教学目的凹凸性判定和函数作图教学重点凹凸性拐点渐近线教解读

凹口向上凹的曲线 弧上各点处的切线 都在曲线弧的下方， 而凹口向下的曲线 弧上各点处的切线 都在曲线弧的上 方．
定义
y
1 0.8
y=x1/2
0.6
y f ( x)
B E
0.4
y=x2
A
0.2
D
C
b
x
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
o a
c
x
如果在某区间上，曲线弧 y f ( x) 位于其上任意一点的切线
M
极大
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-0.1 -2.5
1 得极大值点M 1 0, 2
拐点 M 2 1, 2 e

1

例5
解
描绘函数 y
2x 1 ( x 1) 2
例题
的图形．
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -2
y=(2*x-1)/(x-1)2 y
11 ) 9
f ( x) 1 ，故 y =-1 为水平渐近线． x=0，因为 lim x
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函数作图
作函数 y f ( x) 图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域； (2) 考察函数的奇偶性(对称性)、周期性； (3) 确定水平渐近线与垂直渐近线； (4) 求 y 与 y ，找出 y 和 y 的零点及它们不存在的点； (5) 利用(4)中所得的点 将定义域划分为若干个区间，列表 讨论各个区间上曲线的升降与凹凸性，并讨论每个分界点 是否为极值点或产生拐点． (6) 描出极值点，拐点与特殊点，再根据上述性质逐段描出曲线
上方，则称此曲线弧在这个区间上是凹的；如果在该区间上，曲线 弧位于其上任一点的切线下方，则称此曲线弧在这个区间上是凸 的；曲线弧凹凸的交界点称为这条曲线的拐点．
例题
定理 设有曲线 y f ( x)
(1) 若在区间 (a, b) 内，恒有f ( x) > 0 ，则此区间上曲线弧是凹 的； (2) 若在区间 (a, b) 内，恒有 f ( x ) < 0 ，则此区间上曲线弧是 凸的； f ( x 0 ) 0 ( (3) 若 f ( x ) 在 x 0 连续， 或 f ( x 0 ) 不存在 ) ，又当x经过 x 0 时， f ( x ) 变号，则点( x0 , f ( x0 )) 为曲线的一个拐点．
例题
例1
解
4 3 确定曲线 y x 2x 1 的凹凸区间与拐点．
3 2 f ( x) 4x 6x f ( x) 12x 2 12x 12x( x 1)
令 f ( x) 0 ，得 x1 0，x2 1，列表讨论如下
x
f ( x )
y f ( x)
(4)
y
x 2
0 0 －
e
x2 2
y
x 1
2
f ( x)
x
2
1
e

x2 2
y
0.5
(0,1)
－ －
(1,)
－ ＋
0.4

M1
－ 0 有拐点
0.3
f ( x)
y f ( x)
0.2

M2
0.1
3
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
例如，当 x 0 时， ln x ，所以直线 x 0 是对数 曲线 y ln x 的垂直渐近线．
例题
例 3
求 y f ( x)
x 1 1 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点 2 x
与渐进线
解
2( x 3) x2 y" 0 4 (2) 由 y ' x 3 0 得驻点 x= 2，由 得 x=–3； x
第四讲 函数作图
•教学目的：凹凸性判定和函数作图 •教学重点：凹凸性 拐点 渐近线 •教学难点：函数作图
例题
函数作图
凹凸性
拐点
渐近线
函数凹凸性与拐点
函数的单调性虽能说明曲线的升降情况，但不能说明曲线 2 的弯曲情况．例如，曲线 y x 与 y x 在 [0,1] 上都是上升
y
的，但前者是凹形曲线，后者是凸形曲线
若当 x (有时仅当 x 或 x )时，
f ( x) b ，则称直线 y b 为曲线 y f ( x) 的水平渐近线． 2x 1 2x 1 lim 2 y 例如，由于 x x ，故直线 y 2 是曲线 x
的水平渐近线．
x c 或 x c x c 若当 (有时仅当 )时， f ( x) ， 则称直线 x c 为曲线 y f ( x) 的垂直渐近线
当x
0 时， y
f ( x) 不存在，又 f ( x) 不具有零点，
可能的拐点应在 x 0 处
由于 x < 0 时， f ( x) > 0 ； x > 0 时， f ( x) < 0 ． 故点 (0,0) 是曲线唯一的拐点
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渐近线
为了刻划曲线的延伸趋势，人们引入了曲线的渐近 线,这里我们只介绍水平渐近线与垂直渐近线．
x
y
(1) f (x)的定义域 D = (∞，0)∪(0，+∞)；
(-∞，-3) — — 减、凸
-3 — 0 拐点
(-3，-2) — + 减、凹
-2 0 + 极小值
(-2，0) + + 增、凹
(0，+∞) — + 减、凹
y
y y ( x)
拐点为
(3,
f ( x) ， x=0 为无穷间断点， 故有铅直渐近线 (3) 因为 lim x 0
例4 作函数 y
1 2
e
x2 2
例题
的图形．
解
(1) 定义域为 x (,)
(2) y f ( x) 为偶函数，图形对称于 y 轴．我们可先讨论 [0,) 上函数的图形，再据对称性作出左边的图形
f ( x) 0 ， (3) lim 有水平渐近线 y 0 ． 但图形无垂直渐近线． x
(,0)
0 0 有拐点
(0,1)

凹
_
凸
1 0 有拐点
(1,)

凹
可见曲线在 ( ,0) 与 (1,) 是凹的，在区间 (0,1) 是凸 的．拐点有两个： (0,1) 与 (1,0)
例题
例2
解
求曲线 y 3 x 的拐点．
此函数在 (,) 上连续，当 x 0 时， 5 2 2 3 1 3 f ( x) x f ( x) x 9 3