第五章 S域分析、极点与零点解析
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零极点分析(高等教学)
5.1.1 系统函数的定义
设系统的 n 阶微分方程为：
an y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(1) (t) a0 y(t) bm x(m) (t) bm1x(m1) (t) b1x(1) (t) b0 x(t) 若 y(k) (0 ) 0, x(k ) (0 ) 0
（1）
对式（1）两边取拉氏变换得：
Yzs
(s)
bmsm an s n
bm1sm1 an1sn1
b1s b0 X (s) a1s a0
古柏文书
2
H (s)
Yzs (s) X (s)
bm s m an s n
bm1sm1 an1sn1
b1s b0 a1s a0
--------- “系统函数”或“网络函数”
t
（2）
v2 (t) h(t) x(t)
h( )x(t )d
0
t Ke Ee (t )d u(t) 0
KE (et et )u(t) ( )
古柏文书
10
x(t) Eetu(t)
H (s) K
s
或：
V2 (s) H (s) X (s)
KE
(s )(s )
KE [ 1 1 ]
第5章 连续时间系统的s域分析
5.1 系统函数与冲激响应
5.2 零、极点分布与时域响应特性
5.3 零、极点分布与系统的频率响应特性的关系
5.4 典型系统的频响特性
5.5 全通系统与最小相位系统
5.6 模拟滤波器的基本概念与设计方法
5.7 系统模拟及信号流图
5.8 系统的稳定性
古柏文书
1
5.1 系统函数与冲激响应
1Ω
连续时间系统的s域分析讲解
1 1 s 1 1 s
1 1 2 s 1 s
1 s 1 s 2 5s 2 s s2 2 1 s 1 s 1 s 2 2s 1 V1 ( s ) 2 s s 2 1 s
1 1 V1 ( s ) s 2 1 1 s 0 0
2 s 2 2s 1 I 2 ( s) 2 V1 ( s) s 5s 2
解法二：先求系统的冲激响应（应用2.3节的方法）
h(t ) (et e2t )u(t )
则
1 1 1 H ( s) 2 s 1 s 2 s 3s 2
输入信号 S R1
例： 图示电路，开关S在t = 0时刻闭合，以v2(t)作为响应，
x(t ) Eet u (t ),
(1)
（1）
y ( k ) (0 ) 0, x( k ) (0 ) 0
对式（1）两边取拉氏变换得：
bm s m bm1s m1 b1s b0 Yzs (s) X ( s) n n 1 an s an1s a1s a0
Yzs ( s ) bm s m bm1s m1 b1s b0 H ( s) n n 1 X ( s ) an s an 1s a1s a0
结论：
左半s平面→h(t)衰减
极点： 右半s平面→h(t)增长
一阶极点→h(t) 等幅振荡或阶跃 虚轴上 二阶极点→h(t) 呈增长形式 h(t)衰减 h(t)增长 稳定系统（极点在左半s平面） 非稳定系统（极点在右半s平面） 一阶：阶跃或等幅振荡（临界稳定） 如果在虚轴上→
二阶：以上不稳定系统
H(s)零点的位置对系统的特性有何影响呢？
1Ω
1F + V1(s) I1(s)
第5章-连续系统的s域分析
L[ f (t )] F[ f (t )e t ]
if , t 0, f (t ) 0
单边拉氏变换
s j
f (t )(0 t )
傅立叶变换和单边拉氏变换是双边拉氏变换的特殊情况
23
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
对于单边拉氏变换 讨论：①有界的非周期 信号的拉氏变换一定存 在 满足
1 st e s
例：求L[ (t )]
0
1 s
解：L[ (t )] (t )e st dt 1
0
例：求L[ (t )]
解：L[ (t )] (t )e st dt
0
-(- s)e- st
t 0
s
18
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 单边拉普拉斯变换
f (t )
1 2
j
j
j
Fb ( s )e st ds
1 对比：f (t ) 2
F ( j )e jt d
Laplace变换重新选取函数空间的基底，以 衰减振荡函数集 e ( j )t 为基底构成函数空 间，用来展开信号。
7
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
1 e (t ) , Re[s] b s b 当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
