教学目的凹凸性判定和函数作图教学重点凹凸性拐点渐近线教解读
4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图
指导练 习
巩固 练习
钟 2 分钟
定 理 三 若 f x0 0且f x在x 0 两 侧 变 号 ， 则 点
x0 , f x0 是曲线的拐点。
例 1 求曲线 y ln 1 x 2 的拐点。并判断曲线在什么
表 JX-2
教
案
纸
第 页
教 学 过 程 设 计 区间上是凸的，在什么区间上是凹的？ 解 函数的定义域是 , 。
2
y 2xe x 。令 y ' 0, 得驻点x 0.
x
y (,0)
2
x=0 0 极 大 值 点
(0,)
概 率 论 中 的 正 态 分 布 图
+
-
图形
极大值为 e 0 1
y 2(2x 1)e
2
x2
形
令 y 0, 得x
1 2
表 JX-2
案
纸
第 页
教 学 过 程 设 计
时间 教师 分配 活动 5 分钟 提问
学生 活动
复习 回答
1. 柯西中值定理； 2. 罗必塔法则及其应用； 3. 应 用 罗必 塔 法则 需要 注 意 的 问 题.
【新课引入】
Ⅰ.凸性及拐点 在第一章我们讨论过函数的作图问题。但能使用的手段不 多。 本章第一节用导数的正负判断函数的增减性及极值点， 无疑是增加了作图的有效手段， 但 仅此有时不能掌握图形的形状。 图 4.13 中中弧 AB 与弧CD 都是上 升的， 但上升的情况不同。 弧 AB 是向上凸而上升，弧 CD 是向下 凸而上升。因此有必要区
时间 分配
教师 活动
学生 活动
x0 使 lim f x ，及lim f x A.若lim f x
高中数学凹凸特征教案
高中数学凹凸特征教案我们需要明确什么是凹凸特征。
简单来说，函数图像的凹凸性描述的是函数在某个区间内局部的弯曲方向。
如果函数图像在某区间内像山峰一样向上凸起，我们称之为凹函数；相反，如果像山谷一样向下凹陷，则称之为凸函数。
我们将通过几个步骤来学习如何判断一个函数的凹凸性。
第一步，了解凹凸性的数学定义。
对于一个二次可导的函数f(x)，如果在某个区间内，其二阶导数f''(x)恒大于0，则f(x)在该区间内是凸函数；如果f''(x)恒小于0，则f(x)是凹函数。
第二步，掌握凹凸性的几何意义。
凸函数的二阶导数为正意味着其切线始终位于函数图像的下方，而凹函数则相反，其切线位于函数图像的上方。
第三步，学会运用凹凸性解题。
在解决实际问题时，我们可以利用凹凸性来判断函数的极值情况。
一般来说，凸函数在拐点处取得局部最小值，而凹函数在拐点处取得局部最大值。
为了让学生更好地理解和应用凹凸性的知识，我们设计了一份教案范本，旨在通过具体的教学活动来加深学生的认识。
教案范本如下：一、教学目标1. 理解凹凸性的定义和几何意义。
2. 掌握判断函数凹凸性的方法。
3. 能够运用凹凸性解决实际问题。
二、教学内容与步骤1. 引入概念：通过实际例子引出凹凸性的概念，并解释其数学定义。
2. 图像观察：使用函数图像演示凹凸性的特征，让学生直观感受凹凸性的区别。
3. 导数分析：教授如何通过一阶导数和二阶导数来判断函数的凹凸性。
4. 实践操作：布置相关习题，让学生通过实际操作来巩固知识点。
5. 应用探究：讨论凹凸性在实际问题中的应用，如物理中的力学问题、经济学中的成本收益分析等。
三、教学方法采用讲授与互动相结合的方式，鼓励学生积极参与讨论和实践操作。
四、作业布置设计一系列关于凹凸性的练习题，包括判断凹凸性、求拐点以及应用题等。
通过以上教案的实施，学生不仅能够掌握凹凸性的基本概念和判断方法，还能够将所学知识应用到实际问题的解决中，从而提高他们的数学素养和解决问题的能力。
函数凹凸性教学设计
函数凹凸性教学设计1. 学生能够理解函数凹凸性的概念及其与函数图像的关系。
2. 学生能够通过计算函数的二阶导数确定函数的凹凸性。
3. 学生能够应用函数凹凸性判断函数的最值点及拐点。
教学重难点：1. 函数凹凸性的定义及判断方法。
2. 函数图像与凹凸性的关系。
3. 函数最值点和拐点的确定。
教学准备：1. 写有概念和判别凹凸性的例题的小黑板。
2. 计算函数二阶导数的相关公式和例题。
3. 计算函数最值点和拐点的相关公式和例题。
教学步骤：第一步：引入函数凹凸性的概念（15分钟）教师先在小黑板上写出函数凹凸性的定义：对于定义在区间上的函数，若对于区间内任意两点，若函数在这两点之间连续且单调时，函数的图像位于与这两点相连的线段的上方，则称函数在区间上是凹的；若函数的图像位于线段的下方，则称函数在区间上是凸的。
要注意的是，凹凸性是与函数图像上方和下方的概念相关的。
然后，给出一个凹函数和一个凸函数的例子，并让学生观察和比较它们的图像。
引导学生思考，函数的凹凸性与函数图像在坐标轴上或几个连续点上的相对位置有什么关系。
第二步：判别函数的凹凸性（25分钟）教师在小黑板上写出判别函数凹凸性的方法：通过计算函数的二阶导数来判别。
然后，给出几个函数的二阶导数的计算例题，并让学生跟着计算。
解释每个步骤的含义和计算结果的意义。
