高等数学函数的概念.ppt
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高等数学-山大全套课件
奇函数的图形关于原点对称, 偶函数的图形关于y轴对称,如图. 1-2所示.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
y
y f ( x)
( x, f ( x ))
A'
y
y f ( x)
f ( x)
x
A
( x. f ( x))
x
f ( x)
A ( x. f ( x ))
O
x
A'
y f ( x)
x
O
(b)偶函数
x
x
( x, f ( x))
如果对每一个x D, 都有惟一的y M 与之对应, 那么称 这种函数为单值函数. 否则为多值函数.
通过函数定义,可以发现,构成函数的两个重要因素为对应 关系与定义域. 显然,两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同 时,这两个函数才认为是相同的.
2.函数的定义域
定义域是构成函数的重要因素之一,因此研究函数,就必须 注意函数的定义域.在考虑实际问题时,应根据问题的实际意义 确定定义域.例如,匀速直线运动的位移s = vt ,t是时间,故只能 取非负数.对于用数学表示的函数,其定义域由函数表达式本身 来确定, 即使运算有意义.如:
例如, 上述分段函数中f (4) 4 2; f (3) -(-3)=3.
3
O
4
图1-1 分段函数f(x) 图形
二、函数的几种特性
1.函数的奇偶性
如果函数f(x)的定义域关于原点对称,且对任意x都有f(-x)= -f(x) 则称f(x)为奇函数;如果f(x)的定义域关原点对称,且对任意x,都有f (-x)= f(x),则称f(x)为偶函数.如果函数既非奇函数,也非偶函数,则 称f(x)为非奇非偶函数.
1. 2. 3. 4. 5.
高数第一章函数
A ( r )12
当x 在D内取定一个数值 x0 时，y f x 有确定的
值与之相对应， 则称此值为 y f x 在 x0 处的函数值
记为： f x0 或
f x
f x x x 0
x x0 f x0
y
x x0
当 x 取遍 D 内的各个数值时， 对应的函数值的全体 构成了函数 y 的值域 f ( D ). 注： 1、当自变量的值改变时， 函数值不一定改变。 即
弹簧秤能承担的总重量. 介于某两个定数（点）之间的一切实数（点） 定义1 称为区间。 而那两个定数（点）称为这个区间的端点。
以 a, b 为端点的区间：
开区间 ( a , b ) x
a x b
a a
b b
3
x x
闭区间 [ a , b ] x a x b
半开区间 无限区间
y f ( x) , x D 其中x为自变量；y 为因变量, D为定义域。
记为
。
当x取遍D内所有元素时，对应的y所组成的数集W 称为函数的值域，记作
W W [ f ( x)] { y y f ( x), x D}
9
1、函数的定义
设 x 与 y 是两个变量，当 x 在某个实数集D内任取定 一数值时， y 按照一定的法则总有确定的数值与它对应。 则称 y 是 x 的函数。 记为 • 定义域
例.
三、函数的表示法（如书自学） 公式法 、图象法 、列表法.
15
四. 反函数 1. 反函数的概念及性质 可以根据问题的需要 在研究两个变量间的函数关系， 任意选取其中一个为自变量， 则另一个就是因变量。
1 2 S gt 距离S是时间 t 的函数 2 2 S 若用S来确定所需要的时间 t t g 即 t 是S的函数
大学高数第一章函数和极限ppt课件
例如函数 y x2 在 (, 0) 上单调递减， 在 (0, ) 上单调递增
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
7
3.函数的奇偶性
如函数 y f (x) 的定义域 D 关于原点对称，且对于任意 xD ，均有： f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是偶函数； 若是 f (x) f (x) ，则称该函数在其定义域内是奇函数；
lim 3x
x
28
2、当 x x0 时函数极限
定义 1.6 设函数在点 x0 附近有定义（但在这一点可以没有
定义），若 x （ x x0 ）无论以怎样的方式趋近于 x0 ，函
数 f (x) 都无限趋近于一个常数 A ，就称当 x 趋近于 x0 时，
函数以 A 为极限，记为：
lim f (x) A 或
(2)
1 x 1
ln(x 0
1)
1
1
e
x
1 1
x
e
1
D :[1 1, e 1] e
12
邻域的概念
以 x0 为中心的任何开区间称为点 x0 的邻域，记作 N x0 。 设 为任一正数，称开区间 x0 , x0 为 x0 的 邻 域，记作 N x0 , ， x0 称为邻域的中心， 称为邻域的半
无界的。
如:函数 y sin x ，在 ,内有界,且：| y | 1
10
1.1.3复合函数
定义 1.2 如变量 y 是变量 u 的函数，变量 u 又是
变量 x 的函数，即： y f (u) ， u (x) ， 且 u (x) 的值域与 y f (u) 的定义域有公共部分， 则称 y 是 x 的复合函数，记作： y f [(x)]
高等数学课件完整
要点二
二重积分的性质
二重积分具有一些基本性质，如线性性、可加性、保号性 等。这些性质在求解二重积分时非常有用。
07 无穷级数
常数项级数的概念与性质
常数项级数的定义