bt
1 1 X b ( s) s b s b
b Re[s] b
当 b 0 时，ROC 无公共部分，表明
12
X b ( s) 不存在。
第五章 连续系统的 S 域分析 5.1.拉普拉斯变换 收敛域
第五章S域分析,极点与零点
jω
p1
j ω1
0
h(t)
σ
0
−α
p2
− jω1
−αt
t
ω1 H (s) = 2 2 ( S + α ) + ω1
h(t ) = e sinω1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面 共轭极点在右半平面 共轭极点在 jω h(t) jω1 p1
（1）一阶系统 ）
s − z1 H ( s) = K s − p1 s H ( s) = K s − p1
♦ 一零点，一在实轴的 一零点，
极点
♦ 一在原点的零点，一 一在原点的零点，
在实轴的极点
♦ 只有无穷远处的零点
k H (s) = s − p1
一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1 — C R + U2 —
e(t )
τ
e(t)
t
R
C
v0 (t )
T
（1）求e(t)的拉氏变换 ） 的拉氏变换
1 1 (1 − e ) −sτ −snT E (s) = (1 − e )∑ e = −sT s s (1 − e ) n=0
∞
− sτ
（2）求系统函数 ）求系统函数H(s)
H (s) = 1 Cs R+ 1 Cs
激励E(s)的极点影响
♦ 激励 激励E(s)的极点也可能是复数 的极点也可能是复数 ♦ 增幅，在稳定系统的作 增幅，
用下稳下来，或与系统 用下稳下来， 某零点相抵消 ♦ 等幅，稳态 等幅，
♦ 衰减趋势，暂态 衰减趋势，
Re[ pk ] > 0 Re[ pk ] = 0 Re[ pk ] < 0
p1
j ω1
0
h(t)
σ
0
−α
p2
− jω1
−αt
t
ω1 H (s) = 2 2 ( S + α ) + ω1
h(t ) = e sinω1t.u(t )
（2） 几种典型的极点分布 ） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面 共轭极点在右半平面 共轭极点在 jω h(t) jω1 p1
（1）一阶系统 ）
s − z1 H ( s) = K s − p1 s H ( s) = K s − p1
♦ 一零点，一在实轴的 一零点，
极点
♦ 一在原点的零点，一 一在原点的零点，
在实轴的极点
♦ 只有无穷远处的零点
k H (s) = s − p1
一在实轴的极点
例：求一高阶系统的频率特性
+ U1 — C R + U2 —
e(t )
τ
e(t)
t
R
C
v0 (t )
T
（1）求e(t)的拉氏变换 ） 的拉氏变换
1 1 (1 − e ) −sτ −snT E (s) = (1 − e )∑ e = −sT s s (1 − e ) n=0
∞
− sτ
（2）求系统函数 ）求系统函数H(s)
H (s) = 1 Cs R+ 1 Cs
激励E(s)的极点影响
♦ 激励 激励E(s)的极点也可能是复数 的极点也可能是复数 ♦ 增幅，在稳定系统的作 增幅，
用下稳下来，或与系统 用下稳下来， 某零点相抵消 ♦ 等幅，稳态 等幅，
♦ 衰减趋势，暂态 衰减趋势，
Re[ pk ] > 0 Re[ pk ] = 0 Re[ pk ] < 0
信号与系统 第五章 连续系统的s域分析
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f (t) e t e j t d t
f (t) e ( j )t d t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t=
1
2
Fb (
j) e j
td
f (t) 1
2
Fb (
j ) e( j )t d
令s = + j,d =ds/j，有
第5-3页
n1
f(n)(t) ←→ snF(s) – s n1m f (m) (0 ) m0
若f(t)为因果信号，则f(n)(t) ←→ snF(s)
例1:(n)(t) ←→?
例2: d [cos2t (t)] ?
dt
例3: d [cos2t] ?
dt
第5-19页
■
信号与系统 电子教案
5.2 拉普拉斯变换性质
例1:已知因果信号f(t)的象函数F(s)=
s s2 1
求e-tf(3t-2)的象函数。
解：e-tf(3t-2) ←→
s 1
2 (s1)
e3
(s 1)2 9
例2:f(t)=cos(2t–π/4) ←→ F(s)= ?