再然后，让学生自己计算几个函数的二阶导数，并判断函数的凹凸性。
难度逐步加大，以培养学生的独立解决问题的能力。
第三步：应用函数凹凸性判断函数的最值点和拐点（40分钟）教师在小黑板上写出通过函数凹凸性判断函数的最值点和拐点的方法：凹函数的最值点和拐点是函数图像上的特殊点，可以通过判断函数的凹凸性和一阶导数的零点来确定。
然后，给出一个函数的例题，让学生根据函数的凹凸性和一阶导数的零点来判断函数的最值点和拐点。
解题过程中，教师可以向学生提示一些关键的计算步骤和思路。
接着，让学生独立解决几个函数最值点和拐点的判定问题，并相互讨论答案。
《高职应用数学》教案 第17课 曲线的凹凸性与拐点
第17课曲线的凹凸性与拐点讲授新课（33 min）【教师】讲解曲线凹凸性和拐点的定义和判定定理，并通过例题介绍其应用我们知道，函数在几何上表示一条曲线，而不同曲线的弯曲方向是不同的．为了区分曲线的不同弯曲方向，给出下面定义．定义1设函数()f x在区间I上连续，若函数的曲线位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的，如图4-5所示；若函数的曲线位于其上任意一点处切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的，如图4-6所示．图4-5 图4-6如何判断曲线的凹凸性呢？下面给出判定方法．定理1设()f x在[]a b，上连续，在()a b，内具有一阶和二阶导数．（1）若在()a b，内()0f x''>，则()f x在[]a b，上的图像是凹的；（2）若在()a b，内()0f x''< ，则()f x在[]a b，上的图像是凸的．判断曲线lny x=的凹凸性．解由题意可得1yx'=，21yx''=-．因为在函数lny x=的定义域(0)+∞，内，0y''<，所以曲线lny x=是凸的．定义2 连续曲线()y f x=上凹凸的分界点00()x y，称为这条曲线的拐点．由定理1和定义2不难得到下面的定理．定理2（拐点的必要条件）设点00(())x f x，是曲线()f x的拐点，则()0f x''=或()f x''不存在．综上所述，判断曲线()y f x=的凹凸性和拐点的方法如下：（1）求函数()y f x=的定义域D；（2）求出二阶导数()f x''，解出二阶导数为零的点和二阶导数不存在的点，这些点将整个定义域分成若干区间；（3）列表讨论每个区间上()f x''的符号，从而确定曲学习曲线凹凸性和拐点的判定方法。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例1线的凹凸区间和拐点．求曲线43341y x x =-+的凹凸区间和拐点． 解 （1）函数43341y x x =-+的定义域为()-∞+∞，；（2）321212y x x '=-，223624363y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭．令0y ''=，得10x =，223x =． （3）列表讨论如表4-4所示．表4-4从表4-4可以看出：在区间(0)-∞，和23⎛⎫⎪⎝⎭∞，+上曲线是凹的，在区间203⎛⎫⎪⎝⎭，上曲线是凸的，点(01)，和211327⎛⎫ ⎪⎝⎭，是曲线的拐点．【学生】掌握曲线凹凸性和拐点的定义和判定定理第二节课课堂测验（20 min ） ☞教师在文旌课堂APP 或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。
函数凹凸区间图解教案
函数凹凸区间图解教案教案标题：函数凹凸区间图解教案教学目标：1. 理解函数凹凸性的概念和判断凹凸性的方法。
2. 能够通过图像分析函数的凹凸区间。
3. 掌握函数凹凸区间的图解方法。
教学准备：1. 教师准备：教师课件、白板、黑板笔等。
2. 学生准备：学生课本、笔记本等。
教学过程：Step 1：导入与概念解释（5分钟）1. 教师通过引入实际问题，如物体运动的曲线、成本与收益的关系等，引起学生对函数凹凸性的思考。
2. 教师解释函数凹凸性的概念，即函数图像在某个区间上是上凹还是下凹。
Step 2：凹凸性判断方法（10分钟）1. 教师介绍函数凹凸性的判断方法：a. 对于二次函数，判断函数的二次项系数的正负性。
b. 对于一般函数，判断函数的二阶导数的正负性。
2. 教师通过示例演示以上方法的具体步骤，并与学生共同完成几个练习题。
Step 3：函数凹凸区间的图解方法（15分钟）1. 教师引导学生分析函数凹凸区间的特点：在凹凸点处函数的凹凸性发生改变。
2. 教师通过绘制函数图像的方法，演示如何找出函数的凹凸区间。
3. 教师与学生共同练习几个例题，巩固函数凹凸区间的图解方法。
Step 4：综合练习与拓展（15分钟）1. 学生个人或小组完成几个练习题，巩固所学内容。
2. 教师提供一些拓展问题，引导学生运用所学知识解决更复杂的问题。
Step 5：总结与反思（5分钟）1. 教师与学生共同总结函数凹凸区间的图解方法和判断凹凸性的方法。
