[高中数学课件]球的性质
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人教版高中数学课件-球的体积和表面积
例 3：已知長方體中，有一個公共頂點的三個面面積分別為 3， 5， 15，則長方體的體積為____________；外接球的體積 為__________；對角線的長為____________．
思維突破：球是長方體的外接球，從而長方體的對角線是
外接球的直徑．
可设长方体同一个公共顶点的三条棱分别为 a、b、c，
ab＝ 3 有ac＝ 5
bc＝ 15
，有(abc)2＝15，
高中数学人教版必修2课件
所以 V＝abc＝ 15.
c＝ 5 b＝ 3 ， a＝1
所以对角线长为 12＋ 32＋ 52＝ 9＝3. 外接球的半径为32， 外接球的体积为43×π×323＝92π. 答案： 15 92π 3
高中数学人教版必修2课件
高中数学人教版必修2课件
思維突破：(1)球的表面積增大為原來的 4 倍，即半徑增大 為原來的 2 倍，所以體積增大為原來的 8 倍．
(2)設三個球的半徑分別為 r、2r、3r， 所以34πr433＋π×43π3×r32r3＝3.
(3)大球的体积是43π×33＋43π×43＋43π×53＝43π×216，所以
圖3 解析：设球半径为 r，则由 3V 球＋V 水＝V 柱可得 3×43πr3＋ πr2×8＝πr2×6r，解得 r＝4.
大球的半徑 R 滿足 R3＝216，即 R＝6. 答案：(1)8 (2)3 (3)6
高中数学人教版必修2课件
1－1.直徑為 10 cm 的一個大金屬球，熔化後鑄成若干個直 徑為 2 cm 的小球，如果不計損耗，可鑄成這樣的小球的個數為
( D) A．5
B．15
C．25
D．125
高中数学人教版必修2课件
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人教版高中数学- 球的体积和表面积(共32张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
高中数学 球的概念
B
二、球的截面
R C A r
d D B
性质：1.球心和截面圆心的连线垂直于截面； 2.球心到截面的距离d与球的半径R以及截面圆半径 r 有下面关系： R 2 = r 2 + d 2； 3.与球心距离相等的截面所截得的圆相等。距球心越近，截面圆越大。
三、球的大圆和小圆
d
o
大圆：球面被经过球心的平面所截得的圆 叫做大圆。（d=0 ） 小圆：球面被不经过球心的截面所截得的
2、已知球面上两点A与B的球面距离为5 cm，过这两点的 两条球半径的夹角为AOB=50o，则这个球的半径为______. 18cm 3、过半径为6cm的球的一条半径的中点作一个垂直于该半径
的平面，所得的截面面积为____________. 27 cm2
4、正方体的8个顶点在半径为1的球面上，则此正方体的棱 长为____________. 5、A、B是半径为R的球面上的两点，它们的球面距离为R/2， 则过A，B的平面中，与球心的最大距离为_______.
圆叫做小圆。（0dR ）
（附：当d=R时，平面与球相切）
练习：如果把地球看作是一个球体，请你说出由经纬线所构成的大圆有哪些？
四、球面距离
P O Q
练习： 1、判断正误：（对的打√，错的打×） （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球。 （2）经过球面上不同的两点只能作一个大圆。 （3）球半径是5，截面圆半径为3，则球心到截面 所在平面的距离为4。 （√ ） （4）球的任意两个大圆的交点连线是球的直径。（√） ） × （ ） × （
球
一、球的概念：
1、球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面。
（另一定义：与一定点的距离等于一定值的点的集合叫做球面。）
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
高中数学球的性质一球的截面的性质
类比
2、垂直于弦的 直径平分弦
Rd
A
B
类比 2、球心与截面 圆心的连线垂直 于圆面
OO’ ⊥圆面O’
O
圆心与弦中点的
连线垂直于弦
O’
O
R
d
Mr
O’
d2r2R2
d2r2R2
在半径为5cm的球内有一个截面,球心到该截 面的距离为3cm,则该截面的面积为
O/ 4
35
O
例1
球的表面积是676 ，球内有两个 平行截面的面积分别是25、144, 求两截面距离
球的截面的性质
球的概念
以半圆的直径所在直 线为旋转轴,半圆面旋转 一周形成的几何体.