解cos(2t–π/4) =cos(2t)cos(π/4) + sin(2t)sin (π/4)
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
0
s2
2 0
第5-10页
■
信号与系统 电子教案
5.1 拉普拉斯变换
4、周期信号fT(t)
FT (s)
0
fT
(t) est d t
T 0
fT (t) est d t
第5章 系统函数与零、极点分析改
电子与信息工程学院
解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
电子与信息工程学院
k b
电子与信息工程学院
§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
电子与信息工程学院
H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
电子与信息工程学院
例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
电子与信息工程学院
该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
电子与信息工程学院
复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
电子与信息工程学院
H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
电子与信息工程学院
解 研究表明，该系统的微分方程为 即 从而得系统函数
由上式可得该系统的模拟框图，如图 (b)所示。
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k b
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§5.2 系统函数的零、极点
5.2.1零、极点的概念
零点： H(s)分子多项式N(s)=0的根，z1，z2， zm 极点： H(s)分母多项式D(s)=0的根，p1，p2， pn
H (s) I2 (s) 转移电流比 I1(s)
H (s) U2 (s) 转移阻抗 I1(s)
H (s) I2 (s) 转移导纳 U1(s)
双口传递函数 （转移函数）
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
锁相环是一个相位负反馈控制系统，应用很广。当 输入相位与输出相位的瞬时相位差恒定时，称为系 统锁定。
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例 锁相环及其阶跃响应：
三阶琐相环系统
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该系统函数
显然
a1a2 > a0a3
故系统稳定，且阶跃响应
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复习
一、系统函数的一般概念
即有如下关系：
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H(s)的特性： H(s)是联系输入和响应的纽带和桥梁，是系
统频率特性H(j)的S域表示；
H(s)取决于系统的结构和元件参数，与系统 的起始状态、激励和相应无关；
H(s)是一个实系数有理分式，它决定了系统 的特征根（固有频率）；
H(s)为系统冲激响应的拉氏变换。
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第五章 S域分析
• 这样，频域的傅里叶变换就推广到了 复频域的拉普拉斯变换。
第4-5页
§5.1 拉普拉斯变换
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、收敛域 三、因果信号的单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
第4-6页
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
• 频谱函数
• 存在问题
F (j ) f (t ) e jt d t
令 s j ,则
Fb ( s)
d
ds j
,得
双边拉普拉斯变换对
f (t )e st d t
1 f (t ) 2
Fb ( j ) e ( j )t d
Fb ( s) 称为 f (t )
的双边拉普拉斯变换（或象函数） f (t ) 称为 Fb ( s) 的双边拉普拉斯逆变换（或原函数）
第五章 连续系统的S域分析
电子与信息工程学院
连续系统的S域分析 目 录
5.1 5.2 5.4 拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 复频域分析
5.3 拉普拉斯逆变换
电子与信息工程学院
第4-2页
目 录
5.1
拉普拉斯变换
电子与信息工程学院
第4-3页
引言
上一章的频域分析是以虚指数信号ejωt为基本信号。
时域卷积定理 复频域（s域）卷积定理
f1 (t ) f 2 (t ) 2 j 1
c j c j
则 f1(t)*f2(t) ←→ F1(s)F2(s)
F1 ( ) F2 ( s ) d
(t ) f (t ) d F (s) ds
d n F ( s) d sn
jω
可见，对于反因果信号，仅当 Re[s]=<时，其拉氏变换存在。 收敛域如图所示。
第五章-拉普拉斯变换-前5节
第五章：拉普拉斯变换§5.1 定义、存在性（《信号与系统》第二版（郑君里）4.2）问题的提出：信号()f t 的傅里叶变换存在要求：()[]1L ,f t ∈-∞+∞，但有些信号不绝对可积，例如()1sgn L t ∉。
