维数、基与坐标
空间向量的基
1 , 2 , , r 是向量空间V的一个基，则 V 可表示为 （3）若向量组
V x 1 1 2 2 r r 1 , , r R
例如，在Rn中， (1 , 2 , n ) 是它的一组基 ，称为标准基，因此
Rn 是n维向量空间。
数理学院
设R n中的向量 在这两组基下的坐标分别为( x1 ,
xn )与( x '1 ,
x 'n )
则 (e1 , e2 ,
x1 x en ) 2 (e '1 , e '2 , xn
x '1 x' e 'n ) 2 (e1 , e2 , x 'n
4
2 0 2 1 1 1 1 3 (2)1 , 2 , 3 , 4 . 0 2 1 1 1 2 2 2 求基(1)到基(2)的过渡矩阵, 并求坐标变换公式.
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
由定义可知，向量空间的基不是惟一的，但其维数是确定
的。并且向量空间可以由它的任一组基 (1 , 2 , n ) 生成。因 此，任给 V ，有惟一的表达式 x11
xn n ，称 ( x1 ,
xn )
为 在基 (1 , 2 , n ) 下的坐标。
由于基不是惟一的，所以同一向量在不同的基下的坐标是 不同的。下面我们来讨论同一向量在不同基下坐标之间的关系。
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
设 (e1 , e2 , en ) 和 (e '1 , e '2 , 即可以相互表示。 e1 e 2 设 en
高等代数(二)(9287)自学考试大纲
高等代数（二）（9287）自学考试大纲一、课程性质与设置目的（一）课程性质与特点高等代数是湖北省高等教育自学考试数学教育专业的重要基础课之一。
它与解析几何、数学分析、抽象代数、高等几何、常微分方程等其他数学课程都存着密切的联系。
随着科学技术的发展，高等代数的应用越来越广泛。
高等代数内容多，自学中分为两门课程开设，一门是高等代数（一），另一门就是本课程——高等代数（二）。
高等代数（二）在高等代数（一）的基础上继续学习高等代数的基本知识、基本理论、基本方法。
本课程的特点是内容比较抽象，与高等代数（一）联系紧密、不可分割，因此要求高等代数（一）掌握得比较好。
（二）基本要求学习本课程应达到的总体目标是：1）掌握向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型等的基本概念、基本的计算方法以及证明方法；2）在熟悉一些常见的向量空间、线性变换、欧氏空间、二次型的基础上，学习抽象的向量空间、线性变换和欧氏空间的基本理论。
通过本课程的学习，培养自学者抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习其他的数学专业课程和指导中小学数学教学及其研究打基础。
（三）本课程与相关课程的联系本课程以中学数学、高等代数（一）为基础，与解析几何、数学分析相互联系，为抽象代数、高等几何、常微分方程等后续课程打基础。
高等代数（二）的重点、难点是向量空间和线性变换。
向量空间、线性变换的内容和思想方法掌握得如何，将直接影响欧氏空间和二次型的学习。
二、课程内容与考核目标第一章向量空间（一）学习目的与要求1．理解向量空间的定义，熟悉一些常见的向量空间的例子。
2．理解向量的线性相关、线性无关，线性组合等概念，并注意与高等代数（一）中第三章的n维向量的联系。
–1–3．掌握向量空间的维数、基、坐标的概念及三者的联系。
4．理解基变换与坐标变换的意义及它们之间的联系，并且能用矩阵表示三者的关系。
5．理解向量子空间的概念、性质、判断和子空间中向量与生成元的联系，掌握维数公式并能应用维数公式证明问题。
维数基与坐标
维数基与坐标1. 引言在数学中，维数基和坐标是描述向量空间中向量的重要概念。
维数基是向量空间的一组基础向量，用于表示空间中的任意向量。
坐标则是基于维数基的一种表示方法，通过一组数字来描述向量在各个维度上的大小。
本文将详细介绍维数基和坐标的概念、属性和应用，并通过示例和图表进行解释和说明。