半径 O
球心
球面上的点到球心的距离等于半径
类比
1、一条直线与 圆相交，在圆内 的部分是
一条线段——弦
类比 1、用一个平面去 截球，截面是 ？圆面想一 NhomakorabeaA
B
想 ？
1、截面过球心——大圆 其半径等于球半径
2、截面不过球心——小圆
O
13
O1
13
12
A
5 O2 B
O1 12
A
O 13
13
5 O2 B
例2：在半径为13的球面上有A、B、C三点，其 中AB=6，BC=8，,AC=10，则经过这三点的截 面和球心的距离为
O
13
A6
O1 0 8
C
B
三棱锥P—ABC的四个顶点都在同一个球面上，三棱锥 的高等于球半径的 3 ，且AB=BC=CA=２cm，求球的
体积，表面积． 2
P
A
R r
O
1 2
R
基本立体图形圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体(课件)-高一数学(人教A版2019必修第二册)
以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成 的旋转体叫做圆台.
上底面
侧面
母线
下底面
圆柱、圆锥、圆台的性质
1、底面都是圆 并且平行于底面的截面都是 圆
２、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面（轴截面） 分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形
7．球
如图8.1-13，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 面，球面所围成的旋转体叫做球体（solid sphere），简称球．半圆的圆心叫 做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上 两点并且经过球心的线段叫做球的直径．球常用表示球心的字母来表示，如 图8.1-13中的球记作球O．
（2）错误，反例如图
A
B
C
D
8.如图,长方体ABCD ABCD中被截去一部分,其中EH //AD.剩下的 几何体是什么? 截去的几何体是什么? 你能说出它们的名称吗?
剩下的几何体是棱柱，截去 的几何体也是棱柱；他们分 别是五棱柱和三棱柱。
D
H
C
A
E
B G
D
FC
A
B
9．如图，以平行四边形ABCD的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周 形成的面围成一个几何体．画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何 体及有关的结构特征．
O 图8.1-13
半径 直径 球心
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体．其中棱柱 与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为椎体，棱台和圆台统称为台体．
圆柱与棱柱统 称为柱体。
圆台与棱台统 称为台体。
圆锥与棱锥统 称为锥体。
探究 棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底 面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥与圆台呢？
上底面
侧面
母线
下底面
圆柱、圆锥、圆台的性质
1、底面都是圆 并且平行于底面的截面都是 圆
２、圆柱、圆锥、圆台过轴的截面（轴截面） 分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形
7．球
如图8.1-13，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球 面，球面所围成的旋转体叫做球体（solid sphere），简称球．半圆的圆心叫 做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上 两点并且经过球心的线段叫做球的直径．球常用表示球心的字母来表示，如 图8.1-13中的球记作球O．
（2）错误，反例如图
A
B
C
D
8.如图,长方体ABCD ABCD中被截去一部分,其中EH //AD.剩下的 几何体是什么? 截去的几何体是什么? 你能说出它们的名称吗?
剩下的几何体是棱柱，截去 的几何体也是棱柱；他们分 别是五棱柱和三棱柱。
D
H
C
A
E
B G
D
FC
A
B
9．如图，以平行四边形ABCD的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周 形成的面围成一个几何体．画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何 体及有关的结构特征．
O 图8.1-13
半径 直径 球心
棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台和球是常见的简单几何体．其中棱柱 与圆柱统称为柱体，棱锥与圆锥统称为椎体，棱台和圆台统称为台体．
圆柱与棱柱统 称为柱体。
圆台与棱台统 称为台体。
圆锥与棱锥统 称为锥体。
探究 棱柱、棱锥与棱台都是多面体，它们在结构上有哪些相同点和不同点？当底 面发生变化时，它们能否互相转化？圆柱、圆锥与圆台呢？
球的性质-高中数学知识点讲解
球的性质
1．球的性质
【知识点的知识】
1、球的定义：