当时的处理方法是乘以双边指数函数，把符号函数“拉”下来，使相乘以后的信号绝对可积。
(){}(){}||0sgn lim sgn 0t t e t σσσ-→=>F F ，。
因此，便考虑将t e σ-纳入积分核，使非绝对可积信号可以做频谱分析。
为使问题简化，仅考虑t > 0的情形，即因果信号、单边变换。
对因果信号()()()f t f t u t =，(){}()()()j -j 00d d t tttef t f t eet f t e t σωσσω+∞+∞-+--⎡⎤==⎣⎦⎰⎰F()(){}0d stf t e t f t +∞-==⎰L（5-1）定义信号()f t 的（单边）拉普拉斯变换为：()(){}()0d j st F s f t f te t s σω+∞-=+⎰@@，L（5-2）()()()j j 01d d 2t t t f tef t e t e σωσωωπ+∞+∞-+--∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 令j s σω=+，σ为常数，d jd s ω=()()()j j j 1d 2jt f t F s e s σσωσπ+∞+-∞=⎰()(){}()j 1j 1d 2j st f t F s F se s σσπ+∞--∞⎰@@L（5-3）（4-2）式和（4-3）式是一对拉普拉斯变换式，()f t 称为原函数，()F s 称为像函数。
定义（指数阶函数）：指()f t 分段连续（存在有限个第一类间断点），且00M T ∃>>，，使()0t f t Me σ≤，对t T ∀>。
注：()()0O t f t e σ=。
()F s 存在：()F s <∞。
第五章 连续系统的S域分析
Re[s ] = σ > σ 0 = 0
t e t ε (t ) 、 t ε (t )
增长比任何指数阶都快，所以不存在拉氏变换。
另外，要注意还有一类信号：时限信号
∫
∞
0
f (t ) e −σt dt
T1 T2
f (t )
f (t )
=∫
f (t ) e −σt dt < ∞
0
T1
(a )
T2
t
0
2
t
满足绝对可积的条件。
3
假设 f (t )e −σt 满足绝对可积条件，则
ℱ
[ f (t )e ] = ∫ f (t )e
−σ t ∞ −∞ ∞
−σ t
e − jω t dt
收敛
上述积分结果是 (σ + jω )的函数，令其为 Fb (σ + jω ) 即：
=∫
−∞
f (t )e − (σ + jω ) t dt
σ 的值使
∫
∞ −∞
f (t ) e − σ
e −σ t ,适当
t
当
t → ±∞ 时,
信号幅度趋于0，从而使其满足绝对可积的条件：
f (t )e −σ t dt < ∞
例如
f (t ) = e 2 t ε (t )
2t ∞
∫
∞
−∞
e ε (t )dt = ∫ e 2 t dt
0
不满足绝对可积的条件。 只要
......
......
(1)
(2)
Fb (s ) 称为 f (t )的双边拉氏变换（或象函数）；
f (t ) 称为Fb (s )的双边拉氏逆变换（或原函数）。
清华大学信号与系统课件第五章 S域分析、极点与零点
没有零点
42
U2
幅频特性
U1
0,
1 RC
j ( j )
32
e(t ) Em sin 0t
Em 0 E ( s) 2 2 s 0
R( s ) E ( s ) H ( s ) n k j 0 k j 0 ki s j 0 s j 0 i 1 s pi
由正弦激励的极点 决定的稳态响应
1
M1 1.414
450
M2
j1
2 M 2 0.517 2 150
M3
3
j1
j1 (450 150 750 ) 1350
1 1 H ( j1) M 1M 2 M 3 2
M3 1.932 3 750
37
§5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的 S平面分析 • 已知该系统的H(s)的极零点在S平面 的分布，确定该系统的幅频特性和 相频特性的渐近线
Re pi 0
Re pi 0
等幅 衰减
24
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数 • 增幅，在稳定系统的作 Re[ p ] 0 k 用下稳下来，或与系统 某零点相抵消 • 等幅，稳态 Re[ p ] 0
k
• 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0
25
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。 e(t )
U 2 ( s) R s H ( s) U1 (s) R 1 s 1 sc RC
M
N
-1/RC
N j ( ) H ( j ) e M
40
U2
U1
0, N 0, M 1 RC N M 0
42
U2
幅频特性
U1
0,
1 RC
j ( j )
32
e(t ) Em sin 0t
Em 0 E ( s) 2 2 s 0
R( s ) E ( s ) H ( s ) n k j 0 k j 0 ki s j 0 s j 0 i 1 s pi
由正弦激励的极点 决定的稳态响应
1
M1 1.414
450
M2
j1
2 M 2 0.517 2 150
M3
3
j1
j1 (450 150 750 ) 1350
1 1 H ( j1) M 1M 2 M 3 2
M3 1.932 3 750
37
§5.3 一阶系统和二阶非谐振系统的 S平面分析 • 已知该系统的H(s)的极零点在S平面 的分布，确定该系统的幅频特性和 相频特性的渐近线
Re pi 0
Re pi 0
等幅 衰减
24
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数 • 增幅，在稳定系统的作 Re[ p ] 0 k 用下稳下来，或与系统 某零点相抵消 • 等幅，稳态 Re[ p ] 0