由一系列常数按照一定顺序排列并加上正负号组 成的无穷序列。
收敛与发散
常数项级数可能收敛于一个有限值，也可能发散 至无穷大或不存在。
级数的基本性质
特点
高等数学具有抽象性、严谨性和 应用广泛性等特点，需要学生具 备较强的逻辑思维能力和数学基 础。
高等数学的重要性
培养逻辑思维能力
高等数学的学习有助于培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学 素养和解决问题的能力。
为后续课程打下基础
高等数学是许多后续课程的基础，如物理学、工程学、经济学等， 掌握高等数学有助于学生更好地理解和应用这些学科的知识。
不定积分的性质
不定积分具有线性性、 可加性、常数倍性等基 本性质，这些性质在求 解积分时非常有用。
基本积分公式
掌握基本积分公式是求 解不定积分的基础，如 幂函数、指数函数、三 角函数等的基本积分公 式。
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分学中的另一个重 要概念，它表示函数在某个区
间上的积分值。定积分记为 ∫[a,b]f(x)dx，其中a和b是积
函数的性质
函数具有有界性、单调性、奇偶性、周 期性等重要性质，这些性质对于研究函 数的图像和变化规律具有重要意义。
极限的概念与性质
1 2 3
极限的定义
极限是描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势 的重要工具，它可以通过不同的方式定义，如数 列极限、函数极限等。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保号性、四则运算法 则等重要性质，这些性质对于求解极限问题和证 明极限定理具有重要作用。
高等数学函数
例如 方程xy310确定的隐函数为 y 3 1 x
把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化
但是并非每个方程都表示一个单值函数.
y 1 x2 如 x y 1
2 2
高等数学
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5、反函数
y
函数 y f ( x )
y0
y
反函数x ( y )
y0
W
W
例如 A {1,2},
C { x x 2 3 x 2 0}, 则 A C .
不含任何元素的集合称为空集. ( 记作 )
例如, { x x R, x 1 0}
2
规定 空集为任何集合的子集.
高等数学
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
y a0 a1 x an x n 不是初等函数
y e sin x 1
x 2
为初等函数
x x0 不是初等函数 y x 1 x 0
高等数学
47
x, x 0 例1 y x x , x 0
复合而成的复合函数
是由y u和u x 2
则称函数 f ( x )在区间 I上是单调减少的;
y
y f (x)
f ( x1 )
f ( x2 )
o
I
高等数学
x
2．函数的奇偶性:
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x ) f ( x ) 称 f ( x )为偶函数 ;
y
y f ( x)
f ( x )
-x o 偶函数 高等数学 x
当x0 D时, 称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
高等数学ppt课件
05
常微分方程初步
常微分方程基本概念
1 2
常微分方程定义
明确常微分方程的定义，包括独立变量、未知函 数、方程阶数等概念。
初始条件和边界条件
解释初始条件和边界条件在解常微分方程中的作 用和意义。
3
常微分方程的解
阐述通解、特解、隐式解、显式解等概念，并举 例说明。
一阶常微分方程解法
分离变量法
介绍分离变量法的原理、步骤和适用范围，通 过实例演示其应用。
向量积定义
两向量按照右手定则所构成的平行四边形的面积，结果为一向量，可用于计算法向量、判断三向量共 面等。
平面和直线方程求解方法
要点一
平面方程求解方法
包括点法式、一般式等，用于确定平面在空间中的位置。
要点二
直线方程求解方法
包括点向式、参数式等，用于确定直线在空间中的位置和 方向。
常见曲面方程及其图形特征
为未来职业生涯打基础
许多行业都需要具备一定的数学基础 ，学习高等数学有助于为未来职业生 涯打下坚实基础。
02
函数与极限
函数概念与性质
函数定义
详细解释函数的定义，包括函数值、定义域、值域等概念。
函数性质
介绍函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质，并举例说明。
初等函数及其图像
基本初等函数
详细讲解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的定义、性质和图像。
隐函数求导法
阐述隐函数存在定理，介绍隐函数求导方法及应用实例。
二重积分定义和计算方法
二重积分定义
阐述二重积分概念、性质及实际意义，介绍 二重积分在物理、工程等领域的应用。
二重积分计算方法
分别介绍直角坐标系和极坐标系下二重积分 的计算方法，包括累次积分法、换元积分法
《高等数学》 第一章(上)
25
1 005
5
超过 35 000 元至 55 000 元的部分
30
2 755
6
超过 55 000 元至 80 000 元的部分
35
5 505
7