2. 学生回答教师提出的问题，反思本节课所学内容。
教学延伸：1. 学生可以通过使用计算机软件或在线工具，绘制更多的函数图像，进一步加深对函数凹凸区间的理解。
2. 学生可以研究更多实际问题，如最优化问题、函数的极值等，运用函数凹凸性的概念进行分析和解决。
教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的参与程度和对函数凹凸区间的理解程度。
2. 教师布置作业，检查学生对函数凹凸区间的掌握情况。
3. 教师可以通过小组讨论、个人报告等方式，对学生的学习成果进行评价。
高中数学凹凸的特征教案
高中数学凹凸的特征教案
教学目标：
1. 了解凹凸函数的定义和性质
2. 能够通过一阶导数或二阶导数的符号来判断函数的凹凸性
3. 能够应用凹凸函数的性质解决实际问题
教学重点：
1. 凹凸函数的定义和判定方法
2. 凹凸函数的性质及其应用
教学难点：
1. 利用导数判定函数的凹凸性
2. 解决实际问题时如何运用凹凸函数的相关知识
教学准备：
1. 教学课件、白板、彩色笔
2. 教学实例和练习题
教学过程：
1. 引入：通过实际生活中的例子引入凹凸函数的概念，如弓形桥梁、碗的外形等
2. 讲授：介绍凹凸函数的定义和性质，包括凹凸函数的导数符号判据，以及凹凸函数在图像上的表现特征
3. 实例分析：通过具体的函数例子，让学生尝试用导数的方法判断函数的凹凸性，并观察函数图像的特点
4. 练习训练：让学生通过练习题来巩固对凹凸函数的理解和应用能力
5. 拓展延伸：讲解凸函数的概念和性质，让学生了解更多关于函数凹凸性的知识
6. 总结提问：回顾本节课的重点知识，通过提问让学生巩固所学内容
7. 作业布置：布置相关作业，让学生对所学知识进行巩固和拓展
教学反思：在教学中要注重引导学生通过实例来理解概念，同时要注重培养学生解决问题的能力和思维方式，使他们能够灵活运用所学知识解决实际问题。
曲线的凹凸性和拐点和图象课件公开课获奖课件
令 ( x) 0, 得特殊点 x 1, x 1.
lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
x
x 2
得水平渐近线 y 0.
第19页
列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x (,1) 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,)
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1, 1 ) 2e
f (x ) 1
f
(
x 2
)
,
那末称
f (x)
2
2
在 I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）．
第4页
y
y f (x) B
y y f (x)
B
A
oa
bx
f (x) 递增 y 0
A oa
f ( x) 递减
bx
y 0
定理2 如果 f (x) 在 [a,b] 上连续,在 (a,b)内具有 一阶和二阶导数 ,若在 (a,b)内 (1) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的 ; (2) f (x) 0,则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的 .
4x
3
1 x
．
令 y 0 ,
得
x
1 4
，又当
x
0
时，y
不存在．列表考察 y 的符号：
第11页
x (,0) ０
y
＋
不存在
(0, 1 ) 4
－
1
(1 ,)
4
4
０
＋
曲线y ︶
拐点
⌒
拐点
︶
由上表可知,
曲线在
(,0)
凹凸性、渐近线、作图
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y5x33x27x1凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (,)
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
解:
y 4 x3 , y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时 , y 0,
y Ox
故曲线 y x 4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
2
o
2
x
o
2
x
2020/6/8
20
例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
2020/6/8
若(x0, f (x0 ))为 f (x)的
x
拐点,则有f (x0 ) 0.
o x0
2020/6/8
8
定理2（拐点的充分条件）
设f 在点x0的某邻域内有二阶, 导 若f 在x0两侧异号 ,则(x0, f (x0))是f 的一 个拐点 .