k
• 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0
25
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。 e(t )
U 2 ( s) R s H ( s) U1 (s) R 1 s 1 sc RC
M
N
-1/RC
N j ( ) H ( j ) e M
40
U2
U1
0, N 0, M 1 RC N M 0
s参数的零极点
在控制系统理论中，s参数（或拉普拉斯变换域中的复频率s）的零点和极点是非常重要的概念，它们对系统的稳定性和频率响应特性有着决定性的影响。
本文将详细介绍零点和极点的定义、物理意义、数学表达方式以及它们对系统性能的影响。
一、零点和极点的定义零点（Zeros）在控制系统中，零点是指使系统传递函数为零的s域值。
系统传递函数通常表示为系统输出与输入之比，形式上为一些多项式的比值。
当这个比值的分子多项式等于零时，对应的s值就是零点。
数学上，如果系统传递函数为：\[ G(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \]其中，\( N(s) \)是分子多项式，\( D(s) \)是分母多项式，则\( N(s) \)的根就是系统的零点。
极点（Poles）相对地，极点是指使系统传递函数趋向无穷大的s域值。
在上述传递函数中，当分母多项式\( D(s) \)等于零时，对应的s值就是极点。
数学上，\( D(s) \)的根就是系统的极点。
二、零点和极点的物理意义零点和极点反映了系统在复频率域内的动态行为。
极点直接关联到系统的自然响应，而零点则影响系统的强制响应。
系统的稳定性主要由极点的位置决定，极点位于左半s平面表示系统是稳定的，若有极点位于右半s平面或者虚轴上，则系统是不稳定的。
零点虽然不直接决定系统的稳定性，但会影响系统的增益和相位，从而影响系统的频率响应。
在某些频率下，零点可以导致系统增益减小，甚至产生相位的变化，这对系统的性能有着重要的影响。
三、数学表达方式传递函数的一般形式可以通过因式分解来表示其零点和极点：\[ G(s) = K \frac{(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)...(s-p_n)} \]其中，\( z_i \)表示第i个零点，\( p_j \)表示第j个极点，K是增益系数。
这种表达方式可以直观地看出系统的零点和极点的位置，以及它们对系统性能的影响。
信号与系统课件第五章-连续系统的S域分析
拉氏变换的基本性质
⑻ 复频域微分与积分特性
若 f t Fs
则
t f t d Fs
ds
,
tn
f
t
dn dsn
Fs
f
t
t
s
F
d
上一页
2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
24
拉氏变换的基本性质
⑼ 初值定理：若 f 及t 其各阶导数存在，不包含 及 t其 各
阶导数，且有
上一页 返 回
2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
3
引言
傅里叶变换是将一个连续时间信号从 时域特性的描述变换为频域特性的描述， 而拉普拉斯变换是将时域特性描述变换为 复频域特性的描述。
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2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
4
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
1
复频域分析
通过变换将时间变量转变为复频率 变量，在复频域内分析信号特性、系统 特性及其系统响应的方法。
上一页 返 回
2022/1/13
信号与线性系统——连续时间信号与系统的s 域分析
2
本章主要内容
拉普拉斯变换 拉普拉斯变换的性质 拉普拉斯反变换 系统响应的分析
13
拉氏变换的收敛域
拉氏变换有收敛域：要注意的是并不是 f te一t概可积， 而要取决于 的性f t质 及σ 的大小，在一个区域可积，在另一 个区域不一定可积。
收敛域：满足绝对可积时， f te中tσ 的取值范围。对大部 分信号而言，收敛域是存在的，故后面将不再讨论（研究）收 敛域而直接变换。
清华大学信号与系统课件第五章S域分析、极点与零点
2019/11/15
课件
22
本节作业
• 5-1，5-3，5-8，5-10， • 5-6*，5-9*，5-11* ， • 5-13，
2019/11/15
课件
23
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Repi0增幅
j
0
p1
h(t)
0
et t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p 2 j1
H(s) 1
h(t)sin 1t.u(t)
2019/11/15
S 2
2
0 p1 t
H (s) 1 S
2019/11/15
h(t)u(t)
课件
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H(s) 1
S
h(t) et
2019/11/15
课件
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
幅度该变
相位偏移
2019/11/15
课件
34
H(j0)H0ej0
H(j)H(j)ej(j)
若 0 换成 变量
系统频率
特性
幅频特性 相位特性
2019/11/15
58 S域分析、极点与 零点 - 华东理工继续教育学院
18
（4） 零点的影响
H1(s) s 1 ( s 1) 1