2. 维数基2.1 定义维数基是向量空间的一组基础向量，它们可以线性组合得到空间中的任意向量。
一个向量空间的维数基通常由线性无关的向量组成，并且可以表示空间的维数。
2.2 特性•维数基是线性无关的，即其中任意一个向量不能由其他向量线性表示。
•维数基可以通过线性组合生成空间中的任意向量。
•维数基的数量等于向量空间的维数。
2.3 示例考虑二维平面上的向量空间，我们可以选择两个线性无关的向量作为维数基，比如：v1 = [1, 0]v2 = [0, 1]这两个向量分别表示平面上的 x 轴和 y 轴，它们可以通过线性组合得到平面上的任意向量。
3. 坐标3.1 定义坐标是一种用数字表示向量在各个维度上大小的方法。
坐标是基于维数基的，通过将向量在维数基上的投影来确定各个维度上的大小。
3.2 坐标系坐标系是描述向量空间的一种方式，它由维数基和原点组成。
常见的坐标系有笛卡尔坐标系、极坐标系等。
在笛卡尔坐标系中，维数基通常是正交的单位向量，原点是空间的起点。
以二维平面为例，笛卡尔坐标系的维数基为：e1 = [1, 0]e2 = [0, 1]3.3 坐标表示假设有一个向量 v，它可以由维数基 e1 和 e2 线性组合得到：v = a * e1 + b * e2其中 a 和 b 是向量在 e1 和 e2 上的投影，也就是向量的坐标。
3.4 示例考虑二维平面上的向量 v，它在维数基 e1 和 e2 上的投影分别是 a 和 b。
那么v 的坐标表示为 (a, b)。
4. 应用4.1 线性代数维数基和坐标是线性代数中的重要概念，它们用于描述向量空间和向量的性质和关系。
线性空间3
§3. 维数.基与坐标复习概念和结论.1.线性组合：设V 是数域P 上的线性空间，)1(,...,,2≥1r r ααα是V 中的一组向量，r k k k ,...,,21是数域P 中的数，那么向量r r k k k αααα+++=21...21称为向量组r ααα,...,,21的一个线性组合。
或者说，向量α可以用向量组r ααα,...,,21线性表出。
2.等价：设;,...,,s ααα21r βββ...2,1,可以互相线性表出，则它们称为等价。
3.线性相关：线性空间V 中，如果在数域P 中有)1(≥r r 个不全为零的数r k k k ...,,2,1，使0...2211=+++r r k k k ααα，那么向量组r ααα,...,21称为线性相关。
线性无关：如果0...2211=+++r r k k k ααα只有在0...21====r k k k 时才成立，那么称向量组r ααα,...,21线性无关。
4.结论1：单个向量α是线性相关0.=⇔α 两个以上的向量r ααα,...,,21线性相关⇔其中有一个向量是其余的线性组合。
结论2：如果向量组r ααα,...,,21线性无关，而且可以被s βββ,...,2,1线性表出，那么s r ≤。
结论3：如果向量组r ααα,...,,21线性无关，但向量组r ααα,...,,21,β线性相关，那么β可以被r ααα,...,,21线性表出，而且表法是唯一的。
我们知道，对于几何空间中的向量，线性无关的向量最多是3个，而任意4个向量都是线性相关的。
对于n 维向量空间，有n 个线性无关的向量，而任意n+1个向量都线性相关。
问题：在一个线性空间中，究竟最多能有几个线性无关的向量？1.定义5：如果在线性空间V 中有n 个线性无关的向量，但是没有更多数目的线性无关的向量，那么V 就称为n 维的。
如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就称为无限维的。
02 第二节 维数、基与坐标
例6 (E04) 证明维线性空间 与维数组向量空间同构.
证 (1) 中的元素与中的元素形成一一对应关系;
(2) 则有
结论 1. 数域上任意两个维线性空间都同构. 2. 同构的线性空间之间具有反身性、对称性与传递性. 3. 同维数的线性空间必同构.
例4(E02) 所有二阶实矩阵组成的集合对于矩阵的加法和数量乘法, 构成实数域R上的一个线性空间. 试证
,,, 是中的一组基, 并求其中矩阵A在该基下的坐标.