超过 80 000 元的部分
45
13 505
第一节 函数的概念
个人所得税=(工资-五险一金-个税起征点)×税率-速算扣除数，用分段函 数可表示为
3%x ，
y0 y |xx0 f (x0 ) ．
函数 y f (x) 的定义域 D 是自变量 x 的取值范围，而函数值 y 又是由对应 法则 f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域 D 和对应法则 f 所确定的．通 常称函数的定义域 D 和对应法则 f 为函数的两要素．只要函数的定义域相同， 对应法则也相同，它们就是相同的函数，而与变量用什么字母或符号表示无关．
第一节 函数的概念
三、函数的概念
函数的记号通常记作 y f (x) ，在后续内容或后续课程中可能有下列记号， 也表示函数．例如
y F(x)，y g(x) ，y G(x) ，y (x) ， s s(t)，v v(t) ，a a(t) ，r r( ) ．
又如，经济学中的成本函数就是表示企业总成本与产量之间关系的公式，它 分为短期成本函数和长期成本函数，其中，短期成本函数 C C(q) 可分为固定成 本 b 与可变成本 f (q) ，即 C b f (q) ．经济学中除了成本函数外，还有收入函 数 R R(q) 和利润函数 L L(q) ，其中， L R C ，这里 q 表示产品的数量．
y f (x) ，x D ． 其中，变量 x 称为自变量，变量 y 称为因变量，集合 D 称为函数的定义域， f 称为函数的对应法则．
高等数学基础PPT第一章
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.1函数的概念与特性—函数的几种简单性态
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1.2初等函数与建立函数关系式—初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式ห้องสมุดไป่ตู้初等函数
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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1.2初等函数与建立函数关系式— 建立函数关系式举例
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高等数学基础
第一章 函数及其图形
主讲:
函数及其图形
函数的概念与特性
集合与区间 函数 函数的几种简单性态
初等函数与建立函数关系式
初等函数 建立函数关系式举例
退出
1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
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1.1函数的概念与特性--集合与区间
高等数学ppt课件
定积分的性质
定积分具有可加性、可积性、可微性等性质 。
定积分的应用
01
02
03
几何应用
定积分可以用于计算平面 图形和三维物体的面积和 体积，如矩形、圆形、球 体等。
物理应用
定积分可以用于计算变力 沿直线做功、液体压力等 物理问题。
经济应用
定积分可以用于计算经济 指标，如成本、收益、利 润等。
05
多重积分与向量分析
多重积分的概念与性质
多重积分的定义
多重积分是单变量积分概念的推广，它涉及多个变量 的积分。多重积分可以看作是对于每个变量进行积分 ，然后将结果相乘。
多重积分的性质
多重积分的性质包括积分的可加性、积分的可交换性、 积分的可结合性等。这些性质与单变量积分的性质类似 ，但需要考虑到多个变量的复杂性。
函数定义
函数是一种数学工具，它建立了数与数之间的对应关系，可以将一个数集中的每一个数唯一地映射到另一个数集中。 函数的性质包括定义域、值域、对应关系等。
函数的表示方法
函数的表示方法有表格法、图示法和解析法等，其中解析法是最常用的方法之一。解析法是通过数学表达式来表示函 数的关系。
函数的单调性
函数的单调性是指函数在某区间内的单调递增或单调递减的性质。单调函数具有连续性和可导性等性质 。
03
导数与微分
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数值随自变量改变速率的 方式，是函数局部性质的重要体现。
VS
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函 数在这一点处切线的斜率。导数的基本性 质包括：（1）常数函数的导数为零；（ 2）导函数在某点的极限就是原函数在该 点的导数值；（3）两个函数相加或相减 后的导数等于各自导数之和或之差；（4 ）常数倍函数的导数等于该常数乘以原函 数的导数。
高等数学课件1.1 函数
y
2
o 2 x
周期为 注 . : 周期函数不一定存在最小正周期 . 例如, 常量函数 f ( x) C
周期为
四
几类简单函数及其图形（图形见教材P9-11）
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1.1.3. 反函数与复合函数
一 反函数
定义1.1.2 设函数 当 时，有
的定义域为D, 如果对任何
称为 y = f ( x ) 的反函数 . 习惯上记作
y f 1 ( x) , x f ( D)
函数
与其反函数 的图形关于直线
y yx
Q(b, a) y f ( x)
对称 .