2020/6/8
9
§3-4曲线的凹凸性、拐点及函数图形的描绘
备课笔记
x O a c 图 3-11 由图 3-12 可以看出：对于凹的曲线弧，沿 x 轴正向，曲线 y=f(x)的切线斜 率递增；对于凸的曲线弧，沿 x 轴正向，曲线 y=f(x)的切线斜率递减．如果 y=f(x) 在区间(a，b)内可导，则 f(x)的单调性可以由 f(x)的符号确定．因 此可以利用函数 y=f(x)的二阶导数 f(x)的符号来判定曲线的凹凸性． y b
备课笔记
1 O 2 x
图 3-14 三、 函数图形的描绘 借助于一阶导数的符号，可以确定函数图形在哪个区间上上升，在哪个 区间上下降，在什么地方有极值点；借助于二阶导数的符号，可以确定函数 图形在哪个区间上为凹，在哪个区间上为凸，在什么地方有拐点.知道了函数 图形的升降、凹凸以及极值点和拐点后，也就可以掌握函数的性态，并把函 数的图形画得比较准确. 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下：
y 12 x3 12 x 2 ，
2 y 36 x 2 24 x 36 x( x ) . 3
无锡职业技术学院 解方程 y 0 ，得 x1 0, x2
备课笔记
2 . 3
2 把 函 数 的 定 义 域 ( , ) 分 成 三 个 部 分 区 间 ： 3 2 2 (, 0],[0, ],[ ) . 3 3 x1 0, x2
( x0 , f ( x0 )) 是拐点，当两侧的符号相同时，点 ( x0 , f ( x0 )) 不是拐点．
强调 1.列表讨论曲线的凹凸性、拐点； 2.拐点要用坐标形式 ( x0 , f ( x0 )) 表示． 例3 求曲线 y 3 x 4 x 1 的凹凸区间及拐点．
4 3 4 3
解：函数 y 3 x 4 x 1 的定义域为 ( , ) .
掌握函数与导数的曲线的凹凸性与拐点的教学案例
掌握函数与导数的曲线的凹凸性与拐点的教学案例函数与导数的曲线的凹凸性与拐点是高中数学课程中的重要内容之一。
通过学习这一部分知识，学生可以更深入地理解函数的性质和变化规律。
本文将介绍一个教学案例，旨在帮助学生掌握函数与导数的曲线的凹凸性与拐点的概念和求解方法。
案例名称：汽车行驶过程中的凹凸性与拐点案例背景：在现实生活中，汽车的运动可以用函数来描述。
假设一辆汽车以恒定的速度行驶，在某个时间段内，我们可以用函数y=f(x)表示汽车的位移与时间的关系，其中y表示汽车的位移，x表示时间。
案例目的：通过分析汽车运动函数的图像，引导学生理解凹凸性和拐点的概念，以及如何利用导数来判断和求解凹凸性与拐点。
案例步骤：步骤一：引入函数与导数的概念首先，向学生介绍函数与导数的概念。
通过例子和图像展示，让学生理解函数的图像与数学表达之间的关系，以及导数代表了函数的变化率。
步骤二：绘制汽车运动函数的图像将一段时间内汽车的位移与时间的关系表示为一个函数，绘制出汽车运动函数的图像。
通过实际示范和实时调整，引导学生理解函数图像的特点和变化。
步骤三：分析函数的凹凸性在函数图像上，标注出函数的上凹区间和下凹区间，并引导学生思考：在哪些区间上函数是凹的？在哪些区间上函数是凸的？质疑学生的观点，并给予指导和解释。
步骤四：引入导数的概念向学生介绍导数的定义和几何意义。
阐明导数的正负和零点与函数的凹凸性之间的关系。
通过图像和实例演示，帮助学生理解导数与凹凸性的联系。
步骤五：求解拐点在函数图像上标注出函数的拐点，并引导学生思考：什么样的情况下函数有拐点？如何通过导数来判断和求解拐点的位置？通过实例和讲解，帮助学生掌握拐点的求解方法。
步骤六：练习与应用提供一些练习题和应用题，让学生运用所学知识分析和解决实际问题。
同时，引导学生思考函数图像的变化对应着现实问题中什么变化，并就此展开讨论。
案例总结：通过这个教学案例，学生能够通过实际生活中汽车运动的例子，理解函数的凹凸性与拐点的概念，掌握用导数来判断和求解凹凸性与拐点的方法。
曲线的凹凸与拐点的教案
授课内容
曲线的凹凸与拐点 教学方法
及教学工具 项目化教学法
授课日期
授课节次
授课地点
教学过程、教学内容（含板书设计）
定义 如果在某区间内的曲线弧位于其任
一点切线的上方，那么此曲线叫做在该区间内是
凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切
线的下方，
那么此曲线叫做在该区间内是凸的。
定理 设函数)(x f 在区间),(b a 内有二阶
导数：（1）如果在),(b a 内，0)(>''x f ，则曲线)(x f 在),(b a 内是凹的；
（2）如果在),(b a 内，0)(<''x f ，则曲线)(x f 在),(b a 内是凸的。
例１ 判定曲线)1ln(x x y --=的凹凸性。
解 0)
1(1,1112<--=''-+='x y x y 所以，曲线在定义域)1,(-∞内是凹的。