（1）球的旋转定义：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面．球面所围成的几何体叫做球体．（2）球的集合定义：空间中，与定点（球心）的距离等于或小于定长（半径）的点的集合叫做球体，简称球．2、球的相关概念：
（1）球心：半圆的圆心叫做球心．
（2）连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径．
（3）连结球面上两点并经过球心的线段叫做球的直径．
（4）球的体积：V 球=4
3πR3．
（5）球的表面积：4πR2．
3、球的截面及其性质：
（1）截面的定义：用一个平面去截一个球，截面是圆面．
（2）球的截面的性质：
①球心和截面圆心的连线垂直于该截面；
②球心到截面的距离d 与球的半径R，小圆半径r 有下面的关系：d =푅2―푟2．
（3）大圆和小圆：
①球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆．
②球面被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
4、两点间的球面距离：
球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度．即：球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间的劣弧的长度．
1/ 1。
高中数学《球的体积与表面积》PPT教学课件
梯 形
S 1 (a b)h 2
复习:柱体、锥体、与台体的体积
1、柱体的体积公式:
V柱体＝Sh (其中S为底面积，h为高)
2、锥体的体积公式：
1 V锥体＝3 Sh (其中S为底面积，h为高)
3、台体的体积公式：
V台体
1 3
(S
'
S'S S)h
（其中 S ' ，S分别为上、下底面面积，h为台体的高）
面积。
D
C
略 解 ：RtB1D1D中 :
(2R)2 a 2 ( 2a)2 , 得
R 3a 2
S 4R2 3a 2
A
B
D1 A1
若改成边长为3，4 ，5的长方体。
变题2：若体积呢？
D1 A1
O C1
B1
练习:半球内有一正方体，正方体的一个面在
S1:S2=R12:R22.
例题讲解
例1.钢球直径是5cm,求它的体积.
V 4 R3 4 ( 5 )3 125 cm 3
3
32
6
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外 径是5cm,求它的内径.(钢的密度是 7.9g/cm2)
例题讲解
(变式1)一种空心钢球的质量是142g,外径是 5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)
球的体积和表面积
复习: 1、多面体的表面积是如何求的？ 2、圆柱、圆锥、与圆台的侧面积
空间体侧面展开图
空间体的侧面积
S侧 2r l
2rl
S侧
1 2
2r
l
rl
平面图形面积
S ab
球的表面积和体积(第2课时) 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
A.64
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
新教材2023版高中数学北师大版必修第二册：球的表面积和体积课件
跟踪训练 1 圆柱形容器的内壁底面半径为 5 cm，两个直径为 5 cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水 面将下降多少？
解析：设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两个小球的体积为 V 球 ＝2×43π×523＝1235π，此体积即等于它们在容器中排出水的体积 V＝ π×52×h，
要点三 球的体积和表面积公式 V 球＝___34_π_R_3__，S 球面＝___4_π_R_2__.
状元随笔 两个结论
(1)两个球的体积之比等于这两个球的半径之比的立方． (2)两个球的表面积之比等于这两个球的半径之比的平方．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)用一个平面去截球所得截面都是圆．( √ ) (2)正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等．( √ ) (3)正方体的外接球的直径与正方体的棱长相等．( × ) (4)球面展开一定是平面的圆面．( × )
解析：(1)将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球时，球的 直径等于正方体的棱长 2，则球的半径 R＝1.
∴V 球＝34πR3＝43π. 答案： A
(2)一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱 的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为________．
解析：长方体外接球如图，长方体的体对角面是矩形，该矩形的对角线 就是球的直径，此对角线也是长方体的体对角线，长方体的体对角线长为
状元随笔 (1)解决有关球的问题的关键是确定球心的位置和球
的半径，一般作出球的一个大圆来处理问题． (2)大圆半径等于球的半径 R，大圆面积 S＝πR2，是球的表面积的
1 4.