证 先证其线性无关, 由有
即线性无关. 又对于任意二阶实矩阵 有 因此为的一组基. 而矩阵在这组基下的坐标是
例5 (E03) 求子空间的维数，其中 解 易知是由下列向量的全体线性组合所构成的集合：
第二节 基、维数与坐标
分布图示
★ 引言
★ 线性空间的基与维数
★ 生成子空间
★ 例1
★ 坐标
★ 例2
★ 例3 ★ 例4
★ 线性空间的同构
★ 例6
★ 内容小结
★ 课堂练习
★ 习题6-2
★ 例5 ★ 例7
内容要点
一、线性空间的基与维数 我们已知在中，线性无关的向量组最多由个向量组成，而任意个向
量都是线行相关的。现在我们要问：在线性空间中，最多能有多少个线 性无关的向量？
元素有序数组 定义2 设是线性空间的一个基,对于任一元素, 有且仅有一组有序数 使，则称有序数组为元素在基下的坐标, 并记作.
二、线性空间的同构 设是维线性空间的一组基，在这组基下，中的每个向量都有唯一确
定的坐标，而向量的坐标可以看作中的元素，因此向量与它的坐标之间 的对应就是到的一个映射。对于中不同的向量它们的坐标也不同，即对 应于中的不同元素。反过来，由于中的每个元素都有中的向量与之对 应，我们称这样的映射是与的一个一一对应的映射。这个映射的一个重 要特征表现在它保持线性运算（加法和数乘）的关系不变。
向量空间的基、维数与坐标
( 4 )B (1, 1, 2).
12 上一页 下一页 返 回
例5 设 a, b 为两个已知的 n 维向量，集合 V x a b , R
第三节 向量空间的基、维数 与坐标
一 二 三 四 向量空间 向量空间的基、维数与坐标 基变换与坐标变换 小结
1 上一页 下一页 返 回
一、向量空间
定义3.18 设 V 是非空 n 维向量的集合，若 V 对于 向量的加法及向量乘数两种运算封闭，则称 V 为一 个向量空间． 说明 集合V 对于加法及乘数两种运算封闭是指
9 上一页 下一页 返 回
R n 空间的一组规范基为
ε1 (1,0,,0) ,ε2 (0,1,,0) , ,εn (0,0,,1)
向量 (a1 , a2 ,..., a n ) 在此规范基下的坐标为
(a1 ,a2 ,...,a n ).
因为
α a1ε1 a2 ε2 ... an εn .
11 上一页 下一页 返 回
由行阶梯矩阵知 r ( A) 3, 且 1 , 2 , 3 线性无关, 知其为 R 3 的一组基, 进一步将A变成行最简形：
2 1 0 0 1 1 1 1 A ~ 0 1 2 5 ~ 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 2 2
La1,a2,,am x | x 1a1 2a2
mam 1,2,,m R
向量组 a1 , a 2 , , a m的极大无关组即为 L 的基； a1 , a 2 , , a m的秩即为 L 的维数.
高等代数 第6章线性空间 6.2 基底、坐标与维数
任一不超过4次的多项式 p a 4 x 4 a 3 x 3 a 2 x 2 a1 x a 0 可表示为 p a 0 p1 a 1 p 2 a 2 p 3 a 3 p 4 a 4 p 5
因此 p 在这个基下的坐标为 ( a 0 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 )
T
若取另一基q1 1, q 2 1 x , q 3 2 x 2 , q 4 x 3 , q5 x4 , 则 1 p (a 0 a 1 )q1 a 1 q 2 a 2 q 3 a 3 q 4 a 4 q 5 2 因此 p 在这个基下的坐标为
1 ( a 0 a 1, a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V ，对于矩阵 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间．对于 V 中的矩阵
有
1 E 11 0 0 E 21 1
0 0 1 , E 12 , 0 0 0 0 0 0 , E 22 0 0 1
而矩阵A在这组基下的坐标是 (a 11, a 12, a 21, a 22) .