定义 连续曲线上凹曲线弧与凸曲线弧的分界点叫做曲线的拐点。
由于拐点是曲线凹与凸的分界点，所以由前面的定理可知，在拐点的两侧，)(x f ''必然异号，而在拐点处则0)(=''x f ，或)(x f ''不存在。
因此，判断曲线)(x f y =的凹凸性及拐点，可按下列步骤进行：
（１）确定函数)(x f y =的定义域；。
(完整版)高等数学教案各章的教学目的、重点、难点
第一章函数与极限教学目的:1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式.2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
教学重点：1、复合函数及分段函数的概念；2、基本初等函数的性质及其图形；3、极限的概念极限的性质及四则运算法则；4、两个重要极限;5、无穷小及无穷小的比较；6、函数连续性及初等函数的连续性;7、区间上连续函数的性质.教学难点：1、分段函数的建立与性质；2、左极限与右极限概念及应用；3、极限存在的两个准则的应用；4、间断点及其分类；闭区间上连续函数性质的应用.第二章导数与微分教学目的:1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程,了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。
2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。
3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。
4、会求分段函数的导数。
5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。
教学重点:1、导数和微分的概念与微分的关系；2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则;3、基本初等函数的导数公式;4、高阶导数；6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。
3.5函数的凹凸性、曲线的拐点及渐近线
o
x
图形上弧段总是位于任
意切线的上方……凹弧
y
y f (x)
方，则称曲线弧AB是向上凹的或
称凹弧（向上凸的，或称凸弧）， o
x
记为“∪”(“∩”)。
图形上弧段总是位于任 意切线的下方……凸弧
分析：
y
y f (x) B
y f (x)
y
B
A A
oa
bx
f ( x) 递增 y 0
oa
bx
f ( x) 递减 y 0
例8
描绘函数
y
4
x 1
x2
2的图形
解：1）定义域为 ，0 0，
2)
y
4x
x3
2
,
由y 0,得x 2
y
8x 3，
x4
由y 0得x
3;
3）列表确定函数及曲线的特性
3）列表确定函数及曲线的特性
x ,3 3 3,2 2 2,0
y
0
y
0
y f x
拐点 3， 26
9
极小值 3
1
有垂直渐近线
x =-1,x =1
3.曲线的斜渐近线
若 lim f x a, lim f x ax b ，则直线
x x
x
y = ax +b 是曲线 y = f (x)的斜渐近线.
例7
求曲线
y
x3 x2 2x 3
的斜渐近线.
x3
解：因为 lim f x lim x2 2x 3 1, 所以a 1
改变弯曲方向的点——拐点;
凹凸性的判定.
2.应用
拐点的求法.
1.水平渐近线
二、曲线的渐近线
微积分4.4曲线的凹凸性、拐点与渐近线
在各个部分区间内讨论二阶导数的符号, 确定曲线是否存在 拐点, 若在拐点, 求出拐点.
例2 判断曲线 y(x1)3 x5 的凸性, 并求其拐点. 解 定 义 域 为 (- ,)
15
而 y 8x5 3 5x2 3, y 10 4 x 1
x -
x
其 中 a 和 b 为 常 数 ,且 a 0 ,则称直线 y = ax + b为曲线
y =ƒ(x) 的斜渐近线. (如图)
y
αM˘•
•
Q
y=ƒ(x)
•
L:y=ax+b
o »α
x
22
分析: 如果曲线 y =ƒ(x)有斜渐近线 y = ax + b, 则由定义知,
必有
lim[f(x)ax]b 或lim [f(x)ax]b
f (x0) 0 或 f ( x0 )不存在.
但是, 若f (x0) 0或 f ( x0 )不存在时, 曲线 y f (x)
上的点 (x0, f (x0))不一定是拐点, 还必须用下面的定理判断.
13
定理4.4.3 (拐点存在的充分条件) 设函数 y = ƒ(x)在 x0 的某邻域内二阶可导 (f(x0)可 以 不 存 在 ),且f(x0)0 或 f(x0)不 存 在 ,
从而, 当 f ( x ) 存在时, 则可用二阶导数的符号来判别
曲线的凹凸性.