例如 ,
指数函数 y e x , x ( , ) 对数函数 它们都单调递增, 其图形关于直线
证明
x (0, ),
则 f ( x ) sin( x ) cos( x ) 1 sin x cos x 1, 所以,该函数是非奇非偶函数. （P16，习题7 的结论）
4 周期性
x D, l 0 , 且 x l D, 若
则称 f ( x)为周期函数 , 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ).
u sin x 可定义复合
u 2 sin x不能构成复合函数 .
2
三. 初等函数
(1) 基本初等函数 幂函数：
指数函数：
对数函数： 三角函数： 反三角函数：
(2) 初等函数 由常数及基本初等函数 经过有限次四则运算和复合步 骤所构成 , 并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 .
闭区间 [ a , b ] x a x b
集合之间的关系及运算 定义2 . 设有集合 A , B , 若 x A 必有 x B , 则称 A 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A , 记作 A B .
《高等数学》第一章函数与极限第一节 函数
5
4 x 5,
4
5
6
x
5） . 因此，函数的定义域为 D [4，
14
第1 章 函数与极限
1.1 函数
3. 单值函数与多值函数
若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的 函数值总是只有一个，这种函数称为单值函数，否 则称为多值函数．
例如，x y a ．
2 2 2
y a x
( 0,1)
当 0<a<1 时，函数单调减少
28
第1 章 函数与极限
1.1 函数
3. 对数函数
y loga x (a 0, a 1)
y log a x
对数函数是指数函数 y = ax 的反函数 定义域为(0, +) 图形通过(1, 0)点 当 a>1 时, 函数单调增加 当 0<a<1 时, 函数单调减少
则称 f ( x ) 在I 上有上界, M 为 f ( x ) 的一个上界.
若I D, 数m, x I , 总有 f ( x) m 成立,
则称 f ( x) 在I 上有下界, m为 f ( x ) 的一个下界.
如果 f ( x ) 在 I 上既有上界, 又有下界, 则称函数 f ( x ) 在 I 上有界.
32
第1 章 函数与极限
1.1 函数
5. 反三角函数
y
反正弦函数
y arcsin x
-1
p
2
定义域为[-1, 1]
p p 值域为 , 2 2
O
1 x
p
2
函数单调增加，奇函数，是有界函数
33
第1 章 函数与极限
1.1 函数
4 x 5,
4
5
6
x
5） . 因此，函数的定义域为 D [4，
14
第1 章 函数与极限
1.1 函数
3. 单值函数与多值函数
若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的 函数值总是只有一个，这种函数称为单值函数，否 则称为多值函数．
例如，x y a ．
2 2 2
y a x
( 0,1)
当 0<a<1 时，函数单调减少
28
第1 章 函数与极限
1.1 函数
3. 对数函数
y loga x (a 0, a 1)
y log a x
对数函数是指数函数 y = ax 的反函数 定义域为(0, +) 图形通过(1, 0)点 当 a>1 时, 函数单调增加 当 0<a<1 时, 函数单调减少
则称 f ( x ) 在I 上有上界, M 为 f ( x ) 的一个上界.
