2021届高三上学期文科周末练测试(二)

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2021 届高三上学期周末练测试（二）
数学试题※文科
时间：120 分钟 满分：150 分
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）
1.
已知集合 A = {x | log x ≤ 1} ， B = {x | 1
> 1} ，则
A (ð
B ) = （ ） A ． (-∞, 2]
2 B ． (0,1] x C ． [1, 2] R
D ． (2, +∞)
2. 已知函数 f
(x +1)的定义域为[-2,1]，则函数 g ( x ) =
（
）
A ．
[1, 4] B ．
[0, 3] 1
x - 2
+ f ( x - 2) 的定义域为
C ．
[1, 2) ⋃ (2, 4] D ．
[1, 2) ⋃ (2,3]
3. 函数 f (x ) = (4
x
- 4- x ) log x 2
的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12 13 4．已知
a = log 12 13 ,
b = ( )14 ，
c = log 13 14 ，则 a , b , c 的大小关系为（ ）
13
A. a > b > c
B. c > a > b
C. b > c > a
D. a > c > b
5. “ x < 2 ”是“
lg x < lg 2 ”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分又不必要
6．已知集合 A = {y | y = x + 1
, x ≠ 0} ，集合 B = {
x | x 2
- 4 ≤ 0}
，若 A B = P ，则集合
x
P 的子集个数为（
）
2 2 f (ln ) | ⎨ln x A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
7. 若函数 f ( x ) = (m 2 - 6m + 9) x m
2
-3m +1
是幂函数且为单调函数，则
m 的值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．2 或 4 8. 已知函数 f (x ) = x +
9
x +1
(0 ≤ x ≤ 3) ，则 f (x ) 的值域为（ ）
A ．
[5, 9] B ．[5, 21] 4
C ．
[ 21, 9] 4 D ．
[6,10] 9. 已知函数 f （x ）=sin x ﹣x ，则不等式 f （x +2）+f （1﹣2 x ）＜0 的解集是（
）
A ．
(-∞, - 1
) 3
B ． (- 1
, +∞) 3
C ．（3，+∞）
D ．（﹣∞，3）
10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且在区间[0 , + ∞) 上单调递增，若
|f (ln x ) -1
x >
2 f (1)
，则
x 的取值范围是（ ）
A ．
（- ∞ 1
B ．（e , + ∞)
C ．
（1 , e )
D ．
（ 1
（e , + ∞) , ) e
e
⎧ x
, x ≤ 0 0 , ) e
11.
已知函数 f (x ) = ⎪ x -1
⎪ , x > 0
，若关于 x 的方程 f ( x ) = a 又有且只有一个实数根，则 ⎩⎪ x
实数
a 的取值范围为（ ）
1
1
1 1 A ．
(-∞, 0] ( ,1) e
B ．
(-∞, 0) ( ,1) e
C ． ( e
,1) D ． [0, )
e
12. 在平面直角坐标系中，定义两点 P (x 1 , y 1 ) 与Q (x 2 , y 2 ) 之间的“直角距离”为
d (P ,Q ) = x 1 - x 2 + y 1 - y 2 ．给出下列命题：
（1）若
P (1, 2) ， Q (sin α, c os α) (α∈ R ) ，则 d (P ,Q ) 的最大值为3 - ；
（2） 若 P , Q 是圆 x
2
+ y 2 = 1 上的任意两点，则 d (P ,Q ) 的最大值为 2 ；
（3） 若 P (1, 3) ，点Q 为直线 y = 2x 上的动点，则 d (P ,Q ) 的最小值为 1
．
2
其中为真命题的是（ ）
⎨ 1 A ．（1）（2）（3）
B ．（2）
C ．（3）
D ．（2）（3）
二.填空题（本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.）
13.
已知幂函数 y = x a
的图象经过点(4, 2
) ，则实数α的值是 .
4
14. 已知函数
f ( x ) 是定义 R 上的减函数，如果 f (a ) > f (
x +1) 在 x ∈[1, 2]上恒成立， 那么实数 a 的取值范围是
.
15．定义在[-2a + 3, a ]上的偶函数 f ( x ) ，当 x ∈[0, a ] 时， f (
x ) = log a (2x + 3) ，则 f ( x )
的值域为
．
⎧ lg x , 0＜x ≤10
16．已知函数 f ( x ) = ⎪ - x + 6, x ＞10
, 若 a , b , c 互不相等，且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，则 abc ⎩⎪ 2
的取值范围是 ．
三.解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
a 3 + a -3
17．（1）已知 a +a －1
＝3，求 a 4 - a
-4 的值；
(lg 5)2
+ lg 2 ⨯lg 50 （2）化简计算： (lg 2)3
+ 3lg 2 ⨯lg 5 + (lg 5)3 ．
18．已知 p ：2x 2﹣3x +1≤0，q ：x 2﹣（2a +1）x +a （a +1）≤0
（1） 若 a =，且 p ∧q 为真，求实数 x 的取值范围． （2） 若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．
19．已知函数 f (
x ) = a ⋅ 2x +1
- 1
2x
+1.