6
定理4.4.1 设函数 y = ƒ(x)在 I 内有二阶导数, 则
(1 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凹 的 ；
(2 ) x (a ,b ),均 有 f(x ) 0 , yf(x )在 (a ,b )上 是 凸 的 .
曲线的凹凸性与拐点教案12
该定理对于其他类型区间也成立。
一、曲线凹凸性定义及其判定法
定义1
设f（x）在区间I上连续，如果对I上任意两点x1，x2，恒有
那么称f（x）在I上的图象是（向上）凹的；如果恒有
那么称f（x）在I上的图象是（向上）凸的。
例2判断曲线y=x4-2x3＋3的凹凸性。
教学
难点
曲线的凹凸性与拐点、简单函数图象的描绘
教学
方法
讲授法、讨论法、案例教学法
教学
准备
教师:教案
学生：预习相关知识
教学过程设计
教学内容
教师活动
学生活动
第五节曲线的凹凸性与拐点
定理
设函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数。
（1）如果在（a，b）内f″（x）>0，那么曲线在［a，b］上的图形是凹的；
课程名称
高等数学
年级
专业
授课教师
授课时间
学时
授课
题目
曲线的凹凸性与拐点
教学
目标
知识目标：
掌握曲线的凹凸性与拐点、简单函数图象的描绘,培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。
技能目标：
会利用高等数学的知识解决问题
素质目标：
学会用高数的思维考虑问题
教学
重点
曲线的凹凸性与拐点、简单函数图象的描绘
解y′=4x3-6x2
y″=12x2-12x=12x（x-1）
当x<0或x>1时，y″>0;当0<x<1时，y″<0。
所以曲线在区间（-∞，0）和（1，＋∞）内是凹的，而在区间（0，1）内是凸的。
导数在研究函数中的应用函数图形的凹向与拐点 说课稿 教案 教学设计
函数图形的凹向与拐点教学目的与要求1.掌握函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法；2.能利用导数描绘函数图形. 教学重点与难点凹凸性与拐点，用凹凸性证明不等式 （一）、复习1.函数极值的概念和必要条件，极值存在的第一、第二充分条件；2.函数的最大值和最小值方法.作函数的图形时，仅知道函数的单调性和极值还不能全面反映函数图形的特征．同是在区间],[b a 上单调增加的函数，其图形的弯曲方向也可能不同；如图3—6中ACB 与ADB 同是上升曲线，但弯曲方向不同，前者是凸的，后者是凹的．本节将用导数研究曲线的凸凹及拐点，从而比较准确地作出函数的图形 （二）、新课一、函数的凸凹及其片判别法 如图3—6可以看出，曲线ACB 是向上弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线的上方；曲线ADB 是向下弯曲的，其上每一点的切线都位于曲线下方，从而我们有如下定义．定义１ 如果在某区间内，曲线)(x f y =上每一点处的切线都位于曲线的上方，则称曲线)(x f y =在此区间内是凸的；如果在某区间内，曲线)(x f y =上每一点处的切线都位于曲线的下方，则称曲线)(x f y =在此区间内是凹的．从图3—6还可以进一步看出，当曲线)(x f y =凸时，其切线斜率)(x f '是单调减少的，因而0)(<''x f ；当曲线凹时，其切线斜率)(x f '是单调增加的，因而0)(>''x f ，这说明曲线的凸凹性可由函数)(x f 的二阶导数的符号确定．定理１ 设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内具有二阶导数，则： （１） 若在),(b a 内，0)(>''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凹的． （２） 若在),(b a 内，0)(<''x f ,则曲线)(x f y =在],[b a 上是凸的． 二、拐点及其求法定义２ 曲线)(x f y =上，凸与凹的分界点称为该曲线的拐点．由拐点的定义和定理１知，使0)(=''x f 的点及)(x f ''不存在的点可能是拐点．这些点是不是拐点要用下面的定理来判定．定理２ 设)(x f y =在),ˆ(0δxN 内有二阶导数，则 （１） 若)(x f ''在),(00x x δ-与),(00δ+x x 内异号，则点))(,(00x f x 为曲线)(x f y =的拐点．（２） 若)(x f ''在),(00x x δ-与),(00δ+x x 内同号，则点))(,(00x f x 不是曲线)(x f y =的拐点．例１ 求函数32)2()(x x x f -=的凸凹区间及拐点．解 31323435)(--='x x x f ， 334319)25(294910)(xx x x x x f +=+=''--． 令0)(=''x f 得52-=x ；而0=x 为)(x f ''不存在的点．