T
例3 在线性空间R, 2 ( x a ), 3 ( x a ) , , n ( x a )
则由泰勒公式知
2
n 1
f ' ' (a ) 2 f ( x ) f (a ) f ' (a )( x a ) ( x a) 2! ( n 1) (a ) f n 1 ( x a) ( n 1)! 因此 f ( x )在基 1 , 2 , 3 , , n 下的坐标是
§3.4线性空间、基、维数和坐标
一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广。
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间来解决实际问题。
定义设F 是数的集合，若其满足（1）F∈1,0 （2）F ，均有∈∀b a ,∈≠÷×−+)0(,,,b b a b a b a b a 则称F 是一个数域。
R ，实数域Q ，有理数域常用数域C ，复数域F},,1, |),,{(1n i a a a i n =∈=},,2,1,,2,1, |]{[n j m i a a ij n m ij ==∈=×；F [x ]F F m ×n F },2,1,0,,1,0 , |){2210 ==∈++++=n n i a x a x a x a a i nn ；Fn F }0)( ,)( ],[F )(|)({≡∈=x f n x f x x f x f 或的次数小于}],[)(|)({上的连续函数是闭区间b a x f x f =F [x ]n C [a ,b ]βαγ+=若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的数量积，记作∈k V ∈αV ∈δk ααδk =定义设是一个非空集合，F 为数域．如果对于任意两个元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为元素与的和，记作V ∈βα,V ∈γαβV F对F ，总有,,,,V k l αβγ∈∈;,,)3(αθααθ=+∈都有对任何中存在在V V ;)1(αββα+=+ ()();)2(γβαγβα++=++ 如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域F 上的线性空间：V 零元素(5) 1αα=()()(6) k l kl αα=()(8)k k k αβαβ+=+()(7) k l k l ααα+=+;),,)(θααααα=−+∈−∈( 4使的都存在对任何V V 负元素说明1．凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为线性运算；2．线性空间中的向量不一定是有序数组；3．若一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间。
矩阵论复习
可求出 A(λ ) 的行列式因子 （3）将矩阵 A(λ )的不变因子 d 1 (λ ), d 2 (λ ),L , d r (λ ) 分解成 一次因式的幂： 一次因式的幂：
(λ − λ1 ) n1 , (λ − λ 2 ) n2 ,L , (λ − λ s ) ns
可求出 A(λ ) 的初等因子
4.Jordan标准形的求法 标准形的求法 4. （1）求矩阵 A 的初等因子
& & & C n = V λ1 + V λ 2 + L + V λ r
（3） A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的每一个特征值的几何重数等于代数重数. 的一维不变子空间的直和. （4） C n 可以分解成 A 的一维不变子空间的直和 的初等因子都是一次式. （5）A的初等因子都是一次式 的初等因子都是一次式 的最小多项式m(λ)没有重零点 没有重零点. （6）A的最小多项式 的最小多项式 没有重零点
即 A (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) = (ε 1 , ε 2 , L , ε n ) A .
4.线性变换的值域与核 4.线性变换的值域与核 维线性空间V上的线性变换 ε 上的线性变换， 设A 是 n 维线性空间 上的线性变换，1 , ε 2 ,L , ε n 是 V 的一组基， 的一组基，A 在这组基下的矩阵是 A，则 ， （1）A 的核为Ker ( A ) = {α ∈ V | A (α ) = 0}; （2）A 的值域为R( A ) = { A (α ) | α ∈ V };
α = x 1ε 1 + x 2 ε 2 + L + x n ε n .
2.线性子空间 2.线性子空间 是线性空间， 是 的非空子集， （1）设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的 是线性空间 是 子空间的充分必要条件是
线性代数§6.2线性空间的维数、基与坐标
,
有
A=a11E11+ a12E12+ a21E21+ a22E22. 所以, E11, E12, E21, E22为V的一个基. 而A在基E11, E12, E21, E22下的坐标为:
A=(a11, a12, a21, a22)T.
例3: 在线性空间P[x]n中, 取一组基: 0=1, 1 = (x–a), 2 = (x–a)2, ···, n = (x–a)n.
四、小结
1. 线性空间的基与维数. 2. 线性空间的元素在给定基下的坐标: (1) 把抽象的向量与具体的数组向量联系起来; (2) 把抽象的线性运算与数组向量的线性运算联系 起来. 3. 线性空间的同构.
思考题
求由P[x]3中的元素: f1(x) = x3–2x2+4x+1, f3(x) = x3+6x– 5,
因为,
(1) Vn中的元素与Rn中的元素 x = (x1, x2, ···, xn)T
形成一一对应关系:
Vn: = x11+x22+···+xnn
Rn : x = (x1, x2, ···, xn)T
(2) 设 (a1, a2, ···, an)T, (b1, b2, ···, bn)T, 则有 + (a1, a2, ···, an)T+(b1, b2, ···, bn)T,
例1: 在线性空间P[x]4中, p0=1, p1=x, p2=x2, p3=x3, p4=x4 就是P[x]4的一个基.