（1） 当 a = - 1
时，求函数 f
( x ) 在 x ∈[-1,1]上的值域；
2
（2）
若函数 f ( x ) 在实数集 R 上存在零点，求实数 a 的取值范围.
⎨
⎩
α 1 20. 已知函数 f
( x ) 是定义在[-3, 3]上的奇函数，
且当 x ∈[0, 3]时， f (
x ) = x 2
- 2x . （1）当 x ∈[-3, 0] 时，求 f ( x ) 的解析式；
（2）在上图直角坐标系中画出 f (
x ) 的图像，并且根据图像回答下列问题（直接写出结
果）.① f (
x ) 的单调增区间；
②若方程 f (x ) = m 有三个不等实根，实数 m 的取值范围．
21. 已知某企业生产某种产品的年固定成本为 200 万元，且每生产 1 吨该产品需另投入 12
万元，现假设该企业在一年内共生产该产品 x 吨并全部销售完.每吨的销售收入为 R ( x ) 万
⎧
112 - 1 x 2 , 0 < x ≤ 15 元，且 R ( x ) = ⎪
3 （. 1）求该企业年总利润 y （万元）关于年产量
x （吨） ⎪10800 - 9570 , x > 15 ⎩⎪ x +1 x
的函数关系式；（2）当年产量为多少吨时，该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大？
（二）选考题：共 10 分。

请考生在第 22、23 题中任选一题作答。

如果不选或者多做，则
按所做的第一题计分。

22. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的参数方程为
⎧x = 2 + cos α
α为参数），直线C
1
⎨
y = 2 + sin （ 2
的方程为 y = 3x 以坐标原点O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C , C 的极坐标方程；（2）若直线C 与曲线C 交于 A ,
B 两点，求 + 1
. 1 2 2 1
23．设函数 f (x ) =| x + 1| .
（1） 求不等式 f (x ) ≤ 5 - f (x - 3) 的解集；
（2） 已知关于 x 的不等式2 f (x )+ | x + a |≤ x + 4 在[-1,1] 上有解，求实数 a 的取值范围.
OA OB
2 莲塘一中 2021 届高三上学期专题练（六）
数学答案※文科
1．C
2．C 3．B
4．D 5．B
6．B
7．C 8．A
9．D
10． D
11． B 【详解】关于 x 的方程 f ( x ) = a 又有且只有一个实数根等价于函数 y = f ( x ) 的图
象与直线 y = a 只有一个交点，①当 x ≤ 0 时，
f ( x ) = x
x - 1 = 1+
1 ， x -1
②当 x > 0 时，f ( x ) = ln x ，得：f '( x ) = 1- ln x
，
x x 2
当0 < x < e 时， f '( x ) > 0 ， 当 x > e 时， f '(
x ) < 0 ， 即 f ( x ) 在(0, e ) 为增函数，在(e , +∞) 为减函数，
f ( x )
max
f (e ) = 1
， e
综合①②得： y = f (
x ) 的图象与直线 y = a 的位置如图所示：由图可知函数 y = f ( x ) 的 图象与直线 y = a 只有一个交点时实数 a 的取值范围为 a < 0 或 1
< a < 1 ，
e
12． D 【详解】对于（1），
d (P , Q ) = 1- sin α + 2 - cos α = 3 - 2 sin ⎛α+ π⎫
，
4 ⎪ ⎝ ⎭
α∈ R ,∴ d (P , Q ) 的最大值为3 + ，故（1）不正确．
对于（2），要使
d (P ,Q ) 最大，必有 P , Q 两点是圆上关于原点对称的两点，可设
P ⎛ 2 , 2 ⎫ Q ⎛ - 2 , 2 ⎫
，则 d (P , Q ) = 2
．故（2）正确；
2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
对于（3），设Q (x , 2x ) ，则
d (P , Q ) = x -1 + 2x - 3 ，去掉绝对值后可知当 x = 3
时， 0
2
d (P ,Q ) 取得最小值 1
，故（3）正确．故选 D. 2
13．【答案】 - 3
4
14．【答案】 (-∞, 2)
15．【答案】 [1, 2]
16．（10，12）【详解】
2
=
2 2 t ⎢⎣ ⎝ ⎭
不妨设 a <b <c ，作出 f (x )的图象，如图所示：
由图象可知 0<a <1<b <10<c <12，由 f (a )=f (b )得|lg a |=|lg b |，即−lg a =lg b ，