用0,52=-=x x 将定义区间),(∞+-∞分成三个部分区间（见下表）． 由表可知，曲线)(x f 的凸区间是)52,(--∞，凹区间是)0,52(-, ),0(∞+；点)254512,52(3--是拐点．例２ 讨论函数211)(xx f +=的凸凹性及拐点． 解 函数)(x f 的定义域为),(∞+-∞，对函数求导得22)1(2)(x x x f +-='， 4222)1(2)1(22)1(2)(x x x x x x f +⋅+⋅⋅++-=''322)1()13(2x x +-=； 由0)(=''x f 得，31-=x ，31=x ．用这两点把定义域分成三个部分区间(见下表)．由下表可知，曲线)(x f 的凸区间是)31,31(-，凹区间是)31,(--∞和),31(+∞，点)43,31(-和点)43,31(是拐点．三、曲线的渐近线有些函数的定义域与值域都是有限区间，此时函数的图形局限于一定的范围之内，如圆，椭圆等．而有些函数的定义域或值域是无穷区间，此时函数的图形向无穷远处延伸，如双曲线，抛物线等．有些向无穷远延伸的曲线，呈现出越来越接近某一直线的形态，这种直线就是曲线的渐近线．定义 3 若曲线上一点沿曲线无限远离原点时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．（一）水平渐近线若函数)(x f y =的定义域是无限区间，且有a x f x =∞→)(lim （或a x f x =+∞→)(lim ，a x f x =-∞→)(lim ），则直线a y =称为曲线)(x f y =的水平渐近线． 例３ 对于曲线x x f arctan )(=，由于2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，所以直线2π=y 与2π-=y 是曲线x x f arctan )(=的水平渐近线．（二）垂直渐近线若0x 是函数)(x f y =的间断点，且∞=→)(lim 0x f x x （或∞=+→)(lim 0x f x x ，∞=-→)(lim 0x f x x ），则直线0x x =称为曲线)(x f y =的垂直渐近线．例４ 求11)(-=x x f 的垂直渐近线． 解 因为+∞=-+→11lim 1x x ，所以，1=x 是曲线的一条垂直渐近线． （三）斜渐近线若曲线)(x f y =的定义域为无限区间，且有a xx f x =∞→)(lim ，b ax x f x =-∞→])([lim ，则直线b ax y +=称为曲线)(x f y =的斜渐近线．例５ 求曲线xx y +=12的渐近线．解 因为∞=+-→xx x 1lim21，所以直线1-=x 是曲线的垂直渐近线，又 11lim 1lim )(lim 2=+=+==∞→∞→∞→x xxx x x x f a x x x ，1)1(lim )1(lim ])([lim 2-=+-=-+=-=∞→∞→∞→xx x x x ax x f b x x x ；所以1-=x y 为曲线的斜渐近线．四、函数作图的一般步骤前面几节讨论的函数的各种性态，可应用于函数的作图．描绘函数的图形可按下面的步骤．第一步 确定函数)(x f y =的定义域及函数的某些特性（如奇偶性，周期性等）． 第二步 求出方程0)(='x f 和0)(=''x f 在函数定义域内的全部实根和)('x f ，)(x f ''不存在的点；用这些点把定义域划分成部分区间．第三步 确定在这些部分区间内)(x f '和)(x f ''的符号，并由此确定函数的升降、凸凹、极值点和拐点．第四步 确定函数图形的水平、铅直和斜渐近线以及其它变化趋势．第五步 为了把图形描得准确，有时还需要补充一些点；然后结合第三、四步中得到的结果，连结这些点作出函数)(x f y =的图形．例６ 描绘函数2x ey -=的图形．解 （1）函数的定义域为),(∞+-∞，且0>y ，故图形在上半平面内． （2）2x e y -=是偶函数，图形关于y 轴对称． （3）曲线2x e y -=与y 轴的交点为)1,0(． （4）因0lim 2=-∞→x x e，故0=y是一条水平渐近线．（5）22x xe y --='，令0='y 得驻点0=x ． （6）2)12(22x e x y --=''，令0=''y 得2/1±=x ．列表如下：。
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(,0)
0 0 有拐点
(0,1)
凹
_
凸
1 0 有拐点
(1,)
凹
可见曲线在 ( ,0) 与 (1,) 是凹的，在区间 (0,1) 是凸 的．拐点有两个： (0,1) 与 (1,0)
例题
例2
解
求曲线 y 3 x 的拐点．
此函数在 (,) 上连续，当 x 0 时， 5 2 2 3 1 3 f ( x) x f ( x) x 9 3
x
y
(1) f (x)的定义域 D = (∞，0)∪(0，+∞)；
(-∞，-3) — — 减、凸
-3 — 0 拐点
(-3，-2) — + 减、凹