(3)利用球的半径、截面的半径、球心与截面圆心的连线构建直角 三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径．
高中数学：.2《球的表面积和体积》【新人教A版必修2】PPT完美课件
回忆球的体积公式的推导方法, 得到启发， 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公 式．
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
球的表面积
第 一 步： 分 割
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆形
p A3 A1 A2
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
球的表面积
第 一 步： 分 割
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
高中数学：.2《球的表面积和体积》 【新人 教A版必 修2】P PT完美 课件
•
1应该认识到，阅读是学校教育的重要 组成部 分，一 个孩子 如果在 十多年 的教育 历程中 没有养 成阅读 的习惯 、兴趣 和能力 ，一旦 离开校 园，很 可能把 书永远 丢弃在 一边， 这样的 结果一 定是我 们所有 的教育 工作者 不想看 到的。
•
10保尔身上的人格特征或完美的精神 操守： 自我献 身的精 神、坚 定不移 的信念 、顽强 坚韧的 意志
•
11把记叙、描写、抒情和议论有机地 融合为 一体， 充满诗 情画意 。如描 写百草 园的景 致，绘 声绘色 ，令人 神往。
•
12简·爱人生追求有两个基本旋律：富 有激情 、幻想 、反抗 和坚持 不懈的 精神； 对人间 自由幸 福的渴 望和对 更高精 神境界 的追求 。
温故知新
回顾圆面积公式的推导
n=6
O
假设将圆n等分，则
A1
n=12 An
A2 S 正多 S A 1 O 边 2 A S 形 A 2 O 3 A S A n O 1
1 2p(A 1A2A2A3 AnA 1) 1
2 pC正多边形
O
当 n 时 p ， R ,C 正多 边 C 圆形
p A3 A1 A2
第六章6.3球的表面积和体积-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件2
盖”.它也是我国古代数学家刘徽发现的一种用于计算球体体积的
方式,他本希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误,虽
然最终并没有实现,但是这个发现有着重要的意义.二百多年后,中
国伟大数学家袓冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的想法,利用了
“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题.“牟合方盖”的提出,
充分体现了古人丰富的想象能力,以及为解决问题建立模型的智慧.
2
2
4π
-4π
= 48π,
(2)设两个球的半径分别为 R,r(R>r),则由题意得
+ = 6,
( + )(-) = 12,
即
+ = 6,
= 4,
整理,得 - = 2, 解得
故两球的体积之差的绝对值为
= 2.
+ = 6,
4
3
4
4
3
3
π×43- π × 23 =
答案B
微练习2
把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
(
)
A.R
B.2R C.3R D.4R
4
2
解析设圆柱的高为h,则πR h=3×3 πR3,得h=4R.
答案D
课堂篇探究学习
探究一
探究二
当堂检测
球的表面积与体积
例1(1)已知球的表面积是16π,则该球的体积为
.
(2)一个正方体的外接球、此正方体及正方体的内切球的表面积之
4
4
所以球的体积为3πR =3π.
4π
答案 3
3
课堂篇探究学习
探究一
探究二
当堂检测
4.若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的
方式,他本希望用牟合方盖来证实《九章算术》的公式有错误,虽
然最终并没有实现,但是这个发现有着重要的意义.二百多年后,中
国伟大数学家袓冲之和他的儿子祖暅继承了刘徽的想法,利用了
“牟合方盖”彻底地解决了球体体积公式的问题.“牟合方盖”的提出,
充分体现了古人丰富的想象能力,以及为解决问题建立模型的智慧.
2
2
4π
-4π
= 48π,
(2)设两个球的半径分别为 R,r(R>r),则由题意得
+ = 6,
( + )(-) = 12,
即
+ = 6,
= 4,
整理,得 - = 2, 解得
故两球的体积之差的绝对值为
= 2.
+ = 6,
4
3
4
4
3
3
π×43- π × 23 =
答案B
微练习2
把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱,则圆柱的高为
(
)
A.R
B.2R C.3R D.4R
4
2
解析设圆柱的高为h,则πR h=3×3 πR3,得h=4R.
答案D
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探究一
探究二
当堂检测
球的表面积与体积
例1(1)已知球的表面积是16π,则该球的体积为
.
(2)一个正方体的外接球、此正方体及正方体的内切球的表面积之
4
4
所以球的体积为3πR =3π.
4π
答案 3
3
课堂篇探究学习
探究一
探究二
当堂检测
4.若球的半径由R增加为2R,则这个球的体积变为原来的
高中数学第一章立体几何初步3球课件高一数学课件
【思路分析】 因为球取出前后，水的体积是相同的，所以 可以利用水的体积的不变性求解．
12/7/2021
第二十九页，共四十一页。
【精解详析】 设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两
个小球的体积为 V 两球＝2×43π×(52)3＝1235π(cm3)，此体积等于取
出这两个小球后水面下降的体积
V
＝
比是( B )
A．2 3
B．4 9
C. 2 3
D. 8 27
解析：体积之比是 8 27，则半径之比是 2 3，表面积之 比是 4 9.