任意不超过4次的多项式:
p(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4P[x]4, 都可表示为
线性空间的概念,维数、基与坐标
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
4
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
那么,V 就称为数域 F上的线性空间(或向量空 间),V 中的元素称为向量(或元).
线性代数A
19
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
三、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间, U 是 V 的一个 非空子集,如果 U 对于 V 中所定义的加法和乘数 运算也构成一个线性空间, 则称 U 是 V 的一个子 空间．
线性空间中的零元构成一子空间, 称为零空间. V 自身是V 的子空间. 我们称这两个子空间为V 的 平凡子空间.
记作
;
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
3
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
如果上述两种运算满足以下八条运算规律
( 设 , , V;, F )：
(1) ;
(2) ;
(3) 在V中存在零元素 0 ,对任何 V ,都有 0 ;
于是有 定理2 线性空间V 的非空子集U 构成子空间的
充分必要条件是： ⑴ 如果 , U, 则 U;
⑵ 如果 U, k R,则 k U.
[证略]
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
22
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
例7
证明： N 2
a 0
b
0
a, b R
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
线性代数6-2维数基坐标
坐标.
例1 在线性空间P[x]3中, p1 1, p2 x, p3 x2, p4 x3 就是它的一个基.
任一不超过3次的多项式
p a0 a1x a2x2 a3x3
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4
因此 p 在这个基下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)
y2
yn
并且两组基间有线性关系式
1, 2,, n 1,2 ,,n A
则有如下的关系式
x1
y1
x2
xn
A
y2
yn
,
y1
x1
或
若取另一组基为 q1 1, q2 1 x, q3 2x2 , q4 x3,
p
( a0
a1)q1
a1q2
a2 2
q3
a3q4
因此 p 在这个基下的坐标为
说明:
(a0
a1, a1,
a2 2
, a3 )
(2)一个向量在一组基下的 坐标是唯一的.
(3)同一个向量在不同基下 的坐标一般是不同的 .
则称此公式为基变换公式.
2.利用分块矩阵的方法可将上述公式写成
其中
1, 2 ,, n 1,2 ,,n A
a11 a12 a1n
A
a21
a23
a2n
an1
an2
ann
则称上述矩阵A为由基1,2,,n到基1, 2,, n的
设 a11 a22 ann , b11 b2 2 bn n
线性代数 基、维数与坐标
基、维数与坐标⏹基、维数的概念⏹坐标的概念基、维数与坐标定义2(1) α1,α2, …,αm 线性无关；(2) V 中任一向量都能由α1,α2, …,αm 表示，则称α1,α2, …,αm 为空间V 的一组基(或基底), 基与维数m 称为向量空间V 的维数，记为dim V ＝m ,设V 是数域p 上的向量空间，向量α1,α2, …,αm V ，如果并称V 是数域p 上的m 维向量空间.零空间的维数规定为零.基、维数与坐标2. 将向量空间V 的基的定义与向量组的极大线性无关组的定义相比较，不难看出，1. 向量空间的维数和该空间中向量的维数是两个不同的概念.若把向量空间V 看作一个向量组，那么它的基就是V 的一个极大线性无关组，dim V 就是V 的秩.3. 容易证明，若向量空间V 的维数是m ，那么V 中任意m 个线性无关的向量都是V 的一组基；对于向量空间V 的任一子空间V 1,dim V 1≤dim V .基、维数与坐标对于向量空间R n ，基本单位向量ε1, ε2, …, εn 就是它的一组基，有dim R n =n , 则称R n 为n 维实向量空间.在四维向量空间R 4中，向量组α1=(0, 0,0,1),α2=(0,1,0,1), α3=(-1,2,0,1),α4=(1,0,2,1)线性无关，所以它们也是R 4的一组基.基、维数与坐标定义3设α1,α2, …,αm 为向量空间V 的一组基，1122m m x x x ,则称有序数组由定理3.2.2,向量α的表示也是唯一的， α V , 有因此α基下α1,α2, …,αm 的坐标也是唯一的.坐标的概念x 1,x 2, …,x m 为向量α在基α1,α2, …,αm 下的坐标.记为(x 1,x 2, …,x m ).基、维数与坐标例4证明111002210A设α1=( 1,0,2),α2=(1,0,1), α3=(-1,2,0),证明α1,α2, α3是向量空间R 3的一组基，并求向量α=( 2,-3,5)在这组基下的坐标.以向量α1T ,α2 T , α3 T 为列向量做矩阵基、维数与坐标因为A 的行列式|A |＝2≠0，,把α1,α2, α3代入，比较等式两端向量的对应分量，可得线性方程组112233x x x 设所以α1,α2, α3线性无关, 故它们是R 3的一组基.12331222325x x x x x x基、维数与坐标解之，得于是向量在α基α1,α2, α3下的坐标为12393,4,22x x x 93,4,22 （）。