-2 0 + 极小值
(-2，0) + + 增、凹
(0，+∞) — + 减、凹
y
y y ( x)
拐点为
(3,
f ( x) ， x=0 为无穷间断点， 故有铅直渐近线 (3) 因为 lim x 0
若当 x (有时仅当 x 或 x )时，
f ( x) b ，则称直线 y b 为曲线 y f ( x) 的水平渐近线． 2x 1 2x 1 lim 2 y 例如，由于 x x ，故直线 y 2 是曲线 x
的水平渐近线．
x c 或 x c x c 若当 (有时仅当 )时， f ( x) ， 则称直线 x c 为曲线 y f ( x) 的垂直渐近线
上方，则称此曲线弧在这个区间上是凹的；如果在该区间上，曲线 弧位于其上任一点的切线下方，则称此曲线弧在这个区间上是凸 的；曲线弧凹凸的交界点称为这条曲线的拐点．
例题
定理 设有曲线 y f ( x)
(1) 若在区间 (a, b) 内，恒有f ( x) > 0 ，则此区间上曲线弧是凹 的； (2) 若在区间 (a, b) 内，恒有 f ( x ) < 0 ，则此区间上曲线弧是 凸的； f ( x 0 ) 0 ( (3) 若 f ( x ) 在 x 0 连续， 或 f ( x 0 ) 不存在 ) ，又当x经过 x 0 时， f ( x ) 变号，则点( x0 , f ( x0 )) 为曲线的一个拐点．
M
极大
0
-0.1 -2.5
1 得极大值点M 1 0, 2
拐点 M 2 1, 2 e
1
例5
解
描绘函数 y
2x 1 ( x 1) 2
例题
的图形．
8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -2
y=(2*x-1)/(x-1)2 y
例如，当 x 0 时， ln x ，所以直线 x 0 是对数 曲线 y ln x 的垂直渐近线．
例题
例 3
求 y f ( x)
x 1 1 的单调区间、极值、凹凸区间、拐点 2 x
与渐进线
解
2( x 3) x2 y" 0 4 (2) 由 y ' x 3 0 得驻点 x= 2，由 得 x=–3； x
例4 作函数 y
1 2
e
x2 2
例题
的图形．
解
(1) 定义域为 x (,)
(2) y f ( x) 为偶函数，图形对称于 y 轴．我们可先讨论 [0,) 上函数的图形，再据对称性作出左边的图形
f ( x) 0 ， (3) lim 有水平渐近线 y 0 ． 但图形无垂直渐近线． x
第四讲 函数作图
•教学目的：凹凸性判定和函数作图 •教学重点：凹凸性 拐点 渐近线 •教学难点：函数作图
例题
函数作图
凹凸性
拐点
渐近线
函数凹凸性与拐点
函数的单调性虽能说明曲线的升降情况，但不能说明曲线 2 的弯曲情况．例如，曲线 y x 与 y x 在 [0,1] 上都是上升
y
的，但前者是凹形曲线，后者是凸形曲线
凹口向上凹的曲线 弧上各点处的切线 都在曲线弧的下方， 而凹口向下的曲线 弧上各点处的切线 都在曲线弧的上 方．
定义
y
1 0.8
y=x1/2
0.6
y f ( x)
B E
0.4
y=x2
A
0.2
D
C
b
x
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
o a
c
x
如果在某区间上，曲线弧 y f ( x) 位于其上任意一点的切线
11 ) 9
f ( x) 1 ，故 y =-1 为水平渐近线． x=0，因为 lim x
回主视图
函数作图
作函数 y f ( x) 图形的一般步骤如下： (1) 确定函数的定义域； (2) 考察函数的奇偶性(对称性)、周期性； (3) 确定水平渐近线与垂直渐近线； (4) 求 y 与 y ，找出 y 和 y 的零点及它们不存在的点； (5) 利用(4)中所得的点 将定义域划分为若干个区间，列表 讨论各个区间上曲线的升降与凹凸性，并讨论每个分界点 是否为极值点或产生拐点． (6) 描出极值点，拐点与特殊点，再根据上述性质逐段描出曲线
例题
例1
解
4 3 确定曲线 y x 2x 1 的凹凸区间与拐点．
3 2 f ( x) 4x 6x f ( x) 12x 2 12x 12x( x 1)
令 f ( x) 0 ，得 x1 0，x2 1，列表讨论如下
x
f ( x )
y f ( x)
当x
0 时， y
f ( x) 不存在，又 f ( x) 不具有零点，
可能的拐点应在 x 0 处
由于 x < 0 时， f ( x) > 0 ； x > 0 时， f ( x) < 0 ． 故点 (0,0) 是曲线唯一的拐点
回主视图
渐近线
为了刻划曲线的延伸趋势，人们引入了曲线的渐近 线,这里我们只介绍水平渐近线与垂直渐近线．
(4)
y
x 2
0 0 －
e
x2 2
y
x 1
2
f ( x)
x
2
1
e
x2 2
y
0.5
(0,1)
－ －
(1,)
－ ＋
0.
y f ( x)
0.2
M2
0.1
3
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5