12/7/2021
第十六页，共四十一页。
类型二 与球有关的组合体的表面积与体积 【例 2】 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r) 组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所 示．若该几何体的表面积为 16＋20π，则 r＝( B )
12/7/2021
第二十四页，共四十一页。
规律方法 多面体之间或多面体与球之间的切接关系，是一 种空间简单几何体之间的位置关系．处理这类问题时，一般可以 采用两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关 系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这 里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法．
12/7/2021
第二十五页，共四十一页。
长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6，这个长方体的顶
点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( C )
7 A.2π
B．56π
C．14π
D．64π
12/7/2021
第二十六页，共四十一页。
解析：设此长方体有公共顶点的三条棱的长分别为 x，y，z，
xy＝2， 则 由 已 知 条 件 ， 得 yz＝3，
12/7/2021
第二十九页，共四十一页。
【精解详析】 设取出小球后，容器中水面下降 h cm，两
个小球的体积为 V 两球＝2×43π×(52)3＝1235π(cm3)，此体积等于取
出这两个小球后水面下降的体积
V
＝
比是( B )
A．2 3
B．4 9
C. 2 3
D. 8 27
解析：体积之比是 8 27，则半径之比是 2 3，表面积之 比是 4 9.
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第十六页，共四十一页。
类型二 与球有关的组合体的表面积与体积 【例 2】 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r) 组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所 示．若该几何体的表面积为 16＋20π，则 r＝( B )
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规律方法 多面体之间或多面体与球之间的切接关系，是一 种空间简单几何体之间的位置关系．处理这类问题时，一般可以 采用两种转化方法：一是转化为平面图形之间的内切或外接关 系；二是利用分割的方式进行转化，使运算和推理变得简单，这 里体现的转化思想是立体几何中非常重要的思想方法．
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长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6，这个长方体的顶
点都在同一个球面上，则这个球的表面积为( C )
7 A.2π
B．56π
C．14π
D．64π
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第二十六页，共四十一页。
解析：设此长方体有公共顶点的三条棱的长分别为 x，y，z，
xy＝2， 则 由 已 知 条 件 ， 得 yz＝3，
名师高中数学人教A版必修球的表面积和体积完整版课件
(2)球与正方体各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的 对角面得截面，如图②，所以有 2r2＝ 2a，r2＝ 22a，所以 S2＝4πr22＝ 2πa2.
(3)正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截 面，如图③，所以有 2r3＝ 3a，r3＝ 23a，所以 S3＝4πr32＝3πa2.
素养目标
1．记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积．(重点) 2．能解决与球有关的组合体的计算问题.
学科素养
1．空间想象； 2．截切意识； 3．挖掘条件
探究归纳 1 球的表面积和体积
【例 1】已知球的表面积为 64π，求它的体积； 解：∵S 球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，∴R＝4， ∴V 球＝34πR3＝43π×43＝2356π.
谢谢观看
以 V 球＝34πR3＝5300π(cm3)．
4．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的
三条棱的长分别为 1,2,3，则此球的表面积为
．
14π 解析：由题意可知长方体的体对角线长为
12＋22＋32＝ 14，∴长方体外接球的半径为 214，
∴球的表面积
S＝4π·
2142＝14π.
第二阶段 课堂探究评价
1．平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的
距离为 2，则此球的体积为( )
A． 6π
B．4 3π
C．4 6π
D．6 3π
B 解析：设其斜高为 h，则
h＝ 32－12＝ 2，
所以其表面积 S＝22＋4×12×2× 2＝4＋4 2.
2．若一个球的表面积与其体积在数值上相等，则此球的半径为 3.