有限维线性空间的基
V （4） ( P ) = L (α1 ,α 2 ,L,α n ) ，且α (∈ V ( P )) ）
线性表示的表法唯一； 经 {α1 ,α 2 ,L,α n }线性表示的表法唯一；
（5）dimV ( P ) = n ，且{α1 ,α 2 ,L,α n } 线性无关； 线性无关； ）
参考文献
[1] 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南 高等代数（上册）， 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数 上册）， 高等代数（ 福建教育出版社， 福建教育出版社，1991，福州 ， [2] 庄瓦金 高等代数教程，国际华文出版社 2002年 高等代数教程， 年 [3] 北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版） 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版） [4] 白述伟 高等代数选讲，黑龙江教育出版社，1996 高等代数选讲，黑龙江教育出版社， [5] 李师正主编 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社， 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社， 北京, 2004 北京 [6] 南开大学 南开大学2005年硕士研究生入学考试试题 年硕士研究生入学考试试题
有限维线性空间的基
杨忠鹏 晏瑜敏 戴培培 莆田学院数学系
的三要素： 一、数域 P 上有限维线性空间Vn ( P )的三要素： 1．基 ． 2．维数 ． 3．坐标 ． 维数是 Vn ( P )的唯一的本质特征，在同构意义下 的唯一的本质特征，
Vn ( P ) 的研究可归结为 P n 的讨论。 的讨论。
2．常见的线性（子）空间的标准基 ．常见的线性（ （1）Pn [ x ] = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 ai ∈ P ）
线代 (12)
其中 x1 , x 2 , , x n 是 在标准基下的坐标
练习 P87：1- 5
V i i , 1 , , r R L ( 1 , 2 , , r ) i 1
r
此时V 称为由基 1 , 2 , , r 生成的向量空间.
向量在基下的坐标
设 1 , 2 , , n 为向量空间 V 的一组基， V ,
注意：
向量 的坐标 ( a1 , a 2 , , a n ) 是被向量 和基 1 , 2 , , n 唯一确定的．即向量 在基 1 , 2 , , n 下的坐标唯一的. 但是，在不同基下 的坐标一般是不同的．
例3
1） 1 , 2 , , r ； 1 , 2 , , s 为线性空间V中的 两组向量，则 L ( 1 , 2 , , r ) L ( 1 , 2 , , s )
则 k V
则称V为数域R上的向量空间。
记所有的 n 维向量的集合为 R n ，显然对于 加法和数量乘法两种运算封闭，因而 R n 构成一 个向量空间，称其为n 维向量空间．
注：
1） n=3时，三维向量空间 R 3表示实几何空间。 2） n=2时，二维向量空间R 2 表示平面。 3） n=1时，一维向量空间 R 1表示数轴。 4)只含零向量的线性空间称为零空间.
(＊)
的全部解向量所成集合W
A 0 , R
n
对于
向量的加法和数量乘法构成的向量空间，是 n维 向量空间Rn 的一个子空间，称W为方程组(＊)的 解空间．
二、线性空间的维数、基与坐标
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对任意αV,kK成立.从而
(0) (0) 0 () 0
() ((1)) (1) () () (k11 k22 krr ) (k11) (k22 ) (krr )
k1 (1) k2 (2 ) kr (r )
(2) 若有不全为零的k1,k2,…,kr使
则有
(k11 k2 2 kr r ) 0
由于σ是单射，又只有零元素0才映射到0，
故
k11 k2 2 kr r 0 即若 (1), (2 ),, (r ) 线性相关也必有 α1,α2,…,αr线性相关；
(3) 由于维数就是线性空间中线性无
关元素的最大个数，设V与W同构，则若V 中最大的线性无关元素组为α1,α2,…,αm,那么 σ(α1), σ(α2),…,σ(αr)也是W中线性无关的，且 任何多于m个的元素组必线性相关.这样，W 的维数必等于V的维数；
设 ε1,ε2,…,εn与η1,η2, …,ηn是n维线性空 间V中的两组基.由基的定义，它们必可以 互相线性表出.设 η1,η2, …,ηn由ε1,ε2,…,εn线 性表出的关系式为
1 a111 a12 2 a1n n , 2a211a222 a2n n , n an11 an2 2 ann n .