∴lg ab =0，则 ab =1，∴abc =c ，
∴abc 的取值范围是(10,12)，
17．【答案】（I ）
± 6 5 （II ）1
35
18．【答案】（1）
；（2）
．
19．【详解】（1）当 a = - 1 时， f ( x ) = -2x - 1
+ 1 = - ⎛ 2x + 1 ⎫ + 1 ，
2 2x 2x ⎪
设t = 2x ， x ∈[
-1,1]，则t ∈ ⎡ 1 , 2⎤ ，∴
⎝ ⎭
g (t ) = -⎛ t + 1 ⎫ +1在⎡ 1 ,1⎤ 递增，在[1, 2] 递减，
⎢⎣ 2 ⎥⎦ t ⎪ ⎢⎣ 2 ⎥⎦
⎝ ⎭
且 g (1) = -1， g (2) = g ⎛ 1 ⎫ = - 3 ，∴ t + 1 ∈ ⎡2, 5 ⎤ ，即 f ( x ) ∈ ⎡- 3 , -1⎤
； ⎪ 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 ⎥⎦
（2） f ( x ) = a ⋅ 2
x +1
- 1
2x
+1 = 0 ，即2a ⋅ (2x )2 + 2x -1 = 0 ，
令2x = t ，所以2a ⋅ t 2 + t -1 = 0 (*) 有正根，设(*) 的两根为t 1 , t 2 当 a < 0 时，满足∆ ≥ 0 即可，即1 + 8a ≥ 0 ，解得- 1
≤ a < 0 ；
8
当 a = 0 时， t =1符合；
⎪ 3
⎪ - + ⎫ ⎭
当 a > 0 时，且∆ = 1+ 8a > 0 ， (*) 恒过
(0, -1) ，满足t 1 ⋅t 2
= - 1 2a
< 0 ，∴显然符合
题意，
综上：实数 a 的取值范围⎡- 1 , +∞ ⎫
⎣⎢ 8 ⎪
20．【详解】
（1）当 x ∈[-3, 0] 时， f ( x ) = -x 2
- 2x ；
（2）如图所示：
① f ( x ) 的单调增区间[-3, -1],[1,3]；
②若方程 f (
x ) = m 有三个不等实根，实数 m 的取值范围(-1,1) .
⎧
1 3 100x - x 21．【详解】（1）由题意 y = xR ( x ) -(200 +12x ) = ⎪ - 200, 0 < x ≤ 15
. ⎨
⎛ 10800 1030 12x ⎪, x > 15 ⎩⎪
⎝ x +1 ⎭ （2）当0 < x ≤ 15 时， y = 100x - 1 x 3
- 200 ， y ' = 100 - x 2 ，
3
∵ x ∈(0,10) 时， y ' > 0 ， x ∈(10,15]时， y ' < 0 ， ∴函数在(0,10) 递增，在(10,15)递减， ∴当且仅当 x = 10 时， y 有最大值
1400 ；
3
当 x > 15 时， y = 1030 - ⎛ 10800 +12x ⎫
，
x +1 ⎪ ⎝
⎭
∵ 10800 +12x = 10800 +12 (x +1)-12 ≥ 2
-12 = 708 ，
x +1 x +1
∴ y = 1030 - ⎛ 10800 +12x ⎫ ≤ 1030 - 708 = 322 ， x +1 ⎪ ⎝ ⎭
10800 ⋅12( x +1) x +1
⎩
⎩ α 当且仅当
10800
= 12 ( x +1) ，即 x = 29 时， y 取最大值 322. x +1 ∵ 322 < 1400 ，∴当且仅当 x = 10 时， y 有最大值1400
.
3 3
故当年产量为 10 吨时，该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大， 1400 最大利润为
万元.
3
22．【详解】（1）由曲线C 的参数方程为
⎧x = 2 + cos α
α为参数），得曲线C 的普通方
1
程为
(x - 2)2 + ( y - 2)2 = 1 ，
⎨ y = 2 + sin （ 1 则C 1 的极坐标方程为ρ2 - 4ρcos θ- 4ρsin θ+ 7 = 0 ，
由于直线C 过原点，且倾斜角为π，故其极坐标方程为θ= π
(ρ∈ R ) .
2
3 3
⎧ρ2 - 4ρcos θ- 4ρsin θ+ 7 = 0
⎪ （2）由⎨ π 得ρ2 - (2 + 2)ρ+ 7 = 0 ，
⎪θ= 3
设 A , B 对应的极径分别为ρ1，ρ2 ，则ρ1 + ρ2 = 2
+ 2 ， ρ1ρ2 = 7 ，
∴ 1 + 1 = = ρ1 + ρ2
= 2 3 + 2 .
ρ1ρ2
7 23．【详解】（1） {x - 2 ≤ x ≤ 3}
；
（2）当x ∈[-1,1]时，不等式2f (x ) + x + a ≤ x + 4 ，即 x + a ≤ 2 - x ， 所以 x + a ≤ 2 - x 在[-1,1]上有解
即-2 ≤ a ≤ 2 - 2x 在[-1,1] 上有解， 所以， -2 ≤ a ≤ 4 ．
3 3 OA OB OA + OB OA ⋅ OB。