探究题 4 有三个球，第一个球内切于正方体的六个面，第二个 球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点， 求这三个球的表面积．
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天马行空官方博客： /tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632
O R
C
Rd C
A
r
DB
练习： 1）判断正误：（对的打√，错的打×）
× （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲
面叫球。（ ） 天马行空官方博客： /tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632 × （2）在空间，到定点的距离等于定长
的所有点的集合叫球。（ ）
（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂
√ 直于这个小圆所在平面。（ ）
× （4）经过球面上不同的两点只能作一
个大圆。（ ）
√ （5）球半径是5，截面圆半径为3，则
球心到截面圆所在平面的距离为4。（ ）
2）在球的性质中，若将“球”改为“圆”， 将“截面”改为“弦”，你能将球的上述性 质变为平面几何中圆的类似性质吗？
C =2π·AK
= 2π·OAcosOAK
A
K
≈2×3.142×6370×0.7660 B 40° O
=3.066×104（km）
答：北纬40°纬线的长度3.066×104km
练习： 1）填空 （1）设球的半径为R，则过球面上任 意两点的截面圆中，最大面积是 。 （2）球的半径为R，若过其半径的中
3
点，作一个垂直于这2 条半径的截面， 则这截面圆的半径是 。 2）在半径为R的球面上有A、B两点 ，半径OA、OB的夹角是n°（n＜ 180)，求A、B两点的球面距离。
A
B
n° O
小结：
1.半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫 做球面。球面所围成的几何体叫做球体。
2.以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不 经过球心的平面截球面，截面圆叫小圆。
结束 谢谢观赏！
3.球心和截面圆心的连线垂直于截面，截面圆半 径与球心到截面的距离的平方和等于球半径的 平方。
4.把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极 到南极的半个大圆。赤道是一个大圆，其余的 纬线都是小圆。
5.球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度。
思考题：
地球半径为R，A、B是北纬 45°纬 线圈上两点，它们的经度差是90°，求 A、B两地的球面距离。
O
A
C
B
D
纬线
0° 经线
北极
北纬40°
60°
90°
南极
赤道
O1
A我国首都北京靠近北纬40度。 求北纬40度纬线的长度约为多少千 米（地球半径约为6370千米）。
A
K
B
40°
O
解：如图，A是北纬40°纬线圈上一点，AK是它
的 半径，所以OK⊥AK。设c是北纬40°纬线 长，因为∠AOB=∠OAK=40°，所以
O R
C
Rd C
A
r
DB
练习： 1）判断正误：（对的打√，错的打×）
× （1）半圆以其直径为轴旋转所成的曲
面叫球。（ ） 天马行空官方博客： /tmxk_docin ； QQ:1318241189；QQ群：175569632 × （2）在空间，到定点的距离等于定长
的所有点的集合叫球。（ ）
（3）球的小圆的圆心与球心的连线垂
√ 直于这个小圆所在平面。（ ）
× （4）经过球面上不同的两点只能作一
个大圆。（ ）
√ （5）球半径是5，截面圆半径为3，则
球心到截面圆所在平面的距离为4。（ ）
2）在球的性质中，若将“球”改为“圆”， 将“截面”改为“弦”，你能将球的上述性 质变为平面几何中圆的类似性质吗？
C =2π·AK
= 2π·OAcosOAK
A
K
≈2×3.142×6370×0.7660 B 40° O
=3.066×104（km）
答：北纬40°纬线的长度3.066×104km
练习： 1）填空 （1）设球的半径为R，则过球面上任 意两点的截面圆中，最大面积是 。 （2）球的半径为R，若过其半径的中
3
点，作一个垂直于这2 条半径的截面， 则这截面圆的半径是 。 2）在半径为R的球面上有A、B两点 ，半径OA、OB的夹角是n°（n＜ 180)，求A、B两点的球面距离。
A
B
n° O
小结：
1.半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫 做球面。球面所围成的几何体叫做球体。
2.以过球心的平面截球面，截面圆叫大圆。以不 经过球心的平面截球面，截面圆叫小圆。
结束 谢谢观赏！
3.球心和截面圆心的连线垂直于截面，截面圆半 径与球心到截面的距离的平方和等于球半径的 平方。
4.把地球看作一个球时，经线就是球面上从北极 到南极的半个大圆。赤道是一个大圆，其余的 纬线都是小圆。
5.球面距离是球面上过两点的大圆在这两点之间 的劣弧的长度。
思考题：
地球半径为R，A、B是北纬 45°纬 线圈上两点，它们的经度差是90°，求 A、B两地的球面距离。
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A
C
B
D
纬线
0° 经线
北极
北纬40°
60°
90°
南极
赤道
O1
A我国首都北京靠近北纬40度。 求北纬40度纬线的长度约为多少千 米（地球半径约为6370千米）。
A
K
B
40°
O
解：如图，A是北纬40°纬线圈上一点，AK是它
的 半径，所以OK⊥AK。设c是北纬40°纬线 长，因为∠AOB=∠OAK=40°，所以