(1, 2 ,3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 ) A
其中
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, x, x 2 , x3 )B
1 1 1 1
A
2 0 2
1 2 0
0 2 0
3 03
1 1 1 1
B
0 0 0
1 0 0
2 1 0
3 13
于是
(1, 2 , 3 , 4 ) (1, 2 ,3 , 4 )A1B
nn
A
aij Eij
i1 j1
因而A在这组基下的坐标是(a11, a12,…, a1n, a21, a22,…, a2n,…,…, an1, an2, …, ann ).
7.2.2 基变换与坐标变换 在线性空间中，对于不同的基底，元
素α的坐标一般是不同的. 那么当基变换时， 坐标是怎么变化的呢?
如果把α,β的坐标按Pn中加法和数乘 进行运算，有
(a1, a2 ,, an ) (b1, b2 ,, bn ) (a1 b1, a2 b2 ,, an bn ) k(a1, a2 ,, an ) (ka1, ka2 ,, kan )
即α与β的坐标相加的结果恰好是α+β的坐 标，而k数乘α的坐标结果恰好是 kα的坐标. 换言之，在V的元素与它的坐标的对应下， 加法关系和数乘关系也完全对应地保持下 来了.
设α是V中任一元素，它在
ε1,ε2, …,εn下的坐标为(x1,x2, …,xn)，即
x1
1
,
2
,
,
n
x2
xn
(7.2.4)
再设α在η1,η2, …,ηn下的坐标为(y1,y2, …,yn)， 即
y1
1
,2
,
,n
y2
yn
将(7.2.3)代入上式，并与(7.2.4)式比较，由 α在基底下ε1,ε2, …,εn表出的惟一性，即得
(3) 若α1,α2,…,αr线性无关，而 α1,α2,…,αr,β线性相关，则β必可由 α1,α2,…,αr线性表出，且表示法是唯一的.
在n维向量空间中，极大线性无关组称 为基，其所含向量的个数称为空间的维数. 利用线性相关性，在一般的线性空间中也 可以引入基与维数概念.
定义7.2.4 设V是数域P上的线性空间， V中任意n个线性无关的元素ε1,ε2,…,εn
一一对应(双射). 不仅如此，这个对应还具 有保持线性空间加法和数乘两种运算的性 质. 确切地说，设
a11 a2 2 an n
b11 b2 2 bn n
则
(a1 b1)1 (a2 b2 ) 2 (an bn ) n
及
k ka11 ka2 2 kan n
上述几个定义实际上是大家在第三章
中已经熟悉的.它们不过是把n维向量空间
的相应概念搬到了抽象的线性空间中. 只 依赖于线性空间的加法和数乘运算，这些 概念便可毫无困难地移植过来.不仅如此， 在第三章对n维向量线性相关性的讨论可 以完全照搬到抽象的线性空间中，并得出 相同的结论. 这里不再重复这些论证，只 把相关结论叙述如下.
k11 k22 krr 0
两边作σ映射即得
k1 (1) k2 (2 ) kr (r ) (0) 0
这说明若α1,α2,…,αr线性相关，则
(1),, (r )
也线性相关.反之，若有不全为零的 k1,k2,…,kr使
k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ) 0
即由 α1,α2,…,αn到β1,β2,…,βm的过渡矩 阵为A-1B
设α为P[x]4中任一向量，它在基 α1,α2,α3,α4下的坐标为(x1,x2,x3,x4)T，在基 β1,β2,β3,β4 下的坐标为(y1,y2,y3,y4)T ，则坐 标变换公式为
x1
y1
x2 x3 x4
这n个元素都是线性无关的.故这是一个无穷 维线性空间.
以下假定所论及的线性空间是有限维 的.