零点移动 到原点
2
H 2 (s)
s2 ( s 1) 2 1
z0
z0
h(t) et cost et sint 2et cos( t 45o )u(t)
h ( t ) e t cos t u ( t )
j
h(t)
0
t
1 H ( s) 2 (S )
h ( t ) te
t
13
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
2 S H (s) 2 2 2 (S 1 )
h (t ) t sin 1t
14
（3） 有二重极点分布—— (d)在左半平面有二重共轭极点
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
h (t )
e t
p1
t
1 H (s) S
h (t ) e
t
6
（2） 几种典型的极点分布—— (p1
e
0
t
t
1 H (s) S
h(t ) e
t
7
（2） 几种典型的极点分布—— (d)一阶共轭极点在虚轴上
§5.8.3 暂态响应与稳态响应
•暂态响应:激励接入后，全响应中暂时出现的成分， 随着t得增大，它将消失。 稳态响应：全响应－暂态响应分量
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们实部 和虚部对研究系统的稳定性很重要 • 不稳定系统 Re p i 0 自由响应增幅震荡 • 临界稳定系统 Re p i 0 自由响应等幅震荡 稳态分量 • 稳定系统
（4） 零点的影响
H1(s) s 1 ( s 1) 1
零点移动 到原点
2
H 2 (s)
s2 ( s 1) 2 1
z0
z0
h(t) et cost et sint 2et cos( t 45o )u(t)
h ( t ) e t cos t u ( t )
j
h(t)
0
t
1 H ( s) 2 (S )
h ( t ) te
t
13
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
2 S H (s) 2 2 2 (S 1 )
h (t ) t sin 1t
14
（3） 有二重极点分布—— (d)在左半平面有二重共轭极点
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
h (t )
e t
p1
t
1 H (s) S
h (t ) e
t
6
（2） 几种典型的极点分布—— (p1
e
0
t
t
1 H (s) S
h(t ) e
t
7
（2） 几种典型的极点分布—— (d)一阶共轭极点在虚轴上
§5.8.3 暂态响应与稳态响应
•暂态响应:激励接入后，全响应中暂时出现的成分， 随着t得增大，它将消失。 稳态响应：全响应－暂态响应分量
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们实部 和虚部对研究系统的稳定性很重要 • 不稳定系统 Re p i 0 自由响应增幅震荡 • 临界稳定系统 Re p i 0 自由响应等幅震荡 稳态分量 • 稳定系统
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tg1( a )
多了相移
20
§5.2-1 自由响应与强迫响应
u
m
(s zl ) (s z j )
R(s) E(s).H (s)
l 1 v
.
j 1 n
(s pk ) (s pi )
k 1
i 1
来自H(s) 的极点
n
R(s)
ki
v
kk
i1 s pi k 1 s pk
V0t
(s)
K1
s
K1
V0 (s)(s
)
s
1 1
e eT
固定常数
v0t (t)
1 1
e eT
.e t
衰减因子
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
H
(s).E1(s)
(1 es s(s )
)
28
（7）求第一周期的稳态响应
j
0
p1
h(t)
0
et t
H (s) 1
S
h(t) et
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s) 1
h(t) sin1t.u(t)
S 2 12
8
（2） 几种典型的极点分布——
(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点
j
p1 j1
s
n0
1 s
(1 es ) (1 esT )
26
（2）求系统函数H(s)
j
H (s)
1 Cs
1
RC
R 1
s
Cs
（3）求系统完全响应的拉氏变换V0 (s)
V0 (s)
E(s).H (s)
(1 es ) s(s )(1 esT
)
V 0(s) V0t (s) V0s (s)
暂态
稳态
27
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
• 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 极点相消将使某固有频率丢失。
22
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Re pi 0 增幅
• 临界稳定系统 Re pi 0 等幅
• 稳定系统 Re pi 0 衰减
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s) S
h(t) cos1t.u(t)
S 2 12
9
（2） 几种典型的极点分布——
(f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
h(t)
0
0
t
p2
j1
H
(s)
(S
1 )2
12
h(t) et sin1t.u(t)
10
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面