若I D, 数m, x I , 总有 f ( x) m 成立,
则称 f ( x) 在I 上有下界, m为 f ( x ) 的一个下界.
如果 f ( x ) 在 I 上既有上界, 又有下界, 则称函数 f ( x ) 在 I 上有界.
32
第1 章 函数与极限
1.1 函数
5. 反三角函数
y
反正弦函数
y arcsin x
-1
p
2
定义域为[-1, 1]
p p 值域为 , 2 2
O
1 x
p
2
函数单调增加，奇函数，是有界函数
33
第1 章 函数与极限
1.1 函数
高等数学(微积分学)教学课件
三、两个重要极限
重要极限Ⅰ lim sin x 1 x0 x
它可以拓展为 lim sin[ f (x)] 1 f (x)0 f (x)
sin 2x
例：lim x 2x
1
1 cos x
lim
x0
x2
lim
x0
2 sin 2 x 2
4 x2 4
lim
1
sin
x 2
x0 2 x
2
2
1 2
判断：lim sin x 1
叫做因变量.
数集 D 称为这个函数的定义域.
全体函数值的集合称为函数的值域.
2. 函数的表示法
解析法（公式法）：用解析表达式（或公式）表示函数关系.
y x 1
表格法：用列表的方法来表示函数关系.
x123456789 y 1 4 9 16 25 36 49 64 81
图示法：用平面直角坐标系 xoy 上的曲线来表示函数关系.
x
x
1 0
x
x
1
1
1 lim( x0 1
x
)
1 x
x
lim
x0
(1 (1
x) x
1
x) x
lim x0
(1 x) x
1 (1)
[1 (x)] x
e e1
e2
一类特殊极限
若f
(x)
a0 xm a1xm1 a2 xm2 b0 xn b1xn1 b2 xn2
am1x am bn1x bn
x 果对于定义区间的任意点 , 恒有 f (x) f (x) , 则称f (x)
为 D 内的偶函数；如果恒有 f (x) f (x) , 则称 f (x)为D
高等数学11 第一节 函数的概念和性质
如函数 y x. 3 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存 在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是 相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的周期性
设函数 y f x 的定义域为Df ,如果存在一个
常数 T 0 ,使得对任意 x Df有 x T Df ,且
f x T f x,则称函数 f x为周期函数, T 称为f x
的周期.
显然,若 是T周期函数 的f 周x期,则 也是kT f x的 周期 k 1,2,通,3, 常说的周期就是最小正周期.
I 上是单调减少的. 它们统称为单调函数.使函数 保持单调性的自变量的取值区间称为该函数的单 调区间 .
如函数 y ln x在0, 内是单调增加的,函数 y x在 ,内是单调减少的.
4.函数的有界性
设函数 y f x在区间 I上有定义,如果存在正 常数 M ,使得对于区间 I 内所有x ,恒有 f x M , 则称函数 f x在区间 I 上有界.如果这样的M 不存 在,则称f x在区间 I 上无界.
解 ⑴ f x与gx不是相同的函数,因为定义域不同. ⑵ f x与 gx是 相同的函数,因为定义域与对应
法则都相同.
注 求函数定义域时应注意的一般规律
① 开偶次方,根号内的表达式不小于零; ② 对数中的真数必须大于零; ③ 分式中的分母不能为零; ④ 反正弦和反余弦符号下的表达式的绝对值不能
大于1; ⑤ 分段函数的定义域是各段定义域的并集.
如函数y sin x 和 y cos x 都是以2 为周期的 周期函数.
3.函数的单调性
设函数 y f x在区间 I上有定义,对I 内的任 意两点 x1, x2 ,当 x1 x2时,若有f x1 f x2 ,则称f x 在 I 上是单调增加的;若有 f x1 f x2 ,则称 f x在
如函数 y sin x 在区间 ,内是有界的.
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一种包含这两门科学的优点而避免其缺点的方法”,
把几何问题化成代数问题 , 给出了几何问题的统一
作图法, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法,
恩格斯把它称为数学中的转折点.
2020-6-17
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5
华罗庚(1910～1985)
我国在国际上享有盛誉的数学家. 他在解析数论, 矩阵几何学, 典型群, 自守函数论, 多复变函数论, 偏微分方
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3
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二、如何学习高等数学 ?
1. 认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣.