例7.2.4 设Mn(R)是实数域上所有n阶方 阵所成实数域R上的线性空间. 则在例7.2.1
中给出的
Eij i 1,2,, n, j 1,2,, n
是Mn(R) 的一组基.任给一个n阶实矩阵 A=(aij)n×n，有
x1 y1
x2
xn
A
y2
yn
(7.2.5)
或
y1
x1
y2
A
1
x2
yn
xn
(7.2.6)
(7.2.5)与(7.2.6)式给出了在基变换(7.2.2)
（或(7.2.3)）下坐标的变换公式.它指出，
若A是线性空间的一组基到新基的过渡矩
阵，则任一元素在新基下的坐标列向量等
(k11 k2 2 kr r ) k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r )
(2) V中元素组α1,α2,…,αr线性相关的 充要条件是 (1), (2 ),, (r )线性相关；
(3)同构的线性空间有相同的维数； (4)数域P上任一个n维线性空间都同 构于P上的n维向量空间Pn. 证 (1) 由同构映射定义有
定理7.2.1 设V是数域P上的线性空间，
α,βV ，α1,α2,…,αr及
β1,β2,…,βs是V中两个元素组，则有
(1) 单个元素 α线性相关的充要条件是 α＝0 . 含两个以上元素的元素组 α1,α2,…,αr 线性相关的充要条件是其中有一个元素是 其余元素的线性组合；
(2) 若元素组 α1,α2,…,αr线性无关，且 可由 β1,β2,…,βs线性表出，则必有 r≤s;
于A-1乘该元素在原基下的坐标列向量.
例7.2.6 在P[x]4中取两组基
1 1 2x 2x3，2 1 x 2x2，3 1 2x2，4 1 3x 3x3
1 1，
2 1 x， 3 (1 x)2， 4 (1 x)3
求P[x]4中向量在这பைடு நூலகம்组基下的坐标变换公 式.
解 取 P[x]4的一组基1,x,x2,x3,则
同的基. 但这些不同的基所含的向量个数 必是相同的.
定理7.2.2 设 α1,α2,…,αn是线性空间V 的一组基,β1,β2,…,βm也是线性空间V的一组 基, 则n=m .
证 由于α1,α2,…,αn是V的一组基, 由定 义7.2.4, V中任一元素 β可由α1,α2,…,αn线性 表出, 从而 β1,β2,…,βm可由α1,α2,…,αn线性 表出. 又已知β1,β2,…,βm是线性无关的, 由
定义7.2.6 该V与W是数域P上两个线性 空间，如果存在V到W的一一对应映射σ， 使
( ) () ( )
(k) k ()
对任意α,βV,kK成立，则称V与W是同构
的线性空间，σ称为同构映射.
定理7.2.3 设σ为线性空间V到W的同构 映射，则
(1) (0) 0, () ()
(7.2.2)
用形式的矩阵记法，上式可写为
1 ,2 ,,n 1 , 2 ,, n A (7.2.3)
其中矩阵
a11
A
a12
a 21
a 22
an1 an2
a1n a2n ann
称为由基ε1,ε2,…,εn到基 η1,η2, …,ηn的过渡矩 阵.类似于第三章§3.4的证明，A是可逆的.
例7.2.1 实数域上所有n阶矩阵所成的实 数域上线性空间是n2维的，因为若记
0 0 0
Eij 0 0 1 0 0 i
0
0
0
j
为只有第i行第j列元素为1，其余均为0的n
阶矩阵，则 Eij i 1,2,, n, j 1,2,, n
线性无关，且共有n2个元素. 易见任一n阶
方阵可由它们线性表出，由定理7.2.1最多
只有n2个线性无关元素.
例7.2.2 实数集R作为自身的线性空间 是一维的. {1}是一个线性无关元素，且任一 元素均可由它线性表出.
例7.2.3 所有实数域上的一元多项式所 成的实数域上线性空间中有任意多个线性 无关元素. 对任意的n，
1, x, x 2 ,, x n1
A 1 B
y2 y3 y4
7.2.3 线性空间的同构
我们知道，给定数域P上线性空间V的 一组基ε1,ε2,…,εn后，V中每个元素都在这组 基下有唯一确定的坐标(x1,x2, …,xn) .坐标就 是由数域P中n个数给出的n元数组，即坐标 可看成是线性空间Pn的元素. 因此，V的元 素与它的坐标之间的对应实质上是V到Pn的 一个映射，这个映射还是单的和满的. 换言 之，V的元素与Pn的向量之间有了一个