m
k(s zj)
H (s)
j 1 n
(s pi)
i 1
j
p1
z1
p0
z0
p2
z2
3
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
m
k(s zj)
H(s)
j 1 n
(s pi)
i 1
反变换
h(t)
L1
n
i1
ki s pi
n
n
kie pit
强迫响应就是稳态响应
• 正弦稳态响应：正弦信号作用下的强迫 响应
• 若激励本身为衰减函数，强迫响应与只 有响应一起组成暂态响应，稳态响应为0
25
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。
e(t)
e(t) R
t
C
v0 (t)
T
（1）求e(t)的 esnT
hi (t)
i 1
i 1
总特性
第 i个极点决定
4
（2） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点
j
h(t)
0 p1
t
H (s) 1 S
h(t) u(t)
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H (s) 1
S
h(t) et
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
来自E(s) 的极点
自由响应
n
v
r(t) kie pit kk e pkt
i 1
k 1
强迫响应
21
结论
• H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率， 与激励无关
• 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 点有关，即零点影响 K i , K k 系数
• E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 与H(s) 无关
15
j
一阶极点
16
j
二重极点 17
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋 势
• 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣 势
• 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点
• 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
18
（4） 零点的影响
H1(s)
(s
sa
a)2 2
23
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数
• 增幅，在稳定系统的作
用下稳下来，或与系统 Re[ pk ] 0
某零点相抵消
• 等幅，稳态
Re[ pk ] 0
• 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0
24
稳态响应和暂态响应
• 对于稳定系统：H（S）极点的实部都小 于0
• 自由响应就是暂态响应 • 若激励E(s)的极点的实部大于或等于0，
第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性
1
系统函数的定义
• 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励 拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).
H (s) R(s) E(s)
• 可以是电压传输比、电流传输比、转移 阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
2
系统函数的极零点分布
j
h(t)
j1 p1
0
0
t
j1 p2
H (s)
(S
1 )2
12
h(t) sin1t.u(t)
11
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
j
h(t)
0
t
H (s)
1 S2
h(t) t
12
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
1
)2
h(t) tet
13
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
2S 2 12 )2
h(t) t sin1t
14
（3） 有二重极点分布——
(d)在左半平面有二重共轭极点
j
j1
h(t)
0
t
j1
H
(s)
[(
2 (S ) S )2 12
]2
h(t) tet sin1t
H2 (s)
(s
s a)2
2
零点移动
z0
到原点
z0
h(t) eat cost
h(t) eat 1 a 2 cos(t )
tg1( a )
19
（4） 零点的影响
• 零点的分布只影响时域函数的幅度 和相移，不影响振荡频率
h(t) eat cost
幅度多了
一个因子 h(t) eat 1 a 2 cos(t )
多了相移
20
§5.2-1 自由响应与强迫响应
u
m
(s zl ) (s z j )
R(s) E(s).H (s)
l 1 v
.
j 1 n
(s pk ) (s pi )
k 1
i 1
来自H(s) 的极点
n
R(s)
ki
v
kk
i1 s pi k 1 s pk
V0t
(s)
K1
s
K1
V0 (s)(s
)
s
1 1
e eT
固定常数
v0t (t)
1 1
e eT
.e t
衰减因子
(5) 求第一个周期引起的响应的拉氏变换V01(t)
V01(s)
H
(s).E1(s)
(1 es s(s )
)
28
（7）求第一周期的稳态响应
j
0
