直线的方向向量与平面的法向量

直线的方向向量与平面的法向量

【问题导思】

图3－2－1

1．如图3－2－1，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A 、B ，在直线m 上取两点C 、D ，向量AB →与CD →

有怎样的关系？

【提示】 AB →∥CD →

.

2．如图直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n ，则向量n 与平面α有怎样的关系？

【提示】 n ⊥α.

直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个．

直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α的法向量.

空间中平行关系的向量表示

线线平行

设两条不重合的直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，

则l ∥m ⇒a ∥b ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)

线面平行

设l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔

a ·u ＝0⇔a 1a 2＋

b 1b 2＋

c 1c 2＝0

面面平行

设α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔u ∥v ⇔(a 1，

b 1，

c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)

求平面的法向量

图3－2－2

已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD

＝1

2

，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 与平面SAB 的一个法向量． (2)求平面SCD 的一个法向量．

【自主解答】 以点A 为原点，AD 、AB 、AS 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的坐标系，则A (0,0,0)，B (0,1,0)，C (1,1,0)，D (1

2，0,0)，S (0,0,1)．

(1)∵SA ⊥平面ABCD ，∴AS →

＝(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量． ∵AD ⊥AB ，AD ⊥SA ，∴AD ⊥平面SAB ， ∴AD →＝(1

2

，0,0)是平面SAB 的一个法向量．

(2)在平面SCD 中，DC →＝(12，1,0)，SC →

＝(1,1，－1)．

设平面SCD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DC →，n ⊥SC →

. 所以⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·DC →＝0

n ·SC →＝0，

得方程组⎩⎪⎨

⎪⎧

12x ＋y ＝0

x ＋y －z ＝0.

∴⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝－2y

z ＝－y ，

令y ＝－1得x ＝2，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．

1．若一个几何体中存在线面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量． 2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下： (1)设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )． (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)．

(3)根据法向量的定义建立关于x ，y ，z 的方程组

⎩⎪⎨⎪⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0.

(4)解方程组，取其中的一个解，即得法向量．

3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0

有无数多个解，只需给x ，

y ，z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．

正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱A 1D 1、A 1B 1的中点，在如图3－2－3所示的空间直角坐标系中，求：

图3－2－3

(1)平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)平面BDEF 的一个法向量．

【解】 设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则D (0,0,0)，B (2,2,0)，A (2,0,0)，

C (0,2,0)，E (1,0,2)

(1)连AC ，因为AC ⊥平面BDD 1B 1，所以AC →

＝(－2,2,0)为平面BDD 1B 1的一个法向量． (2)DB →＝(2,2,0)，DE →

＝(1,0,2)．

设平面BDEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． ∴⎩⎪⎨

⎪⎧

n ·DB →＝0n ·DE →＝0，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

2x ＋2y ＝0

x ＋2z ＝0， ∴⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝－x z ＝－1

2x .

令x ＝2得y ＝－2，z ＝－1.

∴n ＝(2，－2,1)即为平面BDEF 的一个法向量.

长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是面对角线B 1D 1，A 1B 上的点，且D 1E

＝2EB 1，BF ＝2F A 1.求证：EF ∥AC 1.

【自主解答】 如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设DA ＝a ，DC ＝b ，DD 1＝c ，则得下列各点的坐标：A (a,0,0)，C 1(0，b ，c )，E (23a ，23b ，c )，F (a ，b 3，2

3

c )． ∴FE →＝(－a 3，b 3，c 3)，AC 1→

＝(－a ，b ，c )，

∴FE →＝13AC 1→.

又FE 与AC 1不共线， ∴直线EF ∥AC 1.

利用向量法证明线线平行的方法与步骤：