一门科学, 只有当它成功地运用数学时, 才能达到真正完善的地步 .
马克思
要辨证而又唯物地了解自然 ,
就必须熟悉数学.
恩格斯
2. 学数学最好的方式是做数学.
聪明在于学习 , 天才在于积累 .
主讲教师：陈殿友 2020-6-17
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总课时：114 24
二、函数
1. 函数的概念
定义2. 设有两个变量x和y，如果对于x所考虑范围内 的每一个值，y按一定的规则对应着一个确定的值，则称y 是x的函数，记作y=f(x).
定义3. 对于自变量x变化范围内的每一个值x0，函数y 有一个确定的值y 0与之对应，我们称函数在点x0处是有定 义的，使函数有定义的全体的点的全体（也就是x的变化 范围）称为函数的定义域。
第一讲 函数的概念
主讲教师： 2020-6-17
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总课时：11 24
引言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
恩格斯
2020-6-17
数学中的转折点是笛卡儿的变数.
有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
(定义域)
(对应规则)
(值域)
• 定义域
定义域
y f (x), x D
因变量
自变量
2020-6-17
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f ( D ) 称为值域 函数图形:
C (x , y) y f (x) , x D
y
ax bx ( D [a,b])
2020-6-17
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x D f y f (D) y y f (x), x D
同达2到020-全6-17面提高学生数学素谢质谢阅的读 目的。
7
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第一章 函数、极限、连续
分析基础
函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
2020-6-17
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8
§1 函数
一、集合 二、函数
第一章
2020-6-17
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9
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2020-6-17
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10
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表示法：
(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .
例:
有限集合
A a1 , a2 , L , an
a
i
n i 1
自然数集 N 0, 1, 2 ,L , n,L n
(2) 描述法：M x x 所具有的特征
有了变数 , 微分和积分也就立刻成
为必要的了,而它们也就立刻产生.
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主要内容
1. 分析基础: 函数 , 极限, 连续. 2. 微积分学: 1) 一元微分学; 2) 一元积分学. 3. 多元微积分: 1)多元函数微分学 2) 二重积分; 4. 常微分方程
2020-6-17
例: 整数集合 Z x x N 和 x N
有理数集
Q
p q
p Z, q N , p 与 q 互质
实数集合 R x x 为有理数或无理数
开区间 ( a , b ) x a x b
a,b
2020-6-17
o o 谢谢阅读
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闭区间 [ a , b ] x a x b
通过本课程的教学，使学生掌握较完整的高等数学基
本知识的同时，注意培养学生的抽象思维能力、逻辑推理
与判断能力、空间想象能力、综合运用能力和数学语言及
符号的表达能力。结合习题课、课后作业、考试等相关教
学环节提高学生综合运用基本概念、基本理论、基本方法
分析问题和解决问题的能力，并逐步培养学生科学求实、
严谨准确的作风。通过本课程教学，与其它数学基础课共
2020-6-17
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三、高等数学 的性质与作用
高等数学是数学的一个分支，是数学的基础理论课之
一，它是理工科大学生必修的数学基础理论课程，也是学
习后续数学的必修课，还是学习其他专业的必修课。 高等数学的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学
研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也
是参加具有选拔功能的水平考试的必备基础。
学而优则用 , 学而优则创 .
华罗庚
2020-6-17
由薄到厚 , 由厚到薄 .
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笛卡儿 (1596～1650)
法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他
是解析几何奠基人之一 . 1637年他发
表的《几何学》论文分析了几何学与
代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外
一、 集合
1. 定义及表示法
定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 .
元素 a 属于集合 M , 记作 a M.
元素 a 不属于集合 M , 记作 a M ( 或 a M ) .
M*表示 M 中排除 0 的集 ;
注: M 为数集 M 表示 M 中排除 0 与负数的集 .
a,b
半开区间
•
•
[a,b)
•
o
无限区间
2020-6-17
(a,b]
o
•
[a,+)
•
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(-,b]
o
b•
点心 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
左 邻域 :
右 邻域 :
2020-6-17
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第二讲 函数的概念
程, 高维数值积分等广泛的数学领域中, 都作出了卓越的贡献 , 发表专著与学术论文近 300 篇.
他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽, 专, 漫 ”,即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业 知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给
给师生题词: “ 学而优则用, 学而优则创 ”.