p1
h(t)
0
et t
H (s) 1
S
h(t) et
7
（2） 几种典型的极点分布——
(d)一阶共轭极点在虚轴上
j
p1 j1
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s) 1
h(t) sin1t.u(t)
S 2 12
8
（2） 几种典型的极点分布——
(e)共轭极点在虚轴上，原点有一零点
j
p1 j1
s
n0
1 s
(1 es ) (1 esT )
26
（2）求系统函数H(s)
j
H (s)
1 Cs
1
RC
R 1
s
Cs
（3）求系统完全响应的拉氏变换V0 (s)
V0 (s)
E(s).H (s)
(1 es ) s(s )(1 esT
)
V 0(s) V0t (s) V0s (s)
暂态
稳态
27
（4）求暂态响应，它在整个过程中是一样的。
• 用H(s)只能研究零状态响应， H(s)中零 极点相消将使某固有频率丢失。
22
§5.2- 暂态响应与稳态响应
• 系统H(s)的极点一般是复数，讨论它们 实部和虚部对研究系统的稳定性很重要
• 不稳定系统 Re pi 0 增幅
• 临界稳定系统 Re pi 0 等幅
• 稳定系统 Re pi 0 衰减
h(t)
0
0
t
p2 j1
H (s) S
h(t) cos1t.u(t)
S 2 12
9
（2） 几种典型的极点分布——
(f)共轭极点在左半平面
j
p1
j1
h(t)
0
0
t
p2
j1
H
(s)
(S
1 )2
12
h(t) et sin1t.u(t)
10
（2） 几种典型的极点分布—— (g)共轭极点在右半平面
m
k(s zj)
H (s)
j 1 n
(s pi)
i 1
j
p1
z1
p0
z0
p2
z2
3
§5.1 由系统函数的极零点分布决定
时域特性 （1）时域特性——h(t) Ki与零点分布有关
m
k(s zj)
H(s)
j 1 n
(s pi)
i 1
反变换
h(t)
L1
n
i1
ki s pi
n
n
kie pit
强迫响应就是稳态响应
• 正弦稳态响应：正弦信号作用下的强迫 响应
• 若激励本身为衰减函数，强迫响应与只 有响应一起组成暂态响应，稳态响应为0
25
例：周期矩形脉冲输入下图电路，求其暂态和稳 态响应。
e(t)
e(t) R
t
C
v0 (t)
T
（1）求e(t)的 esnT
hi (t)
i 1
i 1
总特性
第 i个极点决定
4
（2） 几种典型的极点分布—— (a)一阶极点在原点
j
h(t)
0 p1
t
H (s) 1 S
h(t) u(t)
5
（2） 几种典型的极点分布—— (b)一阶极点在负实轴
j
0
p1
h(t)
e t
t
H (s) 1
S
h(t) et
6
（2） 几种典型的极点分布—— (c)一阶极点在正实轴
来自E(s) 的极点
自由响应
n
v
r(t) kie pit kk e pkt
i 1
k 1
强迫响应
21
结论
• H(s)的极点决定了自由响应的振荡频率， 与激励无关
• 自由响应的幅度和相位与H(s)和E(s)的零 点有关，即零点影响 K i , K k 系数
• E(s)的极点决定了强迫响应的振荡频率， 与H(s) 无关
15
j
一阶极点
16
j
二重极点 17
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋 势
• 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣 势
• 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点
• 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
18
（4） 零点的影响
H1(s)
(s
sa
a)2 2
23
激励E(s)的极点影响
• 激励E(s)的极点也可能是复数
• 增幅，在稳定系统的作
用下稳下来，或与系统 Re[ pk ] 0
某零点相抵消
• 等幅，稳态
Re[ pk ] 0
• 衰减趋势，暂态
Re[ pk ] 0
24
稳态响应和暂态响应
• 对于稳定系统：H（S）极点的实部都小 于0
• 自由响应就是暂态响应 • 若激励E(s)的极点的实部大于或等于0，
第五章 S域分析、极 点与零点
决定系统的时域响应 决定系统频率响应 决定系统稳定性
1
系统函数的定义
• 系统零状态下，响应的拉氏变换与激励 拉氏变换之比叫作系统函数，记作H(s).
H (s) R(s) E(s)
• 可以是电压传输比、电流传输比、转移 阻抗、转移导纳、策动点阻抗或导纳
2
系统函数的极零点分布
j
h(t)
j1 p1
0
0
t
j1 p2
H (s)
(S
1 )2
12
h(t) sin1t.u(t)
11
（3） 有二重极点分布—— (a)在原点有二重极点
j
h(t)
0
t
H (s)
1 S2
h(t) t
12
（3） 有二重极点分布—— (b)在负实轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
1
)2
h(t) tet
13
（3） 有二重极点分布—— (c)在虚轴上有二重极点
j
h(t)
0
t
H
(s)
(S
2S 2 12 )2
h(t) t sin1t
14
（3） 有二重极点分布——
(d)在左半平面有二重共轭极点
j
j1
h(t)
0
t
j1
H
(s)
[(
2 (S ) S )2 12
]2
h(t) tet sin1t
H2 (s)
(s
s a)2
2
零点移动
z0
到原点
z0
h(t) eat cost
h(t) eat 1 a 2 cos(t )
tg1( a )
19
（4） 零点的影响
• 零点的分布只影响时域函数的幅度 和相移，不影响振荡频率
h(t) eat cost
幅度多了
一个因子 h(t) eat 1 a 2 cos(t )