些性质，我们可以更加灵活地进行行列式的计算和推导。
行列式在数学中有着广泛的应用。
在线性代数中，行列式可以用来求解线性方程组的解、计算矩阵的逆、判断矩阵的秩等。
在几何学中，行列式可以用来计算向量的叉乘和面积、体积等。
在概率统计中，行列式可以用来计算多元正态分布的概率密度函数等。
行列式的应用领域非常广泛，掌握好行列式的相关知识和计算方法对于数学学科的深入理解和应用都具有重要意义。
在考研数学中，行列式相关的题目有时会涉及到一些技巧和方法。
例如，通过行列式的性质和计算方法，我们可以通过简单的变形将复杂的行列式化简为简单的形式。